5. Algebraic Approach to Limits – Homework
Find the following limits.
1. lim 12
2. lim 2π
x→5
3. lim 4x
x→0
12
x→2
4 (2) = 8
2π
4. lim 3x 2 − 4x −1
5. lim 5x 3 − 7x 3 + 2 x − 2
x→5
6. lim 3y 4 − 6y 3 − 2y
y→−1
x→0
3( 25) − 4 ( 5) −1 = 54
3(1) − 6 ( −1) − 2 ( −1) = 11
0 − 0 +1 − 2 = −1
2x − 4
7. lim
x→4 x −1
2 ( 4) − 4 4
=
4 −1
3
x 2 + 4x + 4
8. lim
x→−2
x2
4−8+ 4
=0
4
x 2 −16
10. lim
x→4 x − 4
t3 + 8
x 2 − 4x + 4
11. lim
12. lim 2
t→−2 t + 2
x→2 x + x − 6
(t + 2 ) (t 2 − 2t + 4)
( x − 2)( x − 2) = 0
lim
= 4 + 4 + 4 = 12
lim
t→−2
x→2 ( x + 3) ( x − 2 )
t+2
lim
x→4
( x − 4)( x + 4) = 4 + 4 = 8
x−4
x 2 + 6x + 5
x→−1 x 2 − 3x − 4
13. lim
14. lim
x→2
( x + 5) ( x +1) = − 4
( x − 4) ( x +1) 5
lim
x→−1
16. lim
x→5
lim
x→2
x
x − 25
y→6
)
− 4)( x
x 2 − 4 ( x +1)
2
2
+4
)
=
15. lim
x→3
x
x
= −∞!!! lim+
=∞
x→3 x − 3
x→3 x − 3
x
DNE
lim
x→3 x − 3
3
7
y+6
y 2 − 36
3− x
x→4 x − 2x − 8
3− x
lim−
=∞
x→4 ( x − 4 ) ( x + 2 )
18. lim
lim−
2
x→1
lim−
x→1
4
2
x − 2x +1
20. lim
x→5
3− x
= −∞
( x − 4)( x + 2)
lim−
3− x
DNE
( x − 4)( x + 2)
x→4
4
=∞
x→1 x −1
( )2
lim
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lim
x→5
−x 2
x→3 x − 3
( )2
x
x−5
4
4
x
x
lim−
= ∞!!! lim+
=∞
2 = ∞!!!lim+
2 =∞
x→1
x→5
x→5
x−5
x−5
( x −1)
( x −1)
2
lim−
x→4
19. lim
x
x −3
lim−
1
1
= −∞!!! lim+
=∞
y→6 y − 6
y→6 y − 6
1
DNE
lim
y→6 y − 6
x
x
= −∞!!! lim+ 2
=∞
x→5 x − 25
x→5 x − 25
x
lim 2
DNE
x→5 x − 25
lim−
x→1
x 3 + x 2 − 4x − 4
x 4 −16
(
(x
17. lim
2
2x − 2
x −1
2 ( x −1)
lim
=2
x→1
x −1
9. lim
21. lim
lim−
x→3
−x 2
−x 2
=
−∞!!!
lim
2 = −∞
x→3+ ( x − 3)
( x − 3)2
−x 2
= −∞
x→3 x − 3
( )2
x
=∞
x−5
lim
- 25 -
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cos x − sin π , ! x ≤ π
f ( x) = 
23.
 x − π −1, ! x > π
find lim f ( x ). Show work.
 x −1, !!! x ≤ 3
f ( x) = 
22.
2x − 3,! x > 3
find lim f ( x ). Show work.
x→π
x→3
 x 3 + x,!!!!! x ≤ −1
f ( x) =  − x
24.
 −2 , ! x > −1
find lim f ( x ). Show work.
x→−1
lim− f ( x ) = −1 −1 = −2
lim f ( x ) = −1 − 0 = −1
lim f ( x ) = 3 −1 = 2
x→π −
x→3−
lim f ( x ) = 2 (3) − 3 = 3
x→1
lim f ( x ) = − ( 21 ) = −2
lim f ( x ) = π − π −1 = −1
x→3−
x→π +
x→−1+
lim f ( x ) DNE
lim f ( x ) = −1
lim f ( x ) = − 2
x→3−
x→π
x −2
f ( x)
 x −1 ,!! x < 1!!!!find lim
x→1
25. f ( x ) = 
 x , ! x > 1! Show work.
 x −1
26. Find lim
x→0
−
lim− f ( x ) = ∞ = ∞
x→1
−
+
lim+ f ( x ) = ∞ = ∞
x→1
+
lim f ( x ) = ∞
lim
x→0

lim 
x→0 
x→1
x
(
x+4 +2
x→∞
∞
x→∞
x2 + 4
1
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find k such that
lim f ( x ) = f ( 7)
x→7
( x + 7) ( x − 7) = lim
32. lim ( 0.2x 4 − x 2 − 9 )
x→−∞
x
x+2
6
= lim = 6
x→4 cos 4π
x→4 1
lim
( x + 7) = 14
x→7
x−7
k 2 − 2 = 14 ⇒ k 2 = 16 ⇒ k = ±4
6
38. Find lim
x→0
x→7
31. Find lim (11 − 2x )
2x − 3
x→∞ 4x + 5
1
2
( x + 2)( x − 4)
x→4 cos 4π ( x − 4 )
lim
1
1
=
x+4 +2 4
= lim
lim
4− 4−3= k −3⇒ k = 0
34. Find lim
)
16 − 8 − 8
0
=
x→4 cos0 ( 4 − 4 )
0
lim
 x 2 − 49
,!!! x ≠ 7

29. f ( x ) =  x − 7
k 2 − 2, !!! x = 7!

x→2
x→∞
27. Find lim
x+4 −2 2−2 0
=
=
0
0
x
x + 4 − 2  x + 4 + 2
  x + 4 + 2 
x
 x 2 − 2x − 3,!!! x ≠ 2
f ( x) = 
28. If
k − 3, !!!!!!! x = 2
find k such that lim f ( x ) = f ( 2 )
30. Find lim 6
x 2 − 2x − 8
x→4 cos π x ( x − 4 )
x+4 −2
x
x+4−4
lim
x→0
x→1
7 − 3x 3
x→−∞ 2x 3 +1
3
−
2
39. lim
x→−∞
lim
2
x→∞ 5x − 4
36. Find lim
3x 2 + x
x 2 −1
40. lim
x2 + 4
x→−∞
−1
0
- 26 -
4x 5
x→−∞ 1 − 5x 3
37. Find lim
−∞
0
x
x→∞
1
=0
x→∞ 2 x
∞
35. Find lim
33. lim 2 − x
41. lim
x→−∞
3x 2 + x
x −1
− 3
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