uniqueness of equilibrium measures for countable markov shifts and

 ! "#
$% $! & ' (!
#
) % #* $ +*" " & *" )
( *$" & "( #
' * *,(! - !) ( $ + $ #* #
* $+)
·½ " # !
! " $ % & ' ! ( )* % !" " +,!
"
" - ! .
( /* ! %" !" - - 0
1
" " 0
0
!
! 2 " - & (34*
. $ ! /0 1223)
4 (! 4 ' 4 &
'4 $0 "$ )
5 $* %* 6 & * * * & & * 7 ' % * )
5 % " 0
! 6
! ( -*"( * 5" 6
! !" 0
! Æ 0
0
0
6
! 7!, ( 3*
8
! .
9 % & +,! % %" (* Æ ! 2 :
$
; % " $ 8 (3-*" (3 *
" % % %" <%= = & !
$
(*
3
!
"
- ! % 6
! " 0
! (3 *"(33* " " " % $ ;!" ! " , , 0
& (3 *"(33* 1 " , 0
6 (3*" 0
0
6 "
8 $ $! 9$ % "
!$ ' +$ ' * *$ :) 5'0
$* ' ; !" #*<* $ $* !% $*
)
(3* >
" ! " % 25'
( ?* (3@*" +,!" +,! (4* %
# AB :
% "
: " C ! !
" " = # #$
DE
" " "
" # -" " !
! ! ! !" ½
# ¼
!" !" # " , +,! " ! 0
!" F #$
%
&
!" ! !" &
'(
!" ) '(
! $ $ 0
'( * . % (- (
(- ( " & & Æ
0
! (- ( 0
!
(- *" @ % % +
#$
' &'
&
$ $
! "
% " ' @ (@* !
!" ! !" - ! $ ! $ $ $ !" $ $ !
&' 5 !" ! !" !" F %
0
' (@*" G F (?* 0
H ! !" (/* 5" 0
G (?* " " 0
" F3" +,! % +,!
Æ !" 3 3 & ( * ( * # (* 3 , * - -
& " , ( *" @ 5 " ( " ! (* ( * #
()* #
()* (
* (*"
½ ()* (* ()* (
½ ()*
(
7
! ()* #
(
* !
½ (
* (* (
½ (
*
(
! % ! =
% # (* ()*
( (* ()** (
*
# ! 2 + "
(* + (* + (
** (
*
(
%
+ ! ! " ( * + #
( + ( (
* * ( *
2 !! " !
5 " ! + G! - " + 8
33 * 3 -
& , ( F* 5 !" : " " +!" . " ! +,! 5 ! " ! 0
! $ " ! 0
" ! 0
7
" " 0
; - ! " + + * 7 $ $ "
& & ! " 0
" 0
! ! ! "
! !
;" ! 3 ! % ! " -" 2 % ! 7
, 5 , 5 , ! 5 " 3 8
0
" 0
" " ,
! " &¼ ,&¼
I 0
! '
1 " +,!
!
= - - % - -
- - & , 3F * - $ . . Æ $ - - . .
(3F* & , .
=
'1
(33" 3F* % ! ! J 0
-
-
3 F - - - 3@ *
7
2 33 #
- 2 3F - . . -
- $ . . Æ 8
! 0
3
%
D ! $ % 8 ! #
! 0
I! 0
0
" ! 0
0
" 0
" 0
J 0
$ % 3" 3 ! . ! .
" Æ 5 $* ' 1)3 <*. 93: $ $ ( !!% 4 91: < * 0 $
!!% * ½ 9: )
(
Æ % Æ + + ( 4* #
Æ
/ ##
#
Æ 5 0 ##
/ ##
Æ 5 0 # %" 0 ##
" .,= ! 0 # # , 3 ! 0
% ., " Æ
0 # % = !
0 ##
$ %
0
; %
1 (* # ! (* ! 1 (* ! + + (**(* +,! % ( 2 2
* 2 K% 2
(* & % " ! + (*
Æ
& & !
" (* 1 (* 1 L
" (* (* & 7 ( " % & $
Æ ; ! & % & 0
!
1 & ;" % "
!
," % ( (*
(*
(*
( &
% (
( G0
" $ % 0
$
" ! " 7 " #!= 0 % 0 % "
0 % =* $** $ ' < ! ! ' " % $! ! *<$)
)
% ., 7
#! (*
" L (* Æ Æ Æ (* Æ (* & Æ " % ., ! 0
% ., 8
! 0
" - Æ - 8
! Æ
( 4* (3?*$
& - . . Æ - 7
" - - & 7 - - Æ " Æ 2 "
. . Æ - " "
- - - $ . . Æ " - 5 . . Æ - " " 0
2 "
. . Æ . . Æ . . Æ . . Æ - G0
" $ - -
7 - Æ 8 , ! - ! - ! " - - 7 % .,= "
- $ - -
- - - -
- # 0
0
" - -
- - - - 2 3@" 3 - - - 3- $5 "
>3/?0>1@? % ' % 0 Æ 9: 8 9:0 ! $%
'" " **. ' % 0 ½ Æ 9
: 8 9
: )
*
7
! (- -* ! 3 - ! 3
- 3 ! 1 ! 3 - " (- -*" 3 -
=! ! - " ! - - # 3 2 " ! 3 #
- 2
3F" - $ . . Æ . - - 0
" 3 G0
" " -
- "
- - Æ - Æ - -
! % ! " "
! 1 !
F & ! F DE
& ( * 1 ! , & ! !" & ! , " 4, % - 4, (546 K% 7 7 ( * # " 7 %
+!" M 7 ! " 7 M !
" :!" :! 7 Æ Æ 7 ;" % N N ( * N 7 ! 7 * !
(546
5 , N DE
" " DE
" " "
& 3
&
7
! 5 , - 7 , Æ 7 , " Æ! ½ N #" Æ! ½ N !" N " ! (34* " !" N 5 , !" N !" " !" ! , -
7
, - & !" !" ! !" " ! ! @
! F /
1 , 1 !" 1 ! !" & , !" N ; !" N DE
5 ! N !" N ( F*" 3-3 - 7 , Æ 7 5 , - 7 - !" N N !" N 7 ! F !" ! !" !" N " , - 5 7 , " N !" N 6" , !" N 6 !" ! *
, -
% F
& % 0
" & ! +,! +,! (4* = %
3 ' ( +,! 8 + 8 ( - ( 9 + & 9 & 9 : : % :# #
-
8!
: Æ Æ : : & N N N Æ : & # # ! ! " -
F ; < ; ; 0 ; ; ; Æ Æ < Æ & F3 * !" ! !" %
1
3 '
0 ( !" . ! : # ! O , . ! " " % 2 ! " F ; N& ! DE "
% 6
! N& N !" &
0
F3 > " 0
' 3 F3 % D % 0
2 F3 " F3& (4* ! N - -
& Æ K% P N
Q Q 7 Æ : 5 , : , , Æ : " " ! " % *< !"" ' ')
, O
M M @ % = ! G
" (4* ! " :
! Q " Q Q Æ Æ Q 5 "
3 ! F ! 5 " Æ Q
" P Q ! -
(4*" 33 3 F
1 3? 3) 8! ' 3) , +,! % +,! +,! (4* " ! " P
Q ! -
! ! Q " ' !
& ! "
!" ! !" !
FF
N !" ! *
FF ! @
;" ! G !
5 ! N !" ! " !" ! !" & N ' F ! P
Q ! - P Q ! Æ Q
5 % " Æ P Æ :
! % 7 ! - 2
F N &" !" N 7 ! &" !" ! ;
, , Æ P
, , Æ : ! " % " " " 3/
(4* " N N &" !" ! " ' FF
5 " Æ Q
Æ+ ½ N !" N ! 7 Q ! " " N Æ+ ½ N N !" ! ! F3
& 3" % (4" G* ! " & ' (R*
& " % # "
># - - & Q
# #
2
Æ -
# Q ! &
># Æ - #
¼
-
? Æ Æ K% ( ¼ ¼
( Æ *3 % ¼ %
: ¼ Æ 5" ( ( 2 %
F@
¼ ¼
% " % " ! % ! 5 " ( ( ( ( & Ƽ :" ( : Ƽ 0
" ! %
. 3 (4* 1 # # # Q !
F
#
#
(
* Q
#
# ># Æ 2 %"
- #
& Q # Ƽ " #
Ƽ 2 Æ " & Q # Ƽ (
¼ * #
(
¼ * " F" #
¼ ¼ (
¼ * #
¼ F4 2
> - Æ - ># Æ # N !" ! & '( F& 1 > - !" !" ! Æ - ! F4 % % F@
/ # ! # # - % N !" ! $ >
! ! F@ >#
Æ # 2
F4 -
$
5 !" ! " ! % %
@ ! ! F & ! 1
- 1 > - 2 " " "
-
-
@
., 8! 1 >
*3 -
>
4
" -
G (
2 %"
#
( ØÓÔ " $
( .! (
(
! 2 0 4 0 @"
#
& ¼ ½
Ê
$
S(
$
#
S(
Ê
(ØÓÔ .
= ( R* % 1 $$
!
% - D"
S(
D" " , > -
1 1 !" 1 %
FF& ! # ,"
N N 0
', > - 1 " ! %
ØÓÔ %" $
1 " > > S 5 &
£ $
** $ Æ (
5" 7= T ( *
& ( !
( ( ( D" # £ "
* $ ( &
£ ( #& (# # # #* $
-
K% !
M " % = = >*S 2 " "
#
?
S -
? = >*S 2 ' F " ! (
%
#
(
ØÓÔ %" $
& % ! ( ) & '! %" ) ) ' = ) ' ·½ - & M ' U
3 ) U
F S (- ¼ ( ) >* S U
- * ! ! ( ) U
3 !U
F ' , M U
@ '
¼ ) "
&
(
£ ½
( )' ))½ )'½ )
#
¼
# , ¼
½ S &
£ ØÓÔ %" $ $
* $ (
ØÓÔ %" $$
D" ! F4& ! #" ># Æ 1 @ # # @ - ' (R* Æ - ! (
# (@* ># Æ -
#
- ( ØÓÔ %" $
(
! @ " ! 2
! ' F N !" ! $ >
"
>3? ) 0 *$ < "*$ %) ) % * "
93AAB:0 )
>1? ) =$
$0 C) ) "#C"0 0 3AB/)
>D? ) EE0 $ "*$% ' 0 93AAB:0 31/F
3@3)
>G? ) EE0 $ "*$% ' Æ >2 3? 0 93AAB:0 ABF33H)
>/? ) EE0 & + ' * *% $ % 0 93AAA:0 D/BFDH2)
>@? ) EE0 5 *% $ ' ' $ ! . !% $
(! 0 !
" " ! ) I&0 ) * =0 J) K0 6) 0 *)0 )
>B? ) EE0 # $%
! 1222)
>H? ) EE0 L) K$$0 ) $ 0 M' ' #* $
! 0 & 0 91223:0 32D/F32GA)
>A? ) EE0 C) #$ 0 $% ' $ ' * $ +#
*" 0 0 $$* 1223)
>32? )) $0 5"$ % ' $! & $0 ' '
('
)
93A@A:0 B3/FB3H)
>33? )) $0 ' % * & $ ' ' $!
"0 ' '
('
) 93AB2:0 A@DFA@/)
>31? )) $ * )C) $&0 5 *% $ ' ' $! % !$
& $) *' (' 93AAH:0 D#32@) " ) ) 93AAH: 1G/#DGG)
>3D? ) I& * ) 6!0 $%$* ' $ * $ M !*" ) K 93AA/:
>3G? ) I0 "% +" # ) 93AB1:0 D2AFD1G)
>3/? L) =*0 K$ %- *% ( % !(0 + ,
- 93ABG:0 3H/F121)
(
>3@? *0 ))0 !
&0 ). - . ) ) 91223:0 AD#3D2)
>3B? ) K%0 $ & M) / 93A@G:0 //#@@)
>3H? ) 0 $* + $) >3A? ) *0 0
0 +'* 0 3AA2)
>12? ) "0 5 *% $ ' ' $! & '0 /$ *
1222)
>13? ) "0 5 *% $ ' ' $! & '0 93AAA:0 3/@/F3/AD)
>11? ) "0 5 *% $ ' ' $ ) 91223:0 1H/#D33)
>1D? ) "0 K ' $! & '0 1 " 91223:0
///F/BB)
>1G? ) "0 M$E ' +$ ' !! ' $! & '0
K)
>1/? K) 0 0 * 5+ $0 BA)
"#C"0 J&#0 3AH1)
>1@? K) 0 )2 $ 5) 93ABH:0 DB/#DHB)
# $%%
G+# >+. )?@- G;.7 I ' 0
R 3/ '
G 1
& '
+ 5
>! &,
G! GV @ )#" I