‫ﺑﺴﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟﯽ‬
‫ﻓﺮﺁﯾﻨﺪﻫﺎﯼ ﺗﺼﺎﺩﻓﯽ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎﻝ ﺍﻭﻝ ‪۹۲-۹۳‬‬
‫ﻣﺪﺭﺱ‪ :‬ﺩﮐﺘﺮ ﺭﺑﯿﻌﯽ‬
‫ﺩﺍﻧﺸﮑﺪﻩ ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫‪ ۱۴‬ﺁﺫﺭ‬
‫ﺯﻣﺎﻥ‪ ۲ :‬ﺳﺎﻋﺖ‬
‫ﻣﯿﺎﻥ ﺗﺮﻡ ﺩﻭﻡ‬
‫‪ .۱‬ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺳﻮﺍﻻﺕ ‪ ۵‬ﻋﺪﺩ ﺍﺳﺖ ﮐﻪ ﺩﺭ ﯾﮏ ﺑﺮﮔﻪ ﺩﻭ ﺭ ﻭ ﺗﻨﻈﯿﻢ ﺷﺪﻩ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۲‬ﺗﻤﺎﻡ ﭘﺎﺳﺦﻫﺎ ﺭﺍ ﺗﻤﻴﺰ ﻭ ﺧﻮﺍﻧﺎ ﺩﺭ ﺑﺮﮔﻪﻫﺎﯼ ﭘﺎﺳﺦﻧﺎﻣﻪ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ .۳‬ﺟﻤﻊ ﺍﻣﺘﯿﺎﺯ ﺳﻮﺍﻻﺕ ‪ ۱۰۰‬ﻧﻤﺮﻩ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﺗﻤﺎﻡ ﭘﺎﺳﺦﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻫﻤﺮﺍﻩ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﺪﻻﻝ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺁﻧﭽﻪ ﺩﺭ ﻛﺘﺎﺏ ﻳﺎ ﻛﻼﺱ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺷﺪﻩ ﻧﻴﺎﺯ ﺑﻪ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﻧﺪﺍﺭﺩ‪.‬‬
‫‪ .۵‬ﻧﺎﻡ ﺧﻮﺩ ﺭﺍ ﺑﺮ ﺭ ﻭﯼ ﺑﺮﮔﻪﯼ ﺳﻮﺍﻝ ﻭ ﭘﻴﺸﻨﻮﻳﺲﻫﺎ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ ﻭ ﺩﺭ ﭘﺎﻳﺎﻥ ﺍﻣﺘﺤﺎﻥ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺩﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫ﻧﺎﻡ ﻭ ﻧﺎﻡ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﮔﯽ‪:‬‬
‫ﺷﻤﺎﺭﻩ ﺩﺍﻧﺸﺠﻮﯾﯽ‪:‬‬
‫‪ .۱‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﯿﺪ ‪ X۱ , ..., XN‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯼ ﺗﺼﺎﺩﻓﯽ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺍﺯ ﺗﻮﺯﯾﻊ ﮔﺴﺴﺘﻪﺍﯼ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺎﺩﯾﺮ ‪ ۰ ،−۱‬ﻭ ‪ ۱‬ﺭﺍ ﺑﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ‬
‫‪ ۲θ(۱ − θ) ،θ۲‬ﻭ ‪ (۱ − θ)۲‬ﺑﻪ ﺍﺯﺍﯼ ‪ ۰ < θ < ۱‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬
‫)ﺁ( ﯾﮏ ‪ CSS‬ﺑﺮﺍﯼ ‪ θ‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ۱۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫)ﺏ( ﯾﮏ ‪ UMVUE‬ﺑﺮﺍﯼ ‪ θ‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ۵) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫‪ .۲‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﯿﺪ ‪ X۱ , ..., XN‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯼ ﺗﺼﺎﺩﻓﯽ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺍﺯ ﯾﮏ ﺗﻮﺯﯾﻊ ﺑﺎ ﭼﮕﺎﻟﯽ ‪ fθ,j‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ‪ θ > ۰‬ﻭ ‪j = ۱, ۲‬‬
‫ﺍﺳﺖ‪ .‬ﺍﮔﺮ )‪ fθ,۱ (x) = N (x|۰, θ‬ﻭ ‪ fθ,۲ (x) = (۲θ)−۱ e−|x|/θ‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺨﻤﯿﻦ ‪ MLE‬ﺭﺍ ﺑﺮﺍﯼ ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻫﺎﯼ )‪(θ, j‬‬
‫ﭘﯿﺪﺍ ﮐﻨﯿﺪ‪ ۱۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫‪ .۳‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺯﯾﺎﻥ ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ ﺯﯾﺮ ﺗﻌﺮ ﯾﻒ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫̂‪θ > θ‬‬
‫̂‪θ < θ‬‬
‫|̂‪۲۱|θ − θ‬‬
‫|̂‪۴|θ − θ‬‬
‫{‬
‫= )̂‪L(θ, θ‬‬
‫)ﺁ( ﺗﺨﻤﯿﻦﮔﺮ ﺑﯿﺰ ﺭﺍ ﺑﺮﺍﯼ ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮ ‪ θ‬ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺰﯾﻨﻪ ﻓﻮﻕ ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ ﮐﻠﯽ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ۱۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫)ﺏ( ﻓﺮﺽ ﮐﻨﯿﺪ ) ‪ X۱ , ..., Xn ∼ N (θ, σ ۲‬ﻭ ‪ θ‬ﺩﺍﺭﺍﯼ ﺗﻮﺯﯾﻊ ﭘﯿﺸﯿﻦ ) ‪ N (µ, γ ۲‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻓﺮﺽ ﺩﺍﻧﺴﺘﻦ ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻫﺎ ﺑﻪ ﺟﺰ ‪ θ‬ﺗﺨﻤﯿﻦﮔﺮ ﻓﻮﻕ ﺭﺍ ﺑﺮﺍﯼ ‪ θ‬ﺑﺎ ﻓﺮﺽ ﺍﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺯﯾﺎﻥ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ۲۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫‪ .۴‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﯿﺪ ‪ X۱ , ..., XN‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯼ ﺗﺼﺎﺩﻓﯽ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﺎ ﺗﻮﺯﯾﻊ ) ‪ U (θ۱ − θ۲ , θ۱ + θ۲‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫)ﺁ( ‪ MSS‬ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻫﺎﯼ ‪ θ۱‬ﻭ ‪ θ۲‬ﺭﺍ ﺑﻪ ﺩﺳﺖ ﺁﻭﺭﯾﺪ‪ ۱۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫)ﺏ( ﺍﮔﺮ ‪ CSS‬ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺁﻧﮕﺎﻩ ﯾﮏ ‪ UMVUE‬ﺑﺮﺍﯼ ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻫﺎﯼ ‪ θ۱‬ﻭ ‪ θ۲‬ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﯾﺪ‪ ۱۵) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫‪۱‬‬
‫‪ .۵‬ﻣﻨﺒﻌﯽ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮ ﯾﺪ ﮐﻪ ﺩﺍﺩﻩﻫﺎﯼ ﺗﺼﺎﺩﻓﯽ ﻣﺴﺘﻘﻞ ‪ X۱ , X۲ , . . . , XN ،‬ﺭﺍ ﺑﺎ ﺗﻮﺯﯾﻊ ﯾﮑﺴﺎﻥ |‪ ۲λ e−λ|x‬ﺗﻮﻟﯿﺪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺍﯾﻦ ﺩﺍﺩﻩﻫﺎ ﺍﺯ ﮐﺎﻧﺎﻟﯽ ﻋﺒﻮﺭ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ ﻭ ﺩﺍﺩﻩﻫﺎﯼ ‪ Y۱ , Y۲ , . . . , YN‬ﺩﺭ ﻣﻘﺼﺪ ﻣﺸﺎﻫﺪﻩ ﻣﯽﺷﻮﺩ‪ .‬ﺩﺭ ﺻﻮﺭﺗﯽ‬
‫ﮐﻪ )‪ λ ∼ Gamma(α, β‬ﻭ‬
‫‪N‬‬
‫∑‬
‫= ‪Yi‬‬
‫‪Xj‬‬
‫‪j=i‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺨﻤﯿﻦ ﮐﻤﯿﻨﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺧﻄﺎ )‪ (Bayes‬ﺭﺍ ﺑﺮﺍﯼ ‪ λ‬ﺑﻪ ﺩﺳﺖ ﺁﻭﺭﯾﺪ‪ ۲۰) .‬ﻧﻤﺮﻩ(‬
‫ﻭﺍﺭ ﯾﺎﻧﺲ‬
‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‬
‫‪α۲‬‬
‫‪β‬‬
‫‪۲‬‬
‫‪λ۲‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪۰‬‬
‫‪σ۲‬‬
‫‪µ‬‬
‫ﺗﻮﺯﯾﻊ‬
‫‪βα‬‬
‫‪xα − ۱ e−βx‬‬
‫)‪Γ(α‬‬
‫= )‪Gamma(x|α, β‬‬
‫|‪Laplac(x|λ) = ۲λ e−λ|x‬‬
‫‪(x−µ)۲‬‬
‫‪−‬‬
‫‪۲σ ۲‬‬
‫‪e‬‬
‫‪۲‬‬
‫‪√۱‬‬
‫‪σ ۲π‬‬
‫= )‪N ormal(x|µ, σ‬‬