‫מכירות פומביות )‪(Auctions‬‬
‫הסיטואציה האסטרטגית‬
‫• בכוונתך להשתתף במכירה פומבית (בתור מציע =‬
‫‪ )bidder‬של פריט מסוים‬
‫• שווי הפריט עבורך – ‪ 20‬דולר‬
‫• כמה תציע במכירה?‬
‫– ככל הנראה התשובה תלויה בחוקי ה‪auction -‬‬
What is an Auction?
auc•tion (ôk’sh n)
e
1.
A public sale in which property or
merchandise are sold to the highest bidder.
2.
A market institution with explicit rules
determining resource allocation and prices
on the basis of bids from participants.
3.
Games: The bidding in bridge
[Latin: auctiō, auctiōn- from auctus,
past participle of augēre, to increase]
3
Examples of Auctions
•
•
•
•
•
•
FCC Spectrum
Procurement Auctions (or “reversed auction”)
Treasury Bills (e.g., “Makam”)
Internet
Wine Options
Quota Rights – ‫ליבוא מוצרים‬
4
‫‪English Auction - Ascending Bid‬‬
‫• מחירים עולים‪:‬‬
‫– ה‪ bidders -‬מכריזים על מחירים עולים‬
‫– ה‪ auctioneer -‬מכריז על מכירים עולים‬
‫• ה‪ bidder -‬עם ההצעה הגבוהה ביותר זוכה‬
‫• משלם מעט יותר מה‪ bid -‬השני הגבוה ביותר‬
‫‪5‬‬
‫אסטרטגיות‬
‫• האם יש טעם להציע ‪ bid‬כבר בהתחלה?‬
‫– אם המכירה מחייבת קפיצות קבועות ב‪ bids -‬אז אולי‬
‫כן‪...‬‬
‫– אחרת‪ ,‬כדאי להמתין לקראת סיום המכירה‬
‫• מה קורה אם כולם מציעים בסוף?‬
‫– המכירה מתחדשת למספר דקות ברגע שהתקבלה‬
‫הצעה חדשה‬
‫‪Sealed Bid‬‬
‫• ה‪ bidders -‬מעבירים את הצעותיהם ל‪-‬‬
‫‪ auctioneer‬מבלי שהאחרים יראו מה ההצעה‬
‫• הזוכה במכירה הוא בעל ה‪ bid -‬הגבוה ביותר‪,‬‬
‫והוא משלם‪:‬‬
‫– את ה‪ bid -‬השני בגובהו )‪(second-price Vickery‬‬
‫– את ה‪ bid -‬של עצמו )‪(First price‬‬
‫‪7‬‬
‫‪Dutch (Tulip) Auction - Descending Bid‬‬
‫• מתחילים עם מחיר גבוה שהולך ויורד‬
‫באינקרימנטים קבועים‬
‫• הראשון שמצביע ו"עוצר את המחיר" זוכה ומשלם‬
‫את המחיר בו עצר‬
‫• מנסה להשיג תוצאה של ‪ first price‬בניגוד ל‪-‬‬
‫‪ English auction‬שמביא לתוצאת ‪second price‬‬
‫‪8‬‬
Auction ‫סוגים נוספים של‬
• Double auction
• Buyers and sellers bid
• Stock exchanges
• Reverse auction
• Single buyer and multiple sellers
• Priceline.com
• Multiunit auction
• Seller has multiple items for sale
• FCC spectrum auctions
9
‫‪The Vickrey Second Price Auction‬‬
‫• מדוע מכירות אלו כה פופולאריות?‬
‫– כי אסטרטגיית ה‪ bidding -‬בהן מאוד פשוטה – לתת‬
‫‪ bid‬בגובה ההערכה האישית של הפריט המוצע היא‬
‫אסטרטגיה שולטת‬
‫– האינטואיציה – התשלום בסופו של דבר לא תלוי‬
‫בהצעה של ה‪( bidder -‬רק הזכיה תלויה בהצעה של‬
‫ה‪ bidder -‬עצמו)‬
‫‪10‬‬
Bidding Higher Than My Valuation
Case 1
Case 2
Own valuation
Case 3
Own valuation
Own valuation
No difference
No difference
Lose money
11
Bidding Lower Than My Valuation
Case 1
Case 2
Case 3
No difference
No difference
Lose money
12
Second Price ‫מכירות מסוג‬
bid ‫ תמיד כדאי לתת‬second price ‫• במכירות מסוג‬
valuation -‫בגובה ה‬
‫( הוא ההפרש‬bidder’s surplus) ‫• הרווח של הזוכה‬
second best valuation -‫ שלו וה‬valuation -‫בין ה‬
)?‫ (למה‬bidders ‫ יורד ככל שיש יותר‬surplus -‫• ה‬
13
Collusion in the Vickrey auction
• Example: two colluding bidders
v1 = first colluder’s true
valuation
v2 = second colluder’s
true valuation
b = highest bid among
other bidders
0
price colluder 1 would pay when
colluders bid truthfully
gains to be distributed among colluders
price colluder 1 would pay if
colluder 2 does not bid
‫מכירות מסוג ‪First Price‬‬
‫• במכירות ‪ fist price‬קיים ‪:tradeoff‬‬
‫– אם ניתן ‪ bid‬גבוה מה‪ valuation -‬נפסיד‬
‫– אם נותנים ‪ bid‬בגובה ה‪ valuation -‬אזי לבטח לא יהיה‬
‫‪surplus‬‬
‫– אם ניתן הצעה נמוכה מה‪ valuation -‬אז אמנם נשלם‬
‫מחיר נמוך יותר אם נזכה‪ ,‬אבל הסיכוי לזכייה יורד‬
‫‪15‬‬
First-price sealed-bid auction BNE
• Suppose every bidder (independently) draws a valuation
from [0, 1]
• What is a Bayes-Nash equilibrium for this?
• Say a bidder with value vi bids vi(n-1)/n
• Claim: this is an equilibrium!
• Proof: suppose all others use this strategy
• For a bid b < vi, the probability of winning is
(bn/(n-1))n-1, so the expected surplus is (vi-b)(bn/(n-1))n-1
• Derivative w.r.t. b is - (bn/(n-1))n-1 + (vi-b)(n-1)bn-2(n/(n-1))n-1
which should set to be equal to zero (for finding the
revenue-maximizing b)
• Implies –b + (vi-b)(n-1) = 0, which solves to b = vi(n-1)/n
Analyzing the expected revenue of the first-price and
second-price (Vickrey) auctions
• First-price auction: probability of there not being a bid
higher than b is (bn/(n-1))n
– This is the cumulative density function of the highest bid
• Probability density function is the derivative, that is, it is
nbn-1(n/(n-1))n
• Expected value of highest bid is
n(n/(n-1))n∫(n-1)/nbndb = (n-1)/(n+1)
• Second-price auction: probability of there not being
two bids higher than b is bn + nbn-1(1-b)
– This is the cumulative density function of the second-highest bid
• Probability density function is the derivative, that is, it is
nbn-1 + n(n-1)bn-2(1-b) - nbn-1 = n(n-1)(bn-2 - bn-1)
• Expected value is (n-1) – n(n-1)/(n+1) = (n-1)/(n+1)
Revenue equivalence theorem
• Suppose valuations for the single item are drawn i.i.d.
from a continuous distribution over [L, H] (with no
“gaps”), and agents are risk-neutral
• Then, any two auction mechanisms that
– in equilibrium always allocate the item to the bidder with the
highest valuation, and
– give an agent with valuation L an expected utility of 0,
will lead to the same expected revenue for the
auctioneer
More Bidders
• More bidders leads to higher prices
• More bidders leads to less surplus
• Example (second price auction):
Each bidder has a valuation of either $20 or $40,
each with equal probability
19
Number of Bidders
• Two bidders
Pr{20,20}=Pr{20,40}=Pr{40,20}=Pr{40,40}= ¼
Expected price = ¾ (20)+ ¼ (40) = 25
• Three bidders
Pr{20,20,20}=Pr{20,20,40}=Pr{20,40,20}
= Pr{20,40,40}=Pr{40,20,20}=Pr{40,20,40}
= Pr{40,40,20}=Pr{40,40,40}= 1/8
Expected price = (4/8) (20) + (4/8) (40) = 30
Number of Bidders
• Assume more generally that valuations are drawn
uniformly from [20,40]
• Expected price:
40
35
30
25
20
1
10
100
1000
Designing Auctions
•
•
•
•
•
•
How many objects are to be auctioned?
Is there a reserve price?
Is the reserve price known to bidders?
How are bids collected?
Who is the “winner”?
How much does the winner have to pay?
Designing an Efficient Auction
• Highest valuation receives the object
• If highest valuation is greater than seller’s
value, sale is consummated
• If there are gains from trade
• Neither first-price nor second-price auction
guarantees both
Inefficiencies
• First-price Auction
• Highest valuation may be higher than seller’s value
• But: bid-shading results in lower bid
• Second-Price Auction
• Highest valuation may be higher than seller’s value
• But: second-highest value, which determines the price,
might not be
Second Price Auctions: Horsing Around
• A “phantom bid” may be placed after the seller
knows the other bids
• Place a bid just below the highest bid
• Essentially: makes a second-price auction a first-price
auction
• English Auction: “plants”
fake bidders to drive up the price
Complementarity and substitutability
• How valuable one item is to a bidder may depend
on whether the bidder possesses another item
• Items a and b are complementary if v({a, b}) >
v({a}) + v({b})
• E.g.
• Items a and b are substitutes if v({a, b}) < v({a}) +
v({b})
• E.g.
Inefficiency of sequential auctions
• Suppose your valuation function is v( ) = $200,
v( ) = $100, v(
) = $500
• Now suppose that there are two (say, Vickrey)
auctions, the first one for and the second one for
• What should you bid in the first auction (for )?
• If you bid $200, you may lose to a bidder who bids
$250, only to find out that you could have won
for $200
• If you bid anything higher, you may pay more than
$200, only to find out that
sells for $1000
• Sequential (and parallel) auctions are inefficient
Combinatorial auctions
Simultaneously for sale:
,
,
bid 1
v(
) = $500
bid 2
v(
) = $700
bid 3
v(
) = $300
used in truckload transportation, industrial procurement, radio spectrum allocation, …
Exponentially many bundles
• In general, in a combinatorial auction with set of
items I (|I| = m) for sale, a bidder could have a
different valuation for every subset S of I
– Implicit assumption: no externalities (bidder does not
care what the other bidders win)
• Must a bidder communicate 2m values?
– Impractical
– Also difficult for the bidder to evaluate every bundle
‫מכרז הכל משלמים‬
‫כל קונה משלם את הצעת המחיר שהגיש‪ ,‬בין אם זכה בחפץ‬
‫ובין אם לא‬
‫לדוגמה‪ ,‬במירוץ חימוש בין מדינות‪ ,‬המדינה הזוכה במירוץ היא‬
‫זו שהגיעה לכמות החימוש הגדולה ביותר‪ ,‬ואמנם כל המדינות‬
‫"משלמות" את גודל השקעתן‪.‬‬
‫מכרז ‪MaxPrice‬‬
‫• הצרכנים התבקשו להציע עבור כל מוצר מחיר‬
‫עד לתקרה מסוימת‪ ,‬וההצעה הגבוהה ביותר‬
‫שלא ניתנה על ידי יותר מאדם אחד ‪ -‬זכתה‬
‫במוצר‬
‫• הגשת הצעה כרוכה בעלות‬
‫• האמנם מדובר במכרז?‬
‫התרגיל התכנותי‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫המנצח משלם תשלום בגובה ההצעה שנתן במכירה פומבית זו‬
‫(שהיא הגבוהה ביותר מבין ההצעות‪ ,‬שכן הוא המנצח)‪.‬‬
‫המנצח משלם תשלום בגובה ההצעה השנייה בגובהה שניתנה‬
‫עבור המוצר במכירה פומבית זו‪.‬‬
‫המנצח משלם תשלום בגובה אחת מההצעות אשר נבחרה‬
‫באקראי מבין ההצעות שניתנו על‪-‬ידי המשתתפים במכרז (כולל‬
‫הוא עצמו)‪.‬‬
‫המנצח משלם תשלום בגובה ההצעה שנתן או ההצעה השנייה‬
‫הגבוהה ביותר שהתקבלה מהמשתתפים במכרז‪ ,‬כאשר‬
‫הבחירה בין השתיים היא בחירה אקראית‪.‬‬
‫המנצח משלם תשלום בגובה ההצעה הנמוכה ביותר מבין אלו‬
‫שניתנו במכירה פומבית זו‪.‬‬