Wstęp do Teorii Gier
Aukcje – model symetrycznych niezależnych i
prywatnych wartości
• Każdy gracz zna tylko swoją wycenę obiektu
• Ocena wycen pozostałych graczy opiera się na następujących
założeniach, które są wiedzą wspólną:
– Rozkłady wycen graczy są losowane z tego samego rozkładu
– Rozkłady wycen różnych graczy są niezależne
• Gracze są neutralni względem ryzyka
Aukcje jako gra Bayesowska
•
•
•
•
Zbiór graczy
Zbiór typów (wycen)
Zbiór akcji
Oceny (beliefs):
– Wyceny przeciwników są niezależnie losowane z rozkładu F
– Dystrybuanta F jest ściśle rosnąca i ciągła
• Funkcja wypłat:
Gdzie P(a) to cena płacona przez zwycięzcę, jeśli a jest profilem
ofert
Aukcja drugiej ceny
• Oferta równa
mojej
prywatnej
wycenie słabo
dominuje
wyższe oferty
• Oferta równa
mojej
prywatnej
wycenie słabo
dominuje
niższe oferty
Aukcja pierwszej ceny
•
•
•
•
Najwyższa oferta wygrywa, cena wynosi tyle co najwyższa oferta
Czy opłaca się złożyć ofertę równą swojej wycenie?
– Jeśli wygrasz, zysk wyniesie zero
Co stanie się jak złożysz niższą ofertę?
– Jeśli wygrasz, zysk będzie dodatni
– Ale szanse na wygraną są niższe
– Optymalna oferta musi wyważyć pomiędzy tymi dwoma efektami
Złożenie oferty niższej niż Twoja wycena znane jest jako „bid shading”
Przykład z rozkładem jednostajnym
• Jest n graczy
• Ty jesteś graczem 1 i Twoja wycena wynosi v>0
• Oceniasz, że wyceny innych graczy są losowane niezależnie z
rozkładu jednostajnego na przedziale [0,1]
• Oceniasz, że inni gracze używają strategii
• Twoja oczekiwana wypłata, jeśli złożysz ofertę b wynosi:
• Teraz trzeba to zmaksymalizować ze względu na b
Aukcja pierwszej ceny
• Liczymy pierwszą pochodną z
• Otrzymujemy:
• Zatem:
• Która aukcja przyniesie więcej przychodu organizatorowi?
– Aukcja drugiej ceny
• Gracze składają oferty równe ich wycenom
• Przychód - druga najwyższa oferta
– Aukcja pierwszej ceny
• Gracze składają oferty niższe niż ich wycena
• Przychód – najwyższa oferta
Modified battle of sexes
●
Two types Daisy
●
Donald is not sure whether:
●
●
●
Daisy is a good mood and
wants to meet him
Or Daisy is angry at him and
wants to avoid him
Daisy knows Donald’s type
Modified battle of sexes
●
Donald knows from experience that
●
●
Daisy wants to go out with him with probability ½
(playing the game on the left)
Daisy does not want to go out with him with
probability ½ (playing the game on the right)
Soccer Ballet
0,0
Soccer 2,1
0,0
1,2
Ballet
Soccer Ballet
2,0
0,2
Soccer
0,1
1,0
Ballet
Modified battle of sexes
●
●
●
In order to make a good decision, Donald has to form beliefs about
the action of each type of Daisy
After evaluating these actions, Donald will be able to calculate the
expected value from each of his actions and will choose optimally
For example, if Donald believes that irrespective of her mood Daisy
chooses Soccer, then his expected payoffs are as follows:
●
Donald’s payoff from choosing Soccer: 0.5*2+0.5*2=2
●
Donald’s payoff from choosing Ballet: 0.5*0+0.5*0=0
Soccer Ballet
0,0
Soccer 2,1
0,0
1,2
Ballet
Soccer Ballet
2,0
0,2
Soccer
0,1
1,0
Ballet
Modified abttle of sexes
●
Another example: if Donald believes that Daisy in a good
mood chooses Soccer and Daisy in a bad mood chooses
Ballet then:
●
Donald’s payoff from choosing Soccer: 0.5*2+0.5*0=1
●
Donald’s payoff from choosing Ballet: 0.5*0+0.5*1=0.5
Soccer Ballet
0,0
Soccer 2,1
0,0
1,2
Ballet
●
Soccer Ballet
2,0
0,2
Soccer
0,1
1,0
Ballet
A Bayesian Nash equilibrium for this game::
–
Donald’s action is optimal given the actions of both types of Daisy
given Donald’s belief about Daisy’s type
–
The action of each type of Daisy is optimal given the Donald’s
action
Modified battle of sexes
S
B
●
●
S,S
2, 1, 0
0, 0, 1
S,B
1, 1, 2
0.5, 0, 0
B,S
1, 0, 0
0.5, 2, 1
B,B
0, 0, 2
1, 2, 0
In each cell:
●
The first number – Donald’s payoff
●
The second number – Daisy in a good mood payoff
●
The third number – Daisy in a bad mood payoff
Bayesian Nash Equilibrium (S,(S,B))
●
●
Given Donald’s beliefs and actions of both types of Daisy, Donald is playing the best
response
Given Donald’s action, both types of Daisy are playing best response
Modified battle of sexes
●
Interpretation of equilibrium if Daisy is in a good
mood:
●
●
●
Daisy wants to meet Donald and chooses Soccer
Donald chooses Soccer and believes that if Daisy is
in a good mood she chooses Soccer and if she is in
a bad mood she chooses Ballet
Interpretation of equilibrium when Daisy is a bad
mood:
●
●
Daisy does not want to meet Donald and chooses
Ballet
Doanald chooses Soccer and believes that is Daisy
is a good mood she chooses Soccer and if she is a
bad mood she chooses Ballet
Modified battle of sexes 2
●
Daisy knows from experience that:
●
●
Donald wants to meet her (good mood) with probability
2/3 (playing top game)
Donald avoids her (bad mood) with probability 1/3
(playing bottom game)
Soccer Ballet
0,0
Soccer 2,1
0,0
1,2
Ballet
Soccer Ballet
0,2
Soccer 2,0
0,1
1,0
Ballet
Soccer Ballet
2,0
Soccer 0,1
1,0
0,2
Ballet
Soccer Ballet
2,2
Soccer 0,0
1,1
0,0
Ballet
Modified battle of sexes 2
●
●
●
●
Before we had two types of Daisy and
hence two states
Now we have two types of Daisy and two
types of Donald, hence four states
Donald does not know Daisy’s type but
knows his own type
Daisy does not know Donald’s type but
knows her own type
Soccer Ballet
0,0
Soccer 2,1
0,0
1,2
Ballet
Soccer Ballet
0,2
Soccer 2,0
0,1
1,0
Ballet
Soccer Ballet
2,0
Soccer 0,1
1,0
0,2
Ballet
Soccer Ballet
2,2
Soccer 0,0
1,1
0,0
Ballet
S
S
S
S
S
2
0
1
0
S
B
2
1
2/3 1/3
B
S
0
0
1/3 2/3 1/2
B
B
0
1
0
1
B
1
1
1
1/2 2/3
1
1/2 1/2
1
B
2
1
1
1
1/3
1
1/3 2/3 1/2
0
S
0
2
0
2
1/2 2/3 1/3
0
0
2/3
1
1/3
1
2/3
1/3
1
2
1
2/3
1/3
1
0
1/2 1/2
2
0
B
0
1
0
B
1
Two Bayesian Nash Equilibria: ((S,S),(S,B)) and ((B,S),(B,B)).
2
0
Modified battle of sexes 2
●
Interpretation of equilibrium:
●
●
●
Both Daisy and Donald make a plan what to
do before they realize what type they are
Each type of Donald chooses optimal action
given action of Daisy and his beliefs about
Marge
Each type of Daisy chooses optimal action
given action of Donald and her beliefs about
Donald
Reguła Bayesa
• Reguła Bayesa:
• Prawdopodobieństwo warunkowe:
• Monty Hall:
• Wybiera drzwi 1
Prawdopodobieństwo warunkowe
Bayes
•
Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem innego zdarzenia
P( A | H ) 
•
P( A  H )
P( H )
Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia w zależności od zajścia którejś z
rozłącznych możliwości
H1 ,  , H n ; i  j  H i  H j  ; H 1    H n  
A  ( A  H1 )    ( A  H n )
P ( A)  P ( A  H1 )    P ( A  H n )
P ( A)  P ( A | H1 ) P ( H 1 )    P ( A | H n ) P ( H n )
•
Prawdopodobieństwo zajścia hipotezy pod warunkiem zajścia skutku
P( H1  A)
P( A | H1 ) P( H1 )
P( H1 | A) 

P( A)
P( A | H1 ) P ( H1 )    P( A | H n ) P( H n )
Paradox Monty Hall’a
• http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/m
ontybg.html
Przykład z testowaniem wirusa HIV
• Prawdopodobieństwo, że dana
osoba jest zakażona wirusem HIV
w danej populacji jest 0,1%
• Test się myli w 1% przypadków,
jeśli osoba jest zakażona
(sensitivity = 99%)
• Test się myli w 5% przypadków,
jeśli osoba jest niezakażona
(specificity = 95%)
• Jakie jest prawdopodobieństwo,
że dana osoba jest zakażona pod
warunkiem, że test wskazał
„positive”?
• Jakie jest prawdopodobieństwo,
że dana osoba nie jest zakażona
pod warunkiem, że test wskazał
„negative”?
Probability tree flipping
0,099%
0,001%
4,995%
94,905%
0,099%
4,995%
0,001%
94,905%