1. Law of Total Probability 2. Exponential LV. 3. Competing

1. Law of Total Probability
2. Exponential LV.
3. Competing Exponential
4. Erlang LV.
5. Insurance problem
6. Example: Shock model
LV.' S
Homework: Kao, E. (1997): Ch. 1, Sec. 3.
Problems: 1 # 4, 7, 8
--'~-
____
C.a
Y\
V\ {-,
~
-&
La.w'
~o-r
r,v
Llov...S,
Q
(
. ...s.
f=~~&tJ!
±-eta£-
........
7
4
eAJ~
'r\'-)
,
k
[PeA)-==-::Z=
tr(A\\3_~)
E?(Bi)
? :::: t
B l' n ~~ ==-;zf 7---\. zt-<j-"_.-
---=--(2
\) £-). ==-
------------------_
. 4g.
=:
~€>C
~hq
7
/7
...
b~
\.v's.
IFf y",,,) ~ r;
----ll'>
X
~
__
Y
._----
'.
rr7=~l x=-x-) TE7't<=~-
'X-
_~(2j,-lE (A)
_______
~(L
=
-u
=R
Cf-).
x
rfCAl K=xg-'--=,('X.)~j~~--2s-r-d
-----------------
+ ~f- x.
_
~2-____
4'>5<0142
X ,,,,
~
nv
nz".
:f:
~dJ
w~-\--t\
c..v"J-,_'- __
M~g~'Je..,
eX)
7
?C ~1)
><
___
p-~~'
'i~~$~-\-i
U)
&
J-
-e.-- :
("'')
r-e:
WI: =t (
h'o ~-9---·---------S)
=
==========-'---""-z::.=---C=!-) "
E ~~~----------
-_.-~--~0
'oJ---=, C~)>c· ·r'to)
-------?-.
________
...---..
1: &__
s-=:-
---,x~.<--~,_Q
.. __ ------I
.5.
~~-\.1~~~~ __~.
'\:
..-------
_
.
Th +LntJ;~ __
..
-------c=J-r--=-f~(L~)~ lt- --'c:) d"L
o
.
e.
.e---~._-----j---i:? )~
_~
_
__
L~)
y-c~;:·)--+-)--
-1.
_
~IL
~
oHbs~Vt..r_
.
._
po
- 'S
e
,r
_____
?-_~--"--'
I':,
_-=-T--'-:L
-
,
\
~'
!~-'>=0
t
~
.-'CZ-{
e
i
~-)---,---\Z~
--------------C~~iJ
±. .--g {.
,Q
-;-u-
It-=
)~'"
~
-
-
VoL<
,.r.,....
---
,----.--..
--.------------'------
~
'(">0
-----'~---
~
~~
-/) 'C 1- e
r-t~"'"eo
e
J~'I--;,-, ----------
~~\
r
•
____
~€(2)-=-
-.
.
.
.
ce+ =
=- ~ -tCt-'L)e..
-e ~(t-)J+
o
(>0
S'4c
--c:
-
,
~
p-c
"")
--
~
E 4--=-~-7
*l:k-<:~e
·
---------------~-f---
w-
ta., ~
)<
-¢
>
x
~-J±
:ilL)~¥
~,,(j.:
\?,
--------------_._-------_.----_._--
IQ
c~wkh._ ~
t
--------~C
---
I
+Lk
.~
(s)
-=
_1_
"S1 H-----------' f1
J2~)
C h.(l_
- (-1\,
--j
-)
__'.'_.
g, '):::
I
7
I)'a::: -:::
(~(
~2)-
.-
8_
b:t-l= 1:-\) . j-
&';=
FL
h
-
f;+ r5
3
-
.
~1- t:~~
~~'
=fE--·---
·------·---i--··-~·-2-~Z)----rz.--·---~l>Vdr
________
<
.\
~
-) ~\ I/
~.
>- 0
'X
.._----------
~
~£(~ ($) ~ C-\~ T~I
_____
)
______
::::::==-.~3
I;Xf~~---;;;r;~=---
r0~
/~
. _
'~CJ
'~
.._--------~~--------'---~--_._---------------
------_._--_._--_.,
r "J -------.----...--------------
\
L
---.----O------~~-~.---
<:
..
-_-------------.----------.---
~,-
-----------,-~.;<,.
_.
._----------_._-------_._---____
.~Yu
.X1
mR*
__________
____
~
. X
AJ
.Brt+j-~K_f_4If~.---
'"
{&~r~}-=------ ._---.._.-.
_-.~
__
--_..._~-~=.~-.~_-----__.---
'rnin
~/!-J-).~------.----
..
--------
---€~.....,-: --------------_
.....
_._
..-,...
_-----------~--=~~L1=:-----f~aL-J4I-~-.------
f( .'Yj ~
____
1>__~~
(~
~---
-
X-:::
nu'h
(K-1;
Kz.l
---------------------_._-----
---
~
~
1- r-\-\~<Kz,
c.
--------.
t~{Q.&z'tMe
O. )
ZL.JtC\
.r
i::I'1
t
!:--t.. Kz...
-e»~{-1
~ v- Ir
lv, 11 f1 C/t
(f .,
---
_
~
l
t2
+4.
..
etI~
r&'~t~
J
£>--_._----
--6-
II
.eCL5<j ~
(<;
+JJ-
~
~(1~1') ~
~t
(iti ~2.-
PIbU
1,,,-,
t:
~ eu-h:
______
r_"',l"Q
J-.&L
0""---
ftCS:+
DCCUX"
IY;'
Vf-f2S'-~-~.
rv
I'"
cJL
.g 'j
-e.v-.
~J<'I-ooetde..J.
ItW',t-
rz,u(...eS
_
L
c!)_c~c._u~(~
g,.J:2.CL-fr=t-fd~2::------------
---------~.
____
k=
&-l-y
~1\{~f)~[e_~
___
Ll
~X
_______
\"/~
.e~
~~(~±__~U~~~~~:~~
__
_
= ~~~,16-7-'"-~~,-------
~x_,
-_/V-Ett~- Jf2!
U~
H~\
~
C
L=-Jf 2\.-,
~
~
7
---.()~----X_r_JL-~-l'-~-'
)-------\Wth
----------
X
e><.p,.......•.
r ~I.r----.
k. \ 7
U->--\-
/V
._-------_. __
------
Il
Ti1i
__
.
~.f1..'~T -= k \f'fflrz, T ~.. -f 1-"-----tillo
J
..
~-~~&~-~r
I
---------1-0-)
~-r-:-to-,~_:e_---------
-----------
__
±k~k\_~_~-{,-~~
~
C
'-:--'"
-(~
~t ----r__
____.--~
i'~
______
v. 1,-.. 0 eCL4> £rd
--~{Z
I
'j
•
_
-
_
•
I
=( 2)
'\......
,
V"l---.
-_·--",._-_·,-=--===
------.----J..- ..-~_s_fu_?---C~-.-..-------------------~-4-4---
-----As.s"-~~j
=
~
-----------_._-------------_
..
____
..---------
,--;=.
.
xA
-t" -_:
t-
X ~ __ .
_-~
.._-_._---_._------_._._--_.
_
-----------------------------
~~__,_t'V_~_(-2~---¥T'-./\.-~.~;_,_
cP____
_
_
7
it
__________
,.11'_
~~c,'-_~_'
~
S\ ~r,> ~~
~_.i..~)
~\~~
A J.
_
-
~1- <X~L
I~"-~ .
'~
()O
::::..
\
~
'-
)l{. \ e.-
.
r,x \
....
'
'\
- \'1 '2. 'X "\
e
J.X2-"
of-
If
___
Lei:
______
trrnlVcLf~
~{{JI
-i--"''OJ ~
ll<
('~!oi +7 ~~~
~(SYO"
(}''iDCJ2kJ
t.L? .
td
e~
Cl2cIoe~S'jw~'';/
~tJ_~s;~$'
o~C--{~~~£e--.ivl'
&
----------y_l
tfsS'U ~,
------
-# ~
j\/ (+-) =
----'~~
CllA
. OdTl'(/CJ.e
cLu'l11
_..-v_f3~(.t~)~
UJ-
Y,' J
c-
~
SiC€-
? ela/t-~) _
Sy-.
_
d{--,
I ~J-------
~ i-------~~-~
@~~-4x
lJ-___
(?k.
4 ..
.•...
- .~
\.l2.S uv"-
A-~G(YK.e-~
__..
~
~Arau~
:x:.~±§.~
____
.~(t_) ~
i'/<Lc.C..ea.M'-~~_.
.--
?'-
r~c.e~
kU
C(YX-OCLJ
a.
. f(>c) =
oJ!
I£on(~
co~~/
~
s
------{(~t'fAp-
-~R:J..
J
~~'of
rLUh
f-.~G-6-
(f(X(i-j
>- x-t6.~
, \"o~
fto
Q"-$)
T-I-
<:eil"'.
_
C£L~-U
-.
rfz·
________
----l~(~X)---
~k
--I
_
GOM'-
{>'Q
1=
._ - $I<;1 f:-r----f-..t"Rf:e- ---------
stJ
7
,
.
_
J§.sJ
- ~J=j.)'Xe-'
Ji;
h'-f1A~-i
i:>
._ ..6- >- ~ ( E__
[$~?J_(
___
_
---------------------
..
_._~
_____
1S
0
c.odw!ron
lis.
----_._---------_
.
,o,?-
f-a.f).
\-lAdb-o..~ ~~
C<C-e1</z
_________.ri~_lli
___
:
"''i~
8
J=-;;;'" i-}_
~tJ ~
,~}(d.lY\Mc:
R~,'
_ \ ~ W1\A,-tL
t-o
s
II
\s, S. Q\rI
Q.
cLwt'c-e{o ~d
~
C\
e.-
(O~-
-k.eS . 1
tL's
vYI~
~
~Jz
f(
a~c~~~~
Assu
dw LL
occ..u..r
P()
f
~ yYL~ el.a rvt Cd ~
G k
K
.
~/koJCs._
o cdu-·r.
VL~
~
tf~
~S
~~
~~·~t-tWLL
c1<)~\fu~,Ovt_
,
Je.\llQ~
Lu+ '\ - ~~ ~
i~{~
~VV'L-
$
0
f--
0
1
•..
4
\Vi
\;V
devcu..
,,>
.~~~t }
1.
wk
~
f-e.Als
2
e.. e-) t...{
~(I {t-')
~
{-;u
IA{
T
1::
{1-
-tt",,-,- t
j
~
s
[PC IA,/K { t )
J :::
- ll--
Bu:tf:' [tJ ::
~~
If
(Lv'
k
{+) ~
1P( IV (4:) ~ k )\ ::
,
~
j~K
:::d-
~~)J _~t
e
J\
41
c\t-::0-
~
-
...
,\\-1
;(
k) ~_::L
~
I
r Ck) -Ct'-I)]