3NOJG3NO!DNP.GM!CGQDG.NQC.NKR=3GQO!
"#$%&'#()*+!,-#*&$&,-#()*!.!/01()%#&2)*!,/'$,/(%#3/$!
!"#$%&'()'*+'",%-./-0*1('20.
!
!
3,%)4.56#4.7.58#49.:;5<.
="'>$%('#-.1?.@%$0$".
!
!
!
!
!
!
A%1?B.C%B.D4%'(#'"$.E"'**'"F9.="'>$%('#-.1?.@%$0$".
A%1?B.C%B.G>,.3H++$%IJ'++9.="'>$%('#-.1?.K1(#1)L.
!
Contact:
!
!
!
Chrysi Papadaki, [email protected]
M$"2$.
MZH 6120
Bibliothekstraße 5
28359 Bremen
NS12#.#4$./-0*1('20.
!"# $%%# &'()"*(+('# ,(&'(-%(")&.# /0$*# '12"*&# $&# 3)4(,)"')5# (&# 1+# ')"*6$%#
(7-16*$"')8#90)#:(",&#1+#)4(,)"')#'1"&(,)6),#&2++('()"*#'$"#;)#&))"#
$&# ,(++)6)"*($*("<# 1")# &'()"')# +617# $"1*0)6.# -)60$-&# 716)# &1# *0$"#
*0)# 1;=)'*&# 1+# &*2,>8# ?4(,)"')# ("# 7$*0)7$*('&# 0$&# $%/$>&# ;))"#
'1"&(,)6),# *1# ;)# 1+# $# 2"(@2)# :(",# )A)7-%(+(),# ("# ?2'%(,B&# ?%)7)"*&8#
90)&)# $6<27)"*&# $6)# '17-%)*)# ,),2'*(4)# ,)6(4$*(1"&# +617# $A(17&8#
C2'0#/16:#,1")#$*#*0)#;)<(""("<#1+#*0)#*/)"*()*0#')"*26>#/)"*#("*1#
)&*$;%(&0("<#$6(*07)*('.#$%<);6$#$",#$"$%>&(&#1"#$#&(7(%$6#+12",$*(1".#
$",# /16:&# &2'0# $&# D6)<)B&# D12",$*(1"&# 1+# E6(*07)*('# $,,),#
+167$%(&$;(%(*>#$&#$#+26*0)6#'0$6$'*)6(&*('#1+#7$*0)7$*('$%#)4(,)"')8#
!*# 0$&# ;))"# '%$(7),.# 01/)4)6.# *0$*# *0)# $6<27)"*&# )7-%1>),# ("#
7$*0)7$*('$%# -6$'*(')# $6)# "1*# *>-('$%%># '17-%)*).# $A(17$*('# $",#
+167$%(&$;%)8# F("')# G$:$*1&# +(6&*# 1++)6),# $# '6(*(@2)# 1+# 3?2'%(,)$"#
7)*01,1%1<>5# +(+*># >)$6&# $<1.# 72'0# $**)"*(1"# 0$&# ;))"# -$(,# *1# *0)#
"$*26)#1+#7$*0)7$*('$%#)4(,)"').#+617#$#/(,)#6$"<)#1+#-)6&-)'*(4)&8#
H)4)6*0)%)&&.# *0)# (7$<)# 1+# 7$*0)7$*('&# -6)&)"*),# ("# &'011%&# $",#
0)%,# ;># 7$"># 7$*0)7$*('($"&.# &'()"*(&*&# $",# -0(%1&1-0)6&# &*(%%#
$'')-*&# *0$*# 7$*0)7$*('&# )4(,)"')# '1"&(&*&# 1+.# $*# %)$&*# ("# -6("'(-%).#
'17-%)*).#$A(17$*('#$",#+167$%(&$;%)#$6<27)"*&8#
90)#$(7#1+#*0(&#&>7-1&(27#(&#*1#)A$7(")#*0)#"$*26)#1+#7$*0)7$*('$%#
)4(,)"')# +617# $# 6$"<)# 1+# -)6&-)'*(4)&.# ,6$/("<# 1"# 0(&*16('$%# $",#
'266)"*# 7$*0)7$*('$%# 6)&)$6'0# $",# *)$'0("<# -6$'*(')8# 90)#
-$6*('(-$"*&#0$4)#;))"#'01&)"#"1*#1"%>#+16#*0)(6#("*)6)&*#("#*0(&#*1-('#
;2*#$%&1#+16#*0)#4$6()*>#1+#$--61$'0)&#*0)>#*$:)#*1#(*8#
2
!"#$%&'(#)*+%,+-#)
!
!"#$%&'()$%*+!,
"#$""!%!"#$&'!!
()*+,-./*0,)!123+04*0)5!6)0770)89!:;<!=>??5+@A0??B%
"#$&'!%!&"$&'!
-./(01%-20(/03.!1C?,+0-<!()4*0*.*5!,D!E5/3),?,8FB!
&"$&'!%!&"$G"!!
2,DD55!H+5<I!
&"$G"!%!&&$""!!
J04/.440,)!
&&$""!%!&K$G"!
L5/*0,)!(!
45% 63)708M! N475/*4! ,D! C+55-,O! 0)!
=<*35O<*0/<?!P+,,D4!1G"Q&'!O0)B!
&5%9'#$:02M!!2<++,??R4!E,+*,045!<)-!
N/30??54!%!0)!/?<44+,,O!1G"Q&'!O0)B!
&K$G"!%!&S$""!
T.)/3!H+5<I!
&S$""!%!&'$G"!
L5/*0,)!((!
;5% 93##20(:% <% =5>5% ?0(7$@A0M! C0)-0)8! ,.*!
<U,.*! O<*35O<*0/<?! 7+</*0/59! U.*! 3,VW!
1G"Q&'!O0)B!
B5% C@DD0($@EE% <% C5% FE0(M! X<?0-<*0)8!
O<*35O<*0/<?! 7+,,D4! %! <)! <)<?F404! ,D!
;<?0-<*0,)! /+0*5+0<! .45-! UF! 45/,)-<+F! <)-!
.)0;5+40*F!4*.-5)*4!1G"Q&'!O0)B!
&'$G"!%!&'$S'!
2,DD55!H+5<I!
&'$S'!%!&Y$S"!
L5/*0,)!(((!
G5%&H880(%I388M!N!+5/,)4*+./*0,)!O<*+0Z!D,+!
5Z7?<0)0)8!7+,/54454!1G"Q&'!O0)B!
!
!"#$%&'#(())&*$)+,&-./01&23456!
!
?5% I03.M! ();54*08<*0)8! <)-! D,4*5+0)8!
4*.-5)*[4!7<*3V<F!*,!-5-./*0;5!+5<4,)0)8!
1K"Q&"!O0)B!
J5G5% -./0(K0.M! N//57*<U?5! \<74! 0)! =<*3!
P+,,D4!1K"Q&"!O0)B!
!
!
&Y$S"!%!&]$""!
^.54*0,)4!_!`5O<+I4!
!
!
5
!,#$%&'()$%*+!,
"#$""!%!#$S'!
L*0O.?0!D+,O!*35!-<F!U5D,+5!_!P?5)<+F!-04/.440,)!
#$S'!%!&"$S'!!
&'(3'%-80KK'./('%&'(3@##3%1a)0;5+40*b!-0!L05)<B!
&"$S'!%!&&$""!
2,DD55!H+5<I!
&&$""!%!&&$G"!
J04/.440,)!
&&$G"!%!&G$""!!
L5/*0,)!(X!
B5% 903/M! :;0-5)/5! ,D! 85)5+<?0*F! 1G"Q&'!
O0)B!
J5%?0DL0.%<%95%=30$80(M! Generic proofs at
tertiary level!1G"Q&'!O0)B
&G$""!%!&S$G"!
T.)/3!H+5<I!
&S$G"!%!&c$""!!!
L5/*0,)!X!
!
G5% =(M..0(N! ! E35! `,?5! ,D! `57+545)*<*0,)4!
0)! O<*35O<*0/<?! <+8.O5)*<*0,)! <)-!
P+,;0)8! P+,/54454M! N! 74F/3,?,80/<?
P5+475/*0;5!1G"Q&'!O0)B!
!C5% -.#@.3.3M! (O7,440U?5! D08.+54! <)-!
/,)*+<-0/*0,)4!0)!<!J\:!U5*V55)!5;0-5)/5!
<)-!!O<*35O*0/<?!*35,+F!1G"Q&'!O0)B!
&c$""!%!&c$&'!
2,DD55!H+5<I!
&c$&'!%!&Y$S"!
L5/*0,)!X(!
!
!
-5%='))@:83.3OP('.7M!!E35!-5?0/<*5!U<?<)/5!
,D! 0)4*+.O5)*5-! <U-./*0,)! U5*V55)!
5;0-5)/5! <)-! <+8.O5)*<*0,)! 0)! <! J\:!!!
1G"Q&'!O0)B!
!"#$%&'#(())&*$)+,&-./01&23456!
!
!
;$5%Q'L'/'73M!
C0)-0)8!*35!/?.54M!
Students’
perspective on
mathematical
evidence (in
geometry)!1K"Q&"!
O0)B!!
!
!
&Y$S"!%!&]$""!
^.54*0,)4!_!`5O<+I4!
!
!
G5%>'880R@O>'(:'K:
An example of
Proof-based
teaching:
Understanding the
rules of signs when
multiplying integers!
1K"Q&"!O0)B%
6
!S#$%&'()$%*+!,
"#$""!%!&"$G"!
L5/*0,)!X((!
C5%CL30KM!E35!+,?5!,D!*35!<54*35*0/4!D,+!
O<*35O<*0/<?!5;0-5)/5!1G"Q&'!O0)B
;5%?.3LL3.:%<%T5%;('D0(M!P<+*0/07<*0,)!
0)!N+8.O5)*<*0,)!1G"!Q!&'!O0)B!
&"$G"!%!&"$S'!!
2,DD55!H+5<I!
&"$S'!%!&&$S'!
P?5)<+F! J04/.440,)! _! ()D,+O<*0,)! ,)! 7.U?0/<*0,)!
7+,7,4<?!!
&&$S'!%!&K$""!
2?,40)8!`5O<+I4!!
7