Strongly simply connected schurian algebras and multiplicative bases

 ! "
# $ %" %" $ "
$ & '% ( % ' ( ) & $ * ' ( +
, - % $ ' ( ' ( ' ( "
% +. % ' /0 ( ' ( 12 % 3 "
'
( $ '( # ¯ 4 ' ( ' 4 ( ¯ ' ¯ ( $ '*( '(
'(
'(
'(
'(
'(
'(
* % % '( '( ' (
* ) "
% %"
'( "$ * "
% $ "
%"
5"6 % "
% * 7 %" / 8 + 9 '*( : '(
"
$ $ ; %
* " * % % < " & % & * % "
) % * * & % ) ) "
= % * "
& ¾
* ' ( % '( & '( & '( ¼ ¼ $
% $ * 5 % "
3"
"
- "
"
) ¯ "
& = " " & "
"
= % * * %
* $ - % $ 09 78 '( '( + !
= $ '
( ! ! ! % '( # < % % Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
% % & %
" % 7> 78
"#
$ +. = ' (? % 0 = %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
3 "
% " ' ( ' ( ' @@(
7
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
"
# // "
$ %" +. % - %" ? $ %
% A%"B AB % %"
/
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
% " # AB "
C %"
' ( "
' ( = # ) # # % # '( ¼ ¼ # '( ¾ # 0/ # #
%
# # # $ $ $ $ $ ¼ $ ¼ $¼ $ ¼ % $ &$ ¼ ' $ % $¼ C* # # "
# " " # # " " * $ $ ¼ $¼ $
$¼ #
$¼
$¼ # # $ ¼ $ ¼ $¼ # $ $ # $ &$ ¼ $ ¼ # ' & ( #
+4 "
# + 4 $ Æ $ $ Æ Æ $ # Æ # $Æ # $ Æ # $ ¼ Ƽ $ $ ¼ # Æ Æ¼ # $Æ # $ ¼ Ƽ # C $Æ $ ¼ Ƽ = $ D ' ( ( " ( ( 3 " " = ! ) !
" ! ' !( '( ) * ) * '( '( & = + ' '( '( ¼ + '( ¼ +
%" %" ¼
¼ ¼ E" ! ' /( /F 78
8 %" + , - .
= %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
- $- 9 3 %" % %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
" / $ G // -
* %" + ¼ + ¼ +
! ) ! " + ! = $
3 + 0/ 78 # ' ( ' ( ' ( = $ . $ 0/ + C % " " + ¼ + +
+ + '
/7( # %" : * % '%( '%(
= % %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
" "
; % = % $ ) % ' ) "
) " ( ¼
%
' ) ( ¼
% ' " % " "
( ¼ $ > = %
%
Æ
Æ
Æ
Æ
" ¼ %
Æ
$
Æ
Æ
Æ
%
Æ
Æ
Æ
!
Æ
%
= * + ¼ %" 3 ¼ + 4 ¼ = ¼ $
+ +
" + + ¼ % $
" + + $ $ ¼ ¼
F %" %
%
Æ
Æ
Æ
Æ
" $" % /: %" $ = ( ( ( + " % % + % " " ( C /8 '
( ' ( ' ( $ " % $
* % /: %" 78 = "
%
+ $ "
= % % = 0 % " " % & 0 * ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ " = 1 1 " '(
#
0
* '(
#
/ / '(
!
$ * * %
4 /: ! 2 $ /8 /7 ' ( /: %"
2 3 78 % / 2
3
/ %
&
= * ' ( ; $ * $ ( " ) " ) " ¼ ( & " $ ( C - %
(
¼
" ( * + * $ ( - " " $ " ¼ ' ( % " ¼ G
¼ ( " 5 $ " $ $ " ¼ ( $ 4 4 ¼ ¼ ¼ 4 $ $ $ ¼ 4 ¼ " 4 $
4 5 5 4 5 4 5 ' 5 - ( ) " ' - " + 4 4 $ 6 6
6
6
6
6
(
¼ ¼ ¼ ¼
" ( $ $ $ "
6 + 6 6 64 Ï
64 4 * " $ $ " $ 4 3 4 $ 6 6
6
6
6
6
(
¼ ¼ ¼ $ $
" ( $ $ $ "
6 3 6 ) * 6 $ 4 46 46 ' ( 3 "
' " 46 4 $ $ $ $ ' 46 $ $ (
& ( "
#
= * (
' ( ( '"
( ¼ ¼ + ¼ ¼ $
* ' (
) ) = % % 8: H = %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
" ' $Æ( "
$ & *
¼ ¼ , = ) $ 80 # . "
+ + + ) $ 8/ '
( "
$
) " "
8/ * $
88 % 89
88 "
// 7/ "
C " ( " # " 78
87 + , # $
' $ $ ' ()*
$ = % % $ ¼ /: 7: % ¯
¯
¼
¯ ¯ I '
( 5"6 %
Æ Æ ¼
¼
/8 7 ) %
% ' /8( ! '(
'(
'(
$
%
! % ¼
! % !
¼ + Æ ¼
%
Æ
¼
¼ "
¼ ¼ ' # "IJ ¼ ¼ ( # '(
% 7 ) '( & '( " ' ( ' (
!
$ 5"6 % 7 )
*
+ %" , = % $ % ¼ ¼ /: %"
' % ( ¼ + 5"6 %
$
¼
# & %" + % ' ( % '
( % = % A%"B AB %
98 9/ 9/ /F '(
= % %"
9/ ¼ ¼ 90 + %" $ 9/ $
% $ # ' (
* + # 3 ! + ! ! . , ! = " % + % #
! % ' (
$
= - % % % % 0
$ % 2 3 2 2 3 3 $ 2 2 ' ¼ ( + "
*
77 + * #
! %
% ' ( ' ( + % *
79 %
*
'(
'(
'(
'(
'(
'(
'(
'( '( 8>
'( '( 89
'( '( 80 "
/9
'( '( 77 '( '( & # "IJ '( '( 9/
'( % '( 1 K 34 $
+ '( '( '( '( 89 ' ( % 5 /9 %" '( '( 9:
* % % "
CIK - * ' (
3 K IK - 3 K IK - K IK - 0L "
%" =
%
!
%
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
#
"
Æ
Æ
Æ
Æ 8
8
" 8$ "Æ $Æ & & Æ ) % '
( # 79 %
A%"B AB '('('('(
* % '(
'(
'(
'(
'(
'(
'(
$
9> /: 98
+, %'( '( '( ' // 7/( '( '( '( ' ( # % '( '( '( = %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
'( '(
& " '( '( ' /0L(
'(
'(
'(
'(
'(
'(
'(
% % % - 00 = %
%Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ Æ
Æ
Æ
$ Æ $ $
Æ % )
% AB M
/ /0 # '%(
- $ * %"
'*( # ' ( "
% $ !
-#
= & 07 '( '( ! '( 2 3 $ 23 23 07 = %
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
$ $ $ 3 $ " " "$ ' 3 < ( %" * ! " "
%" " & "
/0
'(
'(
! ! $ ! = 1 /: ¼ ¼
¼ ¼
'
$
/>( *
/0 ! ! , %" = % % %" # *
5"6
%
¼
¼ ' ¼ "
( %
% = ¢ " *
:7 1 K 34 $
¢
¢
¢
¢
' $( 77 ¢
/7 5 IN "
%" & 9
9
$ $ * '*( '( 78
% 77 %" ¢ ¼ ¼
¼
' " () # $ C * *
+4 = + 80 ' ( (* '(
'(
! ! $ '( :7 ! & ! '( 9> 5 & ! :7
+
£ ':9( ! :F'( $
"
),# $ "
C+MG3 3 &*IM+I 3CI% $ + +$
# $ %
(
4
0
+
&
1$ 2
3
! " &
' (() *&+,,- *(..(- ((/
0
0
5 6
2
3
7 % 8( *(..(- /9.
7 (.8 *//:- ))/)88
0
)
#
3
;
&
$
(9 *//:- ;)8;;;
9
%<
7
() *//9- :8(.:
8
:
%=,
& "
&7 2
3
0
+ &
(9/ *(..4- 4444;;
3,>,
% #
& 3 *4- ;9 */::- )8);.
/
?
+
0 &
½ !
. @=
&7 &
1$
" # $ %
*(..(- 44:
@
"
#A
5 3A
#
&
(() *& +,,-
3 *(- (8 */:4- ((((.
( @
"
B
%
"
' 3A
#
7 # &
& : */:;- ( (8(:;
4 @=
C B
%
& 9;
*/:D:(- $ 4
4448:
) @=
C
! "#
%
0"
E /8/
#
$ & :4( */:.- /8.( 3'F @
G
$ H,
; @
E B
%
@
3 & 5 */:4- ().
9 @
70
0
4.
$ *(..(- ;4.8;4(/
7 $
% 6 % */;9-
5
B
% + &
8 @
70
: 0
G 1
3
/ 0
7
;4
*/:;- (44
(. +I
%
7 9; *//)- $(
;;.;9;
& 0 &
( +J
+ "
3 7
@
' : */89- (8(/(
%=,
& "
&7 2
3
'
& $ 7 (( *///- 9
B
1#
( & ) 2 &
(( B=
3
%<
7
(4
3 (8/ */:4- (88(/(
() G
+
$ 3K &% &
*%
/:8::-
# $ & ).) */:/-
3
.:(9
(; &='
" %<
7
%
& 7
4.
$ 4 */:4- (88(/(
$ 7 % 4: *///- );;:
%<
7 3
&
$ (9 &
& " %<
7
(8
& & .) *(..-
$ )
)4))(
3,>,
(
" & & (9 *//9- (:8(/9
"
1
! 7 %
(: %<
7
(/
88
( *(..4- (.4()
4. "
77
! 3 B &
' / */::-
4 3,>,
4( 3,>,
&
*//8- //44
& ( 0 &
' 8( *//8-
$ (
44;4;
44 3,>,
0 & ./
" $
*E
//(- )4))8
0&3 0 % )
3
%
" *//4-
*
1J
J%
&J KJ +
+ 'EJ( O0P 7G0 3
Q
1 3
1
5R
K +S I
3 I ::7F0 L9/09"H>L
+S I Q
M C 5
1
5R
K +S I
3 I ::7F0 L9/09"H>L
+S I Q
+ 1
5R
K C 5 I
& //9L
>:LL 5 I *
Q
!
&