Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity

! "#$%&
'()* '+,-. /0,,1
2# 34#5
678 9:;: (-;:70<;+.
=>?@ABC@
6D;< EFE70 ;-;+;F+7< +D7 <+GH. ,I +7<+;-J E0,E70+;7< ,I H;07K+7H J0FED<L M- EF0+;KG8F0N +D7
EFE70 K,-<;H70< +D7 O,<+ PF<;K E0,E70+. ,I H;07K+7H J0FED< Q RSTSUVSVWTL /7KFG<7 +D7 KD,;K7
,I 07E07<7-+F+;,- FX7K+< +D7 KD,;K7 ,I F8J,0;+DON +D7 +Y, OF;- 07E07<7-+F+;,-< ,I J0FED< F07
<+GH;7HL Z,0 +D7 FH[FK7-K.\OF+0;] 07E07<7-+F+;,-N O,<+ FEE0,E0;F+7 I,0 H7-<7 J0FED<N F +7<+;-J
F8J,0;+DO ;< H7:78,E7H +DF+ 07^G;07< ^G70. F-H +;O7 K,OE87];+. ,I `_ abcdefN YD707 d ;< F H;<+F-K7
EF0FO7+70 ghijk jhijhl ,I +D7 <;m7 ,I +D7 J0FEDL 6D7 F8J,0;+DO N YD;KD KF- E0,P7 +D7 FH[FK7-K.
OF+0;] ,I +D7 J0FEDN FKK7E+< 7:70. J0FED +DF+ ;< FK.K8;KN F-H 07[7K+<N Y;+D E0,PFP;8;+. F+ 87F<+
ncoN 7:70. J0FED YD,<7 FH[FK7-K. OF+0;] <D,G8H P7 O,H;p7H ;- F+ 87F<+ d I0FK+;,- ,I ;+< 7-+0;7<
<, +DF+ ;+ P7K,O7< FK.K8;KL Z,0 +D7 ;-K;H7-K7 8;<+ 07E07<7-+F+;,-N O,<+ FEE0,E0;F+7 I,0 <EF0<7
J0FED<N F- qars rtuvf 8,Y70 P,G-H ;< E0,:7H ,- +D7 -GOP70 ,I ^G70;7< F-H +D7 +;O7 07^G;07H I,0
+7<+;-JN YD707 s ;< +D7 <7+ ,I :70+;K7< ;- +D7 J0FEDL
98,-J Y;+D FK.K8;K;+.N +D;< EFE70 K,-<;H70< +D7 E0,E70+. ,I wlxyhz {yhhj{lg|gl}L ~,-+0F<+;-J
GEE70 F-H 8,Y70 P,G-H< F07 E0,:7H I,0 +D7 ;-K;H7-K7 8;<+ 07E07<7-+F+;,-L M- EF0+;KG8F0N ;I +D7
+7<+;-J F8J,0;+DO KF- ^G70. ,- P,+D ;-K,O;-J F-H ,G+J,;-J 7HJ7< F+ 7FKD :70+7]N +D7- ;+ ;<
E,<<;P87 +, +7<+ <+0,-J K,--7K+;:;+. ;- `_ abcdf +;O7 F-H ^G70. K,OE87];+.L - +D7 ,+D70 DF-HN
;I +D7 +7<+;-J F8J,0;+DO ,-8. DF< FKK7<< +, ,G+J,;-J 7HJ7<N +D7- qa f ^G70;7< F07 07^G;07H +,
+7<+ I,0 <+0,-J K,--7K+;:;+.L
A? 0,E70+. 67<+;-JN ;07K+7H FK.K8;K J0FED<N F-H,O;m7H F8J,0;+DO<N 9EE0,];OF+;,F8J,0;+DO<N 0FED F8J,0;+DO<L
¡¢££¤ £¤¥ ¦§£§¥
¨§¤¤§ © ¡¦¨ ªªª«¬
® ¤ ¡¤£ ¯°°¥ ¯ ±² ³ ´µ ¯² ¶µ¥ ¯² ¶µ¥ ³´ ··¸¹º¹¹ªª¥
±¯¬ »¤¼ ½¾¿À¾ÁÂÃÄÅÄÆ¿ÇÄ½ Å¾ÀÆ Å ¯£ È² ÉÊ¦ ¦È¥ ¯Ë ¡¥ ¯
³ ¦È¬
Ì® ¤ »°° »§§ Í ¯²¤¥ Î ±²¥ Ê¤ ¥ ¬ »¤¼
ÀÏ¿ÏÁÂ¾¿Ð ÅÑ ÏÆ ÅÏÃÅÒÓ Å ¯£ È² ¯°° Ô£¥ § £¤È ÕÖªªº·¬
×
! "#$#%&# ! ' '( )! *'+ ,-!'!
' !. / ! ** 0' ! ')*+ ) !'*1 )2 3! ! + * !4 '( . 5 -* *4' '( ! ')*+ ! !0 ' #%678
96 "#$#%&# ! 1 . : !; ! + +-+ -+) '( ! <' 1!= !'-* ) + '1 ('+ !' ' + 2*!. :! ')*+
! 0' ! > &?&> @> A 88BC"#D "E# F6E G8E98HI 789 ')*+ . J ('-*2; ! ')*+ !
K LM NOPQ 1 5LRM NOSQ. T'!,-*2 !! 1 1*' 'U+ '
*'+ ! 1'-! !! <*- !-2 '+ *+ 2 ')*+ '( > "H&> @>
"#$#%&# 7@CV E"W X = N×O ; × Y ; ZO; O[ ; [ ; OO ; Z; ×\Q.
]^_à bcd d^_] : 3* '( e879&? V f E"W X g E6W 8E9&87 N×hQ !-!! *
(+ '0 ' !-2 ) '1 ')*+ ; ! ! ' 0 !
. 5 W E6W 8E9$ 98798E + ! i j <k l m = ! 1 ' 2 ' ! A "E
A E6> 1 ' 2. n ' ('+ **2; :! i L' ! ! !-2 '( ('**' (+ *2 '( !0!. o L ) + ' 2 <!- ! 2*2; '12; '
ZM'*')*2=. 5 ! *'+ (' ' 2 L ! 1 "##877 ' i !' p@8E$ *'! ! ) 1!. /( i ! ' 2 L *'+ ! !'-* qrrstu
'))*2 *! OvZ. /( + 2 + '3'! !'-* ) ('+ !' i ! ' 2; *'+ !'-* wsx sru '))*2 *! OvZ. : !-!! '))*2 '(
*'+ **2 ) + *3 )2 '! ' ) )*2 *'! ' × .
y -! *U !0 '( 8H "#9%$ ! ' 2; )- U '(
*'+ ' ('+ ! !0 )2 ')!1 ! ( 1! ! ! '!!)* .
z 3**2; '*2 ** ' ! + ! 7@C%&? 8"E &? ' 1 &?B8W 8?B8?9 6A !4 '( . :-!; '! ' ! '' '( *'+ !; ' 2 !
*'+ ! ' '1 '* ,- ' - + '*2'+ * !4
'( . { ; 2 '1 !! ' U ' - !-)*
+ .
n ' '*2; ! !-2 ,-!' '( i ! 2* ' ( ('+
2*. /( ! ( ('+ 2* < !; + 2 ! !'-* ) + '1 !' ' 2*
+ !=; ! !'-* wsx sru| ( -**2 &7 2*; ! !'-* qrrstu| (
! ?8"E%$ 2*; ! + 2 ! 2. :-!; U-! ! ('+
! + '! } -* !! '*2; )- ,- ! ' U- +- + '
,-0*2 2 U !' *'+ .
~ ^`c^ ^_` ~ dd_c^_` / 1 '( )'1 ; ' 2 ! !-!! *1 '' '( 'U+ ' ! * ' '' '( B@"% "WW E6H&> "9&6? NOZ ; O\Q. 5 'U+ ' *'+ ! + !+ ! "##@E"#$ (' 7W 88B . i1 ' + 4'
')*+ !!' ! '!! !'*-'!; + ' ! '' '( 'U+ ' ! ' 3
O
!'*-' ! #%678 ' '! '( ' + * !'*-' . 2 *'! ; + 1*-
('- ! !'+ +-* *1 (' '( ' + * '!.
5 ' 2 ! *!' ! -2 (' ! ; )- + 2 -! '' '( ! .
z 3**2; ! ! + !- + ! '( -+) '( 8BV 8 &?78E9&6?7 B8%89&6?7 !!2
' ') -* ' 2 < ; -*; + 2 ) 1 !'*-' 1 '!=.
: ('**' U+ * **-!! ' ''! '( ! . 5 i + ) ?8"E%$ ZM
'*')* !! ! ZM'*')* i !+ ** ! ' i ; )- A "E A E6>
ZM'*')* !! + 2 '*'! ,- ' '*' i . 5 *1*2; i + ) *2 ZM'*')* !! ! \M'*')* ; )- ( ('+ ZM'*')* !! '
! 1 !+ ** ! ' i ZM'*')* . ' ''! -* (
' ! ' 'U. / !'+ !! ' ''! ' < . .; n UMT- N×hQ=.
~ dd_ c^_`] 5 M ' 2 ! + 2 ) + *'2 !1* 'U!. < × = 5 (! ' 2
! ) -! ' ! - !*' U !' ' - ! ('**' !. (' - !*' !' ' - ; - !. /( (! U ! wsx sru ; 0' '3 ' 2 '! ' '* ! -!!2 ' - !*' !. / (;
! '( ! ! *'+ !; '1! &9? 877 '! ' 1 ' 2 < '- ! ; 2*=. /( (! U ! qrrstu ; !*'
U !' '- ** + ' 2 ! *'! ' '* ' -**2 '*!.
<O= : -+ !! 0' ' 2 *2 '*! ! '' '- '!,-*2 U !' ! -!!2. <Z= / + 2 1 ) K LM ' ! ,-!'
U*2; !' !'+ ('+ '( 'U+ ' ! 1)* .
dc ^ bcd d]`^c^_` y ' 3 !*2 '' '( ! '
! -**2 ') ! . / (; ' '* !'! (' !;
"B "#8?#$ > "9E&#87 &?#&B8?#8 %&797 . : ' '( !' !'*2 ! ! !!-!; !
** ! *)* *'+ ,-!. y !-+ + 4 ' ! '( !'
.
B "#8?#$ "9E&H 6B8% i'* ; i'*!! ; {' N × hQ '! 2M+ U
!' '( !; ! *'+ ! **' ' ') ' + U . :
!; *'+ ,-2 ! ) 2 ' 1! '( ! ' . /
- ! + U ! !2+ + ; ! ! + 2 ' ) . / !
!' ! ) ! ! A E"#9&6? 6A 8?9E&87 2 + U '
' ! . 2 ! 3' ; (' 1 ! + ; *'+
!'-* 12 ,-! + ' k + ' 3'! ' ' ,-
! ' 2. :! !' ! + '! ' (' ! !; !-*!
(' ! ! + ' * + '! + (-* (' !- !.
° °²°°²¥ ° ° ² § ° ¤
¤¤£¤ È°µ ° È¤ ° ¤¬ É¥ È¤ ¤² È°£
¤ ¤ È¤ § ¢£ §¤ ° § ° °²°°¬
Z
F 6@?B8B 8? V 9 XI ?#&B8?#8 &797 6B8% i'* {' NO Q '! M*!!
!' '( !. / ! + ' *; ! ! )2 *!! '( %8? V 9X ; ! )'- ' '( . ! *'+ ,-2; (' 12 1U U × l l ; ! ) ' '( . /( ' !- ) ' U!! !
! . / ! '( ! !- *! '! '! ' '-' ! ('+ 1U . 5*''-!*2 ' 2 + U + ' *; ! ) ! ! 3 '
) (' '( ! ' ! ' ' ! !' . z '* -+) '( M*! ! ! k ; !'-* ) ( -+) '( !
+ '3'! ,- ' ' ') ' 2 ! k . `_ ] : *)* ,-! ' ' '( !' . 5 * M
,- ! -! (' "B "#8?#$ > "9E&H !' ! E"?B6> 7"> W %&? V . z 3**2; !
! ; *'+ '+ *2 !*! !+ ** ! J '( 1! ('+ i ; 3!
! ' 1!; + ! ' 2 '*! (' !+ **
!-) - )2 J . /( !' ; *'+ qrrstu . /( '; *'+ wsx sru . ( -U '( ''( ! !' ( ! ( ('+ 1 ' 2; '!
+ 2 <12 !+ **= !-) ! ' ' 1 ' 2.
: M*!! !' ,-! ! '( ,-!; + ' *)* ' ! !
!. z 3**2; ) -! ! 1 ( !; !+ ** '+ !+ * '( 1! 2 **2
! ' ! * ' !+ * ; !; ! -! + 2 . :-!; ! *'+ ! ('
! ! -! '* ,-! ) !! - '+ !+ * . / -*; !'+ *'+ !
*2 1'-! ('+ ! '( U-!1 *'* ! <!- ! ('+ )M3!M! -* -* -+) '( 1! ')!1= NO ; OhQ. *'+ ! -! '+ *0! !
('+ '+ *2 !* 1! NO ×Q.
]^_à _ ^ bcd] :! !-! ' 2 ! (' B&E8#98B V E"W X 7 :2 **2;
1 ')*+ ' ! + ' } -* !+ ')*+ ' -
. / -* ; ! 2*2 '( - ! 2M+ U !'
! !(' 5!!-+ <' ' ! ! '!!)* ' + 0 U !' + '*2'+ * × v )2 *''0 '* =. : )! ')!1' ! "?$ 1
+ '! k ! ! *2 2* <) -! ! M*'! ' + 2 =; * 6?%$ 12
! ! ! <1 + '! k × k != + 2 ) 2*. *'+ !+ -+) '( ! )2 !+ * ; ' )! ' ! !+ .
:! 2*2 '( - ! M*! <) '-M= !' ; !
+ ' ! ! !- NO Q. '1 ; ! !-* '! ' U ' ! !.
°£²¥ È£ ¤ §¤ ° ¢£² È£ !
§ ° © £¤È °¤§ § È£ «¬ " § ¢£² È£
°¤§ § ° ¤µ § °² ¬
# È ¤ °° È § $¸ % ¬ £° °¥ °
& ° £¤È § §¬
\
] ^] y 3! '! ')*+ '( ! 2*2 2 + U !M
' . y !) ! '! ,-2 '+ *U2 - + &?B8W 8?B8?9 '( !4
'( W 6%$?6> &"% 1 ! + . z 3**2; ,-2 '+ *U2
- + ) ' . 5 ! + ' ) '1 ; *'+ '0! )2 '+ *2
-('+ *2 !* ! '( < × v = 1!; 1(2 !+ ** !-) -
)2 ! 1! ! 2*. :-!; 2* ! *2! ; (' ** !;
*'+ ! '1! !! ! ' 2* ('+ '( !' 2* . 5
02 <'+)'*= *+ + -! '1 '!! '( *'+ ! !' ! ! ( ('+ 2* '! *1*2 * !-)! '( 1! (' 12 1U !-)! ! + 2 '-' ! U ' ' 1! !-)!. y !' !+ * '( 1! ('+ ! !-)! *0*2 -! !-) '! 2* .
y U - ' ')*+ '( 2*2 ! M*!! !' . y
+ '! ')*+ ! !3*2 ! ! . z 3**2; !' < k = *' )'- ' -+) '( ,-! ,- (' ! ! ! . :' '1
) '- 3 ' (+ *! '( ! ' ' '*2 2* ! '
' + '!*2 ! ( ('+ 2*. y !' < k = ,-! ,- ' ' + ('+ (+ *2 '+ *2 !* ! '! .
/ ! ,-! -! ! - ! M*!! M
!' ; ' ) * *2 ' ') } 2*2 ! *'+ (' !. T'! '! *1*2 * !-) ! ( ('+ 2*; )-
!- + 2 ! ' ! !-) ' 2* '! '( . 2 '- *' ) '- ;
2 ! *'+ !'-* ('+ + 2 ,-! ' ! ! !-) <' !M
-! ('+ ! !-) ! 2*=. '1; ) ' U-!1 *'* !!
'+ *0! ** 2 *'+ 2 ' 2* '! '( . / '-* ) ! ' 1*' 2*2 ! -!! < k = ,-!; (' "?$ .
]^_à ^ d^_] _ ^ bcd] 5 ! ' N×h ; z-)!' × . × .OQ; !'+ '( ' ! !- < 2 + U + '*= 1 *'! !. -+ ' ; *'+ ! (' ! ! ' ! ) U ' !.
/ -*; ! ' ! 3 )2 '! '( 1! '!! ' !4! '( !! ' ! ** ! ' !2 '( ! ) ! !!. : ,-! '( N×Q <(' ! ' ! '( - ! 2M
+ U !'=; *!' ) U ' ! ' ! '( ! <L1
'+ +-'! K' 5 *'=.
5 ' )! ' 2 '( !; ! <79E6? V = #6??8#9&G&9$ . K + *2; ! !'*2 ' ( ! ('+ 2 1U ' 2 ' 1U .
:! ! ' 2 ! + '! + (-* M*!! + ' *; ! 12 ) + !'*2 ' )2 + '! O !. : - 1!' '( ! ')*+
! !- NO Q; *'+ 1 ,-2 + ! '+ *U! < × v = ! !
*24 . 5 ! !' z' S; ! *'+ ) U ' ! &A
S
9X 8 "%V 6E&9X > #"? "%76 W 8EA 6E> p@8E&87 "C6@9 9X 8 &?#6> &? V 8BV 87 96 8"# X G8E98H . ! ; <
*'+ '*2 ('+ ,-! ) '- '-' !=; *' ) '- '( < = ' -+) '( ,-! ) ') .
c^ L' 2 ! '( (-'! ! 3! U **2 3 NZ ×Q U
N×hQ. :! *) ' ! < . .; *2 ' ) '*2'+ * '( *'M= *2! + ' '* !! '( L'+ :! < . .; Nh ; Z × ; Z Q= L'))*!**2MT0)*
L''( !2!+ ! < . .; NY; P; ×Z ; S ; \Q=. 5! + ' 1'-!*2; !-2 '( ! ' !
! N×hQ; ; -*; 2M+ U + '* ! '! . z'+ '(
' ! !- '0 ) !!; M'*')*2; 1 *,- '( !4
+ ' . / NO Q; ! ' ! '( ! ! )2 *!! ! '! .
z'+ '( ' ! !- '0 M'12 2*2.
m- 89 "% N××Q 1 '*2 < × v =M+ *'+ (' ! *' ! '* '.
:! ) 1 ! ! * ! '( ! 2*2 2M+ U + '*; ! !!-+ U!! ) 8G8E$ ' 1!.
! ' ! '( ' ! ' '+)'* ' ! M
*- NO × ; ×× ; OY; ×[ ; × Q. {*2; 5 *' 89 "% N×Q ! * (+ *2 '( ' !
) ! -! !+ * ! '( !4 '( <'- M
' ! + ! !'+ =. / NOQ ! !' ** ' ! 3
)2 -* *-! ) ! -! !+ * '( !4 *+ '! * ! + .
5 ! + ' 1'-!*2; * + +-+ ()0 ! ')*+ ! 5 LRM NOSQ; !
'+ *+ 2; + U+-+ 2* !-) ! 5LRMT'+ * NO[Q. : ('+ ) 'UM
+ ' (' '( <*' k *' *' k = N×OQ; * ' Ov < × < × v ==
! + U+-+ N[ ; OOQ. k! '( ! ')*+ ! !- ('**' ! NZO ; × Y; ZQ. L ! !-* + '! *'!*2 * ' '- '0 ! '( 4 M
N×\Q. : 2 !' ' ' 'U+ !4 '( + U+-+ 2* !-) ' 1 (' '( k ; + U '* × v . / '+ !' ' !-*; !'*1 + '
! ')*+ + '*2'+ * × v ! ' '! ' U '*. / ' ; ! '-
*2!! ! *' ' -* ')*+ <! ' '! ' ! ('**' ! ('+ *
+ 1! ! ' (+ *2 '( 'U+ ' *'+ !=; + 2 1 + ' ! '
')*+ ,-!' .
y - '( ! + + '2 !' !4!; ')*+ '( U+ * !--! !-)* + ! ) !- ' 'U!. ' U+ * ; i)) '! n ! N×S ; ×PQ 1*' 12 '( !--! * ('+ ' ('+ * )!! !'
2 ) U+ !-)* + .
ac`_ c^_` :! ! '4 ! ('**' ! / !' O ! 3'! M
+ '*'2 ** ) -! ! '( . / z' Z ! ' 2 ! ('
M*!! !' . / z' \ ! *' ) '- ' -+) '( ,-!
,- (' ' 2 ! 2M+ U !' . / z' S '! P
')*+ '( ! ' 2 '( !' '12.
o i j <k l m = ) ; k j ; m k k '!!! '( 6EB8E8B W "&E7 '(
1!. ' 1 ! '( 1! J k ; * i <J = ' !-) '( i - )2 J ; (' 2 ' !! '( 1! J J ; * m <J l J = ' ! '( ! ' ('+ 1! J ' 1! J . : !; m <J l J = j <
l = m J l J .
y !2 i ! "#$#%&# ( '! ' 2*!. / ' '!; i ! 2*
( '*2 ( U!! <'M'M'= ' (-' k × l l ; !- (' 12
< l = m ; < = <
=. y !2 < l = m ! G&6%"9&? V 8BV 8 ! ' ' < =; ( < = <
=.
y '! ' !'! '( <= !. / "B "#8?#$ > "9E&H !' ; i ! ! )2 × 1*- + U n ; (' 12 '( 1! l k ;
n N
l Q j × ( '*2 ( <
l = m . :! !' ! + ' ' (' ! !
! ! !; ) -! ! ! ! !' *! * ! ! .
/ &?#&B8?#8 %&797 !' ; i ! ! )2 + U o ; < ) 1 ! %&797=; ! ) '- ' '- '( 1U i . ' k N Q; o N l Q j ; ( '*2 ( ' '- '( ! ' . /( !- '!
' U! 1*- '( 2 ! .
' 2 × ; i '( ' !'!; ! ! ' ) M #%678 96 "#$#%&#;
( + '! M(' '( ! i ! !' ' ) + ' 3 ' + 0 i 2*. /(
> 6E8 (' '( ! +-! ) + ' 3 ; ! MA "E A E6> "#$#%&#. -! 2M+ U !' ! !4 ; ! + ! i 2M+ U
!' ! M*'! ' ) 2* ( + '! ! ) + '1 ' + 0 i 2*.
-! M*!! !' ! !4 ; -+) '( ! !'-* ) + '1
! !' ! + '! . K' ! M*'! ' 2* ( '*2 ( U!! ' (-' < =; ! ' + '! <!+ **2; =;
1'* !.
5 ! *'+ (' 2*2 ! 1 ! + ; '* !! ' -0' i . / 2M+ U !' ! + ! *'+ ,-2 (' 2 ' 1! <
l = m . / M*!! !' !
+ ! *'+ ,-2; (' 2 1U U N Q; 1U '! ' '- '( ' ' . /( i ! 2* *'+ !'-* qrrstu
'))*2 *! OvZ; ( ! M( ('+ 2* *'+ !'-* wsx sru '))*2 *! OvZ.
Y
y U 1 '- *'+ (' ! 2*2 ! ! )2 ! 2
+ U . z+ **2 ' !1* 1'-! ! *'+ ! <-M= 2M+ U
+ ' *; *'+ ! -* ' . K + *2; !*! '+ !-) '( i <1 '*2
< × v = 1!=; 0! ! !-) ! 2* < ! != ' ' <
! !=. )!1 !+ * !4 ! '( !4 '( i .
× . J ('+ *2 *2 !* ! '( <*' < × v =v = 1! ' ! )2 J .
O. ' 12 '( 1! l J ; ,-2 < l = m ' < l = m ; -!
') !-) i <J = - )2 J .
Z. /( i <J = '! 2* ; E8 8#9 ; ' ! "##8W 9 .
eX 8 "%V 6E&9X > B87#E&C8B "C6G8 &7 " 9879&? V "%V 6E&9X > A 6E "#$#%&#&9$ X "G&? V p@8E$ "?B
9&> 8 #6> W %8H&9$ < × v = @E9X 8E> 6E8 &A 9X 8 V E"W X i &7 "#$#%&# &9 &7 "% "$7 "##8W 98B "?B X 8?8G8E
9X 8 "%V 6E&9X > E8 8#97 " V E"W X &9 W E6G&B87 " #8E9&! #"98 6A 9X 8 V E"W X "7 #$#%&#&9$ F&? 9X 8 A 6E> 6A " 7 X 6E9
#$#%8I : )'- ' ,-2 + '+ *U2 '( *'+ ('**' ! *2 ('+ ! M
' '( *'+ . / -* ; <*' < × v =v = ! '( 1! J ; *+ !
-+) '( ,-! + ! ** ! -+) '( ! i <J =. :' 1(2 i <J = !
2* ' '; M !Mz < z= ) ('+ . : + '+ *U2 '( ! !
! ) '- )2 -+) '( ! i <J =; ! ! . : !' !+ '+
! + + ! **. / + ! ' ) !' 12 ! M( ('+ ) 2* !
'))*2 *! OvZ.
c y '1 :'+ × -! ' *+ + !. o+ + O !' ! ( i !
( ('+ 2*; i '! *1*2 * ! y !- 1U y ! + 2
'-' ! ' ' 1! y . </ (; ! !' * 1!' '( ! ;
12 1U y *!' ! + 2 '+ ! ('+ ' 1! y . '1; ' *'
! !' ' 2.= o+ + Z !' ! ( -('+ *2 !* !-} -+) '(
1! ('+ y ; '))*2 *! hv × -*2 - )2 ! 1!
'! 2* . :' '1 :'+ × ; !' !-} *2 '))*2; *
'- '!M!4 !+ * '( 1! i '! '- 1! y ' 3 2* ! '))*2.
_`_^_`] :' ('+ *4 ) '1 !; -! ('**' 3'!. ' 2 1U k ;
* < = j < l = m ) ! '( ! '-' !. i1 ! y k ; !2 !
%6 6@9B8V E88 &9X E87W 8#9 96 y ; ( < = # y | ' ! ! X &VX 6@9B8V E88 &9X E87W 8#9
96 y .
[
A i &7 A "E A E6> "#$#%&# 9X 8? 9X 8E8 8H&797 " 789 y k 7@# X 9X "9 y "?B
8G8E$ G8E98H y X "7 X &VX 6@9B8V E88 &9X E87W 8#9 96 y 89 y k C8 " 789 6A G8E9&#87 7@# X 9X "9 A 6E 8G8E$ y < = # y y A 6E 76> 8
× vO @WW 678 8 @?&A 6E> %$ "?B &?B8W 8?B8?9%$ 78%8#9 <*' < × v =v = G8E9&#87 &? y eX 8?
&9 X W E6C"C&%&9$ "9 %8"79 hv × F6G8E 9 X &7 78%8#9&6?I 9 X 8 7@CV E"W X &?B@#8B C$ 9 X 878 G8E9&#87 #6?9"&?7 "
#$#%8 y '1 ' *+ + ! + '+ *2; )- 3! !' ' :'+
*+ + !.
× ('**' ! ('+ '
/( i ! 2*; **2 *2! !!! !. :-!; '! ! i ! M( ('+ 2*. 2 o+ + O; U!! ! y k ; !- y ;
12 y ! '- ! ' y . o j y v ) A E"#9&6? 6A V E"W X
G8E9&#87 9X "9 C8%6? V 96 y ; !' . 2 *2 <+-* *1= T' )'- 1 (' 12 ×O; '))*2 *! hv × ; -('+ *2 *2
!* !+ * '( O v 1! '! *! <' !!*2 != 1! y < ! 1! -('+ *2 !)- y =. 5!!-+ ! ! ( ! < '-
(' '))*2 '( ' ! ) *' =.
o j + × vOl !' )2 3' '( ; (' 12 y ; < = # y y . 2
! ,-2 ' ) <*' < × v =v =; *2 o+ + Z; ') ''
' ) *+ ! !+ * ) *' ' y ; 2* ! ')!1 '))*2
*! hv × . 5 ' ' '))*!; ' '* !4 '( !+ * !
< v = j <*' < × v =v =; '+ ('**' !.
K' 1 + '! ' :'+
*+ + ! + !*1!.
× ('**' ! ('+ o+ + ! O Z; '1 y '1 #6?9E"W 67&9&G8 '( !+ *+ + /( !- !
y '! ' U!; ! M*'! ' ) 2*. / ' '!; !' ( ('
12 !-)! k 1 !4 *! ; U!! *! ' 1U 1 !+ **
'- ! ' ; ('**' '*!. : U!! ' k N Q; !
'( ! : '( !4 + '! ; !- ! '( : '*2 1'* ! ! ' .
y 3 '!- : ! !. 5 ! !* 1U (' ! '
2 + ; ! 1*- '( < =. y + U <%"79=; **2 j . 5
! '( 1 ! ; * k ' ! '( 1! (' ! 2 -3 < **2; j k =. 5! *' ! ; ' ('**' . T'! 2 1U !
*' '- ! ' < U! '( !- 1U ! !- )2 '- <'-=
!!-+ '=. : ! < = j ; ! )2 × ; * : : < l = m . ;
! ; !4 '( : !! )2 + '! .
h
**2; ; !' 1! + 2 ** 1 '- ! ' ; ' 1! )*2 ) × ; ' : ** < + '! =
! ) 1! . :-!; '* -+) '( ! : ! ) '- )2 ; ! ! .
/ + ! ' !' ' ' 1'* ! ! ' . K+ *2; (' 12
< l = m : ; '*! < = <
=. T'! 2 !- < l = m : . y *+ !!*2 1*- '( ! 3! 3 (' ; + *2 ( < = <
= <! 1*- 1 )2 = !! ! )'1 ' !! '!!!=. :! +-! ) ! ! ' ! ; (
1*- '( ! 3! 3 (' < l = '-* 1 ) ' : ; '
'- !!-+ ' < l = m : .
o j × ) -+) '( 1! !* <-('+ *2 *2= ('+ y ; ! '!
! ! ) *' . y !' '))*2 *! hv × '1 ' '( !- !+ * J ; (' 12 1U J ; ! ' 1U J
!- < l = m . :! + *! !-) - )2 J ! ' !0 1U ; '! 2* .
o 1! !* !+ * J ) ' l l . ' U × ;
* ) 1 U!! 1U !- < l = m . / ' '!; ! <!)*= 1 ! 'M4' '- !-) - )2 J . y !
'1 - )'- ' '))*2 U!! U ; !- 1
'! ' '* ; !; L N
Q. z 1! !+ * '! -('+ *2
*2; 12 1U y ! '- *! y ; (' 3U ;
L N
Q
× U < < × = = j U < * < × v == j < = <×=
2 *2 '))*2 -' ) '- ;
L
L N
Q
* < × v =
× < = <O=
z ' ) !-} *2 * '! <!2; × =; (' 2 × vO ) '1 '))*2 !
+ '! × v × ! ,- .
: L''( '( o+ + Z '*-! *2!! '( '- *'+ (' ! 2*2 2M+ U !' . / U !' '! !+ ')*+ M
*!! !' ; !' ')*+ ! 12 '+ *U2.
/ ! !' '1 *' )'- '( < = (' ! 2*2 M*!!
!' ; '!. :! *' ) '-! '*! 1 *'+ + 2
,-2 ) '- '+ ! ' 1U < '( 1U ! *!' + '!
=. y ' - ')*+ ! 1 ! *' ) '- !-!! !-!! ×
N2/3
N1/3
S2
S1
S2
- × W SW R
WRWV R V W R VUT t UU R V t R RSTSUVS WW
R
WRWV R V W R VUT e U W RUU R V e R R
RSTSUVS W W RW
WRWV W WVS V ' t R
UT
W V W W
R V W WW
R
W SW
!! (- '( ! !' . : ,-!' '( ' ' ') ('+ * -+ (' *' ) '- + ! ! ' ')*+ .
e879&? V #$#%&#&9$ &? 9X 8 &?#&B8?#8 %&797 E8W E878?9"9&6? &9X B&79"?#8 W "E"> 898E E8p@&E87 > 6E8 9X "? p@8E&87 :' '1 ) '- 3 ' (+ *! '( <= !; ; '1 1!;
) '- . 5 ** ! 2*; *+ '! ** ! M( ('+ 2*
<(' j =. y !' ' *'+ !-! ) '! '+ *2
'! '+ *2 *!! ,-!; (' . : (+ *!
3 ! ('**' ! <! - × =.
m '!!! '( j *2!; o l l o ; 1 j 1!.
'+ *2 o o j ! ' ' *2 o ; ! ! + )2 + ! ) 1! ' *2!.
m '!!! '( ' ,-*M!4 !-)!! '( 1!; z z . : ! !
' ('+ z ' z ; ! ! ' ('+ z ' z . : ' !! '( ! 3
)2 + ) z z .
/ ) ' !!; 12 ! !+ *) * ) ' ! ! <+ )2 + =.
T**2; ** ! 2*. y U !' *+ '! ** ! ( ('+ 2*.
××
6E 8G8E$ ×O[ &9X W E6C"C&%&9$ "9 %8"79 × O ! " E"?B6> %$ 78%8#98B V E"W X &?
&7 A "E A E6> "#$#%&# A 6E j × v × P T'! ** '! k ; * -! ' + ' *!!! ! ('**' !. m
*!! ! 3 )2 ,-* ' <k l k = '( k ; ' *!! + ! 1! k ' × l l vO 1! k ' vO × l l . ' 1 3U '
<k l k = !' '))*2 '+ ! *!! ! '
('+ 1! k ' 1! k <. .; 1'*' '( ' *!!=; ! + '!
O ! . / ('**' ! '))*2 !'+ ' ; ) *' ' 2 ' ( *!!!; !
*!! 1'* ! ! )'- )2 O ! ! ! . *! ('**' .
5 '+ ! '! )2 !* '+ + ! '! ' ' !
' ('+ z ' z ; '+ + '! ' ' ! ' ('+ z ' z . o
k j k # z ; * k ; k ; k ) 3 *''-!*2. y '- *'!! '( *2; !!-+ k k ; !' k v\ <! k k j z j vO=. K' ! k k j vO;
'*! k j k v\ ! **. y !' U '**2 '))*2 *! ! U ('+ 1! k ' 1! k < (' !+ *2 '
')-' '( ! ' ('+ k ' k =.
T'! !* '+ + . z- + ) + )2 ' '( '+ !-)! : z '( !4 k ; ' '+ + ! ' ) 1! '(
k 1! : ; ' ) k z : . y U ) '- '))*2 : # k v[; !; *!! v[ ! ! + ' ('+ k '
k . z k j k v\ ; ! *( !4 '( z ; '))*2 : # k v[
!! ! k !!. !-} ! ' *24 ! k j k j v\ . -+ ' ;
(' 2 v[; '))*2 ''! v\ *+ ! &9X 6@9 E8W 89&9&6?7 ('+
z ; -+) '( *+ ! !* ('+ k ! ; ! - ) '- ' '))*2 !- -+) '( *+ ! !* E8W 89&9&6?7 "E8 "%%6 8B . <: ('+ '))*2 !
=
< = < < = .= ; '))*2 : # k v[ ! ) '- )2
;
*
!
< =
'))*2 vO '-** *! < '))*2 '-'+ ! × ! × vO=;
-+) '( *! '-'+ × ! *!! *( U 1*- . :! '))*2 ! + '! U < < × vO= < × vO= < v\== j U < vZO=.
/( + ' '+ + !; *! vO 1 *! v[ ! ' ('+ k ' k ;
-+) '( 1'* ! ! *! . z '+ + ! !*
*2; '))*2 + ' *( '( + *!! v[ ! ' ('+ k k ; ! *!! O U < < vZO= < vO== U < < vP\ × ==
! *!! O ! (' ×O[.
o 5 ) *'+ (' ! 2*2 -! j < = ,-! < ! '!=.
K + *2; 5 ! < '!!)*2 '))*!= + ('+ p@8E$ "?7 8E X &796E&87 N< l =l l <
l =Q
×O
' ; (' 12 ; ' qrrstul wsx sru ; (' j . 5 ,-2 ! * < l l =; k ; N Q; l . 5 ! ! !+ *2 1U k ; ; ! j ! + ! ! ' ('+ ' *) * )2 ; ! j ! + !
! '+ ' ('+ *)* . y !!-+ + ! 3
'*2 ' !'! '!! !'+ . 5 2 ,-2M! !'2 '( * ×
) -! ' 3 D?6 %8BV 8 ; i ; + × <. .; )(' ,-2=. : 1U
! '( i '! ** 1! !'2 < ,-! ' ! !!=; !
! '! ! ) (' ** < ' *)*! '!=. :-!; i ! *) * !-) '( *) * ! )2 5 .
/ ('**' ! !) ' '+ ' !!!; ; )2
*'+ 5 ; !' (' × l O ; !! 5 ! ,-! * '!- '+ ('+ . ' 3U 5 -!! ,-!; (' × l O ; * ' !)-' '
,-2M! !'! <'( * = - )2 ' '( 5 . y !** !' (' 2 1 5 -!! ,-!; !!* ) ! + '! < × =. y '+) ! o+ + S ' ') *' ) '- '( :'+ \ .
_`_^_` : ' !! ! ' !!. : 3! ! ' ! ! *' ! *'+
('+ ! ,-!. / ! ! ' !! !! *'+ ! ,-! - ! 0' *M
. / !' ! ' !! '+ *! 0' * ' . /
3! ! ; 1 1U ! ' 0' * ; ' !! !!! ' -* *2. K' ! ('+ ' ! ?69 *- 0' * ; ! '*2
+ * !! 1U ! 0' ' ) !'- ' !0 . z ('+ j × ; (' ,-2 j < l l = '( 5 ; '!! '! ! ('**' ! ×.
/( '! ' ) *' ' 0' * i ; 3! !!! ' ' '( *2!
o ('**' + . o ) -+) '( 1! i *2 !!
' *2 o . : ! !! ' o '))*2 . <{** j ! ! !4 '( *2.=
o o ) *2 1U ! !! ' !!-+ j < ! j !
*''-!*2=. /( j ! ! <! ** 1! *! *2 !0!=.
! ; ! ! '! + ' 1! o 1! ?69 2 0' * < '! ! ' )2 { = ! ('**' !. o ) -+) '( 1! o *2 1 '+ *) * . : '))*2 1U
! '! -('+ *2 + ' 1! !! ' o ' ' 1 '+
*) * ; '))*2 × ; 1U ! '! -('+ *2 { < !!
' *2 o =.
O. /( ) *'! ' i ; ,- ! i ! **; !! '!!*2 i .
Z. /( ) *'! ' i )- ,- '! ' ) *' ' 0' * ×Z
! ! '! ! !) !' '( /+
× ) '1 .
/ !' ! '( ' !! -('+ *2 !*! + ' ** '! '!!
3* 0' * i . n ' !*2; (' N Q * ) -+) '(
1! !! ' o . : *'+ 3! '+ *2 '! 1! ' i '
!-)!!; ! !-)! ! !4 ; !!! + ' ! 1 *2!. :
' !! '+ *2 '+ *! + ! ('+ o ' o .
_`_^_` z+ **2 ' ; ' !! '!!! '( ' !!. / 3! ! ; (' ,-2 j < l l = '( 5 ; '!! '! ! ('**' ! ×.
/( '! ' ) *' ' i ; 3! !!! ' z ' ' z ('**' <'+ = + . o ) -+) '( 1! - 0' * *2 z ; * ) -+) '( 1! z . : ; (' × l O ; ! !! '
z '))*2 ! .
! z- '! ! !!
' z !!-+ j < ' !! !! ' z '
j *''-!*2=. : ! ! '! + ' 1! z 1! ' 2 0' * < '! ! ' )2 { = ! ('**' !. o ) -+) '( 1! z *2 1 '+ *) * . : '))*2
1U ! '! -('+ *2 ('+ ' 1! *2 !! ' z ;
! '))*2 × ; 1U { ! '! -('+ *2 < ' z =.
! O. /( ) *'! ' i ; ,- ! i ! **; !! '!!*2 i .
Z. /( ) *'! ' i )- ,- '! ' ) *' ' 0' * ! ! '! ! !) /+ × )'1 .
/ !' ! '( ' !! -('+ *2 !*! + ' ** '! '!!
3* 0' * i . n ' !*2; ( -+) '( 1! !!
' z z ; ! 1*2; *'+ 3! '+ *2 !*! !-)! '( !4 vO + '
1! ' i !!! + ' z . : ! '( 1! ' i !! '
z . : ' !! '+ *2 '+ *! + ! ('+ z ' z + ! ('+
z ' z .
6E 8G8E$ "%V 6E&9X > 5 9X 8 W E6#877 F I X 8? &?98E"#9&? V &9X 5 @?&A 6E> %$ V 8? 8E"987 V E"W X 7 &? F I : *+ + !*2 ('**' ! )2 -' ' + U+-+ -+) '( ,-! ('+ )2 5 ;
' + 2 '! '*2 + ! *'+ !; ! 12 '))*! *'+ ) 1 ! !)-' '1 + ! '!. : )! ! ! *; ! ( ' ,-2 ! + !)-' ' !-* ! **2 -('+ . : -' ! ('**' ! *2
('+ 3' '( '!!!. / -*; !)-' ' !! (' 2 1 ,-2
×\
! !- ('**' '*!. : !)-' ' ! !-* ('+ ' !! ! '
!' ! "A 98E !! ,-2 ! U*2 !+ ! !)-' !-* ('+
'!! ('+ !' ! &9X 6@9 ! ,-2.
89 × "?B eX 8? A 6E 8G8E$ "%V 6E&9X > 5 9X "9 "7D7 p@8E&87 9X 8
79"9&79&#"% B&79"?#8 C89 88? "?B &7 "9 > 679 < × = {** '! !)-' ' ,-2M! !'! <'( * = - )2 ' '( 5 .
y !!-+ '- *'!! '( *2 5 '! ' !0 ,-! '! ! ) 1 ('+ ! 0' * ; ! '! 1 ' ('+ ' . J ! !!-+ ' ;
!' ) ' ; '* '( ,-2M! !'! (' !'+ 1U i ! - ! ! ' ,-2 <. .; U! !-
j ' j =; '; ! ! ; ! + '! < × =. K' )2 3' '(
; )' !)-'!; (' 12 !'2 3U ; '' ' 1 ! ! ' '! ' ,-* !'+ 1'-! ,-2 ' ! ; ! ! -('+ *2
!)- + ' ** 1! ' !'2. z 5 ! ,-! '*2 '
,-2M! !'2; ' !)-'! '*2 '))*2 !!
' !,-! ' ! ; ' 1U *2 ) *'! ' -
0' * . z !' '* '( !- !,-! ! + '! < × =; ) '- ' !!* ) ' !)-'! ('**' !.
' 2 ; '! 3! 1 1U i ! - ! ! ' ,-2. / ' '!; ! + < 1 ! '-' ; ; ' 1 ! '+ ;
=; ' !'+ 1U i . / '! ! ; (' ) ' '!!!; + '! × 1!
0' * . / ! '( ; j 2 + 2 ** ) *' ' *1* ('**' '( ; ' 1 '+ *)* ; j 2 + 2 ** ) *' ' *1* < ' 1 '-' *) * =. / ! ; '))*2 ! + ' 2 '( + ! + '! # ; (' ! *!! # . / ! ! ! '( '))*2 !- 1 '-! ! '*2 + '! . : -!; ! !
'))*2 !- 1 ' -! (' ' !! !,- '( ,-! ! + '!
.
! #
y U ) '- '))*2 *'+ ! ; !! <. .;
! !0 j ' ! !'- j =. y ) '- ! '))*2 ''
' ' ! ) !* ('+ 0' * <! 1 ) '- '))*2
!- 1 '-! ) '1=. y 1 *'+ ! !2 ! ' + U+ 4 '))*2 '( !'- ' !0 . m !- !2; ' !! 1! < 1 '- '' ; ! ! -('+ *2 !)- 1U =; -! !)-' ' -+) '( 79"E9&? V G8E9&#87 O %8? V 9X 7 . m ! 1U '! '! '
,-2 < l l =; ! ' - 0' * . ' !- ! 1U ;
' *! ' + * '( ; ! ('+ ; -! '+ ×S
!; ' -! '-' !. <5 ! *'+ ! 2 ' + U+ 4 '))*2 '(
!'- ' !0 ; ) ('+ !- ! '*2 !! ,-!.= 5 ! *'+
+ 0! ,-!; !-+ '( ** *! ! . / -! !-} ! ' ) '- '))*2 '(
!'- ' !0 ; (' 2 3U ' '( ; *! l l l l !-
< = j . o ) '+ 1)* '! 1*- ! *1* !
1U ) *'! ' . : ) '1 '))*2 ,-*!
L ' j <Z=
×
j
< =
<\=
j <S=
5 !!-+ ; '2 ' *+ U!! ! *'+ 5
-!! + '! ,-!. {** )2 o+ + P; '!! ; 5 ;
-('+ *2 ! ! ; ' !! ; 5 ; -('+ *2 !
! . z ** ! 2*; *'+ 5 ; ; !'-*
'))*2 *! OvZ. 2 o+ + Y; !!* ) !
+ '! < × = j . / ('**' ! '))*2 *'+ 5 ; ;
!; ! *! j . ' ; )2 o+ + S < *' ) '- ' !4
'( =; +- ( '( ! M*'! ' 2*. z 5 !'-* ! M( ('+ 2* '))*2 !+ ** × vZ; '))*2
! ! *!! j ; ' *' ) '- ') ) '1 ' ! '))*2.
y *'! ! !' )2 !-!! } -*! ! *'+ +-! '1'+ ;
*! -! ' ) *1 ')*+ + 2 ) < = ) '- '( :'+ \ .
: ' '( ! !' ! ' ! !! '( ' (+ *! '( ! !+ } -*
' !-! -! '*2 < = ,-!. / ! ' ')*+ ' ' ('+ *4 ! -'
' ('+ * ) '- .
T'! i ! M( ('+ 2*. o T l l T ) ! 79E6? V %$ #6??8#98B
#6> W 6?8?97 < !'+ '( ! '+ '! + 2 *- '*2 !* 1U =. ' × ; *
) + +-+ -+) '( ! ' ) + '1 ('+ T ' ' + 0 2*.
: ; )2 3' ; . / -*; ! + *! ! *1*2 * ('
'( 1! ) *' ' !'*2 ' '+ '! (' ! *1*2 * . :-!; 'M*)* '))*2; -('+ *2 !* 1U ** ) *' ' !- '+ '. '1 ; ' ' '+ ' '! 2*!; *'+ +-! !2 ! '+ ' ×P
< !; ('+ + 2 ,-! ' ! ) 1! '+ '=. : } -*2
! ' ' !-! ) ! ! '+ '! ! ) '+ '! < * *'+ '- '( '+ ' =.
/ 1 '( ) '1 ; ' - !'+ '!-' *' ('**' *! '-* )
) '- *' )'- + '1! ' :'+ \ . z+ **2 ' ''( '( :'+ \ ; 3
' (+ *! '( <= !; ; '1 1!; )'- . 5 ** !
2*; *+ '! ** ! M( ('+ 2* <(' !'+ '! =. / ) '
(+ *!; 1! ' ' !-)!! k ; k k < !! (' *( ;
!! (' + * !! (' =. : !4! '( k k !4 '( k .
: ! ) !! '*2 ' ('+ k ' k ('+ k ' k .
/ ; ! !! !+ * ' '! (+ *2 '( 2* !
'!- ''( '( :'+ \ ; U **' (' !'+ 1)*2 -+) '(
'+ '-' ! 1U ! ('+ ' 1'-!U *2. / ' ; 1! *! *2 '( k 1 ! ' ' 3! *2 '( k ; 1! *! *2 '( k 1 ! ' ' 3! *2 '( k . **2; 12 1U k ! ' '+ ('+
!'+ 1U *! *( *2! '( k ' ' !'+ 1U 3! *( *2!
'( k . <: !' (' 1)*2 ! ! !' 1! k ** ' !!*2 1 '- '! k ; 1! k ** ' ** 1 !; + **' *'+ ' !'1 *2 '( 1U .=
/ ; ! !! k k !+ ! . : ! k !+ * ' '! 3 (' (+ *2 '( ! ( ('+ 2* ''( '( :'+ \ ;
**' (' 1)*2 '( !. '' 12 1U k ! ' '+ ('+ !'+ 1U *! *( *2! '( k ' ' !'+ 1U 3!
*( *2! '( k . **2; ! ' ('+ *! *2 '( k ' !-)! '( 1! '(
!+ !4 k ; !+ **2 ! '+ ('+ ' !- !-)! ' 3! *2 k < 3! ! + 2 1 '*2 '-' ! ' ' 1! k ; !' + 2 1 '*2
'+ ! ('+ ' 1! k =. / )' (+ *! *) *! '( ! ' ) !! 12 <!' ! ' -* *) * *2! )! ('+ ' ! ' '=.
: ! '*2 2 ' !-! ) ' (+ *! ! ' !0 !-} -+) '( ,-! '! ' ' ! k . 5 ** '( *'+ ! ' '
+ ! U k 1 '+ ' k ' '-' ' k ; !' ! '
) )* ' !2 ! k ' 2*!. / ! ' ,-!' ' ' ('+ *4 )'1
-' ' ''-! *' )'- .
y !2 ! !'*2 ' ( ! ('+ 12 1U ' 12 ' 1U . 5 ! ' '-' ; -* + ' * (' ! !
' 2 ! M*!! + ' *. y 3! !' ( ! *'+ ,-2 '
×Y
'*2 ' '-' ! ('+ 1U ; )- *!' ' '+ !; ! '!!)* ' !
!' '12 < × v = + . y U !' ( ! *'+ '*2 ! !! '
'-' !; !+ ! ,-! < = ,-!. :! '! !-*! + '!
' !!1 ' 2 ! *'+ ! ) ' 2 '( ,-! **' .
y 3! '- !'+ 3'!. : 79E6? V %$ #6??8#98B #6> W 6?8?97 '( i j <k l m = + U+ * !-)!! T k !- ! ('+ 1U T ' 12 '
1U T . / -*; !'*2 ' ! !* !'*2 ' '+ ';
(' ** !; !'*2 ' '+ '! ! '. y 3 -U*2 ; <i =; '! 1! '! ' ' '+ '! '( i . : ! ('+ 1U
! '+ ' T ; ' 1U ! '+ ' T ; ( '*2 (; ! *!
' i ('+ !'+ 1U T ' !'+ 1U T . : ! -U*2 ! **2 2*;
! 2* <i = '-* + *2 ** 1! ) *' ' '+ '! ' 2* -**2
' ' ' <' + U+ *2 '( '+ '!=. y !2 1U
<i = ! 76@E#8 1U ; ( ! '*2 '-' !; ! 7&?D 1U ; ( !
'*2 '+ !. y ( ' '! ' '+ '! ! 76@E#8 #6> W 6?8?97 7&?D
#6> W 6?8?97 ; ! 1*2.
: ('**' *+ + *4! ! !' NO Q (' - !. : *+ + ; !-!!' ('**' ( ' )'-M M*!! + '*; )- ) *4
' ! ! '*2 ) '- ' -+) '( ! <! ' (' - ! NOhQ=. ' !0 '( !2+ + 2; !!-+ ) ' '- '( 1! ) '- )2 .
A " B&E8#98B V E"W X i &7 A "E A E6> 9X 8 #%"77 6A 79E6? V %$ #6??8#98B V E"W X 7 6? G8E9&#87
"?B 9X 8 > "H&> @> &?B8V E88 "?B 6@9B8V E88 &7 9X 8? 9X 8 ?@> C8E 6A #6> W 6?8?97 &? i 9X "9 "E8 8&9X 8E
76@E#8 #6> W 6? 8?97 6E 7&?D #6> W 6?8?97 &7 V E8"98E 9X "? y ' ! ' ('**' ''(; ! )'- ' '- '
<' !-!' (' 3U = )2 z*2 *12. y 0 (' * .
5 !!-+ ; '2 ' ! *+ *+ + ; + '! '+ '!
i !'- ' !0 '+ '!. y U !' )2 < '!!)*2
+ '1= + '! ! ' i + 0 !'*2 ' . - ! '! + ! '( *+ + )2 i ! M( ('+ ) !'*2 ' ; *+ + ('**' !.
5 !!-+ 3! '+ ' '( i ! !'- ' !0 '+ '; !
*! ' 1U ! + '! × ; ' 1U ! '- + '! × .
T'! 2 ' T l l T ' !'- '+ '!; 2 ' T l l T ' !0 '+ '!. : ' '+ '! 2* T l l T l T l l T <!' ! ' ('+ '+ ' ' U ('+ T ' T ; ! ×[
) 1! 1 *!! =. / ! !2 ' 1(2 (' 2 ' 1! ; ! ('+ ' + '3 . : -+) '( ! ! ,-*
' -+) '( !'- !0 '+ '!; !' ! )'- )2 .
/( U! !'- ' !0 '+ '! ! ' 1U '- + '!
× ' ' 1U + '! × ; ' ('**' . 5 !!-+ 3! !- '+ ' '!!! '( + ' ' 1U . : + '1 ' < l = ) !'+ '( 1! '+ '; ! ! !) ) '1 . z 3**2; ' '- '( '+ ' ! ' ; ' ' '+ '
! ' . /( ! '* ('+ ' <' '- ' 1! '+ '=; ' '12 '( '+ '. ! ; ! '
('+ ' + '3 -! !. : '* -+) '( + ' 3' ! O .
**2 ' ' ! !'- '+ '! ' !*
1U + U+-+ '- ' !0 '+ '! ' !* 1U + U+-+ . 2 + '! !; !** + '(2 !' ( + ' 3' ** ! 1! ** 1 'M4' 'M4' '- . / ' '!;
'( + ** ) *' ' !'- ' !0 '+ '! + ' ' 1U ; ' ' )*' ' !'- ' !0 '+ '! **. : ! ** - ')*+ ' ' )'1
< '* '! '( + '! + ' 3'!=.
:' ! 3! 3 + U+-+ + ) !'- '+ '! ' !* 1U <1 + U+-+ '-= !0 '+ '! ' !* 1U
<1 + U+-+ =. y ('+ !0 1U ' !'-
1U . 5!!-+ '- *'!! '( *2 + -+ !'- 1!
<( ' -+ 1! '=. z '* '1 ! '( **
1! ,-*! '* '1 '-!; ** ! -+ 1! 1
+ U+-+ '- ; 3 !-)! '( 1! *!! + U+-+ '- ; ! ('+ + ' + -+ !'- 1!.
y -! ') !'*2 ' '! '( + '! + ' 3'!.
2 -! !+ * '- -+ ; ') ('**' ''**2 A " V E"W X i &7 A "E A E6> 9X 8 #%"77 6A G8E98H 79E6? V %$ #6??8#98B V E"W X 7 &9X &?B8V E88
"?B 6@9B8V E88 C6@?B8B C$ 9X 8? i X "7 "9 %8"79 ! 76@E#8 "?B 7&?D #6> W 6?8?97 8"# X #6?9"&?&? V
%877 9X "? G8E9&#87 :! ''**2 !-!! ('**' *'+ J ('+ *2 *2 !* j
< × v < == 1! i . '+ 1U !* ; ('+ ' ! z < z=
-! 6@9V 6&? V ! ' -! &?#6> &? V ! < !; ' ! ' '( !=. z' '( ! !! 1! 1 ) ' ' 1U ) . <y !!-+ '* -+) '( 1! ! *! ' *! ×h
< × v = + ! '!!)* ' U*2 ! !'*2 ' )2 *''0 '* =. / * ! *'+ ! !'1 !+ ** !'- ' !0 '+ ';
+ *2 ! ' !'*2 ' ; !. /( ' ! -!! *'+
' ; !.
T**2; *'+ *2! ! !'*2 ' . /( ! M( ('+
!'*2 ' )2 T''**2 h ! *! ! !'- !0 '+ '! *!!
1!. : '))*2
'
'(
-('+
*2 !* 1! ) *'! ' !- '+ ' ! + '! × ; ! *!! × vZ (' ' '! < =
'' '( . i1 *! ' !- 1U ! !* ; *'+ ! !
,- . : - + '( ) '1 *'+ ! < × v < == <! < × v < == !
1! ('+ *'+ ('+ ! ' !! '! '( + '! j < × v ==.
J ! ,-! ('+ NO Q; ! '!!)* ' - '+ *U2 '( *'+ )2 (' '(
<*' < × v < ==v < == )2 !**2 + ' (2 *'+ .
J ('-*2; ( *'+ '*2 ('+ ,-! )'- '-' ! <! )! + ' *
**' !=; ! !' '12 ,-! < = ,-! (' '! . *' !0 *!.
T'! ('**' ' (+ *! '( ! <! - O= × . : 3! (+ *2; ; '!!! '( ** ! '! 1! * ' ' !* 2* .
O. : !' (+ *2; '!!! '( ** ! !- vO '( 1! * ' 2* ; '( + 1! ! !* '-' ' -,- 1U ' 2* .
/ ) ' (+ *!; '- '( 12 1U ! × ; ! + '! O. 5 ** !
3! (+ *2 !'*2 ' ; ! ! *' 2* ) 12 '
1!. ' ** ! !' (+ *2 *! M( ('+ *!! '(
!'*2 ' ! ) '- × ; ! '( vO 1! +-!
1 *! × ' (' ' ) !'*2 ' .
'1; *+ (' !'+ '! × ; 2 *'+ ('+ ! *!! ,-!; ' !-! ) '+ *2 !* '+ *2 !* < !-} !-!! '))*2=. : !-- '( ''( ! !+ * ' '( : '+ \
! '*2 !0 ) 2.
'' 3 ' ' !!! ! ,-! '( 2 ! *'+ * '!-
-('+ *2 '! ' '( ' (+ *!. : 3! ' !! < '!-! !
= ! 12 !+ * . J ' ,-2 <** ! '*2 !* ' '- '(
1U =; -('+ *2 !*! 1U ! ' 2 0' * ; '
!*! <-('+ *2= 1U *2 ) *'! ' 0' * ! ' '+ ('+ ' 1U 0' * . : !' ) !* 1U '
O
<=
<)=
R W W SW W R V V
R V R R VUT V UT V W UR U R Vt W W
- O W W SW
W
R V eV
WVS
0' 1U ; ! ' '+ *2 )! ' - !4 '( 0' * . y ! *'+ + !; '!! -('+ *2 !*! ! '!! 0' * . : !' '!! ! !+ * ; U 1 ,-2 ) '- 1U
! + ; *'+ ! 1U ! 2* 1U ' '-! 1U <1 =. : ! !' ! + ' ' ' '' '( !- 1! 0' * .
/ ! !2 ' 1(2 ' '!!! ( '!- -('+ *2 !* ! ! 1 (+ *! '( !. -+ ' ; (' ) ' ' !!! )'- '))*2 '!! !! ,-2 1U *2 0' * 2 !,- '( + '! ,-!. i1 !- 1 '! ' ' -; !! ' ,-!
)' !! -('+ *2 !* 1!; ' *'+ !-! ) '
' !!!.
y '-* *0 ' 0 '2+ '-! /T5oL '+ '+ + + +) (' * -! !+ *(2
''( '( :'+ × .
N×Q K . 5*' ; m . !; n . 1*1 ; n . z42. m} ! '( * !. /
g E6#88B&? V 7 6A 9X 8 6E9&89X ??@"% $> W 67&@> 6? 6@?B"9&6?7 6A 6> W @98E #&8?#8; !
PSP PPP; ×hhh.
NOQ K . 5 *' ; n . 1*1 ; /. K + ; n . z42. {-* *-! !)* '! -+) '( ,-!. / g E6#88B&? V 7 6A 9X 8 6E9&89X ??@"% $> W 67&@> 6? 6@?B"9&6?7
6A 6> W @98E #&8?#8; ! P\S PSS; ×hhh.
O×
NZQ z . 5' ; 5 . 4 ; . * . 5 '- '- (' !!+ ')*+ *'! ' ! + ')*+ !. / 9X ??@"% $> W 67&@> 6? 6@?B"9&6?7
6A 6> W @98E #&8?#8; ! O × Z ; ×hhP.
N\Q z . 5' ; T . o- ; { . n '; n . z- ; n . z42. L''( 13' )*2
'( 'U+ ' ')*+ !. 6@E?"% 6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &?8E$; \S <Z= S ×
SSS; ×hh[.
NSQ z . 5' z. z( . L'))*! 0)* ''(! 5 4' '( K L . 6@E?"%
6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &? 8E$; \S < × = Y ×OO; ×hh[.
NPQ o . ); o . '' ; o . o1 ; n . z42. T0 '+ -'! '*2*'+ + . / g E6#88B&? V 7 6A 9X 8 e 8?9$ eX &EB ??@"% $> W 67&@> 6? eX 86E$ 6A 6> W @9&? V ;
! O × Z × ; ×hh × .
NYQ o . ); o . '' ; T . o- . K'M+ ! U '* + ! 'M '1 M
1 '' '*!. 6> W @9"9&6?"% 6> W %8H&9$; × < × = Z \ ; ×hh × .
N[Q
. L. y . z'. : ) '-! (' + U+-+ 2* !-) ')*+ . 6@E?"%
6A %V 6E&9X >7; OS < × = × ×[; . ×hhY.
NhQ n . *-+ ; n . o-)2; { . {-)(* . z*(M!' *'! ' -+ *
')*+ !. 6@E?"% 6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &?8E$; \Y S\h ShS; ×hhZ.
N × Q
'!; . i'* ; m . o+ ; z. {!0' 0'1 ; . {' ; 5 . z+ '' !02. /+M
'1 ! *'+ ! (' + ''''2. / g E6#88B&? V 7 6A ; ! hY × [;
×hhh.
.
N××Q . m- ; z. ; z. { . -+ ; { . {-)(* ; n . k ! . z 'M0!. /
g E6#88B&? V 7 6A 9X 8 eX &E9$ 8#6?B ??@"% $> W 67&@> 6? 9X 8 eX 86E$ 6A 6> W @9&? V ; !
OSh OP[; ×hh[.
N×OQ i . m1 ; . K'; . z) ; n . z- . 5 'U+ + +-+ ()0 !! +-*-! !. %V 6E&9X > &#"; O <O= ×S × × Y\ ; ×hh[.
N×ZQ J . ; z . i'*!!; o . o'1 !4
; z. z( ; n . z42. 5 'U+ *,- ! *+ '!
K LM'+ * . 6@E?"% 6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &?8E$; \Z <O= OP[ OhO; ×hhP.
N×\Q 5 . 4 { . .
×h <O= ×YS OO ; ×hhh.
-0
'U+ ' ' + ! *'!.
6> C&?"96E&#";
N×SQ L. . i)) '! . n !. K !+ *M)! !-+ + 2 !!! (' + '1 'UM
+ ,-2 !!. f 8#6EB g E6# f ?9 6?A "?"V 8> 8?9 6A "9";
OY <O= ZZ × Z\O; O \ - ×hh[.
OO
N×PQ L. . i)) '! . n !. z2' !! !--! (' + !!1 !!. 8E&87 &? &7#E898 "9 X 8> "9&#7 "?B eX 86E89&#"% 6> W @98E #&8?#8 W 8#&"% 77@8 6? H 98E?"%
8> 6E$ %V 6E&9 X > 7 "?B &7@"%& "9&6?; 5 ; × hhh.
N× YQ n . i'+ ! . y **+ !' . L+ *M-* 'U+ ' *'+ ! (' ()0 ')*+ !
* !. 6> C&?"96E&#"; ×[ < × = ZY Sh; ×hh[.
N×[Q . i'* ; z . i'*!!; m . o+ ; . {' ; 5 . z+ '!02. :! + '''2.
6> C&?"96E&#"; O <Z= Z × Z Y; O .
N×hQ . i'* ; z. i'*!!; . {' . L' 2 ! ! '' ' * 'U+ ' . 6@E?"% 6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &?8E$; \S <\= PSZ YS ; ×hh[.
5 U )! TzhP; ! ZZh Z\[.
NO Q . i'* . {' . L' 2 ! ) '- !. / g E6#88B&? V 7 6A 9X 8
eX &E9$ &E79 ??@"% $> W 67&@> 6? 9X 8 eX 86E$ 6A 6> W @9&? V ; ! \ P \ ×S; ×hhY. :'
%V 6E&9X > &#" .
NO ×Q . i'* . {' . 5 !-)* ) ! (' ) '- !.
96E&#"; ×h <Z= ZZS ZYZ; ×hhh.
6> C&?" NOOQ { . !! z. {-)! . 5 'U+ '! (' + U+-+ 2* !-) ')*+ .
?A 6E> "9&6? g E6#877&? V 8998E7; S × <Z= × ZZ ×\ ; 5 - . × hh\ .
NOZQ . z . ' )-+ . . z+ '2!. J! -* 'U+ ' *'+ ! (' !-* ')M
*+ ! :'* * !-*!. 6@E?"% 6A 9X 8 776#&"9&6? A 6E 6> W @9&? V "# X &?8E$;
Z\ < × = ×\\ ×PO; . ×h[Y.
NO\Q . z . ' )-+ . . z+ '2!. 5 '*2'+ * 'U+ ' !+ (' + !-*M
' -('+ '!!'! J! -* 'U+ ' ' . 6@E?"% 6? 6> W @9&? V ; × Y <Z= SZh SS × ; ×h[[.
NOSQ k . . ? 9X 8 WW E6H&> "C&%&9$ 6A g 6> W %898 W 9&> & "9&6? g E6C%8> 7. L !!; M
+ '( K-+) * 5 *2!! T'+ - z ; {'2* /!- '( :'*'2; z'0'*+ ;
×hhO.
NOPQ { . n . . {-)*2 + ' '+)'* ')*+ !. / { . m . n ** . y . :;
'!; 6> W %8H&9$ 6A 6> W @98E 6> W @9"9&6?7; ! [S × Z; K '0 ; ×hYO. L*-+ L!!.
NOYQ n . ! . {' . :! ')*+ ! !-)M* !+ * '+ *U2.
6> W @98E "?B $798> #&8?#87; P × <Z= \O[ \SP; O .
6@E?"%
6A
NO[Q T . L + '- n . 00!. + 4' ; 'U+ 4' '+ *U2 *!!!.
6@E?"% 6A 6> W @98E "?B $798> #&8?#87; \Z \OS \\ ; × hh × .
OZ
NOhQ n . L! . {' . :! + '( !. / g E6#88B&? V 7 6A
[S hP; ×hhh. :' "?B6> 9E@#9@E87 "?B %V 6E&9X > 7 .
"?B6> ;
!
NZ Q { . { -)(* . {')-! (-'* ,-'! *'! ' '+ ! . 6@E?"% 6? 6> W @9&? V ; O[ <P= × hYO × hhY; × hhh.
NZ ×Q { . { -)(* n . z- . {')-! 4' '( '*2'+ *! *'! '
'+ ! . 6@E?"% 6? 6> W @9&? V ; OS <O= OSO OY × ; ×hhP.
NZOQ L. . z2+ '-. L0 -! ('**2. 6> C&?"96E&#"; ×S <O= O[ × O[[; ×hhS.
O\

Download Report

Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity

Paperzz.com

Your Paperzz