นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
Assignment 3 : 322721 Theory of Computation
Context-Free Language and Parsing
1. Consider the grammar given below for the Language defined by 0*10*
SA1A
AA0|^
(a) Convert this grammar to one without ^-productions
(b) Transform to CNF
(c) Find all strings that have derivation trees that have no self-embedded nonterminals
a) จาก grammar เดิม จะเห็นว่า A เป็ น nullable variable ดังนัน้ แทน A=^ จะได้ grammar ใหม่เป็ น
SA1A | 1A | A1 | 1
AA0 | 0
b) แปลง grammar จากข้ อ a) เป็ น CNF
ให้ R00 , R11 และ RA1A1 (RA1AR1) เมื่อแทนเข้ าไปใน grammar เดิมจะได้ CNF เป็ น
SRA1A | R1A | AR1 | 1
AAR0 | 0
RA1AR1
R00
R11
c) เขียนทุกแบบ นอกจากแบบทีเ่ รี ยกตัวเอง (AAR0) ได้ ดังนี ้
S
RA1
A
R1
0
1
S
S
S
A
R1
A
A
R1
0
1
0
0
1
1
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
2. (a) Prove that the following language is not context free language
L1 = { an bn cj | n≤j≤2n }.
(b) Simplify the following grammar
S->AB
A->a
B->C
B->b
C->D
D->E
a)
จาก pumping lemma : w = uvxyz , |vxy| ≤ 2p , |x| > 0 และ |v|+|y| > 0
สมมติให้ L1 เป็ น context-free language
u=^
v = an
x = bn
y = cj
z=^
pump 2 :
w = anbncj
w’ = a2nbnc2j
จะได้ w’∉ L1 ดังนัน้ L1ไม่เป็ น context-free language
b) ลดรูป grammar โดย
SAB
Aa
BC ตัดออกเพราะเป็ นการเพิ่ม nonterminal โดยไร้ ประโยชน์
ต้ นทางซ ้า นาไปเพิม่ ที่ BC
CD ตัดออกเพราะเป็ นการเพิ่ม nonterminal โดยไร้ ประโยชน์
DE ตัดออกเพราะเป็ นการเพิ่ม nonterminal โดยไร้ ประโยชน์
จะได้ grammar ใหม่ดงั นี ้
Bb
SAB
Aa
Bb
หรื อ
Sab
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
3. Convert the following grammar into Chomsky normal form (CNF).
SAaD
AaB|bAB
Bb
Dd
กาหนดให้ R1  a , RAA  Aa (RAA  AR1) , RBA  bA (RBA  BA)
จะได้ CNF ดังนี ้
S  RAAD
A  R1B | RBAB
RAA  AR1
RBA  BA
R1  a
Bb
Dd
4. What is meant by ambiguous grammar? Test whether the grammar is ambiguous or not.
S->A|B
A->aAb|ab
B->abB|^

Ambiguous grammar หมายถึง grammar ที่คลุมเครื อ โดยการที่มี string ใดๆ สามารถถูกสร้ างโดย grammar
หนึง่ ๆ ได้ หลายทาง หรื อ สามารถนาไปเขียน tree ได้ มากกว่าหนึง่ แบบ
ทดสอบสร้ าง tree สร้ าง string : ab โดยใช้ grammar ข้ างต้ น
แบบที่ 1
แบบที่ 2
SS
SS
AA
BB
ab
ab
ab
ab
BB
^^
สามารถเขียน tree ในการสร้ างข้ อความ ab ได้ มากกว่าหนึง่ แบบแสดงว่า grammar นี ้คลุมเครื อ
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
Turing Machine
5. For each of the following languages construct a Turing machine that recognizes the
language.
a. { xyx | x and y are in {a, b}* and |x| ≥1 }
b. { xy | xy is in {a, b, c}*, |x| = |y|, and (the number of a's in x) = (the number of a's in y) }
c. { xy | xy is in {a, b, c}*, |x| = |y|, and (the number of a's in x) ≠(the number of a's in y) }
d. { aixbi | x is in {a, b}*, and i = (the number of a's in x) = (the number of b's in x) }
e. { aibicjdj | i≠j }
f. { aba2b2a3b3 …anbn | n ≥ 0 }
a) { xyx | x and y are in {a, b}* and |x| ≥1 }
(a,a,R)
(b,b,R)
(b,b,R)
(b,b,L)
(a,a,R)
(a,#,R)
q1
(#,#,L)
q2
(a,#,R)
(#,#,L)
q3
(a,#,L)
(#,#,R)
q0
(#,#,R)
q4
HALT
(#,a,L)
q5
(a,a,R)
(a,b,L)
(b,a,L)
(b,#,R)
q8
(a,a,R)
(b,b,R)
(#,#,L)
q9
(b,b,L)
(b,#,R)
(#,#,L)
q10
q6
(b,b,R)
(b,b,L)
(#,#,R)
(#,b,L)
q7
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
b) { xy | xy is in {a, b, c}*, |x| = |y|, and (the number of a's in x) = (the number of a's in y) }
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
q0
(#,X,R)
q1
(a,a,R)
(b,b,R)
(c,c,R)
(#,Y,L)
(b,b,R)
(a,X,L)
(a,a,R)
(b,b,R)
q2
(#,#,L)
q3
(b,X,L)
q4
(X,a,R)
q5
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
(X,a,R)
q7
(Y,Y,L)
(a,Y,R)
q8
(b,Y,R)
q9
q10
(Y,a,L)
(Y,b,L)
(c,X,L)
(X,a,R)
(Y,Y,L)
q6
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
q13
(b,b,R)
(#,#,R)
(a,A,L) (b,b,R)
(c,c,R)
q14
(X,X,R)
(a,A,R)
(b,b,R)
(c,c,R)
q15
(X,X,R)
(Y,Y,R)
HALT
(Y,c,L)
(c,Y,R)
q11
(b,b,R)
q12
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
c) { xy | xy is in {a, b, c}*, |x| = |y|, and (the number of a's in x) ≠(the number of a's in y) }
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
q0
(#,X,R)
q1
(a,a,R)
(b,b,R)
(c,c,R)
(#,Y,L)
(b,b,R)
(a,X,L)
(a,a,R)
(b,b,R)
q2
(#,#,L)
q3
(b,X,L)
q4
(X,a,R)
q5
(a,a,L)
(b,b,L)
(c,c,L)
(X,a,R)
q7
(a,Y,R)
(Y,Y,L)
q8
q9
(b,Y,R)
q10
(Y,a,L)
(Y,b,L)
(c,X,L)
(X,a,R)
q6
q11
(#,#,R)
(Y,Y,L)
HALT
(#,#,L)
(b,b,R)
q13
(X,X,L)
(Y,c,L)
(c,Y,R)
(b,b,R)
(a,A,R)
q14
(b,b,R)
(c,c,R)
(b,b,L)
(c,c,L)
(a,A,L)
(Y,Y,L)
q16
q15
(b,b,R)
(c,c,R)
(X,X,R)
(Y,Y,R)
q12
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
i
i
d) { a xb | x is in {a, b}*, and i = (the number of a's in x) = (the number of b's in x) }
(a,a,R)
(b,b,R)
(A,A,R)
(B,B,R)
q0
(a,A,R)
q1
(a,a,L)
(b,b,L)
(A,A,L)
(B,B,L)
(a,a,L)
(A,A,L)
(B,B,L)
(#,#,L)
q2
(b,B,R)
(A,A,R)
(B,B,R)
(#,#,R)
q3
q4
(a,A,R)
e) { aibicjdj | i≠j }
(c,Y,R)
(c,Y,R)
(a,X,R)
(b,X,R)
q0
(#,#,L)
q1
(#,#,R)
(Y,#,R)
q2
(X,#,R)
(X,X,R)
(Y,Y,R)
(#,#,L)
q3
(#,#,L)
(Y,#,L)
(#,#,L)
q4
f) { aba2b2a3b3 …anbn | n ≥ 0 }
(B,B,R)
(A,A,R)
(B,B,R)
(a,a,R)
(b,B,L)
q0
q1
(a,A,R)
(#,#,R)
HALT
HALT
(#,#,L)
HALT
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
6. Find a Turing machine that computes f(x)=2x +1.
กาหนดให้
𝛴 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 𝛤 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,#,$} โดย # คือ blank
ขันตอน
้
(กาหนดให้ Input คือ x และมีการใส่ Input ข้ างหลัง $)
1) Tape เมื่อเริ่ มต้ นทางาน
$
5
0
#
#
#
#
…
2) เลือ่ น Tape Head ไปขวาสุด
$
5
0
#
#
#
#
…
3) ทา x + x
1
0
0
#
#
#
#
…
4) เลือ่ น Tape Head ไปขวาสุด
1
0
0
#
#
#
#
…
5) ทา (x+x)+1
1
0
1
#
#
#
#
…
จากขันตอนสามารถเขี
้
ยน Turing Machine ได้ ดงั นี ้
(x,x+x,L)
x+x< 10
(any,any R)
q0
(#,#,L)
(any,any,R)
No
Carry
(x,x+x-10,L)
x+x≥ 10
($,#,R)
q1
(x,x+x+1,L)
x+x< 10
Owe
Carry
(x,x+x-10+1,L)
x+x≥ 10
($,1,R)
(#,#,L)
No
Carry
(x,0,L)
x+1=10
Owe
Carry
(x,0,L)
x+1= 10
ในที่นี ้ x คือตัวเลขหนึง่ หลักใน Tape
(x,x+1,L)
x+1< 10
HALT
(x,x+1,L)
x+1< 10
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
7. Find the turing machines called minus that computes the subtraction operator. It
takes an input string of the form 0m10n on the TAPE and leaves 0m-n string on the
TAPE with ‘-’ placed in front of 0m-n as shown following:
a) Input format 0m10n
b) Output format +0m-n
, if m>n
all blank , if m=n
-0m-n
, otherwise
a)
(0,0,R)
(0,0,R)
(1,1,R)
q0
(1,1,L)
q1
HALT
b)
(0,0,L)
(1,-,R)
(0,0,R)
q10
HALT
q9
(#,#,L)
(1,#,L)
q8
(0,0,L)
(#,+,R)
q7
(0,0,L)
(1,1,L)
q6
q11
(1,1,R)
(0,0,R)
q0
(0,#,R)
(0,0,R)
q1
(0,0,R)
(0,0,R)
(1,1,R)
q2
(#,#,L)
(#,#,R)
q3
(0,0,R)
(0,#,L)
q4
(0,0,L)
q5
(1,1,L)
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
Variation on Turing Machine
8. Find a Turing machine (TM1) that computes the function f(w)=w#w, where # is a
blank, w*,={0,1} for the following tapes.
a. One-way tape
b. Two-way tape
a)
(X,0,R)
(0,0,R)
(1,1,R)
(0,X,R)
q0
(#,#,R)
q1
(0,0,L)
(1,1,L)
(#,#,L)
(0,0,R)
(1,1,R)
(#,#,R)
q2
(#,0,L)
q3
HALT
(1,X,R)
q4
(#,#,R)
q5
(#,0,L)
(0,0,L)
(1,1,L)
(#,#,L)
(0,0,R)
(1,1,R)
(0,0,R)
(1,1,R)
q6
(X,1,R)
b)
(X,0,L)
(0,0,L)
(1,1,L)
(0,X,L)
(0,0,R)
(1,1,R)
q0
(#,#,L)
q1
(#,#,L)
q2
(0,0,R)
(1,1,R)
(#,#,R)
(0,0,L)
(1,1,L)
(#,#,L)
q3
(#,0,R)
q4
HALT
(1,X,L)
q5
(#,#,L)
q6
(0,0,L)
(1,1L)
(0,0,L)
(1,1,L)
(X,1,L)
(#,0,R)
q7
(0,0,R)
(1,1,R)
(#,#,R)
นายฉัตรชัย อัศวินโกวิท
545020154-5
9. Construct a 3-TM to add two n-bit binary numbers as the following example.
$
$
$
1
1
#
0
0
#
Input tape
1
1
0
1
#
#
#
#
#
#
#
#
$
$
$
Tape head
1
1
#
0
0
#
Output tape
1
1
0
1
#
#
#
#
#
#
#
#
Tape head
Note: # represent a blank.
No
Carry
Start
HALT
Owe
Carry
กาหนดให้
𝑥 คือ ข้ อมูลในแต่ละตัวที่อา่ นได้ จาก tape 1
𝑦 คือ ข้ อมูลในแต่ละตัวที่อา่ นได้ จาก tape 2