Advanced Engineering Mathematics, by Erwin Kreyszig 10th. Ed.
Problem Set 9.3
No.1

(a)Let a  a1, a2 , a 3 , b  b1, b2 , b3  and c  c1, c2 , c 3 

la  la1, la 2 , la 3 
la  b  la2b3  la 3b2 iˆ  la 3b1  la1b3  ˆj  la1b2  la2b1 kˆ
(1)
a  b  a2b3 a3b2 iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1kˆ
 

l a  b  la 2b3  la 3 b2 iˆ  la 3 b1  la1b3  ˆj  la1b2  la 2b1 kˆ
(2)
l b  lb1, lb2 , lb 3 

a  l b  a2lb3 a 3 lb2 iˆ  a 3 lb1  a1lb3  ˆj  a1lb2  a2lb1 kˆ
la2b3  la 3b2 iˆ  la 3b1  la1b3  ˆj  la1b2  la2b1kˆ
 
(3)



From (1), (2) and (3) we know la  b  l a  b  a  l b
(b)
(α) b  c  b1  c1 iˆ  b2  c2  ˆj  b3  c3 kˆ
  

a  b  c  a2 b3  c3  a 3 b2  c2  iˆ  a3 b1  c1   a1b3  c3  ˆj  a1b2  c2   a2 b1  c1 kˆ
 a2b3  a2c3 a3b2 a3c2 iˆ  a3b1  a3c1  a1b3  a1c3  ˆj
 a1b2  a1c2  a2b1  a2 c1 kˆ
(1)
a  b  a2b3 a 3 b2 iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1 kˆ
a  c  a2c3 a 3 c2 iˆ  a3c1  a1c3  ˆj   a1c2  a2c1 kˆ
a  b a  c  a2b3  a2c3 a3b2 a3c2 iˆ  a3b1  a3c1  a1b3  a1c3  ˆj
 a1b2  a1c2  a2b1  a2 c1 kˆ
(2)
    
From (1) and (2) we know a  b  c  a  b  a  c
(β) a  b  a1  b1 iˆ  a2  b2  ˆj  a3  b3 kˆ
a  b c  a2  b2 c3  a3  b3 c2 iˆ  a3  b3 c1  a1  b1c3  ˆj  a1  b1c2  a2  b2 c1kˆ
 a2c3  b2c3 a3c2 b3 c2 iˆ  a3c1  b3c1  a1c3  b1c3  ˆj
 a1c2  b1c2  a2 c1  b2c1 kˆ
(1)
a  c  a2c3 a 3 c2 iˆ  a3c1  a1c3  ˆj  a1c2  a2c1 kˆ
b  c  b2c3 b3 c2 iˆ  b3c1  b1c3  ˆj   b1c2  b2c1 kˆ
a  c b  c  a2c3  b2c3 a3c2 b3c2 iˆ  a3c1  b3c1  a1c3  b1c3  ˆj
 a1c2  b1c2  a2 c1  b2 c1 kˆ
 
(2)
  
From (1) and (2) we know a  b  c  a  c  b  c
No.2

 


(i) b  c or (ii)both b and c are parallel to a
No.3

Let a  a1, a2 , a 3 , b  b1, b2 , b3  and c  c1, c2 , c 3 
(a) a  b  a2b3 a 3 b2 iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1 kˆ
b  a  b2 a3 b3 a2 iˆ  b3a1  b1a3  ˆj  b1a2  b2 a1 kˆ
 a2b3 a3b2 iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1 kˆ
 
  ab
(b) b  c  b2c3 b3 c2 iˆ  b3c1  b1c3  ˆj   b1c2  b2c1 kˆ
 
a  b  c  a1b2c3 b3 c2   a2 b3c1  b1c3   a3  b1c2  b2c1 
 a1b2c3  a1b3 c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2c1
 a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a1b3 c2  a2b1c3  a3b2c1
(1)
a  b  a2b3 a 3 b2 iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1 kˆ
a  b c  a2b3c1 a3b2c1  a3b1c2  a1b3c2  a1b2c3  a2b1c3
 a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a1b3c2  a2b1c3 a3 b2c1
(2)
   
From (1) and (2) we know a  b  c  a  b  c
No.4


(12) Prove a  b 
a  a b  b   a  b 2
 

   
a  b  a b sin 
a  a b  b   a  b 2
 
On the other hand

2 2
a b 1  cos 2   


Thus


2 2 2 2
a b  a b cos 2 
2 2
 
a b sin 2   a b sin 
a  a b  b   a  b 2
 
ab 
 

No.5
 
m  r   p  r  p  m
The moment keeps the same magnitude but the direction of rotation axis is reversed.
No.6
v  w  r  w r sin 
v  d  w r sin  ; r sin   d
If d  2d
v  2d The rotation rate become double.
No.7
w  20 ˆj , r  20 ˆj


v  w  r  20 ˆj  8iˆ  6 ˆj  160kˆ
y
w
r
x
z
No.8


w  10 iˆ  ˆj , r  4iˆ  2 ˆj  2kˆ
2
 

iˆ ˆj kˆ

Velocity v  w  r  10 iˆ  ˆj  4iˆ  2 ˆj  2kˆ  1 1 0
2
4 2 2



 10  2iˆ  2 ˆj  2kˆ  10 2  iˆ  ˆj  kˆ
2
No. 9
   
 
 
a  b c  a b  c  0
 
 
a // b // c i.e., a , b , c are on the same plane.
No. 10

11-23
a  1,  2, 0, b   2, 3, 0, c  2,  4,  1and d  3,  1, 5
No.11
iˆ
 
(a) a  b  1
ˆj
 2 0   2  0  0  3 î  0   2  1  0 ˆj  3 1   2   2kˆ
2 3
 k̂
kˆ
0
ˆj
iˆ
 
(b) b  a   2 3
1
kˆ
0  3  0  0   2 î  0 1   2  0 ˆj   2   2  1  3kˆ
2 0
 k̂
 
(c) a  b  1   2   2  3  0  0  2  6  0  8
No.12

(a) 3c  32,  4,  1  6,  12,  3
2d  23,  1, 5  6,  2, 10
iˆ ˆj
kˆ


3 c  2d  6  12  3   12 10   3   2 î   3  6  6 10 ˆj   2  6  6   12kˆ
6  2 10
  120  6 î   18  60 ˆj   12  72kˆ
 126 î  78 ˆj  60kˆ
(b) 6d  63,  1, 5  18,  6, 30
iˆ ˆj
kˆ
 
6d  c  18  6 30   6   1  30   4 î  30  2  18   1 ˆj   4  18  2   6kˆ
2
 4 1
 6  120î  60  18 ˆj   72  12kˆ
 126î  78 ˆj  60kˆ
(c) 6d  c  18,  6, 30 2,  4,  1  18  2   6   4  30   1  36  24  30  30
(d) 6c  62,  4,  1  12,  24,  6
6c  d  12,  24,  6 3,  1, 5  12  3   24   1   6  5  36  24  30  30
No.13
(a) a  b  1,  2, 0   2, 3, 0   1, 1, 0
 
c  a  b  2,  4,  1  1, 1, 0
iˆ
kˆ
ˆj
 2  4  1   4  0   1 1 î   1   1  2  0 ˆj  1  2   1   4kˆ
1 1
0
 0  1 î  1  0 ˆj  2  4kˆ
 î  ˆj  2kˆ
(b) a c  1,  2, 0 2,  4,  1
iˆ
kˆ
ˆj
 1 2
0   2   1  0   4 î  0  2  1   1 ˆj   4  1  2   2kˆ
2  4 1
 2  0î  0  1 ˆj   4  4kˆ  2î  ˆj
b  c   2, 3, 0 2,  4,  1
iˆ
kˆ
ˆj
 2 3
0  3   1  0   4 î  0  2   2   1 ˆj   4   2  2  3kˆ
2  4 1
  3  0î  0  2 ˆj  8  6kˆ  3î  2 ˆj  2kˆ
a  c  b  c  2î  ˆj  3î  2 ˆj  2kˆ  iˆ  ˆj  2kˆ
No.14
4b  4 2, 3, 0   8, 12, 0
3c  32,  4,  1  6,  12,  3
4b  3c   8, 12, 0 6,  12,  3
iˆ
ˆj
  8 12
kˆ
0  12   3  0  0   12 î  0  6   8   3 ˆj   12   8  6 12kˆ
6  12  3
  36  0 î  0  24 ˆj  96  72kˆ
  36î  24 ˆj  24kˆ
12c  122,  4,  1  24,  48,  12
12c b  24,  48,  12  2, 3, 0
iˆ
ˆj
kˆ
2
3
0
 24  48  12   48  0   12  3 î   12   2  24  0 ˆj  3  24   2   48kˆ
 0  36 î  24  0 ˆj  72  96kˆ
 36î  24 ˆj  24kˆ
4b  3c  12c  b   36î  24 ˆj  24kˆ  36î  24 ˆj  24kˆ  0
No.15
a  d  1,  2, 0  3,  1, 5  4,  3, 5
d  a  3,  1, 5  1,  2, 0  4,  3, 5
a  d  d  a



 ad  d a 0
No.16
From prob. 13, b  c  3î  2 ˆj  2kˆ
b  c d   3,  2, 2 3, 1, 5   3 3   2 1  2  5  9  2 10  3
iˆ ˆj kˆ
 
c  d  2  4  1   4  5   1   1 iˆ   1  3  2  5 ˆj   1  2  3   4kˆ
3 1
5
  20  1iˆ   3  10 ˆj   2  12kˆ  21iˆ  13 ˆj  10kˆ


 
b  c  d   2, 3, 0  21,  13, 10   2   21  3   13  0 10  42  39  0  3
No.17

(a) From prob. 16, b  c  3î  2 ˆj  2kˆ
b  c d   3,  2, 2 3, 1, 5
iˆ
ˆj
kˆ
3
1
5
  3  2 2   2  5  2   1 iˆ  2  3   3  5 ˆj   1   3  3   2kˆ
  10  2iˆ  6  15 ˆj  3  6kˆ  8iˆ  21 ˆj  9kˆ

(b) From prob. 16, c  d  21iˆ  13 ˆj  10kˆ


 
b  c  d   2, 3, 0  21,  13, 10
iˆ
ˆj
 2
3
kˆ
0  3 10  0   13 iˆ  0   21   2 10 ˆj   13   2   21  3kˆ
 21  13 10
 30  0iˆ  0  20 ˆj  26  63kˆ  30iˆ  20 ˆj  89kˆ
No.18
(a) From prob. 11, a  b  kˆ
a  b a  0, 0, 1 1,  2, 0
iˆ
ˆj
kˆ
 0 0  1  0  0   1   2 iˆ   1 1  0  0 ˆj   2  0  1  0kˆ
1 2 0
  0  2iˆ   1  0 ˆj  0  0kˆ  2iˆ  ˆj
(b) From prob. 11, b  a  kˆ
 
a  b  a  1,  2, 0 0, 0, 1
kˆ
iˆ
ˆj
0
0 1
 1  2 0   2 1  0  0 iˆ  0  0  1 1 ˆj  0 1  0   2kˆ
  2  0iˆ  0  1 ˆj  0  0kˆ  2iˆ  ˆj
No.19
 
 
 
(a) ˆj iˆ kˆ  ˆj  iˆ  kˆ  j   ˆj  1


 
(b) b  c  d   2, 3, 0  21,  13, 10
No.20
(a)From prob. 1(a) a  b  kˆ

From 16 c  d  21iˆ  13 ˆj  10kˆ
a  b c  d   kˆ   21iˆ 13 ˆj 10kˆ
iˆ
kˆ
ˆj
0
0
 1  0 10   1   13 iˆ   1   21  0 10 ˆj   13  0   21  0kˆ
 21  13 10
 0  13 iˆ  21  0 ˆj  0  0kˆ  13 iˆ  21 ˆj
(b) b  d   2, 3, 0 3,  1, 5
iˆ
ˆj kˆ
  2 3 0  3  5  0   1 iˆ  0  3   2  5 ˆj   1   2  3  3kˆ
3 1
5
 15  0 iˆ  0  10 ˆj  2  9kˆ  15 iˆ  10 ˆj  7kˆ
 
a  b  d  1,  2, 0 15, 10,  7  115   210  0   7  15  20  5
a b d c   52,  4, 1  10, 20, 5
b  c   2, 3, 0 2,  4,  1
iˆ
ˆj
 2 3
kˆ
0  3   1  0   4 iˆ  0  2   2   1 ˆj   4   2  2  3kˆ
2  4 1
  3  0 iˆ  0  2 ˆj  8  6kˆ  3 iˆ  2 ˆj  2kˆ
 
a  b  c  1,  2, 0  3,  2, 2  1  3   2  2  0  2  3  4  1
a b cd  13, 1, 5  3, 1, 5
a b d c  a b cd  10, 20, 5 3, 1, 5  13, 21, 0  13iˆ  21 ˆj
No.21

(a) 2b  2 2, 3, 0   4, 6, 0
4c  42,  4,  1  8,  16,  4
ˆj
iˆ
 
2b  4c   4 6
kˆ
0  6   4  0   16 iˆ  0  8   4   4 ˆj   16   4  8  6kˆ
8  16  4
  24  0 iˆ  0  16 ˆj  64  48kˆ  24iˆ  16 ˆj  16kˆ
ˆj kˆ
iˆ
 
(b) b  c   2 3 0
2  4 1
 3   1  0   4 iˆ  0  2   2   1 ˆj   4   2  2  3kˆ
  3  0 iˆ  0  2 ˆj  8  6kˆ  3iˆ  2 ˆj  2kˆ
 
b c 
 32   22  22 
 
8 b  c  8 17
iˆ
ˆj kˆ
(c) c  b  2  4  1
2 3 0
9  4  4  17
  4  0   1  3 iˆ   1   2  2  0 ˆj  3  2   2   4kˆ
 0  3 iˆ  2  0 ˆj  6  8kˆ  3iˆ  2 ˆj  2kˆ
 
b  c  32  2 2   22  9  4  4  17

8 c b  8 17
No.22
(a) a  b  1,  2, 0   2, 3, 0  3,  5, 0
c  b  2,  4,  1   2, 3, 0  4,  7  1
d  b  3,  1, 5   2, 3, 0  5,  4, 5
3 5
a  b c  b d  b  4
0
 7 1
5 4
5
 3   7 5   5 1 5  0   4 4  3   1  4  4   5 5  5   7 0
 105  25  0 12  100  0
8
1 2 0
 
b a c d  2  4  1


3 1
5
 1  4 5   2 1 3  0  1 2 1 1 1  2   2 5  3   4 0
 20  6  0 1  20  0
5
No.23
(a) b b   2, 3, 0  2, 3, 0
iˆ
ˆj kˆ
 2 3
0
2 3
0
 3  0  0  3iˆ  0   2   2  0 ˆj  3   2   2  3kˆ
 0  0iˆ  0  0 ˆj   6  6kˆ  0
(b) b  c   2, 3, 0  2,  4,  1   4, 7, 1
c  b  2,  4,  1   2, 3, 0  4,  7,  1
b  c c  b   4, 7, 1 4,  7, 1
ˆj
kˆ
 4 7
1
iˆ
4  7 1
 7   1  1   7 iˆ  1  4   4   1 ˆj   7    4  4  7kˆ
  7  7iˆ  4  4 ˆj  28  28kˆ  0
(c) b  b   2, 3, 0  2, 3, 0   2   2  3  3  0  0  4  9  0  13
No. 24

    
  
    
(13) Prove b  c  d  b  d c  b  c d

Set b  b1, b2 , b3 

c  c1, c 2 , c3 

d  d1, d 2 , d3 
 
c  d  c2 d 3  c3d 2 iˆ  c3d 1c1d 3  ˆj  c1d 2 c 2 d1 kˆ
  
b  c  d  b2 c1d 2 c 2 d1  b3 c3d 1c1d3  iˆ

 

 b3 c2 d3  c3d 2   b1c1d 2 c 2 d1  ˆj  b1c3d 1c1d3   b2 c2 d3  c3d 2 kˆ


 b2 c1d 2 c 2 d1  b 3 c1d 3  c3d 1  iˆ
 b3 c2 d3  c3d 2   b1c 2 d1  c1d 2  ˆj  b1c3d 1c1d3   b2 c3d 2  c2 d3 kˆ (1)
On the other hand
b  d c  b  c d
 b1d1  b2d 2  b3d3 c1iˆ  b1d1  b2d 2  b3d3 c2 ˆj  b1d1  b2 d 2  b3d3 c3kˆ
 b1c1  b2c2  b3c3 d1iˆ  b1c1  b2c2  b3c3 d 2 ˆj  b1c1  b2c2  b3c3 d3kˆ
 b1c1d1c1  b2c1d 2  b3c1d3  b1c1d1  b2c2 d1  b3c3d1 iˆ
 b1c2 d1  b2c2 d 2  b3c2 d3  b1c1d 2  b2c2 d 2  b3c3d 2  ˆj
 b1c3d1  b2c3d 2  b3c3d 3  b1c1d 3  b2c2 d 3  b3c3d 3 kˆ
 b2c1d 2  b3c1d3  b2c2d1  b3c3d1 iˆ  b1c2d1  b3c2d3  b1c1d 2  b3c3d 2  ˆj
 b1c3d1  b2c3d 2  b1c1d3  b2c2 d3 kˆ
 b2 c1d 2  c2 d1   b3 c1d3  c3d1 iˆ  b1c2d1  c1d 2   b3 c2d3  c3d 2  ˆj
 b1c3d1  c1d3   b2 c3d 2  c2 d3 kˆ

  

(2)

 


  
From (1) and (2) thus we prove b  c  d  b  d c  b  c d
    


 
 

  
(14) Prove a  b  c  d  a b d c  a b c d
a  b   a2b3  a3b2  iˆ  a3b1  a1b3  ˆj  a1b2  a2b1kˆ

c  d   c2c3  c3d2  iˆ  c3d1  c1d3  ˆj  c1d2  c2d1kˆ

a  b  c  d   a3b1  a1b3 c1d2  c2d1  a1b2  a2b1c3d1  c1d3 iˆ


 a1b2  a2b1 c2c3  c3d 2   a2b3  a3b2 c1d 2  c2 d1  ˆj
 a2b3  a3b2 c3 d1  c1d 3   a3b1  a1b3 c2 c3  c3 d 2 kˆ
 a1b2  a2b1 c1d3  c3d1   a3b1  a1b3 c1d 2  c2 d1  iˆ
 a1b2  a2b1 c2c3  c3d 2   a2b3  a3b2 c2 d1  c1d 2  ˆj
 a2b3  a3b2 c3d1  c1d3   a3b1  a1b3 c3d 2  c2c3 kˆ
On the other hand
(1)
a1
  
a b d  b1
d1


a1
  
a b c  b1
c1

a

 
a2 a3
b2 b3  a1b2 d 3 a2b3d1  a3b1d 2a3b2 d 1a2b1d 3a1b3d 2
d2 d 3
a2 a3
b2 b3  a1b2c 3  a2b3c1  a3b1c 2 a3b2c1a2b1c 3 a1b3c 2
c2 c3

     
b dc a b cd
a1b2 d 3a2b3d1  a3b1d 2a3b2 d 1a2b1d 3a1b3d 2 c1  ˆ

i
 a1b2 c 3 a2b3c1  a3b1c 2 a3b2 c1a2b1c 3 a1b3c 2 d1 
1
○
a1b2 d 3 a2b3d1  a3b1d 2a3b2 d 1a2b1d 3a1b3d 2 c2  ˆ

j
 a1b2 c 3  a2b3c1  a3b1c 2 a3b2 c1a2b1c 3 a1b3c 2 d 2 
2
○
a1b2 d 3 a2b3d1  a3b1d 2a3b2 d 1a2b1d 3a1b3d 2 c3  ˆ

k



a
b
c

a
b
c

a
b
c

a
b
c

a
b
c

a
b
c
d
1 2 3 2 3 1
3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3

3
○
1
In ○
a1b2d 3a2b3d1  a3b1d 2a3b2d1a2b1d 3a1b3d 2 c1
 a1b2c3 a2b3c1  a3b1c 2 a3b2c1a2b1c3a1b3c 2 d1
 a1b2c1d 3a2b3c1d1  a3b1c1d 2a3b2c1d 1a2b1c1d 3a1b3c1d 2
 a1b2c3d1  a2b3c1d1  a3b1c 2 d1  a3b2c1d1  a2b1c3d1  a1b3c 2 d1
 a1b2c1d 3 a3b1c1d 2 a2b1c1d 3 a1b3c1d 2a1b2c3d1  a3b1c 2 d1  a2b1c3d1  a1b3c 2 d1 
 a1b2  a2b1 c1d 3 a3b1  a1b3 c1d 2a1b2  a2b1 c3d1  a3b1  a1b3 c2d1
 a1b2  a2b1 c1d 3c 3 d1   a3b1  a1b3 c1d 2c2 d 1 
2
In ○
a1b2d 3a2b3d1  a3b1d 2a3b2d1a2b1d 3a1b3d 2 c2
 a1b2c3a2b3c1  a3b1c 2 a3b2c1a2b1c3a1b3c 2 d2
 a1b2c2d 3 a2b3c2d1  a3b1c2d 2 a3b2c2d1 a2b1c2d 3 a1b3c2d 2 
 a1b2c3d 2  a2b3c1d 2  a3b1c 2 d 2  a3b2c1d 2  a2b1c3d 2  a1b3c 2 d 2 
 a1b2c2d 3 a2b3c2d1  a3b2c2d1 a2b1c2d 3   a1b2c3d 2  a2b3c1d 2  a3b2c1d 2  a2b1c3d 2 
 a1b2  a 2 b1 c 2 d 3a 2 b3  a3b2 c 2 d1  a1b2  a 2 b1 c 3 d 2  a 2 b3  a 2 b3 c1d 2
 a1b2  a2b1 c2d 3c3d 2   a2b3  a3b2 c2d1  c1d 2 
3
In ○
a1b2 d 3a2b3d1  a3b1d 2a3b2 d 1a2b1d 3a1b3d 2 c3
 a1b2c 3 a2b3c1  a3b1c 2 a3b2c1a2b1c 3 a1b3c 2 d3
 a1b2c3d 3 a2b3c3d1  a3b1c3d 2a3b2c3d 1a2b1c3d 3a1b3c3d 2 
 a1b2c 3 d3  a2b3c1d3  a3b1c 2 d3  a3b2c1d3  a2b1c 3 d3  a1b3c 2 d3 
 a2b3c3d1  a3b1c3d 2 a3b2c3d1 a1b3c3d 2   a2b3c1d3  a3b1c 2 d3  a3b2c1d3  a1b3c 2 d3 
 a2b3  a3b2 c3d1  a3b1  a1b3 c3d 2a2b3  a3b2 c1d3  a3b1  a1b3 c2 d3
 a2b3  a3b2 c3d1  c1d3   a3b1  a1b3 c3d 2c2 d3 
Therefore
      
a b d c  a b c d  a1b2  a2b1 c1d 3c3 d1   a3b1  a1b3 c1d 2c2 d 1  iˆ

 

 a1b2  a2b1 c2 d 3c3d 2   a2b3  a3b2 c2 d1  c1d 2  ˆj
 a2b3  a3b2 c3d1  c1d3   a3b1  a1b3 c3d 2c 2 d3 kˆ
    


 
 

  
Compare (1) and (2) a  b  c  d  a b d c  a b c d
(2)
Q.E.D
   


(15) a  b  c  d




a  a1, a2 , a3 , b  b1, b2 , b3 , c  c1, c2 , c3 , d  d1, d 2 , d 3 
iˆ


a  b  a1
ˆj
kˆ
a2 a3  a2b3  a3b2 iˆ  a3b1a1b3  ˆj  a1b2  a2b1 kˆ
b1 b 2 b3
 
c  d  c2 d 3  c3d 2 iˆ  c3d1  c1d 3  ˆj  c1d 2  c2 d1 kˆ
a  b  c  d   a2b3  a3b2 iˆ  a3b1a1b3  ˆj  a1b2  a2b1kˆ


c2d3  c3d2 iˆ  c3d1  c1d3  ˆj  c2d1  c1d2 kˆ
 a2b3  a3b2 c2 d 3  c3d 2   a3b1a1b3 c3d1  c1d 3   a1b2  a2b1 c1d 2  c2 d1 
a  c b  d   a  d b  c   a1c1  a2c2  a3c3 b1d1  b2d 2  b3d3 
 
 
 a1d1  a2 d 2  a3d3 b1c1  b2c2  b3c3 
 a1c1b1d1  a2 c2b1d1  a3c3b1d1  a1c1b2 d 2  a2 c2b2 d 2  a3c3b2 d 2
 a1c1b3d 3  a2 c2b3d 3  a3c3b3d 3
 a1d1b1c1  a2d 2b1c1  a3d3b1c1  a1d1b2c2  a2d 2b2c2  a3d3b2c2
 a1d1b3c3  a2d 2b3c3  a3d3b3c3
 a2b1c2 d1  a3b1c3d1  a1b2 c1d 2  a3b2 c3d 2  a1b3c1d 3  a2b3c2 d 3
 a2b1c1d 2  a3b1c1d3  a1b2c2d1  a3b2c2d3  a1b3c3d1  a2b3c3d 2
 a2b1 c2 d1  c1d 2   a3b1 c3d1  c1d 3   a1b2 c1d 2  c2 d1   a3b2 c3d 2  c2 d 3 
 a1b3 c1d3  c3d1  a2b3 c2d3  c3d 2 
 a1b2  a2b1 c1d 2  c2d1   a3b1  a1b3 c3d1  c1d3   a2b3  a3b2 c2d3  c3d 2 




 
 
 

   
   
   
 a  b  c  d  a  c  b  d  a  d b  c


 
 

  

 
(16) a b c  b c a  c a b   c b a
   a
 
c b




a  a1, a2 , a3 , b  b1, b2 , b3 , c  c1, c2 , c3 
a1
 
a b c  b1
c1

a2 a3
b 2 b3  a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a1b3c2  a2b1c3  a3b2c1
c 2 c3
(1)
b1
 
b c a  c1
a1

b 2 b3
c 2 c3  a3b1c2  a1b2c3  a2b3c1  a2b1c3  a3b2c1  a1b3c2
a2 a3
(2)
c1


c a b  a1
b1
c 2 c3
a2 a3  a2b3c1  a3b1c2  a1b2c3  a3b2c1  a1b3c2  a2b1c3
b 2 b3
(3)




From (1), (2) and (3) we know
a b c  b c a   c a b 
c b a   c a b 
 a c b   a b c 
No.25

p  2, 3, 0, Q : 2, 1, 0, A; 0, 3, 0

QA  r   2, 2, 0
ˆj kˆ
iˆ
  
mrp 2
2 5  2  0  5  2iˆ  5   2  2  0 ˆj  2  2   2  2kˆ
2 2 0
 0  10iˆ   10  0 ˆj  4  4kˆ  10iˆ  10 ˆj  8kˆ

m
 102   102  82
 100  100  64  264
No.26

p  1, 0, 3, Q : 2, 0, 3, A; 4, 3, 5

QA  r  2, 3, 2
iˆ ˆj kˆ
  
m  r  p  2 3 2  3  3  2  0iˆ  2 1  2  3 ˆj  0  2  1  3kˆ
1
0 3
 9  0iˆ  2  6 ˆj  0  3kˆ  9iˆ  4 ˆj  3kˆ

m  9 2   42   32  81  16  9  106
No. 27
Four vertices p1 : 4, 2, 0, p2 : 10, 4, 0, p3 : 5, 4, 0, p4 : 11, 6, 0
P3
P4
P2
P1
p1 p2  10  4, 4  2, 0  0  6, 2, 0
p1 p3  5  4, 4  2, 0  0  1, 2, 0
iˆ ˆj kˆ
Parallelogram area p1 p2  p1 p3  6 2 0  12  2kˆ  10
1 2 0
No.28
Set A : 2, 1, 0, B:5,  1, 0, C : 8, 2, 0, D : 4, 3, 0
The vertices of the quadrangle are the midpoints of AB ,
1 1 0  0 

P1 :  2  5 ,
,
  3.5, 0, 0
2
2 
 2
1 2 , 0  0   6.5, 0.5, 0

BC , P2 :  5 8 ,

2
2 
 2
CD, P3 :  8 4 , 2  3 , 0  0   6, 2.5, 0
2
2 
 2
AD, P4 :  2  4 , 1 3 , 0  0   3, 2, 0
2
2 
 2
P1P 2  3, 0.5, 0, P 2 P3   0.5, 2, 0, P 4 P3  3, 0.5, 0, P1P4   0.5, 2, 0
P1P 2 // P 4 P3 , P1P4 // P2 P3 The quadrangle P1P2 P3 P4 is a parallelogram.
iˆ
ˆj
P1P 2  P1P4  3, 0.5, 0  0.5, 2, 0  3 0.5
 0.5 2
kˆ
0
0
 0.5  0  0  2iˆ  0   0.5  3  0 ˆj  2  3   0.5  0.5kˆ
 6  0.25kˆ  6.25kˆ
The area is P1P 2  P1P4  6.25
No. 29
Set P1 : (0, 0, 1), P2 : (2, 0, 5), P3 (2, 3, 4)
P1P2  2  0, 0  0, 5  1  2, 0, 4
P1P 3  2  0, 3  0, 4  1  2, 3, 3
iˆ
P1P2  P1P 3  2
2
ˆj kˆ
0 4  0  3  4  3iˆ  4  2  2  3 ˆj  3  2  2  0kˆ
3 3
 0  12iˆ  8  6 ˆj  6  0kˆ  12iˆ  2 ˆj  6kˆ
The area of the triangle is
1 P P P P  1
2 1 2 1 3 2
No. 30

A : 1, 2, 1
4

 122  2 2  62
B : 4, 2,  2
 144  4  36  184  46
2
2
C : 0, 8, 4


AC  0  1, 8  2, 4  1    1, 6, 15 
4 
4 
AB  4  1, 2  2,  2  1  3, 0,  9 
4 
4 
î
ˆj
k̂
0 9
4
 1 6 15
4
The plane normal vector N  AB  AC  3
 0  15    9   6iˆ    9    1  3  15  ˆj  6  3   1 0kˆ
4
 4  4    4 
  0  27 iˆ   9  45  ˆj  18  0kˆ  27 iˆ  9 ˆj  18kˆ
2  4 4 
2

The plane is 27 x  9 y  18 z  d
2


and A : 1, 2, 1 belongs to the plane.
4
27 1  9  2  18  1  d
2
4
27 x  9 y  18z  0
2
d 0
Or 3 x  2 y  4 z  0
另解 Set the plane x  by  cz  d


And A : 1, 2, 1 , B : 4, 2,  2, C : 0, 8, 4 belong to the plane.
4
1  2b  1 c  d
4
1
○
4  2b  2c  d
8b  4c  d
2
○
3
○
1 －○
2
○
9c3
4
2 －○
3
○
6b  6c  4 Since c  4 ,
3
3
From ○
Or
c4
3
b2
3
d 0
The plane equation is
x 2 y 4z 0
3
3
Or 3 x  2 y  4 z  0
No.31
Find the plane through
(1, 3, 4), (1, -2, 6), (4, 0, 7)
Set P1: ( 1, 3, 4 ), P2 : ( 1,  2, 6 ), P3 : ( 4, 0, 7 )
P1P2  0,  5, 2, P1P3  3,  3, 3
î
ˆj
k̂
The normal is P1P2  P1P3  0,  5, 2 3,  3, 3  0  5 2
3 3 3
  5  3  2   3î  2  3  0  3ˆj   3  0  3   5k̂
  15  6iˆ  6  0 ˆj  0  15kˆ  9iˆ  6 ˆj  15kˆ
The plane equation is  9 x  6 y  15 z  d
Substitute P1: ( 1, 3, 4 ) into the above equation  9 1  6  3  15  4  d ; d  69
Therefore,  9 x  6 y  15 z  69 Or  3x  2 y  5 z  23
另解 Set any point on the plane is P : x, y, z 
P1P  x  1, y  3, z  4, P1P2  0,  5, 2, P1P3  3,  3, 3


P1P  P1P2  P1P3  0; x  1, y  3, z  4 0,  5, 2 3,  3, 3  0
x 1 y  3 z  4
0
5
2 0
3
3
3
x 1  5 3   y  3 2  3  z  4  3 0  x 1 2   3  0   y  3 3  3   5 z  4  0
 15x  1  6 y  3  0  6x  1  0  15z  4  0
 15 x  15  6 y  18  6 x  6  15 z  60  0
 9 x  6 y  15 z  69  0
 9 x  6 y  15 z  69 Or  3x  2 y  5 z  23
No.32
Find the volume of the parallelepiped edged by the vectors
iˆ  ˆj ,  2iˆ  2kˆ, and  2iˆ  3kˆ,

 

The volume is the absolute value of iˆ  ˆj   2iˆ  2kˆ   2iˆ  3kˆ
1
1
2 0
0
2  1  0   3  1  2   2  0  0   2  1  2  0   2 1   3   2  0  0
2 0 3
 0  4  0  0  6  0  10
The volume is 10
No. 33
Set p1 : 1, 1, 1
p2 : 5,  7, 3
p 3 : 7, 4, 8
p4 : 10, 7, 4
p1 p2  5  1,  7  1, 3  1  4,  8, 2
p1 p3  7  1, 4  1, 8  1  6, 3, 7
p1 p4  10  1, 7  1, 4  1  9, 6, 3



4 8 2
P1P2  P1P3  P1P4  6
9
3 7
6 3
 4  3  3   8 7  9  2  6  6  4  7  6  6   8 3  9  3  2
 36  504  72 168  144  54
 474


The volume of the tetrahedron is 1 P1P2  P1P3  P1P4  474  79
6
6
No. 34
Set p1 : 1, 3, 6
p2 : 3, 7, 12
p 3 : 8, 8, 9
p4 : 2, 2, 8
p1 p2  3  1, 7  3, 12  6  2, 4, 6
p1 p3  8  1, 8  3, 9  6  7, 5, 3
p1 p4  2  1, 2  3, 8  6  1,  1, 2


2 4 6
P1P2  P1P3  P1P4  7 5 3
1 1 2
 2  5  2  4  3 1  6   1 7  2  3   1  7  4  2 1 5  6
 20  12  42  6  56  30
 90


The volume of the tetrahedron is 1 P1P2  P1P3  P1P4  90  15
6
6
No. 35