Dynamic Mechanism Design Lectures

  


 
     
 
 
   
 
  
  
    
      
 
         
      
       
 
   
 
  
 
  
     
    
      
 
  
        
        
     
        

   
 
   
 
  
 
 
         
    
       
     
     
  
       
 
       
 
 
   
 
  
  
         
   
 
   
        

   
 
   
 
  
  
 
    
      
         
 
 
   
 
 
   
 
  
 

     


      


     
 
   
 
  
     
 
      θ  Θ  θ θ̄
  θ    


        
  χ : Θ    ψ : Θ  R
    θ̂     θ
 θ θ̂    θ χθ̂   ψθ̂ 
 
 θ    θ θ     θ θ̂ 
θ̂ Θ
 
  θ   θ θ θ̂   θ θ χ θ 

       
    ψ     χ 
 
   
 
  
   
   χ   ψ 
  θ θ̂      θ̂    
       θ 
   θ      θ θ    
     θ θ̂    θ χθ̂   ψθ̂ 
     θ̂   θ
 θ θ̂    θ θ̂    θ 
   θ Θ  θ θ̂    θ̂ θ̂    θ̂
  θ̂   


θ θ θ̂ θ θ̂  θ θ χθ̂ θ θ̂    θ̂   

 θ θ̂    θ   θ   θ̂ Θ  θ θ̂   
   θ    
θ
θ
 θ   θ   τ   τ  θ θ τ χ τ   τ
 
   
 
  
  
θ  θ         
θ  θ           χ
      
      
    
       
      θ    θ   :


 




 θ   θ̂   E θ̃   θ   θ̃   χ θ̂   θ̃   ψ θ̂   θ̃ 
   θ    θ   θ    θ̂ Θ  θ   θ̂  
 
         
         
          
       

 
   
 
  
   

 
       R Θ  θ θ̄    θ   
θ  θ       θ  θ     
     χ   ψ   
      χ    
  
    
    
       χ θ   ψ θ         χ θ   ψ θ 
 






    θ    θ            θ     θ 




 θ 
θ



θ    τ  θ  τ   τ  

   θ  θ
    
 
   
 
  
  
     θ θ̂    θ θ̂    θ 




 θ θ θ̂    θ θ θ̂     θ 



  θ θ χθ̂   θ θ χθ 



  χθ̂   χθ 



  θ̂  θ 
 θ θ θ̂     θ  θ̂ θ θ θ̂     θ  θ̂
 θ Θ  θ θ̂    θ̂ θ̂     
 
   
 
  
 
      . . .  ∞      . . .  
   θ   Θ  θ   θ̄    R
∞  θ   θ̄   ∞
     
       
    ∏∞ ∏
  
   
θ   θ    . . .  θ        . . .   
 θ̃    θ       
      
    θ    
   ∑∞ δ 
 
   
 
  
   
   χ Ψ
  χ : Θ    χ θ     θ 
   Ψ : Θ  R 
   λ χ θ    Θ
    


 θ     E λ χθ    θ̃ χθ̃   Ψ θ̃ 
  θ        
        
        
    
 
   
 
  
    
 θ   σ       σ  Σ
  θ    σΣ  θ   σ
       θ     θ   σ   
  θ 
     θ    σ  Σ
 σ   θ 
 θ  θ         
  θ      
      Σ̄  Σ   
 θ   σ    θ   σ  Σ̄
Σ̄     σ
 
   
 
  
  

                 
    
      
   : Θ         Θ 


    θ       




 θ        ε̃      θ        ε̃ 
   
    σ   θ̂       ε
    
     θ     θ̂   θ 
      θ   σ    θ  
 ∂ θ   σ /∂θ 
      
 
   
 
  
 
 
  θ      θ    
  δ      θ    
∞
  θ   θ   ∑ δ θ  
 
 
  E λχθ  θ̃   ∞   θ   χ
          

θ
   
 θ       ε  
    θ       ε       ε     
   ∂ /∂θ        ε 
E  ε̃   ∞
 ∂ /∂θ      θ   θ   ε 
    
∂

∂θ 
 
∑

∂
∏ ∂θ 
 
 N  N  :  

  
   
   
 
  

           
  θ         θ  


∞
∂

θ̃
χ

θ̃


  θ    E λχθ  ∑
 θ̃  χ  θ̃  
∂θ

 




∂ θ       ε̃   


 
  
 θ     E


θ



ε̃


θ



∂θ 
 θ            θ   θ 
     χ Ψ  
      
         
 θ     θ   σ   σΣ̄  θ   σ
Σ̄      ε  σ  Σ̄
 
   
 
  
  

θ 
∑ φ  θ    ε 
 
ε      
 θ   
∑
θ      

∏ φ   
 N  N :     

 
 
     θ    φ 
 
   
 
  
     
   
 ε    ε θ       
  θ  :  θ  θ         ε 
ε̃
 θ
 

 
    θ       
   
    




  ε̃ θ         θ 
  ε̃   θ  θ       
   θ   θ         
        ∂ /∂θ   
∂
∂ /∂θ τ

 τ  
∂θ τ

    
           
 
   
 
  
  

          
θ̃    θ              

         
     θ        θ   


∞
∂ θ̃ χθ̃ 


λ χθ  
 
 θ     E
 θ̃   χ θ̃   
∑
∂θ 
 

 θ     
 
E



∂ θ       ε̃   

  
  θ      ε̃   θ  

∂θ  
   
 
  
    
       
        
 θ     
 θ   
         θ   
         
    

  θ̄
E  θ̃    θ   τ  τ 

 θ̄
  τ  τ θ̄θ  θ    τ  τ   τ
 θ̄  
 θ̄
   θ    θ   τ   τ  θ     τ    τ   τ



 θ̄    τ   
 θ
  τ    τ   τ  E
η  θ̃  
 τ 

  
  
 
   
   θ̃


 
  
 
   
  
 E
χ

  θ     

∂

θ̃
χ

θ̃


∑  θ̃ χθ̃   ∑ η  θ̃    ∑  θ̃   χ θ̃  ∂θ 
 
 
 








  

∞

     
      
         
    
         
 
 
   
 
  

   
 θ    ∑∞ δ   θ    
 θ     ∑∞ δ  /
    θ  θ   


   χ θ     θ        θ̄  
   
 


χ θ 
     θ    θ  /η  θ    

 
∂τ θ τ θ τ  /∂θ τ 

 θ   ∏ 
   
τ  θ τ  θ τ  
τ 
  χ  χ     
  θ  θ      θ   
 
 θ      θ  
 

  θ   θ   θ̄             
    
 
   
 
  
   
θ   φ θ     ε   ε   
 
  θ    ∏ φ θ τ 
τ 
  θ    
    φ  
   φ  
     φ    
            φ θ    
         
 
 
   
 
  
 
        
  
  Θ      θ    θ     θ      

   ε̃   
 ε  θ       ε    θ  
   θ      θ   
 ε        
    θ      θ    
     
   
       
    θ̄      
       
             
      
 
   
 
  
  
    χ        
  
 
         
       

 
 
      θ    θ̂     θ   θ̂     
          
         
 
         θ̂   θ   
 
       θ     Γ θ̂ 
   
 λ χ Γθ    θ      Θ   
  
  χ       
Γ θ    χ  θ   
 
   
 
  
   





 
 θ    θ   E λ χΓθ θ   θ̃ χθ̃   Ψ θ̃ 
          
   θ    θ 
           
    
∞

 
∂ θ    θ  
∂ θ̃ χθ̃ 

 E λ χΓθ θ ∑
   θ̃   χ  θ̃ 
∂θ 
∂θ 
 
 
           
           

        
 
   
 
  
   


 Ψ : Θ  R       

∞

ψ : Θ  R        θ  
∞
 
 Ψ θ   ∑ δ ψ θ    λ χ Γθ    θ   θ
 
 E λ χΓθ
 
θ 
∞



∑ δ ψ θ̃   ∞
 
   ψ        
∞
∞
 
 
  E  ∑     ∑ 
  
      ∞   
  

∞

   
 θ    ∑  δ  θ   
 θ      θ            ∞
 
   
 
  
 

           χ
   Γ    Ψ   
    χ Ψ     
 
∞

  

∂ θ̃ χθ̃ 

λ χΓθ   θ 
 
 θ  θ 
 E
∑    θ̃   χ θ̃  ∂θ 
 
 θ 




 θ    θ 

 θ    τ  τ
θ̂ 
 

ψ θ
 δ  θ    θ  


 

δ E λ χΓθ θ    θ̃  θ̃    


 


E λ χΓθ θ  θ̃  χ θ̃ 
 
   
 
  
         

 θ    θ   

∞
∑
δ E λ χΓθ
 
θ 
 
 




 θ̃  χ θ̃   ψ θ̃ 

∑    θ    θ  
 
  
  θ   
  E λ χΓθ
 ∞

 
θ 



   θ̃  θ̃    



      θ    θ  
 
   
 
  
 
    




  
 θ      θ     θ    E λχθ
 θ    θ̃ 


  
 E λχθ
 θ     θ    θ̃ 
 
 
 
  
 E λχθ Ψ θ̃  E λχθ
Ψ θ̃
 
  
 
 E λχθ Ψ θ̃  E λχ Ψ θ̃


 



 Ψθ    ∞

 Ψ θ         


         E Ψθ   θ̃   
       
           
    
           
  Ψ
 
   
 
  
     
      


  θ            θ  


  θ    ∑∞ δ  θ   θ    
        
     
          
  
        
 
   
 
  
 χ  θ̂      θ      θ̂ 

         
     χ      Γ
       θ    θ̂   Θ 



∞
 

θ̃
χ

θ̃

θ̂

θ̃

∂



 
 
E λ χθ̂  Γθ θ  ∑   τ θ̃   χ θ̃   θ̂   θ̃  
∂θ

τ
τ 
   θ̂         
 
   
  Ψ      
        
  
         
       
 
   
 
  
     


  θ   θ̂         θ̂  
 θ    θ     
  θ̂        


    ∂ θ   θ̂  /∂θ    
    θ̂       
    θ̂  θ    θ   
    
 
   
 
  

         
         
 θ      θ          χ  
         
       Γ   
    
      Ψ        
           
          χ Ψ   
         
  
         
    
            
        
         

 
   
 
  
  
    θ  θ       



∞
τ ∂ θ χ  θ̂   θ   θ  
∑   τ θ  
∂θ  τ
τ 
   θ̂    θ   
      
  θ  θ       θ      
 ∂ θ   /∂θ    
χ θ    θ      
   χ       
             
 θ 
 
   
 
  
       
 θ    ∑∞ δ   θ   
∞
    
∑ δτ  τ θ τ  χ θ̂   θ    
τ 
  θ̂  
  θ   φ θ     ε
   
 
χ θ     θ  
 

∏ φ θ τ  
η   θ   τ 
 η  θ   / φ θ       
      η  θ   
φ θ     δ / δ
  φ θ      δ / δ
    θ    
           
  
 
   
 
  
    

 
     
           
   χ     
             
          θ  
         χ θ   
 θ
       
    R
        
      χ θ   θ     
θ    
 
   
 
  
       
 θ   
∞

∂ θ  
 θ  
η   θ    ∑
∂θ 

      
  θ     θ     
∂  θ  /∂θ     θ       
  η   θ     
         
 τ θ τ   
         
 
 
   
 
  
  
              
 ∑
     
      

θ   ε
   θ    
θ 
   
   
 θ        
         
     


 E λχ
χ
 
∞

∑δ ∑
 

 

θ̃    
η   θ̃   
   



χ θ̃  
 
  
  
      θ̂     
/η  θ̂   
     
̂    /η  θ̂   
            



τ

δ
θ̃



/η

θ

 
∑

τ



τ 

 E λχ̄ θ  

τ

∑τ  δ
   χ̄      
   
            
  θ̂ 
       
 
   
 
  
     
∞
 θ   
∑ δ θ  
 

θ 
∑ φ  θ    ε 
 
ε       θ      
     θ


 


χ θ     θ    ∑ θ    η   θ    
  
 
        
       
           

 φ        η       χ θ  
 θ            
 
   
 
  
    
     σ     

       
  θ     θ     
       
      
      
       θ  
               σ
 
   
 
  
   
      
       

   
      
 
 
 
   
 
   
 
  

   
           
         θ      
 
      
                  
  
   
     
          
    
          
 
   
 
  
  
        
        
 θ         
       θ  
      
         
  
         
 
     
       
       
    
   
       
        
 
   
 
  
      
    
         

      
  
   
  
       
    
 
   
 
  
       
   χ θ     
∑   χ  θ   θ 

       
Ψ  θ  
∑  χ θ   θ    θ  
  
         
  χ θ   θ     
  
       
         

 

Ψ  θ   γ  θ   
γ θ   
∑
     


 
 
γ θ    E θ̃  ∑  χ θ   θ̃   θ 
  
       
 
   
 
  
  




  θ 
    
  θ 
    
     θ  
     θ      /θ        
  χ θ    θ   χ θ   θ    θ  θ 
   θ   χ θ  
   



γ θ    E θ̃  χ θ    θ̃   χ θ   θ̃  
 

γ θ    E θ̃   χ θ̃   θ   θ̃  
     
ψ  θ   θ     ψ  θ   θ    γ  θ    γ  θ  
          θ 
    θ   χ θ      
 
   
 
  
    
  E θ    γ    θ  
γ  θ   θ      χ  θ   θ   θ   
     γ      
 γ          
 

γ θ   θ     χ θ   θ   θ    E θ̃   χ θ   θ̃   θ  
γ              θ 
 
E θ̃  γ θ̃   θ         γ     
   
  ψ θ   θ    ψ θ   θ    γ θ    γ θ   θ  
    
 
   
 
  
  
       . . .
      . . .      θ
   Θ 



   
          
            R 
 
 θ   θ   . . .  θ    Θ 


 θ̃   ν     θ  

∏τ ∏ Θ        

          
  
  θ  
∞
∞
 
 
∑ δ    ∑ δ

     θ     
  δ      
      
 θ     ∞
           θ 
 
   

 
  
 
   χ : Θ  
 
χ θ     
 
χ  θ         
     µχ  Θ
    
        
 
 ψ  : Θ  R  Ψ θ   ∑∞ δ ψ  θ  
  
  ∑ ψ  θ   
 
         
    
         
     
 
   
 
  

   
  β  : Θ  Θ   Θ 
   α  : Θ  Θ   
        
      
        θ  
β  θ   θ     θ   
 
α  θ    χ  θ 
 
   
 
  
 
     
      
          
          
  β  : Θ  Θ 
     
         
         
        
        
    
           
   
 
   
 
  
    
   
µχ
   χ   E θ̃ ∑  χ θ̃  θ̃
     
 ψ
θ


χ θ  θ  


∑






 

      θ      θ       
          

      ψ
 θ     
 θ 
χ
      
       
 χ         
 
   
 
  
    
          
         
 
    
  
   χ        

         
 
   
 
  
  
     χ ψ
    Ψ θ   ∑∞ δ ψ  θ  
 


ψ θ    γ  θ   θ   
γ  θ   θ   

 δ



γ  θ   θ    
   ∑
 
µ χθ  θ  
E θ̃

 
 
µ χθ   
Ψ θ̃  E θ̃ 
Ψ θ̃

  
    γ      E Ψ θ̃  
   θ     θ  
           γ 
 
   
 
  


 
           
 θ         θ      
   χ ψ      χ ψ 
 

∞
      Ψ
  θ   ∑  δ ψ   θ 

        
  
 
   
 
  
  
    
 
 
µ χθ   
Ψ θ̃  E θ̃ 
Ψ θ̃

 


µ χθ  θ  
δ γ  θ   θ     E θ̃


γ θ  θ   
γ θ   
 
        Ψ θ̃
γ θ          
γ θ    θ          
           



    γ         ψ 
    γ        
    
 
   
 
  
   
          γ    
   
θ  
θ  
θ  
θ  
...
γ
γ
γ
γ
...
γ
γ
δ γ 


       θ      
   θ̃  
δγ  
δ γ 
        γ θ̃    θ̂

 
γ θ̂ 
    θ̂
 
   
 
     γ   
 
   
 
  
   
           γ 
       ψ  
θ  
θ  
θ   
θ  
...
γ
γ
γ
...
γ 
γ
γ
E  
E  


       θ      
   θ̃  
         
 
 
 
γ  θ̃    θ̂    θ̂   γ θ̂    θ̂    θ̂    θ̂
           

  
∑ δτ γ̃ τ     γ̃  γ̃
τ 
 
γ     γ̃  Ψ θ̃    ∞
 
   
 
  
     
        
     χ      
       
      
  



γ  θ   θ      
      



 
 
µ χ θ  θ  
τ
τ

τ
∞
E
 τ χ
θ̃  θ̃


 
  
δτ   θ̃
∑
∑
  θ   
τ
τ
µ
χ

      τ 

τ

E

χ
θ̃  θ̃
θ̃
 τ
      
        
       
  δ           
 γ      δ  
    θ̃      τ  ∞
 
   
 
  
     


          
      
   
      
χ             
δ          
χ           
       
  δ  δ  χ        
        
  γ      δ
 

 
    
  

   
 

 
   
 
  