5.
Asymptotic Expansions
1. Expansion in negative powers [ Stokes’ method (Ex 14.6.10.) ].
Problem : Relation to named functions not known.
2. Steepest descent.
Asymptotic Forms of H
Contour integral representation:
1
H  t  
i
1

e  z  1/ z  t / 2
dz
z 1
2
H
C1
d z g  z  e w z   g  z0  e w z0  e i 
C
w
t
 z  1 / z
2
t
w   3
z
H   t  
1
 dz
e
z  1/ z  t / 2
z 1
C2
w  z0   0
Method of steepest descent ( §12.7 ) :

1
t


i
w 
w  z0   
1

3 
   arg  w  z0     or

2
2 
2
t
1
1

0

2 
2
z 
t
 i 
1  1 i t i 3  / 4
i
e e
i
2
w  z0 
3
te
2
t

z0   i
w  z0    i t
3   3 / 4

     or
 
4 2
2    /4

i  /2
H   t  
1
1  1 i   1 i t i  / 4
i
e
e e
i
2
t
H   t  
1
1  1 i t i 3  / 4
i
e e
i
2
t

3 

 exp i t  i  1    1   
2
2 


2


exp i t  i
t
2

K  x  

2
1 





2 

i  1 H1  i x 

H   t  
1
2
t
1  1 i   1 i t i  / 4
i
e
e e
i

1 

 exp i t  i  1    1   
2
2 


K  x  ~

2


exp  i t  i
t
2


2x

2x
i
 1/2
e xt
1 





2 



exp   xt  i
2

1 

  
2 

2
t
2
t
Expansion of an Integral Representation for K
Consider
R  z  


z
1   2 
 
2

 

Proof : 1. R satisfies the MBE.
R  z  
R  z   

z2

z
R  z  
R  z  

z


dx e
z R  zR   z 2   2  R   z 2 R 
 1
 1/2
1
2
  ,
z 2 R  zR   z 2   2  R  0

z
1   2 
 
2
R  z  
x
2
1


 

zx


 


 

  
1
2


d x x e  z x  x 2  1
 1/2
1

z
1   2 
 
2

2
Re z  0


 1/2


d x   x  x e  z x  x 2  1
z

1

z
1   2 
 
2

 d x 2  xz  1 z x e
1
zx
x
2
 1
 1/2
z R  zR   z  
2
2
z
d  zx
e


dx
2
R

  z R 


2

 

z
1   2 
 
2

 d x 2  xz  1 z x e
zx
x
2
1

 1 
2
x
   



1/2
 1/2
2  zx 2
2


 x  1   z   z  x 2  1  e  x  1




  z 2  z x  2  xz  1  e  z x  x 2  1
 1/2

z 2 R  zR   z 2   2  R 


 

0

 1/2 
 z   zx 2

z  e  x  1


 1
1 2 
 
2
  
1
2
QED
 1
 1/2
K  z   2
 1
   z



z
R  z  
 
   1 / 2   2 



dx e
z x
x
2
 1
 1/2
1
Proof :
2.
R = K for z  0.
t
x  1
z
Let

e z x  e


 z  t
z
z e
 R  z  
 
   1 / 2   2  z


z
e
   1 / 2  2 z
tt 

2



z  z 

2z 

d t e t t 2 1  1 
t 

 
 1/2


1
   1 / 2  2 z
1
2


d t e  t t 2 1
0

1
  2 
   1 / 2  2 z
 2 1    z 

dt e 

t
 1/2
0




0



x  t
1
0
tt

x2  1   2  
z z

dt
dx 
z
QED
1

 1  z    z    2 2 z    2 z  1
2

1
   2 z     z     z  22 z  1
2


Proofs 1 & 2
K  z  
R = K


z
 
   1 / 2   2 
i.e.


d x e  z x  x 2  1
1
2
 1/2
  ,
1
Proof : 3. K (z) decays exponentially for large z.


z
z e
K  z  
 
   1 / 2   2  z
1

   1 / 2 

2z



d t et 

tt 

2



z  z 

0

e z

 1/2
 1/2
t 

d t e  t t 1/2  1  
 2z 
0


2z
e z


r0

1
r
2
z
 
r !    r  1 / 2 

d t e  t t  r 1/2
0

K  z  

2z
e
z


r 0
   r  1 / 2 
r
2z  ~
r !    r  1 / 2 

2z
e z
QED
Re z  0
K  z  

2z
e
z


r 0
   r  1 / 2 
r
2z 
r !    r  1 / 2 
is a divergent asymptotic series
   1 / 2   1 / 2    3 / 2   1 / 2   1 / 2   3 / 2 

e 1 


2
2z
2z
2!  2 z 

1
3
Series terminates for    ,  ,
2 2

1
x
z
z

2
d2
3 d
4 d
 2x
x
2
dz
dx
d x2
d
d
  x2
dz
dx
 2 
1
R  z   R  z   1  2  R  0
z
z 

R  x  

x 4 R  x   x 3 R  x   1   2 x 2  R  x   0
1
1 
1 
R  x   2  2  2  R  x   0
x
x 
x 
1 
1 
2 
lim  x  0    2  2  2     
x0
x 
 x 


z =  is an essential singularity
No convergent series solution about z = .



K  z  




2z

2z
e
z


r 0
e
z



   r  1 / 2 
r
2z 
r !    r  1 / 2 


n0
   2n  1 / 2 
2 n
2z 
 2n !    2n  1 / 2 

n0
   2n  3 / 2 
2 n 1 
2z 

 2n  1!    2n  1 / 2 


e z  P iz   i Q iz  
2z
P  z  


n0

   2n  1 / 2 
   2n  1 / 2 
2 n
2 n
 2i z      n
2z 
 2n !    2n  1 / 2 
 2n !    2n  1 / 2 
n0
 2  3 2   2  1 2 
         
 2   
 2  

~ 1  

2
2!  2 z 
Q  z    i


   2n  3 / 2 
 2  7 2   2  5 2   2  3 2   2  1 2 
                   
 2   
 2   
 2   
 2  


4
4!  2 z 
  2n  1!    2n  1 / 2   2 i z 
n0
 2  1 2 
    
 2  

~ 

2z
2 n 1

   2n  3 / 2 
n
2 n 1

2
z





 2n  1!    2n  1 / 2 
n0

 2  5 2   2  3 2   2  1 2 
              
 2   
 2   
 2  


3
3!  2 z 
P  z  
Additional
Asymptotic Forms
Q  z  
Asymptotic forms of other
Bessel functions can be
expressed in terms of P & Q .
K  x  

2
i  1 H1  i x 
H1  z  
H
2

1
*

Analytic continued to all z :
  
n0
   2n  1 / 2 
2 n
2z 
 2n !    2n  1 / 2 
   2n  3 / 2 
n
2 n 1

2
z





 2n  1!    2n  1 / 2 
n0
K  z  
H1  x  
n

2


e z  P iz   i Q iz 
2z
i    1 K  i x 
2 i z  i  1/2  / 2
e
 P  z   i Q  z  
z
 x   H   x 

Analytic continued to all z
2 i x  i  1/2  / 2
e
 P  x   i Q  x  
x
H 2  z  
2  i z  i  1/2  / 2
e
 P  z   i Q  z  
z
H1  z  
1
J  x   Re H   x  

Y  x   Im H

 x
2 
1  
1   




P
x
cos
x




Q
x
sin
x



  
  

 

  


x  
2
2
2

 

 2 


2 
1  
1   




 P  z  cos  z       Q  z  sin  z      
z  
2 2
2 2 




J  z  
1
2 i z  i  1/2  / 2
e
 P  z   i Q  z  
z

Y  z  
I  z   i  J  iz 
2 
1  
1   




 P  x  sin  x       Q  x  cos  x      
x  
2 2
2 2 




2 
1  
1   




 P  z  sin  z       Q  z  cos  z      
z 
2 2
2 2 





I  z  
ez
 P  i z   i Q  i z  
2 z
P  z  ~ 1 
 2  1 / 2  2 

Q  z  ~ 
2z
Properties of the
Asymptotic Forms

1
3
Series terminates for    ,  ,
2 2
All Bessel functions have the asymptotic form
Z  z  
1
 f  z  P  z   i g  z  Q  z  
z
where
f  z , g  z 
e
z
, e  i z , cos z , or sin z
K  z  
1 z
e
z
e.g.
I  z  
J  z  ~
2
1  


cos  z     
z
2 2


good for
2 z   2  1 / 2 
Y  z  ~
2

1 z
e
z
2
1  


sin  z     
z
2 2


2


J0  z ~
cos  z  
z
4

2
1  


J  z  ~
cos  z     
z
2 2


2 z   2  1 / 2 
Mathematica
2
Example 14.6.1.
Eg. 14.1.24 :
Cylindrical Traveling Waves
2-D vibrating circular membrane  standing waves
Consider 2-D vibrating circular membrane without boundary
 travelinging waves
For large r
U  e i  k x  t 
Circular symmetry (no  dependence ) :

U  r, t   H 0   k r  e  i  t
1
diverges at r = 0
6.
Spherical Bessel Functions
Radial part of the Helmholtz eq. in spherical coordinates
d 2R
dR
2 2

r

2
r

k
r  l  l  1  R  0
2

dr
dr
2
R k r  
d2R

d r2


Z k r 
kr

dR

dr
1  dZ 1 

Z

kr  d r 2 r 
1 d2Z 1 d Z
1
1  d Z 1 
 2Z

Z  
 2 

d
r
2
r
d
r
2
r
2
r
d
r
2
r
kr 


1  d2Z 1 dZ
3 


Z
 2
2
r d r 4r 
kr  d r
2
2

d
Z
d
Z
1

 
2
2 2
r
r
 k r   l    Z  0
2
dr
d r 
 2  
 J l 1/2  k r 
Z k r   
Y l 1/2  k r 
 J l 1/2  k r 

kr

R k r   
 Yl 1/2  k r 

kr

Spherical
Bessel functions
J  x  cos  J   x 
Y  x  
sin
Definitions
Spherical Bessel functions ( integer orders only ) :
jn  x  
hn1  x  

2x

2x
J n1/2  x 
yn  x  
H n11/2  x 
hn 2  x  
 jn  x   i yn  x 
Yn 1/2  x  

yn  x  
sin  n  1 / 2 
2x
 
n 1
J  n1/2  x 
2x

2x
Yn1/2  x 
H n21/2  x 
 jn  x   i yn  x 
J n 1/2  x  cos  n  1 / 2   J  n 1/2  x 



  
n 1
J n1/2  x 
yn  x     
n 1
jn1  x 
jn  x  

2x
jn  x  

J n1/2  x 
J  x   
s0

2x


s0
 
 x
 
  n  s  3 / 2 s!  2 
3 
1 
1

n  s    n  s  n  s  
2 
2 
2

where
s
  2s
n  2 s  1/2
Pochhammer symbol
1  1   2n  1!!
  

n 1
2 2
2

 
xn
 x
jn  x  
 
3
 2n  1!! s
2
0 
n

s
!


2 s

s

s
3 
3
3 
3


n


n


n


n


 


 

2 
2
2 s 
2


 n s  n  n  1  n  s  1
3 
1 
1 
3

n    n  n  n  
2 
2 
2 
2

 
x
 
   s  1 s !  2 
2s
yn  x     
n 1
jn1  x 
yn  x     
jn  x  

n 1
2x


s0

yn  x     
yn  x 
 2n  1!!

x n 1
n 1/2
 
2x  2 


s0

s0
 
s
 
s
 x
 
  n  s  3 / 2 s!  2 
s
n  2 s  1/2
n  2 s  1/2
1 
1

1 
1



n



n


n



n


 


 

2 s 
2
2 
2


1 
1   


n



n


 
  n
2
2 
2

  x
n 1
2x

 
x
 
  n  s  1 / 2  s !  2 
1 
1 
3

  n  s     n  s    n  s  
2 
2 
2

1
 1   1 
        1  
2
 2   2 

n
 2n  1!!
1

  n  
2

2s
    2n  1!! 

x
 

 
2n  1 / 2  s  0  n  1 / 2  s s !  2 
n
 x
 n  1 / 2  s s !  2 
s
2s
1
y0  x   
x
   x  2s

 
1
/
2
s
!


2
s0
s

s
jn & yn
Mathematica
   x 
 
 3
2
  s!
 2 s
s

j0  x   
s0
 3
22 s   s !  22 s
 2 s
3 5
2 2


j0  x   
s0
1
22 s   s !  22 s
 2 s
y0  x   
 
1
x
x 2s
s
s
 2 s  2 s  2 

s

2s
2n  1!! 



 x
yn  x   

 
x n 1 s  0  n  1 / 2  s s !  2 
4  2 
sin x
j0  x  
x
 3
 1



s


s


   s  s  1
 2
 2

  x 2s

s  0  2s !

2s
 
 x
 
3

2
 n   s!
2 s

y0  x   
cos x
x
2s
2  1
  2s  1!!  2s !!   2s  1!
s
 2s  1!
1 3
2 2


x
jn  x  
 2n  1!! s
0
 1
 1



s

s


   s  s  1
 2
 2

 2 s  1 2 s  1 
 3  5

n
   x 

 
1
/
2
s
!


2
s0
s
s

1
y0  x   
x

2s
 

sin x  
s0
s
 2s  1!
x 2 s 1
2  1   2s  1!!  2s !!   2s !
  x 2s
cos x  
s  0  2s !

s

hn1  x  
1
H
2x

  
n
n0
h 01  x  
   2n  1 / 2 
2 n
2z 
 2n !    2n  1 / 2 

n 1
Pn 1/2  z      
s
s0
i Qn 1/2  z   i


Q  z  

  n  2s  2
2 s 1
s0
n 1
ix
e
x
 n  t !

t
t  0  2 x  t !  n  t !
n
i
t

cos x
x
   2n  3 / 2 
n
2 n 1
n0
h 02   x  
1
i
 sin x  i cos x   e i x
x
x
  z  1   for z  1,  2,
  n  2 s  1
2 s
2z  
 2 s  !   n  2 s  1
t  0, 2, 4,
s
y0  x   
     2n  1!    2n  1 / 2   2 z 
1 ix
e  Pn 1/2  x   i Qn 1/2  x  
x
     2s  1!   n  2s   2 z 
hn1  x    i 
2x
H n 21/2  x   jn  x   i yn  x 
sin x
j0  x  
x
1
i
 sin x  i cos x    e i x
x
x
hn1  x    i 

hn 2  x  
2 i z  i  1/2  / 2
e
 P  z   i Q  z  
z
 z 
P  z  
H n11/2  x   jn  x   i yn  x 
it
, t1

t  1, 3, 5,
  i 
 n  t ! 2 z t
 
t !  n  t !
it
, t1
n 1
 n  t ! 2 z t
 
t !  n  t !
ix
e
x
t  2s
t1  n or n  1
t  2s  1
 2n  2t !!

t
t  0  8 x  t !  2n  2t  !!
n
i
t
n! 
 2n !!
2n
1
hn
 x    i 
n 1
ei x
x
 n  t !

t
t  0  2 x  t !  n  t !
it
n
ei x 
i

1



x 
x
ei x 
i
h1  x   
1



x 
x
h1
ei x  3 i 3 
h2  x   i
1   2 
x 
x x 
ei x  3 i 3 
h 2  x   i
1   2 
x 
x x 
1
1
j1  x  
2
 x   h1  x 
*
 2
1 1
 h1  x   h1 2   x     cos x  sin x

2
x
x2
j2  x   
1
jn  x  
1 1
 h n  x   h n2  x  

2
sin x 3 cos x 3sin x


x
x2
x3
y1  x  
sin x cos x
1  1
2



 2
h
x

h
x




1
1

x
x
2i 
y2  x  
cos x 3 sin x 3cos x


x
x2
x3
yn  x  
1  1
2

h
x

h


n
n  x 

2i
For any Bessel functions
Recurrence Relations
F (x) = J (x) , Y (x) , H (1,2)(x) :
F 1  x   F 1  x  
For any spherical Bessel functions
F 1  x   F 1  x   2F  x 
fn (x) = jn (x) , yn(x) , hn(1,2)(x) :
fn  x  

2x
f n  x   

Fn 1/2  x 
1
fn  x  
2x


2x
Fn1/2  x 
2
F  x 
x
f n 1  x   f n 1  x  


2x
2n  1
fn  x 
x
Fn1/2  x   f n  x  
1
fn  x 
2x
1




1
f n 1  x   f n 1  x   2  f n  x  
f n  x    2  f n  x  
 f n 1  x   f n 1  x   
2x


2  2n  1



n f n1  x    n  1 f n1  x    2n  1 f n  x 
fn  x  

2x
d
 x F  x    x F 1  x 
dx
Fn 1/2  x 
d
 x n 1/2 Fn  1/2  x    x n 1/2 Fn  1/2  x 
dx
d
 x  n 1/2 Fn  1/2  x     x  n 1/2 Fn 3/2  x 
dx
d
 x  F  x     x  F 1  x 
dx

d
 x n 1 f n  x    x n 1 f n  1  x 
dx

d
 x  n f n  x     x  n f n  1  x 
dx
Rayleigh Formulas
jn  x     
n
n
 1 d   sin x 
xn 

 
 x dx  x 
h n   x   i   
1
n
n
ix

n1 d  e
x 
 

x
d
x
x

 

n
 1 d   cos x 
n
yn  x       x n 

 
 x dx  x 
2
hn
 x  i 
n
n
 1 d   e i x 
x 
 

x
d
x
x

 

n
Proof is by induction.
n
Proof of Rayleigh Formula
For n = 1 :
 1 d   sin x 
cos x sin x
x 


 2  j1  x 


x
x
 x d x  x 
Assuming case n to be true,
 
n 1
 1 d   sin x 
n
jn  x      x n 

 
x
d
x
x




1 d 
x n 1 

 x dx
n 1
 sin x 


x


n f n1  x    n  1 f n1  x    2n  1 f n  x 
f n 1  x   f n 1  x  
2n  1
fn  x 
x
n
n


 1 d   sin x 
d
n
n
n 1  1 d   sin x 



n
x
   x n 





 

 
dx 
x
d
x
x
x
d
x
x










  jn  x  

n
jn  x 
x
n
n 1
n
jn 1  x  
jn 1  x  
 jn 1  x   jn 1  x  
2n  1
2n  1
2n  1 
 jn1  x 
QED
Limiting Values : x << 1
n

x
jn  x  
 2n  1!! s
0
 
 x
 
3

2
 n   s!
2 s

s
2s
2n  1!! 



 x
yn  x   

 
x n 1 s  0  n  1 / 2  s s !  2 
s
For x << 1 :
xn
jn  x  
 2n  1!!
yn  x   
 2n  1!!
x n 1
 n 0  1
2s
Limiting Values :
x >> n ( n + 1 ) / 2
jn  x  ~

yn  x  ~

2x
J n 1/2  x  
jn  x  ~

2x
1


cos  x   n  1 
x
2

1
n 

sin  x 

x
2 

Yn 1/2  x 

hn   x   jn  x   i yn  x  ~
2
i

exp  i
x

2
1  


cos  z     
z
2 2


Y  z  ~
2
1  


sin  z     
z
2 2


fn  x  

2x
Fn 1/2  x 
Standing spherical waves
1


sin  x   n  1 
x
2

1
h n   x   jn  x   i yn  x  ~  i exp i
x

J  z  ~

1
n 

yn  x  ~  cos  x 

x
2 

n 

x



2 

n  

x



2  

Travelling spherical waves
Orthogonality & Zeros
fn  x  

2x
Fn 1/2  x 
Set   r .
 2 n i n j

a

Note: n i for jn is numerically the same as n+1/2, i for Jn+1/2, .



2  2 
r 
r
1 2

ni


d
r
r
j

j



a
j



n  ni
ij
n 1
ni  
 n nj 

0
a 
a
2 

  
a
2
a

2
 

1 2

0 d   J   i a  J   j a   i j 2 a  J  1  i 
a
2
r 
r
1 3

0 d r r jn  n i a  jn  n j a   i j 2 a  jn  1 ni 
2
Zeros of Spherical Bessel Functions
nk : kth zero of jn(x)
nk : kth zero of jn(x)
kth zero of j0(x) = kth zero of J1(x)
kth zero of jn(x) ~ kth zero of jn-1(x)
Mathematica
Example 14.7.1.
Particle in a Sphere
Schrodinger eq. for free particle of mass m in a sphere of radius a :

2
2m
2  V  E 
Radial eq. for r  a :
l  l  1 

2
R  R  k 2 
R0

2
r
r


R is regular at r = 0
ra
0
sin x
j0  x  
x


ra
0
2
k2
E
2m
R  A jl  kr   B yl  kr 

R
 0 ra
V 
  ra
with



r

Rnl  A jl   l n 
a

 0 n  n
B=0

quantized
k
l n
Emin  E1 0 

En l 
a
2

2
 021
2m a
2

2
2
2m a 2
 l2n
2m a 2
General remarks :
1.
Spatial confinement 
2.
Finite zero-point energy ( uncertainty principle ).
3.
E is angular momentum dependent.
4.
Eigenfunction belonging to same l but different n are orthogonal.
energy quantization.
More Orthogonality :

 d x jm  x  jn  x    mn


2n  1
m, n  0
Ex.14.7.12-3
Modified Spherical Bessel Functions
d 2R
dR
r

2
r
  k 2 r 2  l  l  1  R  0
2
dr
dr
2
Spherical Bessel equation :
2
d
R
dR
r 2 2  2r
  k 2 r 2  l  l  1  R  0
dr
dr
Modified Spherical Bessel equation :
fn  x  

2x
Fn 1/2  x 
Caution :
in  x  

kn  x  
2


2x
I n 1/2  x 

2x
I n 1/2  x 

kn  x  
2
I n 1/2  x 
x
Recurrence Relations
2
I 1  x   I 1  x  
I  x 
x
in  x  
I 1  x   I 1  x   2 I  x 

in 1  x   in 1  x  
kn  x  
2n  1
in  x
x
n in1  x    n  1 in1  x    2n  1 in  x 
kn 1  x   kn 1  x   
2n  1
k n  x
x
n kn1  x    n  1 kn1  x     2n  1 k n  x 

2x
I n 1/2  x 
2
I n 1/2  x 
x
i0(x), i1(x), i2(x),
sinh x
i0  x  
x
e x
k0  x  
x
cosh x sinh x

x
x2
1 1 
k 1  x   e x   2 
x x 
sinh x 3 cosh x 3sinh x


2
x
x
x3
3
1 3
k2  x   e  x   2  3 
x 
x x
i1  x  
i2  x 
k0(x), k1(x), k2(x)
Mathematica
Limiting Values
For x << 1 :
For x >> 1 :
xn
in  x 
 2n  1 !!
ex
in  x ~
2x
 2n  1!!

e x
kn  x  ~
x
kn  x 
x n 1
Example 14.7.2.
Particle in a Finite Spherical Well
Schrodinger eq. for free particle of mass m in a well of radius a :

2
   V  E 
2
2m
Radial eq. :
 V0  0 r  a
V 
ra
 0
with
l  l  1 

2
2


R  R  k  r  
R  0
2
r
r


Rin  r   A jl  kr 
Bound states :
V0 < E < 0
Rout  r   B kl  r 

2

r0

r
 regular
0
k r
 E V r
2m
k2
 E  V0  0
2m
2
2
2
2
2m
 E  0
ra
ra
Smooth connection :
Rin  a   Rout  a 
 a 
Rin  a   Rout


A jl  ka   B kl  a 
A k jl  ka   B  kl  a 
Numerical
solution