Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.4 Tracciare coniche: dai luoghi solidi alla soluzione
per punti
La teoria delle coniche di Menecmo-Euclide
Nella teoria di Menecmo-Euclide (300 a.C. circa) i coni sono retti e ottenuti
per rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto. Se il triangolo
rettangolo è isoscele il cono si dice rettangolo, se la rotazione avviene attorno al cateto minore il cono si dice ottusangolo, se la rotazione avviene
attorno al cateto maggiore il cono si dice acutangolo. La tecnica di esecuzione della sezione è sempre la stessa: piano perpendicolare a un lato del
triangolo per l’asse. Con questo procedimento costruttivo si ha una oxytome quando il cono è acutangolo (il triangolo ruota attorno al cateto maggiore), una ortotome quando il cono è rettangolo e una amblitome quando il
cono è ottusangolo.
Il caso dell’ortotome
Figura 1: modello di ortotome
L’ortotome è chiamata “parabola” in Apollonio, ed è con questo nome che
è a noi nota.
Per determinare il sintomo della curva, e successivamente la sua equazione,
si opera in tre piani:
- il piano del triangolo per l'asse (Fig. 2);
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2
- il piano di base (Fig. 3);
- il piano della sezione (per ABC nella Fig. 4).
Figura 2: il piano del triangolo per l’asse
Figura 3: il piano di base
Figura 4: per ABC, il piano della sezione
Nel piano di base, per il teorema di Euclide si ha:
CE2 = DE · EF.
Nel piano del triangolo per l’asse, i triangoli DAE e VHA sono simili,
quindi:
1.4 Tracciare coniche: soluzioni per punti
3
DE : AE = AV : AH,
cioè
DE : AE = 2AV : 2AH,
ma
2AH = AI = EF
e
AV = AG (parametro)
e quindi:
DE : AE = 2AV : EF
cioè
DE · EF = AE · 2AV.
Segue che
CE2 = AE · 2AV.
Posti
CE = y,
AE = x,
AV = p,
nel piano della sezione si ha l’equazione classica della parabola:
y2 = 2px.