1
課程大綱 OUTLINE
Functions of Several Variables
 Limits and Continuity（極限與連續）
 Partial Derivatives（偏導數）
 Linear Approximations and chain Rule
（線性估計與鏈鎖律)
 Directional Derivatives and The Gradient
Vector（方向導數和梯度）
 Maximum and Minimum Values（極值）

2
Functions of Several Variables
-R3
從 P 點作 yz 平面的垂線交於 D 點，則由 D 點分別作 y 軸、 z 軸的垂線將各交於
B，C 兩點。同樣的，從 P 點作 zx , xy 平面的垂線交於 E, Q 點。這八個點的坐
標 依 次 為 O (0, 0, 0) ， A( a, 0, 0) ， Q (a, b, 0) ， B(0, b, 0) ， D (0, b, c) ， C (0, 0, c) ，
E (a, 0, c) ， P(a, b, c) 。
3
Functions of Several Variables
-R3
在
RSQ 中 ， 由 於
RSQ  90 ， 因 此 由 畢 氏 定 理 知
| QR |2  ( y2  y1 )2  ( x2  x1 )2 | RS |2  | QS |2 。
在 PQR 中， PRS  90o 故
| PQ |2 | QR |2  | PR |2  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 ，
即
| PQ | ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 。
4
Functions of Several Variables
-Rn
n
R
 {( x1 , x2 ,, xn ) | x1 , x2 ,, xn  R}
令
n
在集合 R 上定義兩個運算：
n
(
x
,
x
,

,
x
)
,
(
y
,
y
,

,
y
)

R
, cR
1
2
n
1
2
n
對任意
(1)加法： ( x1 , x2 ,  , xn )  ( y1 , y2 ,  , yn )  ( x1  y1 , x2  y2 ,  , xn  yn )
(2)純量積： c ( x1 , x2 ,, xn )  (cx1 , cx2 ,, cxn )
5
Functions of Several Variables
-Rn
這兩個運算滿足向量空間的七個條件：
(1)加法及純量積具封閉性：
x  ( x1 , x2 ,, xn ) , y  ( y1 , y2 ,, yn )  R n , c  R
 x  y  R n , cx  R n
(2)加法具結合律：
x  ( x1 , x2 ,, xn ) , y  ( y1 , y2 ,, yn ) ,
z  ( z1 , z2 ,, zn )  R n  ( x  y )  z  x  ( y  z )
(3)加法具交換律：
x , y  R n  x  y  y  x
(4)加法具零元素： 0  (0 , 0 ,, 0) 滿足下列條件
n
對任意 x  R , 0  x  x  x  0 。
6
Functions of Several Variables
-Rn
n
x

(
x
,
x
,

,
x
)

R
1
2
n
(5)加法具反元素：對任意
，都有唯一的一
個加法反
元素，以  x 表示，使得 x  ( x)  0  ( x)  x 。
事實上  x  (1) x  ( x1 ,  x2 ,,  xn ) 。
(6) 分配律：
a , b  R x  ( x1 , x2 ,, xn ) , y  ( y1 , y2 ,, yn )  R n
有 (a  b) x  ax  bx 且 a ( x  y )  ax  ay
n
(7)對任意 x  ( x1 , x2 ,, xn )  R 1 R 有 1  x  x
我們稱
Rn
是定義在
R 上的
x  ( x1 , x2 ,, xn ) 稱為向量 (vector)。
n 維向量空間，其上任一個元素
7
Functions of Several Variables
-Rn
1
例題 1 (1) 實數軸是一維空間 R  R  {x | x  R}
2
2
(2) 平 面 是 二 維 空 間 R  {( x , y) | x , y  R} 。 R 上 兩 向 量 的 加 法 ，
3
可藉由畫一平行四邊形獲得其和向量。三維空間 R 也有類似
R 2 的情況。
y
Z
S (a  c , b  d )
bd
C
P(a , b , c)
P ( a, b)
b
R3
R2
d
0
Q (c , d )
a
c
ac
b
x
a
x
( a , b , o)
y
8
Functions of Several Variables
-Rn 長度及相關的等式
n
x

(
x
,
x
,

,
x
)
,
y

(
y
,
y
,

,
y
)

R
1
2
n
1
2
n
設
，則有
(1) x 的長度 (norm of x )：
| x | x12  x22    xn2
。
(2) x 與 y 的點積 (dot product)：
x  y  x1 y1  x2 y2    xn yn
若 x  y  0 則 x 與 y 互相垂直 ( 正交 )。
(3) x 與 y 的距離 (distance)：
|x y|

( x1  y1 ) 2  ( x2  y2 ) 2    ( xn  yn ) 2
n
 ( xi  yi ) 2
i 1
(4) x 與 y 之間的夾角  之餘弦值：
n
x y
cos  

| x| | y|
 xi yi
9
i 1
n
 xi
i 1
2
n
 yi
i 1
2
。
Functions of Several Variables
10.1.3 (1) Cauchy-Schwarz Inequality 柯西-史瓦茲不等式：
The inequality | x  y |  | x || y | holds for any vectors x and y .
n
x

(
x
,
x
,

,
x
)
,
y

(
y
,
y
,

,
y
)

R
1
2
n
1
2
n
即: 若
，則
 n 2  n 2
 xi yi    xi    yi 
i 1
 i 1   i 1 
n
(2)
Triangle Inequality 三角不等式：
The inequality | x  y |  | x |  | y | holds for any vectors x and y .
n
x

(
x
,
x
,

,
x
)
,
y

(
y
,
y
,

,
y
)

R
1
2
n
1
2
n
即: 若
，則
n
 ( xi  yi )
i 1
2

 n 2
  xi  
 i 1 
 n 2
  yi 
 i 1 
10
Functions of Several Variables
- FUNCTIONS OF 2 VARIABLES
A function f of two variables is a rule that assigns to each
ordered pair of real numbers ( x, y ) in a set D a unique real number
denoted by f ( x, y ) . The set D is the domain of f
R( f )  { f ( x, y ) | ( x, y )  D } . The graph of
f
and its range is
is the set of all points
( x, y, z )  R3 such that z  f ( x, y ) for all ( x, y )  D .
11
Functions of Several Variables
- FUNCTIONS OF 2 VARIABLES
例題 2 Find the domain of f ( x, y ) 
1 x  y
and evaluate f ( 4,1)
1 x
1 x  y
f ( x, y ) 
有意義
1 x
y
x 1
1
1
 分母 1  x  0 及根號內不可負數 1  x  y  0
x
D( f )
x  y 1
 x 1 及 1 x  y 。
1 x  y
的定義域
1 x
因此 D( f )  {( x , y ) | x  1 且 1  x  y} ，它代表平面上所有在直線 x  y  1 左
f ( x , y) 
下方且 x  1 的點所成的集合。
f (4 , 1) 表示 x  4 , y  1 時的值，
f (4 , 1) 
1  (4)  1
4
2


1  (4)
5
5 。
這是一個多對一函數，因為直線 x  y  1 上每一點都映到 0。
12
Functions of Several Variables
- FUNCTIONS OF 2 VARIABLES
例題 3 Find the domain and range and sketch the graph of
(2) g ( x, y ) 
(1) f ( x, y )  12  3x  4 y
(1)
9  x2  y 2
定義域 D( f )  R 2 (因為 x, y 不受任何限制)。
值域 R( f )  {12  3x  4 y | x, y  R }  R 。
z  f ( x, y ) 的 圖 形 是 含 3x  z  12, 3x  4 y  12 及 4 y  z  12 這 三 條 直
z
線的平面。
12
4 y  z  12
3 x  z  12
y
3
13
4
x
3 x  4 y  12
Functions of Several Variables
- FUNCTIONS OF 2 VARIABLES
例題 3 Find the domain and range and sketch the graph of
(1) f ( x, y )  12  3x  4 y
(2) g ( x, y ) 
9  x2  y 2
(2) 定義域 D( g )  { ( x, y) | 9  x 2  y 2  0 }  { ( x, y) | x 2  y 2  9 } 是一個半徑為 3
的圓盤。值域
R( g )  { z | z 
z
9  x 2  y 2 , ( x, y )  D( g )}  {z | 0  z  3}  [0,3]
9  x 2  y 2 的圖形為一半徑等於 3 的上半球體。
14
Functions of Several Variables
- LEVEL CURVES 等值線
The level curves of a function f of two variables are the curves with
equations f ( x, y )  c, where c  R( f ) .
一般而言， z  f ( x, y ) 的 定 義 域 是 xy 平 面 上 的 一 個 平 面 區 域 ， 其 內 每 一 點
( x, y ) 都對應到一個確定的值 z  f ( x, y ) ，這些點 ( x, y, z ) 所成的集合就是函數
f 的圖形，它是 R 3 空間中的一個曲面。
Z
P
曲面
y
15
( x , y)
x
D ( f )  xy 平面
Functions of Several Variables
- LEVEL CURVES 等值線
例題 4 Sketch the level curves and the graph of the function.
(2) f ( x, y ) 
(1) f ( x, y )  x 2  4 y 2
x2  y 2
(3) f ( x, y )  y 2  x 2
(1) f 的值域為 [0, ) ， f ( x, y )  x 2  4 y 2 的等值線
x 2  4 y 2  c ( 0) 為一橢圓。
2
2
z

y

c
或
z  x  4 y 的圖形與平面 x  c 或 y  c 的交集均為一拋物線
2
2
z  c 2  x 2 ，所以 z  x2  4 y 2 的圖形是一個橢圓拋物面。
z
z  c  x 2  4 y 2 ( 橢圓 )
1
2
c 1
c4
1
2
c
曲面 z  x 2  4 y 2
x  0 且 z  4y
0
輪廓圖 ( 同心橢圓 )
x
16
2
y
Functions of Several Variables
- LEVEL CURVES 等值線
例題 4 Sketch the level curves and the graph of the function.
(1) f ( x, y )  x 2  4 y 2
(2) f ( x, y ) 
(2) f 的值域為 [0, ) ， f ( x, y ) 
x2  y 2
x 2  y 2 的等值線
x 2  y 2  c ( 0) or x 2  y 2  c 2
的倒立圓錐。
(3) f ( x, y )  y 2  x 2
為 一 圓 的 圖形 是 一個 以 原點為 頂 點
z
輪廓圖 ( 同心圓 )
z  x2  y2
y
c 1
c2
c3
x
17
Functions of Several Variables
- LEVEL CURVES 等值線
例題 4 Sketch the level curves and the graph of the function.
(1) f ( x, y )  x 2  4 y 2
(2) f ( x, y ) 
x2  y 2
(3) f ( x, y )  y 2  x 2
y  x
(3) f 的值域為 R ， f ( x, y )  y 2  x 2 的等值線
y
c  1
c  2
c  3
y 2  x 2  c 為雙曲線或二直線:
2
2
 c0 y x  c

2
2
 c0 y x  0

 c  0 x 2  y 2  c
y2  x2  c  0
yx
x
以 (0 ,  c ) 為頂點的雙曲線
兩條斜率分別是  1 且過原點的直線
z
z  y 2 ( x  0)
以 (  c , 0) 為頂點的雙曲線
z  y 2  x 2 的圖形是一個雙曲拋物面。
y
x
18
z   x 2 ( y  0)
z  y2  x2
LIMITS
AND
CONTINUITY 極限與連續
- LIMIT
Definition
Let f be a function of two variables whose domain D includes points
arbitrarily
close
to
( a, b) .
Then
we
say
of f ( x, y ) as ( x, y ) approaches (a, b) is L , and we write
that
lim
( x , y )( a ,b )
the
limit
f ( x, y)  L
If for every   0 there is a corresponding number   0 such that :
if ( x, y )  D and 0 
( x  a ) 2  ( y  b) 2   then | f ( x, y )  L | 
19
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
AND
- LIMIT
例題 1 Find the limit, if it exists.
x2 y
(1)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 4  y 2
(2)
x2 y
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2  y2
(3)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2 y
(1) 令 f ( x, y )  4
，則 f 的定義域 D( f )  R 2 \ {( 0, 0)} 。
2
x y
若點 ( x, y ) 沿著直線 x  my (m  0) 的路徑趨近 (0, 0) ，則
m2 y3
m2 y
0
f ( x, y )  f (my , y )  4 4





0
2
4 2
y 0
0 1
m y y
m y 1
若點 ( x, y ) 沿著拋物線 y  x 2 的路徑趨近 (0, 0) ，則
x2  x2
x4
1
f ( x, y)  f ( x, x )  4


2
x  x4
2x4
2
由此可知，沿不同路徑趨近 (0, 0) ，得到不同的極限值，
故
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x2 y
x4  y 2
不存在。
20
LIMITS
AND
CONTINUITY 極限與連續
- LIMIT
例題 1 Find the limit, if it exists.
x2 y
(1)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 4  y 2
(2)令
(2)
x2 y
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2  y2
(3)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2 y
f ( x, y )  2
。 若 點 ( x, y ) 分 別 沿 著 直 線 y  mx (m  0) 和 y  x 2
2
x y
的路徑趨近 (0, 0) ，則
mx3
mx
f ( x, y )  f ( x, mx)  2


0
(m  1) x 2 m 2  1 x 0
x4
x2
f ( x, y )  f ( x, x )  2
 2

0
x 0
2
( x  1) x
x 1
2
21
LIMITS
AND
CONTINUITY 極限與連續
- LIMIT
例題 1 Find the limit, if it exists.
x2 y
(1)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 4  y 2
x2 y
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
(2)
x2  y2
(3)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
雖然二者所得之極限一致，但還不能確定，但仍須用    來證明：
給定   0 ，欲求   0 使得若 0 
但
x  y   ，則
2
2
x2 y
0  。
x2  y2
x2 y
x2 | y |
  2

x2  y 2
x  y2
又 x 2  x 2  y 2 ，所以
x2 | y |
 | y |  x2  y2
2
2
x y
因此可取     0 ，則若 0 
x  y   時，有
2
2
x2 y
x2  y2
  ，亦即
lim
( x , y )( 0, 0 )
x2 y
 0。
x2  y2
22
LIMITS
AND
CONTINUITY 極限與連續
- LIMIT
例題 1 Find the limit, if it exists.
x2 y
(1)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 4  y 2
(3)
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
(2)
x2 y
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2  y2
(3)
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
x2  y2
不存在。因為
x2  y 2
當點 ( x, y ) 沿著 y  x 的路徑趨近 (0, 0) 時，
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x2  y2
x2  x2
 lim
0
x 2  y 2 ( x , x ) ( 0 , 0 ) x 2  x 2
當點 ( x, y ) 沿著 y  2 x 的路徑趨近 (0, 0) 時，
x2  y2
x2  4x2
 3x 2
3
lim

lim

lim


0
( x , y )( 0,0 ) x 2  y 2
( x , x )( 0, 0 ) x 2  4 x 2
x0 5 x 2
5
x y
不存在。
( x , y )( 0,0 ) x 2  y 2
2
所以
lim
2
23
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
AND
- THEOREM
Let f and g be functions of two variables and
lim
( x , y ) ( a ,b )
f ( x, y )  L1 ,
lim
( x , y ) ( a ,b )
g ( x, y )  L2
Then
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
lim
[ f ( x, y )  g ( x, y )]  L1  L2
lim
kf ( x, y )  kL1 (k  R)
lim
f ( x, y )  g ( x, y )  L1 L2
lim
f ( x, y )
L
 1
g ( x, y )
L2
( x, y ) ( a,b)
( x , y )  ( a ,b )
( x , y )  ( a ,b )
( x , y ) ( a ,b )
lim
m
n
( where L2  0 )
m
n
m
n
[ f ( x, y )]  L1 (m, n  Z , L1  R)
( x , y ) ( a , b )
24
LIMITS
AND
CONTINUITY 極限與連續
- THEOREM
例題 2 Find the limits.
x2  4
(1)
lim
( x , y )( 0, 0 ) 2  xy
x3  y3
(2) lim
( x , y )( 0, 0 ) x  y
x2  4 0  4
(1) 利用 (4) 可得 lim

 2
( x , y )( 0, 0 ) 2  xy
20
(2)
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x3  y 3
( x  y )( x 2  xy  y 2 )
 lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x y
x y

lim
( x , y )( 0, 0 )
( x 2  xy  y 2 )  0  0  0  0
25
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
Definition
A function
lim
( x , y )( a ,b )
f
of two variables is called continuous at
(a, b)
if
f ( x, y)  f (a, b) . We say f is continuous if f is continuous at
every point in its domain.
設 f 是一個定義在以 ( a, b) 為圓心的某一圓盤上的二變數函數。若
f
滿足
下列條件：
(1) f 在點 ( a, b) 上有定義
(2)
(3)
lim
f ( x, y ) 存在，且
lim
f ( x, y )  f ( a , b )
( x , y )  ( a ,b )
( x , y )  ( a ,b )
則說 f 在點 ( a, b) 處連續。
26
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
Theorem
If f ( x, y ) and g ( x, y ) are continuous at ( a, b) , then so are
f g, f g, f g ,
f
(where g (a, b)  0 ).
g
If z  f ( x, y ) and w  g (z ) are continuous, then their composite function
w  g ( z )  g ( f ( x, y )) is continuous。
27
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
例題 3 The following are continuous functions.
(a) 二變數多項式，例如： p( x, y)  x 4  x 3  5x 2 y  2 xy  y  x  9
x 2  xy  y 2
(b) 二變數有理式，例如： q( x, y ) 
4x  y3
(c) e q ( x , y ) ，其中 q ( x, y ) 是二變數有理式。
(d) cos q( x, y ) ，其中 q ( x, y ) 是二變數有理式。
(e) ln | p ( x, y ) | ，其中 p( x, y ) 是二變數多項式，函數在 p( x, y )  0 處連續。
28
LIMITS
例題 4
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
x2 y
Determine the value f (0, 0) , such that f ( x, y )  2
x  y2
is
continuous at (0, 0) .
由例題 1(2) 知
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x2  y
 0 ，故只要定義 f (0, 0)  0 則 f
2
2
x y
在 (0, 0) 連
續。
29
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
x2  y 2
例題 5 (1) Where is the function f ( x, y)  2 2 continuous?
x y
(2)
Let
x2  y 2
f ( x, y)  2
x  y2
if ( x, y)  (0,0) and f (0,0)  0 is
f
continuous?
(1) f 是有理式所以在其定義域上均連續，即在
D( f )  {( x, y ) | ( x, y )  (0, 0) } 上均連續。
(2) 因為
lim
( x , y )(0,0)
f ( x, y) 不存在，所以 f 在 (0, 0) 不連續。
30
LIMITS
CONTINUITY 極限與連續
- CONTINUITY連 續
AND
例題 6 Where is the function f continuous?
3x 2 y
f ( x, y)  2
if ( x, y)  (0,0) and f (0,0)  0
2
x y
f 是有理式所以在其定義域上均連續，又
3x 2 y
lim
 0  f (0,0)
( x , y )(0,0) x 2  y 2
所以 f 在 R2 上均連續。
31
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
Definition
If
f is a function of two variables, its partial derivatives are the
functions f x and f y defined by
f x ( x, y )  lim
h 0
f y ( x, y )  lim
h 0
f ( x  h, y )  f ( x, y )
h
f ( x, y  h )  f ( x, y )
h
符號: f x ( x, y ) 又記做
f
f
或 D x f 。 f y ( x, y ) 又記做
或 Dy f 。
x
y
32
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 1 Find partial derivatives.
(1) f ( x, y)  x3  xy , find f x (1, 1) and f y (1, 1) .
(2) f ( x, y)  x 2 y  sin xy , find f x ( x, y ) and f y ( x, y ) .
(3) f ( x, y)  x y ，find f x (2, 3), f y (2, 3)
33
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 1 Find partial derivatives.
(1)
f ( x, y)  x 3  xy , find
(1)
若視 x ( 或 y ) 為常數，則 f 是多項式函數，可直接求導數
f x (1, 1) and f y (1, 1) .
f x ( x, y )  3x 2  y , 故 f x (1, 1)  3 1  1  4
f y ( x, y )  0  x  x ，故 f y (1, 1)  1
若用定義，則有
f x ( x, y )  lim
h 0
f ( x  h, y )  f ( x , y )
h
f y ( x, y )  lim
h 0
f ( x, y  h )  f ( x, y )
h
[( x  h) 3  ( x  h) y ]  [ x 3  xy]
 lim
h 0
h
[ x 3  x ( h  y )]  [ x 3  xy]
 lim
h0
h
3hx 2  3h 2 x  h 3  hy
 lim
h 0
h
 lim
 lim (3x 2  3hx  h 2  y )  3 x 2  y
h 0
h0
xh
x
h
34
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 1 Find partial derivatives.
(2)
f ( x, y)  x 2 y  sin xy , find
(3)
f ( x, y )  x y ，find
f x ( x, y ) and f y ( x, y ) .
f x (2, 3), f y (2, 3)
(2) f ( x, y)  x 2 y  sin xy ，
視 y 為常數，則有
f x ( x, y )  2 xy  y cos xy ，
視 x 為常數，則有 f y ( x, y)  x 2  x cos xy 。
(3) f ( x, y)  x y ，
視 y 為常數，則有 f x ( x, y)  yx y 1 ，
視 x 為常數，則有 f y ( x, y )  x y ln x (因為
d x
a  a x ln a)
dx
因此 f x (2, 3)  3  22  12, f y (2, 3)  23 ln 2  8 ln 2
35
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 2 在熱力學中，已知壓力 P 體積 V，溫度 T 之間滿足 PV  kT ( 其中
k 是常數 )，試證
P V T


 1 。
V T P
由 PV  kT 知 P  kTV 1 , V  kTP1 , T 
1
PV ，因此
k
P
 kT V
k T 1
 kTV 2  2 ,
 kP 1  ,
 V
V
V
T
P P k
故
P V T  kT k V  kT


 2   
 1
V T P
V
P k
PV
( 而非 1 )
36
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 3
 x 
 f
 f
and
.
If f ( x, y )  sin 
,
calculate


x

y
 1 y 
利用 Chain Rule
 x  1
 x    x 
f
cos


 cos 





x
 1 y  1 y
 1  y  x  1  y 
 x 
 x    x 
x
f

cos



 cos 





2
y

1
y

1
y

y

1
y
 (1  y )





37
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DERIVATIVES
例題 4 Find
z
z
and
x
y
if z is defined implicitly as x3  y 3  z 3  6 xyz  1 .
對變數 x 微分，此時視 y 為常數，但 z 是 x 的函數:
3x 2  0  3z 2 
所以
z
z
 6 yz  6 xy   0
x
x
z
x 2  2 yz
。
 2
x
z  2 xy
類似地，對變數 y 微分，此時視 x 為常數，但 z 是 y 的函數
0  3 y 2  3z 2 
z
z
 6 xz  6 xy 
0
y
y
38
所以
z
y  2 xz
 2
。
y
z  2 xy
2
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- INTERPRETATIONS OF PARTIAL
Recall
that
the
equation
DERIVATIVES
z  f ( x, y ) represents
a
surface
S.
If
f ( x0 , y0 )  z0 , then the point P( x0 , y0 , z0 ) lies on S. By fixing y  y0 , we
are restricting our attention to the curve C1 in which the vertical plane
y  y0 intersects S. C1 is the graph of of g ( x)  f ( x, y0 ) , so the slope of
its tangent T at P is g ( x0 )  f x ( x0 , y0 ) .
T 的斜率是 f x ( x 0 , y 0 )
z
z
T  的斜率是 f y ( x0 , y0 )
y  y0
P
S
P
x  x0
y
x
( x 0 , y 0 , 0)
S 與 y  y 0 的截痕曲線
(a )
y
x
S 與 x  x0 的截痕曲線
( x0 , y0 , 0)
( b)
39
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- INTERPRETATIONS OF PARTIAL
DERIVATIVES
例題 5Let f ( x, y )  9  x 2  y 2 . Find the equations of the tangent lines at
P(2,1, 4) to the traces (1) C1 : S intersects the plane y  1 , (2) C2 : S intersects
the plane x  2 .
(1) f x ( x, y )  2 x ，所以在 P 點的切線斜率為 f x (2, 1)  4 。故在平面 y  1 上，
過 P(2, 1, 4) 的切線方程式為
y 1



 y 1
或 



 z  4  4( x  2)
 z  4 x  12
(2) f y ( x, y)  2 y ，所以 f y (2, 1)  2 。故在平面 x  2 上過 P(2, 1, 4) 的切線
方程式為
x2
x2


或


 z  4  2( y  1)
 z  2 y  6
40
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- HIGHER DERIVATIVES高階偏導數
If f is a function of two variables, then its partial derivatives f x , f y are also
functions of two variables, so we can consider their partial derivatives
( f x ) x , ( f x ) y , ( f y ) x and ( f y ) y , which are called the second derivatives of f .
(1) 一階偏導數 f x ( x, y ) 
f
x
及 f y ( x, y ) 
f
。
y
(2) 二階偏導數

 f x  f
2 f
 ( f x ) x  f xx   x  x ( x )  x 2


 fx
 f
2 f
 ( )
 ( f x ) y  f xy 
 y y x
yx


2
( f )  f   f y   ( f )   f
yx
 y x
 x x y
xy

 fy
 f
2 f

 ( f y ) y  f yy   y  y ( y )  y 2

41
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- HIGHER DERIVATIVES高階偏導數
If f is a function of two variables, then its partial derivatives f x , f y are also
functions of two variables, so we can consider their partial derivatives
( f x ) x , ( f x ) y , ( f y ) x and ( f y ) y , which are called the second derivatives of f .
(3) n  3 偏導數亦如此定義，如：
f xxx ( x, y ) 
f xyy ( x, y ) 
f yyx ( x, y ) 
f xy
f xx
f
, f xxy ( x, y )  xx , f xyx ( x, y ) 
,
x
y
x
f xy
y
f yy
x
, f yxx ( x, y ) 
, f yyy ( x, y ) 
f yx
x
, f yxy ( x, y ) 
f yx
y
,
f yy
y
42
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- HIGHER DERIVATIVES高階偏導數
例題 6 Find the second derivatives of f ( x, y)  xy3  e xy .
由 f x ( x, y)  y 3  ye xy , f y ( x, y)  3xy2  xexy 可得
f xx ( x, y )  y 2 e xy , f yx ( x, y )  3 y 2  e xy  xye xy
f xy ( x, y )  3 y 2  e xy  xye xy , f yy ( x, y )  6 xy  x 2 e xy
43
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- HIGHER DERIVATIVES高階偏導數
Clairaut’s Theorem
Suppose f is defined on a disk D that contains the point (a, b) . If the
functions f xy and f yx are both continuous on D, then
f xy (a, b)  f yx (a, b) .
44
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- HIGHER DERIVATIVES高階偏導數
例題 7 Calculate f x x y z if f ( x, y, z )  sin(3x  yz ) .
f x  3 cos(3x  yz )
f x x   9sin(3x  yz )
f x x y   9 z cos(3x  yz )
f x x y z   9 cos(3x  yz )  9 zy sin(3x  yz )
45
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Partial derivatives occur in partial differential equations that express certain
physical laws. For instance, the partial differential equation
2 u 2 u

0
2
2
x y
Is called Laplace’s equation after Pierre Laplace(1749-1827). Solutions of
this equation are called harmonic functions; they play a role in problems of
heat conduction, fluid flow, and electric potential.
46
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
例題 9 Show that u ( x, t )  sin( x  at ) satisfies the wave equation
2
2 u
2  u
a
 t2
 x2
ux  cos( x  at ) , ut   a cos( x  at )
ux x   sin( x  at ) , ut t   a2 sin( x  at )  a2ux x
因此 u 滿足 wave 方程。
47
PARTIAL DERIVATIVES偏導數
- PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
例題 8 Show that the function u( x, y)  e x sin y is a solution of Laplace’s
equation.
ux  ex sin y , u y  e x cos y
ux x  ex sin y , u y y   ex sin y
所以 ux x  u y y  e x sin y  e x sin y  0
即 u 滿足 Laplace 方程。
48
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- TANGENT PLANES 切平面
Suppose a surface S has equation
z  f ( x, y ) , where
f
has
continuous first partial derivatives, and let P ( x0 , y0 , z0 ) be a point on S.
As in the preceding section, let C1 , C2 be the curves obtained by
intersecting the planes y  y0 and x  x0 with the surface S. let T , T  be
the tangent lines to the curves C1 , C2 at the point P. Then the tangent
plane at P is the plane that contains both tangent lines T , T  .
49
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- TANGENT PLANES 切平面
切平面方程式
Suppose
f
has continuous partial derivatives. An equation of the
tangent plane to the surface z  f ( x, y ) at the point P ( x0 , y0 , z0 ) is
z  zo  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .
50
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- TANGENT PLANES 切平面
例題 1 Find the tangent plane to the elliptic paraboloid z  2 x2  y 2 at the
point (1,1,3)
令 f ( x, y )  2 x 2  y 2 則
f x ( x, y )  4 x , f y ( x, y )  2 y ，因此
f x (1,1)  4 , f y (1,1)  2 。 切平面方程式為
z  3  4( x  1)  2( y  1) 或 z  4 x  2 y  3 。
另外，曲面在 P 點的法線參數方程式為
 x  x0  tf x ( x0 , y0 )


 y  y0  tf y ( x0 , y0 ) (t  R)


 z  z0  t
51
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
The tangent plane to the surface z  f ( x, y ) at the point P ( x0 , y0 , z0 ) is
z  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 )  zo .
We call the linear function of two variables
L( x, y)  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 )  f ( xo , y0 )
The linearization of f at ( x0 , y0 ) and the approximation
f ( x, y)  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 )  zo
Is called the linear approximation( 線 性 估 計 ) or tangent plane
approximation of f at ( x0 , y0 ) .
52
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Definition:
A function z  f ( x, y ) is differentiable( 可 微 分 ) at ( x0 , y0 ) if
f x ( x0 , y0 )
and f y ( x0 , y0 ) exist and the total increment  z can be expressed in the
form
 z  f x ( x0 , y0 ) x  f y ( x0 , y0 ) y  1 x   2  y
where 1 
 0,  2 
0 .
( x , y )(0,0)
( x , y )(0,0)
We call
domain.
f differentiable if it is differentiable at every point in its
53
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Theorem: The sufficient condition for differentiability
If the partial derivatives
f x and
fy
exist near
( x0 , y0 )
and are
continuous at ( x0 , y0 ) , then f is differentiable at ( x0 , y0 ) .
其中
lim
(Δ x , Δ y ) ( 0 , 0 )
1  0,
lim
(Δ x , Δ y ) ( 0 , 0 )
2  0 。
Δ z  f ( x0  Δ x, y0  Δ y )  f ( x0 , y0 )
 [ f ( x0  Δ x, y0  Δ y )  f ( x0 , y0  Δ y )]  [ f ( x0 , y0  Δ y )  f ( x0 , y0 )] ，
其中 ( x 0  Δ x, y 0  Δ y ) 在 D 中。
令 g ( x )  f ( x, y 0  y ), h( y )  f ( x0 , y )
54
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Theorem: The sufficient condition for differentiability
If the partial derivatives
f x and
fy
exist near
( x0 , y0 )
and are
continuous at ( x0 , y0 ) , then f is differentiable at ( x0 , y0 ) .
令 g ( x )  f ( x, y 0  y ), h( y )  f ( x0 , y )
則 g， h 為連續函數，且
g ( x)  f x ( x, y0  Δ y ) h( y)  f y ( x0 , y)
利用均值定理得
g ( x0  Δx)  g ( x0 )
Δx
h( y0  Δy )  h( y0 )
 t  ( y0 , y0  Δy )  h(t )  f y ( x0 , t ) 
Δy
 s  ( x0 , x0  Δx)  g ( s )  f x ( s, y0  Δy ) 
55
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Theorem: The sufficient condition for differentiability
If the partial derivatives
f x and
fy
exist near
( x0 , y0 )
and are
continuous at ( x0 , y0 ) , then f is differentiable at ( x0 , y0 ) .
故 Δ z  [ g ( x0  Δ x)  g ( x0 )]  [h( y0  Δ y )  h( y0 )]
 f x ( s, y0  Δ y) Δ x  f y ( x0 , t ) Δ y
1  f x (s, y0  Δy)  f x ( x0 , y0 ) ,
令
 2  f y ( x0 , t )  f y ( x0 , y0 )
則
z  [ f x ( x0 , y0 )  1 ] x  [ f y ( x0 , y0 )   2 ] y
 f x ( x0 , y0 ) Δ x  f y ( x0 , y0 ) Δ y  1 Δ x   2 Δ y
56
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Theorem: The sufficient condition for differentiability
If the partial derivatives
f x and
fy
exist near
( x0 , y0 )
and are
continuous at ( x0 , y0 ) , then f is differentiable at ( x0 , y0 ) .
因為
fx, fy
在
( x0 , y0 )
上均連續，所以當
Δ x  0, Δ y  0
時，
s  x0 , t  y0 ，故 1  0,  2  0 。
57
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
Theorem: The sufficient condition for differentiability
If the partial derivatives
f x and
fy
exist near
( x0 , y0 )
and are
continuous at ( x0 , y0 ) , then f is differentiable at ( x0 , y0 ) .
由此可知二變數函數 z  f ( x, y ) 的
(1)全微分： dz  f x ( x0 , y0 ) dx  f y ( x0 , y0 ) dy (若 f x ( x0 , y0 ) 及 f y ( x0 , y0 ) 存在 )。
(2) f 在點 ( x0 , y0 ) 的全增量：
Δ z  f ( x0  Δ x, y0  Δ y )  f ( x0 , y0 )
 f x ( x0 , y0 ) Δ x  f y ( x0 , y0 ) Δ y  1 Δ x   2 Δ y
 dz  1 Δ x   2 Δ y
其中 dx  Δ x  x  x0 , dy  Δ y  y  y0 ，且當
(Δ x, Δ y )  (0, 0) 時， 1  0,  2  0
58
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
例 題 2 Show that f ( x, y)  x e x y is differentiable at (1, 0) and find its
linearization there. Then use it to approximate f (1.1 ,  0.1) .
f
的偏微分為 f x ( x, y )  e x y  xy e x y , f y ( x, y )  x e x y
2
故 f x (1, 0)  1 , f y (1, 0)  1 且 f x 與 f y 都是連續函數，由定理知 f 在 (1, 0) 處可
微分。線性估計函數為
L( x, y )  f (1, 0)  f x (1, 0)( x  1)  f y (1, 0)( y  0)
 1  1( x  1)  1( y  0)  x  y
意即 x e x y  x  y
故 f (1.1 ,  0.1)  1.1  (0.1)  1 。
事實上， f (1.1,  0.1)  1.1 e0.1  0.98542 非常接近 1。
59
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
例題 3 Let z  f ( x, y)  x 2  3xy  y 2 .
(1) Find the total differential d z .
(2) If x changes from 2 to 2.05 and y changes from 3 to 2.96, compare
the values of  z and d z .
(1) 由定義知 d z 
z
z
dx 
dy  (2 x  3 y ) dx  (3x  2 y ) dy
x
y
(2) 以 x  2, y  3, dx  x  0.05, dy  y  0.04 代入上式得全微分
d z  (2 x  3 y ) dx  (3x  2 y ) dy  (4  9)0.05  (6  6)(0.04)  0.65
 z  f (2.05 , 2.96)  f (2,3)
又全增量
 [(2.05)2  3(2.05)(2.96)  (2.96) 2 ]  [22  3(2)(3)  32 ]
 0.6449
60
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
例題 4 The dimensions of a rectangular box are measured to be 75 cm, 60
cm, and 40 cm, and each measurement is correct to within 0.2 cm. Use total
differential to estimate the largest possible error when the volume of the box
is calculated from these measurements.
長方體的體積 V  xyz 所以
dV 
V
V
V
dx 
dy 
dz  yz dx  xz dy  xy dz
x
y
z
現在 x  75, y  60, z  40, | x | 0.2, | y | 0.2,| z | 0.2
61
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- LINEAR APPROXIMATION 線性估計
例題 4 The dimensions of a rectangular box are measured to be 75 cm, 60
cm, and 40 cm, and each measurement is correct to within 0.2 cm. Use total
differential to estimate the largest possible error when the volume of the box
is calculated from these measurements.
為了求最大誤差，令 dx  dy  dz  0.2 ，因此
 V  d V  (60)(40)(0.2)  (75)(40)(0.2)  (75)(60)(0.2)  1980
換言之，即使每邊長的誤差只有 0.2 公分，卻可能導致體積的誤差達 1980
立方公分。這個數字看起來很大但實際上它只占盒子體積的
1980
1%。
75  60  40
62
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 1)
Suppose that z  f ( x, y) is a differentiable function of x and y ,
where x  x(t ) and y  y(t ) are both differentiable functions of t .
Then z is a differentiable function of t and d z   f  d x   f  d y .
dt x dt y dt
因為 x, y 均為 t 的可微分函數，故當 t  0 時，
x  x (t  t )  x (t )  0 且 y  y (t  t )  y (t )  0 。
因為 z  f ( x, y ) 有連續偏導數 f x 與 f y ，故
z 
f
f
 x 
 y   1x   2  y
x
y
且當 (Δ x, Δ y )  (0, 0) 時  1 ,  2  0 。
z f x f y
x
y




 1 
 2 
因此當 t  0 時，有
t x t y t
t
t
63
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 1)
所以
z  f ( x, y )
 f x f y
dz
z
x
y 
 lim
 lim  


 1 
 2 

dt t 0 t t 0 x t y t
t
t 
f
Δ x f
Δy
Δx
Δy

 lim

 lim
 lim 1
 lim  2
x Δ t 0 Δ t
y Δ t 0 Δ t Δ t 0 Δ t Δ t 0 Δ t
f
y
f
x
x  x(t )
f dx f dy
dx
dy




 0
 0
x dt
y dt
dt
dt
y  y (t )
dy
dt
dx
dt
t
因當 t  0 時 x  0, y  0 ，故  1  0,  2  0 。
因此
dz f dx f dy



 。
dt x dt y dt
64
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 1)
例題 5 Find
dz
dt
(1) z  x2 y  y 2 , where x  x(t )  sin t , y  y(t )  et
(2) z  f ( x, y )  ln( x  y 2 ), where x  x(t )  1  t , y  y (t )  e 2t
(1)
dz
z dx z dy




dt
x dt
y dt
 2 xy  cos t  ( x 2  2 y )  et
 2 sin t  et cos t  (sin 2 t  2et ) et
 [ 2 sin t cos t  sin 2 t  2et ] et
另外，也可先將 z 表為單變數函數，再求導數。
z  x 2 y  y 2  sin 2 t  et  e 2t
dz
d sin 2 t t
det
de2t
2

 e  sin t 

dt
dt
dt
dt
65
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 1)
例題 5 Find
dz
dt
(1) z  x2 y  y 2 , where x  x(t )  sin t , y  y(t )  et
(2) z  f ( x, y )  ln( x  y 2 ), where x  x(t )  1  t , y  y (t )  e 2t
(2) z  ln( x  y 2 )
故
z
1
z
2y

,

x
x  y 2 y
x  y2
dx
1
dy

,
 2e2t
dt
dt
2 1 t
dz
z dx z dy




dt
x dt
y dt
因 x  1  t , y  e 2t ，故
所以

1
1
2y


 2e 2 t
2
2
x  y 2 1 t
x y
 1  8e 4t 1  t

2( 1  t  e 4 t ) 1  t
66
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 2)
Suppose that z  f ( x, y) is a differentiable function of x and
y , where x  x(s, t ) and y  y(s, t ) are both differentiable functions of
s and t . Then
z z x z y
z z x z y




and




.
s x s y s
t  x t  y t
67
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 2)
例題 6 If z  e x sin y , where x  st 2 and y  s 2t , find
z
z
and
.
s
t
z z x z y
     (e x sin y)(t 2 )  (e x cos y)(2st )
s x s y s
 es t [ t 2 sin (s 2t )  2st cos (s 2t )]
2
z z x z y
     (e x sin y )(2st )  (e x cos y )( s 2 )
t x t y t
 e s t [2st sin ( s 2t )  s 2 cos ( s 2t )]
2
68
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 2)
Suppose that z  f ( x, y) is a differentiable function of x and
y , where x  x(s, t ) and y  y(s, t ) are both differentiable functions of
s and t . Then
z z x z y
z z x z y




and




.
s x s y s
t  x t  y t
69
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 2)
例題 6 If z  e x sin y , where x  st 2 and y  s 2t , find
z
z
and
.
s
t
z z x z y
     (e x sin y)(t 2 )  (e x cos y)(2st )
s x s y s
e
s t2
[ t 2 sin (s 2t )  2st cos (s 2t )]
z z x z y
     (e x sin y )(2st )  (e x cos y )( s 2 )
t x t y t
e
s t2
[2st sin ( s 2t )  s 2 cos ( s 2t )]
70
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- THE CHAIN RULE 鏈鎖律(CASE 2)
w w
例 題 7 Let w  xy  yz  zx, where x  r cos t , y  r sin t , z  t , find
,
r
t
when r  1, t  2 .
w w x w y w z






r
x r y r z r
 ( y  z ) cos t  ( x  z ) sin t  ( x  y )  0
w
w x w y
w z






t
x t
y t
z t
 ( y  z )(r sin t )  ( x  z )(r cos t )  ( x  y )  1
當 r  1, t  2 時 x  1, y  0, z  2
故
w
r
 ( y  z ) cos t  ( x  z ) sin t  2
(1, 2 )
w
 ( y  z )(r sin t )  ( x  z )r cos t  ( x  y )  2  2
t (1, 2 )
71
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
Suppose an equation of the form F ( x, y)  0 defines y implicitly as
a differentiable function of x , that is, y  f ( x) , where F ( x, f ( x))  0
for
all
x  D( f ) .
If
F
is
differentiable
and
F
0 ,
y
then
F
F
dy
  x   x .
F
dx
Fy
y
72
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
Suppose that z is given implicitely as a function z  f ( x, y) by an
equation of the form F ( x, y, z)  0 . If F and f
are differentiable, then
we have
F x F y F z
 
 

0
x x y x z x
But
x
y
 1 and
0
x
x
So this equation becomes
If
F F z


0
x z x
F
z
F
 x .
 0 , we have
x
Fz
z
Similarly, we have
z
.

y
Fz
Fy
73
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
例題 8 Find
z
z
and
x
y
if
x3  y 3  z 3  6 xyz  1 .
3
3
3
令 F ( x, y, z )  x  y  z  6 xyz  1 ，則
Fx
z
3x 2  6 yz
x 2  2 yz
  2
 2
x
Fz
3z  6 xy
z  2 xy
Fy
z
3 y 2  6 xz
y 2  2 xz
  2
 2
y
Fz
3z  6 xy
z  2 xy
74
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
**單變數與多變數函數性質的對照
單變數函數：
f (a) 存在
lim f ( x) 存在
x a
f : 單變數函數
f 在 a 點連續
f 在 a 點可微
75
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
 x 2 , x  0
反例 1： y  f ( x)  
 1 , x  0
則
lim f ( x)  lim x 2  0  lim x 2 ， 故
x 0
x 0
x 0
lim f ( x)  0 存 在 ， 但 不 等 於
x 0
f ( 0) ，
故 f 在 x  0 處不連續。
反例 2： y  f ( x ) | x | ， f 在 x  0 處連續卻不可微。
76
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
多變數函數：
三
理
2定
10.4.1 定理二
偏導數均連續
函數連續
.4.
0
1
可微
偏導數均存在
77
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
 2
 1 
2
2
2
 ( x  y )sin  2
2  if x  y  0
反例 3： z  f ( x, y )  
x y 
if x 2  y 2  0

0

則 f x (0, 0)  f y (0, 0)  lim
h 0
由 0  | h sin
1
h 2  lim h sin 1
h 0
h
h2
h 2 sin
1
|  | h | 及 lim | h |  0 知 f x (0, 0)  f y (0, 0)  0
h 0
h2
又
Δ z  f (0  Δ x, 0  Δ y )  f (0, 0)

1
 ((Δ x) 2  (Δ y ) 2 ) sin 
2
2
 (Δ x)  (Δ y )

  0

78
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
且 dz ( 0,0)  0 故 Δ z  1 Δ x   2 Δ y ，其中




1
1
，
 ，  2  y  sin 
2
2 
2 
(

x
)

(

y
)
(

x
)

(

y
)




 1  x  sin 
2
當 x, y  0 時，  1 ,  2  0 ，故 f 在 (0, 0) 可微。

1
但 f x ( x, y )  2 x sin  2
2
 x y
若 x  r cos t , y  r sin t


2x
1
  2
cos 2
2
2
 x y
 x y
所以，只要 t 
( x 2  y 2  0)
(r  0, 0  t  2 ) 則
 1
f x (r cos t , r sin t )  2r cos t sin  2
r
若在圓周 x 2  y 2  r 2 



 2r cos t
 1 

cos

 2
r2

r 
1
上時， f x ( x, y )  (1) n 1 2 n cos t 。
n
1
3
 和 t   ，則 f x ( x, y ) 在原點 (0, 0) 處不連續。同理，
2
2
f y ( x, y ) 亦不連續。
79
LINEAR APPROXIMATIONS AND CHAIN RULE
- IMPLICIT DIFFERENTIATION 隱微分
反 例
lim
h 0
4 ： z  f ( x, y)  x 2  y 2
在
(0, 0)
處 函 數 連 續 ， 但 因為
f (h, 0)  f (0, 0)
|h|
 lim
不存在；亦即 f 在 (0 , 0) 的偏導數 f x (0 , 0) 不
h 0 h
h
存在，故 f 在 (0 , 0) 處不可微。
2 xy , x 2  y 2  0

2
反例 5： z  f ( x, y )   x  y 2
在原點 (0, 0) 的兩個偏導數均存
2
2

, x y 0
0
在：
f x (0, 0)  lim
h 0
f (0  h, 0)  f (0, 0)
h
 lim
00
0
h
 lim
f (0, 0  h)  f (0, 0)
 f y (0, 0)
h
但
lim
h 0
h 0
( x , y )  ( 0, 0 )
f ( x, y ) 不存在，故 f 在 (0, 0) 處不連續。又因可微必連續，故 f 在
(0, 0) 處不可微。
80
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- DIRECTIONAL DERIVATIVES 方向導數
Definition
The directional derivative of f
at ( x0 , y0 ) in the direction of a unit
vector u  (a, b) is Du f ( x0 , y0 )  lim
h 0
f ( x0  ha , y0  hb)  f ( x0 , y0 )
h
If this limit exists.
函數 z  f ( x, y ) 在點 ( x 0 , y 0 ) 處以單位長向量
u  (a, b)  (cos  , cos  ) 為方向的方向導數為
Du f ( x0 , y 0 )  lim
h 0
f ( x0  h cos  , y 0  h cos  )  f ( x0 , y 0 )
h
( 若此極限存在的話 )。
81
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- DIRECTIONAL DERIVATIVES 方向導數
Theorem
If
f
is a differentiable function of
x and y , then f
has a
directional derivative in the direction of any unit vector
u  (a, b)  ( cos  , cos  ) and Du f ( x, y )  f x ( x, y )a  f y ( x, y )b .
設函數
z  f ( x, y ) 在 點
P0 ( x0 , y0 )
可微，則
z  f ( x, y ) 在 點
P0 沿
u  (cos  , cos  ) 這個方向的方向導數均存在，且
Du f P
0
 f 
 f 
   cos     cos 
 x  P0
 y  P0
 f x ( x0 , y0 ) cos   f y ( x0 , y0 ) cos 
82
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- DIRECTIONAL DERIVATIVES 方向導數
Theorem
f
If
is a differentiable function of
directional
derivative
in
the
x and y , then
direction
of
any
f
has a
unit
vector
u  (a, b)  ( cos  , cos  ) and Du f ( x, y )  f x ( x, y )a  f y ( x, y )b .
因為 z  f ( x, y ) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 可微，所以
z  f ( x0  h cos , y 0  h cos  )  f ( x0 , y 0 )
 f x ( x0 , y 0 ) h cos   f y ( x0 , y 0 ) h cos 
 1 h cos    2 h cos 
其中當 h  0 時，  1 ,  2  0 。
因此
z
h
 f x ( x0 , y 0 ) cos   f y ( x0 , y 0 ) cos   1 cos    2 cos 
當 h  0 時， 1 cos    2 cos   0
Δz
 f x ( x0 , y 0 ) cos   f y ( x0 , y 0 ) cos 
h 0 h
故 Du f ( x0 , y 0 )  lim
83
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- DIRECTIONAL DERIVATIVES 方向導數
例題 1 Find the directional derivative Du f ( x, y) if z  f ( x, y)  x 2 y and u
is the unit vector in the direction from P0 (1, 0) to P(2,  1) . What is Du f (1,0) .
f
f
 2 xy,
 x 2 ，故 f x (1, 0)  0, f y (1, 0)  1
x
y
向量 P0 P 的方向是 (2  1,  1  0)  (1,  1) ， | PP0 |  2 ，且方向餘弦是
cos  
1
2
, cos  
 1
1 

 u  
,
2
2
2


1
根據定理: f ( x , y ) 在 P0 可微分，因此
Du f ( x, y )  f x ( x, y )a  f y ( x, y )b 
且 Du f (1, 0)  f x (1, 0) cos   f y (1, 0) cos  
1
[2 xy  x 2 ]
2
1
2
84
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
If f
is a function of two variables x and y , then the gradient of f
is the vector function f defined by
f ( x, y )  ( f x ( x, y ), f y ( x, y )) 
f
f
i
j
x
y
函數 f ( x, y ) 的梯度是一個向量函數 f 。
85
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
例題 2 Let f ( x, y)  e3 x tan y .
  
(1) Find the gradient vector of f at P  0,  .
 4
(2) Use (1) to find the directional derivative of f in the directrion from P
 5 
to Q  2,
.
4 

(1) 由 f ( x, y)  e3 x tan y ，得
f x ( x, y)  3e3x tan y, f y ( x, y)  e3x sec2 y
因此，梯度函數為
f ( x, y ) 
f
f
i
j  (3e 3 x tan y )i  (e 3 x sec 2 y ) j
x
y
86
  
 
   
故 f  0,    3e 0 tan  i   e 0 sec2  j  3i  2 j  (3, 2)
4 
4
 4 
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
5
 

   (2,  ) 。根據定理 f ( x , y ) 在 P 可微分，
(2) 向量 v  PQ   2  0,
4
4 

因此




[ Du f ] P  f x  0,  cos   f y  0,  cos 
4
4


其中 cos  
2
4  2
, cos  

4  2
因此，f 沿 PQ 方向在 P 的方向導數為
 
 
Du f  0,   f  0,   (cos  , cos  )
 4
 4
2
2
 3
 2
4 2
4 2

2

 (3, 2)  
,
2
4 2
 4
6  2

4 2

 ( 點積 )


87
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
根據梯度的定義及偏導數的性質，我們有下列的結果：
設 f , g 均為可微分的二變數函數，則
(1) ( f  g )  f  g
(2) ( fg)  f g  g f
若f 是可微分的單變數函數，則  f ( g )  f ( g )g
88
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
Theorem
Suppose f
is a differentiable function of two or three variables. The
maximum value of the directional derivative Du f ( X ) is | f ( X ) | and
it occurs when u has the same direction as the gradient vector f ( X ) ,
where vector X  ( x, y) or ( x, y, z) .
89
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
設 z  f ( x , y ) 在點 P0 ( x0 , y 0 ) 處可微分。
(1) 函數 z  f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度是 ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )) 。
(2) 函數 f 在 P0 ( x0 , y0 ) 處沿 u  (cos  , cos  ) 的方向導數為
( f x ( x0 , y 0 ) , f y ( x0 , y 0 ))  (cos  , cos  )
 f x ( x0 , y 0 ) cos   f y ( x0 , y 0 ) cos 
其中 cos   sin  。
因此，由柯西-史瓦茲不等式知
Du f ( x0 , y 0 )  f x ( x0 , y0 ) cos   f y ( x0 , y 0 ) cos 

f x2 ( x0 , y 0 )  f y2 ( x0 , y 0 )  cos 2   sin 2 

f x2 ( x0 , y0 )  f y2 ( x0 , y0 ) 。
90
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
(3) 當 ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )) 與 (cos  , sin  ) 同 方 向 時 ， 方 向 導 數 有 極 大 值
f x2 ( x0 , y0 )  f y2 ( x0 , y0 )  | f ( x0 , y0 ) | 。
(4) 當 ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )) 與 (cos  , sin  ) 反 方 向 時 ， 方 向 導 數 有 極 小 值
 | f ( x 0 , y 0 ) | 。
91
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- THE GRADIENT VECTOR 二變數函數的梯度
例題 3 Find the maximum rate of change of f ( x, y)  xe y  3 y at (1, 0) .
f x ( x, y )  xe y , f y ( x, y )   xe y  3 ，
故 f x (1, 0)  1, f y (1, 0)  2
所以 f 在 (1, 0) 點的梯度為 f (1, 0)  (1, 2)
故 | f (1, 0) | 1  22  5
因此 f 在 (1, 0) 點的最大方向導數，即在 (1, 0) 的最大變化率發生在沿著梯
度向量，即 f (1, 0)  (1, 2) 的方向，且其最大值為 | f (1, 0) | 5 。
92
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
Definition
The directional derivative of f
at ( x0 , y0 , z0 ) in the direction of a unit
vector u  (a, b, c) is
Du f ( x0 , y0 , z0 )  lim
h 0
f ( x0  ha , y0  hb , z0  hc)  f ( x0 , y0 , z0 )
h
If this limit exists.
93
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
例 題 4 求 函 數 u  f ( x, y, z )  xyz 在 點 P0 (1, 2,  2) 處 沿 直 線
: x  1  t,
y  2  2t , z  2  2t 的方向導數。
f
 yz,
x
f
 xz,
y
f
 xy
z
故 f x (1, 2,  2)  4, f y (1, 2,  2)  2, f z (1, 2,  2)  2
l 的方向餘弦為：
cos  
1
1  22  (2) 2

1
2
2
, cos   , cos  
3
3
3
f ( x , y , z ) 在 P0 可微分，於是
1
2
2 4
Du f (1, 2,  2)  4   (2)   2  
3
3
3
3
94
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
Definition
If f
is a function of three variables, then the gradient of f
is the
vector function f defined by
f ( x, y, z )  ( f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z ))

f
f
f
i
j
k
x
y
z
95
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
例題 5 (1) If f ( x, y, z )  x 2 y  xyz , find the rate of change of f at the point
P (1, 0, 2) in the direction from P (1, 0, 2) to Q (1, 3,  2) .
(2)In what direction does f have the maximum rate of change?
What is the maximum rate of change?
(1) f x (1, 0, 2)  [2 xy  yz]( 1,0, 2)  0
f y (1, 0, 2)  [ x2  xz]( 1,0, 2)  1  (1)  2  1
f z (1, 0, 2)  [ xy]1,0, 2   0
故 f 在 (1, 0, 2) 的梯度為 f (1, 0, 2)  (0,  1, 0)
由 P (1, 0, 2) 指 向 Q (1, 3,  2) 的 方 向 向 量 v  (2, 3,  4) ， 它 的 方 向 餘 弦 為
 2
3
4 

u  
,
,
29
29
29


 2
3
4  3
 
,
,
因此 Du f (1, 3,  2)  (0,  1, 0)  
。
29
29 
29
 29
96
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
例題 5 (1) If f ( x, y, z )  x 2 y  xyz , find the rate of change of f at the point
P (1, 0, 2) in the direction from P (1, 0, 2) to Q (1, 3,  2) .
(2)In what direction does f have the maximum rate of change?
What is the maximum rate of change?
(2) 在 f (1, 0, 2)  (0,  1, 0) 的方向導數最大，其值為
| f (1, 0, 2) |  1 。
97
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- FUNCTIONS
OF
THREE VARIABLES
例題 6 一塊金屬的溫度分佈函數為 T ( x, y)  20  4 x 2  3 y 2 ，試問
(i)在點 (2, 3) 處朝何方向溫度增加最快，其增加率是多少？
(ii)在點 (2, 3) 處朝何方向溫度下降最快，其下降率是多少？
T ( x, y)  Txi  Ty j  (8x)i  (6 y) j
而 T (2, 3)  (16,  18) 。故
(i) 在 ( 16 ,  18 ) 的 方 向 上 ， 溫 度 增 加 最 快 ， 其 增 加 率 是
| T (2, 3) |  162  182  2 145 。
(ii) 在 (16, 18) 的 方 向 上 ， 溫 度 下 降 最 快 ， 其 下 降 率 是
 | T (2, 3) |  162  182  2 145 。
98
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- TANGENT PLANES
TO
LEVEL SURFACES
Suppose S is a surface with equation f ( x, y, z )  c , and let P( x0 , y0 , z0 ) be
a point on S. Let L be any curve that lies on the surface S and passes
through the point P. Then the curve L can be described by a continuous
vector function r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t )) . Let t 0 be the parameter value


corresponding to P; that is, r (t 0 )  x 0 , y 0 , z 0 .
99
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- TANGENT PLANES
TO
LEVEL SURFACES
(1) The gradient vector at P, f ( x0 , y0 , z0 ) , is perpendicular to the
tangent vector r (t0 ) to any curve L on S that passes through P.
(2) If f ( x0 , y0 , z0 )  0 , then the equation of the tangent plane to the level
surface f ( x, y, z )  c at P( x0 , y0 , z0 ) is
f x ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  f z ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0 .
(3) The normal line to S at P is the line passing through P and
perpendicular to the tangent plane. The direction of the normal line
is given by f ( x0 , y 0 , z 0 ) and so the equation of the normal line is
 x  x0  tf x ( x0 , y0 , z0 )


 y  y0  tf y ( x0 , y0 , z0 ) (t  R )


 z  z0  tf z ( x0 , y0 , z0 )
100
DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR
- TANGENT PLANES
TO
LEVEL SURFACES
例題 7 Find the equations of the tangent plane and normal line at the
point (1, 2, 1) to
x2  y 2  z  6 .
設 f ( x, y, z )  x 2  y 2  z ，則 f ( x, y, z )  (2 x, 2 y, 1) ，所以
f (1, 2, 1)  (2, 4, 1)
因此切平面方程式為 2( x  1)  4( y  2)  ( z  1)  0 。
x 1 y  2 z 1


而法線方程式為
。
2
4
1
101
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LOCAL MAXIMUM AND LOCAL MINIMUM VALUES
Definition
A function
f of two variables has a local maximum at ( x0 , y0 )
if f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) for all points ( x, y) in some disk with center ( x0 , y0 ) .
The
number
f ( x0 , y0 ) is
called
a
local
maximum
value.
If
f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) for all points ( x, y) in some disk with center ( x0 , y0 ) , then
f has a local minimum at ( x0 , y0 ) and f ( x0 , y0 ) is a local minimum value.
102
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LOCAL MAXIMUM AND LOCAL MINIMUM VALUES
1) 若 f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) ( x, y )  D ，則 f 在點 ( x0 , y0 ) 有 局部極大值 ( Local
Maximum) 。
2) 若
f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) ( x, y )  D ， 則 f 在 點
( x0 , y0 )
有局部極小值
( ( Local Minimum)。
3) 如果 f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) ( x, y )  D( f ) ，則 f 在點 ( x0 , y0 ) 有 絕對極大值
( Absolute Maximum) 。
4) 如果 f ( x0 , y0 )  f ( x, y )
( x, y )  D( f ) ，則 f 在點 ( x0 , y0 ) 有 絕對極小值
( Absoulte Minimum)。
103
在以上情形中，點 ( x0 , y0 ) 被稱為 極值點 (Point of Extrema) 或極點。
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LOCAL MAXIMUM AND LOCAL MINIMUM VALUES
Theorem 判別局部極值的必要條件
If f has a local maximum or minimum at ( x0 , y0 ) and the firstorder partial derivatives of
f
exist there, then
f x ( x0 , y 0 )  0
and f y ( x 0 , y 0 )  0 .
設
z  f ( x, y ) ， 若 f 在 點 ( x0 , y0 ) 有 局 部 極 值 ， 且 偏 導 數
f x ( x0 , y0 ) 及
f y ( x0 , y0 ) 均存在，則 f x ( x0 , y0 )  0  f y ( x0 , y0 ) 。
令 g ( x)  f ( x, y0 ) 。f 在 ( x0 , y0 ) 有局部極值這個事實就導致 g 在
極值 ，因此 g ( x0 )  0 ， 亦即
h( y0 )  0  f y ( x0 , y0 ) 。
x0 有局部
f x ( x0 , y0 )  0 。 同樣地，令 h ( y )  f ( x0 , y ) ，則
104
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
Definition
A point ( x0 , y0 ) is called a critical point (or stationary point) of f
if
f x ( x0 , y 0 )  0 and f y ( x 0 , y 0 )  0 , or if one of these partial derivatives does
not exist.
(1) f x ( x0 , y0 )  0  f y ( x0 , y0 )
(2) f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 中至少有一個不存在。
105
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
例題 1 Find the local maximum and minimum values
(1) z  f ( x, y)  x 2  y 2  2 x  4 y  7
(2) z  f ( x, y)  e x sin y
(1) f x ( x, y)  2 x  2, f y ( x, y)  2 y  4 ，兩者均存在。
令 f x ( x, y)  0, f y ( x, y)  0 ，得 x  1, y  2 。
因此 f 只有一個臨界點 (1,  2) 。
又 z  f ( x, y)  x 2  y 2  2 x  4 y  7
 x  1   y  2  2  2
2
2
故 f 在 (1, 2) 有絕對、局部極小值 f (1,  2)  2 。
(2) f x ( x, y)  e x sin y, f y ( x, y)  e x cos y ，兩者均存在。
106
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
例題 2 Find the extreme values of f ( x, y )  y 2  x 2 .
因為 f x  2 x, f y  2 y ，所以 (0,0)是唯一的臨界點。但
f ( x,0)   x2  0 ( x  0) 且 f (0, y)  y 2  0 ( y  0)
因此，在以原點為圓心的圓盤內有些點之值小於 f (0,0)  0 ，又有些點之值大
於 f (0,0)  0 ; 換言之，
f (0,0)  0 不是極值點，故 f 沒有極值。
107
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
Definition
A point ( x0 , y0 ) is called a saddle point( 鞍點 ) if ( x0 , y0 ) is a critical
point of f and f ( x0 , y0 ) is not a local maximum or minimum.
z
y
108
x
(0, 0) 是鞍點
( 回憶 10 .1.5 中的圖10 .13 ， 即 z  y 2  x 2 的圖形 )
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
Second Derivatives Test
Suppose ( x0 , y0 ) is a critical point and the second partial
derivatives of
D  D( x0 , y0 ) 
f are continuous on a disk with center ( x0 , y0 ) . Let
f xx f xy
f xy f yy
 f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 )  [ f xy ( x0 , y0 )]2
(1) If D  0 and f xx ( x0 , y0 )  0 , then f ( x0 , y0 ) is a local minimum.
(2) If D  0 and f xx ( x0 , y0 )  0 , then f ( x0 , y0 ) is a local maximum.
(3) If D  0 , then f ( x0 , y0 ) is not a local maximum or minimum.
109
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
例題 3 Find the local maximum and minimum values.
(1) f ( x, y)  x3  y 3  6 xy
(1) f ( x, y)  x3  y 3  6 xy ， f x ( x, y)  3x 2  6 y ， f y ( x, y)  3 y 2  6 x 。
( x, y ) 是 f 的臨界點  f x ( x, y)  0  f y ( x, y)
 3x 2  6 y  0  3 y 2  6 x
將 y
1 2
x 代入 3 y 2  6 x  0 得臨界點為 (0, 0) 及 ( 2, 2) 。
2
另外， f xx ( x, y)  6 x, f xy ( x, y)  6  f yx ( x, y), f yy ( x, y)  6 y 。
又 D  f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 )  f xy ( x0 , y0 )  36 x0 y0  36
2
由判別定理得知：
(i) 在 (0, 0) 處， D  36  0 ，故 (0, 0) 是鞍點。
(ii) 在 ( 2, 2) 處， D  108  0 ，而 f xx (2, 2)  12  0 ，故
f (2, 2)  8 是局部極小值。
110
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
例題 3 Find the local maximum and minimum values.
(2) f ( x, y)  xy  x 2  y 2  2 x  2 y  4
f (2, 2)  8 是局部極小值。
(2) f ( x, y)  xy  x 2  y 2  2 x  2 y  4， f x ( x, y )  y  2 x  2 ， f y ( x, y)  x  2 y  2 。
( x, y ) 是 f 的臨界點  y  2 x  2  0  x  2 y  2
 x  2, y  2
另外， f xx ( x, y)  2, f xy ( x, y)  1, f yy ( x, y)  2
故判別式 D  f xx f yy  f xy  4  1  3  0
2
而 f xx (2,  2)  2  0 ，故 f (2,  2)  8 是局部極大值。
111
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- CRITICAL POINT AND SADDLE
POINT
例題 3 Find the local maximum and minimum values.
(3) f ( x, y )  xy
(3) f ( x, y)  xy, f x ( x, y)  y, f y ( x, y)  x
( x, y ) 是 f 的臨界點  y  0  x
另外， f xx ( x, y)  0, f xy ( x, y)  1  f yx ( x, y), f yy  0
D  1  0 ，故 0, 0 是一個鞍點。
112
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
Method Of Lagrange Multipliers
To find the maximum and minimum values of f ( x1 , x2 , , xn ) subject to
the constraint g ( x1 , x2 , , xn )  0 [ assuming that these extreme values
exist and g  0 on the surface g ( x1 , x2 , , xn )  0 ]:
(1) Find all values of x1 , x2 , , xn and
 such that
f ( x1 , x2 , , xn )   g ( x1, x2 , , xn )
and
g ( x1 , x2 , , xn )  0
(2) Evaluate f
at all the points ( x1 , x2 , , xn ) that result from step (1).
The largest of these values is the maximum value of f ; the smallest is
the minimum value of f .
113
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
例題 4 (1) 求對角線長為 4 的長方形的最大面積
(2)求 f ( x, y, z )  2 x  2 y  z 在球面上 x 2  y 2  z 2  9 的極值。
(1)依題意知
A  f ( x, y )  xy ，約束條件
x 2  y 2  4 或 g ( x, y)  x 2  y 2  16
f 和 g 的梯度向量分別為
y
f ( x, y )  ( f x ( x, y ), f y ( x, y ))  ( y, x)
( x, y )
g ( x, y )  ( g x ( x, y ), g y ( x, y ))  (2 x, 2 y )
4
欲求 ( x0 , y0 ) 及  ，需解
y    2x
 f x ( x, y )   g x ( x, y )



x    2 y 且 x  0, y  0
 f y ( x, y )   g y ( x, y ) ，即 

 2
 g ( x, y )  0
 x  y 2  16
1
因此，   , x  2 2 , y  2 2
2
x
0
114
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
例題 4 (1) 求對角線長為 4 的長方形的最大面積
(2)求 f ( x, y, z )  2 x  2 y  z 在球面上 x 2  y 2  z 2  9 的極值。
(2) 由於球面是封閉有界曲面且 f 是連續函數，故 f 在球面上有極大值與極
小值。因為 f ( x, y, z )  (2,  2, 1), g ( x, y, z )  (2 x, 2 y, 2 z )
2    2x



 2    2y
由拉格朗日乘數法知道，應解 
1    2z

 2
 x  y 2  z 2  9
因為 x 
當 
1

,y
1

,z
1
1
代入 x 2  y 2  z 2  9 得    。
2
2
1
時， x  2, y  2, z  1 且 f (2,  2, 1)  9
2
1
當 
時， x  2, y  2, z  1 且 f (2,  2, 1)  9
2
亦即 f 在 (2,  2, 1) 有極大值 9， f 在 (2, 2,  1) 有極小值  9 。
115
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
例題 5 求 溫 度 函 數
T ( x, y, z )  20  2 x  2 y  z 2
在 上 半 球 面
x 2  y 2  z 2  11 ( z  0) 與平面 x  y  z  3 相交的曲線 C 上的最高溫度。
2
2
2
設 g ( x, y, z )  x  y  z  11  0
h( x, y, z )  x  y  z  3  0
令 f ( x, y , z ,  ,  )  T ( x , y , z )   g ( x , y , z )   h ( x , y , z )
 20  2 x  2 y  z 2   ( x 2  y 2  z 2  11)   ( x  y  z  3)
則
f x  2  2 x    0


f y  2  2 y    0

f z  2 z  2 z    0

 x 2  y 2  z 2  11  0


x y  z 3 0
 0  f x  f y  2 ( x  y )
故  0 或 x y
116
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
例題 5 求 溫 度 函 數
T ( x, y, z )  20  2 x  2 y  z 2
在 上 半 球 面
x 2  y 2  z 2  11 ( z  0) 與平面 x  y  z  3 相交的曲線 C 上的最高溫度。
(i) 若   0 ，則   2, z  1 。代入後兩式得 x 2  y 2  10 且
x  y  2 。因此 x  3, y  1 或 x  1, y  3 ；
亦即   0 時，有兩個點 (3,  1, 1) 及 (1, 3, 1) 。
(ii)若 x  y ，則由後兩式得 x 
但若 x 
3 2 3
3
3 2 3
，則 z  3  2 x  0 ( 不合 )
3
故 xy
3 2 3
3 4 3
, z
，
3
3
3 2 3 3 2 3 3 4 3

,
,
即得點 

3
3
3


117
MAXIMUM AND MINIMUM VALUES
- LAGRANGE MULTIPLIERS
例題 5 求 溫 度 函 數
T ( x, y, z )  20  2 x  2 y  z 2
在 上 半 球 面
x 2  y 2  z 2  11 ( z  0) 與平面 x  y  z  3 相交的曲線 C 上的最高溫度。
比較 T 在這三個點的值:
T (3,  1, 1)  25  T (1, 3, 1)
 32 3
32 3
3  4 3  91
T 
,
,

 25

3
3
3
3


 32 3 32 3 3 4 3 
91
 處有最大值
故知 T 在點 
。
,
,

3
3
3
3


118