(HQYDQGHIUDDLVWHPHWKRGHQRPHHQZLVNXQGLJHVWHOOLQJWHEHZLM]HQLVPHWEHKXOSYDQ
SODDWMHV]RQGHUGDWGDDUDOWHYHHOZRRUGHQDDQZRUGHQYXLOJHPDDNW,QGLWDUWLNHOOHLGHQ
we enkele mooie formules af door plaatjes te roteren.
Qdoor Paul Levrie (Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen, Universiteit Antwerpen)
Proof by rotation
%(:,-6'225
Paul Levrie
527$7,("
figuur 1 staan
de getallen
de som
Friedrich
Gauss probably
(1777-1855), een van
de ge- proofIn that
The first proof by rotation I everCarl
saw
was
this
1/∞
is waarvan
equalwe to
zero, starting
willen weten in een rijtje naast elkaar (bovenste
niaalste wiskundigen ooit, was slechts zeven jaar
plaatje). Draai deze strook over een hoek van 180°
oud toen hij zijn leraar verbaasde door één tweefrom 1/0 = ∞:
(middelste plaatje) en leg de twee stroken over elkaar heen (onderste plaatje). De som van alle getallen in deze strook is natuurlijk precies gelijk aan
tweemaal de gezochte som 1 + 2 + 3 + ··· + n. In elk
vierkantje staan twee getallen. En omdat de som
van deze twee getallen in elk vierkantje gelijk is aan
n + 1 en omdat er n vierkantjes zijn, volgt dadelijk:
drie de som uit te rekenen van de getallen 1, 2, 3, ...,
100. De manier waarop hij dit deed hoort thuis in
‘Het Boek’ waarnaar Paul Erdős regelmatig verwees
en waarin volgens hem God – waarin hij overigens
niet geloofde – het elegantste bewijs van elke stelling bijhield. De stelling waarover het in dit geval
gaat is de volgende:
which I found on a blog by Tanya deKhovanova
[2]. Later, while 2(1reading
a book about Carl Friedrich
+ 2 + 3 + ··· + n) = n(n + 1),
som van de eerste n natuurlijke
1
getallen
is
gelijk
aan
n(n
+
1).
Gauss, I started wondering if the young Gauss2 didn’t use1 rotation
calculate
the
1 2 2 3 to
3 41find
4 2...his...
n3 trick
n 4 to ...
n
wat overeenkomt met wat onze stelling zegt.
24
sum of the first 100 numbers. The
year
old Gauss wrote the numbers 1, 2,. . . , 100 in a row,
Of, ineight
een formule
uitgedrukt:
2 2 4 4VAN
6 KWADRATEN
6 82 8 4... Het...
2n
6leuke2naan
8 deze ... 2n
enschappen, Universiteit Antwerpen)
and then again in the opposite order
row
ThenSOM
he added
columns,
methode
is dat we haarthe
kunnen
aanpassen zodat each of which
1 + 2 +in
3 + 4the
+ ··· + n
= 12 n(nbelow.
+ 1).
ook
som
van de
de... 3n
3 6zeeerste
6nwerkt
9natuurlijke
9voor12
3 degetallen,
12
...
3n
9kwadraten
3n12 vanWrite
totaled 101, from which he easily found
the sum. He might3 have
imagined
it6...
like
this:
down the
dus voor 12 + 22 + 32
We kunnen de manier waarop de jonge Gauss deze
2. Omdat deze som gelijk is aan 1 · 1 + 2 · 2
som
berekende
als
volgt
beschrijven.
We
hebben
zo
+
···
+
n
numbers next to each other, rotate
the result 180 degrees,...and
merge
the
with the... rotated
...
...4...
...kunnen
...original
......
......
ook meteen een bewijs van bovenstaande formule.
+...
3·3+
· 4 +...
··· ...
+ n · n,
we haar
eenvou-...
dig grafisch
dig grafisch
voorstellen
voorstellen
dig
ingrafisch
eenindriehoek.
eenvoorstellen
driehoek.
VoorVoor
in
n =een
4n driehoek.
=4
Voor n = 4
version. You get something
asdriehoek
indriehoek
Figure
1driehoek
[3].
zie jezie
deze
je deze
inzie
figuur
in
je deze
figuur
2 (links).
2 (links).in figuur 2 (links).
2 n24n
n isn pre2n 2n3n 3n4n
n 4n2n
... ...
n3n
... n2
De som
De van
somalle
vangetallen
alle getallen
Dein
som
dein
van
driehoek
dealle
driehoek
getallen
is preis in
prede driehoek
QGLJHVWHOOLQJWHEHZLM]HQLVPHWEHKXOSYDQ
DDQZRUGHQYXLOJHPDDNW,QGLWDUWLNHOOHLGHQ
e roteren.
2+2
2+
2+
2 + 42. En het is duidelijk
cies gelijk
cies gelijk
aan 1aan
12 +
cies
aan
322 gelijk
+ 432. +En
42het
.1En
ishet
2duidelijk
is 3duidelijk
1
hoe de
hoe
driehoek
de driehoek
er zaler
hoe
uitzien
zaldeuitzien
driehoek
voor voor
willekeurige
erwillekeurige
zal uitzien
n: voor
n: willekeurige n:
onderaan
onderaan
staat staat
dan ndan
keer
onderaan
n het
keergetal
het
staat
getal
n.dan
Draai
n.nDraai
keer
dezehet
deze
getal
n. Draai
deze
Figuur
Figuur
3 Draai
3 Draai
dit vierkant
ditFiguur
vierkant
drie
3 keer
Draai
drie een
keer
dit vierkant
kwartslag
een
drie
en een kwartslag en
2 kwartslag
2en keer
driehoek
driehoek
eerst eerst
linksom
linksom
driehoek
over een
over
eerst
hoek
eenlinksom
hoek
van 120°
vanover
120°een hoek
van
120°
leg de
legvier
de
vierkanten
vier vierkanten
op
leg elkaar.
de
opvier
elkaar.
Leid
vierkanten
daaruit
Leid daaruit
op
de elkaar.
forde forLeid daaruit de for(tweede
(tweede
plaatje)
plaatje)
en doe
en
(tweede
met
doehet
met
plaatje)
resultaat
het resultaat
enditzelfdoe met
ditzelfhet resultaat
ditzelfmulemule
voor
voor
de som
de van
sommule
de
vaneerste
voor
de eerste
de
n derdemachten
som
n3derdemachten
van de
af. 3af.
n derdemachten af.
3 eerste
de nog
deeens
nog eens
(derde
(derde
plaatje).
deplaatje).
nogLeg
eens
ten
Leg
(derde
slotte
ten slotte
plaatje).
de drie
de drie
Leg ten slotte de drie
driehoeken
driehoeken
over elkaar
over elkaar
driehoeken
heen,heen,
dat geeft
over
dat geeft
het
elkaar
plaatje
hetheen,
plaatje
dat geeft het plaatje
4
4
4
4
rechts.
rechts.
rechts.
Het rechterlid
Het rechterlid
is volgens
is volgens
Hetderechterlid
stelling
de stelling
van
is volgens
Gauss
van Gauss
gelijk
de stelling
gelijk van Gauss gelijk
1
1
1
In elkInklein
elk klein
driehoekje
driehoekje
Instaan
elk staan
klein
nu drie
nu
driehoekje
getallen.
drie getallen.
staan nuaan
drie2aan
getallen.
n(n
1)(2n
+ 1)(2n
+ 1).aan
+ 1).2 n(n + 1)(2n + 1).
2+n(n
ZoalsZoals
je kunt
je kunt
zien,Figuur
zien,
is de
Zoals
is
som
dejevan
som
kunt
die
van
zien,
drie
dieis
getallen
drie
de stroken
som
getallen
van
drie
Met getallen
andere
Met andere
woorden:
woorden:
Met Figuur
andere2 woorden:
1
Leg
de
bovenste
twee
opdie
elkaar.
Leg de eerste drie driehoeken
Dat
geeft
de
onderste
op elkaar. Dat geeft de vierde driehoek.
voor voor
elke driehoek
elke driehoek
gelijk.
voor
gelijk.
Voor
elke
Voor
ndriehoek
= 4nisstrook.
=deze
4gelijk.
is deze
somVoor
somn = 4 is deze som
blijkbaar
blijkbaar
9, maar
9, maar
als we
blijkbaar
alsverder
we verder
redeneren
9, maar
redeneren
alsmet
we verder
een
met een
redeneren
metvan
eende
de som
de
som
van
kwadraten
de kwadraten
de som
vanvan
de
van
eerste
dedekwadraten
eerste van de eerste
1 n(n
1 n(n + 1)(2n + 1).
willekeurige
willekeurige
n, dan
n,zal
dan
willekeurige
het
zalbovenste
het bovenste
n,driehoekje
dandriehoekje
zal hetdebovenste
de driehoekje
de getallen
n natuurlijke
n natuurlijke
getallen
nisnatuurlijke
is 16+Bn(n
getallen
1)(2n
+ 1)(2n
+ 1). +is1).
6
PY T HA GO RA S N6OV E M
ER 2013
getallen
getallen
1, n en
1, n bevatten.
en n getallen
bevatten.1, n en n bevatten.
De som
De is
som
danis2n
dan
+ 2n
1, De
en
+ 1,
dat
som
enzal
dat
is ook
dan
zalzo
2n
ook
zijn
+ zo
1, voor
en
zijndat
voor
zal
ook
zo
zijn
voor
Of,
inOf,
formulevorm:
in
formulevorm:
Of, in formulevorm:
de som
de van
somde
van
drie
de getallen
drie
degetallen
som
invan
dein
andere
dededrie
andere
driehoekgetallen
driehoekin de andere driehoek2n(n
2 + ···
jes. Aan
jes. de
Aan
ene
dekant
ene kant
hebben
jes. hebben
Aan
wededus
we
enedrie
dus
kant
driehoeken
drie
hebben
driehoeken
we dus drie
12 +driehoeken
212 + 322 + ···
32++n···2 =
+12n16+
=2216+n(n
31)(2n
1)(2n
++1).
n2+=1).16 n(n + 1)(2n + 1).
op elkaar
op elkaar
gelegd,
gelegd,
en inop
en
elkelkaar
invan
elkdeze
van
gelegd,
deze
driehoeken
endriehoeken
in elkisvan is
deze driehoeken is
2 + precies
2 + DERDEMACHTEN
de som
de van
somde
van
getallen
de getallen
deprecies
somprecies
van
gelijk
degelijk
aan
getallen
1aan
aan
12 +VAN
SOM
VAN
SOM VAN Kunnen
DERDEMACHTEN
Kunnen
we een
we een Kunnen we een
212 + 22gelijk
+ SOM
2DERDEMACHTEN
2+
dergelijke
dergelijke
formule
formule
ookdergelijke
vinden
ook vinden
voor
formule
voor
de som
de
ookvan
som
vinden
de
van voor
de de som van de
32 + ···
32++n···2.+En
3andere
n2aan
. Ende
aan
de···andere
+kant
n2. En
kant
hebben
aan
hebben
deweandere
een
we een
kant
hebben
we
een
n+ derdemachten?
eerste
Met nbehulp
Met
derdemachten?
behulp
van het
vanvierhet
Metvierbehulp
driehoek
driehoek
die opgebouwd
die opgebouwd
driehoek
is uitis1die
uit
+ 2opgebouwd
1++32++···3++n···
is +
uitn 1 +eerste
2 + 3eerste
··· +n nderdemachten?
25 van
25het vierkant
in
figuur
in
figuur
3 lukt3 dat
lukt
kant
inderdaad.
dat
ininderdaad.
figuurProbeer
3 lukt
Probeer
dat
zelfinderdaad.
na
zelf na Probeer zelf na
kleinere
kleinere
driehoekjes,
driehoekjes,
en
kleinere
deen
som
dedriehoekjes,
van
somde
van
drie
deen
getaldrie
degetalsom van
dekant
drie
getalgaan
te2n
gaan
dat
dedat
som
de van
som
tede
van
gaan
getallen
dedat
getallen
deinsom
ditinvierkant
van
dit de
vierkant
getallen in dit vierkant
len inlen
zo’n
in klein
zo’n klein
driehoekje
driehoekje
len iniszo’n
gelijk
isklein
gelijk
aandriehoekje
2n
aan
+ 2n
1. We
+ is
1. gelijk
We te aan
+ 1.
We
3 precies
3 + ···
3n+
3ver3 +verprecies
precies
gelijkgelijk
is aanis1aan
kunnen
kunnen
dus besluiten:
dus besluiten:
kunnen dus besluiten:
+ 213 + 32gelijk
33is++aan
n···3.+1Ga
. 2Ga
33 + ··· + n3. Ga vervolgens
volgens
te werk
te werk
zoalszoals
hierboven.
volgens
hierboven.
te werk
Uit wat
Uit
zoals
jewat
vindt,
hierboven.
je vindt, Uit wat je vindt,
2
2
2)+=2n+
2)2=2 + 32 +2··· + n2) 2
3(12 +
3(1
kun jekun
de je
formule
de formule
afleiden
kun
afleiden
je
diedededie
formule
som
de van
som
afleiden
de
van
eerste
dedie
eerste
de som van de eerste
22 + 322 + ···
32++n···3(1
=
n derdemachten
nQderdemachten
geeft. Q
(1 + 2(1++32++···3++n)(2n
··· + n)(2n
(1
++
1).2++1).
3 + ···n +derdemachten
n)(2n
+ 1). geeft.geeft.
Q
... n-3 n-2 n-1 n
... n-3 n-2 n-1 n
4
4
3
3
2
... n-3 n-2 n-1 n
2
1
4
4
1
3
3
In figuur 1 staan de getallen waarvan we de som
willen weten in een rijtje naast elkaar (bovenste
plaatje). Draai deze strook over een hoek van 180°
(middelste plaatje) en leg de twee stroken over elkaar heen (onderste plaatje). De som van alle getallen in deze strook is natuurlijk precies gelijk aan
tweemaal de gezochte som 1 + 2 + 3 + ··· + n. In elk
vierkantje staan twee getallen. En omdat de som
van deze twee getallen in elk vierkantje gelijk is aan
n + 1 en omdat er n vierkantjes zijn, volgt dadelijk:
2
2
1
1
'225
25
225
5
"
... n-3 n-2 n-1 n
Figure 1: Gauss’s trick to calculate the sum of the first n numbers
The numbers in each square have the same sum n + 1. Hence we find:
2 · (1 + 2 + 3 + . . . + n) = n(n + 1)
2(1 + 2 + 3 + ··· + n) = n(n + 1),
wat overeenkomt met wat onze stelling zegt.
⇒
n(n + 1)
.
2
1 + 2 + 3 + ... + n =
25
Is generalization of this method possible? Yes it is. We can use it to find the formula for the sum of
the first n squares, using an equilateral triangle. We’ll do it for n = 4 (Figure 2). Note that the sum
of the entries in the left triangle is equal to 1 + 2 + 3 + 4 . If we rotate this triangle twice over
120 degrees, and put the results together in one triangle, we get this:
4
3
42
4
4
3
4
4
3
2
3
31
1
42
3
4
42
2
3
3
42
42
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
Figuur 2 Leg de eerste drie driehoeken
op elkaar. Dat geeft de vierde driehoek.
4
Figure 2: Using rotation to find the sum of the squares of the numbers 1, 2, 3, 4
N OV
N
M
OV
B
ERM 2
B0E
3 2 0S1 3N OV E M B E R 2 0 1 3
PY T HA
PYG
T HA
O RA
GS
O RA
S E
PY
TE
HA
G
O1RRA
PY T HA GO RA S N OV E M B E R 2 0 1 3
1
1
31
4
4
2
13
1
42
2
3
4
4
4
4
3
4
3
2
3
2
2
44
3
3
44 4
3
3
42
2
3
1
2
2
4
33
2
3
4 4
3
4
4
1
2
13
1
42
2
3
3
4
4
1
2
3
3
4
4 4
4
4
4
2
3 3
3
4
4
3 3
4
2
3
42
4
1
2 2
4
3
4
3
3
2
3
4
⇒
3
3
4
4
3
4
3
4
2
4
n-1 n
4
2
4
3
4
4
2
1
42
1
4
1
n-1 n
31
4
SOM VAN KWADRATEN Het leuke aan deze
methode is dat we haar kunnen aanpassen zodat
ze ook werkt voor de som van de kwadraten van de
eerste n natuurlijke getallen, dus voor 12 + 22 + 32
+ ··· + n2. Omdat deze som gelijk is aan 1 · 1 + 2 · 2
+ 3 · 3 + 4 · 4 + ··· + n · n, kunnen we haar eenvou-
x=1
x=2
x=3
x=4
y=1
y=2
1
2
3
...
...
4
4
n
n
n
4
...
x=n
3
4
...
3
y=3
y=4
2
...
y=n
n
Figure 3: Giving coordinates to every position in the triangle
The sum of the numbers in each little triangle is the same for all triangles. To prove this in the
general case, we give every number in the triangle a set of coordinates (x, y), as in Figure 3.
One rotation moves the point with coordinates (x, y) to the new position (n − x + y, n − x + 1).
Hence, if we look at a particular triangle, for instance the one at position (x, y), after the merging
process it will contain the 3 numbers associated with the positions
(x, y), (n − x + y, n − x + 1), (n − y + 1, x − y + 1) .
Since the number in a certain position is precisely its first coordinate in this case, we find for the
sum of the numbers in one little triangle:
x + (n − x + y) + (n − y + 1) = 2n + 1 .
We have 3 copies of the original triangle, hence we may conclude:
3 · (12 + 22 + 32 + . . . + n2 ) = (1 + 2 + 3 + . . . + n) · (2n + 1)
and this can be rewritten using Gauss’s result:
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Exercise 1 [4]. Use this method to calculate the sum of the first n triangular numbers.
Exercise 2 [1]. Use a similar method to find the sum of the first n third powers. Hint – Use the
following picture:
1
2
3
4
... n
2
4
6
8
... 2n
3
6
9
12
... 3n
... ... ... ... ... ...
dig grafisch voorstellen in een driehoek. Voor n = 4
zie je deze driehoek in figuur 2 (links).
De som van alle getallen in de driehoek is precies gelijk aan 12 + 22 + 32 + 42. En het is duidelijk
hoe de driehoek er zal uitzien voor willekeurige n:
onderaan staat dan n keer het getal n. Draai deze
driehoek eerst linksom over een hoek van 120°
(tweede plaatje) en doe met het resultaat ditzelfde nog eens (derde plaatje). Leg ten slotte de drie
driehoeken over elkaar heen, dat geeft het plaatje
rechts.
In elk klein driehoekje staan nu drie getallen.
Zoals je kunt zien, is de som van die drie getallen
voor elke driehoek gelijk. Voor n = 4 is deze som
blijkbaar 9, maar als we verder redeneren met een
willekeurige n, dan zal het bovenste driehoekje de
getallen 1, n en n bevatten.
De som is dan 2n + 1, en dat zal ook zo zijn voor
de som van de drie getallen in de andere driehoekjes. Aan de ene kant hebben we dus drie driehoeken
op elkaar gelegd, en in elk van deze driehoeken is
de som van de getallen precies gelijk aan 12 + 22 +
n
2n 3n 4n
... n2
Figuur 3 Draai dit vierkant drie keer een kwartslag en
leg de vier vierkanten op elkaar. Leid daaruit de formule voor de som van de eerste n derdemachten af.
Challenge. Find a similar proof for the sum of the first n fourth powers. (Not yet solved.)
Het rechterlid is volgens de stelling van Gauss gelijk
aan 12 n(n
+ 1).
Sources of funding: there are no sources
of+ 1)(2n
funding.
Met andere woorden:
Conflict of interest: the author declares that he has no conflict of interest.
de som van de kwadraten van de eerste
n natuurlijke getallen is 16 n(n + 1)(2n + 1).
Of, in formulevorm:
12 + 22 + 32 + ··· + n2 =
1
2 6 n(n + 1)(2n + 1).
SOM VAN DERDEMACHTEN Kunnen we een
References
[1] É. Barbier, Démonstration élémentaire du théorème relatif à la somme des cubes des nombres
secondaires, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 2e série, 7, 1 (1883), 42–43.
[2] http://blog.tanyakhovanova.com/2012/05/a-visual-proof/
[3] P. Levrie, Bewijs door rotatie?, Pythagoras, 53, 2 (2013), 24–25.
[4] J. J. Watkins, Number Theory: A Historical Approach, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 2014.
Faculty of Applied Engineering, UAntwerpen, Salesianenlaan 90, B-2660 Hoboken (Antwerp), Belgium
Department of Computer Science, KU Leuven, Celestijnenlaan 200A, P.O. Box 2402, B-3001 Heverlee (Leuven), Belgium
[email protected]
3