Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 1
컴파일러 입문
제 5 장
Context-Free 문법
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 2
목차
I. 서론
II. 유도와 유도 트리
III. 문법 변환
IV. CFG 표기법
V. 푸시다운 오토마타(PDA)
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 3
서론
▶ regular expression: the lexical structure of tokens
- recognizer : FA( scanner)
- id = l(l + d)* sc = ´(c + ´´)*´
▶ CFG: the syntactic structure of programming languages
- recognizer : PDA( parser)
▶ 프로그래밍 언어의 구문 구조를 CFG로 표현할 경우
의 장점:
1. 간단하고 이해하기 쉽다.
2. CFG로부터 인식기를 자동으로 구성할 수 있다.
3. 프로그램의 구조를 생성규칙에 의해 구분할 수 있으므로
번역시에 유용하다.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 4
▶ CFG의 form : N. Chomsky의 type 2 grammar
A  , where A  VN and   V* .
▶ recursive construction
ex) E  E OP E | (E) | -E | id
OP   |  |  | /
VN =  E, OP 
VT =  (, ), , id, , , /
ex) <if_statement>  'if' <condition> 'then' <statement>
VN : <와 >사이에 기술된 symbol.
VT : '와 '사이에 기술된 symbol.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
유도와 유도 트리
Page 5
Text p.167
▶ Derivation : 1  2
start symbol로부터 sentence를 생성하는 과정에서 nonterminal을
이 nonterminal로 시작되는 생성 규칙의 right hand side로 대치
하는 과정.
(1)  : derives in one step.
if A    P, ,   V* then A  .
(2) * : derives in zero or more steps.
1.   V*,  * 
2. if  *  and    then  * 
(3) + : derives in one or more steps.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 6
▶ L(G) : the language generated by G
= { | S * ,  ∈ VT*}
▶ definition :
sentence
: S * ,   VT*
 모두 terminal로만 구성.
sentential form : S * ,   V*.
▶ Choosing a nonterminal being replaced
- sentential form에서 어느 nonterminal을 선택할 것인가 ?
A   , where   V*.
leftmost derivation: 가장 왼쪽에 있는 nonterminal을 대치해
나가는 방법.
rightmost derivation: 가장 오른쪽에 있는 nonterminal을 대치.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 7
▶ A derivation sequence 0  1  ...  n is called a
leftmost derivation if and only if i+1 is obtained from
i by applying a production to the leftmost nonterminal
in i for all i, 0  i  n-1.
i  i+1 : 가장 왼쪽에 있는 nonterminal을 차례로 대치.
▶ parse : parser의 출력 형태 중에 한가지.
 left parse : leftmost derivation에서 적용된 생성 규칙 번호.
- top-down parsing
- start symbol로부터 sentence를 생성
 right parse : rightmost derivation에서 적용된 생성 규칙
번호의 역순.
- bottom-up parsing
- sentence로부터 nonterminal로 reduce되어 결국엔
start symbol로 reduce.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 8
유도 트리
::= a graphical representation for derivations.
::= the hierarchical syntactic structure of sentences that is implied by the
grammar.
▶ Definition : derivation tree
CFG G = (VN,VT,P,S) &   VT*  drawing a derivation tree.
1. nodes: symbol of V(VN  VT)
2. root node: S(start symbol)
3. if A  VN, then a node A has at least one descendent.
4. if A  A1A2...An  P, then A가 subtree의 root가 되고 좌로부터
A1,A2,...,An가 A의 자 노드가 되도록 tree를 구성.
A
A1 A2 ... An
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 9
▶ Nodes of derivation tree
internal(nonterminal) node
external(terminal) node
 VN
 VT{}
▶ ordered tree - child node들의 위치가 순서를 갖는 tree,
따라서 derivation tree는 ordered tree이다.
A
A

A1 A2
A2 A1
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 10
예) G : E -> E + T | T
T -> T * F | F
F -> ( E ) | a
: a+a*a
스트링 a + a * a의 유도 트리:
E
/ | \
E + T
/
/ | \
T T * F
/
/
\
F
F
a
/
/
a
a
※ 각각의 유도 방법에
따라 derivation tree 모
양은 변하지 않는다.
즉, 한 문장에 대한 tree
모양은 unique하다.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 11
▶ Ambiguous Grammar
- A context-free grammar G is ambiguous if and only if it
produces more than one derivation trees for some sentence.
nondeterministic
- 설명 : 같은 sentence를 생성하는 tree가 2개 이상 존재할 때
이 grammar를 ambiguous하다고 하며, 결정적인 파싱을
위해 nondeterministic한 grammar를 deterministic하게
변환해야 한다.
(O)
Ambiguous
Nondeterministic
(X)
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 12
▶"G: ambiguous 증명"  하나의 sentence로 부터 2개 이상의
derivation tree 생성.
ex) dangling else problem:
G: S  if C then S else S | if C then S | a
Cb
: if b then if b then a else a
1)
2)
S
S
if C then S else S
b if C then S a
b
a
if C then S
b if C then S else S
b
a
a
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 13
※ else : 일반적으로 right associativity를 만족한다.
if 문장의 경우 자신과 가장 가까운 if와 결합
하므로 두개의 트리 중 일반적으로 2)를 만족.
▶ In a more general form, the ambiguity appears when there is
a production of the following form.
- production form :
- sentential form :
- tree form :
A
A
A α A
α A
A  AA
AAA
A
or
A α A
A αA
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 14
▶ ambiguous  unambiguous
1) 새로운 nonterminal을 도입해서 unambiguous grammar로 변환.
2) 이 과정에서, precedence & associativity 규칙을 이용.
☞ nondeterministic  deterministic
예) G : E  E  E | E + E | a
: aa+a
– precedence rule의 적용
1) + > 
2)  > +
E
E
a
E

E
E
+
E +
E
E
 E
a
a
a
a
E
a
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 15
 새로운 nonterminal의 도입
G: E E+T|T
T T*F|F
F a
E
E
+
T
T
T
*
F
F
a
a
F
※ 그런데, grammar의
ambiguity를 check할 수
있는 algorithm이 존재하지
않으며, unambiguous하게
바꾸는 formal한 방법도
존재하지 않는다.
a
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 16
▶ unambiguous grammar로 바꾼 예:
 G : expression  expression + term
| expression - term
| term
term
 term * factor
| term / factor
| factor
factor
 primary ↑ factor
| primary
primary  - primary
| element
element  ( exp )
| id
 derivation tree가 하나이므로 위 grammar는 unambiguous하다.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 17
 id * id + id의 derivation tree:
expression
expression +
term
term
factor
term * factor
primary
factor
element
primary
primary element
element
- derivation tree가 하나
이므로 위 grammar는
unambiguous하다.
id
id
id
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 18
Text p.177
문법 변환
III.1
III.2
III.3
III.4
III.5
Introduction
Useless Productions
-Productions
Single productions
Canonical Forms of Grammars
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 19
III.1 Introduction
▶ Given a grammar, it is often desirable to modify the grammar so that
a certain structure is imposed on the language generated.
 grammar transformations without disturbing the language generated.
▶ Definition : Two grammars G1 and G2 are equivalent if L(G1) = L(G2).
▶ Two techniques
(i) Substitution :
if A  B, B  1 | 2 | 3 … | n  P, then
P' = ( P - {A  B } )  {A  1 | 2 | ... | n }.
(ii) Expansion :
A   <=> A  X, X   or A  X, X  
ex) P : S  aA | bB
A  bB | b
B  aA | a
▶ All grammars can be transformed the equivalent grammars through
the substitution and expansion techniques.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 20
III.2 Useless Productions
▶ A useless production in a context-free grammar is one which can not
be used in the generation of a sentence in the language defined by the
grammar.
 it can be eliminated.
▶ Definition : We say that a symbol X is useless if
not ∃S * Xy * xy, ,x,y  VT*.
▶ Splitting up into two distinct problems:
(i) Terminating nonterminal :
A   ,  *  , where A  VN and   VT*.
(ii) Accessible symbol :
S * X, where X ∈ V and ,  V*.
▶ An algorithm to remove useless productions will involve computing the
terminating nonterminals followed by the accessible symbols.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
▶ Terminating nonterminal을 구하는 방법:
Page 21
p.180
Algorithm terminating;
begin
VN' := { A | A  ∈ P,  ∈ VT* };
repeat
VN' := VN' ∪ { A | A ∈ P, ∈ ( VN' U VT )* }
until no change
end.
▶ Accessible symbol을 구하는 방법:
p.181
Algorithm accessible;
begin
V' := { S }; (* initialization *)
repeat
V' := V' ∪ { X | some A  X∈ P, A ∈ V' }
until no change
end.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 22
▶ Useless production removal :
(1) Apply the algorithm for the terminating nonterminal.
(2) Apply the algorithm for the accessible symbol.
ex) S  A | B
A  aB | bS | b
B  AB | BB
C  AS | b
연습문제 5.11 (1)
p.218
III.3  - Productions
▶ Definition : We call that a production is  -production
if the form of the production is A  , A  VN.
▶ Definition : We say that a CFG G = (VN, VT, P, S ) is  -free if
(1) P has no -production, or
(2) There is exactly one -production S   and
S does not appear on the right hand side of any
productions in P.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 23
▶ Conversion to an  -free grammar:
p.183
Algorithm  -free;
begin
VN := { A | A =>+  , A  VN }; (* nullable nonterminal *)
P' := P – { A   | A  VN };
for A0B11B2...BKK ∈ P' ,where i ≠ and Bi  VN do
if Bi   ∈ P' then
P' = P' ∪{ A  0X11X2...XKK | Xi = Bi or Xi = }
else
P' = P' ∪{ A  0X11X2...XKK | Xi = }
end if
end for
if S  VN then P' := P' ∪ { S'   | S }
end.
ex1) A  AaA | ε
ex2) S  aAbB
A  aA | ε
Bε
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
III.4 Single productions
Page 24
p.186
▶ Definition : A  B, where A,B  VN.
Algorithm Remove_Single_Production;
begin
P' := P – { A  B | A, B  VN };
for each A  VN do
VNA = { B | A + B } ;
for each B  VNA do
for each B    P' do (* not single production *)
P' := P' ∪ { A  α}
end for
end for
end for
end.
 main idea : grammar substitution.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
ex)
S  aA | A
A  bA | C
Cc
Page 25
연습문제 5.13 (1)
p.218
S  aA | bA | c
A  bA | c
Cc
▶ Definition :
A CFG G = ( VN , VT, P, S ) is said to be cycle-free
if there is no derivation of the form A + A for any A in VN.
G is said to be proper if it is cycle-free, is -free,
and has no useless symbols.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 26
III.5 Canonical Forms of Grammars
▶ Definition: A CFG G = (VN,VT,P,S) is said to be in Chomsky Normal
Form(CNF) if each production in P is one of the forms
(1) A  BC with A,B, and C in VN, or
(2) A  a with a  VT, or
(3) if   L(G), then S  is a production, and S does not appear on
the right side of any production.
▶ Conversion to CNF
A  X1 X2....XK,

K>2
A  X1' <X2 ... XK>
<X2...XK>  X2' <X3 ... XK>
ex) S  bA
A  bAA | aS | a



<XK-1...XK>  XK-1' XK’ , where Xi' = Xi if Xi  VN
add Xi'  Xi if Xi  VT
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 27
▶ Definition : A CFG G = (VN,VT,P,S) is said to be in
Greibach Normal Form(GNF)
if G is -free and each non--production in P is of the
form A  a with a  VT and   V*.
▶ Definition : Given any context-free grammar G, we can draw its
dependency graph. The vertices are the terminal and
nonterminal symbols, and the arcs go from A to x if
x appears on the right hand side of a production whose
left hand side is A.
===> It can be used as introducing concepts of algorithms
and the analysis of algorithms(developing algorithms).
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 28
CFG 표기법
☞ BNF(Backus-Naur Form), EBNF(Extended BNF), Syntax Diagram
▶ BNF
 특수한 meta symbol을 사용하여 프로그래밍 언어의 구문을
명시하는 표기법.
 meta symbol : 새로운 언어의 구문을 표기하기 위하여
도입된 심벌들.
nonterminal symbol

nonterminal symbol의 rewriting
<>
::= (치환)
| (또는)
- terminal symbol : ' '
- grammar symbol : VN ∪ VT
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 29
예1) VN = {S, A, B}, VT = {a, b}
P = {S  AB, A  aA, A  a, B  Bb, B  b}
 BNF 표현:
<S> ::= <A> <B>
<A> ::= a <A> | a
<B> ::= <B> b | b
<S> ::= <A> <B>
<A> ::= ' a ' <A> | ' a '
<B> ::= <B> ' b ' | ' b '
예2) Compound statement
 BNF 표현:
<compound-statement> ::= begin <statement-list> end
<statement-list>
::= <statement>
| <statement-list> ; <statement>
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 30
▶ Extended BNF(EBNF)
- 특수한 의미를 갖는 meta symbol을 사용하여 반복되는 부분이나
선택적인 부분을 간결하게 표현.
- meta symbol
반복되는 부분(repetitive part):
선택적인 부분(optional part):
괄호와 택일 연산자(alternative):
{}
[]
(|)
예1) <compound-statement> ::= begin <statement> {;<statement>} end
예2) <if-statement> ::= if <condition> then <statement> [else <statement>]
예3) <exp> ::= <exp> + <exp> | <exp> - <exp>
| <exp>  <exp> | <exp> / <exp>
<exp> ::= <exp> (  |  |  | / ) <exp>
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 31
▶ Syntax diagram
- 초보자가 쉽게 이해할 수 있도록 구문 구조를 도식화하는 방법
- syntax diagram에 사용하는 그래픽 아이템:
원
사각형
화살표
:
:
:
terminal symbol
nonterminal symbol
흐름 경로
▶ syntax diagram을 그리는 방법:
1. terminal a
a
2. nonterminal A
A
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 32
3. A ::= X1X2 ... Xn
(1) Xi가 nonterminal인 경우:
X1
X2
...
Xn
...
Xn
(2) Xi가 terminal인 경우:
X1
X2
4. A ::= 1| 2|...| n
1
A
2
..
3
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 33
5. EBNF A ::= {}
A

6. EBNF A ::= []
A

7. EBNF A ::= (1 | 2)
1
A

2
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
(예)
Page 34
A ::= a | (B)
B ::= AC
C ::= {+A}
a
A
(
B
B
A
)
C
C
A
+
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 35
a
A
(
)
A
A
+
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 36
푸시다운 오토마타
☞ PDA, context-free 언어와 PDA 언어
V.1 PDA
▶ CFG의 인식기 -- push-down list(stack), input tape, finite state control
a1 a2 . . .
Finite state
control
an
: input tape
Z1
Z2
Zn
stack
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
▶ Definition: PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F),
Page 37
Text p.203
where, Q : 상태 심벌의 유한 집합.
 : 입력 알파벳의 유한 집합.
 : 스택 심벌의 유한 집합.
 : 사상 함수 Q  ( ∪{})    Q  *,
q0 ∈ Q : 시작 상태(start state),
Z0 ∈ F : 스택의 시작 심벌,
F ⊆ Q : 종결 상태(final state)의 집합이다.
▶  : Q  ( ∪ {})    Q  *
(q,a,Z) ={(p1, 1), (p2, 2), ... ,(pn, n)}
의미: 현재 상태가 q이고 입력 심벌이 a이며 스택 top 심벌이 Z일 때,
다음 상태는 n개 중에 하나이며 만약 (pi,i)가 선택되었다면
그 의미는 다음과 같다.
(1) 현재의 q 상태에서 입력 a를 본 다음 상태는 pi이다.
(2) 스택 top 심볼 Z를 i로 대치한다.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 38
▶ P의 configuration : (q, , )
where,
q : current state
 : input symbol
 : contents of stack
▶ P의 이동(move)ː┣
1) a   : (q, a, Z) ┣ ( q', , )
2) a =  : (q, , Z) ┣ (q', , ) <===> -move
※
┣*
: zero or more moves,
┣+
: one or more moves
▶ L(P) : the language accepted by PDA P.
- start state : (q0, , Z0)
- final state : (q, , α), where q ∈ F,  ∈ *
L(P) = {ω | (q0, , Z0)
┣*
(q, , ), q ∈ F,  ∈ * }.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 39
ex) P = ({q0,q1,q2}, {0, 1}, {Z, 0}, , q0, Z, {q0}),
where, (q0, 0, Z) = {(q1, 0Z)} (q1, 0, 0) = {(q1, 00)}
(q1, 1, 0) = {(q2, )} (q2, 1, 0) = {(q2, )}
(q2, , Z) = {(q0, )}
- 스트링 0011의 인식 과정:
(q0, 0011, Z) ┣ (q1, 011, 0Z) ┣ (q1, 11, 00Z)
┣ (q2, 1, 0Z) ┣ (q2, , Z) ┣ (q0, , )
- 스트링 0n1n(n≥1)의 인식 과정:
(q0, 0n1n, Z) ┣ (q1, 0n-11n, 0Z) ┣n-1 (q1, 1n, 0nZ)
┣ (q2, 1n-1, 0n-1Z) ┣n-1 (q2, , Z)
┣ (q0,
,
)
∴ L(P) = {0n1n | n  1}.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 40
▶ 확장된 PDA
Text p.207
δ : Q × (∪{}) × * → Q × *
- 한번의 move로 stack top 부분에 있는 유한 길이의 string을 다른
string으로 대치.
(q, a, )
┣
(q', , )
- stack이 empty일 때도 move가 발생
예) PDA = ({q, p}, {a, b}, {a, b, S, Z}, , q, Z, {p})
where, (q, a, ) = {(q, a)}
(q, b, ) = {(q, b)}
(q, , ) = {(q, S)}
(q, , aSa) = {(q, S)}
(q, , bSb) = {(q, S)}
(q, , SZ ) = {(p, )}
※ S : center mark
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
 스트링 aabbaa의 인식 과정:
Page 41
Text p.207
(q, aabbaa, Z) ┣ (q, abbaa,
aZ)
┣ (q, bbaa,
aaZ)
┣ (q,
baa, baaZ)
┣ (q,
baa, SbaaZ)
┣ (q,
aa, bSbaaZ)
┣ (q,
aa, SaaZ)
┣ (q,
a, aSaaZ)
┣ (q,
a,
SaZ)
┣ (q,
, aSaZ)
┣ (q,
,
SZ)
┣ (q,
,
)
∴ L = { R |  ∈ {a, b}+}.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 42
▶ Le(P) : stack을 empty로 만드는 PDA에 의해 인식되는 string의 집합.
즉, 입력 심벌을 모두 보고 스택이 empty일 때만 인식되는
string의 집합.
∴ Le(P) = {  | (q0, , Z0) ┣* (q, , ), q ∈ Q} .
▶ Le(P') = L(P)인 P'의 구성: (text p. 209)
P = (Q, , , , q0, Z0, F)
===> P' = (Q∪{qe, q'},  , ∪{Z'}, ', q', Z',  ),
where  ' : 1) 모든 q ∈ Q, a ∈ ∪{}, Z ∈  에 대해,
'(q, a, Z) = (q, a, Z).
2) '(q', , Z') = {(q0, Z0Z')}. Z' : bottom marker
3) 모든 q ∈ F, Z ∈ ∪{Z'}에 대해,
'(q, , Z)에 (qe, )를 포함.
4) 모든 Z ∈ ∪{Z'}에 대해, '(qe, , Z) = {(qe, )}
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 43
V.2 Context-free 언어와 PDA 언어
☞ a language is accepted by a PDA if it is a context-free language.
L(CFG) = L(PDA)
▶ CFG <===> PDA
(i) CFG ===> PDA (for a given context-free grammar,
we can construct a PDA accepting L(G).)
① Top-Down Method
--- leftmost derivation, A  
② Bottom-Up Method
--- rightmost derivation,  ==>A
(ii) PDA ===> CFG
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
▶ Top-Down Method
Page 44
Text p.210
☞ CFG G로부터 Le(R)=L(G)인 PDA R의 구성
 For a given G = (VN, VT, P, S),
construct R = ({q}, VT, VN∪VT, , q, S,  ),
where  : 1) if A  ∈ P, then (q,,A)에 (q,)를 포함.
2) a ∈ VT에 대해, (q, a, a) = {(q, )}.
ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),
P: EE+T|T
TTF|F
F  (E) | a
===> R = ({q}, , , , q, E, )
where  : 1) (q, , E) = {(q, E + T), (q, T)}
2) (q, , T) = {(q, T  F), (q, F)}
3) (q, , F) = {(q, (E)), (q, a)}
4) (q, t, t) = {(q, )}, t∈{a, +, , (, )}.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 45
 스트링 a + a  a의 인식 과정:
(q, a + a  a, E)
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(p,
a + a  a,
a + a  a,
a + a  a,
a + a  a,
+ a  a,
a  a,
a  a,
a  a,
a  a,
 a,
a,
a,
,
E + T)
T + T)
F + T)
a + T)
+ T)
T)
T  F)
F  F)
a  F)
 F)
F)
a)
)
※ 스택 top은 세 번째 구성 요소의 왼쪽.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 46
▶ Bottom-Up Method
☞ CFG ===> extended PDA(rightmost derivation)
ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),
P:E E+T|T
T TF|F
F  (E) | a
===> R = ({q, r}, VT, VN ∪ VT∪{$}, , q, $, {r})
 : 1) (q, t, ) = {(q, t)}, t ∈{a, +, , (, )}  shift
2) (q, , E + T) = {(q, E)}
(q, , T)
= {(q, E)}
(q, , T * F) = {(q, T)}
(q, , F)
= {(q, T)}
(q, , (E)) = {(q, F)}
(q, , a)
= {(q, F)}
3) (q, , $E) = {(r, )}
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 47
 스트링 a + a  a의 인식 과정
(q, a + a  a, $)
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
┣
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(q,
(r,
+ a  a,
$ a)
+ a  a,
$ F)
+ a  a,
$ T)
+ a  a,
$ E)
a  a,
$ E +)
 a,
$ E + a)
 a,
$ E + F)
 a,
$ E + T)
a, $ E + T )
, $ E + T  a)
, $ E + T  F)
,
$ E + T)
,
$ E)
,
)
※ 스택 top은 세 번째 구성 요소의 오른쪽.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
Page 48
▶ PDA P로부터 L(G) = Le(P)인 CFG G의 구성
Given PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F)
Text p.213
===> Construct cfg G = (VN, VT, P, S),
where (1) VN = {[qZr] | q, r∈Q, Z∈}∪{S}.
(2) VT = .
(3) P : ① (q, a, Z)가 k  1 에 대해 (r, X1...Xk)를 가지면
[qZsk]  a[rX1s1][s1X2s2] ... [sk-1Xksk]를 P에 추가.
s1, s2, ..., sk ∈ Q.
② (q, a, Z)가 (r, )를 포함하면 생성규칙
[qZr]  a를 P에 추가.
③ 모든 q ∈ Q에 대해 S  [q0Z0q]를 P에 추가.
(4) S : start symbol.
PL Lab, DongGuk University
Compiler Lecture Note, context-free grammar
▶ 결론
Page 49
Text p.214
1) L은 CFG G에 의해 생성되는 언어 L(G)이다.
2) L은 PDA P에 의해 인식되는 언어 L(P)이다.
3) L은 PDA P에 의해 인식되는 언어 Le(P)이다.
4) L은 extended PDA에 의해 인식되는 언어 L(P)이다.
PL Lab, DongGuk University