13 July 2017
北京大学工学院
第四章 矩阵(matrix)
第7次课
1
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第一节 矩阵的定义
矩阵的来源：
•
•
•
•
线性方程组system of linear equations
坐标变换coordinate transformation
运费问题cost problem in transportation
学生成绩表academic records
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第一节 矩阵的定义
已学过的行列式运算：一行的倍数加到另一行，
一行乘一个非零数，交换两行的位置。
我们尚未了解“矩阵”作为一个整体的运算。
本章
的内容主要讨论矩阵作为一个“整体”的运算以及这
些
运算的性质，象秩在运算下的改变与否。
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第一节 矩阵的定义
矩阵的记号：
A
是实数域R上或复数域C的m×n的矩阵
A 
设Rmn 或 A  C mn
特殊的矩阵：
• 单位矩阵，记号
• 对角矩阵、零矩阵
• 数量矩阵
• 上（下）三角矩阵
• 行、列向量
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第二节 矩阵的运算
矩阵的运算：加法(addition)，数量乘法(scalar multiplica
乘法(multiplication)
定义：矩阵相等。
定义：（加法）设 A  (aij )mn
 a11

a21




 am1
a12
a22
am 2
a1n 

a2 n 
与


amn 
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第二节 矩阵的运算
B  (bij ) mn
 b11 b12

b21 b22




 bm1 bm 2
C  (cij ) mn  ( aij  bij ) mn
b1n 

b2 n 


bmn 
是两个m×n矩阵，称m×n矩阵
 a11  b11

a21  b21




 am1  bm1
a12  a12
a22  b22
am 2  bm 2
为矩阵A与B的和，记为C=A+B。
a1n  b1n 

a2 n  b2 n 


amn  bmn 
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第二节 矩阵的运算
矩阵的加法就是对应位置数的加法，因而有
• 结合律(associative law) (A+B)+C=A+(B+C)
• 交换律(commutative law) A+B=B+A
零矩阵：元素全为零的矩阵，记为 Omn  O  (0)mn
负矩阵： A  (aij )mn
  a11

 a21




  am1
 a12
 a22
 am 2
 a1n 

 a2 n 


 amn 
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第二节 矩阵的运算
显然： A  ( A)  O ，减法：A  B  A  (B)
定义：数乘运算， A  (aij )mn ，kA  (kaij )mn
称为数乘运算。
数乘的性质：4条(1,0相乘；分配、结
合)
矩阵的拆分：行，列，元素
例2.1
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第二节 矩阵的运算
矩阵乘法的引入，可以先从例子来看：
坐标变换，我们考虑两个相继的坐标变换
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第二节 矩阵的运算
关系A：
关系B：
 x1  a11 y1  a12 y2  a13 y3
x  a y  a y  a y
 2
21 1
22 2
23 3

 x3  a31 y1  a32 y2  a33 y3
 x4  a41 y1  a42 y2  a43 y3
 a11

a
A   21
 a31

 a41
 y1  b11 z1  b12 z2

 y2  b21 z1  b22 z2
y  b z b z
 3 31 1 32 2
 b11 b12 


B   b21 b22 
b b 
 31 32 
a12
a22
a32
a42
a13 

a23 
a33 

a43 
则关系C：关系A与B的复合
 x1  (a11b11  a12b21  a13b31 ) z1  (a11b12  a12b22  a13b32 ) z2
 x  (a b  a b  a b ) z  (a b  a b  a b ) z
 2
21 11
22 21
23 31 1
21 12
22 22
23 32
2

 x3  (a31b11  a32b21  a33b31 ) z1  (a31b12  a32b22  a33b32 ) z2
 x4  (a41b11  a42b21  a43b31 ) z1  (a41b12  a42b22  a43b32 ) z2
10
3
cij 13
 July
aik bkj 2017
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k 1
第二节 矩阵的运算
 a11b11  a12b21  a13b31

a b a b a b
C   21 11 22 21 23 31
 a31b11  a32b21  a33b31

 a41b11  a42b21  a43b31
我们不难发现
a11b12  a12b22  a13b32 

a21b12  a22b22  a23b32 
a31b12  a32b22  a33b32 

a41b12  a42b22  a43b32 
3
cij   aik bkj
k 1
n p
m p
C

P
B

P
，
定义：（矩阵乘法）设 A  P 、
mn
n
为矩阵A与B的积，记为C=AB 。如果 cij   aik bkj
k 1
i  1, 2,..., m;
j  1, 2,..., p
或乘法定义为
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第二节 矩阵的运算
 n
  a1i bi1
 i 1
 n
a b
AB   i 1 2i i1

 n
 a b
  mi i1
 i 1
n
 a1ibi 2
i 1
n
a
b
2i i 2
i 1
n
a
i 1
b
mi i 2

a
b

1i ip 
i 1

n

a
b

2 i ip 
i 1



n
ami bip 

i 1

n
例题：2.2, 2.3, 2.4, 2.5
矩阵乘法的特点：交换律、消去律成立吗？
乘法运算特征1：前行与后列的积是一个元素
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第二节 矩阵的运算
 a11


 ai1


a
 s1
a1k
aik
ask
a1n   b11
 
 
ain   bi1
 
 
asn  sn  bn1
b1k
bik
bnk
b1m 
 c11




bim    ci1




bnm  nm  cs1
c1k
cik
csk
c1m 


cim 


csm  sm
乘法运算特征2：
可相乘的矩阵要求：前一矩阵的列数 = 后一矩阵的行
乘法运算特征3：
两个矩阵相乘积矩阵的大小：前一矩阵的行乘后一矩阵
的列
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记
A   α1 α 2
AB   γ1
α
1
α2
 b11


n
α   bi1
mn


b
 n1
αn 
m n
 α1 
 
α2 


  ， B   β1 β 2
 
 α m  mn
γp
γk
b1k
bik
bnk
m p
b1 p 


bip 


bnp 
 γ1 
 
 
  γk 
 
 
γ 
 m  m p
  γ1
βp 
与
γk
γp 
乘法运算特征4：
k
1
2
n


,

,

AB的列向量
是A的列向量组
合，其组合系数是B的第k列；
n p
n p
m p
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 β1 
 
β
  2  A  R mn
 
 
 β n n p
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第二节 矩阵的运算
 a11


 ai1


a
 m1
a1k
aik
amk
a1n 
 γ1 
  β1 
 



 
β
2
ain      γ k 
  
 



 
β
n


n p
γ 
amn mn
 m  m p
乘法运算特征5：
k
1 , 2 , n
AB的行向量
是B的行向量组
合，其组合系数是A的第k行；
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第二节 矩阵的运算
例：
 a11b11  a12b21  a13b31

a b a b a b
C   21 11 22 21 23 31
 a31b11  a32b21  a33b31

 a41b11  a42b21  a43b31
a11b12  a12b22  a13b32 

a21b12  a22b22  a23b32 
a31b12  a32b22  a33b32 

a41b12  a42b22  a43b32 
  α1b11  α 2b21  α 3b31 α1b12  α 2b22  α 2b32 
 a11β1  a12β 2  a13β3 


a
β

a
β

a
β
21
1
22
2
23
3


 a31β1  a32β 2  a33β3 


 a31β1  a32β 2  a33β3 
乘法运算特征6：AB的第k个列向量γ 是A与B的第k个列向量
k
β k 之乘积，即 Aβ k  γ k且 A(β1
β2
β p )  ( γ1
γ2
γ p )。
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第二节 矩阵的运算
γ k 是A的第k个行向量 α
乘法运算特征7：AB的第k个行向量
与B之乘积，即 α k B  γ k 且
 α1 
 γ1 
 
 
α
 2  B   γ2 
 
 
 
 
α
 m
 γn 
k
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第二节 矩阵的运算
线性方程组：（非常重要的理解）
n
如A  (aij )  Pm，
x  ( xi )  P n  P n1，b  P m  P m1，
将矩阵乘法
Ax  b展开就得到我们通常讨论的线性方程组：
 a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 ,
a x  a x   a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

......
 am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm .
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第二节 矩阵的运算
乘法结合律(associative law)：
mn
n p
A

P
B

P
C  P pq，
，
，
设
则(AB)C=A(BC)。
m p
n q
V

P
W

P
证明：设V=AB, W=BC，则
，
由此可推出 A(BC)  AW  P mq，(AB)C  VC  P mq
AB  V  (vik ) m p
 n

 m

   aij b jk  , BC  W  ( w jl ) nq    b jk ckl 
 k 1
nq
 j 1
m p
 p  n
 n
 
 p

( AB)C  VC      aij b jk  ckl  , A(BC)  AW   aij   b jk ckl  
 k 1  j 1

 
 j 1  k 1
由于和号的可交换性，命题得证。
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第二节 矩阵的运算
乘法分配律(distributive law)：
(A+B)C=AC+BC； C(A+B)=CA+CB
例：
1 2
 0 1
 1 1
A
,
B

,
C






0
1
3
2
2
1






6 3
12 9 
AB  
 , ( AB)C  

3
2


 7 5
 2 1
12 9 
BC  
,
A
(
BC
)




7 5
 7 5
，
 5 3
 6 3   5 3  11 6 
1 0
11 6 
AC

,
AB

AC

BC  
,
A
(
B

C
)









，
2
1
3
2
2
1
5
3
5
3



 
  5 3




交换律(commutative law)一般不成立，即 AB≠BA。
原因： 1)未必可乘， 2)积不相等
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第二节 矩阵的运算
单位矩阵(identify matrix) 是一个乘法单位元，即：对
mn
意矩阵 A  P ，有 A=AEn。
数量矩阵(scalar matrix) K=kE是一个乘子，即：对任意
mn
矩阵 A  P
，则kA=KmA=AKn 。
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第七次课作业
P76-77: 1, 2
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