necessary and sufficient conditions for adaptive stabilizability of

 !
"
#! $# %
" & % "Æ% % %
% "' !
%
(% % %" )%%# *" + #! % , *" %
% %"% %# ! - !
"
" % %# %
' ! %
" % ' % %# ! " "
&' ' ' $# %
' %#' )%% *"
!
" # $
% & '()'*) '+) ',) '-) '.) ! $
$ /
'0)'1)'2) '(3)!
4 $ !
" $ # ! " '(() $
!
5
%
6 5
7 8 $ $ 7 9
7 $$
%
! : )% . /0' 12223 %% "% . 14' 1222 !# ! " . ." ,%% " 5
. 6 78% 5
-" , ,%%' 5
&% ,%%' 98 /22202' 7)5
(:
0;/2 ;1<0=>?> : "@%%%
12<
*3.
&.A %
;
'(*) # ! " '(*) $
$ / / ! $ !
" $
# Æ $ $! < / = %
; ! < % $
! " % !! !
" / !
<
""" / <
"! <
!
! " !#$# 8
6
(
> ? ? (&
! 9 6
:(! ( * / > > > > &
:*! / / *
> 3 > > ( >
!
:+! ; % +
!
9 8
:( ( * 8
:*
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
*30
$
! 8
:+
> 3 !
( * @
>
!
!% : % ! (
$ / !
6
!!& :(:+ (! $ = %
3 6
A
$ /!
!&"' " ! 5 *!( /
!
%
, ' ) ! $ >
, 6
.
> @
. !!
0
>
B
!
*31
&.A 1
> $ = %
,
!
% / = %
, *!( $ !
!!& ! % 6
! / 3 ! / %
3 6
(3
> ! > 3 ((
> > !
1 >
! 6
(*
> ? &
(
> 3 3 > 3 3!
!&"' ! " %
. %
6
(+
'
) > C 8$ '.) ! B
/ %
.
/ (+! :/
:!
(# " / . 3 (+! 5
!
*32
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
!
) &! *$"+ !&&"# !&&" ) > / 0! /
% 6
(,
, @ $ Æ / - / 6
> 3
!
!&&" )! ( ( (-
> *(3
&.A / ( ! 6
! / % ( ( (.
> > ¼
!
! " >
3
> >
> ¼
>
> > 1!
, 9 % D 6
D > D 3
D > 4 0 1 / % (0
D >
D 9 ( % D > 3!
B
> 3! @
> ( > > > > > > 5 +!( (0 (. > ( > > D > D !
E
> ( % 3 > ¼
> *((
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
> D
!
> ? (
4 > > > > > >
¼
5 > > D
¼
> 4 +!( ( > > > > > D ¼
5 !
!&&" )) ( ! /
"# ! $
? ! ? / > & !
/ >
, ! > ! > >
> ! ! >
*(*
&.A 4 $ ! > 3
5
! > > ' > > ) > >
> >
>
(1
! ! ! > 3
E
F > ? (2
? ! ? > ? F ! ? F > ' ) ! ' )
?F ! F ? *F ! ' )
4 (1 F ! ' )
> 'F ! )
> F ' ! ) >3
5 (2 ? ! ? ' ) ! ' ) > !
- ! , , ! !!&#
*(+
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
- ! (, , !!& !!##+. ( $ !! / ! *!* > 3
((!
% > & *3
@
( +!+ > ? ? ? ? ? ? > ? > ? ? ? ? ? ? 8
*(
> E
:( / $ 3 > $ 3 ! @
*(,
&.A > 3! 5 +!* 6
> > > > $ >$
>$
% %
$
%
:
:+! 5 *( $
%
5 %
! > 3! 5 *!( !
- Æ!+ !
!( 9 $ !
4 . :
:* Æ Æ **
Æ Æ *+
Æ > 3 > & E
*,
> Æ D D *-
D > "%' ? *(-
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
!( 9 ( > D > *.
? * 3
D *- *0
> 4*- D > / >
Æ
Æ Æ Æ Æ < ( % / > 5 D > ? * 3
*.!
!( ) 9 ( *. *1
(
) ? * B
*.! E
? * * 3 * , @
*, *2
* +3
> * 3
* * /! *+
* !
E
( *, > ' Æ D ) ? * Æ D ? * *(.
&.A 8
% / ) 3 *) *, ? * > 1*) ? * < > ' Æ D ) ? * D ? * *) 1*) ? * ? * Æ
5 *1 !
!( - @ !
@
, D +2 > ( ? (
' Æ ) ' Æ ) ?
? (
D D ? ? (
> D D ( ? D D ( ? ? (
D D ? D D ? D D (
? ? ( " ,
+(
D D ? D D ( ? ( ? D D ? & (! ( E
>
' D D >
> ' D D )
> 'D D )
D D (
( )
(
( &A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
5 +!. :/ 4 *1 D D (
+ , (
*(0
+ , ' ) ? * )
+ , ) ? * +*
> + ) ? * , :( :/ 4 ++ D D > D D + , 8
+* ++ +( D D ? + ) ? * , ? ( ? + , ? @ < * :!( :/ 4 (
' D D ) ? + ) ? * ( ,
(
? ) ? * ? + ( , ? + ) ? * ? > ' D D ) ? ++ ? (( ?
,
+ , ? ++ ? (( ? +, ) ? * ? + ? ++ ? (( ? +, ) ? * ? *!(!
-) ! (, , !!& ( 9 ! 5
.!
* E/ ! 4 (3 / 3 * ( * ! 5 (3
> * > * * ! " >
* !
(
*(1
&.A +! 9 !
" > ' ) - > '- -
) - - ( ! . 3 *( !
@
/ ( . > ( .
E
- > - - - 3 ( . 6
/ - > '/ - / -)
/ - / - >
- @
. ? ( / - 6
/
- >
/ - 0 > . ? &
/ - 0 > .
( & . (&
" % G 6
/ Æ / Æ Æ / > +,
*( E/ % 6
+-
/ Æ / Æ Æ /
(
" > ( ! E
> ! / / Æ / Æ Æ /
> / ? / / Æ / Æ Æ /
/ ? +!(! 5 +- !
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
*(2
E/ + 3 6
/ Æ / Æ Æ / + ( .
5 / +, / Æ / Æ Æ /
+ ( . *
/ Æ / Æ Æ /
,+ > ,+ (
*(
*
5 +- %! 5
+!( 3!
5 !
,! @ ! ! ? > !
>
> +.
? ? ? ? > 3
5 ? >
>
>
>
? ? ¼
? ? ? ? ? ? ? ? ? **3
&.A 5 > ? ! *!*!
/ $0 !&"'# 9 Æ $ $ ! < $
% / ( ! B
$ % !
((!* . ! (, , (# ! 9 = %
, 3 %
(+!
3 % (*! *!* > !
E
% 1 36
+0
1
1
1
> 3 > 1 ? > 1 1 1 ¢
< +!( 1 3 /! 1 3 9 3
+1
1
> 3 ! E
>
**(
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
1
! > ? ( 1 >
>
1 ? > 1 ? ? ? 5 +1 !
@
3 ! 5
! +1 1 1 ! @
+0 1 > 1 ? 1 ? (+!
! 9 / ! 8
6
" > ( " > ( > > > > *( !
" %
(+ 6
( (*
( (*
&
&
? (* > (
? *( > (
B
& > ( & > ( > > ( %
! 5
= %
, ( ( & *( ? ( & (* > (
& *( ? ( & (* > (
!
" & & 3 3 %
***
&.A 3 ( & *( ? ( & (* *( ( & ? ( & (* * > 5 ! < ! !
((!* . !&&" " # , !&&" ! Æ
** *+ +2
D
D
>
Æ
Æ
> ( &
D D > D > 6
! @
3 D > D >
,3
Æ D Æ ! / + 3 3 , ( ( ,(
D D
> + ,
,
! E
Æ Æ Æ
Æ
**+
&A&7- ,&9--B&9--C D$7 -.&) ,C,$,
Æ Æ Æ
Æ Æ Æ Æ
Æ
Æ
Æ
! 4 D D
> D D 5 6 D D > + , D + , !
< ** / 3 , ( Æ
,*
Æ Æ , / + 3 + 3 + + !
5 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ < (
D , +
5 D + , +
:!( !
)).5,
E/F ' ' -
&"% 5' &5G/?/4;4 ' 4G/?
**,
&.A E1F ' ' 7% $
& $
%' 1' & 9
"%
' .! C#: &%%' />/G1/>'
/4=/
E>F ' ' - D 5' 1/:</4=< ' 0>>G0?/
E?F ' ' - D 5' ?>://40; ' 1/>G1>/
E<F ' ' - D 5' ?0:1/400 ' ?0/G?40
E;F ' ! " ' 5 &% %
' ;:>/442 ' 104>/4
E=F ! ' #
$%! &
' - &" 5' &5G>2/40< ' /0<G/04
E0F ' ' ' & $
5' ?</44/ ' /=>G/41
E4F ! "#' # &
(' ,-&$ D 5 ' >>:;/44< ' /=<0G/===
E/2F ! $%$ ' )
'
- &" 5' &5G?>/440 ' ></G>=1
E//F $# & '$' *
+
'
,%% 5
, ' ??:1122/ ' /2?G//0
E/1F ! ($ & '$ $#' , ( ( ' " "%' /444