HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Algorithmen und Komplexität
Datenverwaltung
in Rechnernetzen
SS07
Vorl. 11, 9.7.07
Friedhelm Meyer auf der Heide
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Algorithmen und Komplexität
Page Migration in Static Networks
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A randomized online algorithm
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Algorithmen und Komplexität
Memoryless coin-flipping algorithm CF [Westbrook 91]
In each step, after serving a request issued at
move page to
with probability
.
,
Theorem: CF is 3-competitive against an adaptive-online
adversary (may see the outcomes of the coinflips)
Remark: This ratio is optimal against an adaptive-online
adversary
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3
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Deterministic algorithm
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Algorithmen und Komplexität
Algorithm Move-To-Min (MTM) [Awerbuch, Bartal, Fiat 93]
After each
steps, choose
which minimizes
(
to be the node
, and move to
is the best place for the page in the last
.
steps)
Theorem: MTM is 7-competitive
Remark: The currently best deterministic algorithm achieves
competitive ratio of 4.086
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Results on static page migration
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Algorithmen und Komplexität
The best known bounds:
Algorithm
Lower bound
[Bartal, Charikar, Indyk ‘96]
[Chrobak, Larmore, Reingold,
Westbrook ‘94]
Randomized:
Oblivious
adversary
[Westbrook ‘91]
[Chrobak, Larmore, Reingold,
Westbrook ‘94]
Randomized:
Adaptive-online
adversary
[Westbrook ‘91]
[Westbrook ‘91]
Deterministic
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Algorithmen und Komplexität
Page Migration in Dynamic Networks
e.g. in mobile ad-hoc networks
or in static networks with varying
communication bandwidth
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The model (2)
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Algorithmen und Komplexität
Page migration, but nodes are mobile
Input sequence:
denotes positions of all the nodes in step
The network adversary can move each processor within a
ball of diameter 1 centered at the current position.
 Configuration
 Nodes move to
configuration
 Request is issued at
 Algorithm serves the request
 Algorithm (optionally) moves the page
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Cost model
Cost model:
The page is at node
Serving a request issued at
costs
Moving the page to node
costs
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Algorithmen und Komplexität
.
.
Offline: easy, dynamic programming
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Static versus dynamic
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Algorithmen und Komplexität
Can we achieve constant competitive ratio
also in the dynamic model?
No!
Even not on a dynamic two-node network!
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Results for Dynamic Page Migration
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Algorithmen und Komplexität
Algorithm
Lower bound
[B., Dynia, Korzeniowski 05]
[B., Korzeniowski, MadH 04]
[B., Korzeniowski, MadH 04]
[B., Korzeniowski, MadH 04]
[B., Byrka 05]
[B., Dynia, Korzeniowski 05]
Deterministic:
Randomized:
Adaptive-online
adversary
Randomized:
Oblivious
adversary
B : Marcin Bienkowski
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Randomized algorithm for two nodes
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Algorithmen und Komplexität
Algorithm EDGE
Similar to Coin-Flipping, but probability of movement
depends on the distance between two nodes
In each step, after serving a request issued at
,
move page to
with probability
, where
function plot:
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Competitiveness of EDGE
Theorem: EDGE is
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Algorithmen und Komplexität
-competitive
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2-node networks summary
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Algorithmen und Komplexität
Algorithm EDGE achieves competitive ratio
against adaptive-online adversary
Lower bound against oblivious adversary is
EDGE is up to a constant factor optimal online
algorithm.
Can EDGE be extended to general networks?
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Randomized algorithm for n nodes
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Algorithmen und Komplexität
Direct extension of EDGE does not work!
No algorithm which considers only nodes which issued
requests as destinations for moves can be better
than
-competitive (against adaptive adversary).
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Randomized algorithm for n nodes
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Algorithmen und Komplexität
Algorithm DIST
In each step, after serving a request issued at
choose a node uniformly at random from
neighborhood of .
With probability
Theorem: DIST is
move the page to
,
.
- competitive
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Deterministic algorithm
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Algorithmen und Komplexität
… is much more complicated
… is also
- competitive
… its „randomization“ is
competitive
against oblivious adversaries
-
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What did we learn?
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Algorithmen und Komplexität
Competitive ratio grows with
and some function in
this is very much compared to the static case.
,
Why?
We look at very strong models: two adversaries fight
against the online algorithm, and may even cooperate!
This does not seem to reflect a realistic scenario!
Weaken the power of the adversaries and their
coordination!
HOW??
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Relaxation of the model
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Algorithmen und Komplexität
Replace one of the adversaries by a
stochastic process.
A) Stochastic requests scenario
Generate requests randomly with some given frequencies
B) Brownian motion scenario
Replace the adversarial description of the mobility by
random walks of the nodes
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Stochastic Requests Scenario
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Algorithmen und Komplexität
In each step
is drawn uniformly and independently
according to the probability distribution
The mobility is still dictated by an adversary!
Performance metric: algorithm is
if for all configuration sequences
-competitive with prob.
and all it holds that
Theorem: There exists a (simple) algorithm, which
achieves constant competitive ratio with high probability.
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Brownian Motion Scenario (1)
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Algorithmen und Komplexität
The request adversary still chooses (obliviously, at the
beginning) the requests sequence .
The initial positions of the processors are chosen by network
adversary, then each node performs a random walk on a
-dimensional torus (or mesh) of diameter .
For each dimension:
prob:
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Brownian Motion Scenario (2)
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Algorithmen und Komplexität
Performance metric:
Algorithm is -competitive with probabality
if there is a constant such that for all request sequences
and all initial nodes positions it holds that
Results:
Diameter:
Competitive ratio:
and any
and
The competitive ratio is at most
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Zusammenfassung
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Algorithmen und Komplexität
Datenverwaltung in Netzwerken unter zwei
Aspekten:
1. Contention an den Speichermodulen ist der
Flaschenhals
2. Die Congestion im Netzwerk ist der Flaschenhals
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Zusammenfassung
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Algorithmen und Komplexität
1. Contention an den Speichermodulen ist der
Flaschenhals
Balls-into-bins
Redundantes balls-into-bins
Deterministisches redundantes balls-into-bins
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Zusammenfassung
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Algorithmen und Komplexität
2. Die Congestion im Netzwerk ist der Flaschenhals
Offline: Optimierungsproblem zum Platzieren der Kopien der
Variable in Bäumen
Online-Strategien für Bäume, um dynamisch eine gute
Platzierung zu erhalten
Reduktion der Gesamtlast im Netzwerk: Page Migration
Dynamische Page Migration: Online Stream diktiert auch
die Netzwerkbewegung
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Forschungsfragen
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Algorithmen und Komplexität
Redundantes balls-into-bins:
Einheitliche Darstellung der randomisierten und
deterministischen Verfahren
Deterministische konstruktive Verfahren
(insbesondere: neue Expander-Konstruktionen, etwa
mit Hilfe des Zick-Zack Produkts)
Heterogene Bins
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Forschungsfragen
Universität Paderborn
Algorithmen und Komplexität
Page Migration mit Minimierung der Congestion
Erweiterung der bekannten Strategien und
Analysen?
Anpassung der Baumstrategien?
Was passiert auf einfachen Netzwerken?
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Algorithmen und Komplexität
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg bei den
kommenden Prüfungen und
beim Abschluss des Studiums!
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Algorithmen und Komplexität
Wir danken für Ihre
Aufmerksamkeit!
Heinz Nixdorf Institut
& Institut für Informatik
Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Tel.: 0 52 51/60 64 66
Fax: 0 52 51/62 64 82
E-Mail: [email protected]
http://www.upb.de/cs/ag-madh
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