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Proof S3- Proof of analytical bound 3
2v 

s  t 

u 

Theorem 3: z eq 
hm 1  v 1  u 1  s  t 
Lemma 3.1: x eq 
u
2
Proof of Lemma 3.1:
z 
1. at equilibrium
1  v 1  u 1  s  t  z
W
 hm  x  v  W  x   

 1 


W


2. If z=0 then the theorem is self evident
3.
4.
z  0  W 2  1  v 1  u 1  s  t 

 W  hm  x  v  W  x  

W 2  1  v 1  u 1  s  t  W 
1  v 1  u 1  s  t  hm  x  v  W  x 
W 2  1  v 1  u 1  s  t  W
5.
 1  v 1  u 1  s  t  v  W  x  
1  v 1  u 1  s  t  hmx
x 
6.

7.
W 2  1  v 1  u 1  s  t  W
1  v 1  u 1  s  t  hm
1  v 1  u 1  s  t  v  W  x 
1  v 1  u 1  s  t  hm
x 
W 2  1  v 1  u 1  s  t  W  v
1  v 1  u 1  s  t  hm
1
8.
9.
x 
W  1  v 1  u 1  s  t  
1  v 1  u  hm
 Because W  1  s  t 
v
W
v


 1  1  v 1  u   W 1  s  t  

x  1  s  t  


1  v 1  u  hm




v


 u  v  uv  W 1  s  t  

10. x  1  s  t  

1  v 1  u  hm 




11. It is biologically plausible that s  t  0.25, 3v  u 
1  s  t 2 
12.
1
1
 W 1  s  t  
2u
2u
  2  u  W 1  s  t   1  2  u 
1 u 
13. x 
2
9
1
W 1  s  t 
1
v
  1  v  uv 
 v
W 1  s  t 
W 1  s  t 
1  s  t  u  v 
1  v 1  u  hm
14. x  1  s  t  u  v 
15. x 
u
(using the above assumptions s  t  0.25,3v  u ) QED Lemma 3.1
2
Proof of theorem 3:
 x  v  W  x    hm 1  v 1  u 1  s  t  z 
1. At equilibrium x  
1 

W
W


2
xW 2   x  v  W  x  
2.
3.
 hm 1  v 1  u 1  s  t  z 
W 1 

W


hm 1  v 1  u 1  s  t  z  x  v  W  x  
 x  v  W  x  W  xW 2
 x  v  W  x   xW 
hm 1  v 1  u 1  s  t   x  v  W  x 
4.
z  W
5.


x  v  W  x   xW
z  W

 hm 1  v 1  u 1  s  t  x 
z 
6.


hm 1  v 1  u 1  s  t 
Wv  W  x 
hm 1  v 1  u 1  s  t  x
z 
7.
W 1  W 
W 1  W 
hm 1  v 1  u 1  s  t 
v
hm 1  v 1  u 1  s  t  x
8. We notice that
9.
W 1  W   1  W 
sy   s  t  z  s  y  z   tz  s  t
v


st


x
z  

 hm 1  v 1  u 1  s  t  


2v


st


u
10. z eq  
  using Lemma 3.1 QED
 hm 1  v 1  u 1  s  t  


Supplementary proof 3a:
3
Theorem 3.a: hm 
1. x 
st
1  v 1  u 
x  vW  x 
z 
 1  hm 1  v 1  u 1  s  t  
W
W

x  vW  x 
2.
x  vW  x
W
z 

 1  hm 1  v 1  u 1  s  t  
W

u
 Lemma 3.1  0
2
3.
 W 2  W  hm 1  v 1  u 1  s  t  z
x 
4. hm 1  v 1  u 1  s  t  z  W  W 2
5.
hm 
W 1  W 
1  v 1  u 1  s  t  z
sy   s  t  z 


6. hm  1  sy   s  t  z 
1  v 1  u 1  s  t  z
7. hm 
8.
hm 
1  s  t  s  t  z
1  v 1  u 1  s  t  z
st
QED
1  v 1  u 
Supplementary proof 3b:
Theorem 3b:
az eq  y eq , z eq  b
2v
 hm 
 a  1 s  t 
bu
1  v 1  u 1  s  t 
4
1. From supplementary proof 3, paragraph 8 in the proof of the main theorem:
z 

W 1  W 
hm 1  v 1  u 1  s  t 
v
hm 1  v 1  u 1  s  t  x
2v
u
2. Using lemma 3.1 we get z 
hm 1  v 1  u 1  s  t 
1 W 
2v
u
hm 
zhm 1  v 1  u 1  s  t 
sy   s  t  z 
3.
az eq  y eq , z eq  b
2v
4.
 hm 
 a  1 s  t 
bu
1  v 1  u 1  s  t 
QED
4v
u
In particular z eq  0.5  hm 
1  v 1  u 1  s  t 
2s  t 
v

s  2 
u

t
z
eq
In addition, z  0  hm 
eq
1

v
1

u
  1  s  t 
5