Search Theory
Two-Sided Search - types
Overview
• What is two-sided economic search?
• Two-Sided Search with no search costs
• Two-Sided Search with search costs
2
Example - Marriage Market
f(x)
Lifetime Utility
Reservation Value - x
Should I
try to do
better?
In a simple infinite horizon model
- doesn’t depend on history
The optimal Reservation Value
f(x)
Terminate
Search
Resume Search - sample one more
x
Expected utility
when using
reservation
value x
Search
cost 
V ( x)c
Lifetime Utility
Distribution of utilities in the
environment (p.d.f / c.d.f)
 yf (y)dy F( x)V ( x)
y x
c
V ( x)

 yf ( y )dy
y x
1F( x)
f (x)
F(x)

The Reservation Value Concept
Expected utility
when using
reservation
value x
Distribution of utilities in the
Search
environment (p.d.f / c.d.f)

cost
V ( x)c
 yf (y)dy F( x)V ( x)
y x
c
f (x)

 yf (y)dy
y x
V ( x)
1F( x)
x  V (x )
*
*
F(x)
However We’re not the only DM!
Reservation Value - x
Reservation Value - x
f(x)
Lifetime Utility
Reservation Value - x
Two-sided search
Initiate search and incur search cost
Low
High
Romeo
type r
Juliet
type j
Two-sided search
Low
Romeo
type r
Utility from partnership=w(j)
High
Juliet
type j
Utility from partnership=g(r)
Two-sided search
Decision to accept or reject partnership
Low
High
Romeo
type r
Utility from partnership=w(j)
Juliet
type j
Utility from partnership=g(r)
9
Some Assumptions
• Agents self interested and rational
• Analysis is conducted from the equilibrium point of view
• Agents know the distribution (pdf f(x)) of the population
• Agents incur a search cost c for meeting new agents
•For now, we assume that the utility from an agent of type j
equals j
The use of Reservation Values
• The use of reservation values still holds
Men
Low
High
Low
High
Women
What if there is no cost of search?
Men
Low
High
Low
High
Women
• Every agent is accepting only the highest type
• If all agents act this way then agents will
search forever… only agents of the best type
will form a partnership (with probability -> 0)
Zero Search cost (cont.)
• If all agents accept only the best type agent then
there is no incentive for any single agent to deviate
from this strategy – this is equilibrium
• Once one of the agents uses a different strategy, the
system is not in equilibrium anymore
Men
Low
High
These all have incentive to change their strategy
Women
Low
High
Zero Search cost (cont.)
• If distributions are identical:
– Equilibrium when each type is accepting only
others of its own type (and above)
– Can be illustrated using a single type:
Low
Accepting these guys will only
worsen my performance
High
Needless to consider (will not
affect performance since these
guys don’t accept me)
Zero Search cost (cont.)
• When having two populations and the
distributions are different (assuming equal or
infinite populations):
1-F(
)
Men
Low
High
1-F(
) = 1-G(
)
1-G(
)
Women
Low
High
Now let’s add Search Cost
• Obviously now we’re not willing to accept only
our own type but also some that are below us
Low
High
Needless to consider (will not
affect performance since these
guys don’t accept me)
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  1  F (t )  F ( x)V ( x)
t
yx
Model with Search Costs
• But if everyone is accepting below their type
then there are cases when an agent is
accepted by better type agent
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  1  F (t )  F ( x)V ( x)
t
yx
A t 
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  1  F ( At )  F ( x)V ( x)
t
yx
At   returns highest type that is willing to accept type t
How can the model be solved?
A t 

Vt ( x)  c   yf ( y )dy  1  F ( At )  F ( x) Vt ( x)

yx



A t 
V ( x)  c  yf ( y )dy  1  F ( A t )  F ( x) V ( x)
t

 t
yx



t
• Now solve the set of equations

t
A Simpler Approach
• Let’s look at the best type agent t
• Agents of this type are accepted by all other
types
• Their strategy does not depend on the
strategy of the other types
• In fact, their problem is one-sided search!
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  F ( x)V ( x)
t
yx
x*
t
t
A Simpler Approach (cont.)
x*
t
t
All these types will use the same strategy
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  F ( x)V ( x)
t
yx
t
x*
t
A Simpler Approach (cont.)
• Now let’s look at the next type:
t
x*
t
• This type is being accepted only by lower
types
• Again, we get a cluster…
A Simpler Approach (cont.)
• This goes on and on:
t
x*
t
• Eventually, we partition the entire range into
clusters – all agents in the cluster accept only
agents of their own cluster
And when having two populations...
Men
Low
High
Low
High
Women
• Equal number of clusters
Example
• Agent types are uniformly distributed (0,100)
• Search cost is 1
• Utility from partnering with another agent of
type t is: U(t)=t
0

c
 1  F ( y) dy
yx
100
1
 1  0.01y dy
yx

1  y  0.005 y

2 100
yx
1  50  x  0.005 x 2
x  85.9
100
0
85.9
100
85.9
V85.9 ( x)  c 
 yf ( y)dy  F x   1  F 85.9V x 
85.9
yx
• Or generally:
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  F x   1  F t V x 
t
yx
t
• Can we still use
c
 1  F ( y) dy
yx
?
t
Vt ( x)  c 
 yf ( y)dy  F x   1  F t V x 
t
yx
t
 yf ( y )dy
c
Vt ( x) 
yx
F t   F  x 
t



 xf ( x)dxF t   F x   f ( x)dx  c   yf ( y )dy 


dVt ( x)
yx

 0

dx
F t   F x 2
 xF t   F  x   c 
t
 yf ( y )dy
yx
t
c   yF  y 
t
yx

 F ( y )dy  xF t   F x 
yx
c  tF t  
t
t
t
yx
yx
yx
 F ( y )dy  xF t     F ( y )dy  F t t  x    F (t )  F ( y ) dy
0
71.8
t
c
 F (t )  F ( y)dy
yx
85.9
 0.859  0.01y dy
1
yx

1  0.859 y  0.005 y 2

85.9
yx
1  36.894  .859 x  .005 x 2
x  71.8
85.9
100
0
57.7
71.8
85.9
100
t
c
 F (t )  F ( y)dy
yx
71.8
 0.718  0.01y dy
1
yx

1  0.718 y  0.005 y 2

71.8
yx
1  25.78  .718 x  .005 x 2
x  57.7
Notice the cluster interval is always 14.1. why?
t
c
 F (t )  F ( y)dy
yx
2
2




0
.
01
t

0
.
01
y
)
dy

0
.
01
t
(
t

x
)

0
.
005
t

x

t
c
yx
0.01(t  x)t  0.5t  0.5 x   0.01(t  x) * 0.5(t  x)  0.005(t  x) 2
xt
c
 t  14.14
0.005
• And consequently:
0 1
15.2
29.3
43.4
57.7
71.8
85.9
100
Search time
• How much time, on average , does it take an
agent to form a partnership?
– For 99% of the population – 1/0.1414=7.07 search
rounds (notice that this is half way of each cluster)
– For the rest, 1/0.01=100 search rounds
Expected Benefit
• What is the expected benefit of each agent
type?
0 1
15.2
29.3
43.4
57.7
71.8
85.9
100
• What is the average expected benefit?
Vx1 * F 1  1* F 15.2  F 1  15.2 * F 29.3  F 15.2  ...
What is Vx 1?
• Each agent will match with type (0,1) and its
search will take on average 100 rounds.
• Expected benefit = 0.5-100*c=-99.5
• And therefore:
Expected Benefit
• How much did we lose because of the search
cost?
• If no search cost then Equilibrium is when each type
is accepting only others of its own type (and above)
Low
Accepting these guys will only
worsen my performance
High
Needless to consider (will not
affect performance since these
guys don’t accept me)
• Average expected benefit is thus 50.
Expected Search Cost
• How much did we invest in search (expected
search expense)?
• Recall:
– For 99% of the population – 1/0.1414=7.07 search
rounds (notice that this is half way of each cluster)
– For the rest, 1/0.01=100 search rounds
• Expected search cost is:
– .99*7.07+.01*100=8
(which is how much we lost: 50-42).
‫הקשר בין עלות החיפוש לביצועי הסוכנים‬
‫• ב‪:one-sided search -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( y  x) f ( y)dy‬‬
‫‪c‬‬
‫‪yx‬‬
‫• כלומר‪ ,‬ככל שנגדיל את ‪ c‬ביצועי הסוכן יורעו‬
‫הקשר בין עלות החיפוש לביצועי הסוכנים‬
0
:two-sided search -‫• ב‬
0.8
0.2
0.6
1
types
0.2
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
Weighted
expected
value
-0.1
-0.2
c
‫שיפור ביצועי סוכן בודד‬
types -‫• נתונה התפלגות ה‬
0
0.6
1 types c=0.1 -‫ ידוע ש‬,‫• בנוסף‬
‫ידי‬-‫ נתונה על‬x ‫• התועלת משותפות עם סוכן מסוג‬
x^2
0.6
0.4
1
Vt ( x)  c 
2
y
 f ( y )dy  F ( x)Vt ( x)  x ^ 2
yx
1
c
Vt ( x) 
2
y
 f ( y )dy
yx
F ( x)  0.4 
 x^2
1  F ( x)
x  0.477, x  0.8042, x  1.173
x  0.6* 0.6
0.4
f ( x)  0.6 / 0.4  1.5
)‫שיפור ביצועי סוכן בודד (המשך‬
:‫• הסגמנט הבא‬
0.8042
Vt ( x)  c 
2
y
 f ( y)dy  ( F ( x) 
yx
(1  0.8042) * 0.6
)Vt ( x)  x ^ 2
0.4
0.8042
c
Vt ( x) 
2
y
 f ( y)dy
yx
(1  0.8042) * 0.6
1  F ( x) 
0.4
x  0.281, x  0.344, x  1.525
 x^2
x
0.6
f ( x)  0.4 / 0.6
F ( x)  0.4 *
‫למי כדאי לשפר את ה‪ type -‬שלו?‬
‫• נניח שבשביל להפוך ל‪ x type -‬אני צריך להשקיע‬
‫‪) (x-t)^0.8‬כאשר ‪ t‬הוא ה‪ type -‬שלי)‪:‬‬
‫עלות השינוי‬
‫רווח מהשינוי‬
‫‪0.8042 2  0.344 2  0.8042  t ‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪t  0.354‬‬
‫• כלומר כל סוכן מעל ‪ 0.354‬ישאף לעשות זאת‬
‫באופן אינדיבידואלי‬
‫הבעיה שנוצרה‬
0.6
0.4
0
0.354
0.6 0.8
1
types
1
Vt (0.8042)  c 
2
y
 f ( y )dy
y  0.8042
 (0.6 * (0.8042  0.6) / 0.4 
0.4 * (0.6  0.354) / 0.6) * 0.8042 2  F (0.354)Vt ( x)  0.8042 2
‫ הראשון איננו יציב‬cluster -‫ ה‬,‫• כלומר‬
max ‫פונקציית תועלת‬
max
t*
t_min
t_max
Assortative Matching
• Now let’s assume that the utility an agent of
type x achieves by partnering with an agent of
type y is U=x*y
x*
t
t
t
Vt ( x)  c 
A t 
Vt ( x)  c 
 yt f ( y)dy  F ( x)V ( x)
t
yx
 ytf ( y)dy  1  F ( At )  F ( x)V ( x)
t
yx
A t 
Vt ( x)  c 
 ytf ( y)dy  F x   1  F  At V x 
t
yx
A t 
c
Vt ( x) 
 ytf ( y )dy
yx
F  At   F  x 
Segmentation
Reservation Value can be calculated
for any type within range
Sequence of Agent types
Reservation
Value for t
t
Highest agent type
to accept t
Distributed Calculation
• Bounding the reservation value by two
sequences
Reservation Value for q
t
Highest agent type to accept q
• Refine the sequences using Binary Search over
the first interval as a in order to narrow the
bounding interval
‫מודל עם ‪ utility‬שאינו קשור ב‪type -‬‬
‫• סוכנים ללא ‪ type‬מסוים‬
‫• הפרוטוקול‪:‬‬
‫– כאשר הסוכנים נפגשים הם מגרילים את ה‪utility -‬‬
‫שלהם מתוך התפלגות‪:‬‬
‫• שווה‬
‫• שונה‬
‫• עלות הפגשה – ‪c‬‬
‫• התפלגות ה‪f(x) :utilities -‬‬
‫• שני הצדדים צריכים להסכים על‪-‬מנת ליצור‬
‫שותפות‬
• Strategies are still reservation-value based
• Assume other agents are using reservation
value r:



V ( x)  c   (1  F (r )) yf ( y )dy  V ( x)1   (1  F (r )) f ( y )dy 


yx
yx




 (1  F (r )) yf ( y )dy
c
V ( x) 
yx

 (1  F (r )) f ( y )dy

c

 (1  F (r )) yf ( y )dy
yx
(1  F ( r ))(1  F ( x ))
yx
A' B  B ' A A' B  B ' BV ( x ) A' B 'V ( x )
V ' ( x) 


0
2
2
B
B
B
 (1  F ( r )) xf ( x )   f ( x )(1  F ( r ))V ( x )
x  V ( x)

c
 (1  F (r )) yf ( y )dy
yx
(1  F ( r ))(1  F ( x ))
x

c
 (1  F (r )) yf ( y )dy  x(1  F (r ))(1  F ( x)) 
yx

 (1  F ( r ))
 ( y  x) f ( y )dy
yx

A
B
‫כיצד נמצא ש"מ?‬
‫• נציב ‪r=x‬‬
‫• מדוע זה יהיה ש"מ?‬
‫• האם ש"מ טוב יותר מחיפוש חד צדדי?‬
‫‪‬‬
‫‪ ( y  x) f ( y)dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪yx‬‬
‫• כיצד משפיע ‪ c‬על ש"מ?‬
‫‪ ( y  x) f ( y)dy‬‬
‫‪yx‬‬
‫)) ‪c  (1  F (r‬‬
‫מה היה קורה אם התועלת לשני הצדדים‬
‫שווה (מוגרלת מ‪?)f(x) -‬‬
‫• במצב זה הצד השני יקבל אותי רק אם תוצאת‬
‫השותפות גדולה מ‪ r -‬של‬
‫‪‬‬
‫‪ yf ( y )dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫) ‪y  max( x , r‬‬
‫)‪1  F ( x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yf ( y )dy‬‬
‫‪c‬‬
‫) ‪y  max( x , r‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( y ) dy‬‬
‫‪V ( x) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪yx‬‬
‫‪V ( x)  x‬‬
‫• ש"מ על‪-‬ידי הצבת ‪x=r‬‬
‫תרגיל‬
‫• במודל חיפוש דו‪-‬צדדי עם אינסוף סוכנים מתפלגים הסוגים‬
‫)‪ (types‬של הסוכנים בצורה אחידה בין ‪ 0‬ל‪:1 -‬‬
‫• נתון כי התועלת של כל סוכן משותפות עם סוכן אחר שווה‬
‫ל‪ type -‬של הסוכן השני‪ .Uy(y,x)=x :‬בנוסף‪ ,‬ידוע כי עלות‬
‫החיפוש )עלות המפגש עם סוכן אחר) היא ‪ .c=0.1‬לבסוף‪,‬‬
‫ידוע כי כל הסוכנים הם רציונליים לחלוטין‪ ,‬כלומר יקחו חלק‬
‫בחיפוש אך ורק אם תוחלת הרווח שלהם חיובית ובכל מצב‬
‫אחר פשוט יעזבו את הסביבה )כלומר ההסתברות לפגוש‬
‫סוכנים מסוג זה היא אפס)‪.‬‬
‫• מהם ה‪ clusters -‬שיווצרו בסביבה המתוארת בשיווי משקל‬
‫)במידה ואתה סבור שקיימים מספר שיוויי משקל‪ ,‬תאר אחד‬
‫מהם)? נמק והסבר כל שלב בחישוביך‪ .‬יש לתת מספרים‬
‫ולא להסתפק בתיאור כללי‪.‬‬
‫תזכורת לחיפוש דו‪-‬צדדי‬
‫• שיווי משקל על‪-‬בסיס ‪:clusters‬‬
‫‪t‬‬
‫*‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫• מתחילים ממציאת ה‪ RV -‬של ה‪ type -‬הגבוה‬
‫ביותר‬
‫‪t‬‬
‫)‪ yf ( y)dy  F ( x)V ( x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪Vt ( x)  c ‬‬
‫‪yx‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫*‪x‬‬
‫תזכורת לחיפוש דו‪-‬צדדי‬
‫• וממשיכים באותה דרך‬
‫‪100‬‬
‫‪85.9‬‬
‫‪71.8‬‬
‫‪57.7‬‬
‫‪43.4‬‬
‫‪29.3‬‬
‫‪15.2‬‬
‫‪0 1‬‬
‫• חשוב לזכור כי הרווח של הסוכנים ב‪cluster -‬‬
‫הנמוך ביותר הוא שלילי‬
‫פיתרון‬
‫‪,‬‬
‫• המצב המתואר בשאלה הוא למעשה‪:‬‬
‫• כאשר בהכרח כל ‪ cluster‬שייוצר בתחום )‪(0,T‬‬
‫יביא לתוחלת רווח שלילית‪ .‬לפיכך יש לבדוק‬
‫בצורה סיסטמטית עבור …‪ N=1,2,‬קלאסטרים עד‬
‫לאיתור מצב יציב‪ .‬יש לשים לב כי במצב החדש‪:‬‬
‫פיתרון (‪)2‬‬
‫• נתחיל ב‪:N=1 -‬‬
‫• מכיוון שיש קלאסטר אחד בלבד הרי הוא צריך לקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  F  y dy   ‬‬
‫‪dy  ‬‬
‫‪y T‬‬
‫‪y T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 T ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪T  1  2c  0.8‬‬
‫• על‪-‬מנת שאכן הפיתרון יתקיים כש"מ‪ ,‬הרי שבתחום )‪(0,0.8‬‬
‫כל קלאסטר אפשרי יהיה בעל תוחלת רווח שלילי‪.‬‬
‫• אולם די לראות כי אם נגדיר קלאסטר נוסף של )‪ (0,0.8‬הרי‬
‫שתוחלת הרווח בו תהיה‪) 0.4-0.1/0.8=0.275 :‬תוחלת‬
‫הרווח מהסוכן שיימצא היא ‪ 0.4‬ומשך החיפוש הצפוי הוא‬
‫‪ ,)1/0.8‬קרי חיובי‪ ,‬ולכן פיתרון מסוג זה הוא לא בש"מ‪.‬‬
)3( ‫פיתרון‬
:‫• כעת ננסה עבור שני קלאסטרים‬
:‫• נתחיל בקלאסטר הימני‬
2
 y


y
1 r
c   1  F  y dy  

 
y r
1  T 21  T   y  r 21  T 
1
2
1
r  1  2c1  T 
:‫• כעת נסתכל על הקלאסטר השמאלי‬
2
 yr

y2 
r T
c   F r   F  y dy  



y T
1  T 21  T  y T 21  T 
r
r
r  T  2c1  T 
‫פיתרון (‪)4‬‬
‫• ומשתי המשוואות שקיבלנו עבור ‪:r‬‬
‫‪1  T  2 2c1  T ‬‬
‫‪T  1  8c  0.2‬‬
‫‪r  0.6‬‬
‫• כלומר נוצרו שני קלאסטרים‪ ,‬כל אחד בגודל ‪ ,0.4‬החל מ‪-‬‬
‫‪ 0.2‬ועד ‪ .1‬כעת יש לבדוק שבאינטרוול )‪ (0,0.2‬לא יכול‬
‫להיווצר קלאסטר שהוא בעל רווח חיובי‪.‬‬
‫• קל מאוד להראות שחסם עליון במקרה זה לרווח של סוכנים‬
‫בטווח הזה הוא ‪) 0.2-0.1/0.2‬הרווח המקסימלי האפשרי‬
‫מהסוכן איתו תיווצר שותפות פחות העלות המינימלית של‬
‫החיפוש)‪ ,‬ומכיוון שהחסם קטן מ‪ 0 -‬הרי שמדובר בש"מ‪.‬‬