Connectedness of the efficient set for three objective quasiconcave

 ½ !!¾ "#$%¿
¾ ¿ ½
&
'( )#(%%'$ %")!% *+*,)' -('$%* !'!. "'
)/'/ %*)(")0 1/"'"!% 2/")' '!%( "'*-") "'!%+ %) ) #'3 )#) )#% %) '2 %Æ"%) '/)' "'%")% 4)# )#) '-%
-('$%* ))% $0 #'' "#$% #%3 &567 '!%
/)'$ %")!% *+*,)' %*)(")0 1/"'"!%
2/")' %Æ"%) '/)' %) "'%")%%
8
'%( )#% */)'$ %")!% *+*,)' -('$%*
*+
9: ; 9½9: 9::
9&:
3#%(% '%*-)0 "'*-") "'!%+ < (% "')
/'/ ) 3% ='3 )#) )#% %) '2 %Æ"%) 9(%)''-)*: '/)' "'%")% 2 2/")' (% "'"!% 9%2&: # )'-''." -('-%()0
'2 .'()#*"0 *-'())
%!%( /)#'( #!% )(% )' (%+ )#% "'"!)0 /*-)' 3)#'/)
.!. /- "'%")%% '2 )#% %Æ"%) %) //0 3'(=. 3)# -()"/(
= '2 1/"'"!% 2/")'< %. %28>
2 ; & )#% "'"% 3)# )#% %) '2 '-)* '/)' '2 9&: 3#"# "'!%+ #%"% "'%")% '. ½ 1/"'"!% '3%!%( 2'( ; 8
1/"'"!)0 '2 ½ ¾ '% ') ./()%% "'%")%% '2 .%%(
9%2?: ) )/ '/) )#) %*)(") 1/"'"!)0 9-(%!'/0 "% )(")
1/"'"!)0 9%26:: /Æ"%) )' %/(% "'%")%% '2 9%2?:
#% "% ; ? )(%)% %2@ 4)# -(''2 )%"#1/% A%(%)
2('* )#'% %2? ) #'3 )#) )#% "'/(% '2 )#% %Æ"%) 2(')%(
9 : "'%")% 2 ½ ¾ ¿ (% %*)(")0 1/"'"!% '3%!%(
"'%")%% '2 "'/ ') $% %)$#% /%( )#%% /*-)' '(
"'/)%(%+*-% $% .!% %2@ ) # (%*% '-% -('$%* )#% )%()/(% /) '3 9%2>: 0 -() 3%( 2'( -()"/( = '2
.%%(,% "'"!% 2/")' "'/ $% -('!% /. !('/ --('"#%B %.
%28 %27> )#% (%2%(%"% )#%(% #%% -(%*(0 (%/) %%*
)' -') )'3( -')!% 3%( )' )#% "' %")/(% )#) "'%")% 2
½ (% %*)(")0 1/"'"!% 2'( 0 /*$%( '2 2/")'
)# --%( 3% 3 #'3 )#) )#% "' %")/(% )(/% 2'( ; ? %
?
"'%")% 2 ½ ¾ ¿ (% %*)(")0 1/"'"!% #'/.# )#%
--('"# A%( 2('* )#% '% %2@ )#% --%( $'(('3 #%!0 2('* )#%
3'(= %2@ )' )' )#) %2?
%) ; 9½ ¾ : ; 9
½ ¾ : $% )3' !%")'( 4%
%')% $0 C D )#% % %.*%) E 9& :
< CF &D 3% %G%
)#% '-% % %.*%) 9 : '.'/0 4% 3()% 2 2'( ; & 8 4% ' 3()% 2 ; %) $% "'!%+ 2/")' < "% %*)(")0 1/
"'"!% 2 9: 9
: *-0 9: 9: 2'( 9 :
/--%( %*"')/'/ %*)(")0 1/"'"!% 2/")' 1/"'"!%
9%26:
H!% !%")'(!/% 2/")' ; 9½ ¾ : ' -') "% Æ 93)# (%-%") )' : 2 9: 9: *-0
9: ; 9: #% %) '2 %Æ"%) -') %')% $0 ) *.%
9 : "% )#% Æ #% "'%")%% '2 (%)% )'
)#% "'%")%% '2 9 : )#('/.# )#% 2''3. )#%'(%*9%2@ #%'(%*
I:
½ ¾ 9 : #('/.#'/) )#% --%( 3% # /*% )#) '%*-)0 "'*-") "'!%+ (% "')/'/ %*)(")0 1/"'"!% )#% -%"
"% '2 ; 8 )#% %Æ"%) 2(')%( )#% .(-# '2 "')/'/ )(")0
%"(%. 2/")' ' %% )# 3% %G%
; 9: < ; & 8
½ ; ½ 9: < ¾ 9: ; ¾ ¾ ; ¾ 9: < ½ 9: ; ½ @
#% 2''3. %** "'*$)' '2 %** & 8 %2?
!
; 8
9: ; & 8 ; & ; 8 9:
; 4% '3 #!%<
; 8 C ½ ½D C ¾ ¾D 9 : ; 9 9:: < C ½ ½ D
98:
"# 0 )#% -(%!'/ %** 2'( 0 9½ ¾: 9 : 3% #!% ½ C ½ ½D
'!%(%0 2'( 0 ½ C ½ ½ D 3% *0 G ¾ C ¾ ¾D /"# )#) 9½ ¾ : 9 : # ¾ /1/%0 %)%(*% $0 ½B %% 2 3% # 9½ ¾: 9 :
3)# 0 ¾ ¾ )#% 3% 3'/ #!% 9½ ¾ : 9½ ¾: 3#"# "')(")
9½ ¾: 9 : %)). ¾ ; 9½: 3% %% )#) 98: #' . .
)#% $'!% (./*%) 3% 2%( )#) )(")0 %"(%. --0. .
%** 8& )# )*% )' )#% %"' "''()% 3% 2%( )#) *- ')'
C ¾ ¾D %"% "')/'/
#%'(%* 88 #'3 )#) )#% "% '2 ; 8 9 : -)#3% "'%")%
"'% "% )#% !%(% *.% '2 9 : ' "'% $0
#%'(%* 8& ) ' "'%")% 9%% ' %2? #%'(%* 8 ?:
3#) 2''3 3% # (%)(") '/(%!% )' )#% "% ; ? %% )#%
%) '2 )#% %Æ"%) -') '2 3)# (%-%") )' )#% !%")'(!/% 2/")'
; 9½ ¾ ¿ : 3% ' %G% )#% !%")'(!/% 2/")' $0 ½ ;
9¾ ¿ : ¾ ; 9½ ¿ : ¿ ; 9½ ¾: )#% "'((%-'. %) '2 %Æ"%)
-') /()#%(*'(% 2'( 0 3% %G% )#% %) ; < 9: ; & 8 ? "% (% "')/'/ %*)(")0 1/"'"!% (%
"'% "'!%+ 4% %')% $0 )#% %) '2 )#% %Æ"%) -') '2 3)#
(%-%") )' $!'/0 (% "'% "'%")% /$%) '2 ¼
¼
¼
7
#% -(''2 '2 )#% 2''3. )#%'(%* "')% )#% -(''2 '2 %** ? %2 @ 4% (%2%( )#% (%%( )' %2@ 2'( )#% %G)' '2 '3%( %*"')/)0
'2 */)2/")'
$ 9: ; & 8 ? 0 3% %% )#% 2''3.<
! 9: ; "# #% 2") )#) )#% "')%) '2 #%'(%* > %2 @
' -('!% )#) 9: ; 3% *0 /--'% )#) ; & "% ½ 3% #!%
½ 9: %) / /--'% )#) ½ 9:J "% ½ )#%(% %+) /"# )#) ½9: ½ 9
: 0 %*)(") 1/"'"!)0 9 1/"'"!)0:
'2 ¾ ¿ 3% #!%< ½9: ½9: 2'( 0 9 : "% ½9: )=. 9 : "'% %'/.# )' 3% 3'/ #!% ½ 9: % ½ 3#"# "')(") )#% 2") )#) ½
$ % #% %) ; & 8 ? (% "'% /$%) '2 #%"% "'*-") 4% %G%
; 9: < 9?:
#% '/)% '2 )#% -(''2 2''3 4% G() #'3 )#) )#% %) 9 :
; & 8 ? (% "'%")% #% 3% -('!% )#) 0 )3' '2 )#%* #!% '%*-)0 )%(%")' #%"% )#%( /' "'%")% 0 3% #'3
)#) 0 ')#%( -') 9 : " $% '% )' -') )#%% %) $0 "')/'/ "/(!% 0. % 9 :
4% $%. 3)# /%2/ %**<
!
$ ; & 8 ? I
;
Ë "# 4% *0 /--'% )#) ; &
%) ½½ #% ½9: ½ $!'/0 "% %Æ"%)
-') '2 ½½´ µ 3)# (%-%") )' ½ %"% Ë ½
½
'!%(%0 %) Ë ½ % ½ 2'( '*% ½ 2 ½ )#%
½
) 2''3 (%")0 2('* %** 88 2 ' )#% ')#%( # ½ )#% 2'( 0 3)# 9: 9
: 3% #!% -()"/( ½9: ½ 9
:
#%"% ½9: ; ½9
: ) 2''3 )#) ½ #%"% ½ 9
: ½ ½ 9: 3#"#
#'3 )#) 9: ; 9
: % #% %+) %** %0 --")' '2 -(%!'/ (%/)<
!
$ ; & 8 ? !
$$ ; 9 : "# 0 )#% -(%!'/ %** 3% #!% 9 : ; 9Ë : "%
)#% %) (% "'%")% ' (% )#%( *.% 9: /%( )#% "')/'/
2/")' 0 #%'(%* 8? )#% */)2/")' 9: (% '3%( %*
"')/'/ ' --0. '('(0 8& '2 %2@ 3% "'"/% )#) Ë 9: ;
9 Ë : ; 9 : "'%")% 2'( ; & 8 ?
4% -('"%% $0 #'3. )#% 2''3.
; "# 4% *0 /--'% )#) ; & ; 8
0 )#% %G)' '2 ½ )#%(% %+) ½ /"# )#) ½9: ; ½ $!'/0
½½ =%3% )#%(% %+) ¾ /"# )#) ¾ 9
: ; ¾ ¾¾ 2 ¾¾ )#% ½½ ¾¾ ; )#%(3% ¾ 9: ¾ ; ¾9
: "%
½ 3% #!% ¿ 9: ¿ 9
: # )'.%)#%( 3)# )#% 2") )#) ¾ *-% )#) ½ 9: ½9
: "% ½ 9: ; ½ 3% "'"/% )#) ½½ ' . ½½ ¾¾ ; 4% G0 ))% '/( ) "(/" %**
!
$& 9:
>
; & 8 ? ¿
9: 9
:
¿
9 :
!
"# %) 9: ; 9 : 4% %) 2/()#%(
½ ; ½ 9 : < ¿¿ ¾ ; ¾ 9 : < ¿¿ ½ ; ½ 9 : < ¿¿ K ¾ 9 : ;¾ 0 %** ?? 3% #!% ¿¿ ½½ ; '( 0 ¿¿ ½½ 3% '$!'/0
.%) ½ ½ 9: ½ "% ; ½9: ½ 3% %/"% ½ *(0 2('*
)#% 2") )#) ¿¿ ¾¾ ; 3% %/"% ¾ %) ¿¿ $% /"# )#) ¾9: ;¾ ½9: ;½ 4% )#% #!% ¾ 9: ¾ 9 : ¿ 9: ¿ ¿ 9 : "% 3% .%) ½ 9: ½ 9 : ;½ %"%
½ ½ --0. '3 %** 8& )' )#% %) ¿¿ )#% 2/")' ¿ 3% 2%( )#)
)#%(% %+) ¿¿ /"# )#) ½ 9
: ; ' 3% #!% ½9
: ; ½9: ¿ 9
: ¿ ¿ 9:B (%". )#) 3% .%) ¾ 9
: ¾ 9: '%1/%)0
¿
9
: ¿9: ' ¿ #% %** 88 *-% )#) ¿9
: ;
¿ 4% '3 #'3 )#) 9: 9
: " $% '% $0 "')/'/ "/(!%
0. 9 : 4% ')% )#) ½ #%"% -()"/( ½ --0. #%'(%* 88 )' )#% %) ½ )#% !%")'(!/% 2/")' ½ 3% 2%( )#) ½9: ½9
: $%'. )' )#% .(-# '2 "')/'/ )(")0
%"(%. 2/")' "% ¾ 9
: ¾ 9: )# *% )#) )#%(% %+) "')/'/ )(")0 %"(%. 2/")' %G% ' C D 3#%(% ; ¾ 9
:
/"# )#) 9 9:: ½9½ : 2'( %!%(0 C D 3)# ½9
: ; 9 9::
½9: ; 9 9:: '( %"# %) ½ $% /"# )#)
½
9 : ; 9 9:: #% ¾9 : ; ; ¾ 9: ¾ ; ¾9: *(0
3% #!% ¿ 9 : ; 9: 9: ; ¿ 9
: ; ¿ ¿ 9: %"% ½9 : ½9:
% ½ !'=. '3 %** 88 3% .%) ½9 : ; 6
'%1/%)0 )#% "/(!% C D 9: ; 9 9:: "')/'/ %
9 : ' 9: )' %%*%) '2 9 ¿¿ : %()%
$ "# 0 %** ?8 ?? )#% %) 9 9½ ¾ ¿ :: "'
½
¾
¿
%")% /()#%(*'(% $0 %** ?@ 2'( 0 9½½ ¾¾ ¿¿ :
)#%(% %+) "')/'/ "/(!% 0. 9 : '. 9: )' -')
9 9½½ ¾¾ ¿¿ :: %"% 9 : "'%")% 0 (%".
#%'(%* 8& 3% 2%( )#) "'%")%
& #% --%( '!% '-% -('$%* )#% )%()/(% '2 .%%(,% "'"!%
*/)'$ %")!% *+*,)' 9%2@: ) #'3 )#) )#% )#(%%'$ %")!%
"% %*)(") 1/"'"!)0 '2 )#(%% 2/")' ./()%% "'%")%
% '2 )#% %Æ"%) %) %2@ ) "'/ '0 $% #'3 )#) )#% "'/(%
'2 )#% %Æ"%) 2(')%( 9 : "'%")%
"% "% '2 )3' 2/")' %*)(") 1/"'"!)0 ./()%% "'
%")%% '2 3% ) "' %")/(% )#) 2'( /*$%( '2 2/")'
%*)(") 1/"'"!)0 %/(% "'%")%% '2 2'()/)%0 '*%
'2 )#% %** )# --%( "') $% %+)%% )' *'(% )# )#(%% 2/")'
%3 --('"# %%* )' $% %%% )' % 3)# )#% .%%( "%
5
#
&
8
'( "'( "# $
% $&
'/( '2 -)*,)' #%'(0 --")' ' 87 -- @75@I> &5>6
)( ( '
( %&) '/(
'2 -)*,)' #%'(0 --")' ' @F --7?>77> &56?
* $ + , * $ - ' !( ( . '
?
#%( / %)(%
L)/% % %"#%("#% -M%()'%% ' 87 -- 5?&F& &56?
@
'( )( ' !( ( '( "( 7
*
/Æ '
*
#%( /
%)(% L)/% % %"#%("#% -%()'%% ' 8> -- 8&?88F &567
!)( ( /Æ * '
'/( '2 )#%*)" 0 --")'
' &88 -- ?@I?7@ &56>
( %&
I
')( )( *( /Æ '
( %&'/( '2 -)*,)' #%'(0 -
-")' ' >6 -- I&?I88 &55?
>
)( *( $ /Æ '
( %& * --")' 2'()#"'*.
6
'/( '2 -)*,)' #%'(0 +!( %( ( ( ' !( ( , -(
(0 & %/* /$#. '(-'()' %3 N'(= %3
N'(= &566
&F