Probability Theory: Counting in Terms of Proportions

'
!
$ %
(%
&
'
(
!
!" #
"
!
&
)
)
&%
+
.
% +
* +
* +
0
%
,
* &%
-
,/"
,#"
% +
1
!
!
"
"
#
$
!
#
!
!
$
!
!
"
"
#
$
!
#
!
!
$
!
!
"
"
#
$
!
#
!
!
$
!
"
"
#
$
!
#
!
!
$
!
"
#
$
"
!
#
!
!
$
!
"
#
$
"
$
!
#
$
!
"
"
#
(
+$
3 4, 5
+
$
2
/
"
6
/"
! %
2 - - -2
#
+
$
-
%7
* /" 0
!
8
&
"
)
1
9+
%
%
%7
%7
%
)
)
-
&
%
%
:
4
'
6%
-
&
%
%
:
4
'
6%
%
-
;
#
&
$
+
<
&
#
%
% +
%
%!
4 #6
=
+
-
;
#
&
$
+
<
&
#
%
% +
%
%!
4 #6
=
+
-
;
#
&
$
+
<
&
#
%
% +
%
%!
4 #6
=
+
-
;
#
&
$
+
<
&
#
%
% +
%
%!
4 #6
=
+
-
;
#
&
$
+
<
&
#
%
% +
%
%!
4 #6
=
+
-
;
#
$
%
#
>
+
%
?
-
#
$
%
#
!
%
4
< ?
$
#
% +
+
%
% #
# 6
+
?
#
$
%
#
!
%
4
< ?
$
#
% +
+
%
% #
# 6
+
?
#
$
%
#
!
%
4
< ?
$
#
% +
+
%
% #
# 6
+
?
#
$
%
#
!
%
4
< ?
$
#
% +
+
%
% #
# 6
+
?
#
$
%
#
!
%
4
< ?
$
#
% +
+
%
% #
# 6
+
?
&
:
'
A
?
%
@
&
:
'
A
?
$&
%
@
&
:
'
A
?
'
%
@
&
:
'
A
?
''(
%
@
%
% %
1
%
!
+ +
,B +
*
+
%
?
C
+
?
,
%
+
=C
%
,B -
+
-
, ) 4D
,+
4
- 6
D
,6
%
!
+ +
,B +
*
+
%
?
C
+
?
,
%
+
=C
%
,B -
*
+
-
, ) 4D
,+
4
- 6
D
,6
. +
#
"A =
(
+
-
% =
!
4
+
D
,6
*
>
#"
-
E>4D/ E4"#>6
3 E,+
- 6
+
-
, )
7
%
+
#
!
%
%
-&
% +
<
&
$
#
+
+
%
%!
4 #6
=
7
%
+
#
!
%
%
-&
% +
<
&
$
#
+
+
%
%!
4 #6
=
7
%
+
#
!
%
%
-&
% +
<
&
$
#
+
+
%
%!
4 #6
=
7
%
+
#
!
%
%
-&
% +
% 4 #
*
$
#
+
+
6
+
F %
%
+
4"# 6
#
%
7
F
%
. +
#
(
A =
"GH
+
>
% =
H - I<
=J
> 3"!
+ > #"
#"
> 3 4 GH6> #" / 4"GH64"#> #"6-
$ +
!
> 5 E 3 "GH4> #"# E6
> 5 E 3 4"GH6 E-
;
3> 5E
3 "GH
%
3 E-
3 E / EH
#"
4
K 7
K 0
K 0
K 0
+6
-
"
E
-
"G
%
-
"G"
• …
Might then look at distribution of # buses in
given time period, or waiting time for next
bus, etc.
!
LL
&
(
?
-
#
/ 0
%>
?
NO
,
-
>
+ -
<
M
+
%7
=
./ $
#
-(
-1
&
P
%N
>
H
E
%
%
A -
-E
?
&
+
2
#
" "
3
"
2
!
-
2
#
#
$
$
$
!
$
!
!
*
%
%' %
+
%
+
%
*
%
+
-(
<
%=
%
%
%
%-
-
X
H
+
%
P >
?
-
X
'
GH
%
%-
!
#
*
%
%
L
%
-
;
&4
)
6
%
!
F
+
+
!
4F6+
)
;
&4
)
6
%
!
F
)
+
+
!
4F6-
;
%
+ +
)4F6 3 4F6-
!
%
%
F
!
%
-
!
&4
6
%
!
F
+
+
!
4F6-
!
)
&4
6
%
!
F
)
+
+
!
4F6-
4
+
F
)4F6 3 4F6 3 -
)
&4
6
%
)
!
F
+
+
!
4F6-
-"N
-"
-"H
-""
-
+
"
-"H
-"
- P
0
&4
F
&
6
!
%
!
4F6-
0
!
)
+
+
%
0
0
&4
6
%
!
F
+
+
!
4F6-
0
0
)
0
&4
6
%
)
!
F
+
+
!
4F6-
-"N
)I0J
3 -
-"H
-"
)
&4
F
(
6
!
%
%
!
4F6-
+
+
>
%
)
-
)
&4
6
%
!
F
)
+
+
!
4F6-
"GQ
"GQ
"GQ
"GQ
"GQ
0
4F6 3 "GQ-
"GQ
"GQ
"GQ
"GQ
)
&4
6
%
!
F
+
+
!
4F6-
)I0J
)
3 R0RGR!R
3 GQ
&
<
+
%"
+F
% =
S
{H,T}1000
>
S
>
?
%
1/|S|=1/2100-
&
% 100
+-
!3
>
"
F
4 )
647 )
:
.-
55
89 9
;
<
&
% 100
+-
&
<
+
%"
+F
% =
E 3 8F
& %
+
%
!RF
% 9
E =
100
50
F
=
0
03!
>
+
50 HA
% 50 TA
!
2100
>
{H,T}100
E3
E
100
E
50
= 100
! =
S
2
&
+
I0J 3 |E|/|S|=|E|/2100
F
=
!
=
+
; ,/ % <
N
""=
%
%
!
!
%
@
!3
8 4" "6
4 "6
4H "6
4 "6
4 "6
4P "6
0
4"
4
4H
4
4
4P
6
6
6
6
6
6
4" H6
4 H6
4H H6
4 H6
4 H6
4P H6
03
4"
4
4H
4
4
4P
4F 6
I0J 3 R0RGR!R 3
6
6
6
6
6
6
4"
4
4H
4
4
4P
+
6
6
6
6
6
6
4F6 3 "GHP
F !
4" P6
4 P6
4H P6
4 P6
4 P6
4P P6 9
F/ 3 N
E
""
! 3 SGHP
H
-
!
%
H
>
?
<
+
+
%
=
& %
%
Ω38"
!
H 1 HPP9
@
H
%
4 ) 6
A
+
>#!>"$"> >5> !!#>
H
0
<
0 3 8F
ΩR +
F
9
R0R =
E
%@
7
E =
Ω
>
%
E
≈ .51
Ω
&
+
4
6 - . - ? , . 7 ) (
6! . . - ? 9
, - - 0 7 ) "$ 8"$$(
6" . . - ? 9
, - - 0 7 ) "$#8"$$(
6# . - ? 9
, - - 0 7 ) "$"8"$$(
5
6!"
.
.
- ? 9
,
-
- 0
7 ) "##8"$$(
1
365/366
364/366
363/366
6
*
&
7
I&R7J
+
%
%
%
Pr [ A ∩ B ]
3
Pr [ B ]
Ω
@
A∩B
B
+
=
% ; ,/ % -
!
%
<
+
"
N=
& 3 8+
738
%
3 "9
3 N9
!
!3
8 4" "6
4 "6
4H "6
4 "6
4 "6
4P "6
4"
4
4H
4
4
4P
6
6
6
6
6
6
4" H6
4 H6
4H H6
4 H6
4 H6
4P H6
4"
4
4H
4
4
4P
%
3 "9
& 3 8+
R&
7R 3
6
6
6
6
6
6
I& R 7J 3
R7R
4"
4
4H
4
4
4P
6
6
6
6
6
6
4" P6
4 P6
4H P6
4 P6
4 P6
4P P6 9
738
I&
7J 3 "GHP
I7J
Ω
%
%
%-
3 N9
"GP
+
%
%
-
( %
&
%7
%
%
@
%
I&R7J3
⇔
I&
7J3
I&J
I&J
I7J
⇔
@
I7R&J3
<
I7J
I&R
476 J =
( %
&" & 1 &?
%
%
@
%
?
+
%%
-
0- - 8&T" &T &TH9
%
%
I&" R & J 3
I& R &" J 3
I&H R &" J 3
I&"J
I& J
I&HJ
I&" R & ∩ &HJ 3
I& R &" ∩ &HJ 3
I&H R &" ∩ & J 3
I&" R &H J 3
I& R &HJ 3
I&H R & J 3
I&"J
I& J
I&HJ
I&"J
I& J
I&HJ
( %
&" & 1 &?
%
%
@
%
?
+
%%
-
I&R,J 3
&
I&J
8& 9
,
U
4 - - &
% &P
% &N6
!
*
+
%' %
+
%
%
%
*
%
+
<
%=
-(
%
%
%
%-
-
'"
%-
I'"J 3 "G
'
%
I' R '" J 3
I'"
%' JG
%-
I'"J
3 4"GH6 G 4"G 6
3 GH
A
B
.
!
.
.
-
.
K&
%
H%
KV
L
%
%
%
-
-
K&
KV
+
%
%
?
+
<
% =
-
L -
.
K!
8
L
L
L
Ω3
%%
%%
%%
!
"
+ +
H 9I
0
+
"GH-
%
3 "GH-
%
J
%
J
!+
+ +
I
+
3 GH-
%
+
+
? =
<
%
M&
%
>
7
%
%
?
?
%
1O
@
$
2
%
- ,
+ ?
,
%
,
+
0
= ;
?
3
#
- C
C
;
3
.3 0 ; =
0
-- =
.
. =
3
(
1
$
%
+ ?
%
+
#
K
F
K
K
!
3
4
+3
F
+
"
F6
3
3&
:
>
4F64
%
6
@
%
?
$
%
+ ?
$
K
%
?
%
W"
K(
W? +
W"
+
K&
K<
?G"
G
W"-
% +
W =
-
+
L
1