Real §umbers Let us consider the set of non

!"#%$"'&(*)"+,.-"!/0'1 23546789:'$<;=!>>$"'$
#%!:'&@?9A.7BC#D E
F G H I J KML
KNL OPJ QRJ L OTS U E QWV X S X YZ [ V]\^Y U E [ V X Y"Z
_ `badc
e3!&f:'gh"'>i6.-d>j) #%!:k&l?9A.7B mnJpo9q o U F G H I Jhr
s tjAi4 *)uAvw*)p4 A.&x yzh{|'zh}~"#€-*)"4 A.&x 1 !".:!/
#%'A.7%7€4 "!/‚#%>i&xvAƒ#%„ s #€) &…i2='† ‡ ~>#‰ˆWPˆ
JpokŠŒ‹w‡ Jpow\Ž U  c
 "i‘:k$’:'gh"'>Cm“Joq o U F G H I J r #B”'A.7%7B'$ •–(y˜—
|™bš=•T|'›‰yœ~=#€QJpo=Q KML ž Ÿ fJo<¡ ž ¢B£CJpo ¤ ¥fV=¦§ ¤ ¨ \
#©ˆWPˆ
µ
QRJpouQ
· º
o « r µ§¶  · ¸ ¹
ª‘« ¬®­P¬ ¯±°² ³ « ¬®­P¬ ¯´°²
!&
»©¼ ˆ%½¿¾
m à Ä
QJpoÅQ q
¹
· º
o
ª‘« ¬À­!¬ ¯ °² Á « r « r
!&
µ
 à Ä
QWJ o Q
c
¹
·
§
µ
¶
Ç
Æ «r «r o«r
È
Á
u~!"#%$k& " s )" : .- "i‘:'$]~(p!!&:A.#%„ ,/
gh"'>itmnJ o q o U F G H I Jhr”~u#‰ˆWPˆ
F H §J KNL
mnJpo9q o U F G H I J r QDmnJpo.q o 9¦
V. V5 c
)=A.7%7 'A.7%7 s k78k1 k!: mnJ o q o ~wm o q o .- F H §J
'gh>#€?9A.78k!C#€-§m“Jo !oq o #8 A.7B, #D F H †Jˆ
mnJpo9q o m oq o K"! m“Jo !oq o U F H †J c
}$z #+y z s % AƒC)" :
.- 'gh #€?9A.7B'> i7®Aƒ:,
&('*),+ Aƒ,:3i#®Av:'$ s #€*) )"<'gh># ?9A.7B'> &xk7ÀAv*#B!
% KML &"' )-+ .. ' U F H †J r c
/ :i )=Av #8w#% $"ik$ A. kg >#€?9A.7B'> &x'7®Av*#8!]~ s ".: *)uAv !>7€4 &:A."#€#€?"# l4 1 A4 ;Å #D $"!>;3kˆ u~
7B m“Joq o m oq o A.>$ mnJpoq o 1m 0 o9q o 2
ˆ "i'$ :
) s )=Avt3m 0 o9q o m oq o 5ˆ 4“>$'$]~ s 6Å&x‘w:i )=Av
0 okŠŒ‹ !okŠ ‹†‡ 0 7
o okŠŒ‹§‡ 0 8
o o ‡ 0 o
) s #D„ )=Av 1m 0 o o q o #B #% $"ik$ #% F H †J 2>&…T/
?"#%$k$ )" #D!'&l?9A.7B 0 o o A.&x !/0'1 2354 - !& A.7%7
 U  ˆ >&x'7€4 ~ #€- 0 :o 97 :o 9 #8 k1 23l4 - !& ,!1  ; U  *)k 0 o o #B k1 23l4 - !& A.7%7+ U *
 <:o 9kˆ
=w.#%„ *)uAv
OQ S ¡ > QƒQ S U 0 okŠ ‹ [ > U !okŠ ‹kZ ‡
‡ OQ S ¡ > QƒQ S U 0 o [ > U o Z
- !&˜A.7%7ƒ U  ~ s 6=>$ )=Av]-Â!&)"l$ #B‘jA.> :¦ m10 o3\ o.q
s )=Ai?!
¥
;6X :¦ m 0 o:9\ !o:9‘qX
· º X :¦ m 0 o\ o9q KNL
KNL ž ¢8£<OQ S ¡ >ŽQTQ S U 0 o [ > U o Z  U  <o 9
- !& :!1 ; U ‹“Š‹ ˆ s  U *<o:9 ;= /
i#B'!*7 4 7ÀA.&xº „P : )=Avr
;
QRJ o Q'\9Q o Q º \
· `
)"'
,¦ mnJpo\ !o9qdL ž ¢B£ OQ S ¡ > QƒQ S U Jpo [ > U o(Z
ž ¢8£<OQ > ¡ ˜QP¡ Q S ¡ >ŽQTQ S U J o [ > U o [ U 0 o Z
ž ¢8£<O ; ¡ Q S ¡ > QƒQ S U Jpo [ > U o [ U 0 o Z
º;
;
; ¡ º L º
º
`
`
- !&A.7D7Å i#B'!*7 4 7®A.&x„PC U *
 <o 9 ˆ /)>#B§!!&A.$>#D:
)" -nA.]*)uAv”#€->J o o L ¥ s )=Ai?! ,¦ mnJ o \ o q L ¥"ˆ
/)"'~ *&:A."# *#€?#€l4 .- )=Aƒ
;=' )" s ;!4 !!&A¿/
$>#%^#B!]ˆ
=w.:6*)=Av†E #B=Av>&:A.7%7€4 #%1 ;Å'$>$k$ #D! % ;!4 #%$"'/
#€- 4"#%3„
E ¤ %
S ¤ & m & S \S ) q o ) +
s )>#%j) #BŽA. #%5k^#€?! 6u'7%$ )"!1 !1 !&,2>) #B1 #€-3)" 6>'7%$
‘&‘>^*>&x’.- % #B $" 6Å"'$ Aƒw„ #€?!' ;Å'7B s ˆ
–
}–Œz{ –(yz •!š‰•‰š |'z ›‰y %
$" 6Å" -Â!& '7B'1 '!: & mnJpoq o ) + A.>$ & m o9q o ) + #D %
A.$>$># *#B! A. $ 1 7€*#D2>7%#%'Av#B! ;!4 7B,#%„
Š Š !
"$#%'&)(Œ+
Š *-,.( « /102* « 43657"8)9:&)(Œ+Š *;,<( « 10=* « >3 ? 5
/@ ?BA ?C D/ EA !
."$#%F&G( A *H,D( « 0I* « 35J"8)9E&G( A *;,<( « 0=* « 3 +K
 k*&:A.7ƒ'7B'1 '!Œ.->A.$ $>#€#B! s )=Ai?! ¥ KNL & m & ¥\¥ ) q o ) +
A.>$ Aƒ k*&:A.7§'7B'1 '! .-<1 >7€#%2>7%#%'Av#B! s )=Ai?!
µ KML & m & µ \ µ ) q o ) + ˆ  A.$>$>#€#€?! #D!?!k&x: k78k1 k! .& mnJ o q o ) + s )=Ai?!
¡ & mnJ o q o ) + L & mx¡ & J o ) q o ) + L & m & ¡ ž Ÿ' J o \b¡ ž ¢8£ J o ) q o ) + c
4Âf#B6i"…!1 A.&@4 : s &,#€:
& mnJpo.q o ) + ¡ & m oq o ) + KNL & mnJpo.q o ) + ¶ L ¡ & m !o9q o ) +NM c
e3!& & mnJpo9q o ) + L ¥"~ s )=Ai?! A &x'2>&x,'!'& » A >;",/
gh"'>v¾6m !o9q o s #€) ¥ U ;6A.>$
& mnJpoq o ) + L & m !oq o ) + \
)"'&…- !&x s 1 A4 $ 6="
µ
& mnJpo9q o )P+O ‹ Q
& mnJpo.q o ) +
µ
KNL R & )
o To S +
µ
µ
L R R
\
ž Ÿ' 2!o ž ¢B£ !o S o S + c

! &,$k&†&…'7®Av#B! #% % #B $" 6="'$ ;!4 7B‘*#D„
& mnJpoq o ) + & m oq o ) + K"! & mnJpoq o ) + ¡ & m!oq o ) + ¥\
& mnJpo9q o ) + ¥ K"! & mnJpoq o ) + Ã ¥ & mnJpoq o ) + L ¥
A.>$ 6ÅuA.7%7€4 s s &,# & mnJ o q o ) + à ¥
#€- *)"'&x #B A &x'2>&…i,k!:'& m oq o » !& A >;",kg "'>
m oq o >j) *)uAv & mnJpoq o ) + L & m oq o ) + ¾ s #€)
¥ ž ¢8*
£ o
·
- !&§?!'&l4  U  ˆ /)" #%1 ;Å'$>$>#D„
E ¤ %
S ¤ & m & S \S ) q o ) +
#B A.7B: A. !&,$"'& )!1 !1 !&‘2>)>#B1 s #€) &…i2='Ž )>#B
!&‘$"'& &…'7®Av#B!]ˆ 4Â#8†.†)=A.&,$ : ,i *)uAv§E #8w$"'",
#% % #D )"<,'": *)=Av
¥ X ¡ · ºc
«
« ª‘« ¬
¬®­P¯´°² a
4n>$"i'$]~"7B L & mnJpoq o ) + )"'
m & ž ¢8£ Jp:o 9\^ž ¢8£ Jp:o 9 ) q o + L K A.>$ ".#%„ )=Av
ž Ÿ' J :o 9 ¡ ž ¢B£ J :o 9 ž ¢B£ J okŠ":o 9 ¡ ž ¢B£CJ :o 9
ž ¢8£ J okŠ"o 9+¡ ž ¢8£ J okŠ"o 9 L ¥
A.>$
ž Ÿ' J o 9+¡ ž ¢B£ J o 9 ž Ÿ' J okŠ"o 9+¡ ž ¢B£ J o 9
ž Ÿ' JpokŠ"o:9 ¡ ž ¢8£fJokŠ o:9 ¥
s t!;3jA.#%
¡ L m & ž ¢B£ JpokŠ":o 9+¡ ž ¢B£ Jpo:9^\ž Ÿ' JpokŠ"o:9+¡ ž ¢8£CJpo:9 ) q o +
X m & ž Ÿ' Jp:o 9 ¡ ž ¢8£ Jo:9\jž Ÿ' Jpo:9 ¡ ž ¢8£fJpo:9 ) q o +
L &m & \ )q o )+
· º
º º
- !&  ; Ã Ä m q^~ s )"'&… A >#€jA.;>7B Ä K ‹“Š‹ ¤ 
º
r
>#B…'~"#%> »©¼ ˆ%½¿¾§#B #%>$'$ 'gh># ?9A.7B'!w
m Ã Ä m q QJpoÅQ q c
º ¹
· º
o
«r
¬ r ª‘« ¬
¬®­P¯±°²
Á ¬À­!¯±°²
4
7B‘*#%3„
L & mnJpoq o ) + \ & m !oq o ) + M KNL L & m !oq o ) + X & mnJpo9q o ) + M
A.>$
L & mnJpoq o ) + \ & m !o9q o ) + M KNL L & m !oq o ) + Ã & mnJpo9q o ) + M
s 'A. '>$ )" A.;",!7%3: ?9A.7D"<! E %
.. & mnJpo.q o ) + .. KNL
L L & mnJpoq o ) + \¥ M & mnJpoq o ) + ¡ L & m©Jpo9q o ) + \j¥ M & m©Jpo9q o ) +
- !& & mnJpoq o ) + U % ˆ  #% E )" }›‰{|¿šÅy”•z zP| z zy
| – ™¿zhš Ny z ™b{ !\p¦ U % #B s „ #€?!'<;!4 Q ¡ ¦>QDˆ
 ,
‡ % #B 'A.7%7B'$
« ( « ”?!'&l4 H U % s #€)
(
«
–-”y} z } š – z(~u#€S X H c
S X H
#B kA.7D7B'$ A. !z ™ ;– ”y”}ˆ /)" 1 A.7%7Bi… >^)
> 2>2='& ;=!>>$ #8 ƒA : 1 #%„ #€ >#B… $k.'$ Aƒ
ˆ  ,p ‡ % B# 'A.7%78k$ –-”y} z} z –: ~
#€S H c
« ( «
”?!'&l4 H U % s #€)
S H
(
«
#B<'A.7%7B'$ A Â:– z ™ ;– ”y”}ˆ /)" 7®A.&@„Pi‘†>j) 7B s '&
;Å! >$ #B Aƒ:>1 #%3„ #€ >#8‘: $k.'$ Aƒ ¢B£ ˆ
 : ‡ % #B’'A.7%78k$ -– y”}zh}~(#€- #€<#8<;=!>>$"'$
A.;Å¿?! A.>$ ;Å'7B s ˆ
4n !!&Aƒ… : E s )=Ai?! - !& % !1 2>7B:k, #%
)" :'", )=Av s )=Ai?! )" >#B…'> .- ¢B£ A. $
#% % #€-Ž*)"4 7B s '&w!& >2>2=k& ;=!>>$" >#B…’Av
A.7%7©ˆ /)>#B 'A. ;Å ,' ;!4 !"‘&‘>^*#%3„ ¢8£ \ >2>7%#D# '7€4 ˆ 4n>$"i'$ #€ i : p!#%$"'& - !&
!#" $%"&$('%$*),+.-0/0/1$*)32546-8709;:<=-0>@?A>CBD?CEF>,GH+.:JIKCL0MONJ"
#" $%"&$('%$*),+.PF4RQ!$S)A2146-0709:<T-8>@?A>#BD?@EF>@GU+.:JVXWFY8Z[NJ"
_ % ;=!>>$"'$ A.;Å¿?!P~ » ;Å''A.":t#€- #B6;=!>>$"'$
Å; '7B s ~u*)k ¡ & ) #B ;Å!> $"'$ A.;Å¿?! A.>$ ¢B£ L
¡ mx¡ & ) q‘¾ˆ #%> #B ;Å!>>$k$tA.;Å¿?!P~i)"'&xd#8
A H U % >^) *)uAv†S X H -Â!&wA.7%7(S U ˆ4Â-S L H
- !&:!1 S U ~ s A.&…26=>#B)k$ ˆ u~Aƒ,>1 <)=Av
H L S - !& A.7D7 S U ˆ  ip!&‘$>#%3„ : ! & A.;Å¿?!
$"'"#€l4 &xi>7€k~ s 1 Ai4 j)"h9, ; U E >^) )=Av
¥ X H ¡ ; µ ˆ  $ ,
·
S H
; c
·
· µ¶
)"h9#%„ A. A.&‘;>#€&A.&l4 S ; L & mnJpoq o ) + U )"'
‹ KNL & m & ž ¢8£CJ ; \jž ¢8£ J ; ) q o ) + #8t>j) )=Av S ; ‹ ˆ
/)"'&xp-Â!&…
& ‹\µ ¶ ;)
#BA†"!"'1 2354
#D!'&l?9A.7 » #D>$"i'$ ¥ L :J ; ‡ & ‹j\ µ¶ ; ) ¾^ˆ
" s $" 6Å"t&…'i>&x#€?!'7€4
; 5 ; KNL ‹*\ ; 5‹ KML µ¶ ;
A.>$
; KML & ; 5 ;'\ ; 5‹ )
Aƒ s k 7D7˜Aƒ
okŠŒ‹ KML & okŠŒ‹5 ; \ okŠ ‹@5‹ )
s €# )
o W5 ‹ ¶ o 5 ;
okŠŒ‹5 ; KNL
`
A.>$ okŠ ‹@5‹ KNL o 5 ‹ (
o 5W‹ ¶ o 5 ;
`
X S X o 5 ‹ \
«
!o 5 ; ¶ !o 5‹
,¦ c
A.>$ !okŠ ‹@5‹§KNL
`
4 !"‘&‘>^*#B!
¥ L okŠŒ‹ ‡ o
- !&  U  A.>$
Q o QhL m µ ¶ ; ¡ ‹ q ` O o ¤ ¥ V=¦§ ¤ ¨ c
/)"'~
KNL & m o q o ) + U % c
i7®A.#%1 )=Av *) #B &…¿A.7 >1 ;Å'& #B ˆ 6Å&x‘f'$ : ) s
S X - !& p?!'&l4 S U ˆ 4n .*)"'& s !&‘$"'~ S à 1 ‘
;Å 2 &…¿?!' s &…!„ - !& ?!'&@4 S U ˆ Aƒ,>1 .)"'& s #B,Pˆ /)k - !& A #€^A.; 7BC^)!#%w.- &x'2>&…i,k!:'&
S L & mnJ o q o ) + s 1 "…C)=Ai?!
¥ ž ¢8£CJ o ¡ ž Ÿ'2
o X ž Ÿ' J o ¡ ž ¢B2
£ o
·
!&
ž ¢B2
£ o X ž Ÿ'2
o L o 5‹ ž ¢8£CJ o X ž Ÿ fJ o
·
okŠŒ‹5 ; KNL o 5 ;
È
- !& A.7D7 U  ˆ 4n .)"'& s ! &,$k~
o 5W‹§X S
4 !"…*&‘>^#B! #8 o 5W‹ ~˜)" s p?!'&p~˜A.7 s Ai43 A. >2>2Å'&
;Å! >$ - !& ~ s )>#D^) 4"#B'7%$<*)" !!*&:A.$>#%^#B! S X
o 5W‹
S ˆ /)"'~ s )=Ai?! )" s ;!4 !!&A.$>#D#B!
·
)=Av #B #D>$"i'$ A. >2>2Å'& ;Å! >$]ˆ " Aƒ,>1 )"'&…t#B6A ;ő'&w 2>2Å'&w;=!>>$ H L & 1m 0 o q o ) + ~>#©ˆWPˆ
S X H
c
·
/)"']~Ž- !& A >#€jA.;>7B ^)"!#Dp .-6&…'2>&xi:'!:k& s 6Å $
Ab„hA.#%
ž ¢87
£ 0 o X ž Ÿ' 0 o !o 5 ;†L ž ¢82
£ !o X ž Ÿ'2
!o L o W5 ‹
·
A.>$ S X ž Ÿ' 0 o ˆ /)>#Bd!!*&:A.$>#%^:+)"†-“A.^ )=Av ;!4
!"‘&‘>^*#B!
OTS U Q o 5 ;6X S X !o 5‹'Z L ¥ c
/)"'~ s )uA?! A.7B, ,' ;!4 p!!&:A.$>#%^*#8! *)uAv8
#8
)"<1 A.7%7Bi‘C>2>2Å'&§;Å!>>$ ˆ
>1 1 A.&‘# )" 1 A.#% 2 &…!2=k&l#Bi†.- % ~ s )>#%j) #%h/
$"i'$ j)=A.&A.^:'&,# % >2 : #8:!1 !&‘2>)>#B1 » ;># l P#€?!
)"!1 !1 !&,2>) #B1 j¾ˆ
% #B6A 6>k7D$]~>#‰ˆWPˆ
m % \ ¶ qt#B A p!1 1 3^Av#€?! „ &x!>2 s #€) ¥ Aƒ A
"'3&:A.7'7B'1 '!k~
m % OP¥hZ \ iq #B6A !1 1 3jAv*# ?!6„ &…!>2 s # *) µ
AƒfA "'3*&:A.7 '7B'1 '!¿~
©
m
¥
S
L
S
¥
L
P
¥
q
(
« ÈÈ
$>#8‘&,#%; 3*# ?!t7®A s
Â
m
S
>(q L S ¶ > ¶
(T5 * 5
m % \PX q§#8:.« j A.7!&‘$"'&p~ #‰ˆWPˆ
(
«(T5 * S m‘X mÂS S X > [ S >(q S L >Åq
« ¹ S X "q
…
m
Â
m
S
X
>
[
>
X
q
(T5 * 5
« ¹
S
X
> S >
(T5 *
« ~ ~ A.&…tp!1 2=Av*#D;Å'7©~#©ˆWPˆ
X
%
mÂS X >
S ¶ X > ¶ q \
¹
( 5* 5
« mÂS X > [ ¥ S X > q \
¹
(T5 * 5
« mÂS X > [ X ¥ S > q c
¹
(T5 * 5
« m % \PX q§#8  &,j)>#%1 '$"¿A.]~h#©ˆWPˆ
µ
S c
¥ S
·
·
¹

µ
¶
(
« «r
w'&x
S > (K ! mÂS X > [ S L >Åq
·
- !&A.7%7S \ > U % ˆ
% #8!1 2>7B: #% )"+:'",Ž*)uAv]- !& ?!'&@4’;Å!>>$k$
>;":w.- \Œ¢8£ U % c