Randers Metrics with Special Curvature Properties

!#"%$'&($)+*,-
'.
/103254
687,9:87;2=< >28?A@:8BC28DCE032F
:87;2
G HIJ8K=LNMPO1QJ=RSLI
VT UW XY.Z []\
^_[S`\Wba=cdXfeg^heiX)W jkcdZblWbY
egjmei^_W Z nocij)pqW X)rdctsuY.rvWiX)cd\^hY5cdXo` eiX)wd[]X;`Y.xedaS[yY]z
{g| []\[ei\[Y.[]}d[]\ eiZX)ci`W cdXYgcijaS~)\}tet`~)\[yYW X1UW XY.Z []\gwd[]cd^_[S`\ndz {g| [oeiw_aS~)\}tet`~)\[
WbY1eiXAeiXeiZ cdwd~)[Pcijf` | [Y.[ya`W cdXeiZaS~)\}tet`~)\[W XW []^heiX)X)WbeiXwd[]cd^_[S`\ndz {g| [
l'WbY`cd\.`W cdXNNWbYeedY.WbauW Xv}tei\WbeiX;`s | Wba | a | ei\ eda`[]\W ][yYW []^heiX)X)WbeiXN^_[S`\Wba]Yei^_cdX)w
UW XY.Z []\^_[S`\Wba]Y]Xei^_[]Z ndqhW j(eiXlqcdX)Z n#W j=` | [UW XY.Z []\o^_[S`\WbaWbYW []^heiX)X)WbeiXz
{g| [}d[]\.`Wba]eiZl'[]\W }tet`W }d[cijuVcdXV` eiX)wd[]X;`_Y.xedaS[yYfwdW }d[yYf\WbY.[N`cP` | [#^_[yeiXei\.` eiX
`cd\ Y.W cdXtz {g| [ | cd\W ]cdX;` eiZul'[]\W }tet`W }d[PcijeiZ cdX)wwd[]c'l'[yY.Wba]YhWbYN` | [Y.cia]eiZ Z [yl;
aS~)\}tet`~)\[=z {g| [P}d[]\.`Wba]eiZuu[yYY.WbeiXcij, AcdX` eiX)wd[]X;`Y.xedaS[yY_WbYa]eiZ Z [yl` | [=
aS~)\}tet`~)\[dz {g| ~YNW j` | [;aS~)\}tet`~)\[qWbYWbY.ci`\cdx)WbaiY.cVWbYh` | [,=aS~)\}tet`~)\[dz {g| [
| cd\W ]cdX;` eiZ;l'[]\W }tet`W }d[(cijeiZ cdX)wuwd[]c'l'[yY.Wba]Y
WbYa]eiZ Z [yl` | [^_[yeiX
eiXl)Y.[]\waS~)\}tet`~)\[
z {g| ~Y uWbYg\[]w;ei\ l'[ylhedY` | [\[]Zbet`W }d[wd\ctsg` | \ et`[ocij` | [^_[yeiXqei\.` eiXh`cd\ Y.W cdX
eiZ cdX)wfwd[]c'l'[yY.Wba]Y]z ,[oY.[][ | cts` | [yY.[o¡;~eiX;`W `W [yYei\[uwd[]X)[]\ et`[yljk\cd^¢` | [l'WbY`cd\.`W cdXz
=£)aS[]x'ùjkcd\u` | [eiwaS~)\}tet`~)\[ ` | [eict}d[¡;~eiX;`W `W [yYei\[eiZ ZX)cdX'W []^heiX)X)WbeiX
Xei^_[]Z ndd` | []nh}teiX)WbY | s | []X#¤WbYW []^heiX)X)WbeiXz(v[][v[ya`W cdX1¥jkcd\ge)\W [Sjl'WbYaS~YY.W cdX
eiXl¦ §©¨
jkcd\oeNl'[S` eiW Z [ylql'WbYaS~YY.W cdXzªXq` | WbYuxeix[]\ys[fsW Z ZY`~l'nqehY.x[yaSWbeiZaSZbedYYcij
UW XY.Z []\^_[S`\Wba]Y«¬ueiXl'[]\ Yg^_[S`\Wba]YgsW ` | Y.x[yaSWbeiZaS~)\}tet`~)\[x)\cdx[]\.`W [yY]z
ueiXl'[]\ Y^_[S`\Wba]Yfei\[hei^_cdX)w1` | [NY.W ^_x)Z [yYÙW XY.Z []\f^_[S`\Wba]Y]s | Wba | ei\WbY.[jk\cd^
^heiXvnNei\[yedYW X#^het` | []^het`Wba]Y]'x | n'Y.Wba]YgµeiX¶ l)W cdZ cdwdnP¦ S¨®z {g| []nei\[o[S£'x)\[yYY.[ylNW X#` | [ µ
jkcd\^¯¤¯°±²(ts | []\[°¯³ ´vµ ¶v·k¸C¹º º WbYeoW []^heiX)X)WbeiXf^_[S`\WbaeiXl²,»µ·k¸C¹º
WbYeS3jkcd\^¼sW ` |A½ ² ½¾¿ ÀY.~)x'Á)ÂdÃ]ÄyÅ²·kÆ¹ °·kÆ¹#ÇÈhjkcd\eiXvnxcdW X;òÉ
zPueiXl'[]\ Y
^_[S`\Wba]Y
s[]\[=Ê\ Y`=Y`~l'W [ylfvnx | n'Y.WbaSWbY`ydËz©ueiXl'[]\ Y]©W XyÌiÍ¦ Î]¨vjk\cdÂ` | [gY` eiXl)ei\ l
xcdW X;`=cijwd[]X)[]\ eiZv\[]Zbet`W }vW `n¦ ¨®z(vW XaS[` | []Xd^heiXvnUW XY.Z []\WbeiXwd[]cd^_[S`[]\ Y | e©}d[^hedl'[
[SÏCcd\.` YgW X1W Xv}d[yY`W w;et`W cdXcdX` | [wd[]cd^_[S`\Wbax)\cdx[]\.`W [yYgcij=ueiXl'[]\ Y^_[S`\Wba]Y]z
{g| [#Y | cd\.`[yY`f`W ^_[x)\cd)Z []^cdXVePW []^heiX)X)WbeiXV^heiX)W jkcdZblVeiZbY.cqwdW }d[yYf\WbY.[h`ce
ueiXl'[]\ Y^_[S`\WbaizËoW }d[]XeiXcd'Ð[ya`hs | Wba | a]eiXjk\[][]Z nV^_ct}d[#ct}d[]\heW []^heiX)X)WbeiX
^heiX)W jkcdZbl·3ÑAÒ°8¹t` | [cd'Ð[ya`8WbYx)~Y | [ylfvnfeaScdXY` eiX;`W X;`[]\XeiZ;jkcd\ aS[Ó#sW ` | °·mÓ8¹
dz ,[^he©n1edYY.~)^_[` | et`` | [cd'Ð[ya`^_ct}d[yYuetèNaScdXY` eiX;òY.x[][yl5Cl'~)[f`chjk\Wba`W cdXz
ªX,` | WbYa]edY.[d8eiXvnPxet` | cijuY | cd\.`[yY``W ^_[WbYfeqY | cd\.`[yY`fxet` | cij°z1ª®jg` | []\[hWbYfeiX
[S£v`[]\XeiZjkcd\ aS[#Ê[]ZblÔeda`W X)w,cdX` | [qcd'Ð[ya`hsW ` | °·kÔ
¹PÇÕd` | []XeiXvnVxet` | cij
Ö×3Ø©Ù©ÙiÚÛmÜ3ÝÞoßSàÜ3á©Ý(âãÜ3ä Úåtã æ'âãÜ3Ø©Û®ã æ)ç]èä Ýå©èÝ(étÚØ©å©ÞtãÜ3ä ÚåÚ êCëCá©ä åtãuìmí.îyíï]íííïð

Y | cd\.`[yY`g`W ^_[WbYe_Y | cd\.`[yY`xet` | cij
` | [jkcdZ Z ctsW X)whueiXl'[]\ Yg^_[S`\Wba
¤ ¿ ³ Ô=Ò.Æ ±V°·k°Æ·k¹ Ô
¹ · °·kÔ
¹ ¹ Ô=Ò.°Æ·k Ô
¹ Ò Æ ¾ Ñ
·©¹
s | []\[ Ò l'[]X)ci`[yY` | [W X)X)[]\x)\c'l'~a`cdX ¾ Ñ edYY.c'aSWbet`[ylsW ` | °AY.~a | ` | et`
°·kÆ¹u ³ Æ(Ò.Æ zoTuXW X;`[]\[yY`W X)whjmedaòWbYu` | et`` | [ ~Y.[]^heiX)X'ei~Yl'cd\.Ï,}dcdZ ~)^_[
jkcd\^cij¤ WbYY`W Z Zg[y¡;~eiZ`cP` | et`_cij°z na | cvc;Y.W X)w,eix)x)\cdx)\Wbet`[N°eiXlÔ=(cdX)[
cd'` eiW XY(efueiXl'[]\ Y=^_[S`\Wbaul'[SÊX)[yl_W X·©¹8sW ` | ^heiXvnY.x[yaSWbeiZaS~)\}tet`~)\[x)\cdx[]\.`W [yY]z
v[][h¦ y©¨¦ d¨¦ t¨5jkcd\^_cd\[l'[S` eiW ZbY]z
Xq` | [~)X)W òeiZ Z1W XC` eirvW X)wNÔ ¾ ·k¸ µ ¹uet`ÉP ·k¸ µ ¹1W X·©¹s[
cd'` eiW X` | [s[]Z Z ®rvX)ctsX#U)~)X)r^_[S`\Wba]YcdX C
¤¯ ³ Æ · Ô Æ Ô Ô=Ò.Æ ¹ Ô=Ò.Æ Ô Ò Æ v Ò
·3¥d¹
{g| [oU)~)X)r_^_[S`\Wba]Y | e©}d[^heiXvnhY.x[yaSWbeiZaS~)\}tet`~)\[x)\cdx[]\.`W [yY ¿ ·kW ¹gP "· !f±©¹¤_
·kW W $¹ # % "· !N±©¹¤ & ( ' eiXl·kW W W ¹ ¤heiXl,·kW })¹ Í*z )uci`[` | et`
·kW W ¹8jkcdZ Z ctsuY=jk\cd^È·kW ¹z {g| [wd[]cd^_[S`\Wbag^_[yeiX)W X)wfcij8P "· !±©¹¤WbY=` | et`` | [\ et`[
cijua | eiX)wd[_cijg` | [#l'WbY`cd\.`W cdXVeiZ cdX)wqwd[]c'l'[yY.Wba]YWbYePaScdXY` eiX;èiXl,` | [Nwd[]cd^_[S`\Wba
^_[yeiX)W X)wcij ¤AWbY` | et`g` | [o\[]Zbet`W }d[\ et`[cij8a | eiX)wd[cij` | [o^_[yeiXqei\.` eiX
`cd\ Y.W cdX#eiZ cdX)wwd []c'l'[yY.Wba]YgWbYe_aScdXY` eiX;`yz
pqci`W }tet`[ylhvnf` | [x)\cdx[]\.`W [yY=cij
U)~)X)r^_[S`\Wba]Y];s[Ê\ Y`Y`~l'n_ueiXl'[]\ Y=^_[S`\Wba]Y
Yet`WbYjknvW X)wq·kW ¹
·kW W ¹cd\f·kW W W ¹z( ,[x)\ct}d[` | [jkcdZ Z ctsW X)w
² ? <A@-B@3C DE<(FHGJIK<(>LFNM9OAP3CQ@3C !*R D3MSIK<(CTGNM9P3C @3UIK@3C2M R
+-,.0/213.04658795;:=<(> ¤¯°±,;
Ñ W
V P3U D X
Y M Z[=P3FA@G\OH@3U @3F VH] C O(>LM9P3C^ ^ ·k¸C¹ P3C `
Ñ _ >"aT< V P3USU P3b*MSC0cd@3Fe<<Hf ] MSg3@3U <(C2> _
Y M9@HZ P+"· !N±©¹ ^ ¤h
Y M ? Z #AÀ "· !±©¹ ^ ¤ & ' h
Y MSM Z[=P3FA@G\OH@3U @3F VH] C O(>LM9P3C^ ^ ·k¸C¹ P3C `
Ñ _ >"aT< V P3USU P3b*MSC0cd@3Fe<<Hf ] MSg3@3U <(C2> _
Y MSM9@HZ ± ^ ¤Au h
Y MSM ? Z P+"· !N±©¹ ^ ¤ @3C D ² MiGAO(U PjG\<HD W
TYY.~)^_[o` | etùe_ueiXl'[]\ Y^_[S`\Wbao¤¯°±²Yet`WbYÊ[yY` | et` )*z n {g| []cd\[]^
dz ,·kW W ¹+ ,eiXlV²WbY_aSZ c;Y.[yl5zªX` | WbY_a]edY.[d(W `_WbY[yedY.n`c,}d[]\W jkn,` | et`h²WbY_e
k W Z Z W X)w_jkcd\^1z {g| []Xqs[aScdXaSZ ~l'[` | et`²VWbYuxei\ eiZ Z []Z5sW ` | \[yY.x[yaù`c°zu[yaS[]X;`Z nd
l mz geic | edYY | ctsXq`c` | [hei~'` | cd\` | etòjkcd\eueiXl'[]\ Yo^_[S`\Wbai +W jgeiXlqcdX)Z n
W jW ùWbYcij8
eiXl)Y.[]\w`nvx[d)Y.W XaS[ueiXl'[]\ Y^_[S`\Wba]Yei\[f(®\[yl'~aSW )Z [oW X` | [fY.[]XY.[ocij
pPet` Y.~)^_ci`c¦ Íi¨®z_T¢Z cdX)w`W ^_[Neiwdc5pzpPet` Y.~)^_ci`c¦ ny¨(x)\ct}d[ylq` | et`W jge1ueiXl'[]\ Y
^_[S`\Wbah¤ °,±²WbYcij
eiXl)Y.[]\w1`nvx[d
` | []X²WbYxei\ eiZ Z []Z=sW ` | \[yY.x[ya``c°z
{g| ~Y {g| []cd\[]^ dz ;·kW W ¹WbYuewd[]X)[]\ eiZ W yet`W cdXcij8pPet` Y.~)^_ci`2c o Yg\[yY.~)Z `yz
¥
{g| []\[qei\[1Z ci` Y_cijueiXl'[]\ Y_^_[S`\Wba]Y_sW ` | aScdXY` eiX;èiwaS~)\}tet`~)\[qYet`WbYjknvW X)w
` | et`))~'`²WbYX)ciòaSZ c;Y.[yl,¦ y©¨¦ dS¨®z {g| []\[fei\[feiZbY.c_Z ci` Ycij(ueiXl'[]\ Yg^_[S`\Wba]Y
sW ` |# ± ^ ¤Aujkcd\uejk~)Xa`W cdX ^ ^ ·k¸C¹ ^ !´ !zv[][f=£)ei^_x)Z [oÍz ¥[]Z ctsz
[yaS[]X;`Z nd©` | [gY.[yaScdXlei~'` | cd\ | edY8aSZbedYY.W Ê[yleiZ ZvZ c'a]eiZ Z nx)\ciÐ[ya`W }d[]Z net`=ueiXl'[]\ Y
^_[S`\Wba]YsW ` | aScdXY` eiX;èiwuaS~)\}tet`~)\[¦ Ì©¨®z8u[(x)\ct}d[yY` | et`8eZ c'a]eiZ Z nx)\ciÐ[ya`W }d[]Z nuet`
ueiXl'[]\ Y5^_[S`\Wba8sW ` | aScdXY` eiX;`5eiwuaS~)\}tet`~)\[ WbY[]W ` | []\
Z c'a]eiZ Z nopqW X)rdctsuY.rvWbeiX
cd\etj `[]\eYa]eiZ W X)wCWbY.cd^_[S`\Wba`cN` | [_e#UW XY.Z []\o^_[S`\WbacdXq` | [~)X)W èiZ =Z qW XP` | [
jkcdZ Z ctsW X)wjkcd\^
¤ ³ Æ · Ô 0 Æ Ô Ô=Ò.Æ ¹ Ô=Ò. Æ Ô ± Ò.Æ Ò. Ô= Ò Æ v ÒA9· ;¹
s | []\[ 1 WbYeaScdXY` eiX;`}d[ya`cd\=sW ` | = ÇAdz X)[ua]eiXNl'W \[ya`Z n}d[]\W jknf` | et`¤ )
)
ei\[_Z c'a]eiZ Z nqx)\ciÐ[ya`W }d[]Z n1etÙW XY.Z []\^_[S`\Wba]YsW ` | X)[]w;et`W }d[_aScdXY` eiX;èiw
aS~)\}tet`~)\[dzpqcd\[]ct}d[]\y` | []n | e©}d[h` | [qeict}d[N^_[]X;`W cdX)[ylVx)\cdx[]\.`W [yYcij` | [qU)~)X)r
^_[S`\Wba]Y]z
gedY.[ylcdX {g| []cd\[]^ dz eiXl` | [u^heiW X_\[yY.~)Z `(W XP¦ Ì©¨s[uaSZbedYY.W jknueiXl'[]\ Y8^_[S`\Wba]Y
sW ` | aScdXY` eiX;`geiwhaS~)\}tet`~)\[ qeiXl u ^ ·k¸C¹¤_z
+-,.0/213.046587 :=<(> ¤¯°±,²;? <A@-B@3C DE<(FHGJIK<(>LFNM9OAP3CQ@3C !*R D3MSIK<(CTGNM9P3C @3UIK@3C2M R
Ñ W ] PjG\<
V P3U D Ñ G\@3>LMiG V MSC0c ± ^ ¤Au V P3FG\P3IK<G\OH@3U @3F VH] C O(>LM9P3C^ ^ ·k¸C¹ P3C X

W
P

8
o
W
¤
]
]
>"aT@3> aT@jGOHP3CTGN> @3C2>@\cdO FNg3@3> Fe<
aT<(C
^
MiG<(MS>"aT<(FU P R

Y
#
Y
"
Y
#

V
Í ZK@ V > <(F@
OH@3USU
MSC EP3b G!3M9@3C
^
ZP3F MSC >"aT< P3FNI
Z
^
G\OH@3U MSC0c W
ªX1jmeda`ys[x)\ct}d[` | etùjkcd\eNueiXl'[]\ Y^_[S`\Wbacij(aScdXY` eiX;èiwNaS~)\}tet`~)\[h` | [
^_[yeiX
eiXl)Y.[]\wPaS~)\}tet`~)\[hWbYfx)\cdxcd\.`W cdXeiZ8`cq` | [N^_[yeiX%ei\.` eiX,`cd\ Y.W cdXW jueiXl
cdX)Z n1W jW `WbYoZ c'a]eiZ Z nqx)\ciÐ[ya`W }d[]Z net`yz {g| []X {g| []cd\[]^dz ¥_jkcdZ Z ctsuYujk\cd^È` | [^heiW X
\[yY.~)Z `W X¦ Ì©¨®z
v[]}d[]\ eiZx[]cdx)Z [ | e©}d[P^hedl'[[SÏC[ya` YN`cVÊXlY.W ^_x)Z [[y¡;~)W }teiZ []X;`1eiXlY.~ $NaSW []X;`
aScdXl'W `W cdXYjkcd\ePueiXl'[]\ Yf^_[S`\Wba_`c[cijuaScdXY` eiX;`feiwaS~)\}tet`~)\[¦ %©¨¦ ©¨¦ ]Ít¨®
[S` aizv[][¦ ©üjkcd\_\[yaS[]X;`Nl'[]}d[]Z cdx)^_[]X;` Y]zucts[]}d[]\y8` | [PaSZbedYY.W Êa]et`W cdXcijueiXl'[]\ Y
^_[S`\Wba]YgsW ` | aScdXY` eiX;`geiwhaS~)\}tet`~)\[ | edYgX)ci`[][]XqaScd^_x)Z [S`[yl#nd[S`yz
&
' )K (+*]R , R].
I -K(R (0/
[S`h¤ [1µ eUµ W XY.Z []\_^_[S`\WbacdXe^heiX)W jkcdZblÑ¢zªX%eY`µ eiXµ l)ei\ lZ c'a]eiZgaScvcd\ l'W Xet`[
Y.n'Y`[]^¼·k¸ Ò.º ¹W XoÑ¢'¤¯¤h·k¸
Ò.º)¹WbYejk~)Xa`W cdXqcijg·k¸ Ò.º ¹z([S`

1 µ ¶;·k¸
Ò.º)¹ ¿ ¥ ¦ ¤ ¨234265i·k¸
Ò.º)¹
eiXlV· 1 µ ¶ ¹ ¿ · 1 µ ¶©¹ & zU)cd\eNX)cdX'®][]\cN}d[ya`cd\Æ%¯º µ 77 8 3 ¾ Q ¾ Ñ¢5¤ W Xl'~aS[yYoeiX
W X)X)[]\x)\c'l'~a`ucdX ¾ Ñ¢
µ <i¶
1 Á ·mÓÒ:9¹ 1 µ ¶;·k¸
Ò.º)¹#; Ò
s | []\[Ó ; µ 77 8 3 ¾ Ò:9 < µ 77 8 3 ¾ ¾ Ñ¢z 1 1 Á WbYa]eiZ Z [yl,` | [Njk~)Xl)ei^_[]X;` eiZ
^_[S`\Wbaocij=¤_z(U)cd\ueX)cdX'®][]\c}d[ya`cd\gÆ ¾ Ñ¢)l'[SÊX)[
ÓÒ:9 ¾ Ñ
' Á ·mÓ:Ò 9¹ ¿ 1 Á ·mÓ:Ò 9¹ ¤ & ·kÆ¹ 1 Á ·kÆ(ÒÓ8¹ 1 Á ·kÆ(Ò:9¹Ò
' ' Á WbYa]eiZ Z [ylN` | [feiX)wd~)Zbei\g^_[S`\Wbacij8¤_z
{g| [wd[]c'l'[yY.Wba]Ycij=¤ ei\[a | ei\ eda`[]\W ][ylNZ c'a]eiZ Z nhvn
¸ µ
¸
±
¥ µ ¸
Ò
)Ò

s | []\[

¾
1¾ ¾
µ 1 µ ¥ 1
Í
¸ ¸ º º {g| [W []^heiX)X1aS~)\}tet`~)\[oWbYejmei^_W Z nNcij[]Xl'cd^_cd\x | WbY.^hY Á µ ¸ 77 8 3 ¿
¾
Ñ ¾ Ñ¢l'[SÊX)[yl#vn
µ
µ
µ
µ ¶
µ ¿
¥ ¸ ,º ¶ ¸ ¶ º ±¥ ¶ º ¶ º º ¶ º ·kÍv¹
¤+WbYuYeiWblN`c_[cij=aScdXY` eiX;`geiwhaS~)\}tet`~)\[ )W j
¤h·kÆ¹ ' Á ·mÓ:Ò 9¹Ò
1 Á Á ·mÓ8¹:Ò 9 cd\g[y¡;~)W }teiZ []X;`Z nd
µ ¤ µ ¤¤ 2 º µ {g| []\[ei\[^heiXvnW X;`[]\[yY`W X)whX)cdX'W []^heiX)X)WbeiXP¡;~eiX;`W `W [yYW XUW XY.Z []\uwd[]cd^_[S`\n
¦ §©¨®z([S` !=·k¸C¹ ¸ # """ ¸ l'[]X)ci`[` | [}dcdZ ~)^_[jkcd\^Àcij8¤_)s | []\[
cdZ®S· 5·©¹.µ ¹ 7
!=·k¸C¹ ¿
$
µ
cdZ ·kº ¹ 1 ¤h·kº 78 3 8 ¹gÇ $
U)cd\ueX)cdX'®][]\c}d[ya`cd\gÆ ¾ Ñ¢'` | [fl'WbY`cd\.`W cdX·kÆ¹WbYul'[SÊX)[yl#vn
·kÆ¹ ¿ Z &X % ³ l'[S`©!=· 1 ·kµ ¸C¶v¹ ·k¸
Ò.º)¹.¹ ' {g| [l'WbY`cd\.`W cdXa | ei\ eda`[]\W ][yY5W []^heiX)X)WbeiX^_[S`\Wba]Y
ei^_cdX)wuUW XY.Z []\
^_[S`\Wba]Y]yXei^_[]Z nd
¤+WbYuW []^heiX)X)WbeiX#W j=eiXl#cdX)Z nNW j8)z
(Sµ·k¸
Ò.º)¹ ¸ µ ¿ ¾ *
Ñ WbYhl'[SÊX)[yl%edY` | [
{g| [1^_[yeiXei\.` eiXV`cd\ Y.W cdX% Á )
}d[]\.`Wba]eiZ5l'[]\W }tet`W }d[cij1cdX ¾ Ñ¢
L· nd¹
(Sµ ¿ +
º µ Í 1 ,¶ ¦ ¤ ¨ 234265:2 {g| [;aS~)\}tet`~)\[gNWbYl'[SÊX)[yledY` | [ | cd\W ]cdX;` eiZ;l'[]\W }tet`W }d[(cijeiZ cdX)wuwd[]c'l'[yY.Wba]Y]
(·kÆ¹ ¿ %b .^ - 4· .¹ /' 02143 Ò
Í
s | []\[ ^ ·4.¹WbY` | [1wd[]c'l'[yY.WbaNsW ` | ^ ·m;¹N ÉeiXl ^ - ·m;¹hÈÆX; ¾ Ñ¢zTÈl'W \[ya`W cdX
aScd^_x)~'` et`W cdX#nvW []Zbl)Y
µ
µ
(·kÆ¹ º µ ·k¸
Ò.º)¹ !=º ·k¸C¹ ¸ ! µ ·k¸C¹N
·%;¹
U)cd\oehX)cdX'®][]\ch}d[ya`cd\Æ ¾ Ñ¢` | [=aS~)\}tet`~)\[-# Á µ ¶v·k¸
Ò.º)¹ ¸ µ ¸ ¶ ¿
¾
Ñ ¾ Ñ AWbYul'[SÊX)[yl1edY` | [}d[]\.`Wba]eiZu[yYY.WbeiX#cij ,cdX ¾ Ñ¢
·®Îi¹
µ ¶ ¿ ¥ 234265u ¥ º º µ º ¶ ·k¸
Ò.º)N¹ ¤+WbYuYeiWblN`c_[ b <H@3U <(FNb @3U D3M9@3C W j #)z
Wba]µ.Y]·k ¸
U)Ò.cdº)\¹ e¸ µ X)¿ cd X'¾ ®]Ñ []\c}d[ya`WbYcd\Pl'[SÆ ÊX)[yl ed¾ Y(Ñ¢` | [ ` | | cd[V\W ]^_cd[yX;ei` eiX¯ZCl'
[]ei\XW }tl)etY.`W []}d\[wcijaS~)\ei}tZetcd`X)~)w\[ wd[] c'Á l'[yY
¶
·m§;¹
µ
¿ º ¶ ¸ (S¶µ (¶ º µ ¥ ¶ º (S¶µ ¥ ¤¤ 2 1 ,¶ º µ º ¶ º ¤+WbYuYeiWblN`c_[ b <H@ 3U :=@3C DjG ? <(FLc M9@3C W j )z
{g| [eict}d[g^_[]X;`W cdX)[yl_wd[]cd^_[S`\Wbag¡;~eiX;`W `W [yYei\[uaScd^_x)~'` ei)Z [gjkcd\ueiXl'[]\ Y=^_[S`.
\Wba]Y]z=[S`¤¯°1±²[fe_ueiXl'[]\ Yg^_[S`\WbacdX1e^heiX)W jkcdZblqÑ¢'s | []\[
°·kº)¹ ´vµ ¶v·k¸C¹º µ º ¶ Ò ²·kº)¹»µ.·k¸C¹º µ
sW ` |V½ ² ½ 8¿ Y.~)x 2 ÂdÃ SÅ²·kº)¹ °·kº)¹gÇdz(TuX1[yedY.naScd^_x)~'` et`W cdX#nvW []Zbl)Y
¤ ºdµ º©¶ ºdµ
º©¶
·mÌ;¹
1 µ ¶o ° ´vµ ¶ ° ° ± ° ±»µ ° ±».¶ Ò
s | []\[ºdµ ¿ ´vµ ¶]º ¶ z neiX#[]Z []^_[]X;` ei\nei\wd~)^_[]X;`W X#Z W X)[yei\ueiZ wd[])\ e)vs[cd'` eiW X
·y;¹
l'[S`©· 1 ,¶ d¹( ¤ ° l'[S`©·m´vµ ¶tN¹ l [SÊX)[» µ ¶ vn
» µ ¶ ¶ ¿ »µm».¶ µ ¶ Ò
s | []\[ µ ¿ ¸ µ eiXl µ ¶ ¿ ¶µ ¸ l'[]X)ci`[` | [_[]}vW .W }vW ` eNaScdX)X)[ya`W cdXqjkcd\^hYcij
°z([S`

µ ¶ ¿ ¥ » µ ¶ ±» ¶ µ Ò yµ ¶ ¿ ¥ » µ ¶ » ¶ µ Ò
µ ¶ ¿ ´ µ ¶dÒ ¶ ¿ »µ µ ¶ Ò ©µ ¶ ¿ µ ¶g±»µ ¶±».¶ yµ {g| []X#` | [wd[]c'l'[yY.WbaaScv[ $NaSW []X;` Y µ ei\[wdW }d[]Xvn
µ "
! µ ± ¥i3¤ 3 º µ 3 º µ ±V° µ 3 Ò
·d©¹
s µ | []\#
[ ! µ µ l'¶ []X)ci`[_` | [Nwd[]c'l'[yY.Wba_aScv[ $NaSW []X;` Yciju°$ 3 3 ¿ %
©µ ¶]º µ º ¶ ) 3 ¿ yµkº µ eiXl
3 ¿ ¶ º zv[][h¦ S¨®z
n
.04 4 m795;[=P3F @ B@3C DE<(FHGIK<(>LFNM9O ¤À¢°P±%²*_ >"aT<IK<H@3C @3FN> @3C > P3FHGNM9P3C
Sµ ¸ µ @3C DK>"aT<-IK<H@3Cd:=@3C DjG ? <(FLcO ] FNg3@3> ] Fe< µ ¸ µ @3Fe< c MSg3<(C ?
(Sµ
·©¥d¹
¥ "· !±©¹¤ & ° & ° »µm,²ºdµ µ Í ·"!±©¹¤ & ° & ¥i°%®· ©µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹ ¥t²· yµ3° ,ºdµ 3 ¹
± yµ 3 ·m° ±² ¹ '
±o° · ©µ 3 d² »µ 3 3 ¹
±²· ©µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹
¥)· yµm° ,ºdµ 3 ¹S·m° ±² ¹
±Í yµ 3 ° ² · ;¹
FeP P V ¿ UW \ Y`gx)Z ~)wdwdW X)w#·y;¹(W X;`c1L· nd¹(nvW []Zbl·©¥d¹*z )uctss[oei\[wdcdW X)wf`c_aScd^_x)~'`[ µ.z
[S`
µ ¿ ¥i3¤ 3 º µ 3 º µ ±V° µ 3 ,[fa]eiX#\[]s\W `[h·m§;¹edYjkcdZ Z ctsuY
µº ¶ ( µ ¶ (¶ ¶ µ ¥ ¶ (Sµ ¶;Ò
·]Ív¹
5
s | []\[ ¶ µ ¿ 77 23 (Sµ ¶ 7 726 35 eiXl ( µ ¶ ei\[l'[SÊX)[yl#vn
¶
¶
µ (¶ º µ ! º ¸ ( µ ¶ ¸ ¶ ± (Sµ ¶ º ¶ ± º ! ¸ (S
ne_l'W \[yaàScd^_x)~'` et`W cdX's[cd'` eiW X
!N±
(Sµ ¶
¥ ¤ & ° & º©¶y° & ±».¶ ° »µm,²ºdµ f"· !±©¹¤ & ° & % º©¶ ° »mµ ,²ºdµ
!N±
± ¥ ¤ & ° & ¥tº©¶y»mµ ».¶Sºdmµ ,²
´vµ ¶ ¶ µ ¥i3¤ 3 ¶µ ± ©µ¤ 3 º ¶ ¥i¤ 3 3 ºdµ3° & ±»µ º ¶
+ 3 ¶µ yµkº ¶ ±ºdµ3° & ¶ 3 ±V° ¶ µ s | []\[f» µ 3 » µ ¶ º ¶ eiXl1» 3 3 » µ ¶ º µ º ¶ z Y.[]\}d[` | et`
» µ ¶ µ ¶± yµ ¶o ©µ ¶ »µ ¶ ».¶ yµ± yµ E¶ ,[ | e©}d[
» µ 3 ©µ 3 »µ 3 yµm²#± yµ 3 Ò » 3 3 3 3 ¥ 3 ² nh` | [yY.[Wbl'[]X;`W `W [yY])s[cd'` eiW X
º ¶ ( µ ¶ !N±¥ ¤ & ° & » 3 3 ° »µ ,²ºdµ ± !N±¥ ¤ & ° & ° » µ 3 » 3 3 ºdµ !N±¥ ¤ & ° & 3 3 ¥ 3 ² ° »µ ,²ºdµ ± !N±¥ ¤ & ° & ·m° ©µ 3 3 3 ºdµ3¹ ° ·3»µ 3 ± yµm²¹
±¥ 3 ²ºdµ±V° yµ 3 z uz l z
Z ~)wdwdW X)w` | []^ÀW X;`cq·]Ív¹nvW []Zbl)Y· ;¹z
( %
f- I1M u( K)/
, (gJ8K(RSQ /ÈR J
ªX` | WbYfY.[ya`W cdXs[hei\[_wdcdW X)w`c#ÊXle1Y.~ $NaSW []X;`feiXl,X)[yaS[yYYei\nqaScdXl'W `W cdX,cdX°
eiXl²,jkcd\oP+"· !±©¹ ^ ¤_z
cdXY.Wbl'[]\=µ eueiXl'[]\ Y^_[S`\Wbagµ ¤¯°o±_²#cdXeo^heiX)W jkcdZbl_Ñ¢is | []\[°, ³ ´vµ ¶]º µ º ¶
eiXl²,»µmº z µ l [SÊX)[ µ ¶;Òyµ ¶;Ò ¶ Ò¶feiXl ©µ ¶fedYeict}d[oW XPv[ya`W cdµ XP¥'z {g| [wd[]c'l'[yY.Wba
aScv[ $NaSW []X;` Y cij8¤ ei\[o\[]Zbet`[ylh`c` | [wd[]c'l'[yY.WbaoaScv[ $NaSW []X;` Y ! cij8°vn·d©¹z=[S`
¿ Z X ³ ½ ² ½
eiXl µ ¸ µ z(Ta]aScd\ l'W X)w`cP¦ §©¨®'` | [;aS~)\}tet`~)\[cij8¤¯°1±²WbYgwdW }d[]X#vn
·j nd¹
P+"· !N±©¹ ¥i3¤ 3 · 3 ± 3 ¹ Ò
s | []\[ 3 3 eiXl 3 ei\[l'[SÊX)[yl#W XPv[ya`W cdXP¥eiXl 3 ¿ ¾ º ¾ z
,[ | e©}d[o` | [jkcdZ Z ctsW X)w
.04 4 795;:=<(> ¤¯°f±#² ? < @ B@3C DE<(FHG IK<(>LFNM9O P3Cd@3C !*R D3MSIK<(CTGNM9P3C @3U IK@3C2M V P3U D
Ñ _ baT<(Fe< ° ³ ´vµ ¶v·k¸C¹º µ º ¶ @3C D ²,»µ.·k¸C¹º µ W [=P3F@G\OH@3U @3F VH] C O(>LM9P3C^ ^ ·k¸C¹ P3C
`
Ñ _ >"aT< V P3USU P3b*MSC0c@3Fe<<Hf ] MSg3@3U <(C2>
`
Y @HZ P+"· !±©¹ ^ ¤h
Y ? Z 3 3 ¥ ^ ·m° ,² \¹ W
FeP P V ¿ U)\cd^¼·j nd¹'s[fY.[][o` | et`P¯"· !±©¹ ^ ¤+W j=eiXl#cdX)Z nNW j
©µ ¶o+· yµ± µ®¹.».¶±· ¶g± ¶©¹.»µ±¥ ^ ·m´vµ ¶±»µ®».¶y¹
· %;¹
yµ± µ±¥ ^ »µ
T ·tÎi¹
X` | [ci` | []\ | eiXl5 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹WbYg[y¡;~)W }teiZ []X;``c` | [jkcdZ Z ctsW X)w_Wbl'[]X;`W `nd
©µ ¶o¥ ^ ·m´vµ ¶ »µ3».¶©N¹ ·y§;¹
UW \ YòY.~)x)xc;Y.[` | et`f, "· !#±©¹ ^ ¤_z {g| []XV· %;¹geiXl·tÎi¹ | cdZbl5z Z ~)wdwdW X)wq·tÎi¹
W X;`cq· %;¹wdW }d[yY·y§;¹z
cdXv}d[]\ Y.[]Z nd'Y.~)x)xc;Y.[o ` | et`·y§;¹ | cdZbl)Y]zcdX;`\ eda`W X)w1·y§;¹sW ` | » ¶ nvW []Zbl)Y
µ ¶t» ¶ ± ½ ² ½ yµ
¥ ^ · ½ ² ¹.»µÒ
·yÌ;¹
s | []\[s[ | e©}d[o~Y.[yl` | [jmeda` ¶©» ¶ )*z )uci`[` | et`
» ¶ » ¶ µ ¯· ½ ² ½ ¹ µ ·3¥i;¹
Tl)l'W X)wP·3¥i;¹(`cq·yÌ;¹wdW }d[yY
f·
½ ² ½ :¹ yµ¥ ^ · ½ ² ½ ¹.»µ±· ½ ² ½ ¹ µ ·3¥'©¹
{g| WbYgWbY[y¡;~)W }teiZ []X;`g`cq·tÎi¹Y.W XaS[_$ ½ ² ½ )z=U)\cd^ ·y§;¹eiXl,·tÎi¹vcdX)[W ^_^_[yl'W
et`[]Z nNcd'` eiW XY· %;¹z {g| WbYgx)\ct}d[yY` | [Z []^_^he)z
z uz l z
Î
¤¯°f±#²
?< @ .04 4 7 :=<(>
B @3C ED <(FHG K
I <(>LFNM9O P3Cd@3C !*R D3MSIK<(CTGNM9P3C @3U IK@3C2M V P3U D
[=P3FA@G\OH@3U @3F VH] C O(>LM9P3C^ ^
3P C `_ "> aT< V P3USU P3b*MSC0cd@3Fe<<Hf ] MSg3@3U <(C2>
ÑXW
·k¸C¹
Ñ
A ·"!N±©¹ ^ ¤ & ' h
Y ? Z 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹\W
FeP P V ¿ ª®`jkcdZ Z ctsuYjk\cd^Õ·®Îi¹eiXl·jnd¹(` | et`
·3¥d¥d¹
µ ¶o Í "· !±©¹ % ¤ 3 3 ' 234265 v~)x)xc;Y.[o` | et` 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹z {g| []X
33
¤ ¥ ^ ·m° ,²¹N
Z ~)wdwdW X)wW ùW X;`cq·3¥d¥d¹s[cd'` eiW X
·3¥ ;¹
µ ¶ ¥ "· !N±©¹ ^ ° 234265u ¥ "· !±©¹ ^ ¤ 2342653
{g| et`WbY]2 #A "· !±©¹ ^ ¤ & ' z
cdXv}d[]\ Y.[]Z nd'Y.~)x)xc;Y.[o` | et`·3¥ ;¹ | cdZbl)Y]z=ª®`jkcdZ Z ctsuYjk\cd^Õ·3¥d¥d¹eiXl,·3¥ ;¹` | et`
33
%
¤ ' 234265 ¥ ^ ¤ 2 3 2 53
Ñ
{g| ~Yetù[yeda | xcdW X;`(dÉ qÑ¢'` | [jkcdZ Z ctsW X)w | cdZbl)YgcdX ¾ 33
¤ ¥ ^ ¤± ±)Ò
s | []\[ ¾ Ñ eiXlWbYePaScdXY` eiX;`ydz n` | [ | cd^_cdwd[]X)[]W `nds[aScdXaSZ ~l'[h` | et`
N)z {g| []X
3 3 ¥ ^ ¤ ± '$¤ ·3¥tÍv¹
¡;~et`W cdX,·3¥tÍv¹WbYg[y¡;~)W }teiZ []X;`g`c_` | [jkcdZ Z ctsW X)w[y¡;~et`W cdXY]
3 3 ¥ ^ ·m° ±² ¹
± v²
·3E¥ nd¹
Í ^ ²± ·3¥ %;¹
n·3¥ %;¹'s[cd'` eiW X h Í ^ ²(z Z ~)wdwdW X)wW ùW X;`cP·3E¥ nd¹'s[cd'` eiW X
3 3 ¥ ^ ·m° ,² N¹ z uz l z
{g| WbYaScd^_x)Z [S`[yYg` | [x)\cvcijz
Y @HZ #
§
f- I1M u( K)/
H , (gJ8K(RSQ /ÈR J
T Yos[rvX)cts` | [_^_[yeiX
eiXl)Y.[]\w#aS~)\}tet`~)\[ a]eiX[[S£'x)\[yYY.[ylqW XP`[]\^hYocij°
eiXlN²(z ~'`g` | [ojkcd\^~)Zbe· ;¹(WbYg}d[]\nhaScd^_x)Z Wba]et`[yl5z(vc` | [[y¡;~et`W cdX ± ^ ¤Au
WbYaScd^_x)Z Wba]et`[yl_`cvcz8ªXh` | WbYY.[ya`W cdX;s[ei\[uwdcdW X)w`cfÊXlNeY.W ^_x)Z []\X)[yaS[yYYei\neiXl
Y.~ $NaSW []X;ùaScdXl'W `W cdX#jkcd\ ± ^ ¤u)z
Ñ W [=P3F@JG\OH@3U @3F
.04 4 795;:=<(> ¤¯°o±h² ? < @B@3C DE<(FHGIK<(>LFNM9O P3C@ IK@3C2M V P3U D X
Ñ _ >"aT< V P3USU P3b*MSC0cd@3Fe<<Hf ] MSg3@3U <(C2>
VH] C O(>LM9P3C^ ^ ·k¸C¹ P3C `
Y @HZ ± ^ ¤Au h
Y ? Z 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹ @3C D ² MiGAO(U PjG\<HD W
µ ¶ ¿ ©µ ¶ ¥ ^ ·m´vµ ¶ »µ®».¶y¹
FeP P V ¿ [S`
eiXl µ 3 ¿ µ ¶]º ¶ 3 3 ¿ µ ¶]º µ º ¶ z= ,[ | e©}d[
¥i°· ©µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹
±V° · ©µ 3 d² »µ 3 3 ¹
±²· ©µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹(
¥i°· µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹
±V° · µ 3 d² »µ 3 3 ¹
±²· µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹ ¥ ^ ·3»µm° ,ºdµm²¹¤ Z ~)wdwdW X)wW ù W X;`cq· ;¹ )s[Y.[][o` | et` ± ^ ¤Au_W j=eiXlcdX)Z nNW j
· µ 3 J² _»µ 3 3 ¹ ° ±q· µ 3 ° ºdµ 3 3 ¹²±_Í yµ 3 ° J² _¥)· yµm° ºdµ 3 ¹S·m° ±_² ¹)Ò·3¥;Îi¹
· µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¹
± yµ 3 ·m° ±² ¹ ¥)· yµm° ,ºdµ 3 ¹²T ·3¥i§;¹
¶
l W ÏC[]\[]X;`Wbet`W X)wq·3¥i§;¹sW ` | \[yY.x[ya`g`c_º Ò.º eiXl#º )s[cd'` eiW X
µ ¶y´ ± µ tí¶ ± µ í,¶ ´vµ ¶ ´vµ ¶ ´vµ ,¶ ± yµ ¶;·m´ ±%» t» ¹
± yµ '·mí¶ ±».¶©» ¹
± yµ ·mí,¶ ±».¶y» i¹
f·3¥i´ ymµ ´vµ ´vµ i¹.».¶
f·3¥ií¶ ymµ ´vµ ¶ ´vµ ¶©¹.» f·3¥ií,¶ ymµ ´vµ ¶ ´vµ ¶©¹.» ·3¥iÌ;¹
cdX;`\ eda`W X)w1·3¥iÌ;¹sW ` | ´ 8nvW []Zbl)Y
! µ
¶ ´vµ ¶g ± yµ ¶v"· !N±¥u± ½ ² ½ ¹ ¥)"· !N±©:¹ yµ3».¶±¥)·3»µ ¶ ».¶ yµ®¹()Ò 9· d;¹
s | []\[ ¿ ´ z=u[]\[s[ | e©}d[u^hedl'[u` | [o~Y.[ocij5` | [oWbl'[]X;`W `nN» t´ yµ +yµz=ª®`
jkcdZ Z ctsuYjk\cd^Õ9· d;¹(` | et`
µ ¶o ´vµ ¶g± !N± · yµ®».¶± ¶©»µ3¹Ò
9· )©¹
!
!
yµ ¶v"· !N±¥u± ½ ² ½ ¹(+"· !%©¹S· yµ®».¶ ¶©»µ3N¹ 9· ;¥d¹
µ
µ
cdX;`\ eda`W X)w19· ;¥d¹sW ` | » ¿ » ]´ nvW []Zbl)Y
¶oT Ì
Z ~)wdwdW X)wW ùW X;`cq·9;¥d¹s[cd'` eiW X` | et`
eiXl
ucts[y¡;~et`W cdX·3¥;Îi¹Y.W ^_x)Z W Ê[yYg`c
)
yµ ¶
µ ¶
!
´vµ ¶E
·3»µ3° ,
ºdµm²¹(T
·9E;¹
·9iÍv¹
{ eirvW X)wºdµ»µW X·9iÍv¹s[cd'` eiW X
· ½ ² ½ %©¹.»µ
T
·9 nd¹
TYY.~)^_ [` | et`² )zfª®`jkcdZ Z ctsuYujk\cd^ ·9 nd¹` | et` )zfU)\cd^ ·9E;¹5s[_aScdXaSZ ~l'[
` | et` µ ¶o)z
cdXv}d[]\ Y.[]Z ndvs[Y.~)x)xc;Y.[o` | et` 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹z {g| []X
©µ 3 ¥ ^ ·kºdmµ »µk²¹Ò 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹N
,[cd'` eiW X
©µ 3 ° ,ºdµ 3 3 ¥ ^ ·3»µk° ,ºdµm²¹²(Ò
·9%;¹
©µ 3 d² »µ 3 3 ¥ ^ ·3»µk° ,ºdµm²N¹ ·9vÎi¹
Z ~)wdwdW X)w19· %;¹eiXl9· vÎi¹W X;`cq· ;¹nvW []Zbl)Y
µ ¥ "· !±©¹° & ^ %®·3»µ3° ,ºdµk²¹
±· yµ3° ,ºdµ 3 ¹ ' ± yµ 3 ° ·9d§;¹
U)~)\.` | []\yvY.~)x)xc;Y.[u` | et`²WbYaSZ c;Y.[yl5 | []XaS[ yµ ¶)z=U)\cd^ ·©¥d¹=eiXlP·9d§;¹vs[ucd'` eiW X
µ
¥ "· !±©¹ ^ ° & »µ3° ,ºdµk² ^ ¤ (Sµ z uz l z
{g| WbYgx)\ct}d[yY` | [Z []^_^he)z
{g| []\[ei\[Z ci` Ygcij=ueiXl'[]\ Y^_[S`\Wba]YuYet`WbYjknvW X)w

#A "· !±©¹ ^ ¤ & ' Ò
± ^ ¤AuT ¥
vs[ | e©}d[` | [ujkcdZ Z ctsW X)wf[S£)ei^_x)Z [
[yY.Wbl'[yY=` | [ueiXl'[]\ Y(^_[S`\Wba]YW X9· ;¹(sW ` | ^

sW ` | ^ ^ ·k¸C¹ ^ !´ !z
#Ô 49. 7 U)cd\ueiXqei\)W `\ ei\n_Xv~)^[]
\ sW ` | _Ç d)l'[SÊX)[
<
<
° ¿ ³ · ¹S·k¸ ;h±º ¹ ± ± ©·k¸©4· ; ± ± º ¹ ¹S·± ©·k¸ ±º ¹.¹
<
² ¿ ±© ·k ¸ ·k¸ ;h±±º º ¹ ¹ y
,[ | e©}d[
½ ² ½ ³ 8±¸ ¸ ± ±º º ÇE
g{ | ~Y=¤ ¿ °o±h²1WbY=eueiXl'[]\ Y8^_[S`\WbacdX_ z*nel'W \[ya`(aScd^_x)~'` et`W cdXis[gcd'` eiW X
± ^ ¤)Ò
s | []\[

^
¥)· 8
±¸ ±º ¹ pqcd\[]ct}d[]\yd` | [Ëei~YYaS~)\}tet`~)\[ocij=¤+WbYwdW }d[]X#vn
<
· 8 ±¸ ±·k¸ ;hº ±¹ º¤ ¹ ± Í· 8Î'±·$ ¸ ± º ¹ ¹ ± 8±¸ ¥ ±º {g| ~Y¤¢l'cv[yYgX)ci` | e©}d[aScdXY` eiX;`Ëei~YYaS~)\}tet`~)\[dz
' K=LN
L L .(uL)K (+, G &
nedYY.~)^_x'`W cdX` | et` ± ^ ¤u_eiXl#[]^_^he_Íz dvs[rvX)cts` | et`
©µ ¶o¥ ^ ·m´vµ ¶ V»µ3».¶y¹Ò yµ ¶oT Z ~)wdwdW X)w` | []^ÀW X;`cq·d©¹nvW []Zbl)Y
µ "
! µ ± ^ ·m° ,²¹º µ 9· dÌ;¹
{g| ~Y¤ °±²+WbYNxcdW X;`sWbY.[Px)\ciÐ[ya`W }d[]Z n[y¡;~)W }teiZ []X;`N`c° eiXl` | [ l cd~)wdZbedY
aS~)\}tet`~)\[}teiX)WbY | [yY¦ ¥©¨g·mY.[][eiZbY.cN=£)ei^_x)Z [N )z ¥'z W XV¦ §t¨k¹z n1edYY.~)^_x'`W cdX
` | [1 ,[]nvZuaS~)\}tet`~)\[· ` | d[ []\sgeiZblv® ,[]nvZgaS~)\}tet`~)\[#W Xl'W ^_[]XY.W cdXV`scv¹}teiX)WbY | [yY
¦ ©¥y¨·mY.[][feiZbY.cN | eix'`[]\f W X¦ §©¨k¹z {g| []\[Sjkcd\[d)¤ WbYZ c'a]eiZ Z nNx)\ciÐ[ya`W }d[]Z n_et`yz {g| []X
{g| []cd\[]^ dz ¥jkcdZ Z ctsuYjk\cd^ {g| []cd\[]^ dz W X¦ Ìt¨®z
U)cd\\[yedl'[]\ o YgaScdXv}d[]X)W []XaS[dvs[Y.rd[S` a | e_l'W \[ya`x)\cvcij[]Z cts~)Xl'[]\g` | [fedYY.~)^_x'
`W cdX` | et`
©µ ¶o¥ ^ ·m´vµ ¶ »µ3».¶©¹Ò yµ ¶)Ò µ ¤ µ ¤ ¤ 2 º µ UW \ Y`y'x)Z ~)wdwdW X)wq9· dÌ;¹W X;`cP·kÍv¹eiXl#~Y.W X)w
» µ ¶ º µ º ¶ 3 3 ¥ ^ ·m° ,² ¹Ò
·kÍ;;¹
s[cd'` eiW X
µ ! µ ± µ ± ©º µ Ò
·kÍ©¹
s | []\[
^ ° ¥ ^ °
d
² ^ ² ^ 3 ·m° ,²N¹ d
{g| []X
! µ µ µ ©º µ %®· ^ ¹° ±¥)· C± ^ ¹°
²8±· C± ^ ¹² ± ^ 3 ·m° ²¹ µ ± ©º µ '
{g| WbYgW ^_x)Z W [yYg` | et`
· K ^ ¹° ±¥)· ± ^ ¹°
²1±· ± ^ ¹² ± ^ 3 ·m°,²¹ Ò
°
s | []\[ ·k¸C¹_WbYheYa]eiZbei\jk~)Xa`W cdXcdXÑ eiXl%W `N^~Y`h[PeaScdXY` eiX;`hs | []X
!Pl'W ^
Ñ ¥'z {g| [eict}d[([y¡;~et`W cdXfWbY
[y¡;~)W }teiZ []X;`
`cu` | [(jkcdZ Z ctsW X)w`sc[y¡;~et`W cdXY
¥)· ± ^ ¹²#± ^ 3
·kÍv¥d¹
· K ^ ¹° ±· ± ^ ¹² ^ 3 ²,T ·kÍ ;¹
U)\cd^¼·kÍv¥d¹s[cd'` eiW X#` | et` ^ 3 ¥)· ± ^ ¹²(z Z ~)wdwdW X)wW ùW X;`cP·kÍ ;¹nvW []Zbl)Y
· K ^ ¹° ± · ± ^ ¹² T ª®`jkcdZ Z ctsuY` | et`
K ^ )Ò ± ^ T
{g| ~Y ^ WbYe_aScdXY` eiX;`y # ^ eiXl Í ^ )W3z [dz
° 2 º µ ! µ Í ^ ° µ °
,[sW Z Z5jkcdZ Z cts¢¦ Ì©äSZ c;Y.[]Z ndz=UW \ Y`y)s[Y.~)x)xc;Y.[o` | et` ^ )z=ª®`jkcdZ Z ctsuYjk\cd^¼9· dÌ;¹
` | et` µ ! µ ·k¸
Ò.º)¹ei\[h¡;~edl'\ et`WbaW X,º jkcd\feiXvnq¸
zNu[]XaS[h¤ WbYfe []\sgeiZbl
^_[S`\Wbaiz(pqcd\[]ct}d[]\y
µ ! µ
X` | [ci` | []\ | eiXl5 Í ^ W ^_x)Z W [yY` | et`8°WbYet`y ! µ )z {g| ~Y¤¯°±²
WbYet`yz= ,[faScdXaSZ ~l'[o` | et`¤ WbYgZ c'a]eiZ Z npqW X)rdctsuY.rvWbeiXz
)uctsAY.~)x)xc;Y.[` | et` ^ )z=Tj `[]\eiX#eix)x)\cdx)\Wbet`[Ya]eiZ W X)wvs[o^he©nedYY.~)^_[` | et`
^ ¥'z ,[fa]eiX1[S£'x)\[yYYg°W X#` | [jkcdZ Z ctsW X)w k Z []W Xjkcd\^
°, ³ Æ · Ô 0 Æ Ô Ô=Ò.Æ ¹ vW XaS[²WbYaSZ c;Y.[yl5's[a]eiX#[S£'x)\[yYYgW ùW X#` | [jkcdZ Z ctsW X)wjkcd\^
² $Ô=Ò. Æ Ô ·kÆ¹Ò Æ,+·kº µ $¹ ª®`jkcdZ Z ctsuYjk\cd^Õ·kÍ;;¹(` | et`
» µ ¶ ·m´vµ ¶ »µ3».¶©N¹ ·kÍdÍv¹
{g| [ | \WbY`ciÏC[]Z
Y.nv^cdZbYgcij8°Vei\[wdW }d[]X#vn
! ,¶µ ¸ ¶µ ± Ô ¸ ¶ µ ©¥
{g| [aSct}tei\WbeiX;`l'[]\W }tet`W }d[yYgcij²sW ` | \[yY.x[ya``ch°Vei\[wdW }d[]X#vn
» µ ¶ ¸ µ ¸ ¶ ± Ô µ ¶ ,¸ µ ¸ ¶ ¸ ¶ ¸ µ Ò
eiXl
´vµ ¶ »µ3».¶o Ô µ ¶ ,¸ µ ¸ ¶ ,¸ ¶ ¸ µ ¸ µ ¸ ¶ Z ~)wdwdW X)w` | []^ÀW X;`cq·kÍdÍv¹nvW []Zbl)Y

¸
µ ¶ ± µ ¶ T ¸
¸
¸
[S` [S£'x
· ¹z {g| []X·k0Í nd¹Y.W ^_x)Z W Ê[yYg`c

µ ¶ T ¸ ¸
{g| ~Y WbYueZ W X)[yei\gjk~)Xa`W cd X
5·± Ò.=Ô .¹Ò
%T ,[cd'` eiW X` | et`
Z X±Z X·± Ò.=Ô .N¹ UW XeiZ Z nd's[ÊXl` | [^_c;Y`wd[]X)[]\ eiZ5Y.cdZ ~'`W cdXjkcd\²(
², $Ô=Ò. Æ Ô ± Ò.Æ Ò. Ô= Ò Æ ¦ S¨
¦ ¥©¨
¦ t¨
¦ Íi¨
¦ n©¨
( u( K)(I1Q (0/
·kÍ0nd¹
·kÍ %;¹
k· Í'Îi¹
z uz l z
z (zCTuX;`cdX)[]Z Z W3Cz CzªX)w;ei\ l'[]XeiXlqpzCpPet` Y.~)^_ci`c0 aT<>"aT<HP3F P V G Fe@ G
@3C D[ MSCTGNU <(FG @EOH<NGb*MS>"a @ U M9OH@3>LM9P3CTGdMSC a GNM9ONG @3C D ? M9P3U Pec U { ni§)
k Z ~vs[]\Ta]edl'[]^_Wba ~))Z WbY | []\ Y]5yÌdEÌ )z
Cz ed a]Yc eiXlpzipPet` Y.~)^_ci`c C[ MSCTGNU <(F$G @EOH<NGP V P ] c U @jG> ! < W
c <(C <(F R
@3U M @3>LM9P3CP V >"aT<$C P3>LM9P3CP V <(FNb @3U D G @EOH< ~))Z3z©pPet` | z l [])\[yaS[]X 5 ·yÌdÌvÎi¹
d§ n©®Í; %)z
l jz geicueiXlzycd)Z [yY] C B@3C DE<(FHG IK<(>LFNM9ONG$P V OHP3CTGN> @3C2>O ] FNg3@3> ] Fe< ©[]xcd\.` Y
cdXqpPet` | []^het`Wba]eiZ (| n'Y.Wba]Y· `cNeix)x[yei\¹z
pzpPet` Y.~)^_ci`c C R Fe<HD ] O(M ? U <[ MSCTGNU <(FG @EOH<NG { []XY.cd\y )fz Cz ·yÌvÎi¥d¹
¥iÌt vÎvz
pz;pPet` Y.~)^_ci`c C [ MSCTGNU <(F G @EOH<NG b*MS>"aB@3C DE<(FHG IK<(>LFNM9O @3C D-G <HO(M9@3U V P3FNIAG
P V MSI P3FN> @3C2> > <(CTG\P3FHG zpPet` | z k ndci`cuX)W }Cz 5 ·yÌvÎ©Ív¹;Í'ÎdÎy®Í;Ìd§)z

¦ %t¨
pz)pPet` Y.~)^_ci`c B@3C DE<(FHGG @EOH<NGAP V OHP3CTGN> @3C2> O ] FNg3@3> ] Fe< '[]xcd\.` YcdX#pPet` |
[]^het`Wba]eiZ (| n'Y.Wba]Y] ·yÌd§dÌ;¹)¥tÍ;Ìt¥ %)dz
¦ Îy¨ ËzCueiXl'[]\ Y] C@3C@jG IIK<(>LFNM9OIK<(>LFNM9OMSCQ>"aT< V P ] F R G @EOH<KP V c <(C <(Fe@3UFe<(U @ R
>LMSg MS> (| n'Y]z'[]}Cz ·yÌiÍ©¹CyÌ n© yÌdÌ)z
¦ §t¨ zv | []X l W ÏC[]\[]X;`WbeiZCËo[]cd^_[S`\ncijvx)\ e©neiXlhUW XY.Z []\gvxedaS[yY] k Z ~vs[]\Ta]et
l'[]^_Wba ~))Z WbY | []\ Y] l cd\ l'\[ya | `y)¥id)dz
¦ Ìt¨ z | []X FeP\<HO(>LMSg3<(U @3>$B@3C DE<(FHGKIK<(>LFNM9ONGKb*MS>"a OHP3CTGN> @3C2> @\cQO ] FNg3@3> ] Fe<
pPet` | zTuX)Xz
· `cNeix)x[yei\¹z
¦ yt¨z
| []X [ MSCTGNU <(FKIK<(>LFNM9ONGb*MS>"a ¢ @3C D ¢)8eiXedl'WbeiX z5cijgpPet` | z
· `cNeix)x[yei\¹z
¦ dS
¨ z
| []X b P R D3MSIK<(CTGNM9P3C @3U [ MSCTGNU <(FKIK<(>LFNM9ONGb*MS>"a OHP3CTGN> @3C2>@\c O ] FNg3@3> ] Fe<
pPeiXv~YaS\W x'` e_pPet` | []^het`Wba]e1· `cheix)x[yei\¹z
¦ ©¥©
¨ z¯vyei c MSC [ MSCTGNU <(FHG\OHaT<(F B@ ] I MiGN> c <(Fe@EDE< DE@3C2C g3P3C6G!E@3U @3Fe<(F
F] II ] C0c _ b <(C2CXG\<(MSC <d< UG\OHaT< FeP\<3>LMSg3F] II] C0c g3<(FHG\OHa0b*MSC DE<(>
Ta` eN'aSW3zpPet` | z·3v][]wd[yl¹ ·yÌvÎdÎi¹C %Et %d§)z
¦ t¨ z8 | W et` e)fz8 | W ^hedl)e)8pz
Tu]~)^hePeiXlfz edY.~l)e) C[ MSCTGNU <(FG @EOH<NG
b*MS>"aB@3C DE<(FHG0IK<(>LFNM9O { []XY.cd\y )fz Cz 5 ·yÌvÎdÎi¹'¥'yÌt¥d¥ %)z
¦ ]Íi¨ fz edY.~l)efeiXlNfz) | W ^hedl)e) C B@3C DE<(FHGG @EOH<NG P V G\OH@3U @3F-O ] FNg3@3> ] Fe< v[]xz
cdXqpPet` | z (| n'Y]z 585 ·yÌvÎdÎi¹ iÍ'Îy %d)z
W Xvnv~)[ | []X
l []xei\.`^_[]X;`hcijpPet` | []^het`Wba]Y] | cdX)w;¡;W X)w,ªXY`W `~'`[qcij { [ya | X)cdZ cdwdndg | cdX)w;¡;W X)w
Í;dd ni) z)zC | W Xe
a | []X'£'Tn ni§ %E)z X)[S`
| cdX)wd^_W Xq | []X
[]xei\.`^_[]X;`NcijpPet` | []^het`Wba]eiZo'aSW []XaS[yY]gªXl'WbeiXe uX)W }d[]\ Y.W `n; ~)\ l'~)[ uX)W }d[]\ Y.W `n
ªXl'WbeiXeixcdZ WbY]'Í;;¥A)fz2Zbeda r;jkcd\ l#;`\[][S`y)ªXl'WbeiXeixcdZ WbY]'ª )Í %;¥i;¥© ;¥'%) o'Tfz
yY | []X ^het` | z W ~)x)~)W3z [yl'~
l
]Í

Download Report

Randers Metrics with Special Curvature Properties

Paperzz.com

Your Paperzz