Microwave Engineering
Chap. 4.5 ~ Chap. 4.8
EMLAB
4.5 Signal Flow Graphs

1
Node
포트 i 는 2개의 노드 ai(입사파), bi(반사파) 를 가짐.
각 노드에서 전압은 노드로 들어가는 신호의 합과 같다.

Branch
두 노드 사이의 신호가 흐르는 통로 (directed path).
각 브랜치는 S 파라미터를 갖는다.
EMLAB
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

2
One port network 와 voltage source 에 대한 signal flow graph.
EMLAB
3
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)
 Decomposition of Signal Flow Graphs

Rule1 (Series Rule):

𝑉3 = 𝑆32 𝑉2 = 𝑆32 𝑆21 𝑉1

Rule3 (Self-Loop Rule):
𝑉2 = 𝑆21 𝑉1 + 𝑆22 𝑉2
𝑉3 = 𝑆32 𝑉2
𝑆32 𝑆21
𝑉3 =
𝑉
1 − 𝑆22 1
Rule2 (Parallel Rule):
𝑉2 = 𝑆𝑎 𝑉1 + 𝑆𝑏 𝑉1 = 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑉1

Rule4 (Splitting Rule):
𝑉4 = 𝑆42 𝑉2 = 𝑆21 𝑆42 𝑉1
EMLAB
4
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

Two port network 의 반사계수 Γin,Γout 구하기.
𝑍𝑆
Γ𝑆
𝑆
Γ𝑜𝑢𝑡
𝑍𝐿
𝑉𝑆
𝑍0
Γ𝑖𝑛
𝑆22
𝑏2
Γ𝑙
𝑎2
𝑆12
Γ𝐿
𝑏2
𝑏1
Γ𝑙
𝑏2
Γ𝑙
𝑎2′
𝑆22
𝑏2
𝑎2
𝑆12
𝑏1
EMLAB
5
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)
𝑆22 Γ𝑙
𝑎1

Series Rule
𝑆21
𝑏2
Γ𝑙
𝑎2
𝑏2 = 𝑆21 𝑎1 + 𝑆22 Γ𝑙 𝑏2
1 − 𝑆22 Γ𝑙 𝑏2 = 𝑆21 𝑎1
𝑆21
𝑏2 =
𝑎
1 − 𝑆22 Γ𝑙 1
𝑆21
Γ𝑆
1 − 𝑆22 Γ𝑙 𝑙 12
Γ𝑖𝑛 =

Parallel Rule
𝑆11 +
𝑆21
Γ𝑆
1 − 𝑆22 Γ𝑙 𝑙 12
𝑏1
𝑆12 𝑆21 Γ𝑙
= 𝑆11 +
𝑎1
1 − 𝑆22 Γ𝑙
EMLAB
6
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)
𝑆11

𝑎1
Γ𝑆
𝑏1′
𝑆11
𝑎1
𝑏1
𝑆12
𝑎2
e
𝑎1
Γ𝑆
𝑏1
𝑆12
𝑎2
𝑎1
Γ𝑆
EMLAB
7
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)
𝑆11 Γ𝑆
𝑏1

Series Rule
𝑆12
Γ𝑆
𝑎1
𝑆21
𝑏2
𝑎1 = Γ𝑆 𝑏1 + 𝑆11 Γ𝑆 𝑎1
1 − 𝑆11 Γ𝑆 𝑎1 = Γ𝑆 𝑏1
Γ𝑆
𝑎1 =
𝑏
1 − 𝑆11 Γ𝑆 1
Γ𝑆
𝑆
1 − 𝑆11 Γ𝑆 21
Γ𝑜𝑢𝑡 =

Parallel Rule
𝑆22 + 𝑆12
Γ𝑆
𝑆
1 − 𝑆11 Γ𝑆 21
𝑏2
𝑆12 𝑆21 Γ𝑆
= 𝑆22 +
𝑎2
1 − 𝑆11 Γ𝑆
EMLAB
8
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)
 Application to Thru-Reflection-Line Network Analyzer Calibration
connector, cable, transition 등에 의한 loss, phase delay
계측기의 포트

가장 간단한 calibration 방법 – open, short, matched load 를 사용. 다만, 이 세 종류의 부하가 가진 오
차 때문에 측정에 영향을 미침.

TRL calibration: 위처럼 세 부하를 이용하지 않고 DUT 의 reference plane 에서 3 가지의 연결 방법을
이용함.
EMLAB
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

두 포트의 error box 는 identical & reciprocal 임을 가정.

① Thru connection [T]
𝑇11
𝑇12
𝑏1
=
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑎2 =0
𝑎1 =0
9
2
𝑆22 𝑆12
= 𝑆11 +
2
1 − 𝑆22
2
𝑆12
=
2
1 − 𝑆22
EMLAB
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

10
② Reflect connection [R] – 큰 값의 반사계수를 갖는 부하 연결. ΓL 값을 정확히 알 필요는 없음.
𝑅11
𝑏1
=
𝑎1
𝑎2 =0
2
𝑆12
Γ𝐿
= 𝑆11 +
1 − 𝑆22 Γ𝐿
EMLAB
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

11
③ Line connection [L]
𝐿11
𝐿12
𝑏1
=
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑎2 =0
𝑎1 =0
2 −2𝛾𝑙
𝑆22 𝑆12
𝑒
= 𝑆11 +
2 −2𝛾𝑙
1 − 𝑆22
𝑒
2 −𝛾𝑙
𝑆12
𝑒
=
2 −2𝛾𝑙
1 − 𝑆22
𝑒
EMLAB
12
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

다섯개의 미지수 S11, S12, S22, ΓL, eγl를 갖는 다섯개의 방정식.

T12 식으로부터
2
2
𝑇12 1 − 𝑆22
= 𝑆12
𝑇11 = 𝑆11 + 𝑇12 𝑆22
𝑆22 𝑒 −2𝛾𝑙
2
𝐿11 = 𝑆11 +
2 −2𝛾𝑙 𝑇12 1 − 𝑆22
1 − 𝑆22 𝑒
𝑒 −𝛾𝑙
2
𝐿12 =
2 −2𝛾𝑙 𝑇12 1 − 𝑆22
1 − 𝑆22 𝑒

L12 식을 정리하여

T11, L11 식에서 S11 소거하여 L12 대입 후 정리
2
2 𝛾𝑙
𝐿12 𝑒 2𝛾𝑙 − 𝐿12 𝑆22
= 𝑇12 𝑒 𝛾𝑙 − 𝑇12 𝑆22
𝑒
①
𝑆11 = 𝑇11 − 𝑇12 𝑆22
𝑆22 𝑒 −2𝛾𝑙
2
𝑆11 = 𝐿11 −
2 −2𝛾𝑙 𝑇12 1 − 𝑆22
1 − 𝑆22 𝑒
⇓
𝑆22 𝑒 −2𝛾𝑙
2
𝑇11 − 𝑇12 𝑆22 = 𝐿11 −
2 −2𝛾𝑙 𝑇12 1 − 𝑆22
1 − 𝑆22 𝑒
⇓
2
2
2𝛾𝑙
𝑒
𝑇11 − 𝑆22 𝑇12 − 𝑇11 𝑆22 = 𝐿11 𝑒 2𝛾𝑙 − 𝑆22
− 𝑆22 𝑇12

②
① 식을 S22 에 대한 식으로 나타낸 후 ② 식에 대입하여 exp(2γl) 을 구함.
2
𝑆22
𝑒 2𝛾𝑙 𝐿12 − 𝑇12 𝑒 −𝛾𝑙
=
𝐿12 − 𝑇12 𝑒 𝛾𝑙
EMLAB
13
4.5 Signal Flow Graphs (cont’d)

propagation factor
𝑒

𝛾𝑙
=
2
𝐿212 + 𝑇12
− 𝑇11 − 𝐿11
2
±
2
𝐿212 + 𝑇12
− 𝑇11 − 𝐿11
2𝐿12 𝑇12
2 2
2
− 4𝐿212 𝑇12
S parameter
𝑇11 = 𝑆11 + 𝑆22 𝑇12
𝐿11 = 𝑆11 + 𝑆22 𝐿12 𝑒 −𝛾𝑙
⇓
𝑇11 − 𝐿11
𝑆22 =
𝑇12 − 𝐿12 𝑒 −𝛾𝑙
𝑆11 = 𝑇11 − 𝑆22 𝑇12
2
2
𝑆12
= 𝑇12 1 − 𝑆22

reflection coefficient
Γ𝐿 =

𝑅11 − 𝑆11
2
𝑆12
+ 𝑆22 𝑅11 − 𝑆11
ABCD parameter representation (’ denotes the DUT)
𝐴𝑚 𝐵𝑚
=
𝐶 𝑚 𝐷𝑚
𝐴
𝐴′ 𝐵′
′
′ = 𝐶
𝐶 𝐷
𝐴 𝐵 𝐴′ 𝐵′
𝐶 𝐷 𝐶 ′ 𝐷′
𝐵 −1 𝐴𝑚 𝐵𝑚
𝐷
𝐶 𝑚 𝐷𝑚
𝐷
𝐶
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
−1
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis

14
Rectangular waveguide discontinuities (TE10 mode)
𝐸

e
zero thickness obstacle
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)

15
Microstrip discontinuities
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)
16
 Modal Analysis of an H-plane Step in Rectangular Waveguide

Dominant TE10 mode 가 z<0 인 영역으로부터 접합면 (junction) 에 입사한다고 가정.

Incident TE10 mode
𝐸𝑦𝑖 = sin

𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑎 𝑧
𝑒 1 ,
𝑎
𝐻𝑥𝑖 =
−1
𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑎 𝑧
sin
𝑒 1
𝑍1𝑎
𝑎
Propagation constant, wave impedance of TEn0 mode in guide1
𝛽1𝑎
=
𝑘02
𝑛𝜋
−
𝑎
2
, 𝑍𝑛𝑎 =
𝑘0 𝜂0
𝛽𝑛𝑎
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)

Reflected modes in guide1. (z<0)
∞
𝐸𝑦𝑟 =
𝑛=1

𝐸𝑦𝑡 =
𝑛=1
𝐻𝑥𝑟 =
𝑛=1
𝐴𝑛
𝑛𝜋𝑥 +𝑗𝛽𝑎 𝑧
𝑒 𝑛
𝑎 sin
𝑍𝑛
𝑎
∞
𝑛𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑐 𝑧
𝐵𝑛 sin
𝑒 𝑛 ,
𝑐
𝐻𝑥𝑡 = −
𝑛=1
𝐵𝑛
𝑛𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑐 𝑧
sin
𝑒 𝑛
𝑍𝑛𝑐
𝑐
Propagation constant, wave impedance of TEn0 mode in guide2
𝛽𝑛𝑐

∞
𝑛𝜋𝑥 +𝑗𝛽𝑎 𝑧
𝐴𝑛 sin
𝑒 𝑛 ,
𝑎
Transmitted modes into guide2. (z>0)
∞

17
=
𝑘02
𝑛𝜋
−
𝑐
2
𝑍𝑛𝑐 =
,
𝑘0 𝜂 0
𝛽𝑛𝑐
z=0 (at discontinuity)
0<x<c 에서 Ey, Hx 는 연속. c<x<a 인 구간에 대해 Ey=0
𝑛𝜋
𝐸𝑦 = sin
+
𝑎
−1
𝑛𝜋
𝐻𝑥 = 𝑎 sin
+
𝑍1
𝑎
∞
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
𝑛𝜋𝑥
𝐴𝑛 sin
=
𝑎
𝐴𝑛
𝑛𝜋𝑥
sin
=−
𝑍𝑛𝑎
𝑎
𝐵𝑛 sin
𝑛=1
0
∞
𝑛=1
𝑛𝜋𝑥
𝑐
𝑓𝑜𝑟 0 < 𝑥 < 𝑐
𝑓𝑜𝑟 𝑐 < 𝑥 < 𝑎
𝐵𝑛
𝑛𝜋𝑥 −𝑗𝛽𝑐 𝑧
sin
𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 0 < 𝑥 < 𝑐
𝑍𝑛𝑐
𝑐
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)

Ey 식의 양변에 sin(mπx/a) 를 곱하고 x=0~a 까지 적분하면
𝑎
𝑎
𝛿𝑚1 + 𝐴𝑚 =
2
2
𝑐
𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝐼𝑚𝑛

18
∞
∞
𝐵𝑛 𝐼𝑚𝑛 =
𝑛=1
𝐵𝑘 𝐼𝑚𝑘
𝑘=1
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
1 if 𝑚 = 𝑛
=
sin
sin
𝑑𝑥 , 𝛿𝑚𝑛 =
0 if 𝑚 ≠ 𝑛
𝑎
𝑐
𝑥=0
Hx 식의 양변에 sin(kπx/c) 를 곱하고 x=0~c 까지 적분하면
−1
𝐼 +
𝑍1𝑎 𝑘1
∞
𝑛=1
𝐴𝑛
−𝑐𝐵𝑘
𝐼
=
𝑘𝑛
𝑍𝑛𝑎
2𝑍𝑘𝑐
Bk 에 대한 식으로 정리 후 첫번째 식에 대입
𝑎
𝐴 +
2 𝑚

∞
∞
𝑛=1 𝑚=1
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘𝑛 𝐴𝑛
=
𝑐𝑍𝑛𝑎
∞
𝑘=1
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘1 𝑎
− 𝛿𝑚1
𝑐𝑍1𝑎
2
N=1 일 때
2
2
2
𝑎
2𝑍1𝑐 𝐼11
2𝑍1𝑐 𝐼11
𝑎
𝑍𝑙 − 𝑍1𝑎 𝑎 4𝑍1𝑐 𝐼11
𝐴 +
𝐴 =
−
⇔ 𝐴1 =
,𝑍 =
2 1
𝑐𝑍1𝑎 1
𝑐𝑍1𝑎
2
𝑍𝑙 + 𝑍1𝑎 1
𝑎𝑐
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)

19
행렬식으로 표현
𝑎
𝐴 +
2 𝑚
∞
∞
𝑛=1 𝑚=1
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘𝑛 𝐴𝑛
=
𝑐𝑍𝑛𝑎
∞
𝑘=1
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘1 𝑎
− 𝛿𝑚1
𝑐𝑍1𝑎
2
⇓
𝑄 𝐴 = 𝑃
𝑄𝑚𝑛
𝑎
= 𝛿𝑚𝑛 +
2
𝑁
𝑃𝑚 =
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘𝑛
𝑐𝑍𝑛𝑎
2𝑍𝑘𝑐 𝐼𝑚𝑘 𝐼𝑘1 𝑎
− 𝛿𝑚1
𝑐𝑍1𝑎
2
[Q] 는 N×N 행렬, [P], [A] 는 N×1 행렬.

guide 2 의 크기 c 로 인해 모든 모드가 차단되는 경우 guide 2 로 전달되는 실제 전력은 0.
= 모든 입사 전력이 guide 1 로 반사되어 되돌아감.
N=1 일 때 reactance 구해보면 (shunt inductance)
𝑋 = −𝑗𝑍1𝑎
1 + 𝐴1
1 − 𝐴1
EMLAB
4.6 Discontinuities and Modal Analysis (cont’d)

20
guide 2 로 가는 복소 전력은
𝑐
𝑏
𝐄 × 𝐇∗
𝑃=
𝑥=0 𝑦=0
𝑐
𝑥=0
𝑐
=
∙ 𝐳𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐸𝑦 𝐻𝑥∗ 𝑑𝑥
= −𝑏
= −𝑏
𝑧=0+
∞
𝑛𝜋𝑥
𝐵𝑛 sin
−
𝑐
𝑥=0 𝑛=1
∞
𝑏𝑐
𝐵𝑛 2
=
2
𝑍𝑛𝑐∗
𝑛=1
𝑗𝑏𝑐
2𝑘0 𝜂0
∞
∞
𝑚=1
𝐵𝑛
2
∗
𝐵𝑚
𝑚𝜋𝑥
sin
𝑑𝑥
𝑐∗
𝑍𝑚
𝑐
𝛽𝑛𝑐
inductive reactance
𝑛=1
EMLAB
4.7 Excitation of Waveguides – Electric and Magnetic Currents
21
 Current Sheets That Excite Only One Waveguide Mode

Electric surface current density 를 아래 형태로 가정.
전류원으로부터 ±z 방향으로 single TEmn 모드가 진행함을 보임.
𝐉𝑆𝑇𝐸

2𝐴+
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
2𝐴+
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
𝑚𝑛 𝑛𝜋
𝑚𝑛 𝑚𝜋
𝑥, 𝑦 = −𝐱
cos
sin
+𝐲
sin
cos
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
직사각형 도파관의 transverse fields
𝑛𝜋 ±
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦 ∓𝑗𝛽𝑧
𝐴𝑚𝑛 cos
sin
𝑒
𝑏
𝑎
𝑏
𝑚𝜋 ±
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦 ∓𝑗𝛽𝑧
𝐸𝑦± = −𝑍𝑇𝐸
𝐴𝑚𝑛 sin
cos
𝑒
𝑎
𝑎
𝑏
𝑚𝜋 ±
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦 ∓𝑗𝛽𝑧
𝐻𝑥± = ±
𝐴𝑚𝑛 sin
cos
𝑒
𝑎
𝑎
𝑏
𝑛𝜋 ±
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦 ∓𝑗𝛽𝑧
𝐻𝑦± = ±
𝐴𝑚𝑛 cos
sin
𝑒
𝑏
𝑎
𝑏
𝐸𝑥± = 𝑍𝑇𝐸
EMLAB
4.7 Excitation of Waveguides – Electric and Magnetic Currents (cont’d)

z=0 에서 아래의 경계조건 성립.
𝐉𝑆 = 𝐲 𝐻𝑥+ − 𝐻𝑥− − 𝐱 𝐻𝑦+ − 𝐻𝑦−

22
𝐄+ − 𝐄− × 𝐳 = 0
𝐳 × 𝐇 + − 𝐇 − = 𝐉𝑆
⇓
+
𝐴𝑚𝑛 = 𝐴−
𝑚𝑛
+
2Amn n𝜋
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
2𝐴+
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
𝑚𝑛 𝑚𝜋
= −𝐱
cos
sin
+𝐲
sin
cos
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
TM mode 에 관해서도 성립하며
𝐉𝑆𝑇𝑀
+
+
2𝐵𝑚𝑛
𝑚𝜋
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
2𝐵𝑚𝑛
𝑛𝜋
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
𝑥, 𝑦 = 𝐱
cos
sin
+𝐲
sin
cos
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑏
Magnetic surface current density 인 경우도 성립
𝐄 + − 𝐄 − × 𝐳 = 𝐌𝑆
𝐳 × 𝐇+ − 𝐇− = 0
−
𝐴+
𝑚𝑛 = −𝐴𝑚𝑛
2𝑍𝑇𝐸 𝐴+
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
2𝑍𝑇𝐸 𝐴+
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
𝑚𝑛 𝑚𝜋
𝑚𝑛 𝑛𝜋
𝑇𝐸
𝐌𝑆 = −𝐱
sin
cos
−𝐲
cos
sin
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑏
+
+
2𝐵
𝑛𝜋
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
2𝐵
𝑛𝜋
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦
𝑚𝑛
𝑚𝑛
𝐌𝑆𝑇𝑀 = −𝐱
sin
cos
+𝐲
cos
sin
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑏
EMLAB
4.7 Excitation of Waveguides – Electric and Magnetic Currents (cont’d)
23
 Mode Excitation from an Arbitrary Electric or Magnetic Current Source

두 transverse plane z1, z2 사이에 놓인 electric current source J 에 의한 필드
𝐄+ =
+
𝐴+
𝑛 𝐄𝑛 =
𝑛
𝐇+ =
−𝑗𝛽𝑛 𝑧
𝐴+
, 𝑧 > 𝑧2
𝑛 𝐞𝑛 + 𝐳𝑒𝑧𝑛 𝑒
𝑛
+
𝐴+
𝑛 𝐇𝑛 =
𝑛
𝐄− =
−𝑗𝛽𝑛 𝑧
𝐴+
, 𝑧 > 𝑧2
𝑛 𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛 𝑒
𝑛
−
𝐴−
𝑛 𝐄𝑛 =
𝑛
𝐇− =
+𝑗𝛽𝑛 𝑧
𝐴−
, 𝑧 < 𝑧1
𝑛 𝐞𝑛 − 𝐳𝑒𝑧𝑛 𝑒
𝑛
−
𝐴−
𝑛 𝐇𝑛 =
𝑛
+𝑗𝛽𝑛 𝑧
𝐴−
, 𝑧 < 𝑧1
𝑛 −𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛 𝑒
𝑛
단, n 은 모든 가능한 TM, TE 모드를 나타냄.
EMLAB
4.7 Excitation of Waveguides – Electric and Magnetic Currents (cont’d)

임의의 전류원 J 에 대해 미지수 𝐴+
𝑛 는 Lorentz reciprocity theorem 으로 구할 수 있음.
𝐄1 × 𝐇2 − 𝐄2 × 𝐇1 ∙ 𝑑 𝐬 =
𝑆

24
𝐄2 ∙ 𝐉1 − 𝐄1 ∙ 𝐉2 𝑑𝑣
𝑉
문제의 영역에 위 reciprocity 를 적용하기 위해 V 를 z1 과 z2 사이의 공간으로 정함.
𝐄1 = 𝐄 ± , 𝐇1 = 𝐇 ± 라 하고 𝐄2 , 𝐇2 를 –z 방향으로 이동하는 n 번째 모드라 하면
𝐄2 = 𝐄𝑛− = 𝐞𝑛 − 𝐳𝑒𝑧𝑛 𝑒 𝑗𝛽𝑛 𝑧
𝐇2 = 𝐇𝑛− = −𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛 𝑒 𝑗𝛽𝑛 𝑧
reciprocity theorem 식에 대입 (𝐉1 = 𝐉, 𝐉2 = 0)
𝐄 ± × 𝐇𝑛− − 𝐄𝑛− × 𝐇 ± ∙ 𝑑𝐬 =
𝑆

𝐄𝑛− ∙ 𝐉𝑑𝑣
𝑉
Waveguide mode 는 guide cross section 에서 orthogonal 하며
±
𝐄𝑚
× 𝐇𝑛± ∙ 𝑑𝐬 =
𝑆0
𝐞𝑚 ± 𝐳𝑒𝑧𝑛 × ±𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛 ∙ 𝐳𝑑𝑠 = ±
𝑆0
𝐞𝑚 × 𝐡𝑛 ∙ 𝐳𝑑𝑠 = 0, 𝑓𝑜𝑟 𝑚 ≠ 𝑛
𝑆0
waveguide wall 에서 Et=0. (S0 는 guide cross section)
𝐴+
𝑛
𝐄𝑛+ × 𝐇𝑛− − 𝐄𝑛− × 𝐇𝑛+ ∙ 𝑑 𝐬 + 𝐴−
𝑛
𝑧2
𝐄𝑛− × 𝐇𝑛− − 𝐄𝑛− × 𝐇𝑛− =
𝑧1
𝐄𝑛− ∙ 𝐉𝑑𝑣
𝑉
EMLAB
4.7 Excitation of Waveguides – Electric and Magnetic Currents (cont’d)
𝐴+
𝑛
𝐞𝑛 + 𝐳𝑒𝑧𝑛 × −𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛 − 𝐞𝑛 − 𝐳𝑒𝑧𝑛 × 𝐡𝑛 + 𝐳ℎ𝑧𝑛
25
∙ 𝐳𝑑𝑠
𝑧2
= −2𝐴+
𝑛
𝐄𝑛− ∙ 𝐉𝑑𝑣
𝐞𝑛 × 𝐡𝑛 ∙ 𝐳𝑑𝑠 =
𝑧2
𝑉
A+n =
−1
𝑃𝑛
𝐄𝑛− ∙ 𝐉𝑑𝑣 =
𝑉
𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑃𝑛 = 2
−1
𝑃𝑛
𝐞𝑛 − 𝐳𝑒𝑧𝑛 ∙ 𝐉𝑒 𝑗𝛽𝑛 𝑧 𝑑𝑣
𝑉
𝐞𝑛 × 𝐡𝑛 ∙ 𝐳𝑑𝑠
𝑆0

𝐄2 = 𝐄𝑛+ , 𝐇2 = 𝐇𝑛+ 으로 하여 같은 과정을 거치면 𝐴−
𝑛 도 구할 수 있으며
같은 과정이 magnetic current 에도 적용된다.
𝐴−
𝑛 =
−1
𝑃𝑛
𝐄𝑛+ ∙ 𝐉𝑑𝑣 =
𝑉
−1
𝑃𝑛
𝐞𝑛 + 𝐳𝑒𝑧𝑛 ∙ 𝐉𝑒 −𝑗𝛽𝑛 𝑧 𝑑𝑣
𝑉
𝐄1 × 𝐇2 − 𝐄2 × 𝐇1 ∙ 𝑑𝑠 =
𝑠
1
𝑃1
1
𝐴−
=
𝑛
𝑃1
𝐇1 ∙ 𝐌2 − 𝐇2 ∙ 𝐌1 𝑑𝑣
𝑉
𝐴+
𝑛 =
1
𝑃𝑛
1
𝐇𝑛+ ∙ 𝐌𝑑𝑣 =
𝑃𝑛
𝐇𝑛− ∙ 𝐌𝑑𝑣 =
𝑉
𝑉
−𝐡𝑛 + 𝑧ℎ𝑧𝑛 ∙ 𝐌𝑒 𝑗𝛽𝑛 𝑧 𝑑𝑣
𝑉
𝐡𝑛 + 𝑧ℎ𝑧𝑛 ∙ 𝐌𝑒 −𝑗𝛽𝑛 𝑧 𝑑𝑣
𝑉
EMLAB
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling
26
EMLAB
27
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)
electric polarization current
magnetic polarization current
EMLAB
28
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)

Electric/Magnetic polarization current
𝐏𝑒 = 𝜖0 𝛼𝑒 𝐧𝐸𝑛 𝛿 𝑥 − 𝑥0 𝛿 𝑦 − 𝑦0 𝛿 𝑧 − 𝑧0
𝐏𝑚 = −𝛼𝑚 𝐇𝑡 𝛿 𝑥 − 𝑥0 𝛿 𝑦 − 𝑦0 𝛿 𝑧 − 𝑧0
αe, αm 은 각각 aperture 의 electric/magnetic polarizability. (분극률)

Maxwell 방정식
𝛻 × 𝐄 = −𝑗𝜔𝜇𝐇 − 𝐌
𝛻 × 𝐇 = 𝑗𝜔𝜖𝐄 + 𝐉
𝛻 × 𝐄 = −𝑗𝜔𝜇0 𝐇 − 𝑗𝜔𝜇0 𝐏𝑚 − 𝐌
𝛻 × 𝐇 = 𝑗𝜔𝜖0 𝐄 + 𝑗𝜔𝐏𝑒 + 𝐉
𝐉 = 𝑗𝜔𝐏𝑒
𝐌 = 𝑗𝜔𝜇0 𝐏𝑚
EMLAB
29
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)
 Coupling Through an Aperture in a Transverse Waveguide Wall

z<0 인 영역으로부터 transverse wall 에 TE10 mode 가 입사된다고 가정.
z<0 인 영역의 standing wave 는
𝜋𝑥
𝐸𝑦 = 𝐴 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 − 𝑒 𝑗𝛽𝑧 sin
𝑎
−𝐴 −𝑗𝛽𝑧
𝜋𝑥
𝐻𝑥 =
𝑒
+ 𝑒 𝑗𝛽𝑧 sin
𝑍10
𝑎
equivalent polarization current 는
𝑎
𝑏
𝐏𝑒 = 𝑧𝜖0 𝛼𝑒 𝐸𝑧 𝛿 𝑥 − 𝛿 𝑦 −
𝛿 𝑧 =0
2
2
𝑎
𝑏
𝐏𝑚 = −𝑥𝛼𝑚 𝐻𝑥 𝛿 𝑥 − 𝛿 𝑦 −
𝛿 𝑧
2
2
2𝐴𝛼𝑚
𝑎
𝑏
=𝑥
𝛿 𝑥− 𝛿 𝑦−
𝛿 𝑧
𝑍10
2
2
2𝑗𝜔𝜇0 𝐴𝛼𝑚
𝑎
𝑏
𝐌 = 𝑗𝜔𝜇0 𝐏𝑚 = 𝑥
𝛿 𝑥− 𝛿 𝑦−
𝛿 𝑧
𝑍10
2
2
EMLAB
30
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)
+
𝐴10
=
−1
𝑃10
ℎ10 ∙ 2𝑗𝜔𝜇0 𝐏𝑚 𝑑𝑣 =
4𝑗𝐴𝜔𝜇0 𝛼𝑚 4𝑗𝐴𝛽𝛼𝑚
=
𝑎𝑏𝑍10
𝑎𝑏
−
𝐴10
=
−1
𝑃10
ℎ10 ∙ −2𝑗𝜔𝜇0 𝐏𝑚 𝑑𝑣 =
4𝑗𝐴𝜔𝜇0 𝛼𝑚 4𝑗𝐴𝛽𝛼𝑚
=
𝑎𝑏𝑍10
𝑎𝑏
단, 𝐡10 = −𝐱/𝑍10 sin 𝜋𝑥/𝑎 , 𝑃10 = 𝑎𝑏/𝑍10 .
EMLAB
31
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)

Ey, Hx 는
𝜋𝑥
−
𝐸𝑦 = 𝐴𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + 𝐴10
− 𝐴 𝑒 𝑗𝛽𝑧 sin ,
𝑓𝑜𝑟 𝑧 < 0
𝑎
1
𝜋𝑥
−
𝐻𝑥 =
−𝐴𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + 𝐴10
− 𝐴 𝑒 𝑗𝛽𝑧 sin , 𝑓𝑜𝑟 𝑧 < 0
𝑍10
𝑎
𝜋𝑥
+ −𝑗𝛽𝑧
𝐸𝑦 = 𝐴10
𝑒
sin ,
𝑓𝑜𝑟 𝑧 > 0
𝑎
+
−𝐴10
𝜋𝑥
𝐻𝑥 =
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 sin ,
𝑓𝑜𝑟 𝑧 > 0
𝑍10
𝑎

반사, 투과계수
−
𝐴10
− 𝐴 4𝑗𝛽𝛼𝑚
Γ=
=
−1
𝐴
𝑎𝑏
+
𝐴10
4𝑗𝛽𝛼𝑚
𝑇=
=
𝐴
𝑎𝑏

등가회로
1 − 𝑦𝑖𝑛 1 − 1 + 𝑗𝐵
=
1 + 𝑦𝑖𝑛 1 + 1 + 𝑗𝐵
−1
2
Γ=
≃ −1 − 𝑗
2
𝐵
1+
𝑗𝐵
−𝑎𝑏
𝐵=
2𝛽𝛼𝑚
Γ=
EMLAB
32
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)
 Coupling Through an Aperture in the Broad Wall of a Waveguide
y

z<0 인 영역의 아래쪽 waveguide 에 TE10 mode 가 입사된다고 가정.
𝜋𝑥
𝐸𝑦 = 𝐴 sin 𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑎
−𝐴
𝜋𝑥
𝐻𝑥 =
sin 𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑍10
𝑎
x=a/2, y=b, z=0 에서
𝐸𝑦 = 𝐴
−𝐴
𝐻𝑥 =
𝑍10
EMLAB
33
4.8 Excitation of Waveguides – Aperture Coupling (cont’d)

Equivalent current J, M.
𝑎
𝐽𝑦 = 𝑗𝜔𝜖0 𝛼𝑒 𝐴𝛿 𝑥 − 𝛿 𝑦 − 𝑏 𝛿 𝑧
2
𝑗𝜔𝜇0 𝛼𝑚 𝐴
𝑎
𝑀𝑥 =
𝛿 𝑥− 𝛿 𝑦−𝑏 𝛿 𝑧
𝑍10
2

위쪽 waveguide 의 필드
𝜋𝑥
𝐸𝑦− = 𝐴− sin 𝑒 +𝑗𝛽𝑧
𝑎
−
𝐴
𝜋𝑥
𝐻𝑥− =
sin 𝑒 +𝑗𝛽𝑧
𝑍10
𝑎
𝜋𝑥
𝐸𝑦+ = 𝐴+ sin 𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑎
+
−𝐴
𝜋𝑥
𝐻𝑥+ =
sin 𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑍10
𝑎
−1
𝑃10
−1
𝐴− =
𝑃10
𝐴+ =
𝑓𝑜𝑟 𝑧 < 0
𝑓𝑜𝑟 𝑧 < 0
𝑓𝑜𝑟 𝑧 > 0
𝑓𝑜𝑟 𝑧 > 0
−𝑗𝜔𝐴
𝜇0 𝛼𝑚
𝜖0 𝛼𝑒 − 2
𝑃10
𝑍10
−𝑗𝜔𝐴
𝜇0 𝛼𝑚
𝐸𝑦+ 𝐽𝑦 − 𝐻𝑥+ 𝑀𝑥 𝑑𝑣 =
𝜖0 𝛼𝑒 + 2
𝑃10
𝑍10
𝐸𝑦− 𝐽𝑦 − 𝐻𝑥− 𝑀𝑥 𝑑𝑣 =
𝑉
𝑉
EMLAB