OPTIMALITY CONDITIONS 1. Unconstrained Optimization 1.1

"!# $&%('")+*, -.0/213%(*,45*,6)7%"*,!#
eTJ8Lt:UON\9<Luc7; J=?c7>A@&MrBDJC+LwEBGvZ[QFI["HKJZ^+JL7j MOl NQP7h RTSIUOV7RXW7SOJZY7[\RA]x JZ^_]`NQL7N\]2N\aAN\L7bXUOV7RX^dc7L7eAUON\JLgfihkjmlon jqprVRTSOR`fsN\M
]`z}|uNQL ~ f,k
{
y
L7JMIbp_c3R`vSV3vZv{LtZUR`RARxMRTURTV3LgvUXUV7NQRAUSOR2N\MXN\MvUL7UJvZNQL7bRTc3PvSvZLtLURAUOR2V7UON\MV3vSOURTbfsvZSOV3P"vZMUOV7vR]`3NQSL7MN\U]N\cM]MOc7RvZp_[Qc7RRZvZ(P7JPSSON8RT^KMMXN8UN\MP7JR}RAMTN\(MUOURTVL7RTeASORR2JZN\M^
MUOJV3[QvcU UNQvJL7bZM[\JUY3J v[MOJZ[\cLwUON\W3JvZLSUUNQJ eTc7x [\vZSTR}upKNQMRUOMTvZ SR5N\LtUORTSORAMUORTPwN\LeTJZL7P7NQUON\JLMc7L7P7RAS:prV7N\eVp_ReTvZLYkRIeARTSUvZNQL
¡W7SOJZY7RT[\e{RAv]`[\[3MAUV3¤:vV7UN\p_MrRINQMvZU[QV7SORTRIvZ¥¦P¢XRTV3N\RAv{SOZMURISvvUMOM JRc7DSUP7SRTN\M]2WkRJZMvZvZ[G[Qv£c7R5Sc7UVP7RTNQ]`JSRARTLu]wUvZ S¢RN\MURTLeTR5SRTMOc[QU^dJSmeTJL7MUSOvZN\L7RAP
§ÃÄo¨ BuËw©GÂª«ÃBDÌ<¬ ÍËD3ÂÅF?3È&F2¿Å®°¯±ËZÅ?ÅÊ-GËZ*,Æ,-Ä'(È$&Æ,%(ÅdÈX'")+¿Î$«Å?$³À¿²ÌÏ´+¿%(¾'(ËZ-ÐÑÇ45¿È-¶Ãµ:Ä)+Åd·uÒ¸ ËZ-ºÅÈ&¹¿ÅÔ» Ó -!#'(-4r¼½_¾Z¿À}ÁgÂÃÄ3Å?Æ,Ä3ÇÃÇtÈ É}ÇÄÂÅ?ÆÊÃÄ
UV7NQ¥¦MpKR`RL7J&]`pÕvZØZYRc7c7N\[QMP¦R£vJ^ÙY3UOvZV7MRN\eL7RJZUNQNQMJULRAL7JZeT^#R`v2SOeARAJMOc7RA[8SOUeANQ^dJZRIS^dcc7L7LeTeAJUNQLJML"USO vZN\LRTPÖWSOJY7[QRT]2MJLgUOV7N\MIUOV7RTJSRT]wÏ×3JS
ÚÉ{ÃÀIBuÛ#æ#C+ÒD=dÆÊ@«Â=dÒ©GC¦ç 3ã F?ç3nFÙÜgè É}ÇÄÆ,ÅÂÅ?ÌXÆÊÃÇtÄÈÅfàh¿jmÅ,l`Ò3¿XnÝÂOËjÞÈ&¿Æ\ÈÅ,ÒÈTËZËZÅÆ?ßIfÅ,ÃIã àm¿ n ÂÃ&¿è ÀÂÆ,¾ZË¿ÈÆ æKÉGÉ{¿ÃÐ,Ð8ÀrÓ ¿¾Z¿À}ÁÈ&¿OáTÇ3¿ÄÂ¿â&ãäåjl
JLHKUJV7LtRAUN\S:NQLu[Qc7J«Jp_c7RTM+SreT[QJDRARTRASeT[(NQMOZRRUMT^dc7 L7eAUON\JLM+eTvZLYkRmeV3vZSOvZeAUORTSN\aTRAP£Yt¢vZLc7L7PRTSO[8¢DN\L7breTJZ]`W3veAULRTMOM+W7SJWkRASU¢
§ð Ò3¨ ¿Bu©GÉ}ÇDª«ÄBDÂ¬ ÅëÆÊÃ3ÄFQé"fiFXÆ\®ÈXê_ÂÃ&Ã&¿¿ÀÀÂÂÆ,Æ,¾&¾ZÆ,¿IÅëÁwÆ ÉËZËZÄGÄGßoßê_ÃÃÄ3Ì<ÐÑÁ2ÍËDÆ ÉÂÉ{ÅëÄÃÀ¿È¿È¼¾Z¿ì ÀÁ£¿Åmñífíòóh7jôjmlîÅdÒ3n ¿5È&j¿Åmàâ&¿`ÂõÃfÄ3dÅëkÆ,Ä3Ç3öºÃÇuñÈ2äÃÄÖÆ\ÈËZÂÐ,ÃÐmÌ<ÃïÍÉËDjÂl(ÅÔÓ Ó
÷¥ÖÀR:Ã&ÃïYGÉARTÓ#bZ¥¦N\LXRYt3¢SOML7U JZMOUOV7N\L7J&b5p¦UOUV3V3vvUUUOUV7V7RrRmeTeTJJDLtRTUSNQeTLuN8c7NQN8UU¢¢<JJZ^7^(ffNQNQ]`]`W7W7[Q[QN\N\RARAMGM+UOUOV7V7RRreTeTJ[\]2JZMOW3RTPvZeL7URTL7MRAM_MOJZM ^JZUOûV7URrVRMORAMUORAM:UOMmâ&âTõùf#õøfdk,kKöºö0ññäuäu
¤:â{Vuc7õùfMTDdkYt¢XKö0UV7ñIRäúKJN\M[Qa{vZYkL7JJcûÔL7¥¦P7RTRTPN\RAîSOM¥¦USvRÏMOMMOV¤:J«V7pRAJUOSOV7RAN\]îM£uYuNQ¢¦UmSeTRTJZ]`LuUOvZSN\vZLPMN\eAJUOL7N\J[Q¢LUóJýDMOc7V7W7J&WGpüJUOMOV3RÏvUOUJîvZUOLtV7¢RÏMOReAUKJLtJU^kSUOvV7S¢gR ^dUJZV3SOv] U
URV7RAN\MSOU5R2v2N\MMORvZDLÖcRTñþL7eAòRjmâ&lgãMOä2cåeVsÿ UV3prvN8UUVUOV7çR`MãRAçUXn ÿ èâr&¶úKcõùfUdUkV7RAL"öºkñYt¢äUN\VMRc7LueTJDYGRTJSc7eTL7N8PN8RTU¢P"JZ^m¤:f+V7GRALÖp_RUV7]RASOcR2MU<]vZc7[\MMJ U
VU3V7v{RR2MRAfU<,ÿiã&] ncMU è YkRYG¤:JV7c7N\L7MIPeARTJP"Lt USOvZP7N\eUM<UOV7R^?vZeU5UV3vUfdã{ö ñ ^dJS<vZ[\[ {{{¤:V7RTSRA^dJSR
RAUXcML7J&pôvZMOMc7]`RÙV3vUR{vZeVíJZ^:UOV7RMRAUMâ& õøf,köºñäwN\M£YkJZc7L7P7RAPvZL7Pí[\RUÏâ&ãä¦åôjl
Yk RÏå MOc7qeViMc7UV3eV¦vUóUOV3çvUã çUVn R2MRAè U âf ,RUã&}c7ä MXMONQc7MIWYkWkJJcML7RP7URTV3PÖvUXvZYGUOV7J«ZRTRZSRR¤:V7N\MRAUL¦MUvVRTMOSOcRY7MOR}RDNQMcUORTML7ñeARóòJZ^rjmUlgVRMOc7N\eLtVgURAUbV3RTvSMU
YUkâ&V7JZRwãc7äL7MOP7RU³RAåPââ{prfV, N\õù[\ãfR#}dRAä koKRASö0e{¢vZLñIMc7L7äuY7JZmU`MOúKR Ykucc7RîU:RTYkL7UVJeAN\RKcML7JZeTP7^DvZRTUL7VPL7RrJZMOvZUrR L7uYGP¶c7R5RAMUL7JÖVeTRIR UVe{â&vZRóMãRMOä_R MuN\N\M"c7L7cRTeAL7RILDYGeAR{RsJvZc7eâVwLfP7JZdRT ^ P£ã U}YuVä¢<RIeAP7MOJRARAUOLt7MIUL7vZâ&NQNQUO¶L7N\JM2õøL"f#L7 dJsk¤:V7YGöºRAJSOc7RñL7^dJP7äSORARN\P M
MOc7YMORuc7RAL7eTRNë Rfdã{mn è ¤RN\:MUV7RANQL7MeTSORRAMOSOc7RAMO[8Uc7[8NQU:LÖ^dJeTSJZL UV7c7RL7W7eUSN\JJZY7L¦[QRTpr] NQUOx V¦ ¥¦RTNQRTSOMUSOvZMOM M¤:VRTJSRT]N\]2]`RAP7N°vUORT[8¢ó¢DN\RA[\P7MUV7R2^dJ[\[QJ&prN\L7b
§fi¨ Æ\ÈXBu©GÂÃ&ª«¿BDÀ¬ ÂÆ,¾Z3¿ mF "Å,FÒ3¿®Äê_Ã&f¿ÀÒÂËÆ,¾&È£Æ,Å?ËZÁÅÆ,Ð\Ì<¿OËÍGÈÐÑÅ:ÆÊ¿ÃÈÄ¿¿ ÎZÆ\ÈÐ\ÃZÅ¿àÄËZÂÐ"¿ÌX¼Æ,ì Ä3¿Æ,Å+ÌXf³Æ h¿ÀAjmÓ lÏnÝjôà¿ÂÃÄ3ÅëÆ,Ä3Ç3ÃÇtÈ£ÃÄóËZÐ,Ð ÃïÉjml Ó ,É
UJ÷ V7L7ÀNQRÃ&M:ÃïbMOÉA[\RÓ JU<Y7NQvZRAM:U[eTMOñsJJ]2[QòócW3UjþNQvZJeL"U{YG_ R5ú_eV7¢Ytx JD¥¦MN\JRTRTLócN\MORAM[QSO¢ZJ2MUUOUOSV3V7vvMOR<U:MM M<UORAV7U:¤:RJZVMO^ RTRAbZJU<[\SJÿRTY3]wvþâ7[GUM&V7J¶R[\cõøW7Uf#N\SOdJZJZkL7Y7M[\RAöºUO] JñU]2VäR5N\N\L5M:W7âSOL7fJZJZY7,Lk[\ûRAXRA]±]`õ ³W]2òUN\¢ZLÿâú_äf¢V3dkvZeTJDM RTõvóSU eTòoN8[\RTN8ÿvZUM¢ä U
N\MrvXb[QJY3vZ[kMOJ[QcUNQJLUJ prV7N\eVwW7SJ«ZRTMrUV7RSRTMOc[QU{
c7vÖLMO^dJZJ[\S:cUUOc7=?N\ªL7J>AvL @ URAR[Q¢wª N\MNQUU<BuMTªP7 JY7RAcM5UÏL7@«pK=?JZ¬ U5R³bMNQ?UZ=dNQ@ [\R[ c7P7£MJs©GvÏL7C eAJZ+JUL7=,@«V3M=?Uv{©GSOcC+RoeA>ZUF5vÖN8¤:R]2V7UORANQRTMrUOMV7RUIJ^dP N\JZMS<U^dRTJJLSÏWeTUOP7RN\R]`SOURTRAvZMSO[\c7]2N8U[QU ¢N\L7 eTNQvZ¤:L7Lîb¦V3vYGprUIR V7NQuMTRc7GUV7NQpKUORARIRXSc7]`vZMOLtRv{¢¶^d¢îc7[ÊØubZ3NQL7Y7J&RAcp L U
WkJY JZN\LtRAeAUUN8]`Rv{¢Ö^dc7JZL7SeAUO]`N\Jv&L¢gfÙL7<JUX×3JYkSrRUvóVN\MrMOJpK[QcRUNQprJNQL"[\[+wvZ¥ÖMMORc7]2LR£J«pôUOV3Y7vc7UNQfo[\P¦N\M MOc7UeprViN\eTvîR£UOeTRTJMLtUUON\JZLuLÖc7JUc7V7MRÏ[Q¢wP7RTP7SN NQRAvSOURTN8LtUORAN°MvZY7JZ[Q^:R£UJZVL R
jmJWl³UON\vZ]`LvZPó[\N8P7U¢RRT[QJW³eAJL7MUOSOc7eUNQY7[\R3SOMUû:vZL7PóMRTeAJL7PûÔJSOP7RAS<L7RAeTRAMOMvS¢vL7PóMc 2eTN\RALtUIeTJLP7NQUON\JL7M:^dJS
¤e{vZ[Q:eTc7V7[QRîc7MJW^dJUNQS]Ï^dvc[\L7NQUeA¢¦UON\JeTL7JZL7MXP7]`NQUOvZN\JW7LWMN\L7p_bóRó^dSeAJJ] L7MN\j P7RAUSÏJvZj SRîüY¤:c7N\V7[8U`RcSORTW Pc7^dSOeAJZUO]N\JLíUV7UJJMRîUOV7PRRAJL7RA[\RJWGP7RTNQ]`P¶RAN\L7L MONQ7JSOL3MvZU2[_Ue{RAvZSOM] R
eTJ]2RTMrvYkJcUrYu¢eAJL7MN\P7RASON\LbUOV7RI^dc7L7eUN\JZL7M ³hj0n jbZNQRALîYt¢
Ù Þf#d D
^dP7JRTSSNQMOJZv]ÙONQRrRIeV7JJ^NQeTfRrvJZU ^GvWkvZJZLN\P LtU³NQLXNQLjlUV7R¤:P7V7NQRrSORTØZeRU¢NQJZL vSOÏN°vbUN8N\JZRTL3LvZ[DYtJ¢ Y RTeUKNQLXUV7NQMeTJLtUR}DUKNQMmUOV7RrP7N\SRTeUN\JZL3vZ[
f dd 0[\N\] f, D fdk
¥ºV7RTLóf³N\M:P7N RASORALuUON°vZY[\RvU:UOV7RWkJNQLtU:³òójml"UV7RAL
f ,d D `fdk d
JZUOR5UV3vUN8^#f , D UOV7RTLwUV7RASOR]c7MUYGRv XMc7eVîUOV3vU
fd D if,k prV7RTLRARAS
<
LwUOV7N\M:eTvZMOR7pKR]c7MU V3v{R
fd D üf#dk prV7RTLRARAS
5
¤:vZSOV3YvNQUUSOvZNQMTSONQ[Q¢£p_RMO]è{vZvZ[\Lº[7vZv]`[QpKJZv&c7¢DLtMU{SRTL`P7cW3eTvZR³SUOUN\VeAc7R³[°vZ^dc7SAtL7NQeA^GUOUN\JV7LRASORZvN\M[\c7vRóPvN\UÏSORAeA0UON\YtJ¢L ]2MOJ&ceNQVÏL7bsUV3NQvL¶U:Uf V7Ród P7DN\SRTeARUON\NQJMLUMprNQvUOLV
NQMf Ûv,ÖURIN\MIDUVvN\M:[\JDRTe{[QtvRTU]2[ÙVURTRTJLtLÙUOvV7SR¢e{vZW7SL7SORTLJZMY7JZc7UK[\[QU RAYG]N\RL]2vUOV7[QN\JLRIeTy{^dvZz J[3[\~[QMOJ«Jfpr[Q,cNQkL7UNQbJ"LX[QUORTV7U]2RTJLÖ]ÏUV7fvR ,W7 SOJZDY7 [\RA]qÏ]`prNQL V7y{RTz L7tR~ fRASXdkf } d 5SmDR<uRc7NQNQMvZU[QMARTLtU¥¦[8¢R
BÐ\Ã&DÂOËZ¬sÐk¬ È&ÃÐÑÇDÅë3ÆÊÃF?ºÄ³ÅëÃ2úKvZÅ,Ò3MONQ¿:eÍG×#ÀN\ÃZSàTMÐ\U¿û Ì 5SO]`P7RANQSL 5WUNQf]ÏdkvZA[QNQÓ U¢ ð ¡Ò3¿ RTMOc[QU}}F<ì ¿Åf hkjlon j ËZÄGßîÐ\¿Å òijmlüà¿`Ë
y{z t~ f d, D
É{ÃÀ¿¾Z¿À}ÁßZÆ,À¿ÂÅ?ÆÊÃÄ ÏòójmlÏÉ{ÃÀIæ#ÒDÆÊÂÒ2f , DX¿ÎÆ\ÈÅ,ÈTÓ
¥¦RLJ«pÞvZW7W7[8¢UVN\M:SORAMOc7[8U:UJUV7ReTvZMORN\LprV7NQeV³f³hjmlÏnÝjþNQM:P7N kRTSRTLtUN\vZY7[QRZ
"!
$#
#
&%
(')%+*
,*
-*
/.
7'8%+* :9
102*
%
354+6
;.
C
.
10*
=<
?>@*
10* EDFA
=#. BA
G% HIA
(')%+* :9
DFA
%
G%
(')%+* D
ADJ%ED
A7D%ED
G%
*
K*
.
.
NL
R
.
10* EDFA
S
T
L
10* POQA
U
.
M
10*
G
L
;.
W*
10*
.
10* EOVA
10*
§ÃïÉ ¨ f Bu©GÅ,ª«Ò3BD¿¬ Ä Ï3Ff#+ F:kì ¿Åf³3Ó hjmlÏnÝj à¿£ßZÆ 5¿À¿Ä3Å?Æ?ËtàTÐ\¿ËZÅKËÍ3ÃÆ,Ä3Å ³òójml(Ó dÉ Æ\ÈË`Ð\Ã&ÂOËZÐ"ÌXÆ,Ä3Æ,ÌXÇDÌ
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓú_¢ RA]`]`v8IpKRV3v{R
ö f , D Ïf " ^dJSrv[\[ `òój l
¤#vØDNQL7b Ïf# kKpKRbRU
Xö `f `f k 2ç `f «ç rö
¤:V7RTSRA^dJSRZ `f k ¥vMºUvV7UNQRAJLÖL3vZfsS¢sh7jmdJlóSTn R uj cN\vZM[\RAP7LtN UkR[QT¢ZS"RTeTLtSUNQN\UOvZN\e{Y7v[\R[,:"WkvZLtJ¢îNQLtU5WkJZJZN\^KLtU<fÙÖòÖLojmJc7lS5MLvRUODN\MU^,¢SONQRAL7MOb c7[8Ù5fpKdRk[Q N\L7ØUVNQRM<MOL7vZJZN\UOPóN\JUOL7JM<YGJZR ^
eTJDRTSeTNQDN8U¢vZL7PwMUvUNQJL3vZSNQU¢Z
§ËZÅr¨ Ð\Bu¿O©GËÈª«Å<BD¬ ÃÄ¿ 3ZF (Ð\ÃZF<àìËZÐ#¿ÅÌXfÆ,Ä3hÆ,ÌXjml³Æ ¿n ÀÅdjÒ3¿È&à¿ ¿ZßZÐ\Æ ÃZ5à¿ËZÀÐ#¿ÌXÄ3Å?Æ,Æ?Ä3ËtÆ,àTÌXÐ\¿2Æ Ã¿ÄíÀÈ`ËZÂOÐ,ÐËZÄsÃïÉàjm¿:l É{ÃÓ ÇDdÄGÉ5ßfüÉ}ÀÆ\ÃÈÏÌ ÂÃ&ËZ¿ÌÏÀÂÆ,Ã¾ZÄ ¿ :ÅdÅ,Ò3Ò3¿¿ÄÂÀ}f¶Æ,Å?ÆÊÒÂOËËZÈ Ð
Í3ÃÆ,Ä3ÅdÈÃïÉfÓ
÷b[\ÀJZÃ&Y3ÃïvZÉA[Óm]2ýNQN\L7LeTN\Rw]2N\P7aTN RARSTA SO5RTLtN UOkRN°TvZSY7RTNQLt[\N8UUN\¢ÖvZY7NQN\]`[8UW7¢2[QN\N\RA]2MXW7eT[\JNQRTLtM_UNQUOLuV3c7vNQUrU¢ZUKVN\pKM:Rób[QvZJ[\Y3SR{vZvZ[kP]`¢NQL7ØDN\L]2J«N\paARTSUOV3N\M:vUeTSfºNQUON\V7e{vvZ[ÊM vU`[\RTvZMU2JL R
^dUc7V7L7R¤:eMV7U]ÏN\NQJZMIvZLSO[QRT[\N\RAM+MMc7UU[QJ5U^dc73NQLL7SMeAP7UUNQNQe{3JvL7LUOPRTM<vvZ[\UO[\[Dc7V3eTRvSOUIN8UJNQe{LvZR[uWGpJv{N\¢³LtUUOMJvZ3L7L7PPgUVvRTLXb[\^dJSOY7JvZ] [Ù]2vZ]2N\LJN\L7]2bN\aTURAV7SrRAMOJZR:^_P7vRUeARTJSRA]`SOeANQNQL7RKRXUOPV7N JkRMOTR_SO¢RALtNQRTU[QN°P7vN\Y7L7[\bR
UUNQRA ]Ï[\[\ MvZ[Q"c7NQUBDM¢EUO©Gp_V3C vRÏUX]N8^ c7Mªf U£+NQ7BuM£ªSOMUU£prN\SOeARAR@«e{vZ=ëeT¬ [QJZ[mLuvUOëN\=,^dLu@ Rc7pÕJcW7MOS©G[QJ¢¦C WkÙP7RA=,SN @«RUO=dN\ART©GSOMCÙRTLtJZ>ZUO^_FN°vZU¤ÙY7V7Jî[QR RJYvRAUUMOvZMOvóN\N\LgvZWGLÖMOJRAN\]èTLtJUvL7UO PDSOûN8 JòºSP7j RTl S£feT,UkJV7L7RA`PLsNQ¤:UUNQV7JV7L7RÏR MIeTvZ^dJRT[\eASMc7MOJN\[\vZc7WL Mû
#
f
d

Q
N

M
D
¢
2
]
`
]

S
\
N
<
e
`
]

v
O
U
O
S
8
N
k

+
T
R

S
3
V
Z
v
7
W

M
O
U
7
V
I
R
`
]
Z
J

U
L
Z
J

R
K
p
J

U
t
V

¢
d
^
T
R

U
7
c

S
5
R
Z
J
^

M
¢
2
]
2
]
A
R

S
\
N
e
Ï
]

v
O
U
O
S
Q
N
T
e
T
R
M
N\RTMrNQbURTV3LtvU<RAeAUUOVJRASO¢óM vZJZSO^ R£JSfUOV7,kJb5J L7vZ
[\[8¢P7{N°{v{P7 J tL3lXvZ[QMN\aTc7vZeY7Vî[\RUO:V3v¤:U V3vUINQM UOV7RTSRRNQMUM5vZL7P³JSUV7JZL7JSO]`vZ[ Y3vZMN\MJZ^
{{{{
f,k
T{ {{ l
prbNQV7ZRTRTSLR Yt¢UV7RAN\TS:{{eAJ SOSRTl MOWGvZJSORL7PUOV7N\L7RXbXRTNQbRARTeALtUOJSOvZM [Qc7RTM5 J^ {{Tf dkl h vZL7P N\MUV7RX]`vUSN8wprV7JMReTJ[Qc7]`LMIvZSOR
{{{ l
¤:vZL7V7PRNQMUr¢DNQ]`M:]2MvZRANQUOPwSON\UOeJ]`YkvRUWGSN8J MON8UNQZfRIdP7kRA:7N\L7M NQUOMRvZNQN8Pó^ UJ`YkR£Wk JZMONQUONQZ R£
M{RT{]2{ N8û PÙRA3¤:L7N8VuUc7RMANQk^ NQLW3vZSUN\ eAc7[°vST7N8 ^ T{{f dk#
N\M:WGJMON8UN8RIP7R3L7NQUORZ7UOV7RTL
f#dk
ç "ç ^dJZSrvZ[\[ Ïòój l prV7RTSR NQMUV7RMO]`vZ[Q[\RTMU:RTNQbRTLtvZ[Qc7RIJZ^ f,k
1
-<
A
A
*
9
<
;.
1
G 0*
<
G ?>@*
*
G
A
;<
9
<
>
G
<
9
G
<
A
G
A
G
-<
7
P
A
U
N
8
S
<
<
<
<
A
A
U>
A
A
A
A
A
<
<
$#%
'&
(
(
* >
,.-0/
!
"
A
<
HFA +)
,.-0/
*KO
<
N*
*
*
O=A )
*
<
¥]Ïv[\NQURI¢L7NQJ&Lóp UVbRN8RIW7SOJJZcY7S[\RA]Ï] vN\]2LN\SL RTMOc[QUrfJ,LkMRTeT¤:JZL7V7PRûJZØSORAP7¢³RAS UOJLJZRT[\eTM<RANQMOLóMOvZUSV¢wRXvZW7LSOPwJDJZM^c 2vZSeTRNQRTULtV7UrReTL7JJZLUP7NQJNQUOL7N\JM5L7JM_^m^dWkJJSMJNQUOWNQUON8R û
¦
MOvRAU ]`vXN ûbP7NQZR3RTLwL7NQWkUORTJZL7N\LtRAMOU Mr³vZLòóPîjmP7lRh 3L7N8y{Uz RTL~ RTMOMvZ[QJL7bprNQUOVUV7RIMRTeTJZL7PûJZSOP7RAS¤Ùv{¢[QJSMRTSONQRTMrRW3vL7MONQJLw^dJZS f
8« f#dk Þf k `f k #d " , k f "Ad k }ç ç
prV7RTSRy[\NQ ] y çç mç ç §¨ Bu©Gª«BD¬ 3F "Frì+¿Å#f³hj l nj à¿ÅëæÆÊÂ¿XÂÃÄ3Å?Æ,Ä3Ç3ÃÇuÈÐÑÁÏßZÆ 5¿À¿Ä3ÅëÆ?ËtàTÐ\¿ËZÅ_Å,Ò3¿:Í3ÃÆ,Ä3Å óòój l Ó
ï«óÈ&® ¿ÌX¿ÂÆ
¿ßDÈÈ¿mÆ,ÅëÁÄ3¼ Æ,Å¿T,É Ó Æ\ÈwËgÐ\Ã&ÂOËZÐÌXÆ,Ä3Æ,ÌXÇDÌÝÃïÉXf Å,Ò3¿Ä `f k iËZÄGß f kÆ\È£Í3Ã&ÈÆ,Å?Æ,¾Z¿
óÈ® Ç3ÂÇ ÒwºÅdÂÒÆÊËZ¿ÄÅ#ÂfÁd¼ kdÉ 0Ïff kk ñríç ËZÄGß ç É{f#Ã À£k2ËZÐ,Æ\Ð7ÈIÍ3Ã&ÄÈ¿OÆ,ËZÅ?ÀÆ,¾Z#¿ÏÓ ßD¿ mÄ3Æ,Å¿ <Å,Ò3¿ÄíÅ,Ò3¿À¿2Æ\ÈÏËZÄoñ
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓ UV7vU «`¥¦f R2k ]ÏvZØ2R`Yuc¢wMOR2¤:JZV7^KRAJUOSOV7RAR`] MRTZeA J7L7 PsIJNQZSP7RTLRTS¤Ùòov{¢j[QJlóSvZMOL7RASOP N\RAM£R}2W3vZMOL7RAU<MN\J¦Lh 8«IvZL73PgkWU[\V7c7RbbZ^?N\vZL7eAb U
UVN\M:N\LtUOJóï8«_pKR3L7PUV7vU
Xö f, ífdk f k
MONQL7eTR `f k Yt¢¤:V7RAJSORA] ¤#vZØuNQL7bXUV7R[\NQ]`N8UvM n Xp_RbZRAUrUV3vU
ö f k
&
J
p
O
M
\
N
L
T
e
R
`
K
p
Z
v
r
M

e
7
V
J
O
M
A
R
³
L
Z
v

S
7
Y
Q
N
O
U

S
Z
v

S
\
N
8
[
2
¢
_
p

R
3
V
{
v

U
3
V

v
U

Q
N
:
M
k
W
Z
J
O
M
Q
N
O
U
Q
N
Z

I
R
O
M
T
R
2
]
8
N
Ô
û
7
P
A
R
7

7
L
Q
N
O
U
Z
R
£¤:V7R¤#v{¢D[\JZS:RW3vZL7MN\JLÖZQ«vL7PwUOV7RVt¢WGJZUOV7RTMN\M:UV3vU `f k NQ]`W[Q¢2UV3vU
f,k if k d k f , }ç ç

ç ç ç mç
ç mç ç mç
Ô^
XNQMUV7RMO]`vZ[Q[\RTMU:RTNQbRTLtvZ[Qc7RIJZ^ f k7eV7JDJMR MOJXUV7vU
t
}çç ç ç ö prV7RAL7RAZRTS`ç mç Tm¤:V7RTL^dJSrvZ[Q[Kç ç :pKRV3v{R^dSOJZ] Z vL7Psï t_UV3vU
y ! y #" yy y y ! y y
$
HKJL7MR uc7RALuUO[Q¢ZkN8^+p_RMORAUñ $ 7UV7RAL
fdk 0f k ñ ç ç
prV7RAL7RAZRTS`ç mç T
"!
NL
'<
9
K9
?>
9
'
9
>
<
K9
'
K9
A
1
, U<
A
O
<
'
<
'8%+* :9
%H
* >
% <
*
V* >
<
<
,.-0/
>
9
<
9
<
K9
,9
O
O
,9
,9
D
9
,.-0/
D
,.-0/
,.-0/
'
,.-0/
O
K9
D
A
G
HIA
K9
'
K9
HFA
A
<
% +*
P*
K9
'J%+*
% %
K9
=H
A
'
A
:9
A
C
<
*
A
<
A
,9
A
G
8<
'
K9
A
L7 RT 7eA RTM£MvZ©kSC¢kvZBtL7; Pó=,@ MOc F<2¥¦eTNQR:RTLtV3U5v{eAJRrL7L7P7J&N8piUNQJRTL7MUMTvZ:Y7¥º[QN\MV3V7vRTUIPXvZ3YGSJMUcûÔUJSO3PSORTMSUûL7JZRASOeTP7RARAMOSMvMcS¢2eTeTJZN\RAL7L7P7eANQ¢óUON\JeTLJMLvZP7L7NQUOPN\JML7RTMeTsJZL7×3PJûS JZSOUOP7V7RAN\SM
pKRNQLuUOSOJDP7c7eARUOV7RI^dJ[\[QJ&prN\L7bPRA3L7N8UNQJL7MT
Ú BuÛ#C+=d@«Ã=dÄ©GC¿5Ò3ËFQÈ é"F ï«Ü0È&¿Å qåjmlwÆ\ÈKÈTËZÆ?ßIÅïÃà¿ÂÃÄ3¾Z¿ÎÆ ÉÉ{ÃÀ ¿¾Z¿ÀÁ_ ò ËZÄGß ò { ï `ò
Ü ò
É}ÇD ÄÂ{ÅëÆÊÃÄ³æK¿IfÒh7ËZjm¾Z¿lón jÆ\È£ÈTËZÆ?ßÅÃwà¿`ÂÃÄ3¾Z¿ÎÆ ÉKÉ{ÃÀ`¿¾Z¿À}ÁÅ?æKÃÍ3ÃÆ,Ä3Å,È< òÖjml¶ËZÄGß
f ö f#d ï fd }
ËZð ÄGÒ3ß ¿(É}ÇD
òÄÂÅëÆÊÃ{Ä2 _foæKÆ\¿IÈ:ÒÈTËZËZ¾ZÆ?ß£¿ ÅÃà¿ÈÅëÀ}ÆÊÂÅ?ÐÑÁ2ÂÃÄ3¾Z¿ÎÆ É(É{ÃÀ<¿¾Z¿ÀÁÅ?æKÃßZÆ\ÈÅëÆ,ÄÂÅ7Í3ÃÆ,Ä3Å,È O òîjl
u
f ï fd Of,
¤:V7RMORAe{vZLtU[\N\LR5eTJLL7RTeUN\Lb³, }f, OvZL7PÖd fd K[\NQRTMrvZYGJ&RIUV7RbSOvZW7VwJZ^fÙ
"!
"!
9
'
A
'
9
'
9
A
'
9
D
A
'
9
(x 2 , f (x 2 ))
(x 1 , f (x 1 ))
:¤ V3vU NQMTUOV7RMORAU
RAW7NDÊf þâd h_f,kö#ä e{MORvZU[Q[\RARTPwWNuUOÊV7f"R¿N\ÍGMÆ
RZuÀc7ËN8Í3ZÒv[\JZRT^LtU£fgUNQJîM UOv`V7eTRJZLueAJZLtR³RMORAN8UTU¢ÖrJZL7^:P7UORTV7RAR`P"^dcN8U L7e{eAvZUON\L³JLsYGRfÙMOîV7¤:J&prVL³N\MUJZV7Y7vMOURASUOV7vRUNQeTJJLíLtvZR}[Q[\J&NQUpr¢îMJZc7^MUVUOJR
RDvZU[\c7RAL7RAMTP¦ UOV7RP7RA7L7NQUON\JLJZ^UVR2eAJLtR}N8U¢gJZ^v^dc7LeAUNQJLUJ^dc7L7eUN\JZL7M5UvZØuNQL7bWkJZUORTLtUN\vZ[\[8¢óNQL3L7N8UR
Ú ¿ÍGBuÆÛ#Êf"C+ =d@«±â=d©GC, 3F (F£h5Üôf#É}dÇDkÄ5Âö ÅëÆÊÃ#Ääóf Æ\Èh5Ë³jÂl ÃÄ3n ¾Z¿Îj È&¿0ÅÊÓ â ó¿2è ËZä Ð È&ÃßDj¿ mÄÆ\Èî¿Å,ÈTÒ3ËZ¿ÏÆ?ßi¿ÈÅÈ&Ãi¿Ä3àÅ?¿ÖÆ?ËZÂÐÃßDÄ3Ã¾ZÌ2¿ÎËZÆ,Æ ÄsÉ³ÃïÅ,Ò3ÉI¿³füÈ&Å¿Ã Å
à¿Å,Ò3¿IÈ&¿Å
ßDÃÌ Êf" þâ&hf#dk è ä
³¿rÈTËZÁÅ,ÒËZÅ fsÆ\ÈrÈÅëÀ}ÆÊÂÅ?ÐÑÁÏÂÃÄ3¾Z¿ÎÆ É<Å,Ò3¿ ÈÅëÀ}ÆÊÂÅÆ,Ä¿OáTÇËZÐÑÆ,ÅëÁÏ® tÓ Z¼Ò3ÃÐ8ßÈ<æ#Ò3¿Ä¿¾Z¿Àm O òßDÃÌ Êf"
ËZÀ¿£ßZÆ\ÈÅëÆ,ÄÂÅÊÓ
²´+)+451·D- çç« y 7
H^dJ[\K[QJ&JprLtN\L7R}b£NQSOURT¢üMc7NQ[QMÏUT v¦ZRTS¢N\]2WGJSUvZLtU`WSOJWGRTSU¢¶NQLJWUON\]2N\a{vUN\JZLsUV7RAJS¢¶vZMNQM`NQ[\[\cMUSOvURAP¶NQL UVR
x1
λ x 1 + (1 - λ)x 2
x2
G
'
EDV'
>
§ZÐ\ÃZ¨ àBuËZ©GÐ"ª«ÌXBD¬ Æ,Ä3Æ,ÌXF ÇDkÌ F ì É{Ã¿ÀÅfgfÓ htjmln j à¿XÂÃÄ3¾Z¿ÎuÓ dÉ oò³jmlíÆ\ÈËÐ\Ã&ÂOËZÐ(ÌXÆ,Ä3Æ,ÌXÇDÌ É{ÃÀ5f ÅdÒ3¿Ä iÆ\ÈË
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓmýcW7WkJZMORIUV7RASORN\Mrv ³òîjlprN8UVîf k f k} RU XYGRMOc7eVwUV3vU
f k:ö0f#dk prV7RTLRARAS ç ç5ö vZL7P
Gç mç
ý RAU Oh f k& Gç f km çA f k}`vZ¤:L7VPgN\M: eTJZLuh UOSvZ PN\eAUOM:U V7ReV7kJ}NQeTR¤:JZV7^ RTLvçL7 PîMJ`LJ2çMö c7e V îóvRL7PíN\MUfMA, Xö
ýDUOSON\eUreTJLtZRNQU¢wN\]2W7[QN\RTMUV7Rc7LN uc7RTLRTMOM JZ^#MOJ[QcUNQJL7MT
§ÇÄ3¨ Æ?BuáTÇ3©G¿Tª«Ó BD¬ F "F<ì ¿Åf¶hkjlon jà¿ÈÅ?À}ÆÊÂÅëÐÑÁoÂÃÄ3¾Z¿ÎuÓ ,É£füÒËÈ`Ë ZÐ\ÃZàËZÐ#ÌXÆ,Ä3Æ,ÌXÆ ¿À Å,Ò3¿ÄsÆ,Å Æ\È
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓ RAUr vZL7P YGRP7N\MUNQL7eAUrb[QJY3vZ[k]`NQL7N\]2N\aARTSM_JZ^fÙ¤:V7RAL"3^dJS ò {«}
f#O ï þï fd f, f, prV7N\eVweTJZLuUOSvZPN\eAUOM:UV7RvZMMOc7]2WUNQJLUV7vUr NQMrv2b[QJY3vZ[k]`NQL7N\]2N\aARTSA
[\RA]`Ô^G]`fXvN\ M+vrP7N kRTSRTLtUN\vZY7[\ReAJLtR}^dc7LeAUNQJL"]c7eV£]`JSRme{vZL£YkRmMvN\P" ¥ÖRYGRTbNQLprN8UVUV7Rm^dJ[\[QJ&prN\L7b
BD¬s¬ 3FQé"F ì ¿Å#fhjmlÏn jà¿ÂÃÄ3¾Z¿Îó®ÔÄÃÅ_Ä¿Â¿ÈÈTËZÀ}Æ,ÐÑÅ?ÁÏßZÆ 5¿À¿Ä3Å?Æ?ËtàTÐ\¿¼ZÓ
ï« Æ,¾Z¿Ä 2òójmlsÅ,Ò3¿ßZÆ 5¿À¿ÄÂ¿áTÇÃÅ?ÆÊ¿Ä3Å
fd D if,k

\
Æ

È
`
Ë

Ã
Ä
ßD¿ÂÀ¿OËÈÆ,Ä rÉ}ÇDÄÂÅ?ÆÊÃÄÖÃïÉ ÃÄg èüAÓ
+ÃÀ¿¾Z¿ÀÁ 2òój l Å,Ò3¿ßZÆ,À¿ÂÅ?ÆÊÃÄGËZÐ ßD¿À}Æ,¾ËZÅ?Æ,¾Z¿f , DËZÐÑæËZÁ&È¿ÎÆ\ÈÅ,ÈËZÄGß`Æ\È ZÆ,¾Z¿ÄgàTÁ
t
f dd Kh NQL^ f#d D fdk
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓ#¥¦RvZMOMc7]`R`ï«KN\MUOSOc7RvZL7PwMOVJ«pÕ } ¡ RAe{vZ[Q[UV7vU

f d DKh [\NQ] fd D if,k
JN\M&L7pºRAeTNQ^kRTMUMV7vZR SN\P7[8¢ N RbZASONQRTLRALeTR Ytu¢c7JUUV7N\RîRALtN\UL3Z] c7]N\MN\L7LÞJLDûP7 tRA}eTüSORTvZ¤:MOV7NQL7N\M2bN\NQLL 7]JZc7L] vZ [8pèüv{¢DMÏtUR}V7RANQMLÏUOMUVvZR<L7[\P NQ]`MON8JUN\f Lód Z
vZ[QpK¥¦v{¢DRM LR}J«p N\MW7UOM SOJ&vZZL7RPwïN\«M:bN8 RARTUrLw Yt ¢g`òóZ jmt}lw vZL7Pw[\RAU
m¤:V7RAL
f, f {
f
, D
ö f,k
fd D}
G
D
$HFA
K9
K9
D
9
9
'
9
9
D
'
D
G
K
9
'
ED
$9
'
A
R
G
S
*
(')%+* :9
%
%
BA '
*
.
/.
.
%
(')%+* :9
10*
%
354+6
C
'8%+* :9
102*
3 6
10*
K%
BA '
.
*
7'8%
*
$A7D%
(' 3
3 9
9
3
3 D%
%
3
3 *
'
3
3 ' 3
3 7'8%
(')%
*
* !
102*
RAL7eTR
D ifdk ö #f d D ifdk
NQËZUÄ3¢ Á5NQMrJZZUORTJV7SYRT¢USrvN\]2N\WGL7JWkRAN\PîJLtSU:YtUNQ¢wvZLLtW7UÙj [\eTcl JbLb¤:MON\RLVub N\c7M:RAMOL7ÕceTY7R £MUOJZvZNQ^ UL7c P URTN\]2JZLw]`bZvNQRAí M:N\UM+V7N\URLtV7UON\R<J2LRÈUOuÇV7c3àR£ßZvZÆS[Q5NQN\Ub¿¢ VtÀUr¿Ä3V3ÅëvÆ?ËZL7ÐPóÆ,ÄMN\¿OP7áTRÇ7ËZJZÐÑ^rÆ,Å?ÁïÙ ¤:tKV7prN\M#V7N\L7RTSRR Dc7vZN\[8Mû
t
f 0f,k f d, sk ^dJSrv[\[ Ïòój l vZL7P³ò³P7JZ]Êf<
¤:V7RMOc7YGP7N RASORTLtUON°vZ["NQL7R uc3v[\NQU¢ÏN\]2]`RAP7N°vURT[8¢X¢DN\RT[QP7M:UV7RI^dJ[Q[\J&prN\LbSORAMOc7[8U{
§ßZÆ 5¨ Bu¿À©G¿ª«Ä3BDÅë¬ Æ?ËtàTÐ\¿¼F ÕËZÄGëHKß`JÐ\Lt¿Å RóN8òU¢iP7JvZ]L7P Êf"IAWÓ UðN\]`Ò3¿vZÄ³[QNQUÅ,¢Ò3¿mF<É{ì Ã¿Ð,Ð\ÅÃæf Æ,Ä hm2jmÅ,lüÒDÀn¿¿IÈjÅÊËZÅà¿¿³ÌÏÂ¿ÃÄ3Ä3ÅdÈ¾Z¿ËZÎiÀ¿®ÔÄ¿OÃáTÇDÅÆ,Ä¾ËZ¿ÂÐ\¿¿Ä3ÈÈTÅÔÓËZÀ}Æ,ÐÑÅëÁ
?dNQ?N\N\N°N,N, f Æ\Æ\ÈÈËÏË D ZÐ\Ã&Ð\ÂOÃZËZàÐkËZÐkÈ&É{ÃÈ&ÃÐÑÃÀ£ÇDÐÑÇDÅëËZÆÊÅëÐ,ÃÆÊÐ ÄÃÏÄóÅòîÃÅïÃ]2j]2l(N\L N\Ó Ly{z ~ ff,k,kTÓTÓ
y{z ~
÷UV3ÀvÃ&UÃïÉAf Ó RT]2 ]`vÏ8RbZNQN\MURAM`MU^dJZV7S`RNQv]`[\[ W7 [QN\eTò vUNQjmJl¶L³dYtN,¢ ?RTN\]2N°+]Ï¤ÙvJM RTgRIvUL7V7P RINQUO]`V7RTWL¶[\N\eTvZvW7UNQW7J[8Ló¢í?UN\V7N° RwMOc7dN\YGN\N°P7ÙN 3RSOAMSOUrRTLtL7UOJZN°UOvZR [
N\L7R uc3vZ[\N8U¢ï t_UJJYUvZN\L
f 0f k ¶f " f k ^dJSrvZ[Q[ Ïò³j l
¤:V7RN\]2W7[\NQe{vUON\JL³?NQN\N, ?N°NQM:JYtDN\Jc7MA
eTJLÔ^_MOR NQuUIc7NQM<RAL7^deTc7R£SUOJZV7^ÙRT¤:SV7vRTMOMOJcSRT]`] RAPgUOV3 vUfÖNQMIP7N kRTSRTLtUN\vZY7[\RkUOV7RTLopKRJYUvZNQLóUV7R^dJZ[\[\J&prNQL7bRT[QRT]2RTLtUvS¢
§ßZÆ 5¨ Bu¿À©G¿ª«Ä3BDÅë¬ Æ?ËtàT3Ð\¿TF?Ó (ð F:Ò3ì¿Ä ¿Å+f³Æ\ÈhjmË lÏZnÝÐ\ÃZàËZj±Ð"ÌXà¿£Æ,Ä3ÂÃÆ,ÌXÄ3¾ZÇD¿Ì Î2ËZÃïÉ ÄGßf ÈÆ Ç&ÉÍtËZÍ3ÄGÃ&ßwÈ&¿5ÃÅ,Ä3ÒÐÑËZÁÅ Æ É³`òîfj lgk Æ\ÈIËI7Í3Ó ÃÆ,Ä3ÅmËZÅæ#ÒDÆÊÂÒXfsÆ\È
prNQUOVM<pr¤:V7V7RTRTLJSNQURT]2eTJM]2RT MUOvZJIL7JPíWUZNQQ]` 2NQa{P7vRTUO]2N\JLJL7UMVURTSOJvSU¢R"¤:eTJVuLtc7ZMmR³NQU#^dN\cML7NQ]`eAUOWGN\JJL7SM<UvZvZLtSOU#R£UOV3RTvSU¢³p_L7RrNQeTYkRR^dvZc7Y7L7[\eAR_UOUN\JJILSOMRAeTUJJÏbZP7L7R{N\aAvZR [
prV7RTLîvX^dc7L7eAUON\JLNQM:eTJLtR}kK×3JSUOV7N\M:SR{vZMJLwp_RbNQZRUOV7RI^dJ[\[QJ&prN\L7b£SORTMc7[QUT
§¨ Bu©Gª«BD¬ 3Fë3F ì ¿Å#f³hj l n jXÓ
ï« dÉr?vtf Æ\fÈÆ\ßZÈXÆ 5ÂÃ¿ÀÄ3¿¾ZÄ3¿ÅëÎ Æ?ËtàTÐ\¿£ÃÄjl mÅ,Ò3¿ÄÅdÒ3¿mÉ{ÃÐ,Ð\ÃæÆ,Ä ÈÅÔËZÅ¿ÌÏ¿Ä3ÅdÈËZÀ¿X¿OáTÇDÆ,¾ËZÐ\¿Ä3Å
?dYe&Xf Ï 7f ,k0 fdkÏ f 7` fd,k skm£É{É{ÃÃÀÀ£ËZËZÐ,Ð,Ð7Ð Ïòîòójj l l Ó
É{dÉ5ÃÀ£füËZÆ\Ð,ÈXÐ³Å?æò³ÆÊÂj¿l(ßZÓ Æ 5¿À¿Ä3Å?Æ?ËtàTÐ\¿Å,Ò3¿Ä³füÆ\ÈÏÂÃÄ3¾Z¿ÎÆ ÉXËZÄGß³ÃÄ3ÐÑÁÆ ÉIfüÆ\ÈÍ3Ã&ÈÆ,ÅëÆ,¾Z¿È&¿ÌX
Æ ßD¿ mÄ3Æ,Å¿
÷?YÀ}Ã& ÃïÉAÓr?vt dY Ô^(fNQMeTJLtR}kUVRTLwQZ VJ[\P7MAú_¢MORAUUNQL7b Kh þ vZL7P `h Ï`pKR JYUvZN\L
?Y3 ?e{ RU: òójml_×3SJ] dY_pKRV3v{R
f 7 f,k `fdk # sk
f#d
'8%
'8%
* :9
%
* :9
%
%
O
'
*
;.
10
(9
9
G
G
G
.
G 0* EOVA
NL
*
7
G
NL
.
G 0 W9
G
O
.
'
G
G 0
9
G EO
G
7
<
A
A
G
(
;
O
B<
(
1'<
:9
<
9
>
>
9
EOVA
P%
O
'<
?>
9
K*
E9
vZL7P
f,k f Ïf 7 Ùd 7}
ú_?e{¢ vP7P7?N\Y3L bUOV7 RTRMU5R Up_³J2ò¦N\L7j RDl c7IvZú_[\N8U¢wN\RAUMKV7p_RR]`JZRTYvZULóvZNQL¦vZ[\?ce&R£} UVRTJSRT] UV7RASORR}NQMUOM qMc7eV
UV7vU
f if,k Ïf, # Ök
prV7RASOR h ï ï mú¢Vu¢DWGJZUVRTMONQMT
ö ` Ïffd , `Ïffdk,k , sskk
f f#dk Ïf#dk sk Ê
?Y3RA L7eTRfëv 7 RfUr, k òó`jmflwdkvZ L7Pw MORsU k}
ñh ]Ïz v« h f ï ïk 0 f# ï fdkë
¥¦
òRL7 RA{RTPóGUOMJÏc7eMOVVJ«UpV3vUOU V3vU<ñ¶ ö ñ Ôý^ N\L7eAR R uc3vZ{[\ M_ÙaTNQRAMSOeAJJJ]2S_W3JvZL7eARUvZp_LRIP vZSORNQP7MJeAL7JRLt UN\Luc7RAL7JZeTc7R<MTp_URIV7RA]`SOR£v&¢2N\Mvv M
p_RT[\[ vMOMOc]`RIUV7vU ÞN\LprV7NQeVîeTvZMOR
? `fd # sk fdk if#
prV7RASOR 0 ¦k3JS:R DcNQvZ[\RALtU[Q¢
f 7 f#dk Ïf#d , Ö }
úKcUrUOV7RTL
ñ ffdd 0Ïëffdk, dëfÖ i fi,kfOdk
ö
Yt¢¦?Y}
ýc7WWkJMRf³NQM:eTJLtR}óvZL7Pw[\RAUK Ïòój l 7UOV7RTLwYt¢g?Y3:J^ ÙvZSU&
f, D 0f#dk `fdk
^d¤ÙJv&S£¢DvZ[QJ[\[S:XRòW3vZj L MON\JZ¡ LwRAW7¢D[°N\vZRA[\eAP7N\L7M:bUOV7URVR`N\L7[QRRAD^,Uc7vZV3[\vZN8UL7¢ P¦MONQP7R`J^UV7NQMN\L7R Dc7vZ[\N8U¢³prNQUOVÖNQUOMMORTeAJL7PsJZSOP7RAS
f,k Ïf#dk fdk f#dk `fdk
JS:R DcNQvZ[\RALtU[Q¢
f#dk
RAUUN\Lb n ¢DN\RA[\P7M:UOV7RN\L7R Dc7vZ[\N8U¢
f,k
ýNQL7eTR 2pKvZMvZSOYNQUSOvZS¢Z fdkKNQM:WkJMNQUONQRIMRT]2N8ûÔP7RA3LNQUR
EO
'J<
?>
,9
AD
9
'
<
:9
<
<
<
9
9
>
9
'<
>
:9
<
O
9
$9
A
>
9)<
9
>
9
>
6 '
=A
A
$A
7'
9
D
.
9
'
A
:9
A
D
$9
?>
=<
:9
9
<
:9
'
>
9
'
'J<
:9
9
,9
>
:9
A
*
7'8%+*
O
')% <
?>@*
%
>
1')% <
*
'
% * 3 <
%
* >
<
*
'
% EO
&% '
OVA
% A
* >
P*
+*
<
<
*KO
A
')% <
>
*
D
HUV7vU JLtRASOMRT[Q¢Z3NQ^" òójml"DUV7RALYu¢2UVR<]2R{vZLÏvZ[Qc7RUOV7RTJZSORT]UVRTSOR<N\Mv ò T«mMc7eV
K
f Þf#dk `fdk # sk sk fd A sk
prV7RASOR y RAL7eTR
f 7 f,k `fdk # sk
MONQL7eTR fd KNQM WGJMNQUN8RIMRT]2N8ûPRA3L7N8UR¤:V7RTSRA^dJSRZkf³N\M:eAJLtRîYt¢gdYJZ^ ÙvZSUï«
¤úKc:UIV7N8R:U53SRL3uvc7[3N\eSV3RTM5vZSJZvL7eARURAUSOJNQa{veVUON\RTJeLXØóJZpr^kV7eTJZRALÖLuZv`R]ÏNQUv¢UONQSOLN óUV7NQM<R WGvZJYGMOJ&N8UN8R:URVP7RTRJ3SRTL7] N8URZNQM5RAL7S¢Rc7vMW7RAW7^dSOc7J[7vZpreV³V7RAUL`JN8UmUOV7vZN\W7MWN\[\M<N\RAUOMTJ eT×3JJ]2SKUW7VcN\UOMrR£SOUORTV7vZRMOJRTLNQb7RTpKLtRvZb[QN8c7RTRIMUJZV7^RIU^dV7JR[Q[\J&prRTN\MLMObN\vZUL"RA"MUrY7c^dJU5S:UWGV7JNQM<MON8eTUvZNQZLRIYkP7RRA7vÏL7NQUORARTSL7¢óRAMOUOMTN\]2 R£eAJL7Mc7]`NQL7bW7SJeARTP7cSORZ
§ßD¿¨ ÄBuÃ©GÅï¿Oª«ß BD¬ F?D é"FÅïÃì à¿¿5Å Å,Ò3¿òßD¿jmÅ¿l À}ÌXl Æ,ÄGàËZ¿Ä3ÈÅÁÃïÌXÉ<ÌÏÅdÒ3¿¿<ÅëÀ}Ç«ÆÊÍtÂTÍ3Ó ¿À<óÐ\¿d¿óÉ}Å ßDÊÒ¿ mËZÄGÄß¿Å,Ò3¿ ³kÅ,ÈÒÇàTÍGÌ2À}Æ,ËZÄÅ?ÂÀÆ Æ ÍÎËZÃïÐ_É ÌXsÆ,ÄÓ ÃðÀóÒ3Ãï¿É Ä Æ\ÈÍ3Ã&ÈÆ,Å?Æ,¾Z¿£ßD¿mÄ3Æ,Åï¿Æ ÉËZÄGßwÃÄ3ÐÑÁ2Æ É
£É{ÃÀ þ {T{ Ó
9<HKJ; L73M¬ N\P7RASrdB UOV7R]ÏvUSON
£
¥ÖRV3v{ZR
ºP7RAU
¤:V7RTSRA^dJSRZ N\MrWGJMON8UN8R5P7R3L7N8URZ PU7V7N\7SRRTQZeYGU RTN\JZb¦L3NQL7ÃvZL7À[\[8¿NQ¢XL7bÃP7ÄN JZR^_ÅdAÒ3SOUO¿ RTV7LtR2UON°MÆ,vZUÀY7JZ¿ÂS[QR<¢ÅëÆÊ2vÃUÄG¤:ËZRAV7ÐZR2RTSP7¢¿N\ÀSWGÆ,RT¾JeËZN\UÅ?LtN\Æ,JZU¾ZL3¿TJvZÓ ^([#ÔUPU£V7RTRAN\SON\M£N8SKvóPvUJMN8]Ïc7SORvW7N\JZSLÏN\^:MNQN\vLL7bweARAJZ^?LtRTvZSeA¢RUgP7UNQV3^dSOc7vRTLUeeAUeTNQUJJZNQJL"LuLgZRúKWk¦JcM^dUc7MORAUL7V7MOeMNQUMKN\MJZNQRAMLíZRTc7vZSSOMvRU [
JZUVRTS:N\]2WGJSUvZLtUrvZL7PwMOc7SW7SONQMONQL7bW7SOJWGRTSUNQRTMT¥¦RL7J&pÞP7RRA[\JWîv^dRpÞJZ^+UVRTMOR
Ú BuÛ#C+=d@«=d©GC 3F F ì ¿Å whZjmlnj gâ è äÓ ó¿IÈTËZÁ2ÅdÒËZÅ sÆ\È:Í3Ã&ÈÆ,ÅëÆ,¾Z¿ÐÑÁÒ3ÃÌÏÃ D¿Ä¿ÃÇtÈIÆ É
k
+,k É{ÃÀ£ËZÐ,Ðóò³j ËZÄGß

³¿IÈTËZÁÅ,ÒËZ
Å sÆ\È5ÈÇàËtßtßZÆ,ÅëÆ,¾Z¿Æ É
d 7K
ö ,k É{ÃÀ£ËZÐ,Ð7 Ïòój
mÆ,ÄGËZÐ,ÐÑÁ mæK¿5ÈTËZÁ2ÅdÒËZÅ sÆ\ÈIÈÇ7àTÐÑÆ,Ä¿OËZÀIÆ ÉÆ,ÅÆ\È£àÃÅ,ÒÈÇ7àËtßtßZÆ,Å?Æ,¾Z¿£ËZÄGß2ÈÇàTÐÑÆ,Ä¿OËZÀTÓ
Y7vZL7c¤:PîUV7WkMORAc7RASOY3SORV3vvZP7vZWP7SRîMNQUOUNQLuDV7c7NQRÏU]2¢]`RTNQSMrJJMc7MOUN\M2]2^?vZN\W7]2]2[8¢WkN\[QJZUN°vZSV7US<RvJZLuU^:SUN°UvZR}V7L7RAbZvZMO[\]`RRIWNQN\M£L[\RTR UM`uVc3JZRvZ^5[QL7NQMUJc7¢SY7K] [QN\L7LçRTv`vZç«SXeA RT^dc7SÙUL7JvZeAMN\UOLîNQN\UJN8MOLRARM³L7MOV?RvZJM`]`UOV7p_JZRbRóeTRT[°L7MvV3RAMONQvZM<U[\¢o[:J^MNQMJMOcJZJY7L¶Yt[\DNQMOL7N\RAJR{R&cvZ}MS
'<
'
9
?>
9
'
>
<
9
O
<
9
'<
?>
9
BA
P
EHA
*
S:
9
9
'
'
'
HFA
^dvZc7SOL7RevU[QN\pKJZL³v&¢DN\MrMIeTvJZLubZZRTL7RwRAS^dvZc7[QN\L7a{evUUNQN\JJZL7LóMTmJZ^L7L7PJRTSRT]`PMAGbZNQÔURALN\MI vZ[QMOJò³NQ]`P7JZWG]JSU vZLt:U vZUL7JP L7XJZUOö RUV3övUIMO c7Y[\N\LR{vZS<^dcL7eAUON\JL7M

ö k +ï 7
dk

³§Æ\È I¨ ò³BuÅ,PÒ3©GJ¿ ª«]BDÉ}¬ÇëÄf"Â 3Å?ÆÊÅ,F?ÃÒ3 Äs¿"FfßZÆ,ì+Àd¿¿ÂÅ£Å?ÑÆÊ2fÃÄGh h<ËZjmÐGj lßDl ¿n À}Æ,n ¾ËZj ÅëjÆ,¾Z¿K0â f â dè è ägDäÆ\ÈÆ\È5àÈ¿gÇË£àTËºÈÐÑÆ,ÇÄÂàT¿OÃÐÑÆ,ËZÄ3ÄÀT¾Z¿OÓ ¿ËZÎÀ+ð É}É}ÒDÇDÇDÇtÄÄÈ ÂÂIÅëÅëÆÊÆÊÆ,ÃÃÄ³Ä³ÄGÍÓ ÃïËZÉ À}ðÅ?Å,ÆÊÒ3Ò3Â¿ Ç¿ÄÞîÐ8ËZÀ ËZËZIÀÅZÅ,ÇÒ3¿¾ZÌÏ¿¿É}¿À}ÇÄ3ÁóÄÅ ÙÍ3ÂÅ?ÅdÃÆÊÒÆ,ÃÄ3ËZÄ ÅÅ
f , ÑIÆ\ÈËÂÃÄ3¾Z¿ÎÉ}ÇDÄÂÅ?ÆÊÃÄGÓ
÷ ÀÃ&ÃïÉAÓ RAUróò³P7J]ÞÊf"} `òójmlvZL7P ¤:V7RAL
f d, [\N\] f, D f,k
[\N\] fd D fdk
[ QN\] f, D f,k
f ,d D MOV7J&prR}NQDL7U<bX[QRAUUV3vU< f d òójmKl"N\M:3WG¤:JV7MORAN8UL N8RT[8¢V7JZ]`JbZRTL7RAJc7MT
f d,
[QN\] f, A O f#dk
[QN\] f d , O if#dk
ö [QN\] f, f, ifdk
ö [QN\] Êf#d if,kO Êf, fdk
[QN\] f, ifdk [\NQ] f#d f,k
f dd ¶f ,d MOV7J&prNQL7bXUV3vU<f d KN\M:Mc7Y3vZP7PNQUN8RvZL7PweTJZ]`W7[QRAUON\L7bUOV7RW7SOJDJZ^ï
A
'
9
'
9
'
9
'
10*
.
10
.
*
'
2
10
.
*
;.
10 HFA
7'8% *
* :9
%
354+6
(')% $*
;.
3 4+6
;.
* :9
%
10*
10
.
C
%
&% 7'
* :9
354+6
*
10*
'
*
7'8% B*
'
*
:9
%
354+6
('
%+*
'
7'
7'
%+*
1'
354+6
('
%+*
7'
:9
%+*
.
10
:9
'
;.
354+6
10*
:9
'
%+*
('
'
%
102*
'
%
354+6
/.
%+*
%
354+6
7'
:9
%
354+6
%+*
B
%+*
%
:9
9
ï«ýV7J&pÞUOV3vU:UOV7RI^dc7L7eAUON\JLM
f#d O º í vL7P , O 0 $
YGP7RJZ3UV³L7NQUOV7RZv&ZRXúKcvÏUeASONQUO N\teT_vZ[(NQM:WkJJZL7N\Lt[8U5¢vvU[\JDd e{vZO[ ?b [QJôY3vZ[° ]2tN\L7prNQ]`NQUOVNQaTRTvZSmMMO^dJJDSeTN°vUvZRTL7P PwL7RAJZMOU:MON\vZ^dJLS WGfÙJ MON8UNQZR£MRT]2N8û
×#?NQvtL7PfU,V7kR [\ºJDe{v[]2iN\eTL7JZNQ]`M7 NQaTRTSMvZLPî]`vN\]2N\aARTSOM^dJSUVR^dJZ[\[\J&prNQL7b^dc7L7eUNQJL7MrNQ^ UVRA¢RNQMU{h
?YXf, O º Z
dPe&XXff,, OO O y y s d s , ü«
?

ut£¥ºÔ^V7foNQehuVîj lJZ^+n UVRj ^dcL7jeAUON\gJL7â MrNQLè W7äSOJNQMY[\eARTJ] LtRkvkYkMOJ&V7J&R£pÞvZUOSRIV3veTU JLtUV7R}RóMORvZUL7M P[\RApr Vu¢ëñ# â& hfdk:ö ñmä
veTZJZSRLuZeTRJwLt^dJR}SrivZMO[QR["UñM3^dY7JScUrRAZUV7RTSRI¢i^dc7ñLeAòUNQJjrL w NQM:RAU L7JZ U ,kNQUO MORT[8^Ùv eAJLtýDV7R}J&îp ^dcUL7V7eAv UOUXN\JUL"V7 RMRAUOM2[QRA Dëñ#vZSOR
ý?V7vtJ&pÞfUO,kV3v UrRTvZ euVîy J^#UVR^dJZ[\[\J&prNQL7b£^dc7LeAUNQJL7MrN\M:eAJLtR}
?dYe&XXff,,k Oç {T{ç O l y y y ~ tHKJL7MN\P7RAS:UV7R[\NQL7R{vSR uc3vUON\JL
prN\MV7J«RAZSORTR Sïû P7RòíURTSj ]` NQL7l RTPivL7N\LsP UOXV7òRMOj RAL7MOR¥ºUOV3V7vRAUL L7JMJ[\ cUON\N8JUIL¦N\M<JZ^,RURANQLoMUUOMAV7ÖRXe{LvMOMORceUV V7veTUIvZMOURAV7M`NQM5JR LuRc3vJZU^,UN\JZRALL
vÐÑÆ,UÄU¿ORTËZ]2ÀIWÐ\UO¿OM<ËÈUÅJÈT[QáTJÇ7eTËZvÀU¿RXÈ:v ÍGÀ ÃZYGàTRTÐ\M¿U Ì "MOJZ[\cUON\JL³NQLov[\RTvZMUIM uc3vZSORAMMORTLMORZ¤:V3vUINQM5JL7RXMJ[QZRTM5UVR
?[Q[\M h]2N\LN\]2N\aTR ç ç
^dJS 5RA7L7R£fohZjmlÏnjþYu¢
f#dkh ç ç
?vtýVJ«p UV3vU5f³eTvZLîYGR5prSON8UOUORTLîvZM v uc3vP7SvUON\e5^dc7LeAUNQJL"7Në Rmv^dcL7eAUON\JLJZ^+UV7RI^dJS]
f,kh " !$#I %$! ñ
?dYe&X£¥ºýVV3J«pvU UvZV3SOvR U Ïf#dfk,:kvZ:L7NQM:P WkJZMOf#NQUOdNQZkRI MORT]2N8ûÔP7RA7L7NQUORZ
?dPR&''&&ýV7SOJ&J&pDN\P7UORîV3vvUvXL7RTMOeAJRT[QMOcMOUvZNQSJ¢¶LvZUJîL7Pid[\[\MOMc _`]eAc7N\RAMLuUU`vZ[QeTpKJZv{L7¢P7MrNQUOR}N\JLNQMUTJ LUVRw]`vUOSON8 ëC ©@Ö©GC@ ¨ B
¬MJ[\c@&UOªN\J=d; LNQ LU RTS]`c7M:L7JP7^ÙRAUOSÏV7prRV7P3N\veUV v d [\[QMvZL7V3P(vZ&M vgc7L7N DcR³MOJ[QcUNQJL vZL7PUVRTLP7NQMOW7[\v{¢iUOV7N\M
'
A A
A A
9
G
'
'
9
'
9
'
9
'
*JD
,9
,9
9
<
<
<
!
>
'
'
7'
T
HKJL7MN\P7RAS:UV7RI^dc7L7eUNQJL7M
f#dk ! # !
vZL7P
f dk ! # ! #dk prbN8V7RARTSOLwR Yt¢ #qòójml lNQMWGJMON8UNQZR5MORA]`N ûP7R3L7N8URZ 5òójml"3vL7P þhjmlÏnÝj â è äN\M
Ùdk è l [QL 33N8J^ UV7 RASprN\MRZ {T{ #
??dYvte&XXýýýVVVJ«J«J«ppp UUUV3V3V3vvvUUU UOYGóV7JZNQRUOMrVóMOvXJf[QeTcJvZULtLNQJP³LR}wf UJX^dc7vZUOSL7V7ReARUOeTN\W7JJLtSOLJ YR}[\RT]ô^dc7L7]`eUNQLrN\JZf L7MT,k:vZ[QpKv{¢MrR}NQMUOM<vZLPwNQM:c7L7N DcRZ
tprHK[°Vtv¢MOMO¢N8^,J¢scwRTeTvZ[\vZeVMOMNQJ3^ eTvUOUV7NQRJL^dJN\[\Mr[QJ&eAprJSON\L7SRTbweAUT^dc7 L7eAUON\JLMvZMXRTN8UV7RASXeTJDRTSOeANQZRJSXL7JLûÔeTJDRTSeTNQZRMOV7J&prNQL7b
??YvtXff,, tt ºº $ $ s ?dPe&XXff,, t0 º$ $ $ $ ddR&^Xff,, tt 0[ºQJb, sí MONQL d t
tý?V7vtJ&pÞfUO,V3vUr RTvZeVî J^#UVR ^d JZ[\[\J&pr NQL7sb£ ^dc7LeA U NQJL7MrN\M:eAJLtR}óJZS:MUSN\eU[Q¢ÏeTJLtZRk
?YXf, d è 0« í[QJbd N8JZ^ UOV7RTSpr N\M RZ G
de&Xf, y Ty $ NQ^ ¶ k
?PXf, è y
JZUVRTSprNQMOR
tRHKJNQ]2MU{W7 cUORrUOV7Rrb[\JZY3vZ[]2N\LN\]2N\aTRASOM+JZ^GUV7R:^dc7L7eUNQJL7MmbNQZRTLN\LXUOV7RrW7SORNQJc7MmW7SJY7[\RA] N8^kUOV7RA¢
,9
,9
3
'8% #
%HFA
#
9
#
(
(
(
'
HA +)
*
#
3
3
'
'
'
'
9
'
'
9
'
9
9
'
(9
:9
'
,9
9
9
'
'
7'
9
'
7'
'
9
:AD
'
'
'
A
'
'
'
:A7D
$A
D
'
AD

Download Report

OPTIMALITY CONDITIONS 1. Unconstrained Optimization 1.1

Paperzz.com

Your Paperzz