Utility Maximization in Incomplete Markets for Unbounded Processes

!
"
#
$ % # " !
"
#
! #
!
&
$
#
"
$ '
(
#
#
$
$
#
!
!
#
"
"
'
(
"
"
)
$
#
#
$
"
#
#
$
!"# $ *
+
% &
'(
+ ,!- '
4- .37
"
"
+
+
' )* ,--! ,-.! ,-/
. /!
'( ' ) 012223*
208/1! 205/1! 4- -0$
9
9
"
*
!
!
.1127
$ 8
$ 8
"
-
*
*
:
$
" *
+
+
"
01,23! 01,22! 245-6!
$
:
$
.116
$
)
$. ' )
8
'
*
#
$
'
;.2<$
#
"
;./<
8
!
"
$ =
$ $ ;.<! ;6<! ;0<!
"
#
#
#
" >
;-1<! ;-/<! ;-?<! ;-3<! ;-4<! ;.1<! ;.-<! ;.4<! ;/1<@$ % # " !
#
A
#
! #
#
$
! #
*
! #
$
! 9
"
.-
#
' ) * '
#
9
$
# #
B
"
!
#
>-@
*
> @
#
#
$
'
C
D
>=
-@
# #
"
$
#
E
!
#
#
E
!
!
>=
#! '
!
#
#
.
3!
/@$
!
"
"
"
! $ $
!
#
"
"
"
#
$
.
# #
#
#
#
#
$
F
>
.$.@
# #
#
$ '
E
G
8
;.4<
F
"
> @
#
"
A
E
$
!#
$ '
"
!
$ '
.$-
"
2$ '
"
#
G
'
-2$
#$
.#
!#
'
3$ '
#
/
"
"
$ '
#
6$
0 #
?#
1
#
'
3$
,! - ') ! .
,"
!# #
C
D$ A
"
$
#
$
>%
;?<
;-0<! =
@
># #
!
'
"
@
#
#
&
$
#
#
$
A
"
! ;.4< G
$ '
!
/
.$0!
"
"
!()' ' )
!
$ % #"
#
#
$
'
#
>;/-<
#
#
!
;3<!
2$-@
=
;4<$
E
B
#
>
.-
*
G
@$
#
#
#
!
#
> @$ '
#
#
$
'
#
"
$ '
!#
#
*
!()' ' ) 1
!
>.@
'
"
C
D$
#
$
'
#
"
#
"
E
$
!()' ' )
!
"
2
! $ $
#
"
!
'
"
#
!
*
#
!
&
$
#
"
!
#
$
#
$
4
' ' )
4
#
5
"
!#
"
$ H
E
$
!
"
$
#*
!
#
!
!
"
#
% #" !
!#
$
! "
!
6 - !
$
>.@
$ '
$
%
# #
E
$
!
&
'
(
%
7!-
89 $
!
>/@
>2@
>6@
$
)!
*!
+!
!
*!
,
-
!
#
!
.
*! "
6
#
#! #
"
(
*
>0@
'
"
E
B
!
#*
>?@
>3@
#
$
# #
!#
$ H
$ $
#
$ $
$
$ %
>
$
"
@
$ $
$ $
.-
2 #
#
#
' ) 1* '
>
$
@ #$ $
>
$
@
$
# #
!
!
!#
>4@
.$.
#
$
H
"
"
0
>-1@
'
#
;-.<
$
$ %
;-/<! #
#
"
.$#
)
(
%
#
"
"
$
*
#
#
#
'
"
#
#
#
!
!#
#
!
$
!
!
# !
E
!
!
>?@
!
>--@
'
!
#
#
!
$
2# #
4
' ' )
"
#
E
"
$
! #
! #
$
'
3 #
"
$
"
$
"
#
$
,!
!- : %
$
>-.@
$
1
/
!
!0
$
$
!
$
?
!
!0
"
"
"
(
/
"
$
!
!
/
!
"
!
"
#
"
"
%
7!-
#
8
(
$
!%
2
$
"
0
345
'
6
%
3*5
37,5
#
7!-
8 2 $
!'
74!
E "
#
!
77!
$
#
8
77!
9 $
$
74!
!
#
#
74!
!) ! 5 . ' ' "
7!-
!$
'
;!
8
$ 0 :-! ;
0
3,5
,
0 :-! -
&
8
<
%
%
:
0 :&
&
&
%
0
%
%
0 :-
.
74!
74!
"
&
'
=
74!
3
0 :- %
%
#
"
"
%
%
"
#
!
$
H
H
-.
-.
&!--
"
"
1 ;0 :-
4
"
$
74
;0 :-
5
#
#
H
/$3 ;.4<
!
>-.@
"
5 HIG$
!
/$/
;.4<@
* >@
$
) !
(
J
#
>
> @
!
#
$ '
8
"
$ '
$
$
7!-
$ $
!
"
$
(! "
!8
0
($
!
,
#
$
#
"
$
"
C
D
" $
7!-
8
"
>
"
"
&
2 8
&
#
9
!
%
3+?5
@
&
#
&
(
A
B
;
4
E
;.1<!
4
' ' )
>
;.4<@
K"
$ ;6<! L
"
#
" $
*
/
*
,/
+! $
C
,! 0
*
1
&
*
-! $
1*
@
*
1
/
*
$
1
) ,! !
'
4
"
) -' ') !
.6 # #
>-/@ #
!
!
"
' ) 5 ,! !
0$-!
#
'
$ '
> @$
3!
' ' ) 9 %
>-/@
(
(
"
"
/
"
"
"
>-2@
&
8E
>-/@
! #
>
0
@!
$
!
!
!
! $ $
#
>
#
!
-1
#
@$
C
#
;-/<@
D$ '
>
*
"
"
"
>
>-6@
#
K
.$D!
.?
!
;.<@$ '
"
C
-1!
"
G
$
H
"
C J
!
D$
"
"
#
#
;/<
"
C
D$
C
D
!
"
#
8E
>-2@
* "
"
"
#
"
$ A
"
! "
"
D
11
*
#
E
)
.-
E
C#
$
' )1
, #
"
B
!
"
#
"
(
>
I (
H
0@!
#
3$?!
;..<
F
#
$
!
#
"
!
*
*
!
!
F
G
>-0@
>-0@
#
#
#
$
>-0@
>4@
!
% #" !#
E "
$$ $ $ # #
A
.
$
(
!
!#
!
#
$
A
#
'
G
! #
A
;.4<
(
8
(
(
--
#
*
>
L
@$
"
"
;.1<! #
F
G
;.0< K
!
>-0@
#
(
2! #
#
E "
# >K
*
@$
(
(
(
"
*
+
!
#
2$. ;.4<@
>@
# >
(
#
G
! !
+
'
" #
#
!
J
! !
>-?@
>4@
!
$
!
#
!
>-3@
#
!
>-3@$ A
!A
.
>-?@
#
!
(
>-?@! #
>-4@
*
(
>.1@
(
>-3@
"
F
> >-?@
" "
!
>-4@
$ #
"
A
#
* '
>-3@
>-?@$
.
!
6 - !
@!
>.1@
#
"
(
!
!
# #
"
#
"
!
(
#
#
>-?@$
! %
@
&
&
! #
7D!
.
79!
(
-
$
34E5
%
49
79!
!%
!
7E!
7D!
(
79!
-.
)
&
!
'
<
/
. +.
+
.
. +
.
6
+
+
+
F
+
. +
# )
# )
;.4<
#
(
>
#
A
!
$
> @$ %
(
@
#
#
#
> @
$
'
#
*
3
@
'
>
#
A
-
$
#
!
A
.#
#
A
J
> @$ '
.
!
"
(
!
"
!
" "
J
!
L
"
"
;.-<
B
$
4
$
A
&!-- :
!
!
!
!# % %
! #
!
.
>4@$
!
# #
"
H
@
!
#
/
!
%
/ !
C
-/
4
> @
#
5
0
! +
!
> @ '
(
10
$$
> @
!
! +
0
!
0
1
1
0
10
!
%
0
!0
$$ '
%0
!
10
0
!
%0
> @#
/
"
$ 5
'
!
0
!0
$$
!0
0
#
!0
#$
'
0
> @
/
!
"
/ !
/
/ !
0
!0
6 - !
%
#
"
#
#
!
#
$
#
$
#
)
+!
$
)< - $!
)
#
#
$ '
#
!
#
!
#
3
>
#
@
$ %
3
#
"
2#
*
2
>
;.4<@$ '
'
#
$
H .
$
!
!
$
2
#
$
#
E
#
$
"
$
"
$
"
.!
)
. ! #
#
! #
$
'
"
#
! #
$
$
$
$
-2
1
H
#
6
.)
)!) ' . ' ' " - 6'-'= ' ) #' , ')()' ! " - )"
.)$!$ /.-
#
* >@
47 > @
K
!
!
E
(
E
$$ $
"
$
$
"
!
$
"
"
! #
$ K
"
#
#
"
$
!
(
4
!
+
"
(
)
$ '
"
)
)
4 $ '
! #
"
) !
$
!#
#
$ '
#
$
5
$
! #
"
! #
'
3*
)
)
!
#
"
!
>#
#
@
!
!
)
$ %
!
!
*
$
!
)
)
';- - '); ! -! . !
; !
! " 5
#
$ 8
E
4
' ' )
# C
$ %
$
0>
)$ ,! . ! -
;3<! =
#
> E "
!#
$
;--<
##
"
D
@
#
#
? 4
#
' ' ) 13
&
1 !
!
-6
/
!
')
1 !
4
6
4
!
6 4
H
*
$
$%&
A
A
4
;-< #
*
' ' ) 12
/
!0
1
!#
1
$%&
!#
4
5 #!
5 > @
!
!
"
@
!
6
'
-
6
6
6
$
!
!
6>
$
#
"
"
A
$
;-<!
$
> @H
=
#
.*
"
!
$
$%&
$
$%&
> @! #
$
!
$
$%&
"
$!
"
*
$
%
$
(
%
$
% $
$
$
"
@
-4!
$
'
!#
#
$%&
* #
$%&
!
=
"
$
>
-5
@
#
#
"
#
* #
#
!
$
"
!
-0
$
(
/$ $
!
%
$
#
"
!
$
"
#
$
$
$
$
$
$
!
H
*
$
$
F
!
$
!
$
*
$
"
E
$
> @
G
E
$ '
> @
8
#$
9> @
#
.1! #
> @
#
7!-
>?@
!#
!
8
> @A
$
81
%
.1$
#
%
)
<
3,5
0
<
)7
)*
3,5
G
3,5
!
/
$
#
8
#
<
%
F
&
$
#
3,5
$
&
.
.
5
-.
' ) 5 ,!
#
'-
!-
!#
''
#
"
"
"
$$ "
$
-?
>
@
$$
"
#
#
'
#
#
#
&
'
>
#
#
'
&
&
@
!
$
.
!#
'
..$
''
!- 11
#
"
(
+
+
#
!
4
5
#
#
$ H
%
!
'
7
B
>.-@
"
;.<
A
,!
$ =
&
7
!
&
!#
&
"
&
#
"
%
&
E
>..@
:
#
!
"
"
9
%
9
>..@
:
!8
H
%
#
8
* '+
"
=
!
*
)
''
"
$ '
)
#
;.< #
!
% &
$
&
&
#
#
.$7
(
*
(
7
#
%$
7
,
#
>
G
"
& @$
&
;.?<! #
(
#
#
9
E
9
9+
9+ 9$
(
0@$
"
8
&
9$
"
9 "
&
*
%
8
>
"
(
-3
9
8 $
8
8
* '+
9
8
%
9
*
-
*
-
9
9
9
+
+
%
%
9
$ 5
"
(
B
#
!
'
,
,
$
' )
$-' ' !
!;'!
#
-2
#
*
!%
#
E
"1
%
#
%
.1!
#
$
$
#
$
$
4
#
$
!
!
>./@
''
5
'
..*
#
!
#
!
>.2@
A
.
.1! #
"
E
$
$
>./@
!
G
-1!
! >.2@
#$
9
. ' )
!
''
#
$ '
,! $.
!-
"
$ G
"
-4
>.-@
*
'
!#
$ H )
'
!
; ;
! $
" $ A
"
>
; ;
#
#
;;
#
*
#
,
;-6<!
@$
'
#
$
"
J
(
$ '
'
#
.2
'
#
;-.<$ '
!- 1
"
%
"
;.3<! #
'
.0@
GM
.2 >
3$
'
,!
6
K
!
$
.$/
!
>.6@
!
"
4
0
!0
5
$
0
'
!
0
>.6@
7
#
0
0
0
!
$
0
-3 > @
0
0
7
"
H
!0
0
"
0
#
"
0
>.0@
>.0@ #
0
7
0
$
"
0
>.?@
!
$
!#
"
'
*
>.3@
7
0
E
>.?@
>.3@ #
>.3@ #
*
"
0
0
0
0
0
$
"
0
.1
$
"
'
K
"
!
"
$ '
0
5 #
!
0
0
!
0
0
"
0
$ 5
0
B
*
!
!
!
0
'
#
E "
'
.$-$
,!
"
!- 1
-0! #
;/<!
"
F# ;.6<
$
#
''
%
!
$
!
"
>.4@
"
"
"
(
"
0
$
"
#
"
4
0
#
''
"
"
!
(
5
$
"
#
$ H
#
# '
%
'
!
*
7#
7"
(
#
#
>/1@
-
,
7!
7
$
7
E
7
7
>/1@ #
7
*
#
"
$
#
#
E
!
#
$
$
7
!
,
!
-3 > @
7
!
,
7
.-
,
#
$
!
#
" *
,
H
$
5 #
$ '
K
!
!
$
!
!
!
H
-3 > @
$ % #" !
#
!
#
!
#
>.4@
#
$
E
>.4@ #
" *
!
#
#
"
$ '
A
!
<
#
$
!
9
#
! #
- -
!
*<
!
<
9
>/-@
A
%
- -
'
<
- -
-1 ;/<
<
<
"
"
A
- -
>//@
#
<
"
" *
9"
<
<
9
<
>/.@! #
"
>/.@
<
>//@
"
*
- -
"
"
"
9
$
'
' )
$-' ' !
!;'!
-2
#
$
?! #
.1
#
#
#
$
>
>-1@@ #
G
" *
?
-0
'
.6$
" 19 %
" !
!
'
#
.2 #
# !
!
"
0
!0
!0
..
0
'
*
. ' )
4
' ' )1
,!
'-
#
!-
D!
!
!
!
&
!
"
"
!
"
5 '
-3 > @$
!
!
!0
"
"
"
"
4
H
>/2@
E
!
0
0
!0
#
"
!
>?@
"
"
!
!0
>/2@
H
>3@
>4@! #
!
#
E
"
!0
>/6@
#
-3 > @
>4@!
*
!
!0
*
"
!
!0
+
#
E
>/6@
! 0
! 0
> @ #
"
!
!0
!
"
>/2@
>
E
>3@$ % # " ! "
>/2@@$ %
!"
#
"
4
5 5
0 3
#
,!
!- :
0 3
K
.? #
./$
#
#
" *
$
0 3
#
"
#
$
?#
$
"
$
"
> @$
$ A
E
>--@
" *
!
$
./
!
>/0@
K
5 #! #
./ #
#
>/0@
E
H
"
'
!
! #
!
#
"
$ '
!
#
>/2@$
*
#
!
=
!
$ 5 #!
#
! #
*
"
-$
0
!
.$ !
!
K
"
0
! 0
>/2@!
! 0 $
"
!
! 0
0$3
"
"
$$ A
;.4<!
'
!0
!#
! 0
>/?@
>3@ #
! 0
*
! 0
! 0
!#
>/?@
#
'
$ H
0
"
!
.0
! 0
E
!
E
!
#
!
$
*
!
!
"
$ K
"
"
!
$
"
!#
"
>-/@! "
#
"
-1
"
$
>
" (
$ '
>/?@@$
!
#
!
#
E
"
!#
#
'
.$.@$
!
E
>
$ $
#
$
% #" !
$ '
E
E
"
!
"
$ $@*
.
.2
>
-
#
#
.
.
@
$ K
.
$
.* .
"
#
> 9 9 "
.
$ '
! (
*
.
%
!
.
!
'
;3<
* >@
"
*
!
=
=
*
A
$ '
$$
"
! ;4< >
6@! #
$$
7> @*
"
$$
;-<!
!
"
$
8) # !$;-!) * # #
G$ K
!
!
8
#
$
#
$
$ GN
A
$
"
$
7!5! !) !
;-<
D!
#
D! (
0
* CK "
A
H 2! /1/ /-6 >-442@
. 8
;.<
1
* CF
! - .- >.11.@
;/<
* CF
D!
;2<
8
* C ="
,
8
D!
;6<
! -4?1 -44- >.112@
=
! -20 -63 >-4?6@
!
#
#
* C
D! 0 %
!
1! .64 .?.
>.11-@
;0<
!
%
D! (
0
" #
* C8
1 1! 44 -./ >.11.@
;?<
'
$
* CA ,
I
'
D! (
$ 22! 20/ 6.1 >-442@
A
;3<
* C'
A
.61 >-443@
D! (
.6
'
$
1! .-6
;4<
* CA K
#
A
D! 8
! -/? -?/ >-444@
E
8
;-1< & '
8
* CK
D! %H
O
;-.<
8
%
9"
; 7D9, 9D : ! -6. -01 >.11.@
I#: %
* C'
8
D! (
;-/<
%
# #() * C
"
2 1! .64 .?0 >.111@
() *
D! (
0
;--< &
!
I
2& ! /4 6. >.111@
0
* CF
D! '
!
;-2<
* C
D! (
;-6< ! (
"
9
0
! /6- /6? >.112@
* C'
I
!H
;-0<
D! ,
*C
D! %
#
8
! .-6 .01 >-43-@
( * CK
*
#
K
K
D! J >
;-3< '
(
P
>-4?/@
(
;-?<
>.111@
!
* '
=
! .64 /12 >-44-@
* CF
+
*
0
D! (
! 1 1! -.6 -/2 >.11.@
;-4< '
,
! -)* C
(
D! %# (
J '
$ $! 1 ! ?1. ?/1 >-44-@
;.1< '
* C'
(
"
8
;.-< '
* C5
(
;..< ,
H
J
"
! -612 -6-0 >.11/@
8
;./<
D!
! 412 461 >-444@
. /
* CK
"
D!
=
D! '
'
>-43?@
(
#
* CH
D! -
* '
>
%
.0
.2? 6? >-404@
!
;.2<
(
;.6< 0%
= #
*
CF
D! J >
/?/ 2-/ >-4?-@
* CF
*&&###$
;.0< # (
5 #Q
;.?< #(
R$
#
1
$ #$ $
* C'
#
D!
# &
&
F
D!
2
#"* C
$ /4! 2/4 201 >-4?-@
D! %
( 2 , * CF
P<
;.4<
#
;/1<
"
"
8
* CA
D! 0
%
* C
D! (
!
D$
! ! .0/ .3/ >-432@
* CF
" D!
#
#
=
>-44-@
;.3< #)
;/-<
>.112@$
&
! 2// 26? >.11/@
0
! ! .6 66 >-442@
.?
#
! 042 ?/2 >.11-@
!