General theory of the fuzzy integral

!" ##!"! $ %&
¨ ª ! "## ## ! $%&'(
! " #
! $# "! " #
#
! %& ' (
) " $$
#
! !
$
! $
! $
#
" %*+! *,+! *-+& ! $
#! "$ $$
#
#
. ##
# $$
# "/
0 1 #
# $
2 ! 3 "$ $
! # ! 4/5
*6+! "
7 8
.
%9& 7 %6&
"$ #
#"$ ! # $#
# ' 2 ' ! : $
# " $$ " $
! #! ##
!
$#
# #
: ; # $#! / ; *( + "! /#
#
! #
" ! %& ' (
%;& ' $ %; & # *6+
4 # " % & 2 % & ' %& 2 % & 0
! ' ! % & ' %& 2 % & <! /
*6+ % & % & ' %& % & # % & ' %& % & =
> #
; ! ' ;
% & 0 #
"
! # #"$ $#
#
4 %;& /" #
; " #
#
"
#
#
#
# ! # /
##$ %#"" "
#& # ?/:
/@A 9- " B#
*6+! #"
*,+ 4 B *C+ $$
%;&
¼
" "$ $$
#
$$
%
& %
&
%
&
; ; % & % &
' Æ % & % &
,((
' Æ 0
%
&
% & 2 % & ' ' % 2 & ' % 2 & < *9+! B D
/: *-+!
D# *E+! B *C+! <
/ *(+ F # D
" $# %; & #
%;& *9+
% & ' '
% ;
% & &
%&
" # $$
%& %
&
% & ' %&
%
&
% & ' % &
%
&
' % & % &
%
&
' % & % &
!
# #
0
0
0
0
# #"
# #
% 2 & ' % & 2 % &
3! %;& ! ' #"
#
%&
#
! ## %& %&
% & ' % & 2 % &
#
%
&! %
& % & "$ $$ *-+
%
&
'
% & % & #
# % & $
"
" #
$$
%
&/%& #/
#
# " #
%;& *+
,(
: " $# %; & : %;& /
" #
" ; *( +
3##
*9+! #
/# " ! #
%;& *( +
% & ' '
* % ;
% & &+ %,&
. "
$$
%
&
% & ' %& 0
%
&
% & ' % &
%
&
' % & % &
%
&
' % & % &
!
%&
/
# #"
# #
!
% & ' % & % &
0
0
0
: #
% & ' ( % & % & ' % & %& ' % & #
#"
#
! ## %& %&
% & ' % & % &
#
%
&! %
& % & "$
%
&
* % &+ % & '
% & #
# " % & " *( +
=" %
& #
$$
%
&/%& ##
" #
%;& *+
3 $$
! >#$ %&! *9+0 $ %&
,(,
3 #"
#! *( + ' % & ' % & " #
#
#
%& % & ' % & ' % & % & % & '
'
% & % & '
% & % & '
% & '
% & '
'
=
> " (! *( + : $
! # ! $#
4 " $# ! $
# . $$
& ' 0
,& % & ' % & 0
9& ' 0
-& ( ' 0
6& #
<! $$ $
#
$$
C& ' 0
E& % & ' % & 0
& ( ' ( ' ( 0
& ' 0
,(9
(& #
0
& % & ' % & % & 0
,& % & ' % & % & ! $ % & !
$# $
! ! # ! # #"" #""
"
$
#
$/
#
#
' ' $/
: "! "! 9& = ! ' # "
! F! %; & " $# %;& "
/" #
; 4 $/
!
# ##
$$
"
##
@/
#
%;& # %
&
% & ' %& % & ' % & ' ( 0
%
&
% & ' % &
%
&
' % & % &
%
&
' % & % &
!
%&
# #"
# #
% & ' % & % &
0
0
0
D
#
%;&! ' % & ! % & ' ( # % & ! "
! #"
#! ## %& %&
% & ' % & % &
,(-
=" %
& %
&! % & ' % & ;! % & ' %& =
> ! ! ! #
' ½ ¾ %9&
3$$
% & ' ! ' ½ ! ' ¾ % & ' % & % & %-&
4 # ! ' ! ' ½ % & % & % & % & % & '
' % & % & ' % & 4 #
! $
>$
#
!
" % & ! %9& ' ! $
>$
! # " #
D
"$ #
! #
" ! "
$
;
#$
" ! % & ' 4
! " #
# >$! ! % & '
' ;! '
!
% &
%
&
' ! ' ! > ' %& ' ! '
' 0 !
## %& ' % &
) #
! >$
¼´µ !
,(6
%
& %& '
* % &+ $ % !
%
&
=
! $ # $$ %
& #
! ! #! ' ! # ' ! ! ' " ' #
% & % & % & % & % & ' % & >$
%& * % &+ # "
#
" " 4 ! #"$
% & %& # ! $$
" ' ' 1# % & %& * % &+ * % &+0 1 " #$
" * % &+ * % &+ # ' ! ' =
* % &+ * % &+ '
' * % &+ * % &+ * % &+ * % &+ * % &+ ! #
! !
% & %& ! $
> #
"
%;& ! ##
#
$$ %
&!
% & ' ' $ %&
"$ #
$$
%
&/%& ! ##
"
#
#
#
! #
"
% & $$ 9 -! $#
#"
# ! " /
" /
¼´µ
" ,(C
" ! $/
. $$ #"
# /
/
/
" /
! " ' ! % & ' %& % &! % & % & ' %& % &
#
$ " >"$ $/
: %; & " $#
& : ' *( 2+ ' ' 0 ' 2 $/
'
* % ;
%& &+ ' ·
" # ,& : ' *( 2+ ' ! ' ! ' '
* % ;
%& &+ ·
9& =
> " 2! ' *( + ' ! ' " #
*+ 4 '
* % ;
%& &+ ·
-& =
> " 2! ' *( + *( + *( 2+ # #
#
#
' *%& 2 % &+ ' *%& % &+! "
#
%& ' #!
' % Æ &% Æ & /
! $/
#
#
4 *C+
6& =
> " ( ! ' *( + * + *( 2+ #
#
#
' *%& 2 % &+ ' *%& %&+
' ' % & * + * +
! % $
#&
" * + "
%& ' ,(E
$/
>$
'
% & '
(
% % &&
% & % & % & % & %& '
%%&&
%& %& !
*+ )
G D# D?! H #
$ "/
! & '
%& --/6C
*,+ )
@! I
B B
<! H " ! ( ) "
J ) )#/<
! GG
7 :3 K! 3# = "! %6&! 99(/99C
*9+ D! #$#
!
*
(
%66& 9/,6
*-+ B D
J : D! L MM ## $
#
#
"! " + # %EE& C/
,(
*6+ B#
! , #,
,
! @$
9
*C+ B B!
-
) ,
! 5 3#"
# @/
+
*E+ D# D?! :
"!
!
. '
#
%EE& -/CC
*+ D# D?! $$
"
!
" '
/ #
%,& ,/-,
*+ 5
DN = 3!
?! F N ( .
! @
#
*(+ <
<! 3 " $
!
! ! & '
%& 69,/
6-
*+ #
) 3! #!!
7! 3""! H>! 9
! F/?! F
'
"
*,+ "
B! $
!
"
#
'
012345 677641
*9+ <! 3$$
#
! @B B# /
! # E-
*-+ I
B! <"
# $# < =
!
*6+ 4 K 5
D!
! @" @ ,
( *C+ 4 ! B#"$ < 3#
" !/"!
N < 3 3$$!
%-& -/9
,(