Matrizentheorie
von F. R. Gantmacher
Mit 11 Abbildungen
0w
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
Berlin 1986
Inhalt
Erster Teil: Allgemeine Theorie
Matrizen und Matrizenoperationen
Definition der Matrix. Bezeichnungen
Addition und Multiplikation von Matrizen
Quadratische Matrizen
Assoziierte Matrizen. Minoren inverser Matrizen
Inversion rechteckiger Matrizen. Die pseudoinverse Matrix
19
21
31
38
41
Der Gaußsche Algorithmus
Die Gaußsche Eliminationsmethode
Eine mechanische Interpretation des Gaußschen Algorithmus
Der Sylvestersche Determinantensatz
..
Zerlegung quadratischer Matrizen in Produkte von Dreiecksmatrizen
Übermatrizen. Das Rechnen mit Übermatrizen.
Der verallgemeinerte Gaußsche Algorithmus
. . .
50
55
57
59
66
Lineare Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum
Vektorräume
Lineare Operatoren, die einen w-dimensionalen Vektorraum in einen
m-dimensionalen Vektorraum abbilden
Addition und Multiplikation linearer Operatoren
Koordinatentransformationen
Äquivalente Matrizen. Der Rang eines Operators.
Die Sylvestersche Ungleichung
Lineare Operatoren, die einen »-dimensionalen Vektorraum in sich abbilden.
Charakteristische Wurzeln und Eigenvektoren linearer Operatoren . . . .
Lineare Operatoren einfacher Struktur
78
84
86
87
89
93
97
100
12
Inhalt
4.
Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom einer Matrix
4.1.
4.2.
Addition und Multiplikation von Matrizenpolynomen
Rechte und linke Division von Matrizenpolynomen.
Der verallgemeinerte Bezoutsche Satz
Das charakteristische Polynom einer Matrix. Adjungierte Matrizen
Die Methode von D . K. F A D D E E V zur gleichzeitigen Berechnung
des charakteristischen Polynoms u n d der adjungierten Matrix
Das Minimalpolynom einer Matrix
4.3.
4.4.
4.5.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
103
106
109
113
116
Matrizenfunktionen
5.7.
Definition der Matrizenfunktion
Das Lagrange-Sylvestersche Interpolationspolynom
Andere Wege zur Bestimmung von f(A). Die K o m p o n e n t e n der Matrix A
.
Darstellung von F u n k t i o n e n durch Matrizenreihen
Einige Eigenschaften von Matrizenfunktionen
. . . .'
Die Anwendung der Matrizenfunktionen zur Integration linearer Differentialgleichungssysteme mit k o n s t a n t e n Koeffizienten
Stabilität im Fall linearer Systeme
6.
Äquivalente Transformationen von Polynommatrizen.
121
126
129
134
139
143
151
Analytische Elementarteilertheorie
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7. '
6.8.
6.9.
7.
Elementare Transformationen von Polynommatrizen
Die kanonische F o r m einer A-Matrix
Invariantenteiler u n d Elementarteiler von Polynommatrizen
Äquivalenz linearer Binome
Kriterien für die Ähnlichkeit von Matrizen
Normalformen von Matrizen
Die Elementarteiler der Matrix f(A)
Eine Methode zur K o n s t r u k t i o n der Transformationsmatrix
Eine weitere Methode zur K o n s t r u k t i o n der Transformationsmatrix
. . . .
156
160
165
171
173
174
178
182
185
Die Struktur linearer Operatoren im w-dimensionalen Vektorraum.
Geometrische Elementarteilertheorie
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
Das Minimalpolynom eines Vektors bzw. eines Vektorraumes (bezüglich
eines gegebenen linearen Operators)
Die Zerlegung eines Vektorraumes in invariante TJnterräume
mit teilerfremden Minimalpolynomen
Kongruenzen. Quotientenräume
Die Zerlegung eines Vektorraumes in zyklische invariante U n t e r r ä u m e
. .
Normalformen einer Matrix
Invariantenteiler. Elementarteiler
Die J o r d a n s c h e Normalform einer Matrix
.
Die Methode von A. N . K B Y L O V zur Transformation der Säkulargleichung .
196
198
201
203
208
211
214
217
Inhalt
13
8.
Matrizengleichungen
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
Die Gleichung AX = XB
Der Spezialfall A = B. Vertauschbare Matrizen
Die Gleichung AX — XB = C . .
Die skalare Gleichung f(X) = 0
Gleichungen von Matrizenpolynomen
Die m-ten Wurzeln regulärer Matrizen
Die m-ten Wurzeln singulärer Matrizen
Der Logarithmus einer Matrix
9.
Lineare Operatoren im unitären Raum
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
Vorbemerkungen
Metrische Räume
Die Gramsche Determinante
Orthogonalprojektionen
Die geometrische Bedeutung der Gramschen Determinante
Orthogonalisierung
Orthonormalbasen
Adjungierte Operatoren
Normale Operatoren im unitären Raum
Spektren normaler, hermitescher und unitärer Operatoren
Positiv semidefinite und positiv definite hermitesche Operatoren
Polare Zerlegung linearer Operatoren im unitären Raum. Cayleysche Formeln.
Lineare Operatoren im euklidischen Raum
Die polare Zerlegung linearer Operatoren und die Cayleyschen Formeln
im euklidischen Raum
Vertauschbare normale Operatoren
Der pseudoinverse Operator
9.15.
9.16.
.
10.
Quadratische und hermitesche Formen
10.1.
10.2.
Lineare Transformationen quadratischer Formen
Die Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten.
Das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen
Die Methode von LAGRANGB zur Transformation einer quadratischen Form
in eine Summe von Quadraten. Die Jacobische Gleichung
Semidefinite und definite quadratische Formen
Die Hauptachsentransformation quadratischer Formen
Formenbüschel
Extremaleigenschaften der charakteristischen Wurzeln regulärer Formenbüschel
Kleine Schwingungen von Systemen mit n Freiheitsgraden
.
Hermitesche Formen
Hankeische Formen
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
229
234
238
239
240
243
246
251
254
255
258
259
262
267
272
274
277
279
283
284
289
295
299
301
304
306
308
314
317
319
325
332
337
341
14
Inhalt
Zweiter Teil: Spezielle Fragen und Anwendungen
11.
Komplexe symmetrische, schiefsymmetrische und orthogonale Matrizen
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
Einige Sätze über komplexe orthogonale und unitäre Matrizen
Die polare Zerlegung einer komplexen Matrix
Normalformen komplexer symmetrischer Matrizen
Normalformen komplexer schiefsymmetrischer Matrizen
Normalformen komplexer orthogonaler Matrizen
12.
Singulare Matrizenbüschel
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
Einführung
Reguläre Matrizenbüschel
Singulare Büschel
Die kanonische Form singulärer Matrizenbüschel
Die minimalen Indizes eines Büschels.
Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz von Matrizenbüscheln
Singulare Büschel quadratischer Formen
Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen
13.
Matrizen mit nichtnegativen Elementen
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
13.7.
Allgemeine Eigenschaften
Spektraleigenschaften unzerlegbarer nichtnegativer Matrizen
Zerlegbare Matrizen
Die Normalform einer zerlegbaren Matrix
Primitive und imprimitive Matrizen
Stochastische Matrizen
Grenzwahrscheinlichkeiten homogener Markovscher Ketten
mit endlich vielen Zuständen
Vollständig nichtnegative Matrizen
Oszillationsmatrizen
13.8.
13.9.
'.
353
357
359
362
368
372
374
376
382
384
387
391
395
397
409
417
422
426
431
441
445
14.
Verschiedene Begularitätskriterien und die Lokalisierung
der charakteristischen Wurzeln
14.1.
14.2.
14.3.
Das Regularitätskriterium von HADAMAED und seine Verallgemeinerungen .
Die Norm einer Matrix
Die Verallgemeinerung des Hadamardsohen Kriteriums auf Übermatrizen. .
14.4.
Das Regularitätskriterium von FIEDLER
463
14.5.
Die Gersgorinschen Kreise und andere Lokalisierungsgebiete
464
15.
Anwendungen der Matrizenrechnung
zur Untersuchung linearer Differentialgleichungssysteme
15.1.
Systeme linearer Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten.
Grundbegriffe
454
458
461
469
Inhalt
15.2.
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7.
15.8.
15.9.
15.10.
15.11.
15.12.
15
Die Ljapunovsche Transformation
.
Reduzierbare Systeme
Die kanonische F o r m reduzierbarer Systeme. Der Satz v o n EBTJGEST . . . .
DerMatrizant
D a s Produktintegral. Der Volterrasche Infinitesimalkalkül
Differentialgleichungssysteme im Komplexen. Allgemeine Eigenschaften . .
D a s Produktintegral im Komplexen
Isolierte singulare Stellen
Schwach singulare Stellen
Reduzierbare analytische Systeme
Analytische Funktionen mehrerer Matrizen u n d ihre Anwendung
zur Untersuchung v o n Differentialgleichungssystemen.
472
474
477
480
486
489
492
496
502
516
Die Arbeiten v o n LAPPO-DAOTXEVSKIJ
519
16.
D a s Routh-Hurwitzsche Problem u n d verwandte F r a g e n
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
Einleitung
Die Cauchyschen Indizes
Der Routhsche Algorithmus
Spezialfälle. Beispiele
16.5.
D e r Satz v o n LJAPTJNOV
536
16.6.
Der Routh-Hurwitzsche Satz
541
* 16.7.
16.8.
16.9.
16.10.
16.11.
16.12.
16.13.
Die Formel v o n OBLANDO
547
Sonderfälle des Routh-Hurwitzschen Satzes
Die Methode der quadratischen Formen.
Die Bestimmung der Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen eines Polynoms
Unendliche Hankelsche Matrizen endlichen Ranges
Die Bestimmung des I n d e x einer gebrochenen rationalen F u n k t i o n
mit Hilfe der Koeffizienten in Zähler u n d Nenner
E i n zweiter Beweis des Routh-Hurwitzschen Satzes
Einige Ergänzungen zum Routh-Hurwitzschen Satz.
548
D a s S t a b i l i t ä t s k r i t e r i u m v o n L I E N A E D u n d CHTPAKT
16.14.
16.15.
16.16.
•16.17.
522
524
528
532
Einige Eigenschaften Hurwitzscher Polynome. E i n Satz v o n S T I E L T J E S .
Die Darstellung Hurwitzscher Polynome m i t Hilfe v o n Kettenbrüchen
. .
D a s Stabilitätsgebiet. Die Markovschen P a r a m e t e r
Der Zusammenhang m i t dem Momentenproblem
Der Zusammenhang der Hurwitzschen m i t den Markovschen Determinanten
552
555
558
565
570
575
581
585
589
16.18.
Die Sätze v o n MABKOV u n d CEBYSEV
591
16.19.
D a s verallgemeinerte Routh-Hurwitzsche Problem
598
Anhang von V. B. Lidskij
Ungleichungen für charakteristische und singulare Wurzeln
1.
2.
Majorantenfolgen
Die Horn-Neumannschen Ungleichungen
605
607
16
Inhalt
3.
4.
Die Weylschen Ungleichungen
Maximal-Minimaleigenschaften von Summen und Produkten
der charakteristischen Wurzeln hermitescher Operatoren
Ungleichungen für charakteristische und singulare Wurzeln von Operatorsummen und -produkten
Eine andere Aufgabenstellung bezüglich des Spektrums von Summen
und Produkten hermitescher Operatoren
5.
6.
Literatur
611
614
621
624
632
' Namen- und Sachverzeichnis
647
*
s