On the best constant in the Khintchine-Kahane inequality

!"#$
&%(')*+-,/.
013241-568791-:;1356<1=1?>A@CBEDGFIHKJGFL:GM?2N6POLJGFLQKRSOLTURSVWFYX[Z\1?D]JGF^1^T(1_
` acbedefhg^iGd
jkmlIn[ohpqk&r[s^thrvuxwcyhzKux{|r[sWkm}tG~Iket]€4sWkn{<‚L{<r[k+ƒo]ww…„W†W€r[u‡o]†W{|r[sWk+†
ˆS‰‹ŠŽ zŒ ‘?’ z“yhz ˆ•”[–eŠe—+˜q”™– ‘Sš —›=œ ‰‹ŠžŽ z…cŒ ‘c’ z“yhz ˆ•”[–eŠ4˜q”
w•oŸn&tŸ†;‚{™ke ¡„Lke†W€+k8o]wpqk+€+r[o]n[{ ’ z ux†¢t]†;‚£xux†Wkthn†Lo]n[¤k~{™l^tŸ€ek9¥A¦
§h¨c©Ÿª;«¬A­®I©]¯S«-¨°$±m²´³µh¶•·I¸+¸4¹•µŸ·I¶º+³]¸»´¶¼½¡¾#¿À²´¹ÁW¼eµe²´¹Á3³Ã Ä;Å9¸4¼+·;¼+³]¸¼²3·¡¼Æ¾Ç½Iº(³]·Iµe²
ÈKɁÊËÍÌ ¼+²´³Ÿº+³À³hÎϹ•¸[¼e¸8·(µŸ½IÁ3¸4¼+·IÁW¼8ÐeÑqÒ ÓÀ¸»3µe²¼²3·¡¼8¾Ç½Iº9·IÁWÔÕº³G·¡¶cÁ^»´Ö×?³Ÿºe¸mØc٠ɟÚ]ÚŸÚŸÉ Ø-Û
Û ÞáàGÞ
Û ÞSà]Þ
Ü ‰
Ý ŽÞß Ù Ø Üáâ4ã Ý Ñ¡ä â4ã فå[Ñ(æ Ð Ñ;Ò Ó Ü ‰çÝ ŽÞß Ù Ø ÜÇâ4ã Ý Ó]ä â4ã فå+Ó
Ü4èGã
±m²´³¸Ö¢·¡¶…¶³G¸[¼Æµh½IÁ-æ ¸[¼e·¡ÁW¼(Ð+Ñ;Ò ÓÆé&³Õé8¹…¶…¶mê´³ŸÁ´½I¼³Õ×^ÔìëÀÑ;í Ò Ó ·¡Á-êîé8¹¶…¶8µŸ·I¶¶v¼²´³×-³G¸[¼Æ½IÁ3³Iï
ð
í èLó
×-³G×W¸[ñ^¼U¹…½Iµh»3½L¸Á3¶…¸4ÔE¼+·¡¾ÇÁW½I¼eº ¸ŸÈ ïì±mó ²´Ê ³ë ³]¸Ñ;ö?Ò ÓU³]µhò ¹•·¡¶…¶…Ôî×3¹ÁW»Ï¼¼³]º¹¼³G¸[¼¼+½^¹Á3½I÷ôµŸ¸4½L·LÖ(¸4³ ³¢È ³Ÿõ?ò
½Lº4ø ¼e¸ÀÉÊ ¼½$ò µ]·¡è ¶•µhém»´·I¶•·;¸¼+³Æù3ºe¼¸[²´¼¢³Õ¸½¡½I¼¶…ñI²3³]³Ÿê º
×WÔîúcï û3ï|ú^üG·¡º+³Ÿôý þ;Å é8²´½$ö3º½;ñL³]êîëÀÿí Ò Ùò ø ︁¹…Ö(ö3¶³]ºö´º+½^½¡¾8é&·L¸÷L¹ñL³ŸÁî×^Ôï
·I·I÷I³]º»´ö  è Ťé8²´½Y·I¶…¸½î¾Ç½L»´Á3êëÀÑ;í Ò ÿ ·¡Á3êžëÀÿí Ò Ñ ¾Ç½Lº³G·Iµe² È ËÌ ï"¸¹…Ö(ö3¶³=·¡Á3ê
³Ÿ¶…³ŸÖƳŸÁW¼+·IºÔÕö´º½^½I¾K¼²-·;¼ ëÀÿí Ò Ù ò ø é&·L¸8·¡¶•¸4½(ö´º+³]¸³ŸÁW¼³GêÕ×^Ô#ï3±½IÖ¢·I¸üŸ³]é9¸4ô^¹| ;Å<ï
û3ï ï¡¿¤·I²3·¡Á3³À Å?÷I³ŸÁ3³Ÿºe·¡¶…¹ü]³]ꤼ+²´³9º+³]¸»´¶¼½¡¾¿À²´¹ÁW¼eµe²´¹Á3³m¼½m·¡Á3·Lµe²(¸ö3·Lµh³mñ;·¡¶…»´³]ê
¸4êϳ³ŸLÁ´»3½I³Ÿ¼Á3³¤µŸ¼+³]²´¸8³Ø¸Ù Ö¢É]ڟ·¡ÚŸ¶…Ú]¶³GÉ ø¸[Ø?¼#Ûµhº+½I³ŸÁ-ö3¸[¶…¼e·L·¡µhÁW¹…¼Á´÷¢¹…Á¹Á ¼²´Ü4³èGã ñI³]¼²´µh¼³½L·Iº<×3ñ;¸·¡½I¶…¶…»´»Ï³]¼ê³¤¹…ñ;Á´·¡³¶…W»´»3³·I×^¶¹Ô¼[ÔI¼ï²´<³¼ Á´¹•½I¸º+½¡Ö¾|﹐ÁWK¼+³Ÿ³h¼#º+³]ë¸4¼ Ñ;Ò¹‡Ó ¾
¼²´³8µh½LÁ3¸4¼+·¡ÁW¼e¸·Iº³v¼²´³m¸·IÖÆ³¹…è Á¼+²´³mñI³]µh¼½LºA·IÁ3ꤼ+²´³º+³]·I¶ÏµŸ·I¸³Iï ¸A¾á·¡º ·I¸Aé&³ô^Á´½;é=¼+²´³
×- ;³GÅ ¸[ó ¼&é8º²´³G½Æ¸4»´ö´¶¼º+½;¾Ç½LñIºv³Gê(ö òÀ¼²3ø ·¡¼9·IÁ3ë ê ò æ ô^Á´Ä3½;ïé8™ÁÁ¢¼»´²3öƹ…¸m¼½ö3·IÁ´ö-½;³]éýºmé&é·L³À¸|¸4½I²3×Ͻ;¼eéý·¡¹…¼Á´²3³]·¡êU¼9×Wë Ô#ïL±½IÖ¢·Ió ¸·¡üŸÁ3³]êÕé9¸4éô^³ ¹
¼²´¹…Á´EôU«3¼+©²3Ï·;©]¼9¯S«-½L»´¨º8°ö´3º+½I½^º½¡¾¹•¸8ÿ ¸Ò Ù ¹ÖÆÜ cÙö´¶…³Ÿº8¼+²3·¡-ÛÁã"¼²3!$³¤½I# Á´³G¸mè&%ôWÛÁ3ó½;é8' ÁվǽLº8Ü(' º³GÙ ·¡¶Á^ÿ »´Ò ÖÙ' Ûò×?ã)³Ÿºe!+¸]øï * Û-,
Ü , Ù É]ڟڟÚ]É , Û ã É/Þ…Û ß. ò Þ Ü . ٠ɟÚ]ڟÚhò É/. Û ã0!É]ڟ#2Ú]1¤ÚŸÉ è É è3% Û ·¡Á-Ì´êÕÉ ØÙ É]ÚŸÚŸÚŸÉ Ø-ò Û !54 ɟڟ¶…³hÚ]¼9ÚhÉ »-¸8êϳhù3Á3³ ò
'Ý 8 Ý ò7ò:69 Þ…Û ß Ù Ù ' Þ8; Ü é8²3³Ÿº+³¤Ø=< ò è ¾Ç½Lº9·¡Á^ÔUØ !5*¤ã
>@?ABCEDFHGJILKMFONP@Q@RS@S@TVUHWYXYZ@[E\VKMF(N^]_P@R`Q@a
è
1 , ò Ü1 , ÙÞ…Û ß ÉŸÚ]ڟ, ÚŸÞ É 1 Þ , ÛÞ ã Þ
bdä Ü c, òã e 6 µŸ·Iº+Ù ê #fhØ g e, i %
lÔkmon]É/j .­Ü pÇï ©ã ò nIé°r³Àqé8³¤¹…é8¶¶¹…ê϶¶K³Ÿö´Á´º½Iò ½;¼ñL³#. ³ ¼²3¼+²´³¤³ÀÖ(¾Ç½I³G¶…·¡¶…Á½;é8ñ;¹·¡Á´¶…÷(»´³À¼+²´½¡³Ÿ¾ ½LÜ ºï ³]ã Ö ï g
ÞÞ
Þ
st …@m^‡ «-ªV“™{@mvš uxˆ‹wzŠy|Ø {~Þ }€ …/{ ò {œ›~6 }V…MÞ…Û ßšŽÙ Y,ž Ø ˆ‹ƒ‚3„…@–{~…/{M{ ŠŸ, “ ‡‰ˆ‹†{ …/{…€šH‡‰Œ ˆ‹Š2›M{{¢Œ={~¡¤ˆ‹£LŠ&{~¥ ˆ=}Ž{_ˆ {_…@ˆ‘V’”“‰“•‡d… † ˆ‹Š&3–
—E† †&˜ † † —
† Ù4å æ † †
„
ÜO¦ e  e ÿ ã ÿ ø ¦ e  e
¥ „ {›œ3ˆ§š@} † ˆ=} ø ‡¨š¢} „ { ˜ {_šM}|Œ=EšMš@‡ ˜ “™{£
©Àªq«K««ª+°
¬ ¹õ?³]º³]ÁW¼¹•·;¼¹…Á´÷ƹ…Á¼9×?½¡¼+²E¸4¹•êϳ]¸m½I¾¼+²´³¤³W»3·I¶¹¼[Ô
Û
ÿâ ޅ­ ß Ü[褮ìâM¯ Ù ' Þ ã ò Ž â ÿ ¯´ 8 ´ ' 8
Ù
8v°v± < Ò Ùœ²³
·¡Á3곟ñ;·¡¶…»3·¡¼¹…Á´÷(¼²´³]Ö ·;¼8¼ ò è é³À÷I³Ÿ¼
Û
Þ Û Û
Þ
ø ޅ­ ß Ù Ü4褮-' ãµ1 Ž ß Ù ' ¶ Þ…ß ­ ÙÒ Þß · Ü[褮¸' ã ò Ž Ò Ùœ² ³ Ü ø 1 Ý Ý ãY' 8
¶
¶
8v°v± <
9³ŸÁ-µh³À鳤½LÛ ×ϼ+·I¹Á
Ž Ü ø ޅ­ ß Ü4èE® , Þ . Þ ã@1 Ž ß Û , ¶ . ¶ Þ…ß ­ Û Þß · Ü4èE® , Þ . Þ ãã bc_bŸ¹ ò Ž
Ž Ü ø 1 Ý Ý ã , 8 . 8 bc@bŸ¹
cÒ ¹ °v± ¯ ÙÒ Ù/² ³ Ù
cÒ ¹ °v± ¯ ÙeÒ Ùœ² ³ 8v°v± < Ò Ù/² ³
¶ Ù ÙeÒ ¶
ò Ž Ò Ù/²/³ Ü ø 1 Ý Ý ãhÜ c Ž ÙeÒ Ùœ²/³ , 8 bdc ã ÿ æ ø Ü c Ž ÙeÒ Ùœ²/³ bdc ã ÿ
8v°v±
°v± ¯
°v± ¯
±m²´³À¶…·L¸[¼9¹…Á´³W»3< ·I¶¹¼[ÔU²´½L¶…ê3¸m×-³GµŸ·¡»-¸4³€bc ò b ¯ c¾Ç½Iº8³G·Iµe² , ó ¸½(¼²3·¡¼9½I×^ñ^¹½L»3¸¶Ô
Ž , 8 bc ò Ì
c °v± ¯ ÙeÒ Ùœ² ³
¾Ç½Iº8³]·Lµe²ºé8¹¼² Ý Ý ò è
ú^¹Á-µh³#¼²´³¤¶…³h¾“¼/P²-·¡Á3긁¹…êϳ¤½I¾K¼+²´³·¡×?½;ñI³#¹Á3³W»3·¡¶…¹¼[ÔÕ¹•¸m³W»3·¡¶c¼+½
ø Û&»Ù c Ž ÙÒ Ùœ² ³ b c ÿ 1¼ ø Û ¯ Ù c Ž ÙeÒ Ùœ² ³ b c ÿ ® ø Û ¯ Ù chÒ ¹ ÙÒ ŽÙ/² ³ Ò ½¾ cÒ ¹~¿ ß Ù bc@bŸ¹
°v± ¯
°v± ¯
°v± ¯
鳤·¡º+º+¹ñL³·;¼
Ûø Ž b c ÿ ® ø Û ¯ Ù Ž b c Ü Ž ß b ¹ 1܃¼À1 ø ã b c ã æ ø Ü Ž b c ã ÿ
c °v± ¯ ÙÒ Ù/² ³
c °v± ¯ ÙÒ Ù/² ³ ¹ °v± ¯ ÙÒ Ùœ² ³ Ò ½¾ cÒ ¹_¿ Ù
c °v± ¯ Ü ÙÒ Ùœã ² ³
ø
ø
ÔU¼²´³À¼+º¹•·¡Á´÷L¶³#¹…Á´³W»3·I¶¹¼[ÔU¾Ç½Lº8³]·Iµe²Õù´Îϳ]ê , é&³À÷I³Ÿ¼
܃¼º1 ø ã b c æ ¹ ÙeÒ ÙœŽ ² ³ Ò ½¾ cÒ ¹~¿ ß Ù b ¹
°v± ¯
ú^½Æ¹Á´³W»3·¡¶…¹‡¼[Ô Ü ø ã Ô^¹…³Ÿ¶•ê´¸
ø Û c Ž ÙÒ Ù/² ³ b c ÿ æ ø Ü c Ž ÙeÒ Ùœ² ³ b c ã ÿ
°v± ¯
°v± ¯
Û
¬ ¹…ñ^¹…êϹ…Á´÷Æ×^Ô ø ÿ é³À÷I³Ÿ¼
¦ e  e ÿ æ ø Ü(¦ e  e ã ÿ
±i K½À¸4³]³v¼+²3·;¼A¼²3³mµŸ½IÁ3¸4¼+·IÁW¼ ø ¹…¸¼²3³&×?³]¸4¼ ö-½W¸¸¹×3¶³&¹‡¼¸»”ÁUµh³G¸K¼+½ ¼e·¡ôL³ ¼ òžø É ØÙ ò
Øÿ ò Ìï
lmou-ϪEÂw?°À<¾´é&³vº+³Ÿö´¶•·IµŸ³¹Á¼²´³m·¡×?½;ñI³vö´º½^½I¾obc×^Ԁb cÑ ·¡Á3ê»3¸4³v¼²´³&¹…Á´³W»3·I¶¹¼[Ô
bc æ ¼51 è ø ¹ ÙeÒ ÙœŽ ² ³ Ò ½¾ cÒ ¹~¿ ß Ù bŸ¹ æ ¼º¼1 ø Ü ¼ è ¹ ÙÒ ÙœŽ ² ³ Ò ½¾™cÒ ¹_¿ ß Ù b ¹Ñ ã Ù4å[Ñ
°v± ¯
°v± ¯
é³Àé8¹…¶¶½L×ϼ+·I¹Á¼²-·;¼8¾Ç½Iº È !  è É ø ã
ÜO¦ e  e ÿ Ñ ã Ù4å ÿ Ñ æ Ü4è1 È`à ø ãM¯ فå ÿ Ñ Ü(¦ e  e Ñ ã فå[Ñ
×´»Ïà ¼9lé&mo³Àu-ê´à ½¢ÏªEÁ´ÂŽ¡¼m²3¹ú^Á´¹…ôÕÁ3µh¼³Õ²3·¡¾Ç½I¼8º(¼²´³]³·Iµe·I²î×-½;×?ñL½I³¤»3Á3µh½IêÏÁ-³]êì¸[¼e·¡ºÁW³G¼+·¡¸m¶v·¡ºe·¡º+³ÀÁ-êϽI½IöÏÖ ¼+¹Ö¢ñ;·I·¡¶cº+¹…¾Ç·I½I×´º ¶ÈE³ŸÆË 輁²3ï ³U¾Ç»´Á3µh¼¹…½IÁ
ÇÜ Ü ã ò æ ¶Á ¦ Ý b Ý Ù4åœÈ ¹•¸¢µh½IÁ^ñL³hÎY±m²´³]½Iº+³ŸÖ èg Ô^¹³]¶…ê´¸(¼+²3·;¼¢¾Ç½Lº¢³]·Lµe² Ê ! Ü Ì3É è Å ÉáÈ !
Ì´É ø Å ÉÊ È ¼²3³À¾Ç½I¶…¶½;é8¹…Á´÷ƹÁ3³W»3·¡¶…¹¼[ÔU²´½I¶•ê´¸
Ü(¦ e  e Ñ ã فå[Ñ æ ø فå+Ó ¯ فå[Ñ ÜO¦ e  e Ó ã فåeÓ
·¡Á3êÕÉ ¼²´®Â³¨µŸ«o½IÁ3ʟ¸4pO¼+mW·I¬ÁWˋ¼+¸ mvu¸ø فåemWÓ ¨c¯ ©Ù4nIå[°Ñ ·Iqº³À³E½Ié&ö´½I¼»3¹…Öƶ…êÍ·I¶S¶ï ¹…ôI³¼+½=³hÎÏö´º+³]¸+¸Æ½I»´ºU¸¹Á-µh³Ÿº+³÷Iºe·;¼¹¼»-êϳ¼½
ö´ö´ºº½I½I¾[¾[ïžï¸¬úcïvï û-¿Àï émïr·¡ö´ÎÀ¹…·¡³µº+ÁÍÌ ¶¹…Á´¾Ç½I÷)ºÕ¾Ç³Ÿ½IÁ3º¢µŸ·)½I»´µŸºe½I·¡ÖÆ÷L³ŸÖÆÖƳŸ³ŸÁWÁW¼¢¼¢é8·¡²´Á3¹…ê͵e²Í²´³Ÿ¹Öƶ…öÏö´¾Ç»´º+¶#½;ñIµh³G½Lê=Ö(¼ÖƲ3³]³ÁLö3¼e¸ŸºïͳG¸4³]qÃÁL¼e³)·;¼+·I¹¶…½L¸Áì½)½¡¼+²3¾9·¡¼+Á3²´ô ³
ö´º½^½I¾[ï
ÏÐLÑ3ÐLÒÀÐÔÓ5ÕÐÔÖ
 è ÅïvÜ[è·IÜ&·IÝ ÷I³]ãºó »´ö-è ¥ „ {Ý ˜ {_šM}À›MVˆ=šM} † ˆ«}(š‡‰ˆº} „ {0× „ ‡‰ˆ=}› „ ‡‰ˆ‹{^‡‰ˆ‘{œØ~’ † “ ‡‰}OÙ ó úW¼»-êϹ…·ŽÚ$·;¼+²ï
ÛÌ ø ø Ä ø Ä
 ø Åû3ï  ï¡¿¤·¡²3·IÁ´³Ôދ’”…“™{_šš~3–ß–Ÿ{@š — {M›_}V…@‡({~“‰“™{_š 6áàâ Û óoó ã ½LÖ(ö´¼ó ³]¸Àä9ܳŸÜ4Á3èêÏÜ »-¸hãh9ó ³]×?êϽ&
Ö¢ ·IÝ ê´·I¹º+³]¸mêϳG¸ ú¤³GÌ ·¡Á3µŸ³]¸8êϳ¤¶Hå µŸ·LêϳŸÖƹ…³êϳ]¸ ú´µh¹…³ŸÁ3µŸ³]¸ |·¡º+¹…¸ ø ¡þ ø vÛ&Û
ø Ì
Ä
 Ä;Åï3¿À²3¹ÁW¼+µe²3¹Á´³çæè ˜ {~…ŽŠVÙ † ŠV‡¨š~› „ {L… ’=æ › „ {vé ó Ú$·¡¼²ï•êAï èÝÜ4èÜ ø Ä ãhócè Ì Ü èLè  þ¡ÅúcÝï û3Ü[ïIèú^Ü üG·¡º+㳟óô5èë0Ü ˆ} „ {Ý ˜ {_š@}›MVˆ=š@} † ˆ=}Oš‡‰ˆ} „ {× „ ‡‰ˆ‘› „ ‡‰ˆ‹{‡‰ˆ‹{MØ~’ † “•‡‰}HÙ ó úW¼+»3êϹ•·€Ú$·;¼+²ï
ÛV
Û ø Ì
 qÅ#ï ±½IÖ¢·L¸4ü]³Ÿé9¸Ü[ôWèÜ&¹Ý ¥ ‚㠐ì…/{~– ó † Ý …/íVš5Ý2V݈:} „ {× „ ‡‰ˆ‹› „ ‡‰ˆ‘{_î(× † „ † ˆ‘{)‡‰ˆ‘{MØ_’ † “•‡‰}OÙ óLã ½I¶™
¶½”?ï Ú$·;¼+²ïÏþ2
ø Á´½3ï ø ø ÄV ø
 ;Å#‡‰ïG} ±½I} Ö¢{ ·I¸üŸ{_³]š@é9}¸4›Mô^V¹”ˆ=ï͚M} š@ˆ«‡‰–Ô}ñŒ‹&“™»´{ ¶†¶Pï ˆ‘úϊµh¹P{_ï Ú)“ð{_–Ÿ·;¼{_²Kˆ«ï Ü} † ã#…@ÙhèIŒ‘èL…/袐YÜ[žLèÜ2YÝ ž¤Û } ㄠóc{rè × ÄV„ ‡‰èˆ=}Ü› „ ‡‰ˆ‹{0‡‰ˆ‘{œØ~’ † “ ‡‰}OÙ
ø
†
Ì Ì
‚ „ „ ˜
¸õ|òdö ~õ|ó=õ ù`ôEõ|õ öv‹þß÷‘`øùñõ ÿó§ù`ó§÷ûö ~ú|ÿ¨ü)÷ ý-õ”÷‘þ|ó§øLõ”÷`ÿ
¸õö _õ €ú õ|ù
³_º¶•<·;ÖÆ¼e·¡·I¶•¹·¶ g ö´¶…³]·IºÁï ×´¹¼Á´³Ÿ¼
üŸ½Iº+×´¹…³ ö´¶…³]·IºÁKï ×´¹¼Á3³h¼
!
þ