Signals&System
제 1 장 Signals & Systems
Jongwon Seok Transparency No. 1-1
Signals&System
Signals
Functions of one or more independent
variables, contain information about the
behavior or nature of some phenomenon
Ex: Voltages and currents
정보를 전송하기위해 사용되는 수신 가능한 물리적인 양
또는 변수
- 정보 : 음성, TV 화면, 온도, 주식 시세
정보
Transducer
전기신호
Jongwon Seok Transparency No. 1-2
Signals&System
Systems
Responding to particular signals by
producing other signals or some desired
behavior
Ex: Circuits, automobile, computer program,
camera, robot arm
Applied Areas
Communications, aeronautics and
astronautics, circuit design, acoustics,
seismology, biochemical engineering,
energy generation and distribution system,
chemical process control, speech
processing
Jongwon Seok Transparency No. 1-3
Signals&System
Analysis and Synthesis
•
Analysis: 여러 입력에 대해서 시스템의 출력을 알아내는 것
Ex: 조종사와 강풍에 대한 비행기의 반응.
• Synthesis: 신호가 원하는 방향으로 반응하도록 시스템을 설계하는 것.
Ex: 조종사가 관제탑과 통신할 때 조종실내의 잡음에 의해서 통신 성능이 떨어질 수 있다. 이
경우 조종사의 음성은 남겨두고 잡음만 제거하는 시스템을 설계한다.
Ex: 화성탐사선이 찍은 사진을 지구로 송신할 때, 장비의 문제, 우주의 잡음, 대기의 잡음으로
인한 화면의 열화를 보상하는 처리 시스템.
Ex: 제어 시스템 설계: 비행기 자동조종장치, 컴퓨터 제어시스템 등
Analytic framework for signals and systems
Mathematical description and representation
Jongwon Seok Transparency No. 1-4
Signals&System
1.1 Continuous-time and Discrete-time Signals
• 신호는 물리적 현상의 변화를 나타낸다.
Ex: RC 회로의 전압(그림1.1)
Ex: 자동차(그림1.2)
Ex: 음성신호, 마이크를 사용하여 acoustic pressure를
감지하여 전기신호로 바꿈. (그림1.3)
Ex: 흑백사진, 점의 밝기의 변화를 기록. (그림1.4)
• 신호의 independent variable: 시간, 밀도, 고도 등
(그림1.4, 1.6)
Jongwon Seok Transparency No. 1-5
Signals&System
Continuous-time and Discrete-time Signal
•
Continuous-time Signal
종속변수가 연속, x(t)
•
Discrete-time Signal
종속변수가 이산, x[n]:
Discrete-time sequence
Jongwon Seok Transparency No. 1-6
Signals&System
Signal Energy and Power
• 저항 R에 전류 i (t ) , 전압 v (t ) 일 때 순간전력은
1 2
p (t )  v(t )i (t )  v (t )
R

• Total energy:
t2
t1
p (t )dt  
t2
t1
1 2
v (t )dt
R
• Average power:
1
t1  t 2

t2
t1
1
p (t )dt 
t1  t 2

t2
t1
1 2
v (t )dt
R
Jongwon Seok Transparency No. 1-7
Signals&System
Total Energy and Averaged Power
L
E2 L   x(t ) dt
2
L
and the total energy in the signal over the range t  (  ,  ) can be defined as
E  lim
T 
E  lim
N 

T
T
N

N

x(t ) dt   x(t ) dt
2
2


| x[n] |   | x[n] |2
2

The average power can then be defined as
P  lim
T 
P  lim
N 
2 
1 T
x
(
t
)
dt 
 2T T

1 N
2
|
x
[
n
]
|

2N 1 N
Jongwon Seok Transparency No. 1-8
Signals&System
Three classes of signals
1. Signals with finite total energy
E
E  , and P  Lim
0
T  2T
2. Signals with finite average power
P  0 and E  
EX: x(t) is constant.
3. Signals for which neither
E nor P are finite
EX: x(t)=t
Jongwon Seok Transparency No. 1-9
Signals&System
1.2 Transformations of the independent variable
Time shift
x(t  t0 ), x[n  n0 ]
Applications; radar, sonar, seismic signal processing
Fig.1.8, Fig.1.9
Time reversal
x(t ), x[n]
Ex; x(t)가 테이프 녹음 신호이면
x(-t)는 play backward에 대한 신호이다.
Fig. 1.10, 1.11
Jongwon Seok Transparency No. 1-10
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Time scaling
x( at ), x[ an]
Ex; x(t)가 테이프 녹음 신호이면
x(at)는 테이프를 돌리는 속도를 바꾼다.
x(2t): 2배 속도로 play
x(0.5t): 0.5배 속도로 play.
그림 1.12
Example1.1
그림 1.13
Jongwon Seok Transparency No. 1-11
Signals&System
Periodic Signals and Aperiodic Signals
Periodic signals :
Any continuous  time signal that satisfies the condition
x(t )  x(t  mT ),
m  1, 2, 3, 
where T  0 is a constant known as the fundamental period.
Discrete - time signal : x[n]  x[n  N]  period N.
Note : fundamental period is the smallest period.
Aperiodic signals :
Any signals which are not periodic.
Jongwon Seok Transparency No. 1-12
Signals&System
Question: 임의의 두 주기함수의 합은 주기함수인가?
The sum of two periodic signals may or may not be periodic.
Consider
where
z (t )  ax(t )  by (t )
x(t )  x(t  kT1 ) and y (t )  y (t  lT2 )
and k and l are integers such that
z (t )  ax(t  kT1 )  by (t  lT2 )
In order for z (t ) to be periodic with period T, one needs
ax(t  T )  by (t  T )  ax(t  kT1 )  by (t  lT2 )
We therefore must have
T  kT1  lT2
or, equivalently,
T1 l

T2 k
Jongwon Seok Transparency No. 1-13
Signals&System
Example
We wish to determine which of the following signals are periodic.
2
t
3

2
t cos 4 t
(b) x2 (t )  sin
3
5
(c) x3 (t )  sin 3t
(a) x1 (t )  sin
(d ) x4 (t )  x1 (t )  2 x3 (t )
for these signals, x1 (t ) is periodic with period T1  3.
We can write x2 (t ) as the sum of two sinusoids with periods T21  15 / 13 and T22  15 / 7.
Since 13T21  7T22 , T2  15 . x3(t) is periodic with period T3  2 / 3.
Since we cannot find integers k and l such that kT1  lT3 , it follows that x4 (t ) is not periodic.
Jongwon Seok Transparency No. 1-14
Signals&System
Even and Odd Signals
A signal is referred to as even
if
x(t )  x(t ) or x[ n]  x[  n]
A signal is referred to as odd
if
x( t )   x(t ) or x[  n]   x[ n]
그림 1.17, 1.18
Jongwon Seok Transparency No. 1-15
Signals&System
Any Signal x(t) can be decomposed as x(t )  xe (t )  xo (t )
where xe (t ) and xo (t ) are called the even and odd part of x (t ) and
are given by
1
xe (t )  x(t )  x( t )
2
and
1
xo (t )  x(t )  x(t )
2
Example
1,
x(t )  
0,
t 0
t0
1
, all t except t  0
2
 1
 ,
t0

 2
xo (t )  
 1,
t 0

 2
xe (t ) 
The only problem here is the
value of these fucntion at t  0.
If we define x (0)  1 / 2, then
1
xe (0) 
and
2
xo (0)  0
Jongwon Seok Transparency No. 1-16
Signals&System
Example
 A exp  t ,
x(t )  
0,
t 0
t0
The even part of the signal is
1
A exp  t ,

2
xe (t )  
 1 A exp t ,

2
1
 A exp   t 
2
t 0
t0
The odd part of x (t ) is
1
A exp  t ,

2
xo (t )  
 1 A exp t ,

 2
t 0
t0
Jongwon Seok Transparency No. 1-17
Signals&System
1.3 Exponential and Sinusoidal Signals
• Complex exponential Signals
x(t )  Ceat
여기서 C와 a는 복소수.
Jongwon Seok Transparency No. 1-18
Signals&System
Periodic Exponential and Sinusoidal Signals
x(t )  e j0t
Consider
X(t)는 주기가
Note:
Consider
e
j 0 t
T0 
2
| 0 |
인 주기함수이다.
 cos  0t  sin  0t ,
 0  2 f
x(t )  A sin(  0t   )
where
A  amplitude
그림 1.20
 0  angular frequency in
  initial phase angle in
radian/s
그림 1.21
radian
2
0 
T
Jongwon Seok Transparency No. 1-19
Signals&System
Ae j ( 0t  )  A cos( 0t   )  jA sin(  0t   )
A cos(0t   )  Re{ Ae
j ( 0t  )
}  A Re{e
j ( 0t  )
}
A sin(  0t   )  Im{ Ae j (0t  ) }  A Im{e j (0t  ) }
x(t )  e j0t
Consider
T0
EPeriod   | e
0
PPeriod 
T0
| dt   1 dt  T0
j 0t 2
1
EPeriod  1
T0
0
E  
P  1
Jongwon Seok Transparency No. 1-20
Signals&System
Consider harmonic signals
k (t )  exp  jk 0t ,
e
jk 0 t
k  0,  1,  2, 
We show that for k  0,  k (t ) is periodic with fundamental period 2 / k 0
or fundamental frequency k 0
exp  jk 0 (t  T )  exp  jk 0t 
or, equivalently,
T
T
2
 0
k 0 | k |
Jongwon Seok Transparency No. 1-21
Signals&System
Example1.5
x(t )  e
Consider
x(t )  e
j 2t
 2e
e
j 2.5t
j 3t
j 2t
e
e
j 2.5t
j 3t
(e
 j 0.5t
e
j 0.5t
)
cos(0.5t )
| x(t ) | 2 | cos(0.5t ) |
Jongwon Seok Transparency No. 1-22
Signals&System
General Complex Exponential Signals
Consider
x(t )  Ceat
여기서 C와 a는 복소수.
C | C | e j , a  r  j 0
Then,
j
x(t )  Ce | C | e e
at
( r  j 0 ) t
| C | e e
rt
j ( 0t  )
• When r=0, x(t) is sinusoidal function.
• When r>0, x(t) is sinusoidal multiplied by growing
exponential.
• When r<0, x(t) is sinusoidal multiplied by decaying
exponential. => Damped sinusoids (그림1.23)
Jongwon Seok Transparency No. 1-23
Signals&System
Discrete-time Complex Exponential and Sinusoidal Signals
• Complex Exponential Signals or Sequence
x[n]  C n  Ce  n
where
• Real Exponential Signals (C and
  e
 are real)
If |  |  1, growing exponentia lly with n
If |  |  1, decaying exponentia lly with n
If   1, x[n]  C
If   1, x[n] is alternatin g between  C and  C
그림 1.24
Jongwon Seok Transparency No. 1-24
Signals&System
Sinusoidal Signals( 가 순 허수일 때)
x[n]  e
j 0 n
or A cos( 0 n   )
그림 1.25
General Complex Exponential Signals
Let
C | C | e j ,  |  | e j0
then
C n | C ||  |n cos( 0 n   )  j | C ||  |n sin(  0 n   )
|  | 1
sinusoidal
|  | 1
decaying
|  | 1
growing
그림 1.26
Jongwon Seok Transparency No. 1-25
Signals&System
Periodicity Properties of Discrete-time Complex Exponentials
• 연속 신호와 이산 신호의 차이점
연속신호
e j 0 t
(1)
 0 의 크기가 커질수록 진동률이 커진다.
(2)
 0 의 임의의 값에 대해서도 주기함수이다.
이산신호
e j 0 n
(1)
 0 의 크기가 커질수록 진동률이 커지지 않는다.
(2)
 0 의 임의의 값에 대해 주기함수가 아니다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-26
Signals&System
이산신호
(1) e
e j 0 n
j ( 0  2 ) n
e
j 2n
e
j 0 n
e
j 0 n
0  2 , 0  4 ,  에서의 함수값과 의
0 함수값이 같다.
이산 신호에서는  0 를 2 구간에서만 생각하면 된다.
0  0  2 or    0  
0과 2  , 2 의 짝수배 근처에서는 저주파(신호가 천천히 변함)
이고  의 홀수배 근처에서는 고주파이다.
그림 1.27
Jongwon Seok Transparency No. 1-27
Signals&System
(2) 이산신호에서 주기가 T라고 하면
e
jw0 ( n  N )
e
jw0 n
또는
e jw0 N  1
윗 식이 성립하려면 아래 조건이 만족되어야 한다.
0 N  2 m
0 m

2
N
또는
0
j 0 n
가 유리수이어야만 e
가 주기 함수이다.
2
0 m

2
N
를 만족하는 양의정수 m,N(서로소)이
있을 때
N은 fundamental period,
frequency가 된다.
0
m
는 fundamental
Jongwon Seok Transparency No. 1-28
Signals&System
그림 1.25
(1) x[n]  cos( 2n / 12)
fundamental period=12
매 12 point마다 x[n]이 반복됨.
(2) x[n]  cos(8n / 31)
연속신호라면 fundamental period=31/4이지만
이산 신호이므로 매 31 point마다 x[n]이 반복됨.
(3) x[n]  cos( n / 6)
연속신호라면 fundamental period=12 이지만
이산 신호에서는 비주기 함수.
Jongwon Seok Transparency No. 1-29
Signals&System
Table 1.1
e j 0t와 e j 0 n 의 비교
e j 0 t
e j 0 n
다른
 0에 대해 다른 신호임
 0 에 대해 2 만큼 떨어져 있는 신호는 같음
임의의
 0에 대해서 주기함수
fundamental frequency
fundamental period
T0 
2
0
, 0  0
0
정수 m,N에 대해 0
 2 m / N
fundamental frequency
일 때만 주기함수
0 / m
fundamental period
T0  m(
2
0
),  0  0
Jongwon Seok Transparency No. 1-30
Signals&System
Consider the signal
k [n]  e jk ( 2 / N ) n ,
k  0,  1, 
연속신호의 경우 모든 k에 대한 harmonics
이다.
/ N )t
다른 함수
 k [t ]  e jk ( 2는
k  N [n]  e j ( k  N )( 2 / N ) n  e jk ( 2 / N ) n e j 2n  k [n]
k [n]
는 k에 대해서 N개만의 다른 함수가 있다. 즉
0 [n]  1, 1[n]  e j 2n / N , 2 [n]  e j 4n / N , ,  N 1[n]  e j 2 ( N 1) n / N
위의 함수만이 서로 다르다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-31
Signals&System
1.4 The Unit Impulse and Unit Step Functions
Discrete-time case
Unit impulse
Unit step
0,
 [ n]  
1,
n0
0,
u[n]  
1,
n0
n0
n0
그림 1.28
그림 1.29
Unit step과 unit impulse의 관계
 [n]  u[n]  u[n  1]
u[n] 
n
  [ m]
그림 1.30
m  
Jongwon Seok Transparency No. 1-32
Signals&System
u[n] 
n
  [ m]
m  
윗 식에서 summation 변수를 m에서 k=n-m 으로 바꾸면
m=n-k 이고 summation 은
0

u[n]    [n  k ] 
k 
에서 0으로 바뀐다.


 [n  k ]
그림 1.31
k 0
Superposition of delayed impulses
Sifting Property
x[n] [n]  x[0] [n] and x[n] [n  n0 ]  x[n0 ] [n  n0 ]
Jongwon Seok Transparency No. 1-33
Signals&System
Continuous-time case
0, t  0
u (t )  
1, t  0
Unit step
그림 1.32
Unit step과 unit impulse의 관계
t
u (t )    ( )d ,

Unit Pulse
Unit impulse
du (t )
 (t ) 
dt
1
  (t )  (u (t )  u (t  ))

그림 1.34-36
 (t )  lim   (t )
 0
Jongwon Seok Transparency No. 1-34
Signals&System
Unit impulse의 성질
1.  (0)  
2.  (t )  0, t  0


3.  (t )dt  1

4.  (t ) is an even function; i.e .,  (t )   (t )
1.
The value at t=0 is very large and becomes infinity as  approaches zero.
2.
The duration is relatively very short and becomes zero as  becomes zero.
3.
The total area under the function is constant and equal to 1.
4.
4. The functions are all even.
Note: unit impulse의 높이 1은 unit pulse의 면적 1을 의미한다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-35
Signals&System
U(t)의 graphical interpretation of running integral
t
u(t )    ( )d
그림 1.37

위 식에서 적분 변수를

에서
  t   로 바꾸면
0


0
u(t )    (t   )( d )    (t   )d
그림 1.38
Sifting Property
x(t ) (t )  x(0) (t ),
x(t ) (t  t0 )  x(t0 ) (t  t0 )
그림 1.39
Example 1.7 (그림 1.40)
Jongwon Seok Transparency No. 1-36
Signals&System
1.5 Continuous-time and Discrete-time Systems
시스템의 예
•
RC 회로
i (t ) 
vs (t )  vc (t )
,
R
i (t )  C
dvc (t )
dt
dvc (t )
1
1

vc (t ) 
vs (t )
dt
RC
RC
• 은행잔고 모델
y[n]  1.01y[n  1]  x[n]
여기서 x[n]은 입금액, y[n]은 잔고, 1.01은 원금+이자율
Jongwon Seok Transparency No. 1-37
Signals&System
Interconnections of Systems
• Series(cascade) Interconnection
그림 1.42-44
• Parallel Interconnection
• Series- Parallel Interconnection
• Feedback Interconnection
Jongwon Seok Transparency No. 1-38
Signals&System
1.6 Basic Systems Properties
Systems with and without memory
• Systems with memory: y(t)(또는 y[n])이 t(또는 n)이전의 값에 영향을
받는 시스템
1
y (t ) 
C

t

x( )d ,
y[ n]  y[n  1]  x[n]
• Memoryless Systems: 시스템의 출력이 현재 입력의 영향만 받는 시스템
y(t )  Ri (t ),
y[n]  2 x[n]  x 2 [n]
Jongwon Seok Transparency No. 1-39
Signals&System
Invertibility and Inverse Systems
• 어떤 시스템에 다른 입력을 넣으면 출력이 다르게 나올 때 invertible하다고 한다.
• invertible한 시스템에 대해서는 inverse시스템이 존재한다.
(그림 1.45)
• noninvertible systems의 예
y[n]  0,
y(t )  x 2 (t )
Causality
• 어떤 시스템의 출력이 과거와 현재의 입력에 의해서만 결정될 때 그 시스템은
causal하다고 한다.
• 모든 memoryless 시스템은 causal하다.
Example 1.12
다음 함수에 대해 causality를 판정하라. Y[n]=x[-n],
y(t)=x(t)cos(t+1)
Jongwon Seok Transparency No. 1-40
Signals&System
Stability
정의: 입력이 bounded되어 있을 때 출력이 bounded되면 이 시스템은 stable하다.
BIBO(bounded-input bounded-output) stability
의미: 작은 입력이 가해졌을 때 출력이 발산하지 않는다.
그림 1.46
Stability 판정법
• 연속 시스템: (1) impulse response의 absolute integral이 finite한가?
(2) 전달함수의 pole이 left-half plane에 있는가?
• 이산 시스템: (1) impulse response의 absolute summation이 finite한가?
(2) 전달함수의 pole이 unit circle 내부에 있는가?
Jongwon Seok Transparency No. 1-41
Signals&System
Time Invariance
• 시스템의 출력이 시간에 따라 변하지 않으면 그 시스템은 invariant하다.
• Time Invariant System: 시불변 시스템
cf) Time varying System: 시변 시스템
Time Invariance 판정법
x(t )   y(t ) 일때 x(t  t0 )   y(t  t0 ) 인가?
Example: y[n]=nx[n],
y(t)=x(2t)
Jongwon Seok Transparency No. 1-42
Signals&System
Linearity
아래 두 조건을 만족하면 그 시스템은 linear(선형)이다.
1)
2)
x1(t)+x2(t)의 출력이 y1(t)+y2(t)이다.
ax1(t)의 출력이 ay1(t)이다.
여기서 a는
: additivity
: homogeneity 또는 scaling
복소수이다.
위의 두 식을 하나로 합치면
연속 시스템: ax1(t)+bx2(t)= ay1(t)+by2(t)
Superposition
이산 시스템 : ax1[n]+bx2[n]= ay1[n]+by2[n]
Example: y(t)=tx(t)
y1 (t )  tx1 (t ), y2 (t )  tx2 (t )
y (t )  L[ax1 (t )  bx2 (t )]  t[ax1 (t )  bx2 (t )]
선형
 atx1 (t )  btx2 (t )  ay1 (t )  by2 (t )
Jongwon Seok Transparency No. 1-43
Signals&System
y (t )  x 2 (t )
Example:
y1 (t )  x12 (t ), y2 (t )  x22 (t )
비선형
y (t )  L[ax1 (t )  bx2 (t )]  (ax1 (t )  bx2 (t )) 2
 a 2 x12 (t )  b 2 x22 (t )  2abx1 (t ) x2 (t )
 a 2 y1 (t )  b 2 y2 (t )  2abx1 (t ) x2 (t )
 ay1 (t )  by2 (t )
y[n]  Re{ x[n]}
Example:
x1[n]  r[n]  js[n]  y1[n]  r[n]
a=j로 놓으면
실제로는
L{ jx1[n]}  jx1[n]
비선형
이어야 한다. : homogeneity
L{ jx1[n]}  L{s[n]  jr[n]}  s[n]
이 된다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-44
Signals&System
Example:
y[n]=2x[n]+3
L{2(ax1  bx2 )  3}  2ax1  2bx2  3
ay1  by2  a (2 x1  3)  b(2 x2  3)
 2ax1  2bx2  3a  3b
위 두식이 다르므로 비선형이다.
: incrementally linear system
Or affine system
그림 1.46
Jongwon Seok Transparency No. 1-45
Signals&System
Signals & Systems
2. Linear Time-invariant Systems
Jongwon Seok
Changwon National University
Dept. of Information & Communication
Jongwon Seok Transparency No. 1-46
Signals&System
2.1. Discrete-Time LTI Systems: The Convolution Sum
• Representation of discrete-time signals
이산 신호는 아래와 같이 impulse를 사용하여 분해할 수 있다.
x[n]    x[3] [n  3]  x[2] [n  2]  x[1] [n  1]  x[0] [n]
 x[1] [n  1]  x[2] [n  2]  x[3] [n  3]  
x[n] 


그림 2.1
x[k ] [n  k ]
k  
Sifting Property
• 임의의 시퀀스는 [ n  k ] 의 선형조합으로 표현할 수 있다.
Ex. X[n]=u[n]이면

u[n]   u[k ] [n  k ]
k 0
Jongwon Seok Transparency No. 1-47
Signals&System
Discrete-Time Unit Impulse Response of LTI Systems
임의의 입력 x[k]에 대한 시스템의 출력에 대해 생각하자.
hk [n] 가 shifted unit impulse  [ n  k ] 에 대한 선형시스템의 출력이면
y[n] 


x[k ]hk [n]
k  
선형 시변 시스템
Recall: Superposition of linear systems
xk [n] 에 대한 선형 시스템의 출력이 yk [n]이면
x[n]   ak xk [n] a1 x1[n]  a2 x2 [n]  
k
y[n]   ak yk [n] a1 y1[n]  a2 y2 [n]  
그림 2.2
k
Jongwon Seok Transparency No. 1-48
Signals&System
• hk [n]는 k에 따라서 impulse response가 달라짐을 의미한다.
=> time-varying
의미: 시간이 k일 때 입력이 가해졌을 때 시간 n 에서의 출력.
• Time-invariant일 때는 hk [n]  h[n  k ]가 된다.
=> impulse response가 출력과 입력의 시간차에 의존한다.
• 선형 시불변 시스템에 대해서
Unit impulse Response
y[n] 


h [n]
x[k ]h [n  k ]
k  
y[n]  x[n]  h[n]
:
convolution sum
or superposition sum
Convolution
Jongwon Seok Transparency No. 1-49
Signals&System
Example 2.1
그림 2.3
Problem: 입력이 x[n]이고 impulse response가 h[n]인
시스템의 출력을 구하라.
x[n]  0.5 [n]  2 [n  1],
h[n]   [n]   [n  1]   [n  2]
첫번째 방법: x[k]와 h[n-k]의 곱을 구한 후 합을 계산
y[n] 


x[k ]h [n  k ]
k  
 x[0]h[n]  x[1]h[n  1]  0.5h[n]  2h[n  1]
 0.5{ [n]   [n  1]   [n  2]}  2{ [n  1]   [n  2]   [n  3]}
 0.5 [n]  2.5 [n  1]  2.5 [n  2]  2 [n  3]
Jongwon Seok Transparency No. 1-50
Signals&System
두번째 방법: Example 2.2
h[n-k]는 time reversal후 n만큼 shift한 신호이므로
n만큼 shift후 x[k]와 곱한 후 summation하여 y[n]을 구함.
(n을 바꾸어 주면서 y[n]을 구함)
1) n=0일 때: h(k)를 time reversal하여 x[k]와 곱하여 더함 =>y[0]
2) n=1일 때: h(k)를 time reversal하여 1만큼 shift시킨 후에 x[k]와 곱
하여 더함 =>y[1]
3) 위와 같이 n이 변함에 따라 y[n]을 구함.
그림 2.4
Jongwon Seok Transparency No. 1-51
Signals&System
Example 2.3
아래 시스템과 입력에 대한 출력을 계산하라.
h[n]  u[n],
x[n]   nu[n]
Solution: x[k]을 고정시키고 h[k]을 time reversal한 후 한 칸씩
shift시키면서(sliding) 곱한 후 summation한다.
n  0 일 때,
n  0 일 때,
y[n]  0
summation은 k를 0에서 n까지 한다.
n 1
1


y[n]   k 
1
k 0
n
위 두 경우를 합하여 하나의 식으로 나타낼 수 있다.
 1   n1 
u[n]
y[n]  
 1 
Jongwon Seok Transparency No. 1-52
Signals&System
Example 2.4
아래 시스템과 입력에 대한 출력을 계산하라.
 n , 0  n  6
h[n]  
 0, otherwise
1, 0  n  4
x[n]  
0, otherwise
1) Interval 1;
2) Interval 2;
n  0,
y[n]  0
0  n  4,
n
y[n]   n k
k 0
3) Interval 3;
4) Interval 4;
5) Interval 5;
4  n  6,
4
y[n]  
6  n  10, y[n] 
n  10,
b  a 1
x
1
k
a
x x

x 1
k a
b
k 0
4

k  n 6
y[n]  0
 n 1  1
n 1  1 /  


1  (1 /  )
 1
nk
nk
n 1
1  1 /  
 n 1   n 1


1  (1 /  )
 1
n 6
11 n
1  1 /  
 7   n4
n 1 
  

1  (1 /  )
 1
 
5
n
그림 2.8-2.10
Jongwon Seok Transparency No. 1-53
Signals&System
2.2. Continuous-Time LTI Systems:
Convolution Integral
Representation of Continuous-Time Signal in Terms of Impulses
• 임의의 신호를 pulse approximation으로 나타낼 수 있다.
xˆ (t ) 

 x(k)
k  

(t  k )
그림 2.12
1
  (t )  (u (t )  u (t  ))

여기서
x(t )  lim
 0


 x(k)
k  

(t  k)
  x( ) (t   )d
그림 2.13-14
Sifting Property

Jongwon Seok Transparency No. 1-54
Signals&System
Continuous-Time Unit Impulse Response
) 대한 LTI 시스템의 출력을
입력   (t  에
입력
xˆ (t ) 

 x(k)
k  

(t  k )
hˆ(라
k하자.
)
그러면
에 대한 출력은

yˆ (t )   x(k)hˆk (t )
이다.
그림 2.15
k  
  0
이면

x(t )   x( ) (t   )d

에 대한 출력이 다음과 같다.

y(t )   x( )h (t )d

Jongwon Seok Transparency No. 1-55
Signals&System
Convolution Integral
시스템이 선형시불변인 경우
h (t )  h(t 가
 ) 된다.

y(t )   x( )h (t   )d  x(t )  h(t )

Convolution Integral 계산방법
h(t   )는 time reversal후 t만큼 shift한 신호이므로
t만큼 shift후 x[ ]와 곱한 후 integral하여 y[t]을 구함. (t을
바꾸어 주면서 y[t]을 구함)
그림 2.17-2.22
Jongwon Seok Transparency No. 1-56
Signals&System
Example : Calculate y(t).
x(t )  A exp  t ,
0t 
h(t )  t ,
0t T
T
Solution
x(t )  h(t )  0,
t0
t 
d
0
T
 TA t  1  exp  t 
x(t )  h(t )   A exp   
t
0t T
Finally, when t  T , the signals overlap for t  T    t
t 
d
t T
T
 TA T  1  exp  T exp  (t  T )
x(t )  h(t )  
t
A exp   
t T
Jongwon Seok Transparency No. 1-57
Signals&System
x(t )  A exp  t 
h(t )
A
1
t
T
(a)
t
x( )h (t   )
h(t   )
A
x( )
t-T

0
t

0
(b)
x( )h (t   )
t-T
0

t

0
(c)
x( )h (t   )
0
t-T

t
0
t-T

t
(d)
x (t )  h(t )
A
(T  1  exp  T )
T
0
T
t
(e)
Figure Graphical interpretation of the convolution for Example 2
Jongwon Seok Transparency No. 1-58
Signals&System
Example
y (t )  rect (t / 2a)  rect (t / 2a)
0,
t  2a,

y (t )  
2 a  t ,

0,
t  2a
 2a  t  0
0  t  2a
t  2a
in more compact form,

2 a  t ,
y (t )  

0,
 2a (t / 2a )
t  2a
t  2a
Jongwon Seok Transparency No. 1-59
Signals&System
x(t   )
h(t   )
1
 3a
a
t
t
a
0
t a
t  2 a
0
a
 2a  t   a
1
a t
a
a
0
0 t
a
0ta
a t 0
1
a
0
a  t  2a
a
a t
0
t  2a
a
t
3a
y (t )
2a
 2a
0
2a
Figure Graphical solution of Example
Jongwon Seok Transparency No. 1-60
Signals&System
x(t )
Example
h(t )
1
-1
y (t )  1 (t  2) 2
2
0
1
t
1  t  0
y (t )  1  t ,
0  t 1
summarizin g,
0,

2
 (t  2 ) ,
 2
2

y (t )  1  t ,
2

1  t ,
0,


0
1
t
 2  t  1
y (t )  1  1 t 2 ,
2
-1
t  2
 2  t  1
1  t  0
0  t 1
t 1
Jongwon Seok Transparency No. 1-61
Signals&System
1
t-1
t
t+1 -1
1

0
(a)
t-1
t

t+1 0
t  2
(b)
 2  t  1
1
t+1
t-1
t
(c)
0
-1

t-1
1  t  0
(d)
0t
t+1

0  t 1
1
-1
0
(e)
Figure
t-1
t
t 1
t+1

-2
-1
0
1
t
(f)
Graphical interpretation of x(t)*h(t) for Example
Jongwon Seok Transparency No. 1-62
Signals&System
x(t)
Example
h(t)
1
1
0
0,
 2
t ,
2

y (t )  3t  t 2  3
2

2
 (3  t ) ,
 2

0,
1
2
t
-1
0
1
t
t0
0  t 1
1 t  2
2t 3
t 3
Jongwon Seok Transparency No. 1-63
Signals&System
1
1
0
t-1
t
t+1
1
0

2
t-1
t
(a) t  0

t+1
(b)
0t 1
t-1
t
1
1
0
t-1 1 t

2 t+1
0
(c) 1  t  2
(d)
t+1

2t3
y(t)
1
1
1
0
2
t-1
t
(e)
t3
t+1

0
1
2
3
t
(f)
Figure Convolution of x(t) and y(t) in Example
Jongwon Seok Transparency No. 1-64
Signals&System
2.3 Properties of LTI Systems
y[ n] 


x[ k ]h [ n  k ]  x[ n]  h[ n]
k  

y(t )   x( )h (t   )d  x(t )  h(t )

선형시스템에서는 impulse response만 알고 있으면
임의의 입력에 대한 출력을 알 수 있다.
Counter example for nonlinear system
y[n]  ( x[n]  x[n  1]) 2
Jongwon Seok Transparency No. 1-65
Signals&System
Commutative Property
x[n]  h[n]  h[n]  x[n]
Let r  n  k , then
x[ n]  h[ n] 


x[ k ]h [ n  k ]
k  



x[ n  r ]h [ r ] 
r  

 h [r ] x[n  r ]
r  
 h[ n]  x[ n]
Distributive Property
x[n]  (h1[n]  h2[n])  x[n]  h1[n]  x[n]  h2[n]
Jongwon Seok Transparency No. 1-66
Signals&System
Associative Property
x[n]  (h1[n]  h2 [n])  ( x[n]  h1[n])  h2[n]
선형 시스템이 cascade로 연결되어 있을 때에는 순서에 관계없다.
cf) 비선형 시스템
LTI Systems with and without memory
Memoryless Systems: 시스템의 출력이 현재 입력의 영향만 받는 시스템
• Discrete case:
h[n]  0 for n  0  h[n]  K [n]  y[n]  Kx[n]
• Continuous case:
h[t ]  0 for t  0  h[t ]  K [t ]  y[t ]  Kx[t ]
Jongwon Seok Transparency No. 1-67
Signals&System
y (t )  Rx (t ) : memoryless system
y (t ) 
 x( )d : memory system
t
1
C

If a system is memoryless, or instantaneous, then the input/output
relationship can be in the form
y (t )  F ( x(t ))
For linear system, this relation reduces to
y (t )  k (t ) x (t )
and if the system is also time invariant, we have
y (t )  kx(t ) where k is constant
Finite memory systemhas a memory of length T units of time
Jongwon Seok Transparency No. 1-68
Signals&System
Invertibility of LTI Systems
x(t)
y(t)
System
Figure
Inverse
system
z(t)=x(t)
Concept of an inverse system
Impulse response h(t), h[n]에 대한 inverse system의 조건은 아래
와 같다.
h(t )  h1 (t )   (t )
h[n]  h1[n]   [n]
Jongwon Seok Transparency No. 1-69
Signals&System
Example
(a ) y (t )  2 x(t )
System y (t )  2 x (t ) is invertible with inverse
z (t ) 
1
2
y (t )
This idea is demonstrated in Figure below.
x(t)
y(t)=2x(t)
System
Figure
Inverse
system
z(t)=1/2y(t)=x(t)
Inverse system for part (a) of Example
Jongwon Seok Transparency No. 1-70
Signals&System
(b) System y (t )  cos x (t ) is noninvertible
since x (t ) and x (t )  2 give the same output.
t
(c)System y (t )   x ( ) d , y (  )  0 is invertible
the inverse system is the differenti ator
d
z(t) 
y(t)
dt
(d)System y (t )  x (t  1) is invertible
inverse system is the one  unit delay
z (t )  y (t  1)
Jongwon Seok Transparency No. 1-71
Signals&System
Causality of LTI Systems
t depends only on values of
A system is causal if the output at any time
the input for
t  t0
Physically realizable systems
Condition of Causality
h[n]  0
for n  0
h(t )  0
for t  0
For Causal System
y[ n] 
n

k  

x[ k ]h [ n  k ]   h[ k ] x [ n  k ]
k 0
t


0
y(t )   x( )h (t   )d   h( ) x (t   )d
Jongwon Seok Transparency No. 1-72
Signals&System
Stability for LTI Systems
BIBO(bounded-input bounded-output) stability
Bounded-input :
Bounded-output :
| x[n]  B  n
| y[ n] | |


h[ k ] x [ n  k ] |
k  



| h[ k ] || x [ n  k ] |
k  

B

| h [k ] |
k  
BIBO stability하기 위한 조건


| h [k ] |
k  
Jongwon Seok Transparency No. 1-73
Signals&System
For bounded input x(t)  B
y (t ) 



h( ) x(t   )d



h( ) x(t   ) d  B 


h( ) d
The system is stable if



h( ) d  
 Sufficient condition for bounded input, bounded output
Suppose that the system has BIBO stability.

Let us fix t and choose as input the bounded signal x ( )  sgn h (t   )
y (t )   h( ) sgn h( )d  




h( ) d
If y(t) is unbounded, h(t) should be absolutely integrable .



h( ) d  
is necessary and sufficient condition for BIBO stability
Jongwon Seok Transparency No. 1-74

Signals&System
아래의 시스템에 대해 BIBO stability를 판정하라.
Example
(i ) h1 (t )  t exp  2t u (t )  exp 3t u (t )   (t  1)
(ii ) h2 (t )  3 exp 2t u (t )
(iii ) h3 (t )  5 (t  5)
sin 5t
(iv ) h4 (t )  10
t


h1 (t ) dt 
t exp

0


h2 (t ) dt 
3 exp

0

h (t ) dt  5
 3


 2t dt  0 exp 3t   1  19
12


2t dt
is unbounded.

and

h (t ) dt
 4

sin 5t

10

t

 20
Jongwon Seok Transparency No. 1-75
Signals&System
진동 oscillation
발산,divergence
수렴,convergence
Jongwon Seok Transparency No. 1-76
Signals&System
Unit Step Response of an LTI System
시스템의 특성을 표현하는데 Unit Step Response가 많이 사용됨.
s[n]  u[n]  h[n] 
n
 h[k ]
k  
t
s(t )   h( )d

Jongwon Seok Transparency No. 1-77
Signals&System
2.4 Differential and Difference Equations
Linear, Constant-Coefficient Differential Equations
M
d N y (t ) N 1
d N y (t )
d i x(t )

ai

bi
N
N
i
dt
dt
dt
i 0
i 0
In operator form, the last equation can be written as


M
 N N 1


i
i 
 D 
ai D  y (t )  
bi D  x(t )
i 0


 i 0

where D represents the differenti ation operator that
transform y (t ) into its derivative y (t )


y (t 0 ), y (t 0 ),  , y ( N 1) (t 0 )
Jongwon Seok Transparency No. 1-78
Signals&System
dy (t )
 ay (t )  bx(t )
dt
y (t )  y p (t )  yh (t )
The homogeneous differenti al equation
dyh (t )
 ayh (t )  0
dt
The particular solution has a solution in the form of
y p (t )   exp  a (t   )bx( )d ,
t
t0
t  t0
Therefore the general solution is
y (t )  C exp  at   exp  a (t   )bx( )d ,
t
t0
t  t0
we have to initial condition
y (t0 )  y0
Jongwon Seok Transparency No. 1-79
Signals&System
Linear, Constant-Coefficient Difference Equations
N
M
i 1
i 0
y[n]   ai y[n  i ]   bi x[n  i ]
with
Example:
특성식:
y[0], y[1],  , y[ N  1]
1
y[n]  y[n  1]   [n]
2

with
y[0]  1
1
1
 0  y[n]  A( ) n
2
2
임펄스 입력의 영향으로 초기치가 바뀐다.
y[0]  y[0]  1  y[0]  y[0]  1  2
1 0
y[0]  2  A( )  A,  A  2,
2
1 n 1
y[n]  ( )
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-80
Signals&System
Block Diagram Representations
y[n]+ay[n-1]=bx[n]
=> y[n]=-ay[n-1]+bx[n]
dy(t )
 ay(t )  bx(t )
dt
1 dy(t ) b
 y (t )  
 x(t )
a dt
a
그림 2.27-2.30
Jongwon Seok Transparency No. 1-81
Signals&System
2.5. Singularity Functions
Let’s consider some functions
r (t )    (t )    (t )
r (t )  r (t ), r (t )    (t )
r (t )
는 밑변이
이고 높이가
2
1

인 삼각형.
Example 2.16
dy (t )
 2 y (t )  x(t )
dt
에 위의 여러 함수를 입력으로 하여  를 바
꾸면서 출력을 찾아본다.
2t
  0 일 수록 출력은 모두 h(t )  e u(t )로 접근한다.
그림 2.34
Jongwon Seok Transparency No. 1-82
Signals&System
Unit Doublets and other singularity functions
dx(t )
y (t ) 
dt
 (t )
 (t )
dx(t )
y (t ) 
dt
u1 (t )
dx(t )
y (t ) 
dt
u2 (t )
2
d x(t )
 x(t )  u2 (t )  x(t )  u1 (t )  u1 (t )
2
dt
n
d
un (t )  u1 (t )  u1 (t )   u1 (t ) 
()
dt
Jongwon Seok Transparency No. 1-83
Signals&System
Example:
y[n]=2x[n]+3
L{2(ax1  bx2 )  3}  2ax1  2bx2  3
ay1  by2  a (2 x1  3)  b(2 x2  3)
 2ax1  2bx2  3a  3b
위 두식이 다르므로 비선형이다.
: incrementally linear system
Or affine system
그림 1.46
Jongwon Seok Transparency No. 1-84
Signals&System
3. Fourier Series Representation of Periodic Signals
2장: 신호를 shifted impulse의 선형조합으로 표시함.
x[n] 


x[k ] [n  k ]
k  

x(t )   x( ) (t   )d

3장: 신호를 basic signals 들의 선형조합으로 표시함.
orthogonal signals
sinusoidal functions

or complex
exponentials
주기함수의 경우
x(t ) 
ck e jk 0t

k  
Jongwon Seok Transparency No. 1-85
Signals&System
3.1 Historical Perspective
 Concept
주기함수를 삼각함수 series로 표시함.
• 바빌로니아인: 천체의 사건을 예측할 때 이런 아이디어를
사용.
• 1748년 Euler: 진동하는 현의 운동을 연구함.
임의의 시간에 현의 위치는 normal mode의
선형조합으로
표시할 수 있음을 알았다. 선형조합의 계수를 계산함.
• 1753년 Bernoulli: 현의 모든 운동이 normal mode의
선형조합
으로 표시할 수 있다고 주장. Not widely accepted.
• 1759 Lagrange: 현의 운동의 연구에 trigonometric
Jongwon Seok Transparency No. 1-86
series의
Signals&System
• 1807 Fourier: 임의의 주기함수를 trigonometric
series로 표시할 수 있음을 보임.
• 1829 Dirichlet: 주기함수가 Fourier series로 표시할 수
있는 조건을 제시함. Fourier series의 수학적인 이론을
제공.
Fourier series는 수학, 과학, 공학 등 다른 분야에 많은 영향을
주었다.
integration, point-set topology, eigenfunction
• 이산 신호에 관한 연구는 별도로 다른 사람들에 의해
expansion
진행되었다.
• Interpolation, integration, differentiation에 사용하기 위한
이산 데이터의 군사화에 관한 내용은 1600년대에 연구됨.
• 천체 운동을 예측하는 문제(관측 데이타는 이산 신호임)는
harmonic time series의 연구를 촉진시킴. Gauss 등.
• 1965년 Cooley와 Tukey: FFT(Fast Fourier Transform)
알고리즘
Jongwon Seok Transparency No. 1-87
Signals&System
3.2 The Response of LTI Systems to Complex Exponentials
 Basic signal이 갖는 특성
1) 넓고 유용한 클래스의 신호를 만드는데 사용될 수 있어야
한다.
2) 각 신호의 출력이 simple해야 한다.
 Basic signal로
complex exponentials를 사용함.
e st  H ( s)e st
z n  H ( z) z n
여기서
s, z는복소수
e st , z n 는 eigen function,
H ( s), H ( z )는 eigen value라고한다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-88
Signals&System
e st  H ( s)e st , z n  H ( z ) z n 의
1) Let x(t )  e st
증명
then




y(t )   h( ) x (t   )d   h( )e
y(t )  H (s)e
st
s ( t  )
d  e
st



h( )es d

H (s)   h( )es d
where

2) Let x[n]  z n then
y[n] 


h[k ]x[n  k ] 
k  
y[n]  H ( z ) z


h[k ]z
k  
n
where
nk
z

n

h[k ]z  k
k  
H ( z) 


h[k ]z  k
k  
Jongwon Seok Transparency No. 1-89
Signals&System
For continuous LTI systems
x(t )   ak e
sk t
y (t )   ak H ( sk )e
k
sk t
k
For discrete-time LTI systems
x[n]   ak z
k
n
k
y[n]   ak H ( zk ) zkn
k
LTI 시스템의 입력이 complex exponentials의
선형조합으로 주어지면 출력도 같은 complex
exponentials의 선형조합으로 주어진다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-90
Signals&System
Example 3.1
1)
시스템 :
y (t )  x(t  3),
입력 : x(t )
 e j 2t
y (t )  x(t  3)  e j 2 ( t 3)  e  j 6 e j 2t  H ( j 2)e j 2t

H ( s )    (  3)e  s d  e 3 s  H ( j 2)  e  j 6

2)
시스템 :
y (t )  x(t  3),
입력 : x (t )
 cos( 4t )  cos(7t )
y (t )  x(t  3)  cos( 4(t  3))  cos(7(t  3))
이 경우 옆의 식이 맞는지
확인:
1
1
1
1
x(t ) 
e j 4t 
e  j 4t 
e j 7t 
y (t )   ak H ( sk )e sk t
k
e  j 7t
2
2
2
2
1
1
1
1
y (t )  e  j12e j 4t  e j12e  j 4t  e  j14e j 7 t  e j14e  j 7 t
2
2
2
2
1 j 4 ( t 3)
1 j 7 ( t 3)
 j 4 ( t 3)
 (e
e
)  (e
 e  j 7 ( t 3) )  cos( 4(t  3))  cos( 7(t  3))
2
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-91
Signals&System
3.3 Fourier Series Representation of
Continuous-time Periodic Signals
Orthogonal Signals
 Ek ,
b
*
 (t ) k (t )dt  
a l
0,

lk
lk
 Ek  (l  k )
1,
 (l  k )  
0,
lk
lk
Jongwon Seok Transparency No. 1-92
Signals&System
Fact : The following set of signals constitutes an orthonormal set over the
interval    t   :
sin t

Proof :



m
,
sin 2t

,
sin 3t



(t ) (t ) dt   (sin mt )(sin nt )dt
*
n


1
2


 ,

 0,


sin t sin 2t




0
sin t sin t



 cos(t )dt   cos(3t )dt

mn

dt
1
2


mn


1
2

  cos( m  n)tdt    cos( m  n)tdt
1
2


dt

1
2

 cos(0t )dt   cos(2t )dt

1
2

1
Jongwon Seok Transparency No. 1-93
Signals&System
1 (t )
 2 (t )
1
1
2
0

 3 (t )
1
2
1
2
t
0
1
2
3
t
0
1
2
3
t
1
2
Figure Three orthonormal sinals.
The signal  (t )  exp  j (2kt) / T ,
k
set on the interval (0, T ) because

T
0
 l (t ) (t )dt 
*
k
k  0,  1,  2,  , form an orthogonal
 j (2lt ) 
  j (2kt) 
exp 
exp
dt



0
T
 T 


lk
T ,

lk
 0,

T
Therefore (1/ T ) exp [(j2πkt)/T]  orthonomal set over 0  t  T
Jongwon Seok Transparency No. 1-94
Signals&System
Harmonically Related Complex
Exponentials
 jk (2t ) 
,

 T

 (t )  e jk t  exp 
0
k  0,  1,  2, 
Linear Combinations Harmonically Related Complex
Exponentials
x(t ) 

a e
k  
k
jk 0t
 jk (2t ) 
  ak exp 

T

k  

Fourier Series Representation
Jongwon Seok Transparency No. 1-95
Signals&System
Example 3.2
아래 신호를 생각하자.
x(t ) 
3
jk 2t
a
e
,
 k
k  3
여기서
a0  1, a1  a1
1
1
1
 , a2  a 2  , a3  a3 
4
2
3
1 j 2t
1 j 4t
1 j 6t
 j 2t
 j 4t
x(t )  1  (e
e
)  (e
e
)  (e
 e  j 6t )
4
2
3
1
2
 1  cos( 2t )  cos( 4t )  cos(6t )
2
3
그림 3.4
Jongwon Seok Transparency No. 1-96
Signals&System
Complex exponential 함수에서 sinusoidal 함수 유도

X(t)가 실수함수라고 가정하자. 그러면x(t )  x (t )
이므로



x(t ) 
jk 0t
a
e

 k
k  
x(t ) 

 ak e
jk 0 t
k  

*  jk 0t
a

 ke
k  
1
 ak e
k  
jk 0t
jk 0t
*
*
a
e

a

a
 k
k
k
k  

 a0   ak e jk 0t
k 1


k 1
k 1
 a0   ( ak e jk 0t  a k e  jk 0t )  a0   ( ak e jk 0t  ak* e  jk 0t )

 a0  2 Re{ak e
k 1
jk 0t

}  a0  2 Re{ Ak e j ( k 0t  k ) }
k 1

 a0  2 Ak cos( k 0t   k )
k 1
Let ak  Ak e j k
Jongwon Seok Transparency No. 1-97
Signals&System
Determination of the Fourier Series Coefficients

x(t ) 
jk 0t
a
e
 k
k  
Problem: Find a k from x(t).
윗 식의 양변에 e
 jn 0 t
적분한다.
T
T
 jn 0t
dt  
 x(t )e
0
0



k  
Note that
T

0
1
 ak 
T
e


jk 0t  jn 0t
a
e
 k e dt
k  
T
ak  e j ( k  n ) 0t dt  anT
0
j ( k  n ) 0t
T
0
를 곱하고 0에서 T까지
T ,
dt  
 0,
k n
kn
x(t )e  jk 0t dt
Jongwon Seok Transparency No. 1-98
Signals&System
Fourier Series Representation of
Continuous-time Periodic Signals
x(t ) 

a e
k  
1
ak 
T

T
0
jk 0t
k
x(t )e
 jk 0t


a e
k  
1
dt 
T
jk ( 2 / T ) t
k

T
0
x(t )e  jk ( 2 / T ) t
Jongwon Seok Transparency No. 1-99
Signals&System
Example 3.3
x(t )  sin(  0 t )
1 j 0 t 1  j 0 t
sin(  0 t ) 
e

e
2j
2j
1
1
 a1 
, a1  
, ak  0, k  1 or  1
2j
2j
Jongwon Seok Transparency No. 1-100
Signals&System
Example 3.5
| t | T1
1,
x(t )  
,
0, T1 | t | T / 2
1 T1
2T1
a0   dt 
T T1
T
1 T1  jk 0t
1
ak   e
dt 
e  jk 0t
T T1
jk 0T

그림 3.6
x(t )  x(t  T )

T1
T1
 e jk 0T1  e  jk 0T1 



k 0T 
2j

2
2 sin( k 0T1 ) sin( k 0T1 )

, k0
k 0T
k
그림 3.7
주기가 커질수록 주파수가 촘촘해진다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-101
Signals&System
Exampl
e
1  t  0
 K ,
x (t )  
0  t 1
K ,
1 T
2 n t 

an   x (t ) exp  j
dt
T 2

0
T
T 

x(t )
K

-1
1
t
1
2
1

1
x(t ) exp  jnt dt
0
1

   K exp  jnt dt   K exp  jnt dt 
 1

0
1
2
-K
 1  exp  jn  exp  jn   1 



jn
 jn


 jnK 1  12 exp  jn   exp  jn 

K
2
 2jnK ,

0,
n odd
n even
• 일반적으로 푸리에 계수는 복소수이다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-102
Signals&System
-5
-4
2
-1
0
1
2
n odd
3
2
4
5
n
2K

 n ,
an  

0,
n even
-4
3
The amplitude spectrum is
(a)
 2jnK ,
an  
0,
-5
3
-1
0
(b)
1
2
3
4
  2 ,

an  0,
 ,
2
5
n odd
n even
n
n  (2m  1), m  1, 2 
n  2m, m  0, 1, 2 
n  (2m  1) , m  1, 2, 
Fig Line spectra for the periodic signal x(t) of Example
(a)Magnitude spectrum and (b) phase spectrum.
Jongwon Seok Transparency No. 1-103
Signals&System
3.4 Convergence of the Fourier Series
DIRICHLET CONDITIONS(1829)
h T
h
For the Fourier series to converge,

1. x(t) is absolutely integrable : that is,
1
an 
T

T
0
2nt 
1

x(t ) exp  j
dt

T 
T

 an  
x(t ) dt  
 x(t ) dt  
T
X(t)
Periodic signal that
violates first condition
1
x(t )  , 0  t  1, x(t )  x(t  1)
t
-2
-1
0
1
2
t
Jongwon Seok Transparency No. 1-104
Signals&System
2. x(t) has only a finite number of maxima and mininma.
Periodic signal that
satisfies first condition, but
violates second condition
x(t )  sin(
2
), 0  t  1
t
3.The number of discontinuities in x(t) must be finite.
그림 3.8
At the points of discontinuity, the sum of the series is the average
of the left-and right-hand limits of x(t) at t0; that is,

x(t0 )  1 x(t0 )  x(t0 )
2

Jongwon Seok Transparency No. 1-105
Signals&System
Gibb’s Phenomenon(1899)
그림 3.9
• 1898 Albert Michelson이 square wave의 불연속
부분에서 Fourier series의 partial sum이 N이
증가하더라도 잘 수렴하지 않는 것을 발견함. 불연속 부분의
ripple의 peak가 줄지 않음을 발견함. (불연속 높이의 9%)
• Square wave는 DIRICHLET CONDITION을 만족함.
• 불 연속 점을 제외하면 모든 partial sum이 수렴함.
(오차의 에너지가 0)
• Gibb’s Phenomenon: 불연속 신호의 절삭된 Fourier
series 근사값은 불연속 주위에서 고주파수의 ripple과
overshoot를 보인다.
• 실제 실험에서 ripple의 total energy를 아주 작게
만들려면 N을 아주 크게 해야 한다.
• N -> ∞ 로 가면 partial sum이 square wave로 수렴한다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-106
Signals&System
3.5 Properties of Continuous-time Fourier Series
Linearit
y
If
FS
x(t )  ak ,
FS
y(t )  bk
FS
the z (t )  Ax(t )  B y(t )  Aak  Bbk
n
Time
shifting
FS  jk t
FS
0 0
If x(t )  ak ,
the x(t  t0 )  e
ak  e  jk ( 2 / T )t0 ak
n
Proo F[ x(t  t0 )]  1 x(t  t0 )e  jk 0t dt

T
T
f
Let   t  t0
1
 jk 0 (  t0 )
 jk 0t 0 1
 jk 0
  x( )e
d e
x
(

)
e
d

T T
T T
 e  jk 0t0 ak
Jongwon Seok Transparency No. 1-107
Signals&System
Time
reversal FS
If x(t )  ak , the
n
Proo
f
FS
x(t )  ak
Let   t
1
1
 jk 0t
F[ x(t )]   x(t )e
dt   x( )e jk0 d a k
T T
T T
ak  ak
Note: x(t)가 우함수이면a k  ak
이고 기함수이면
이다.
Time
scaling FS
FS
If x(t )  ak , the x(t )  ak ,
n
T /
Note: x(t)가 Time scaling되면 주기가
가 되고
0
fundamental
frequency가
가 되며 Fourier
coefficient는 변하지 않는다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-108
Signals&System
Conjugation and Conjugate
Symmetry
FS
FS *
*
the
x (t )  a k
If x(t )  ak ,
n
Proo
f

x(t )   ak e jk 0t 의 양변에 complex conjugate를
k  
취하면
x (t ) 
*

a e
k  
•
•
•
*  jk 0t
k

jk 0t
*
a
e
 k

k  
x(t )  x (t이면,
)
x(t ) 가 real 이면,a
*
ak  a
*
k

: conjugate symmetric
is real, | ak |  | a k |
*
x(t )
a

a

a

a
가 real and even 이면 k
k
k
k
0
a k 가 real and even
Jongwon Seok Transparency No. 1-109
Signals&System
Parseval’s
Relation
The average power of a periodic signal x (t )
1
P
T

2
T
x(t ) dt


The complex exponentia l signal x (t )  ak exp jk  0t with frequency
2
as its average power. The relationship between the average
k 0 has ak
power of a periodic signal and the power in its harmonics is one form
of Parseval' s theorem.
1
T
1
T

T

ak e
x(t ) dt 
2
T
jk 0t 2

 ak
2
k  
1
dt 
T

ak dt | ak |2
2
T
Table 3.1
Jongwon Seok Transparency No. 1-110
Signals&System
Jongwon Seok Transparency No. 1-111
Signals&System
Example
3.6
Example 3.5의 그림을
x(t)라 하면(T=4)
g (t )  x(t  1)  1 / 2
F[ x(t )]  ak , F[ x(t  1)]  ak e  jk / 2
ak e  jk / 2 , for k  0
1

F[ x(t  1)  ]  
1
a0 
for k  0
2

2

a k를 대입하면
 sin( k / 2)  jk / 2

e
, for k  0
g k  F[ g (t )]  
k

0
for k  0

Jongwon Seok Transparency No. 1-112
Signals&System
x(t )
Example
3.7
주기 T=4 인 옆의 함수의
푸리에 계수를 구하라.
1
t
-2
2
Solution: 옆의 함수는 Example 3.6의 적분 임을
이용한다.
gk
F[ x(t )]  F[ g (t )] / jk 0 
jk / 2
 2 sin( k / 2)  jk / 2
e
, for k  0

2
xk   j (k )

1/ 2
for k  0

Jongwon Seok Transparency No. 1-113
Signals&System
Example
3.8

x(t )    (t  kT )
Impulse train
k  
x(t):
1 T /2
1
 jk 2t / T
xk    (t )e
dt 

T
/
2
T
T
x(t )
1

-T
1
x(t ) 
T

T


e jk 2t / T
k  
그림 3.12(b)와 같은 pulse train g(t)의 푸리에 계수를 위의
Impulse train을 사용하여 구할 수 있다.
그림3.12로부터 다음을얻을 수있다.
g ' (t )  q (t ), q (t )  x(t  T1 )  x(t  T1 )
2 j sin( k 0T1 )
1 jk 0T1
[e
 e  jk 0T1 ] 
T
T
2 j sin( k 0T1 ) sin( k 0T1 )
qk  jk 0 g k로부터 g k  qk / jk 0 

, k 0
jk 0T
k
g k  2T1 / T , k  0
 qk  e jk 0T1 xk  e  jk 0T1 xk 
Jongwon Seok Transparency No. 1-114
t
Signals&System
3.6 Fourier series Representation of Discrete-time
Periodic Signals
Consider the following four cases.
• Continuous, periodic
signal
• Continuous, aperiodic
signal
• Discrete, periodic signal
x
(t
)
• Discrete, aperiodic signal
Time Domain
• Fourier series
• Fourier Transform
• Discrete Fourier series
• Discrete Fourier
Transform
X ( )
Frequency
Domain
Jongwon Seok Transparency No. 1-115
Signals&System
Discrete-time Periodic
Signals
x[n]  x[n  N ]
• Fundamental period 는 위의 식을 만족하는 최소의 N이다.
 0  2 / N
• Fundamental frequency는
이다.
• Discrete-time complex exponential signal도 주기 N인
주기함수이다. jk 0 n
jk ( 2 / N ) n
 k [ n]  e
e
,
k  0,  1,  2, 
k [n]
위 식은 N이 주기인 함수이므로 x[n]을 표시할 때 N개의
만 필요하다. 이 때 notation k=<N>을 사용한다.
x[n]   akk [n]   ak e
k

 ak  k [ n ] 
k  N 
k
jk 0 n
  ak e
jk ( 2 / N ) n
k
jk 0 n
a
e

 k
k  N 
jk ( 2 / N ) n
a
e
 k
k  N 
Discrete
Fourier
Jongwon Seok Transparency No. 1-116
Signals&System
X[n]을 Discrete Fourier series로 표시할 때 푸리에 계수를
구하라.
x[n]   akk [n]
k
1) 방정식을 푸는 방법
x[0] 
a
k  N 
x[1] 
a
k  N 
k
jk ( 2 / N )
e
k

x[ N  1] 
j 2k ( N 1) / N
a
e
 k
k  N 
위의 연립 방정식을 풀어
ak
를 구한다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-117
Signals&System
n 곱해서 n에 대해 summation함.
2) 위 식에 e  jr ( 2 / N )를
Fact:

e
jk ( 2 / N ) n
k  N 
 jr ( 2 / N ) n
x
[
n
]
e


k  N 

 
n  N  k  N 
 ak
k  N 
1
ar 
N
k  0,  N ,  2 N ,
N ,

 0,
otherwise
ak e j ( k  r )( 2 / N ) n
j ( k  r )( 2 / N ) n
e
 Nar

n  N 
 jr ( 2 / N ) n
x
[
n
]
e

k  N 
Jongwon Seok Transparency No. 1-118
Signals&System
Discrete Fourier
series
x[n] 
jk 0 n
a
e

 k
k  N 
1
ak 
N
ak
 x[n]e
n  N 
jk ( 2 / N ) n
a
e
 k
k  N 
 jk 0 n
1

N
 jk ( 2 / N ) n
x
[
n
]
e

n  N 
는 x[n]의 spectral coefficient라고 한다.
ak  ak  N
Jongwon Seok Transparency No. 1-119
Signals&System
Example 3.10
x[n]  cos(0 n)
Consider the
signal 2
1)  0 
N
,
여기서 N은 fundamental period 이며 정수이다.
x[n]  cos( 0 n) 
1 j ( 2 / N ) n
1 j ( 2 / N ) n
e

e
2j
2j
1
1
a1 
, a1  
2j
2j
2M
2)  0 
,
N
N=5일 때: 그림 3.13
여기서 M , N은 정수이며 서로소 (coprime) 이다.
1 jM ( 2 / N ) n
1 jM ( 2 / N ) n
x[n]  cos( 0 n) 
e

e
2j
2j
1
1
M=3, N=5일 때: 그림 3.14
aM 
, a M  
2j
2j
a3 
1
1
, a 3  a2  
2j
2j
Jongwon Seok Transparency No. 1-120
Signals&System
Example 3.12
Consider a discrete-time periodic square wave 그림
3.16.
N1
1
ak 
N
m  n  N1 으로
1
ak 
N
2 N1


e  jk ( 2 / N ) n
n   N1
놓고 정리해 보면
e  jk ( 2 / N )( m  N1 )
m 0
1 jk ( 2 / N ) N1 2 N1  jk ( 2 / N ) m
 e
e

N
m 0
1 jk ( 2 / N ) N1  1  e  jk 2 ( 2 N1 1) / N

 e
 jk ( 2 / N )
N
1

e

 1 sin[ 2k ( N1  1 / 2) / N ]
 
sin[ k / N ]
 N
k  0,  N ,  N , 
2 N1  1
ak 
, k  0,  N ,  2 N , 
N
그림 3.17
Jongwon Seok Transparency No. 1-121
Signals&System
연속 주기신호와 이산주기 신호의
비교
• 그림 3.9에서 보인 Gibb’s phenomenon이 그림
3.18(이산 주기 신호의 partial sum)에서는 볼 수 없다.
xˆ[n] 
M

k  M
ak e jk ( 2 / N ) n
• 그림 3.16: N=9, 2N1 +1=5 에서 M=4일 때xˆ[ n] 이x[n ] 으로
수렴함.
• 이산 주기신호의 경우 convergence문제가 없다.
<= x[n]이 N개의 파라메타에 의해서 specified 된다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-122
Signals&System
Jongwon Seok Transparency No. 1-123
Signals&System
3.7 Properties of Discrete-time Fourier Series
FS
Suppose that x[n]  ak
and
FS
y[n]  bk
FS
Multiplicati
on
x[n] y[n]  d k 
a b
l  N 
l k l
FS
First
Difference
Parseval’s
Relation
x[n]  x[n  1]  (1  e  jk ( 2 / N ) )ak
1
N

x[n]
k  N 
2

 ak
2
k  N 
Jongwon Seok Transparency No. 1-124
Signals&System
Example 3.13
Problem: 그림 3.19 (a)의 Discrete-time Fourier coefficient를
구하라.
Solution: (a)는 (b)와 (c)의 합으로 나눌 수 있으므로 (b)와 (c)의
계수를 각각 구해서 더한다.
 1 sin[ 3k / 5]
, k  0,  5,  10, 


b  5 sin[ k / 5]




0,
ck  
 1,
k
3
,
k  0,  5,  10, 
5
k  0,  5,  10, 
k  0,  5,  10, 
 1 sin[ 3k / 5]
,

 5 sin[ k / 5]
ak  bk  ck  
8

,

5

k  0,  5,  10, 
k  0,  5,  10, 
Jongwon Seok Transparency No. 1-125
Signals&System
3.8 Fourier Series and LTI Systems
e
st
zn
여기서
LTI 연속 시스템
y(t )  H ( s)e st
LTI 이산 시스템
y[n]  H ( z ) z n

H ( s)   h( )e  s d and

H ( z) 


h[k ]z  k
k  
H(s) 와 H(z)는 system function 또는 transfer function이라
부른다.
H(s): impulse response h(t)의 Laplace
Transform
H(z): impulse response h[n]의 Z-Transform
Jongwon Seok Transparency No. 1-126
Signals&System
Continuous-time Case
s  j로놓으면 e  e
st
j t
이다.

H ( j )   h( )e j d : frequency response


jk 0t
a
e
 k
x(t ) 

y (t ) 
jk 0t
a
H
(
jk

)
e
 k
0
k  
k  
Discrete-time Case
ze
j
j
로놓으면
H (e ) 


z e
n
jn
이다.
h[k ]e  jn
k  
Jongwon Seok Transparency No. 1-127
Signals&System
Example
3.16
x(t ) 
3
아래 신호를
생각하자.
jk 2t
a
e
,
 k
k  3
여기서
a0  1, a1  a1 
1
1
1
, a2  a 2  , a3  a3 
4
2
3
1 j 2t
1
1
(e
 e  j 2t )  (e j 4t  e  j 4t )  (e j 6t  e  j 6t )
4
2
3
1
2
 1  cos( 2t )  cos( 4t )  cos(6t )
2
3
x(t )  1 
위의 신호가 impulse response가h(t )  e t u (t )
인
LTI시스템의 입력으로 들어갈 때 Fourier Coefficient와
출력을 구하라.

1
  j
H ( j )   e e
d 
0
1  j
Jongwon Seok Transparency No. 1-128
Signals&System
Remember bk  ak H ( jk 2 )
1
with H ( j ) 
1  j
b0  1
b1 
1 1

4  1  j 2

1 1
, b1  
4  1  j 2




b2 
1 1

4  1  j 4

1 1
, b 2  
4  1  j 4




b3 
1 1

4  1  j 6

1 1
, b3  
4  1  j 6




and
y (t ) 
3

k  3
bk e
jk 2t
3
 1  2 Dk cos( 2kt   k )
k 1
Di | bi |,  i  bi
예를 들어
D1 | b1 |
1
4 1  4 2
, 1  b1   tan 1 (2 )
Jongwon Seok Transparency No. 1-129
Signals&System
Exampl
e
Problem:
아래 시스템에 대해서 입력 x(t)=cos(t)에 대한 steady state
solution을 구하라.
dy (t )
 y (t )  cos(t )
dt
h(t )  e t u (t )
Solution: 위 시스템의 impulse response는
전달함수는
1
H ( j ) 
1  j
이고
이다.
1
1
1

yss (t ) |
| cos(t  
)
cos(t  )
1 j
1 j
4
2
Note: steady state solution은 particular solution과
같고
homogeneous solution은 transient solution과
같다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-130
Signals&System
Example
3.17
아래 LTI 시스템과 입력에 대해서 출력을
구하라.
impulse response : h[n]   nu[n],  1    1
n
x[n]  cos(
input :
2
)
Solution

H ( j )    e
n
 j n
n 0
If we write
1
1  e
j

2
  (e
n 0
1
1  e

j

 re j
 j
1
) 
1  e  j
n
then
y[n]  r cos(
2
1
1
j (  tan 1 ( ))


e
2
1 j
1
y[n] 
1
1 2
cos(
n
2
n
2
 )
 tan 1 ( ))
Jongwon Seok Transparency No. 1-131
Signals&System
3.9 Filtering
• Frequency shaping filter:
frequency response 의 모양을 필요에 맞게 만들어 주는
필터
예) 오디오 시스템에서 low frequency energy (bass)와 high
H ( j조절해
)  j 줄 수 있다. Equalizer의
frequency energy (treble)을
사용.
예) Differentiating filter:
Picture processing에서 edge를 선명하게 해준다.
그림은 이차원 데이터로 볼 수 있고 좌표의 밝기를 저장한다.
수직, 수평으로 주기적인 그림이 있을 때 밝기의 변화가 작은
1
1
것은
h[n]저주파,
 ( [n]변화가
  [n 큰
1]),것은
 H고주파로
(e j )  (표시됨.
1  e  j )  e  j / 2 cos( / 2)
2
2
예)저주파
이산 필터,
y[n]=(x[n]+x[n-1])/2
입력은aqveraging,
1로 고주파 입력은
0으로 간다.그림 3.22-25
Jongwon Seok Transparency No. 1-132
Signals&System
• Frequency-selective filters
Ideal filters: passband, stopband
종류: low-pass filter, high-pass filter, band-pass filter
응용: 노이즈 제거, 원하지 않는 신호제거
통신의 demodulation 등
그림 3.26-28
Jongwon Seok Transparency No. 1-133
Signals&System
3.10 Examples of continuous-time filters
• Frequency-selective filter는 LTI 시스템으로 구현될 수
있다.
RC회로, RL회로, RLC회로
• Simple RC low-pass filter: RC직렬회로에서 C의
전압을 출력으로
dvc (하면
t ) low-pass filter가 된다.
RC
dt
vs (t )  e j t 로
RC
d
dt
[H (
 vc (t )  vs (t )
놓으면
vc (t )  H ( j )e j t가 된다.
j  ) e j  t ]  H ( j  ) e j  t  e j t
1
 H ( j ) 
,
1  RCj 
1
h(t ) 
e
RC

t
RC
u (t )
Jongwon Seok Transparency No. 1-134
Signals&System
Magnitude : | H(j  ) |
1
1  (RC  )
2
,
Phase angle : H(j  )  -tan -1 ( RC  )
Step response :
s (t )  [1  e

t
RC
그림 3.30-3.31
]u (t )
•Simple RC high-pass filter: RC직렬회로에서 R의
전압을 출력으로 하면 high-pass filter가 된다.
vs (t )  e j t 로
RC
d
dt
[H (
놓으면
j ) e
j t
vr (t )  H ( j )e j t가 된다.
]  H ( j )e
jRC
 H ( j ) 
,
1  jRC
j t
 RC
d
dt
[e
j t
]
t
1  RC
h(t )   (t ) 
e u (t )
RC
t
1  RC
s (t ) 
e u (t )
Jongwon
RC Seok Transparency No. 1-135
Signals&System
3.11 Examples of discrete-time filters
• IIR (infinite impulse response) filter: impulse
response가 infinite length를 갖는 필터.
• FIR (infinite impulse response) filter: impulse
response가 finite length를 갖는 필터.
• IIR filter: recursive, ARMA (auto regressive and
moving average) model
• FIR filter: non recursive, MA (moving average)
N
M
model
ARMA model :  a k y (n  k )  b r x(n  r )
k 0
r 0
M
MA model : y (n)   b r x(n  r )
r 0
위 모델에 따라서 필터 구현 용이성, 필터 차수, 복잡도
등이 달라진다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-136
Signals&System
• First order recursive discrete-time filter
y[n]  ay[n  1]  x[n] :
x[n]  e j n으로
놓으면
IIR Filter
y[ n ] 
H (e j )e j n가 된다.
H ( j )e j n  aH ( j )e j ( n 1)  e j n
n 1
1
1

a
n
 H (e j ) 
,
h
[
n
]

a
u[n], s[n] 
u[n]
 j
1  ae
1 a
 0<a<1 이면 low-pass filter
 -1<a<0 이면 high-pass filter
 |a|>1 이면 unstable.
 a의 크기는 filter pass-band의 크기를 결정함.
 |a|가 작을수록 pass band가 커짐.
 |a|가 작을수록 응답이 빨라짐.
Jongwon Seok Transparency No. 1-137
Signals&System
• Non-recursive discrete-time filter
MA model : y (n) 
M
b
x[n  k ]
: weighted
average
k  N
위와 같은 모델도 frequency selective filtering에 사용될 수
있다.
Example: FIR Filter
k
1
( x[n  1]  x[n]  x[n  1])
3
1
h[n]  ( [n  1]   [n]   [n  1])
3
1 j
1
j
 j
H (e )  (e  1  e )  (1  2 cos  )
3
3
y[n] 
그림 3.35-36
Jongwon Seok Transparency No. 1-138
Signals&System
Example: FIR
Filter
x[n]  x[n  1]
;
high pass filter
2
 [n]   [n  1]
h[n] 
2
1
j
H (e )  [1  e  j ]  je j / 2 sin(  / 2)
2
y[n] 
의 특성을 보임.
• FIR filter는 항상 stable하다.
• Moving average에서 N>0 이면 noncausal이지만
신호의 후처리시에는 문제가 되지 않지만 real-time
processing일
때는
N 0
이어야 한다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-139
Signals&System
4. The Continuous-time Fourier Transform
4.1 Representation of Aperiodic Signals
아래 신호에 대해서 주기신호를 만들어 주기 T를 증가시켜
가면서 변화를 관찰하자.
| t | T1
1,
x(t )  
0, T1 | t | T / 2
그림 4.1,4.2
Increasing T has two effects on the spectrum of x(t)
:
1) The amplitude of the spectrum decreases as 1/T,
2) The spacing between lines decreases as
2 / T
As T approaches infinity, the spacing between lines approaches zero.
~
x (t )
위의 신호 x(t)와 주기신호
에 대해서 다음 관계가
성립한다.
1
~
x (t )  ak ,
x(t )  X ( j ) 일때 a  X ( j ) |
k
T
  k
0
Jongwon Seok Transparency No. 1-140
Signals&System
Fourier Transform 유도
Consider the following
~
x (t ) 

a
n  
where
signal
1
an 
T

n
exp  jn 0t 
~
x (t ) exp  jn 0t  dt
T /2
T / 2
In the limit as T   , we see that  0  2 / T becomes an infinitesi mally small quantity.
1
dω

T
2π
We argue that in the limit , n 0 should be a continuous variable
an 
d
2


t  
~
x (t ) exp  jt  dt
in the limit the sum becomes an integral and ~
x (t) approaches x(t)
x (t ) 
  x (t ) exp  jt  dt  exp  jt  d
   t 

2

1
x (t ) 
2
X ( ) 






X ( ) exp  jt  d
x (t ) exp  jt  dt
Jongwon Seok Transparency No. 1-141
Signals&System
Convergence of Fourier Transforms
Dirichlet Condition
(1)x(t) is absolutely integrable,
(2) x(t) has a finite number of maxima and minima within any
finite interval
(3) The number of discontinuities in x(t) must be finite within
위의
존재하기
위한
any조건은
finite Fourier
interval.Transform이
Each of these
discontinuities
must be
충분조건이다.
finite . 4.1
Example
Consider a
signal 
x(t )  e  at u (t ),
X ( j )   e e
0
 at
 j t
a  0.
1
dt  
e ( a  j ) t
a  j
| X ( j ) |
1
a2   2


0
1

, a0
a  j
, X ( j )   tan 1 ( / a )
Jongwon Seok Transparency No. 1-142
Signals&System
Example 4.3
Consider a
signal
x(t )   (t ).

X ( j )    (t )e j t dt  1
0
Example
Problem: When x(t)=1, find
X(ω).
1 
Consider x (t ) 
X ( ) exp  jt  d .



2
1
Let X ( )   ( ), then x (t ) 
.
2
x (t )  1  X ( )  2 ( )
Jongwon Seok Transparency No. 1-143
Signals&System
Example
Find the Fourier Transform of the periodic signal x(t)
x(t ) 

  (t  nT )
n  
1
an 
T

T
x(t ) 

x(t ) exp 


n  
1
T
exp
j 2nt
T
dt 
1
T
 
j 2nt
T
Recall that x(t )  1  X ( )  2 ( )
2
 X ( ) 
T

2n






T
n  
Jongwon Seok Transparency No. 1-144
Signals&System
1, | t | T1
x(t )  
0, | t | T1
Example 4.4
T1
X ( j )   e
T1
 j t
dt  2
sin T1
x (t )

X ( )
2T1
1
 T1
 T1
T1
t
0

T1
Figure Fourier transform of a rectangular pulse
Jongwon Seok Transparency No. 1-145

Signals&System
1, |  | W
X ( j )  
0, |  | W
Example 4.5
1
x(t ) 
2
W1

W
e
j t
x(t ) 와 X ( ) 사이에는
dual
관계가 있다.
sin Wt
dt 
t
X ( j )
x(t )
W /
1
 W
W
W

0

t
W
Figure Fourier transform of sinc function
• W가 커지면 X(jω)의 first lobe가 좁아지며,
x(0)값은 커진다.
• W가 무한대로 커지면 x(t)는 impulse가Jongwon
된다.Seok
그림 4.11
Transparency No. 1-146
Signals&System
Sinc function
Note that
sinc ( ) 
2 sin T1

sin(  )

T1
 2T1sinc (
)

sin Wt W
Wt

sinc ( )
t


sinc ( )
1
2
1 0
1
2 3

Jongwon Seok Transparency No. 1-147
Signals&System
4.2 The Fourier Transform for Periodic Signals
x(t )  1  X ( j )  2 ( )
x(t )  e j 0t  X ( j )  2 (   0 )
x(t ) 

a e
k  
jk 0 t
k
 X ( j ) 

 2a  (  k
k  
k
0
)
Example 4.6: 그림 4.1의 Pulse train
위 신호의 Fourier 계수는
sin k 0T1
ak 
이다.
k
이때 Fourier Transform은 X ( j ) 


k  
2 sin k T
0 1  (  k )이다.
0
k
그림 4.12
Jongwon Seok Transparency No. 1-148
Signals&System
Example 4.7
x(t )  sin  0t 
1
1
1
(e j 0t  e  j 0t )  a1 
, a1  
2j
2j
2j
1
1
X ( j )  2 
 (   0 )  2  ( 
) (   0 )
2j
2j


j
( (   0 )   (   0 ))
1
1
1
j 0t
 j 0t
x(t )  cos  0t 
(e
e
)  a1 
, a1 
2j
2j
2j
X ( j ) 

j
( (   0 )   (   0 ))
그림 4.13
Jongwon Seok Transparency No. 1-149
Signals&System
4.3 Properties of the Fourier Transform
1
x (t ) 
2
X ( j ) 






X ( j  ) e j  t d
x (t ) e  j t dt
Linearity
If
x1 (t )  X 1 ( j )
x2 (t )  X 2 ( j )
then
ax1 (t )  bx2 (t )  aX 1 ( j )  bX 2 ( j )
Jongwon Seok Transparency No. 1-150
Signals&System
Time and Frequency Shifting
x(t )  X ( j )
If
x(t  t0 )  e
then
 j 0 t
X ( j )
x(t )e j 0t  X ( j (   0 ))
Similarly,
Time Scaling
If
then
x(t )  X ( j )
x(t ) 
1

X
 
j

Jongwon Seok Transparency No. 1-151
Signals&System
X ( )
x (t )

t
(a)
x(at ), a  1
1
a
a 
X 
,a 1

t
(b)
x(at ), a  1
1
a
a  , a  1
X 

t
(c)
Figure Examples of the time-scaling property
(a) The original signal and its magnitude spextrum,
(b) the time-expanded signal and its magnitude spextrum,and
(c) the time-compressed signal and the resulting magnitude spectrum
Jongwon Seok Transparency No. 1-152
Signals&System
Conjugation and Conjugate Symmetry
x(t )  X ( j )
If
x* (t )  X *  j 
then
Proof : X ( j ) 
X ( j ) 
*




x (t ) e  j t dt 로 부터
x * (t ) e j t dt
 X (  j ) 
*





x * (t ) e  j t dt
meaning that x * (t )  X * (  j ).
X * ( j )  X  j 
[ x(t ) is real]
Jongwon Seok Transparency No. 1-153
Signals&System
X * ( j )  X  j 
[ x(t ) is real]
Suppose that x(t) is
real.
Let X ( j )  Re{ X ( j )}  jIm{ X ( j )}
then Re{ X ( j )}  Re{ X ( j )}
and Im{ X ( j )}  Im{ X ( j )}
• 실수함수의 Fourier Transform의 실수부는
우함수이다.
허수부는
X ( j )
Let X •기함수이다.
( 실수함수의
j )  | X ( jFourier
 ) | e jTransform의
then | X ( j ) | | X ( j ) | and X ( j )  X ( j )
• 실수함수의 Fourier Transform의 magnitude는
우함수이다.
• 실수함수의 Fourier Transform의
Jongwonphase는
Seok Transparency No. 1-154
Signals&System
• 실수함수의 Fourier Transform의 실수부, 허수부, magnitude, phase는
양의 주파수에 대한 값만 주어지면 된다.
• x(t)가 real이고 even이면 X(jω)는 real이고 even이다.
증명) x(t)가 real이고 even이면 X(jω)는 real임을 보인다.
X (  j ) 



x(t ) e j t dt
  t 로 치환하면
X (  j ) 



x(  ) e
 j 
d 



x( ) e  j  d  X ( j )
 X (  j )  X ( j  )  X * ( j )
 X ( j )는
실수함수이다.
X ( j )의실수부는 우함수이므로 X ( j )는 real
and even 이다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-155
Signals&System
Differentiation and Integration
x (t )  X ( j )
If
dx (t )
 j X ( j )
dt
d n x (t )
n

(
j

)
X ( j )
n
dt
t
1
 x( )d  j X ( j )
then
This equation implies that intergration in the time domain attenuates
the magnitude of the high  frequencies components of the signal.
If X ( 0)  0, then signal x (t ) has a dc component, in this case
1
 x( )d  X (0) ( )  j X ( )
t
Jongwon Seok Transparency No. 1-156
Signals&System
Example 4.11
Problem: Unit step function u(t)의 Fourier Transform X(jω)을 구하라.
g (t )   (t )  G ( j )  1
1
1
x(t )   g ( )d  X ( j ) 
 G (0) ( ) 
  ( )

j
j
1
 X ( j ) 
  ( )
j
t
Problem: u(t)의 Fourier Transform X(jω)으로 부터 impulse δ(t)의 Fourier
Transform G(jω) 구하라.
du (t )
1
 (t ) 
 j[
  ( )]  1
dt
j
Jongwon Seok Transparency No. 1-157
Signals&System
Example 4.12
Problem: x(t)의 Fourier Transform을
구하라.
X(t)의 미분 g(t)의 Fourier
Transform을 먼저 구한다.
g (t )  u (t )  u (t  1)   (t  1)   (t  1)
G ( j )  (
2 sin 

)  e j   e  j
dx(t )
g (t ) 
로 부터
dt
G ( j )
2 sin  2 cos 
X(j  ) 
 G (0) ( ) 

2
j
j
j
Jongwon Seok Transparency No. 1-158
Signals&System
Duality
x(t )  X ( )

X ( ) exp


 jt d  2x(t )
This property states that if x (t ) has a transform X ( ), then
X (t )  2x(  )

X ( ) exp
  

X ( ) exp
  
2x(t )  

 jt d
 jt d
x(t )  X ( )
then
X (t )  2x( )
그림 4.17
Jongwon Seok Transparency No. 1-159
Signals&System
Example 4.13
2
Find a Fourier Transform of g (t ) 
.
2
1 t
Use duality.
We know that x(t )  e
|t |
2
 X ( j ) 
1  2
2
| |
then x(t ) 

X
(
j

)

2

e
1 t 2

Jongwon Seok Transparency No. 1-160
Signals&System
If
x(t )  X ( j )
then
dx(t )
 j X ( j  )
dt
1
 x( )d  X (0) ( )  j X ( j )
t
Duality 를 적용하면
dX ( j )
 jtx(t ) 
d
e j 0t x(t )  X ( j (   0 ))
1
x(0) (t )  x(t ) 
jt



X ( )d
Jongwon Seok Transparency No. 1-161
Signals&System
Parseval’s Relation
Energy of Aperiodic Sigals
E


 1
x(t ) dt   x(t ) x (t )dt   x(t ) 


 2

2






X
(
j

)
exp

j

t
d


 dt

Interchanging the order of integratio n gives
1
E
2


 d  1


X
(

)
x
(
t
)
exp

j

t
dt

 

2





X ( j ) d
We can therefore write



1
x(t ) dt 
2
2



X ( j ) d
2
This relation is Parseval' s relation for aperiodic signals.
The energy contained within a band 1     2 is
2
E  
1
1
2
X ( j ) d
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-162
2
Signals&System
4.4 The Convolution Property
x(t )  X ( j ), h(t )  H ( j )

x(t )  h(t )  X ( j ) H ( j )
Time Domain의 convolution은 Frequency Domain의
multiplication이다.
Proof


Fx(t )  h(t )    x( )h(t   )d  exp  jt dt

 
 



Fx(t )  h(t )   x( )  h(t   ) exp  jt dt  exp  jt d

 


Fx(t )  h(t )   x( ) exp  j  H ( j )d


 H ( j )  x( ) exp  j d


 H ( j  ) X ( j )
Jongwon Seok Transparency No. 1-163
Signals&System
x(t )
X ( j )
h(t )
LTI
H ( )
y (t )  x(t )  h(t )
Figure Convolution property of
LTI response
Y ( j )  X ( j ) H ( j )
Y ( j )  X ( j ) H ( j )
Y ( j )  X ( j )  H ( j )
Convolution Property의 응용
• 시스템의 출력을 구할 때 convolution대신 FT와 Inverse
FT으로 구함.
• H(ω)로부터 frequency response를
얻음.

LTI시스템이 stable하기 위한 조건

-
| h(t ) | dt   은
Fourier Transform이 존재하기 위한 Dirichlet 첫번째 조건과 같다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-164
Signals&System
Example 4.15
Impulse Response h(t)   (t  to )  H ( j )  e  j t0
For any input x(t ), Y ( j )  H ( j ) X ( j )  e  j t0 X ( j )
 y (t )  x(t  to )
Example 4.16
dx(t )
Input - Output Relation : y (t ) 
 Y ( j  )  j X ( j  )
dt
 H ( j )  j

Differentiator의 Frequency response는 j이다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-165
Signals&System
Example
Consider an LTI system with impulse response
h(t )  exp  at u (t )
whose input is the unit step function u (t ). The Fourier transform
Y ( )  F u (t ) F  exp  at u (t )


  ( ) 
1
j
 a  ( ) 
1
j ( a  j  )

1
a
1
a  j
 ( )  
1
j

1
1
a a  j
Taking the inverse Fourier transform of both sides result
y (t )  1 u (t )  1 exp  at u (t )

a
1
a
a
1  exp  at u (t )
Jongwon Seok Transparency No. 1-166
Signals&System
1, |  |  c
H ( j )  
0, |  |  c
Example 4.18
H ( j )
h(t )
c / 
1
 c
 c
c

0

c
t
Ideal Low-Pass Filter
• Ideal low-pass filter는 non-causal이다. => 실시간으로 구현
불가능함.
• Causal을 요구하지 않는 시스템에서도 위의 H(jω)로
근사화하기가 어려움.
위의 필터보다는 구현하기 쉬운 non-ideal filter가 종종
Jongwon Seok Transparency No. 1-167
preferable함.
Signals&System
4.5 The Multiplication Property
Modulation Property
If
then
x(t )  H ( j ),
1
x(t )h(t ) 
2
m(t )  H ( j )
 X ( j )  H ( j ) 
Convolution in the frequency domain is carried out exactly out like
convolution in the time domain.
X ( )  H ( )  

  
cos  0t 
X ( ) H (   )d  

  
1
2
e
j 0t
 Fx(t ) cos  0t 
e
1
2
 j 0t
H ( ) X (   )d

 X (  0 )  X (  0 ) 
Jongwon Seok Transparency No. 1-168
Signals&System
그림 4.23과 4.24는 통신의 modulation(변조)과
demodulation(복조)의 관계를 보여준다.
• 그림 4.23: baseband 신호를 high frequency신호로 변조함.
• 그림 4.24: 변조된 신호를 같은 carrier frequency로 mixing하여
low-pass 필터링을 하면 원래 신호를 찾아낼 수 있다.
The output of the multiplier is
y (t )  x(t ) cos  0t
Y ( ) 
1
1
X ( )    (   0 )   (   0 )  X (   0 )  X (   0 )
2
2
X ( )
Y ( )
1
0.5
B
0
B
 0
0
0
2 B

Figure 4.23 Magnitude spectra of information signal and modulated signal .
Jongwon Seok Transparency No. 1-169
Signals&System
z (t )  y(t ) cos  0t
Hence,
Z ( ) 
1
 Y (  0 )  Y (  0 )  1 X ( )  1 X (  20 )  1 X (  20 )
2
2
4
4
Z ( )
 2 0
B
0
B
2 0

(a)
H ( )
2
B
0
B

(b)
Xˆ ( )
1
B
0
B
(c)
Figure 4.24 Demodulation process
Jongwon Seok Transparency No. 1-170
Signals&System
Frequency-Selective Filtering with Variable Center Frequency
• 센터 주파수가 가변인 밴드패스 필터의 구현
일반적으로 밴드패스 필터의 센터 주파수를 바꾸려면 모든
component가 변해야 한다.
time-domain multiplication (mixing)과 low-pass필터로
구현함.
이때
mixing 신호의 주파수를 바꾸어주면 된다.
그림
4.26-27
Jongwon Seok Transparency No. 1-171
Signals&System
Multiplexing
X 1 ( )
X 2 ( )
1
 W1
X 3 ( )
1
1
0
W1

 W2
Figure 4.4.4 Magnitude spectra for
W2 
0
x1 (t ), x 2 (t ), and
 W3
W3 
0
x3 (for
t ) the FDM
y(t )  x1 (t ) cos 1t  x2 (t ) cos  2t  x3 (t ) cos 3t
Y ( ) 
1
 X 1 (  1 )  X 1 (  1 ) 1  X 2 (   2 )  X 2 (   2 ) 1  X 3 (  3 )  X 3 (  3 )
2
2
2
Y ( )
1/2
 3
 2
 1
0
1
2
3
Figure Magnitude spectrum of y(t) for the FDM system
Jongwon Seok Transparency No. 1-172

Signals&System
4.6 Tables of Fourier Transforms
Signals
Fourier Transforms
 (t )
1
1
2 ( )
u (t )
 (t  t0 )
 at
e u (t ), Re{a}  0
te at u (t ), Re{a}  0
e
j 0 t
cos( 0 t )
sin(  0 t )
1
  ( )
j
e  j t 0
1
a  j
1
( a  j ) 2
2 (   0 )
 [ (   0 )   (   0 )]

[ (   0 )   (   0 )]
j
Jongwon Seok Transparency No. 1-173
Signals&System
4.7 상미분 방정식으로 주어진 시스템
X ( j )
h(t )
LTI
H ( )
Y ( j )  X ( j ) H ( j )
Y ( j )
Frequency Response : H ( j ) 
X ( j )
• Fourier Transform으로 출력 y(t) 구하기.
시스템과 입력의 Fourier Transform을 곱한 후에 Inverse
Fourier Transform을 하여 y(t)를 구한다.
• 미분 방정식으로부터 시스템의 Fourier Transform 구하기.
Jongwon Seok Transparency No. 1-174
Signals&System
N
M
d k y (t ) 
d k x(t ) 
F  ak
  F  bk

k
k
dt 
dt 
 k 0
 k 0
 d k y (t )  M
 d k x(t ) 
  ak F 
   bk F 

k
k
k 0
 dt  k 0
 dt 
N
N
M
  ak ( j ) Y ( j )   bk ( j ) k X ( j )
k
k 0
k 0
N
M
k
k
 Y ( j )  ak ( j )   X ( j )  bk ( j ) 
 k 0

 k 0

M
Y ( j )
 H ( j ) 

X ( j )
k
b
(
j

)
 k
k 0
N
k
a
(
j

)
 k
k 0
Jongwon Seok Transparency No. 1-175
Signals&System
Example 4.25
아래시스템의impulse response를 구하라.
 LTI System
d 2 y (t )
dy (t )
dx(t )
4
 3 y (t ) 
 2 x(t )
2
dt
dt
dt
 Frequency Rersponse
j  2
j  2
1/ 2
1/ 2
H(jω( 



2
( j )  4( j )  3 ( j  1)( j  3)
j  1 j  3
 Impulse Response
1 t
1  3t
h(t )  e u (t )  e u (t )
2
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-176
Signals&System
5. Discrete-time Fourier Transform
Consider the following four cases.
• Continuous, periodic signal
• Continuous, aperiodic signal
• Discrete, periodic signal
• Discrete, aperiodic signal
x(t )
Time Domain
• Fourier series
(Discrete, aperiodic)
• Fourier Transform
(Continuous, aperiodic)
• Discrete Fourier series
(Discrete, periodic)
• Discrete Fourier Transform
(Continuous, periodic )
X ( )
Frequency Domain
Jongwon Seok Transparency No. 1-177
Signals&System
5.1 Representation of Aoeridoic Signals:
Discrete-time Fourier Transform
Consider a periodic signal ~
x [ n]
~
x [n]   ak e jk ( 2 / N ) n
(*)
k  N 
1
ak 
N
N2
 jk ( 2 / N ) n
~
x
[
n
]
e

n   N1
Let x[n]  ~
x [n] over  N1  n  N 2 and x[n]  0, elsewhere
1
then ak 
N
N2
 x[n]e
 jk ( 2 / N ) n
n   N1
j
Define X (e ) 
1

N

 jk ( 2 / N ) n
x
[
n
]
e

n  

 x[n]e  j n , then we have ak 
n  
1
X (e jk 0 ) (**)
N
where  0  2 / N .
From (*) and (**), ~
x [ n] 

k  N 
1
X (e jk 0 )e jk 0 n
N
그림 5.1
Jongwon Seok Transparency No. 1-178
Signals&System
Considerun g that  0  2 / N 
1 0

N 2
1
1
jk 0
jk 0 n
jk 0
jk 0 n
X
(
e
)
e

X
(
e
)
e
0


2 k  N 
k  N  N
Let N  , then ~
x [ n]  x[ n] ,    , and  0  d .
~
x [ n] 
k  N 
x[ n] 
1
x[n] 
2
X ( e j ) 
1
2

2
X ( e j  ) e j n d 
그림 5.2

2

X (e j )e jn d
Discrete-time Fourier Transform
 j n
x
[
n
]
e

n  
Jongwon Seok Transparency No. 1-179
Signals&System
x[ n] 
X (e
j
1
2
)

X (e j )e jn d
2

 x[n]e  j n
n  
1
x(t ) 
2
X (e
j
)

2

X ( ) exp  jt d
X ( )   x(t ) exp  jt dt


Discrete-time Fourier Transform
1
x[ n] 
2


Fourier Transform
X (e j )e jn d
Synthesis equation

 j n
x
[
n
]
e

Analysis equation,
n  
Spectrum
Fourier Transform과의 차이점
•
X (e j가) 주기함수이다.
• Synthesis equation의 적분주기가
이다.
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-180
Signals&System
X (e j (  2 ) )  X (e j )
이산 신호에서는
를

생각하면 된다.
2구간에서만

0    2 or      
0과 2,
2의
 짝수배 근처에서는 저주파(신호가 천천히 변함)
이고 의 홀수배
 근처에서는 고주파이다.
그림 5.3
• (a), (b) => 천천히 변하는 신호는 저주파 신호가 많다.
X(ω)는 ω=0 근처에 함수값이 존재함.
• (c), (d) => 빨리 변하는 신호는 고주파 신호가 많다.
X(ω)는 ω=π 근처에 함수값이 존재함.
Jongwon Seok Transparency No. 1-181
Signals&System
Example 5.1
x[n]  a nu[n],
| a | 1

X ( j )   a u[n]e
n

 j n

  (ae
0
 j
1
) 
1  ae  j
n
그림 5.4
• a>0 => 천천히 변하는 신호로 저주파 신호가 많다.
X(ω)는 ω=0 근처에 함수값이 존재함.
• a<0 => 빨리 변하는 신호로 고주파 신호가 많다.
X(ω)는 ω=π 근처에 함수값이 존재함.
Jongwon Seok Transparency No. 1-182
Signals&System
Example 5.2
X ( j ) 
x[ n]  a |n| ,

a e
| n|
 j n
n  

  (ae
 j
n 0

 a e
n
 j n
n 0

)   ( ae j ) m
n
| a | 1

1
 n  j n
a
 e
n  
(  set m   n)
m 1
1
ae j
1 a2



 j
j
1  ae
1  ae
1  2a cos   a 2
1,
x[ n]  
0,
Example 5.3
X ( j ) 
N1
e
n   N1
 j n
그림 5.5
| n | N1
| n | N1
 j ( 2 N1 1)
j ( N1 1 / 2 )
 j ( N1 1 / 2 )
1

e
e

e
 e j N1

 j
1 e
e j  / 2  e  j / 2
sin  ( N1  1 / 2)

sin(  / 2)
그림 5.6
Jongwon Seok Transparency No. 1-183
Signals&System
Convergence issues with DFT
X (e
j

 x[n]e
)
 j n

converges if
n  
x[n] 
1
2

2
 | x[n] | 
n  
X (e j )e jn d has no convergenc e issues.
Example 5.4
Let x[n]   [n], then X (e j )  1.
1 W
j
jn
Synthesis equation xˆ[n] 
X
(
e
)
e
d 에서 W를변화시키면서


W
2
xˆ[n]를 관찰한다.  W가 가 되면 x[n]가 복원된다.
1
xˆ[n] 
2
W

W
j
X (e )e
jn
sin Wn
d 
n
그림 5.7
Jongwon Seok Transparency No. 1-184
Signals&System
5.2 The Fourier Transform for Periodic Signals
j n
다음 신호의 Fourier Transform을 생각하자 : x[ n ]  e 0 .
Conjecture : X ( j )  2 (   )
0
j 0 n
이 주기함수이므로 다른 항들이 더 있다.
실제로는 e
X(e j ) 

 2 (  
l  
위의 X (e
j
0
1
)를 x[n] 
2
x[n]  e j 0 n을 얻을
 2l )

2
그림 5.8
X (e j )e jn d
에 대입해 보면
수 있다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-185
Signals&System
주기가
x[n] 
N인
주기함수
a e
k  N 
x[n]의 Fourier Transform을 생각하자.
jk ( 2 / N ) n
k
2k
 X (e )   2 ak  ( 
)
N
k  
j

증명( sketch)
x[n]  a0  a1e j ( 2 / N ) n  a2 e j 2( 2 / N ) n    a N 1e j ( N 1)( 2 / N ) n
x[n]의
e
j 0 n
각 항이

아래식처럼 주가함수로 주어진다.

 2 (  
l  
0
 2l )
그림 5.9
Jongwon Seok Transparency No. 1-186
Signals&System
Example 5.5
주기함수
x[n]  cos 0 n의 Fourier Transform을
구하라.
1 j  0 n 1 - j 0 n
2
e
 e
with  0 
2
2
5


2

2
j
 X(e )    ( 
 2l )    ( 
 2l )
5
5
l  
l  
2
2
j
 X(e )   ( 
)   ( 
),
    
5
5
Solution : x[ n] 
이고 주기 2인 주기함수이다.
그림 5.10
Jongwon Seok Transparency No. 1-187
Signals&System
Example 5.6
x[n] 

  (n  kN )의
Fourier Transform을 구하라.
k  
Solution :
1
ak 
N
 x[n]e
 jk ( 2 / N ) n
n  N 
2
j
 X (e ) 
N
1

N

2k






N
k  
그림 5.11
Jongwon Seok Transparency No. 1-188
Signals&System
5.3 Properties of the Discrete-time Fourier Transform
Notations
j
X (e )  F{x[ n]}
j
x[ n]  F { X (e )}
-1
F
j
x[ n]  X (e )
Jongwon Seok Transparency No. 1-189
Signals&System
Periodicity
X (e
j (  2 )
j
)  X (e )
Linearity
Fa1 x1 (n)  a2 x2 (n)  a1 X 1 (e j )  a2 X 2 (e j )
Time and Frequency Shifting
F x(n  n0 )  e

F e
j 0 n

 j n0
x(n)  X (e
X (e j )
j (  0 )
)
Jongwon Seok Transparency No. 1-190
Signals&System
Example 5.7
Discrete System에서는 가 0근처에서는 lowpass filter이고
가 근처에서는 highpass filter이다.
즉
j
H hp (e )  H lp (e
 hhp [n]  e
jn
j (  )
)
hlp [n]  ( 1) hlp [ n]
n
그림 5.12
Jongwon Seok Transparency No. 1-191
Signals&System
Conjugation and Conjugate Symmetry
x * [ n ]  X * ( e  j )
If x[n] is real, then x* [n]  x[n]
 X (e j )  X * (e  j ) [ x[n] real]
j
 Ev{x[n]}  Re{ X (e )}
j
Od{x[n]}  jIm{ X (e )}
j
If x[n] is real and even, X (e ) is real and even.
Jongwon Seok Transparency No. 1-192
Signals&System
Differencing and Accumulation
x[n]  x[n  1]  (1  e  j ) X (e j )


1
j
j0
x
[
m
]

X
(
e
)


X
(
e
)   (  2k )

 j
1 e
m  
k  
Example 5.8
Find the Fourier Transform of x[n] 
n
  [ m]
m  
Solution : Note that G (e j )  1.

1
F{   [m] } 
    (  2k )
 j
1 e
m  
k  
n
Jongwon Seok Transparency No. 1-193
Signals&System
Time Reversal
x[n]  X (e  j )
Time Expansion
Continuous time:
1
j
x(at ) 
X(
)
|a|
a
Discrete time: k와 a는 양의 정수로 가정하자.
 x[n / k ], if n is a multiple of k
x( k ) [n]  
if n is not a multiple of k
 0,
x[an]  a의 배수에서의 값의 sequence
그림 5.13
Jongwon Seok Transparency No. 1-194
Signals&System
x( k ) [n]의 Fourier Transform
X ( k ) (e
j
x( k ) [rk ]  x[r ]
)

 x( k ) [n]e
 j n

n  


 j rk
x
[
rk
]
e
 (k )
r  

 j ( k ) r
jk
x
[
r
]
e

X
(
e
)

r  
X ( k ) (e
j
)  X (e
jk
)
k  1 이고 k가 커지면 Fourier Transform이 compressed된다.
X (e j ) 의 주기는 2이고 X (e jk )의 주기는 2 / k이다.
그림 5.14
Jongwon Seok Transparency No. 1-195
Signals&System
Example 5.9
Problem: 그림 5.14 에서 x[n]의 Discrete Fourier Transform을 구하라.
Solution :
x[n]을
다른 sequence로 나누어서 구한다 : x[n] 
y( 2) [n]  2 y( 2) [n  1]
 y[n / 2], if n is a multiple of 2
여기서 y( 2 ) [n]  
if n is not a multiple of 2
 0,
j
 j 2 sin( 5 / 2)
Y (e )  e
sin(  / 2)
sin( 5 )
sin( 5 )
 F{ y( 2 ) [n]}  e  j 4
, F{2 y( 2 ) [n  1]}  2e  j 5
sin(  )
sin(  )
j
 j 4
 j sin( 5 )
 X (e )  e
(1  2e )
sin(  )
Jongwon Seok Transparency No. 1-196
Signals&System
Differentiation in Frequency
dX (e j )
nx[n]  j
d
Proof X (e
j
)

 j n
x
[
n
]
e

n  
dX (e j )

d


 j n
(

jn
)
x
[
n
]
e

n  
Parseval’s Relation

 | x[n] |2 
n  
1
2

2
| X (e j ) |2 d
Example 5.10: 그림 5.16의
| X (e j ) |, 을
X (보고
e j ) x[n]의 특성을 알아보라.
Periodic, real, even, finite energy
Jongwon Seok Transparency No. 1-197
Signals&System
5.4 The Convolution Property
y[n]  x[n] * h[n]
 Y (e j )  X (e j ) H (e j )
Example 5.13
Impulse response : h[n]   nu[n], Input : x[n]   nu[n],
Output y[n]을
구하라. (| 
| 1, |  | 1)
1
1
j
Solution : H (e ) 
, X (e ) 
 j
1  e
1  e  j 
1
1
j
j
j
 Y (e )  H (e ) X (e ) 
 j
 j
1  e 1  e
j
Jongwon Seok Transparency No. 1-198
Signals&System
(1)   일
때
A
B


Y (e ) 

, A
, B
 j
 j
1  e
1  e
 
 


1
n
n
 y[n] 
 u[n] 
 u[n] 
[ n 1   n 1 ]u[n]
 
 
 
j
(2)   일
때
2
1
j j d
1


Y ( e j )  

e
(
)
 j 
 j
d 1  e
 1  e  
d
1
n
We know that
n u[n]  j
(
)
 j
d 1  e
1
n 1
j d
 (n  1) u[n  1]  je
(
)
 j
d 1  e
 y[n]  (n  1) nu[n  1]  (n  1) nu[n]
Jongwon Seok Transparency No. 1-199
Signals&System
5.5 The Multiplication Property
1
y[n]  x1[n]x2 [n]  Y (e ) 
X 1 (e j )  X 2 (e j )
2
j
x1[n] 
증명: We know that
j
Y (e ) 

 y[n]e
 j n

1
2

2
X 1 (e j )e jn d .

 j n
e
]
n
[
x
]
n
[
x
 1 2
n  
n  

  j n
 1
jn
j
e

d
e
)
e
(
X
]
n
[
x



1
2


 2 2
n  

1

 j (  ) n 
j
d
e
]
n
[
x
)
e
(
X


2
1



2 2

 n  

1

2
 X
2
j
1
(e ) X 2 (e
j (  )
1
X 1 ( e j )  X 2 ( e j )
)d 
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-200
Signals&System
5.6 Tables of Fourier Transform
Signals
 [ n]
Discrete- Time FourierTransforms
1
2
1


 (  2k )
k  
u[ n]
 [n  n0 ]
a n u[ n],
| a | 1
( n  1) a n u[ n],
e
j 0 n
cos( 0 n)
sin(  0 n)
| a | 1

1
    (  2k )
1  e  j k  
e  j  n0
1
1  ae  j
1
(1  ae  j ) 2
2


j


k  


k  


k  
 (   0  2k )
{ (   0  2k )   (   0  2k )}
{ (   0  2k )   (   0  2k )}
Jongwon Seok Transparency No. 1-201
Signals&System
5.7 Duality
Fourier Transform
1
x(t ) 
2



Discrete-time Fourier Transform
X ( ) e

X ( )   x(t ) e
 jt

jt
d
X (e
dt
1
ak 
T
T

a
0
x(t )e
2

)
 x[n]e
 j n
Discrete-Time Fourier series

k  
j

X (e j )e jn d
n  
Fourier Series
x(t ) 
1
x[ n] 
2
k
e
jk 0 t
 jk 0t
x[n] 
a e
k  N 
dt
1
ak 
N
jk 0 n
k
 jk 0 n
x
[
n
]
e

n  N 
Jongwon Seok Transparency No. 1-202
Signals&System
5.7.1 Duality in the Discrete-Time Fourier Transform
x[n]  ak

an 
1
x[ k ]
N
증명: (n : time index , k : frequency index )
1
Let g[n]  f [k ], then f [k ] 
g[n]e  jk ( 2 / N ) n .

N n  N 
1
Let k  n, n  k , then f [n]  
g[k ]e jk ( 2 / N ) n .
n  N  N
1
 f [ n] 
g[  k ]
N
5.7.2 Duality in the DFT and Foureir Series
• Discrete-Time Fourier Transform과 Foureir Series 각각에는 duality가 없다.
• Discrete-Time Fourier Transform과 Foureir Series 사이에는 duality가 있다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-203
Signals&System
Fourier Transform
1
x(t ) 
2



Discrete-time Fourier Transform
X ( ) e

jt
d
X ( )   x(t ) e
 jt
x(t )  X ( j )
X (t )  2x( )


X (e
dt
Fourier Series

jk 0 t
a
e
 k
k  
1
ak 
T
T

0
x(t )e
Duality 없음
 jk 0t
j
1
2

2
X (e j )e jn d

 j n
x
[
n
]
e

)
n  
Dual
x(t ) 
x[ n] 
dt
Duality 없음
Discrete-Time Fourier series
x[n] 
jk 0 n
a
e
 k
k  N 
1
ak 
N
x[ n]  ak
 jk 0 n
x
[
n
]
e

n  N 

an 
1
x[ n]
N
Jongwon Seok Transparency No. 1-204
Signals&System
5.8 Systems Characterized by Difference Equations
General constant-coefficient difference equation
N
a
k 0
M
k
y[n  k ]  bk x[n  k ] : n차
차분방정식
k 0
Example 5.18
Problem: 아래 causal LTI 시스템의 frequency response와 impulse
response 를 구하라.
y[n]  ay[n  1]  x[n], | a | 1
j
Y
(
e
)
1
j
n
Solution : H (e ) 


h
[
n
]

a
u[n]
j
 j
X (e ) 1  ae
Jongwon Seok Transparency No. 1-205
Signals&System
Example 5.19
Problem: 아래 causal LTI 시스템의 frequency response와 impulse
response 를 구하라.
3
1
y[ n  1]  y[n  2]  2 x[ n]
4
8
2
2
Solution : H (e j ) 

3
1
1
1
1  e  j  e  j 2 (1  e  j )(1  e  j )
4
8
2
4
4
2


1  j
1
1 e
1  e  j
2
4
H (e j )를 inverse Fourier Transform 하면
y[ n] 
1 n
1 n
h[ n ]  [ 4( )  2( ) ]u[ n ]
2
4
Jongwon Seok Transparency No. 1-206
Signals&System
Example 5.20
Problem: 아래 causal LTI 시스템에 입력 x[n]을 가했을 때 출력을 구하라.
3
1
y[n]  y[n  1]  y[n  2]  2 x[n],
4
8
x[n]  (
1 n
) u[ n ]
4
Solution : Y (e j )  H (e j ) X (e j )






2
1
2


3  j 1  j 2   1  j 
1  j
1  j 2
1  e
 1  e 
 e
(1  e )(1  e )
8
2
4

 4
 4
4
2
8



1
1
1
1  e  j (1  e  j ) 2 1  e  j
4
4
2
Y (e j )를 inverse Fourier Transform 하면
1 n
1 n
1 n
y[n]  

4
(
)

2
(
n

1
)(
)

8
(
) u[ n]

4
4
2


Jongwon Seok Transparency No. 1-207
Signals&System
6. Time and Frequency Characterization of
Signal and Systems
6.1 Magnitude-Phase Representation of the
Fourier Transform
1
x(t ) 
2



X ( j ) e j t d
Fourier Transform

X ( j )   x(t ) e  j t dt

• X(t)는 여러 주파수에서의 complex exponential의 합으로 표시될 수 있다.
• Fourier Transform의 크기와 위상의 의미를 알아본다.
Continuous Time : X ( j ) | X ( j ) | e jX ( j )
Discrete Time :
j
j
X (e ) | X (e ) | e
jX ( e j )
Jongwon Seok Transparency No. 1-208
Signals&System
 | X ( j ) |2 는 x(t )의 에너지 밀도 스펙트럼을 나타낸다.
| X ( j ) |2 d

는 [ ,   d ]사이의 주파수에 있는 에너지양이다.
2
 X ( j )는 각각의 주파수 성분의 크기에는 영향을 주지 않지만
그림 3.3
상대적인 위상 차이를 알려준다.
아래 신호의 위상1 ,  2 , 3
살펴본다. 1
을 바꾸어 가면서 신호가 바뀌는 모양을
2
x(t )  1  cos( 2t  1 )  cos( 4t  2 )  cos(6t  3 )
2
3
그림 6.1
• 일반적으로 각각의 주파수 성분의 위상이 바뀌면 신호의 시간영역
특성이 바뀐다.
• 어떤 경우에는 phase distortion이 중요하지 않은 경우도 있다.
예를 들어 청각 시스템은 위상 변화에 민감하지 않다.
 jX ( j )

[
x
(

t
)]

X
(

j

)

|
X
(
j

)
|
e
• 카세트 플레이어를 backward로 돌리는 경우에는 위상이 180도
반전된다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-209
Signals&System
• Image의 경우는 위상의 영향과 중요성을 잘 보여준다.
• 그림에서 visual information이 가장 중요한 부분은 edge와 region of high
contrast이다.
x(t1 , t 2 ) : 여기서 t1는 수평축의 좌표, t 2는 수직축의 좌표.
: x(t1 , t 2 )의값은 밝기(brightnes s).
[ x(t1 , t 2 )]  X ( j1 , j 2 ) : 2차원 Fourier Transform
신호
• 그림 6.2에서 영상의 주파수 별 신호의 크기와 위상을 변화시키면서
관찰한다.
- Fourier Transform의 magnitude만 그렸을 때 (b)
- Fourier Transform의 phase만 그렸을 때 (c)
- Fourier Transform의 phase를 0으로 놓고 다시 inverse Fourier
Transform. (d)
- Fourier Transform의 magnitude를 1로 놓고
다시 inverse Fourier
Jongwon Seok Transparency No. 1-210
Signals&System
6.2 Magnitude-Phase Representation of the
Frequency Response of LTI Systems
Convolutio n Property
Y(j  )  H(j  )X(j  ) or Y(e j )  H(e j )X(e j )
입력에 대한 시스템의 영향은 각각의 주파수 성분에
크기와 위상을 바꾸어 준다.
| Y(j  ) |  | H(j  ) | | X(j  ) |
Y(j  )  H(j  )  X(j  )
여기서 | H(j  ) | 는 gain , H(j  )는 phase shift.
Jongwon Seok Transparency No. 1-211
Signals&System
Linear and Nonlinrear Phase
Phase shift가 주파수 ω의 선형 함수이면 주파수응답은
아래와 같다.
H ( j )  e
 j t0
| H ( j ) | 1
and H ( j )   t0
y(t )  x(t  t0 )
For discrete-time
case
H (e j )  e  j n0
y[n]  x[n  n0 ]
(n0가
정수일때)
• 크기와 위상의 변화가 원하지 않는 방향으로 갈 때
magnitude and phase distortion이라고 부른다.
그림 6.3,
• all-pass system: 모든 주파수에서 gain이 1인 시스템.
6.4
Jongwon Seok Transparency No. 1-212
Signals&System
Group delay
H ( j )   t0
y(t )  x(t  t0 )
Phase slope는 time shift의 크기를 결정한다.
H (e j )   n0
y[n]  x[n  n0 ]
(n0 ,
정수)
Continuous time LTI 시스템에narrow band input을 가한다고 하자.
즉 x(t)는 ω  ω 부근에서만 Fourier Transform이 존재한다.
0
H ( j )    
Y ( j )  X ( j ) | H ( j ) | e  j e  j
 sec 의 time delay를 의미한다.    0 주위에서의 group delay
d
Group delay  ( )  
{H ( j )}
d
Jongwon Seok Transparency No. 1-213
Signals&System
Consider a all pass system
3
H ( j )   H i ( j  )
i 1
1  ( j /  i ) 2  2 j i ( /  i )
where H i ( j ) 
1  ( j /  i ) 2  2 j i ( /  i )
 f1  50 Hz
 1  315rad / sec and  1  0.066


  2  943rad / sec and  2  0.033 or  f 2  150 Hz
 f  300 Hz
  1888rad / sec and   0.058
3
 3
 1
3
| H ( j ) | 1 and H ( j )   H i ( j )
i 1
2 i ( /  i )
where H i ( j )  2 tan [
]
2
1  ( j /  i )
1
그림
6.5
Dispersion: non-constant group delay, 입력의 다른 주파수=>
Jongwon Seok Transparency No. 1-214
다른 양의 delay
Signals&System
Log-Magnitude and Phase plot
 FourierTra nsform 은
주로
log  magnitude
를 사용한다.
Y(j  )  H(j )X(j )  log | Y(j  ) | log | H(j ) |  log | X(j ) |
(1) log - scale에서는 log | H(j ) | 와 log | X(j ) | 를 더하면 된다.
(2) 넓은 영역을 자세히 display할 수 있다.
단위 : decibel (dB), 20 log
( )
10
1  0dB, 10 20dB, 100  40dB, 1000  60dB,
0.1  20dB, 2  6dB,
 Continuous time에서는 주파수도
 선형 scale보다 넓은 주파수
2  3dB, 1 / 2  3dB
log - scale로 주로 나타낸다.
영역을 나타냄.
주파수가 scale되어도 plot이 변하지않음.
연속 LTI 시스템의 경우 log magnitude vs. log frequency의근사적sketch가 쉽다.
 Bode plot : plots of
20 log
( H(j ) ) and H(j ) versus log ( )
10
10
Jongwon Seok Transparency No. 1-215
Signals&System
 Discrete time case
- M agnitude of Fouier Transform은 dB로 표시한다.
- logarithmi c frequency scale은 주로 사용하지 않는다.
frequency range 가 limited 되어있고 미분방정식의 경우과
달리 차분방정식은 근사적인 스케치가 적용되지 않는다.
 logarithmi c amplitude scale이 유용하지만 linear amplitude scale이
편리한 곳도 많다. ex) ideal low - pass filter
그림 6.8,
6.9
Jongwon Seok Transparency No. 1-216
Signals&System
6.3 Time-Domain Properties of Ideal
Frequency–Selective Filters
Ideal Low-Pass
Filter 1, |  | 
c
H ( j )  
0, |  |  c
|  |  c
1,
j
H (e )  
0,  c |  | 
Continuous time
Discrete time
그림 6.10,
6.12
Ideal Low-Pass Filter has zero phase
characteristic.
1, |  |  c
H ( j )  
and H ( j )   
0, |  |  c
그림
6.11
 ideal low pass filter 의impulse response 가 h(t) 이면 h(t -  ). 그림
n
6.13
t
Step response : s (t )   h( ) d , s[ n]   h[ m]
그림

m  
6.14
Jongwon Seok Transparency No. 1-217
Signals&System
6.4 Time-Domain and Frequency-Domain
Aspects of Non-ideal Filters
실제로 ideal filter의 특성이 항상 바람직하지는 않다.
두 개의 신호의 주파수 밴드가 겹치는 경우가 있다.
pass band에서 stop band로 천천히 옮겨가는 필터가
preferable하다.
 Step response가 overshoot와 ringing이 있다: may be
undesirable.
 Ideal low pass filter is non-causal: 실시간으로는 얻을
수 없다.
causal approximation이 필요하다.
Non-ideal filters are of considerable practical
실제 시스템에서는
importance.구현의 용이성이 중요하다.
 여러 경우에 정밀한 필터 특성이 꼭 필요하지는 않고
간단한 필터로도 충분하다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-218
Signals&System
• Specification of magnitude characteristics in the
frequency domain
Pass band, stop band, transition band
Pass band ripple, stop band ripple, pass band edge,
stop band edge
Jongwon Seok Transparency No. 1-219
Signals&System
• In some cases, specification of phase characteristics is also
important.
• 특히 Passband에서 linear 또는 거의 linear한 위상 특성이 아주
바람직하다.
• Time domain behavior를 제어하기 위해서 step response에
Ex 6.3 Two LPF, cut-off frequency:500Hz, 5차의 rational
spec.
을 부과한다.
function으로 각각 구성됨.
 rise time, settling time, overshoot.
Elliptic filter vs. Butterworth filter
두 필터에 대해 rise time, settling time, overshoot,
transition band등의 성능을 비교해 본다.
Elliptic filter: pass band ripple이 있고 transition band가
짧다.
rise time이 짧고, overshoot가 크고 settling
time이 길다.
Butterworth filter: pass band ripple이 없고 transition그림
6.18
Jongwon Seok Transparency No.
1-220
Signals&System
6.5 First-order and second-order
continuous-time systems
Consider a first - order differenti al system
dy(t)

 y (t )  x (t ),  : time constant
dt
1
Frequency Response : H ( j ) 
j  1
1 t / 
Impulse Response : h(t)  e u (t )

Step Response : s(t)  h(t)  u(t)  [1 - e t / ]u (t )
• 시정수 τ가 작을 수록 step response가 빨리 1로 수렴한다.
그림
• t= τ일 때 step response는 최종 값의 63.21%에 도달한다.
6.19
Jongwon Seok Transparency No. 1-221
Signals&System
Bode Plot of first-order system
Frequency Response :
1
H ( j ) 
j  1
1
| H ( j ) |
1  ( ) 2
H ( j )   tan 1 ( )
| H ( j ) |
1
그림
1  ( ) 2
6.20
2
 20 log 10 | H ( j ) | 10 log[ 1  ( ) ]
0,
  1 즉   1 / 

 20 log 10 | H ( j ) | 
 20 log    1 즉   1 / 
 두 경우 모두 직선이며   1/ 에서 만난다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-222
Signals&System
 20 log   20 log   20 log 
  20 log 는  20dB / decade를나타낸다.
Magnitude plot 에서 high freq. and low freq.
asymptote 는   1/에서 만난다.
1
 20 log 10 | H ( j ) | 20 log 2 (2)  3dB

  0.1 / 
0.1 /     10 / 
  10 / 
0,


H ( j )   ( / 4)[log 10 ( )  1]

 / 2

 h(t)  e
  h(t)는
t / 
 H ( j ) 
1
j  1
t/의 함수이고 H ( j )는 의 함수이다.
 를 조절함으로 주파수축의 scale을 조절할 수 있다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-223
Signals&System
6.6 First-order and Second-Order DiscreteTime Systems
First-order Discrete-Time Systems
다음 1차 causal LTI 차분시스템을 생각하자.
y[n]  ay[n  1]  x[n]
with | a | 1.
1
1
j
Frequency Response : H(e ) 

- j
1  ae
1  a cos   ja sin 
Impulse Response : h(t )  a n u[n]
1 - a n 1
Step Response : s(t)  h[n]  u[n] 
u[n]
1- a
a 의 영향
(1) | a | 가 작을때 : 응답이 빠름.
그림 6.26,
(2) | a | 가 클때 : 응답이 느림.
6.27
Jongwon Seok Transparency No. 1-224
Signals&System
1
H(e ) 
1  a cos   ja sin 
1
1
j
| H(e ) |

2
2 1/ 2
((1  a cos  )  (a sin  ) )
(1  a 2  2a cos  )1/ 2
j
1 1  a cos 
H(e )   tan [
]
a sin 
a 의 영향
(1) a  0 : 입력의 고주파 성분을 감소시킴.
(2) a  0 : 입력의 저주파 성분을 감소시킴.
j
(3) | a | 가 클 때 : | H(e ) | 의 최소 최대값의 차이가 크다.
j
(4) | a | 가 작을 때 : | H(e ) | 의 최소 최대값의 차이가 작다.
j
그림
6.28
Jongwon Seok Transparency No. 1-225
Signals&System
7. Sampling
Observations
• 영화는 각각의 화면의 sequence로 이루어져 있다.
• 프린트된 그림은 점으로 이루어져 있다.
continuous signal로 보이는 신호도 discrete signal로
이루어져 있다.
• 연속 신호를 다루는 것보다 이산 신호를 다루는 것이 더
flexible하다.
Samplin
• 어떤 조건에서는 이산g신호에서 연속 신호를 완전히 복구할 수
있다. 연속 신호
이산 신호
Sampling
theorem
Jongwon Seok Transparency No. 1-226
Signals&System
7.1 Representation of a Continuous-Time Signal
by its Samples: The Sampling Theorem
Question: 일정 간격의 샘플로 원래의 연속 신호를 복원할 수
있는가?
그림
7.1
샘플 값은 같지만 다른 연속 함수를 많이 찾을 수 있다.
Impulse-Train Sampling
아래 신호를 생각하자
x p (t )  x(t ) p (t )
그림
7.2
여기서 x(t) :연속함수, p(t) : impulse train
p(t) 

  (t - nT)
n  -
Jongwon Seok Transparency No. 1-227
Signals&System

x p (t )  x(t )   (t - nT) 
n  -
 x p (t ) 

 x (t ) (t - nT) 
n  -

 x ( nT ) (t - nT)
n  -

 x ( nT ) (t - nT)
n  -
From Multiplcat ion Property,
1
X p ( j ) 
2



X ( j ) P ( j (   )) d
주기 T인 impulse train 의 Fourier Transform은
2 
P ( j ) 
  (  k s ),
T k  -
 s : sampling frequency
1 
X p ( j ) 
 X (j(   k s ))
T k  -
그림
7.3
Jongwon Seok Transparency No. 1-228
Signals&System
Observations, 그림
7.3에서
(1)      : 원래 신호를복원할수있음.  2  
M
s
M
M
s
( 2)      : 원래 신호를복원할수없음.
M
s
M
Sampling Theorem
x(t) 가 band limited signal (X(j  )  0 for |  |  M )이라 하자.
샘플링 주파수가  s  2 M이면 x(t )는 샘플 x( nT ), n  0,1,2,  ,
에 의해서 unique하게 결정된다.
연속 신호 복원방법
(1) Successive sample value를 크기로 갖는 impulse train 을 generate시킨다 .
(2) 이 신호를 gain이 T이고 cutoff frequency가 [ ,    ] 사이에
M
s
M
있는 lowpass filter 를 통과시킨다.
Jongwon Seok
그림
Transparency
7.4No. 1-229
Signals&System
If there is no aliasing, we can recover the analog signal x (t ) from
the samples x ( nT ) by using a reconstruction filter
The reconstruction filter is an ideal low  pass filter
T ,
H ( )  
0,
  c
otherwise
the spectrum of the filter output will be identical to X ( j )
x(t ) 


n  
T sin  c (t  nT )
x(nT )
 (t  nT )
Indeed, as can be seen from Equation , in order to reconstruct x (t )
exactly, we need all sample values x ( nT ) for n integer range (  ,  )
 c  2 M : Nyquist rate
Note : 실제적으로 ideal lowpass filter 는 real time 에서구현불가능하기
때문에 non - ideal filter 로 근사화시킨다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-230
Signals&System
9. The Laplace Transform
9.1 The Laplace Transform
L
Notation : x(t )  X ( s )

Laplace Transform : X (s)   x(t )e st dt


Fourier Transform : X(j  )   x(t )e  j t dt  X ( s ) |s  j  F{x(t )}

Note : Laplace Transform 의 변수 s는 복소수이다.

X ( s )  X (  j )   x(t )e

 (  j ) t

dt   [ x(t )e  t e  j t ]dt

X ( s)  F{x(t )e  t }
Jongwon Seok Transparency No. 1-231
Signals&System
• Example 9.1과 9.2를 통해서 ROC (region of
convergence)의 중요성을
알아본다.
Example 9.1
Let x(t )  e  at u(t ). a  0일때 Fourier Transform 은 존재한다.

X(j  )   e u (t )e
 at
 j t


dt   e ( a  j ) t dt 
0
1
, a  0.
j  a
X ( s )를 구해보자.

X ( s )   e u (t )e

 at
s t

dt   e ( s  a ) t dt
0
ROC를 구하기 위해서 Fourier Transform 을 이용하자.

1
 (  a ) t  j t
X(  j )   e
e
dt 
, a 0
0
(  a )  j
1
 X (s) 
,   Re{s}   a
sa
Jongwon Seok Transparency No. 1-232
Signals&System
L
1
e u (t ) 
, Re{s}   a
sa
 at
Example 9.2
Let x(t )  e  at u(t ). ROC를 구해보자.

X ( s )    e u (t )e
 at
s t

0
dt    e
( s  a ) t

ROC : Re{s  a}  0  Re{s}  a
1
dt 
sa
L
1
 e u (t ) 
, Re{s}   a
sa
 at
Note :
Laplace Transform이 같더라도 ROC 가다르면
다른 time - domain 함수가된다.
그림 9.1
Jongwon Seok Transparency No. 1-233
Signals&System
Example 9.3
x(t )  3e 2t u(t )  2e t u(t )의Laplace Transform과 ROC를 구하라.
L
1
e u (t ) 
, Re{s}  1
s 1
t
3e
 2t
e
 2t
L
1
u (t ) 
, Re{s}  2
s2
s 1
u (t )  2e u (t )  2
, Re{s}  1
s  3s  2
t
L
X ( s)의 zero : X ( s)  0 으로 만드는 s값
X ( s)의 pole : X ( s)   로 만드는 s값
s 1
s 1
Example : 2

, pole :  1,  2, zero :1, 
s  3s  2 ( s  1)( s  2)
Note: Laplace Transform의 ROC가 허수 축을 포함하지 않으면
Fourier Transform은 수렴하지 않는다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-234
Signals&System
9.2 The Region of Convergence for Laplace Transforms
Property 1 : X(s)의 ROC는 s - plane 에서 j축에 평행한 strip 으로
이루어 진다.
Property 2 : Rational Laplace Transform X(s)의 ROC는 pole 을
포함하지 않는다.
Property 3 : x(t )가 finite duration 이고 absolutrly integhrabl e이면
ROC는 entire s - plane 이다.
Example 9.6
T
e  at , 0  t  T
1
Let x(t )  
, then X ( s)   e  at e  st dt 
[1  e ( s  a )T ]
0
sa
otherwise
 0,
Question : X ( s )의 pole 은? X ( s)의 ROC 는?
d
[1  e ( s  a )T ]
lim X (s)  lim ds d
s  a
s  a
ds
T
( s  a)
Jongwon Seok Transparency No. 1-235
Signals&System
Property 4 : x(t )가 right - sided 이고 Re{s}   0이 ROC내에있으면
Re{s}   0를 만족하는 모든 s는 ROC내에 있다.
Property 5 : x(t )가 left - sided 이고 Re{s}   0이 ROC내에있으면
Re{s}   0를 만족하는 모든 s는 ROC내에 있다.
Property 6 : x(t )가 two - sided 이고 Re{s}   0이 ROC내에있으면
ROC는 Re{s}   0를 포함하는strip이다.
그림 9.9, 9.10
Jongwon Seok Transparency No. 1-236
Signals&System
Example 9.7
x(t )  e b|t| 의 ROC 를 구하라.
x(t )  e b|t|  e bt u (t )  ebt u (t )
L
1
1
bt
e u (t ) 
, Re{s}  b, e u (t ) 
, Re{s}  b
sb
s b
1
1
 2b
|b|t L
e


 2
,  b  Re{s}  b,
2
s b s b s b
bt
L
Property 7 : X ( s)가 rational function 이면 ROC는 pole 이나
infinity 에의해 bounded 되고 ROC내에다른 pole 은
존재하지않는다.
Property 8 : X ( s)가 rational function 일때, x(t) 가 right - sided 이면
ROC는 가장오른쪽 pole 의오른쪽에있고, x(t) 가 left - sided
이면 ROC는 가장왼쪽 pole 의왼쪽에있다.
그림 9.13
Example 9.8
X (s)  1( s 1)( s 2)
Jongwon Seok Transparency No. 1-237
Signals&System
9.3 The Inverse Laplace Transform
1   j
st
x(t ) 
X
(
s
)
e
ds : Contour Integral

2j   j
Partial Fraction
p( s )
X ( s) 
, 여기서 p( s), q( s)는 polynomial in s, 계수는실수.
q( s )
deg( p( s))  n, deg( q( s))  m, n  m,
Case 1 : q ( s )의 근이 real and distinct.
An
p( s)
A1
A2
X ( s) 



( s  s1 )( s  s2 )  ( s  sn ) s  s1 s  s2
s  sn
여기서 Ai  ( s  si ) X ( s ) |s  si
Jongwon Seok Transparency No. 1-238
Signals&System
Case 2 : q ( s )의 근이 repeated real roots
p( s)
X ( s) 
( )( )  ( s  sr ) k
Ak
Ak 1
A1



 other terms
k
k 1
( s  sr )
( s  sr )
( s  sr )
k
여기서  ( s )  ( s  sr ) X ( s ),
d
1 d n 1
Ak   ( s ) |s  sr , Ak 1 
|s  sr ,  , A1 
|
n 1 s  s r
ds
(k  1)! ds
Case 3 : Quadratic factor of q( s ), roots :  a  j
A sB
Partial fraction 은
항을 갖는다.
2
2
( s  a)  
 A & B are evaluated by
[( s  a) 2   2 ] X ( s ) |s   a  j  [ As  B]s   a  j
Jongwon Seok Transparency No. 1-239
Signals&System
Examp
le
x' '9 x  5, x (0)  x' (0)  0.
5
2
Solution : ( s  9) X ( s ) 
s
5
A1 A2 s  A3
 X (s) 

 2
2
s ( s  9)
s
s 9
5
5
A1  sX ( s ) |s 0  2
|s 0 
s 9
9
5
2
( s  9) X ( s ) |s  j 3  |s  j 3  A2 s  A3 |s  j 3
s
5

 A2  j 3  A3  A2   95 , A3  0
j3
5
5

5
9
9 s

  2
2
s ( s  9) s s  9
Jongwon Seok Transparency No. 1-240
Signals&System
Examp
le
A3
5( s  2)
A1
A2
X (s) 



2
2
( s  1)( s  3)
( s  3)
s  3 s 1
5( s  2)
5( s  2)
5
 (s) 
, A1 
|s  3 
( s  1)
( s  1)
2
( s  1)  ( s  2)
5
5
 ' (s)  5

, A2   ' ( 3)  
2
2
( s  1)
( s  1)
4
5( s  2)
5
A3 
| 
2 s  1
( s  3)
4
5
5
5

5( s  2)
2
4
4
 X (s) 



( s  1)( s  3) 2 ( s  3) 2 s  3 s  1
Jongwon Seok Transparency No. 1-241
Signals&System
Residue Summation Rule
s m  b1s m1    bm
X ( s)  K n
,
n 1
s  a1s    an
mn
 K , if m  n  1
Rule : Summation of Residues  
 0, if m  n  1
 Residues
:
(1) The sum of A' s for real and distinct roots
1
(2) For repeated roots (s  a) , add only coefficien t of
sa
A1s  A2
(3) For a quadratic factor
, add only A1
2
2
(s  a)  
k
Jongwon Seok Transparency No. 1-242
Signals&System
Examp
le
A2 s  A3
s2  4
A1
X (s) 

 2
2
( s  4)( s  1) s  4
s 1
s2  4
20
A1  2
| s  4 
s 1
17
By Residue summation theorem,
A1  A2  1,
3
 A2  1  A1  
17
For A3 , take s  0
A1
A1 12
X ( 0)  1 
 A3  A3  1 

4
4 17
Jongwon Seok Transparency No. 1-243
Signals&System
The Inverse Laplace Transform
m
Ai
X (s)  
의 invrse Laplace Transform 을 생각하자 .
i 1 s  ai
Ai
의 invrse 는 ROC 에 따라 달라진다.
s  ai
Ai
(1) - ai가 ROC 의 왼쪽에 있으면
 Ai e  ai t u (t )
s  ai
Ai
( 2) - ai가 ROC 의 오른쪽에 있으면
  Ai e  ai t u ( t )
s  ai
Jongwon Seok Transparency No. 1-244
Signals&System
Examp
le
1
A1
X (s) 


( s  1)( s  2) s  1
1
( A1 
|s  1  1, A2 
s 2
s
ROC에 따라 x(t) 가 달라진다.
A2
1
1


s  2 s 1 s  2
1
|s  2  1)
1
(1) ROC : Re ( s )  2
x(t )  (e  2t  e t )u (t )
(2) ROC :  2  Re ( s )  1
x(t )  e  2t u (t )  e t u (t )
(3) ROC :  1  Re ( s )
x(t )  (e  2t  e t )u (t )
Jongwon Seok Transparency No. 1-245
Signals&System
9.5 Properties of Laplace Transform
Linearity
If
x1 (t )  X 1 ( s) with ROC R1
and x2 (t )  X 2 ( s) with ROC R2
then
ax1 (t )  bx2 (t )  aX 1 ( s)  bX 2 ( s)
with containing ROC R1  R2
Example
9.13
1
X ( s) 
, Re{s}  1
1
s 1
1
X ( s) 
, Re{s}  1
2
( s  1)( s  2)
1
1
1
X ( s) 


, Re{s}  2
s  1 ( s  1)( s  2) s  2
x(t )  x (t )  x (t ) with
1
2

Jongwon Seok Transparency No. 1-246
Signals&System
Time Shifting
If
then
x (t )  X ( s ) with ROC R
x(t  t0 )  e  jst0 X ( s ) with ROC  R
Shifting in the s-Domain
If
then
x (t )  X ( s ) with ROC R
e x(t )  X ( s  s0 ), with ROC  R  Re{s0 }
s0 t
그림 9.23
Note : e j 0t x(t )  X ( s  j 0 ), with ROC  R
Jongwon Seok Transparency No. 1-247
Signals&System
Time Scaling
x (t )  X ( s ) with ROC R
If
then
1
s
x(at ) 
X ( ) , with ROC R1  aR
|a|
a
Note : x(t )  X ( s ), with ROC   R
그림 9.24
Conjugaion
If
then
x (t )  X ( s ) with ROC R
x (t )  X  ( s  ) with ROC  R
Note : X ( s)  X  ( s  ) when x(t ) is real.
Jongwon Seok Transparency No. 1-248
Signals&System
Convolution Property
If
x1 (t )  X 1 ( s) with ROC R1
and x2 (t )  X 2 ( s) with ROC R2
then
x1 (t )  x1 (t )  X1 (s) X 2 (s), with ROC containing R1  R2
Differentiation in Time Domain
If
then
x (t )  X ( s ) with ROC R
dx(t )
 sX ( s ) with ROC containing R
dt
Jongwon Seok Transparency No. 1-249
Signals&System
Differentiation in the s-Domain
If
then
x (t )  X ( s ) with ROC R
dX ( s )
 tx(t ) 
with ROC R
ds
Integration in the Time Domain
If
x (t )  X ( s ) with ROC R
then
1
 x( )d  s X (s), with ROC containing R {Re{s}}
t
Jongwon Seok Transparency No. 1-250
Signals&System
Initial and final-value Theorem
Initial  value Theorem : x(0  )  lim sX (s)
s 
Final  value Theorem :
If x(t)  0, for t  0, and x(t) has a finit limit as t  ,
then x( )  lim x(t )  lim sX ( s )
t 
s 
Jongwon Seok Transparency No. 1-251
Signals&System
9.6 Some Laplace Transform Pairs
Signals
 (t )
u (t )
 u ( t )
 (t  T )
e  at u (t )
te at u (t )
cos( 0 t )u (t )
sin(  0 t )u (t )
e
 at
cos( 0 t )u (t )
e  at sin(  0 t )u (t )
Fourier Transforms
1
1
s
1
s
 sT
e
1
sa
1
(s  a) 2
s
s 2   02
Re{s}   a
Re{s}   a
Re{s}  0
0
s 2   02
Re{s}  0
sa
( s  a ) 2   02
0
(s  a)  
2
ROC
all s
Re{s}  0
Re{s}  0
all s
2
0
Re{s}   a
Re{s}   a
Jongwon Seok Transparency No. 1-252
Signals&System
9.7 Analysis and Characterization of LTI Systems
using the Laplace Transform
Y ( s)  H ( s) X ( s)
여기서 y :출력, h : 시스템, x : 입력
Y (s)
H (s) 
; 전달함수
X (s)
st
st
x (t )  e
 y (t )  H ( s ) e
Jongwon Seok Transparency No. 1-253
Signals&System
Causality
Causal system 의 전달함수의 ROC는 right - half plane 이다.
Example
9.19
e
H (s) 
s
s 1
, Re{s}  1, ROC : 가장 오른쪽에 있는 pole의 오른쪽 부분.
Causality를 check해 본다.
es
, Re{s}  1
s 1
Impulse response h(t )  e ( t 1)u (t  1), which is non  zero for  1  t  0.
 h(t )는 not causal.
e ( t 1)u (t  1) 
Rational 전달함수를 가진 시스템에대해서 시스템의causality 는
system 의 전달함수의 ROC가 right - half plane 인 것과 동등하다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-254
Signals&System
Stability
LTI 시스템이 stable하기위한 필요충분 조건은 전달함수 H ( s )의
ROC 가 j축을 포함하는 것이다.
Example
9.20
ROC 에 따른 stability를 check해 본다.
s 1
H ( s) 
( s  1)( s  2)
(1) ROC : Re ( s )  2
h(t )  ( 23 e t  13 e 2t )u (t ) : unstable
( 2) ROC :  1  Re ( s )  2
h(t )  23 e t u (t )  13 e 2t u ( t ) : stable
(3) ROC : Re ( s )  1
h(t )  ( 23 e t  13 e 2t )u ( t ) : unstable
Jongwon Seok Transparency No. 1-255
Signals&System
Rational 전달함수 H(s)를 가진 causal시스템이 stable하기위한
필요충분 조건은 전달함수 H ( s )의 모든 pole이 LHP 에있는 것이다.
 에 따른 stability를 check해 본다.
Example
9.22
h(t )  M [e c1t  e c2t ]u (t )
 n2
 n2
H (s)  2

2
s  2 n s   n
( s  c1 )( s  c2 )
where c1   n   n  2  1, c2   n   n  2  1
M 
n
2  2 1
(1)   0, unstable
( 2)   0, stable
Jongwon Seok Transparency No. 1-256
Signals&System
LTI Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient
Differential Equations
N
M
d k y (t ) 
d k x(t ) 
L  a k
  L  bk

k
k
dt
dt
 k 0

 k 0

N
 d k y (t )  M
 d k x(t ) 
  ak L 
   bk L 

k
k
k 0
 dt  k 0
 dt 
N
M
  ak s Y ( s )   bk s k X ( s )
k
k 0
k 0
N
M
k
k
 Y ( s )  ak s   X ( s )  bk s 
 k 0

 k 0

Y (s)
 H (s) 

X ( s)
M
k
b
s
 k
k
b
s
 k  0  zeros
k
a
s
 k
k
a
s
 k  0  poles
M
k 0
N
k 0
k 0
N
k 0
Jongwon Seok Transparency No. 1-257
Signals&System
Examples Relating System Behavior to the System
Function
Example
9.25
x(t )  e 3t u (t ), y (t )  [e  t  e 2t ]u (t )
위의 입출력을 만족하는 미분방정식을 구하라.
1
1
, Re{s}  1
, Re{s}  3, Y ( s ) 
X(s) 
(s  1)(s  2)
s3
s3
s3
Y (s)


 H (s) 
X ( s ) (s  1)(s  2) (s 2  3s  2)
 3s  2)Y ( s )  (s  3) X ( s )
 y ' ' (t )  3 y ' (t )  2 y (t )  x' (t )  3 x(t )
 (s
2
Jongwon Seok Transparency No. 1-258
Signals&System
Example
9.26
Find H(s) with given informatio ns .
(1) Causal
(2) H ( s ) is ratio nal, and has only two poles ,  2, and 4
(3) If x(t )  1, then y (t )  0.
(4) h(0 )  4
Solution :
p( s)
(2)  H ( s ) 
( s  2)( s  4)
(1)  ROC {s}  4  the system is unstable(j  is not included).
(3)  p(s)의 상수항  0
(*)
sp ( s )
(4)  h(0 )  lim sH ( s )  lim
4
(**)
s 
s  ( s  2)( s  4)
(*), (**)  p ( s )  ks and k  4
4s
 H ( s) 
( s  2)( s  4)
Jongwon Seok Transparency No. 1-259
Signals&System
Ex 9.27 : Determine true or false for H(s) with given informatio ns.
(1) Causal and stable
( 2) H ( s ) is rational, and contains a pole at s   2,
does not have a zero at s  0
(a ) F{h(t )e 3t } converges : H ( s )의 ROC 가 최소한  2보다 오른쪽에
있으므로 3만큼 평행이동하면 반드시 unstable하다.  false




(b)  h(t )dt  0 : H ( s )   h(t )dt  0  H ( s )는 s  0에 zero 가
하나 이상 있다.  false
(c) t  h(t ) is stable and causal : t  h(t )  dXds( s ) , 미분으로ROC 가 바뀌지
않는다. 또 t  h(t )  0, for t  0.  true
(d ) dhdt( t ) 는 Laplace transform에 최소한 한 개의 pole이 있다 :
dh ( t )
dt
 sH ( s ). 분자의 s가 분모의 s  2를 없애지 못하므로  true
(e) h(t ) has finite duration : H ( s )가 pole이있으므로entire function이될수없다.
 false
(f) H(s)  H(-s) :  s  2에 pole이 있어야 함.
 Causal and stable가 동시 성립할 수 없음.  false
Jongwon Seok Transparency No. 1-260
Signals&System
Butterworth Filter 구현
N차 lowpass Betterwort h filter : 임펄스 응답이 실함수로 가정.
1
1
2
| B(j  ) | 
 B(j  )B(-j )  B(s)B(- s ) 
2N
j
1  ( j c )
1  ( s j c ) 2 N
roots : s  (1) ( j c ), 2 N개의 근이 있다.
 (2k  1) 

| s |   c , s 
 , k : integer
2N
2
 (2k  1) 
 s   c exp{
 }, k  0,1,  , ( 2 N  1)
2N
2
Observatio ns :
(1) 2 N개의 pole이 반지름 c인 원에 같은 각의 간격으로 위치한다.
1
2N
(2) Pole 이 j축에는 존재하지 않는다.
(3) Pole 이, N이홀수일때는축에 오고 N이짝수일때는축에 오지않는다.
(4) B(s)B(- s )의 pole들의 사이각은  radian이다.
N
그림
Jongwon Seok Transparency No. 1-261
Signals&System
Butterwort h filter 를 구현하는 미분 방정식을구하라.
B(s)B(-s)에서 stable한 pole로 B(s)를 구성한다.
N  1 : B( s) 
N  2 : B( s) 
N  3 : B( s) 

c
s  c
;
 c2
( s  c e j (  / 4 ) )( s  c e  j (  / 4 ) )

 c2
s 2  2 c s  c2
;
 c3
( s  c )( s  c e j (  / 3 ) )( s  c e  j (  / 3 ) )
 c3
( s  c )( s 2  c s  c2 )

 c3
s 3  2 c s 2  2 c2 s  c3
;
dy (t )
  c y (t )   c x(t );
dt
d 2 y (t )
dy (t )
2
2
N  2:

2



y
(
t
)


c
c
c x (t )
2
dt
dt
d 2 y (t )
d 2 y (t )
2 dy (t )
3
3
N  3:

2


2



y
(
t
)


c
c
c
c x (t )
2
2
dt
dt
dt
N  1:
Jongwon Seok Transparency No. 1-262
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9.9 The Unilateral Laplace Transform

Bilateral Laplace Transform : X (s)   x(t )est dt


Unilateral Laplace Transform : X (s)   x(t )est dt
0
Notation : x(t )  X ( s)  UL{x(t )}
Note :
(1) x(t )  0, for t  0이면 Unilate ral Laplace Transform 과
Bilateral Laplace Transform 은 같다.
(2) Unilateral Laplace Transform 의ROC는 RHP 이다.
Jongwon Seok Transparency No. 1-263
Signals&System
Examples of Unilatera l Laplace Transform
Example
x(t)  e -a(t 1)u (t  1)
9.26
Bilateral Transform :
es
X (s) 
, Re{s}   a
sa
Unilateral Transform :

X ( s)   e
0
e
a
 a ( t 1)
u (t  1)e
s t

dt   e  a e ( s  a ) t dt
0
1
, Re{s}  a
sa
Example
9.27
x(t )   (t )  2u1 (t )  et u (t )
x(t )  0, for t  0 이므로 두 transform은 같다.
X(s)  X (s)  1  2 s  s11  s ( 2s s11) , Re{s}  1
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Properties of Unilatera l Laplace Transform
d
x(t )  sX ( s )  x(0)
dt
Proof :


dx(t )  s t
s t 
X ( s)  
e dt  x(t )e |0   x(t )(  s)e  s t dt
0  dt
0
 sX ( s)  x(0)


0
x( )d  1s X ( s)
Jongwon Seok Transparency No. 1-265