1
‫داﻧﺸﮕﺎﻩ ﺻﻨﻌﺘﯽ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫داﻧﺸﮑﺪﻩ ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫ﭘﺎﻳﺎنﻧﺎﻣﻪ ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳﯽ‬
‫ﮔﺮاﻳﺶ ﻓﻨﺎورﯼ اﻃﻼﻋﺎت‬
‫ﻋﻨﻮان‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﻧﮕﺎرش‬
‫ﭘﮋﻣﺎن اهﻠﯽ ﺑﻴﺪﮔﻠﯽ‬
‫اﺳﺘﺎد راهﻨﻤﺎ‬
‫دﮐﺘﺮ ﻣﺤﻤﺪﻋﻠﯽ ﺻﻔﺮﯼ‬
‫ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ‪1390‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫داﻧﺸﮕﺎﻩ ﺻﻨﻌﺘﯽ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫داﻧﺸﮑﺪﻩ ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫رﺳﺎﻟﻪ ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳﯽ‬
‫ﻋﻨﻮان‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﻧﮕﺎرش‬
‫ﭘﮋﻣﺎن اهﻠﯽ ﺑﻴﺪﮔﻠﯽ‬
‫اﺳﺘﺎد راهﻨﻤﺎ‬
‫ﺟﻨﺎب ﺁﻗﺎﯼ دﮐﺘﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﻋﻠﯽ ﺻﻔﺮﯼ‬
‫اﻣﻀﺎء اﺳﺘﺎد راهﻨﻤﺎ‪:‬‬
‫ﺗﺎرﻳﺦ‪:‬‬
‫ﺳﭙﺎسﮔﺰارﯼ‬
‫ﺳﭙﺎس ﺧﺪاﻳﯽ را ﮐﻪ ﺑﻪ اﻧﺴﺎن ﺁزادﯼ ﻋﻄﺎ ﮐﺮد و ﺑﻪ ﮔﻮهﺮ ﻋﻠﻢ‬
‫ﻣﺰﻳﻦ ﻧﻤﻮد‪.‬‬
‫در ﺁﻏﺎز وﻇﻴﻔﻪ ﺧﻮد ﻣﯽداﻧﻢ از زﺣﻤﺎت ﺟﻨﺎب ﺁﻗﺎﯼ دﮐﺘﺮ ﺻﻔﺮﯼ و‬
‫راهﻨﻤﺎﻳﯽهﺎﯼ اﻳﺸﺎن ﺻﻤﻴﻤﺎﻧﻪ ﺗﺸﮑﺮ و ﻗﺪرداﻧﯽ ﮐﻨﻢ‪.‬‬
‫از ﺟﻨﺎب ﺁﻗﺎﻳﺎن ﺻﺎﺑﺮ ﻓﺪاﻳﯽ و ﻣﺤﻤﺪاﻣﻴﻦ ﻓﻀﻠﯽ ﮐﻪ در ﻃﻮل اﻳﻦ‬
‫ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺑﺎ راهﻨﻤﺎﻳﯽهﺎﯼ ارزﻧﺪﻩﺷﺎن ﺑﻪ ﻣﻦ ﮐﻤﮏ ﺑﺴﻴﺎر ﻧﻤﻮدﻧﺪ‪،‬‬
‫ﺗﺸﮑﺮ ﻣﯽﮐﻨﻢ‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫در ﭘﺎﻳﺎن ﻧﻴﺰ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻣﯽﮐﻨﻢ ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻮادﻩ ﻋﺰﻳﺰم ﮐﻪ هﻤﻮار ﻣﺸﻮق‬
‫و ﻳﺎرﯼرﺳﺎن ﻣﻦ ﺑﻮدﻩ و راهﻨﻤﺎﯼ ﻣﻦ در ﻣﺴﻴﺮ ﻋﻠﻢ و ﻣﻌﺮﻓﺖ‬
‫ﺑﻮدﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ‪1390‬‬
‫ﭼﮑﻴﺪﻩ‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ در دﻧﻴﺎﯼ اﻣﺮوز ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳﯽ در‬
‫ﮔﺴﺘﺮش اﻃﻼﻋﺎت دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ از ﭘﺎ ﺑﻪ ﻋﺮﺻﻪ ﮔﺬاﺷﺘﻦ‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎزارهﺎﯼ ﺟﺪﻳﺪ و روشهﺎﯼ ﺟﺪﻳﺪ ﮐﺴﺐ‬
‫و ﮐﺎر در دﻧﻴﺎﯼ اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ ﺑﻪ وﺟﻮد ﺁﻣﺪ‪ .‬در اﻳﻦ‬
‫ﺑﺎزارهﺎ ﻋﻘﻴﺪﻩ ﻳﺎ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎت اﻓﺮاد روﯼ ﻋﻘﻴﺪﻩ و‬
‫ﺗﺼﻤﻴﻤﺎت دوﺳﺘﺎﻧﺸﺎن ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ اﺛﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ دارد‪ .‬از‬
‫ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﻣﺪلهﺎﯼ ﻓﺮاواﻧﯽ در زﻣﻴﻨﻪ ﮔﺴﺘﺮش و اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻳﮏ ﻋﻘﻴﺪﻩ‪ ،‬وﻳﺮوس ﻳﺎ ﻣﻮاردﯼ ﻣﺸﺎﺑﻪ در ﻋﻠﻮم ﻣﺨﺘﻠﻒ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع زﻣﺎن‬
‫ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت اهﻤﻴﺖ ﻓﺮاواﻧﯽ ﭘﻴﺪا ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ رﺳﺎﻟﻪ‬
‫ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ ﮔﺴﺘﺮش ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻳﺠﺎد ﺑﺴﺘﺮ ﮔﺴﺘﺮدﻩاﯼ ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ و ﮔﺴﺘﺮش ﻣﺸﺘﺮﻳﺎن از اﻳﻦ ﻃﺮﻳﻖ روشهﺎﯼ‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻔﯽ را ﺑﺮاﯼ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺳﺎﺧﺘﻦ ﺳﻮد ﺑﻪ وﺟﻮد ﺁوردﻩ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪ ‬‬
‫در اﻳﻦ رﺳﺎﻟﻪ اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﭘﻴﺶﻧﻴﺎزهﺎ ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ و‬
‫در اداﻣﻪ ﺁن ﺑﺮﺧﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ در‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ را ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ از دﻳﺪﮔﺎﻩهﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻒ‬
‫ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬
‫ﮐﻠﻤﺎت ﮐﻠﻴﺪﯼ‪ :‬ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ ،‬ﮔﺴﺘﺮش ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪،‬‬
‫ﮔﺴﺘﺮش ﻧﻔﻮذ‪ ،‬ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻄﺎﻟﺐ‬
‫ﻟﻴﺴﺖ ﺗﺼﺎوﻳﺮ‪ 7 ....................................................................................................... ‬‬
‫ﻟﻴﺴﺖ ﺟﺪاول‪ 8 ......................................................................................................... ‬‬
‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‪ 9 ..................................................................................................................... ‬‬
‫ﭘﻴﺸﻴﻨﻪ رﻳﺎﺿﯽ و ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ‪ 10 ........................................................................... ‬‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺎ‪ 10 ...................................................................................... :‬‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﻳﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‪ 12 ....................................................... ‬‬
‫ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت‪ 13 .................................................................................................. :‬‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ﮔﺮاف‪ 15 .................................................................................................. :‬‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ 16 ........................................................................................... ‬‬
‫ﮔﺴﺘﺮش در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ 18 ...................................................................... ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ 18 ....................................... ‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ 19 ...................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‪ 24 .................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ‪ 30 ............................................................................... ‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣﯽ‪ 31 ...................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ‪ 33 ............................................................................................... ‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻮﺗﺎﻩ ﻣﺪت‪ 36 ........................................................................................ ‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻠﻨﺪ ﻣﺪت‪ 39 .......................................................................................... ‬‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ و ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‪ 41 ....................................... ‬‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪ 43 ....................................... ‬‬
‫ﮐﺎوش ﻣﺮزهﺎﯼ ﺗﻘﺮﻳﺐ‪ 44 .................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺪل رهﺎﺳﺎزﯼ‪ 45 ............................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف‪ 45 ........................................................................ ‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﮐﺎهﺸﯽ‪ 46 ...................................................................................... ‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺐ‪ 49 ........................................................................................... ‬‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻرﻳﺘﯽ ﺗﺎﺑﻊ ‪ 52 .................................................................................. σ‬‬
‫ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش از ﻧﮕﺎهﯽ دﻳﮕﺮ‪ 57 .................. ‬‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﺑﻴﺸﻴﻦ‪ 58 .................................................................................... ‬‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﻣﺘﺤﺪ‪ 59 ...................................................................................... ‬‬
‫ﺳﺎﺧﺘﺎر درﺧﺘﯽ‪ 59 ............................................................................................... ‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ 60 ................................................................................................. MinRep‬‬
‫ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪﯼ‪ 71 ............................................................................................................ ‬‬
‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‪ Error! Bookmark not defined. ....................................................................... ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻟﻴﺴﺖ ﺗﺼﺎوﻳﺮ‬
‫ﺷﮑﻞ ‪ .1‬ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﺷﮑﻞ ‪ .2‬ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪ .3‬واﺣﺪ ﺟﺰء ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪ .4‬ﺗﺸﮑﻴﻞ ﮔﺮاف‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻟﻴﺴﺖ ﺟﺪاول‬
‫ﺟﺪول ‪ .1‬ﺟﺪول ﻣﺘﻐﻴﻴﺮهﺎﯼ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎﯼ ﺑﻬﺒﻮد‬
‫‪ 8‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬
‫دﻧﻴﺎﯼ‬
‫اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ‬
‫ﺑﺎﻋﺚ‬
‫ﺑﻪ‬
‫وﺟﻮد‬
‫ﺁﻣﺪن‬
‫ﮔﻮﻧﻪ‬
‫هﺎﯼ‬
‫ﺟﺪﻳﺪﯼ‬
‫از‬
‫ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن اﻧﺴﺎن هﺎ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻴﺎن ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اﯼ ﮔﺮاﻓﯽ از اﻓﺮاد ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﻪ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ ﺟﺎﻳﮕﺎﻩ ﺧﺎﺻﯽ دارﻧﺪ‪ .‬اﻣﺮوزﻩ ﮔﺴﺘﺮش و ﺑﻪ روز ﺷﺪن ﺷﺒﮑﻪ‬
‫هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎﻋﺚ ﺑﻪ وﺟﻮد ﺁﻣﺪن ﺑﺎزار هﺎﯼ ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﮐﺴﺐ و‬
‫ﮐﺎرهﺎﯼ ﻧﻮﺁوراﻧﻪ و ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪﯼ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ از ﺗﺎﺛﺮ‬
‫ﺑﻪ ﺳﺰاﯼ ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺮ روﯼ ﺗﻮدﻩ اﻓﺮاد ﻧﻴﺰ ﻧﻤﯽ ﺗﻮان‬
‫ﭼﺸﻢ ﭘﻮﺷﯽ ﮐﺮد‪ ،‬ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺳﻮق دادن ﮔﺮوهﯽ‬
‫از اﻓﺮاد ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﮏ ﺣﺮﮐﺖ‪ ،‬اﺟﺘﻤﺎع‪ ،‬ﻣﻮﺟﻮدﻳﺖ ﻳﺎ ﻳﮏ ﻣﺤﺼﻮل‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫از اﻳﻦ رو ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺴﺘﺮ ﻣﻨﺎﺳﺒﯽ را ﺟﻬﺖ ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت‬
‫اﻳﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﺪ و ﺗﺎﺛﻴﺮات ﻣﺘﻔﺎوﺗﯽ روﯼ ﺳﻠﻴﻘﻪ ﺧﺮﻳﺪ اﻓﺮاد و‬
‫ﻓﺮوش ﻣﺤﺼﻮﻻت در دﻧﻴﺎ دارد‪ .‬اهﻤﻴﺖ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع از اﻳﻦ ﺟﻬﺖ‬
‫ﺑﺎﻋﺚ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ و ﻣﺪل ﺳﺎزﯼ رﻓﺘﺎرﯼ‬
‫ﺁن ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺑﺴﻴﺎرﯼ در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺟﻬﺖ ﮔﺴﺘﺮش و ﺑﺮرﺳﯽ و ﺑﻬﺒﻮد‬
‫اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﺗﺎﺛﻴﺮات ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﻧﺠﺎم ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬هﺪف اﻳﻦ‬
‫ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ و ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻣﺪل هﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﮔﺴﺘﺮش در ﺷﺒﮑﻪ‬
‫هﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫و‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﮔﺮوﻩ‬
‫هﺎ‬
‫و‬
‫ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت‬
‫در‬
‫ﺷﺒﮑﻪ‬
‫هﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﮐﻠﻤﺎت ﮐﻠﻴﺪﯼ‪ :‬ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ ،‬ﮔﺴﺘﺮش ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪،‬‬
‫ﮔﺮوﻩ و اﺟﺘﻤﺎﻋﺎت در ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪ ،‬ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت در ﺷﺒﮑﻪ‬
‫هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫‪ 9‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﭘﻴﺸﻴﻨﻪ رﻳﺎﺿﯽ و ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺎ‪:‬‬
‫‪ ‬در ﺑﺤﺚ ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﻪ ﭘﻴﺶﻧﻴﺎزﯼ ﻣﺨﺘﺼﺮ درﺑﺎرﻩ ﻧﻈﺮﻳﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎ ﻧﻴﺎز دارﻳﻢ‪ .‬در ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﮔﺎﻩﺑﻪﮔﺎﻩ‬
‫ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻌﯽ ﺑﺮﻣﯽﺧﻮرﻳﻢ ﮐﻪ ﺧﻮاص ﮐﺎهﺸﯽ‬
‫‪1‬‬
‫دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﺁن ﻣﻌﻨﯽ ﮐﻪ‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر ﻳﮏ ﮐﺎﻻ در ﻳﮏ ﻣﮑﺎن ﻓﺮوﺧﺘﻪ ﻣﯽ‬
‫ﺷﻮد ﺳﻮد ﺁن ﺑﺴﻴﺎر زﻳﺎد ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد و ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﮐﻪ در ﻣﮑﺎن‬
‫هﺎﯼ دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ اﻳﻦ ﮐﺎﻻ ﺑﻪ ﻓﺮوش ﺑﺮﺳﺪ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﺳﻮد ﺁﻧﻬﺎ ﮐﻢ‬
‫ﻣﯽ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺜﻼ دوﻣﻴﻦ ﻣﮑﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﮐﺎﻻ را ﻣﯽ ﻓﺮوﺷﺪ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ وﺟﻮد‬
‫رﻗﻴﺐ اول ﻓﺮوش ﺁن ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ ﻣﮑﺎن اول ) اﮔﺮ ﺷﺮاﻳﻂ را ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﻢ ( ﻧﺨﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬و اﻳﻦ روﻧﺪ ﺗﺎ ﺳﻮﻣﻴﻦ ﻣﮑﺎن و ‪...‬‬
‫اداﻣﻪ ﻣﻴﺎﺑﺪ و ﺳﻮد ﮐﺎهﺶ ﭘﻴﺪا ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻳﻦ‬
‫ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻴﺸﺘﺮ در ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽ ﺷﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر‬
‫ﺧﻼﺻﻪ در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﺑﺮﺧﯽ از اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﺧﻮاهﻴﻢ‬
‫ﭘﺮداﺧﺖ‪.‬‬
‫در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ‪ V‬را ﻓﻀﺎﯼ ﺣﺎﻟﺖ در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮم‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .1‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻳﮑﻨﻮا‪ :‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﮐﻪ ﻧﻪ ﻧﺰوﻟﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻧﻪ ﺻﻌﻮدﯼ‬
‫را ﻳﮑﻨﻮا ﻣﯽﮔﻮﻳﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻮن ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﻴﺮ ﺻﻌﻮدﯼ ﻧﺨﻮاهﻴﻢ‬
‫ﭘﺮداﺧﺖ ﭘﺲ ﻣﯽﺗﻮان ﺗﻌﺮﻳﻒ را ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﻳﺮ ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮد ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫→ ‪:2‬‬
‫را ﻳﮑﻨﻮا ﮔﻮﻳﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫⊆‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Diminishing ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .2‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‪ : 2‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫→ ‪:2‬‬
‫ﮔﻮﻳﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫⊆‬
‫را ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﻣﯽ‬
‫و هﺮ‬
‫∈‬
‫ﮐﻪ‬
‫∉‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪:‬‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﺎدل ﻣﯽ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﮐﻪ‪:‬‬
‫اﮔﺮ ﺑﺨﻮاهﻴﻢ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺷﻬﻮدﯼ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﭙﺮدازﻳﻢ در‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺿﺎﻓﻪ ﮐﺮدن ﻳﮏ ﻋﻀﻮ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ وﻗﺘﯽ ﺗﻌﺪاد‬
‫اﻋﻀﺎﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﮐﻢ هﺴﺘﻨﺪ ﺗﺎﺛﻴﺮ ﺑﻴﺸﺘﺮﯼ دارد ﺗﺎ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ‬
‫ﺗﻌﺪادﺷﺎن زﻳﺎد اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :3‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﻮﭘﺮ ﻣﺎدوﻻر‬
‫‪3‬‬
‫‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫→ ‪:2‬‬
‫ﻣﯽ ﮔﻮﻳﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫∉‬
‫⊆‬
‫را ﺳﻮﭘﺮﻣﺎدوﻻر‬
‫و هﺮ‬
‫∈‬
‫ﮐﻪ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪:‬‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﺎدل ﻣﯽ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﮐﻪ‪:‬‬
‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اﯼ ﺑﺮﻋﮑﺲ ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :4‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎدوﻻ ر‬
‫‪4‬‬
‫‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﮔﻮﻳﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫→ ‪:2‬‬
‫و‬
‫را ﺳﻮﭘﺮﻣﺎدوﻻر ﻣﯽ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Submodular Functions ‬‬
‫‪ Supermodular Functions ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ Modular Function ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 11‬‬
‫‪ ‬‬
‫∪‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :5‬ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺮﻣﺎل‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬را ﻧﺮﻣﺎل ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ‬
‫اﮔﺮ ‪0‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﻳﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻳﮑﻨﻮاﯼ‬
‫‪ ،‬ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر و ﻧﺮﻣﺎل ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫و ‪ k‬ﻋﺪدﯼ ﻃﺒﻴﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺳﻮال اﺻﻠﯽ اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬اﯼ را‬
‫ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ‬
‫را ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﻨﺪ و‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺎﯼ ‪ K‬ﻋﻀﻮﯼ ﻣﺴﺌﻠﻪاﯼ‬
‫| |‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﺑﺮاﯼ‬
‫اﺳﺖ ) ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن‬
‫داد ﮐﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ ﻧﻤﻨﻮﻧﻪ ﮐﺎهﺶ دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‬
‫اﺳﺖ ( ‪ .‬در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ Error! Reference source not found.‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ‪ 1‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺿﺮﻳﺐ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫‪1‬‬
‫ﻣﯽدهﺪ‪.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‪ 1‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﺑﺮاﯼ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‬
‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ هﺎﯼ ‪ Error! Reference source not found.‬و ‪Error! Reference ‬‬
‫‪ source not found.‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ ﮐﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﯽ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎ ﺿﺮﻳﺐ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫‪1‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ دهﺪ‪:‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ ‪ .1‬ﺑﺮاﯼ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﻳﮑﻨﻮا و ﻧﺎﻣﻨﻔﯽ ‪ f‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪k‬‬
‫ﻋﻀﻮﯼ ‪ S‬را اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ در ‪ k‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻋﻀﻮﯼ ﮐﻪ‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﺑﻘﻴﻪ ﻣﻘﺪار ‪ f‬را زﻳﺎدﯼ ﻣﯽﮐﻨﺪ را ﺑﻪ ‪ S‬اﺿﺎﻓﻪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﮔﺮ *‪ S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ ‪ k‬ﻋﻀﻮﯼ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ‪ f ‬را ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ )‪ f(S‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .6‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺳﺨﺖ ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬
‫ﺳﺨﺖ ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر ‪ ‬‬
‫‪ :‬ﺑﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ A‬ﺗﻘﺮﻳﺐ‪-‬‬
‫ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد اﮔﺮ ﺑﺮاﯼ ﺁن اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ‬
‫ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬
‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪.P=NP‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫در‬
‫→ ‪:2‬‬
‫ﺗﺎﺛﻴﺮ‬
‫در‬
‫ﺑﺮﺧﯽ‬
‫از‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﺳﺮوﮐﺎر دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .7‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ در ﻳﮑﯽ از ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎر در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ هﺴﺘﻴﻢ ) ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻳﺎ ﺣﺪ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ ( و ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ در اﺑﺘﺪاﯼ ﮐﺎر زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫از راسهﺎ ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫⊂‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد راﺳﻬﺎﻳﯽ ﮐﻪ‬
‫از ﮔﺮاف ﮐﻪ ﭘﺲ از هﻤﮕﺮا ﺷﺪن رﻓﺘﺎر ﺷﺒﮑﻪ ﻓﻌﺎل هﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .8‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺗﺼﺎدﻓﯽ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﺑﺮ ﻃﺒﻖ ﻳﮏ ﻣﺪل اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ‬
‫اﻋﺪاد اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ اﻳﺠﺎد ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﻳﮏ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ‬
‫از اﻋﺪاد ﺗﺼﺎدﻓﯽ در زﻣﺎنهﺎﯼ ‪ 1‬ﺗﺎ ‪ T‬اﺳﺖ‪ .‬‬
‫ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت‪:‬‬
‫ﻧﺤﻮﻩ‬
‫ﺗﺎﺛﻴﺮﮔﺬارﯼ‬
‫اﻓﺮاد‬
‫ﺑﺮ‬
‫روﯼ‬
‫ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ‬
‫در‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺷﺒﮑﻪ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺴﻴﺎر اهﻤﻴﺖ دارد‪ ،‬ﺑﺮﺧﯽ اﻓﺮاد ﺑﻴﺸﺘﺮ و ﺑﺮﺧﯽ ﮐﻤﺘﺮ‬
‫‪ 13‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﻧﺪ‪ ،‬و از اﻳﻦ رو در ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش ﺷﺒﮑﻪ هﺎ اهﻤﻴﺖ‬
‫ﭘﻴﺪا ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫در ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻣﺎ ﮐﻪ اﮐﺜﺮا ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ ﺑﺰرگ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺛﻴﺮﮔﺬارﯼ اﻓﺮاد روﯼ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ‬
‫ﺑﻪ دو ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺮﺗﺒﻂ داﻧﺴﺖ‪ ،‬ﻳﮑﯽ ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ و دﻳﮕﺮﯼ‬
‫ﺷﻬﺮت اﻓﺮاد اﺳﺖ‪ .‬ﮐﻪ در اﻳﻦ ﻣﻴﺎن ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﺑﺰرگ ﺑﻮدن ﺷﺒﮑﻪ‬
‫ارﺗﺒﺎط اﻓﺮاد در زﻣﻴﻨﻪ ﺗﺎﺛﺮﮔﺬارﯼ ﮐﻢرﻧﮕﺘﺮ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺷﻬﺮت‬
‫ﺟﻠﻮﻩ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﻬﺮت ﻣﯽﺗﻮان ﺗﻌﺪاد ﺳﺎﻳﺖ هﺎﻳﯽ ﮐﻪ‬
‫ﺑﻪ ﻳﮏ ﺷﺨﺺ اﺷﺎرﻩ ﮐﺮدﻩ اﻧﺪ را در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و ﭼﻨﺪ درﺻﺪ ﺑﻪ‬
‫ﺻﻔﺤﺎت ﻣﺮﺗﺒﻂ ارﺟﺎع دادﻩ اﻧﺪ‪.‬در اﻳﻨﺠﺎ ﺗﺎﺑﻌﯽ از ‪ k‬در ﻧﻈﺮ‬
‫ﻣﻴﮕﻴﺮم ﮐﻪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اﯼ ﺑﺎ ﺷﻬﺮت در ارﺗﺒﺎط اﺳﺖ ﺣﺎل ﻣﯽ‬
‫ﺧﻮاهﻴﻢ ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ ﮐﻪ ﭼﻨﺪ درﺻﺪ ﺻﻔﺤﺎت وب ﺑﻪ ﺻﻔﺤﻪاﯼ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﻪ ‪k‬‬
‫ارﺟﺎع دادﻩ ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪ .‬ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﭼﻮن اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻃﺒﻴﻌﯽ‬
‫اﺳﺖ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻪ ذهﻦ ﺑﺮﺳﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ از ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻧﺮﻣﺎل‬
‫ﭘﻴﺮوﯼ ﻣﯽﮐﻨﺪ وﻟﯽ ﺁزﻣﺎﻳﺸﺎت و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﭼﻴﺰﯼ ﻋﮑﺲ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع‬
‫را ﻧﺸﺎن دادﻩ اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻨﺠﺎ ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت ﻣﻄﺮح ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﻗﺎﻧﻮن‬
‫ﻗﺪرت ﺑﻴﺸﺘﺮ در ﻣﻮاردﯼ ﮐﺎرﺑﺮد دارد ﮐﻪ ﻣﯽ ﺧﻮاهﻴﻢ ﺗﻌﺪاد‬
‫رﺧﺪاد اﺗﻔﺎﻗﯽ ﺧﺎص را ﺑﺮرﺳﯽ ﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‪ ،‬در اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽ‬
‫رﺳﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ زﻳﺎد ﺷﺪن ﺷﻬﺮت ﺗﻌﺪاد اﻓﺮادﯼ ﮐﻪ داراﯼ ﺁن ﺷﻬﺮت‬
‫هﺴﺘﻨﺪ ﮐﺎهﺶ ﭘﻴﺪا ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ و هﺮ ﭼﻪ ﺷﻬﺮت دﺳﺘﻪ اﻓﺮادﯼ ﺑﻴﺸﺘﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺗﻌﺪاد ﺁﻧﻬﺎ ﮐﻤﺘﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺎهﻴﺖ ﻣﻌﮑﻮس داﺷﺘﻦ اﻳﻦ رﺧﺪاد ﻣﯽ ﺗﻮان ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﻪ‬
‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاﯼ ﻳﮏ ‪ c‬ﺧﺎص ﺑﻪ ﺟﻮاب‬
‫ﺻﻮرت‬
‫ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﺎ ﻧﺰدﻳﮏ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬روﺷﯽ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﭘﯽ ﺑﺒﺮﻳﻢ ﮐﻪ از‬
‫ﻗﺎﻧﻮن‬
‫ﻗﺪرت‬
‫ﭘﻴﺮوﯼ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫ﻳﺎ‬
‫ﺧﻴﺮ‬
‫ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﺻﻮرت‬
‫اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻧﻤﻮدار ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ‪-‬ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ را رﺳﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ و ﻃﺒﻖ ﻓﺮﻣﻮل ﺑﻪ‬
‫‪ 14‬‬
‫‪ ‬‬
‫دﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ از ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﮔﺮﻓﺘﻦ از راﺑﻄﻪ ﻗﺒﻞ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ‬
‫ﻧﻤﻮدار ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﺧﻄﯽ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎ ﺷﻴﺐ ‪ –c‬و ﻃﻮل از‬
‫ﻣﺒﺪا ‪ –log a‬ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت را در ﭘﺪﻳﺪﻩ هﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻔﯽ ﻣﯽ ﺗﻮان ﻣﺸﺎهﺪﻩ‬
‫ﮐﺮد‪ ،‬ﻣﺜﻼ در » ﭘﺪﻳﺪﻩ ﭘﻮﻟﺪارﺗﺮ ﺷﺪن ﭘﻮﻟﺪار ه ﺎ‬
‫‪5‬‬
‫« ‪ ‬ﻣﺸﺎهﺪﻩ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﻴﺰان ﭘﻮﻟﺪار ﺷﺪن ﻳﮏ ﻓﺮد ﺑﺎ ﻣﻴﺰان ﭘﻮﻟﯽ ﮐﻪ در‬
‫ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ دارد ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻣﯽﺗﻮان رﺷﺪ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻧﻴﺰ از‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت ﭘﻴﺮوﯼ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﻴﺰان اﻓﺰاﻳﺶ ﺟﻤﻌﻴﺖ در‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺷﻬﺮهﺎﯼ ﭘﺮﺟﻤﻌﻴﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ از دﻳﮕﺮ ﺷﻬﺮهﺎ‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ﮔﺮاف‪:‬‬
‫ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‪:‬‬
‫ﺧﻮاص ﮔﺮافهﺎﯼ ﻧﻤﺎﻳﺎﻧﮕﺮ‬
‫‪ .1‬ﭘﻴﺮوﯼ از ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت‪ :‬در ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮزﻳﻊ درﺟﺎت ﮔﺮاف از‬
‫ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت ﭘﻴﺮوﯼ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس‬
‫از اﻳﻦ ﻗﺎﻧﻮن ﭘﻴﺮوﯼ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ‪ ‬‬
‫ﮐﻪ در ﺁن ‪0‬‬
‫∝‬
‫‪γ‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬‬
‫‪ .2‬ﻗﻄﺮ ﮐﻢ‪ :‬ﮔﺮاف هﺎﯼ ﻧﻤﺎﻳﺶ دهﻨﺪﻩ ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﮐﺜﺮا‬
‫داراﯼ ﻗﻄﺮ ﮐﻤﯽ هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬‬
‫در اﻳﻦ ﺑﺎرﻩ ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت دﮐﺘﺮ ﻣﻴﻠﮕﺮام و‬
‫هﻤﮑﺎراﻧﺶ اﺷﺎرﻩ ﮐﺮد‬
‫‪Reference source not found.‬‬
‫‪ .Error! ‬ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ اﻳﻦ ﺳﻮال ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ ﮐﻪ دو ﻓﺮدﯼ ﮐﻪ هﻤﺪﻳﮕﺮ را‬
‫ﻧﻤﯽﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‬
‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬
‫در‬
‫و‬
‫ﭼﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﻃﻮر‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪاﯼ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫از‬
‫هﻢ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب‬
‫در‬
‫ﺷﺪﻩاﻧﺪ‬
‫ﮔﺮاف‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺁﺷﻨﺎﻳﯽ‬
‫ﻃﻮر‬
‫ﻗﺮار‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Richer Get Richer Phenomena ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪ ‬‬
‫دارﻧﺪ‪ ،‬ﻋﺪدﯼ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺁن رﺳﻴﺪﻧﺪ ﻋﺪد ‪ 3‬ﺑﻮد در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ‬
‫ﺑﻌﺪهﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪ در ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف ‪6‬‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد و هﺮ ﻓﺮد ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ 6‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎ ﻧﻔﺮ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫دﻳﮕﺮ‬
‫ﻗﺮار‬
‫دارد‪.‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﺘﺎ‬
‫ﻗﻄﺮ‬
‫ﮔﺮاف‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺷﺒﮑﻪ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﺰرگ) ﻣﺜﻞ ﻓﻴﺲﺑﻮﮎ ( هﻢ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﻴﺎر‬
‫ﮐﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﻳﻒ وﻳﮑﯽﭘﺪﻳﺎ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺳﺎﺧﺘﺎرﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻣﺘﺸﮑﻞ‬
‫از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ رﺋﻮس اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ هﻢ ارﺗﺒﺎط دارﻧﺪ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ‬
‫ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﺎﻧﯽ ﻣﺘﻔﺎوﺗﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺎﻧﻨﺪ دوﺳﺘﯽ‪،‬‬
‫رواﺑﻂ ﻣﺎﻟﯽ‪ ،‬اﺷﺘﺮاﮎ هﺎﯼ ﻣﺮﺗﺒﻂ و ﻏﻴﺮﻩ‪ .‬ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اﯼ ﺑﺴﺘﺮ ﺗﻌﺎﻣﻠﯽ اﻧﺴﺎﻧﯽ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺁن در ﻳﮏ‬
‫ﭘﺎﻳﮕﺎﻩ دادﻩ ذﺧﻴﺮﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬در ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﻋﻀﺎ روﯼ‬
‫هﻢ‬
‫ﺗﺎﺛﻴﺮ‬
‫ﻣﯽﮔﺬارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻣﻌﻨﯽ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﻤﮑﻦ‬
‫اﺳﺖ‬
‫ﻋﻤﻠﮑﺮد‬
‫ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ را ﺗﻐﻴﻴﺮ دهﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل در ﻳﮏ ﮔﺮوﻩ دوﺳﺘﯽ‬
‫ﺧﺮﻳﺪ ﻳﮏ ﺟﻨﺲ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺳﻠﻴﻘﻪ دﻳﮕﺮ دوﺳﺘﺎن ﻳﺎ ﻧﻈﺮ ﺁﻧﻬﺎ را‬
‫در ﻣﻮرد ﺁن ﺟﻨﺲ و ﺧﺮﻳﺪ ﺁن ﺗﻐﻴﻴﺮ دهﺪ‪ .‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪1‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪ هﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻔﯽ از ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ را در ﻃﻮل زﻣﺎن‬
‫ﻣﺸﺎهﺪﻩ ﮐﺮدﻩ اﻳﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ رﻓﺘﺎر هﺎ و ﻋﮑﺲاﻟﻌﻤﻞهﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻔﯽ در‬
‫ﺟﺎﻣﻌﻪ روﺑﺮو ﺷﺪﻩاﻧﺪ و ﺑﻌﻀﺎ رﺷﺪ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺮﻳﻌﯽ داﺷﺘﻪاﻧﺪ و در‬
‫ﺳﻄﺢ ﺟﻬﺎﻧﯽ ﮔﺴﺘﺮدﻩ ﺷﺪﻩاﻧﺪ و ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ ﻓﻀﺎﯼ اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ و‬
‫ﮐﺴﺐوﮐﺎر را ﮔﺎهﺎ ﻣﺘﺤﻮل ﮐﺮدﻩاﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳﻦ ﮔﺴﺘﺮدﮔﯽ و‬
‫اهﻤﻴﺖ ﺑﺎﻋﺚ اﻳﺠﺎد زﻣﻴﻨﻪهﺎﯼ ﭘﮋوهﺸﯽ ﮔﺴﺘﺮدﻩاﯼ در ﻋﻠﻮم ﻣﺨﺘﻠﻒ‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺑﺮرﺳﯽ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ در ﺟﻨﺒﻪ هﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻒ‬
‫ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓﯽ ﺳﺮﻣﺎﻳﻪﮔﺬارﯼهﺎﯼ ﺑﺴﻴﺎرﯼ ﻧﻴﺰ در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ‬
‫ﺷﺪﻩ اﺳﺖ و ﺷﺮﮐﺖهﺎﯼ ﺑﺴﻴﺎرﯼ ﺑﻪ ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت و ﺳﺮﻣﺎﻳﻪﮔﺬارﯼ در‬
‫ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺒﮑﻪهﺎﻳﯽ روﯼ ﺁوردﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ 17‬‬
‫‪ ‬‬
‫وﺟﻮد ﺗﻌﺪاد زﻳﺎد اﻋﻀﺎ و ﻗﻄﺮ ﮐﻢ ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎﻋﺚ ﺑﻪ‬
‫وﺟﻮد ﺁﻣﺪن ﻣﺪل هﺎﯼ ﺟﺪﻳﺪﯼ ﺑﺮاﯼ ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫ﮐﺮد‪.‬‬
‫ﮔﺴﺘﺮش در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﻓﺮاد روﯼ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ ﺗﺎﺛﻴﺮ دارﻧﺪ و ﻋﻼﻳﻖ‬
‫و ﺳﻠﻴﻘﻪهﺎﯼ اﻓﺮاد ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ روﯼ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ ﺗﺎﺛﻴﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش و ﻣﺪل ﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش ﺷﺒﮑﻪ‬
‫هﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اهﻤﻴﺖ ﭘﻴﺪا ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪ .‬از اﻳﻦ رو ﺑﺮرﺳﯽ روش هﺎ و‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫اﻓﺮاد‬
‫روﯼ‬
‫ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ‬
‫و‬
‫ﻣﺪلﺳﺎزﯼ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺴﻴﺎر اهﻤﻴﺖ ﭘﻴﺪا ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﺷﺎﺧﻪ هﺎﯼ‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻋﻠﻮم ﻣﺴﺌﻠﻪ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﮐﺎرﺑﺮد هﺎﯼ ﻣﺨﺘﻠﻒ‬
‫اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع در ﻣﺴﺎﺋﻠﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺑﺮرﺳﯽ ﮔﺴﺘﺮش اﻓﮑﺎر و ﻋﻘﺎﻳﺪ‪،‬‬
‫ﭘﺬﻳﺮش ﺣﺮﮐﺎت ﺳﻴﺎﺳﯽ‪ ،‬ﭘﺬﻳﺮش ﺗﮑﻨﻮﻟﻮژﯼ و ﺑﻪ ﺧﺼﻮص در اﻗﺘﺼﺎد و‬
‫ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺎزار و ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت ﺑﺴﻴﺎر اهﻤﻴﺖ ﭘﻴﺪا ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫در‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﺑﺮﺧﯽ روش هﺎﯼ ﻣﺪل ﺳﺎزﯼ ﻣﯽ‬
‫ﭘﺮدازﻳﻢ و ﺳﭙﺲ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﯼ ﮐﻪ ﭘﻴﺶ رو دارﻳﻢ اﻳﻦ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ﮐﻪ‬
‫ﺁﻳﺎ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اوﻟﻴﻪ از اﻓﺮاد را ﭘﻴﺪا‬
‫ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﺎﺛﻴﺮﮔﺬارﯼ ﺑﺮ روﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﮔﺴﺘﺮش را در‬
‫ﺷﺒﮑﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ؟‬
‫‪ 18‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .9‬ﻣﺪل اﺛﺮﮔﺬار ﯼ‪ : 6‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻋﻀﺎﻳﺶ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ اﻓﺮاد ﻓﻌﺎل اوﻟﻴﻪ دادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺑﺸﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺪل‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫اﻣﻴﺪ‬
‫رﻳﺎﺿﯽ‬
‫اﻓﺮادﯼ‬
‫ﮐﻪ‬
‫در‬
‫ﻧﻬﺎﻳﺖ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻣﯽدهﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖﺗﺮ اﮔﺮ اﻋﻀﺎﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫اوﻟﻴﻪ ‪ V‬ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ k‬ﻋﻀﻮﯼ ‪ A‬از اﻳﻦ اﻓﺮاد را داﺷﺘﻪ‬
‫‪ σ‬را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻣﯽدهﺪ ﮐﻪ اﻣﻴﺪ‬
‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﻣﺪل اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﻋﺪد‬
‫رﻳﺎﺿﯽ اﻓﺮادﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫دو ﻣﺪل اوﻟﻴﻪ ﺗﻮﺳﻂ رﻳﭽﺎردﺳﻮن و دوﻣﻴﻨﮕﻮس‬
‫‪found.‬‬
‫و‬
‫‪Error! Reference source not found.‬‬
‫‪Error! Reference source not ‬‬
‫اراﺋﻪ ﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﻬﺎ اﺷﺎرﻩ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫‪7‬‬
‫‪ ‬در اﻳﻦ ﻣﺪل ﮐﻞ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮏ ﮔﺮاف ﻧﻤﺎﻳﺶ دادﻩ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ در ﺁن رﺋﻮس ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ اﻓﺮاد و ﻳﺎل هﺎ ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ‬
‫ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن ﺁﻧﻬﺎ هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮﺧﯽ از راس هﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭘﻴﺶ ﻓﺮض‬
‫ﻓﻌﺎل و ﺑﻘﻴﻪ ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬وزن ﻳﺎلهﺎ ﻋﺪدﯼ ﻣﻴﺎن ﺻﻔﺮ و ﻳﮏ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ اﺣﺘﻤﺎل ﻓﻌﺎل ﺷﺪن ﺁﻧﻬﺎ اﺳﺖ‪.‬‬
‫هﺮﮔﺎﻩ راﺳﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ v‬ﻓﻌﺎل ﻣﯽ ﺷﻮد ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ راس‬
‫هﺎﯼ هﻤﺴﺎﻳﻪ ﺧﻮد را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ اﺣﺘﻤﺎل ﺑﺮاﺑﺮ وزن ﻳﺎل‬
‫ارﺗﺒﺎﻃﯽ ﻣﻴﺎن راس ‪ v‬و راس ‪ ) u‬راﺳﯽ ﮐﻪ‬
‫را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ (‬
‫‪,‬‬
‫‪ v ‬ﺷﺎﻳﺪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺁن‬
‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻓﻌﺎل ﺳﺎزﯼ ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ ﮐﻪ ﮔﻔﺘﻪ‬
‫ﺷﺪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻪ ﺑﺎر ﺻﻮرت ﻣﯽﮔﻴﺮد‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ ﮐﻪ اﮔﺮ ﺑﺎ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺮﺑﻮط راس ‪ v‬ﻧﺘﻮاﻧﺴﺖ راس ‪ u‬را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ دﻳﮕﺮ راس ‪v‬‬
‫ﺷﺎﻧﺴﯽ ﺑﺮاﯼ اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﺑﺮ راس ‪ u‬ﻧﺨﻮاهﺪ داﺷﺖ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Influence Model ‬‬
‫‪ Independent Cascade Model ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 19‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ در ﻗﺪم ‪ t‬اﺑﺘﺪا راس ‪ v ‬ﻓﻌﺎل ﺷﻮد‪ ،‬اﻳﻦ راس اﻳﻦ ﺷﺎﻧﺲ‬
‫را دارد ﮐﻪ هﺮﮐﺪام از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ﺧﻮد را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪﻩ‬
‫ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ v‬ﻣﻮﻓﻖ ﺷﻮد ﺁﻧﮕﺎﻩ راس ‪ u‬در ﻗﺪم ‪ t+1‬ﻓﻌﺎل ﻣﯽ‬
‫ﺷﻮد وﻟﯽ ﭼﻪ در ﺻﻮرت ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ راس ‪ v‬ﭼﻪ در ﺻﻮرت ﺷﮑﺴﺖ ﺁن در‬
‫ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ راس ‪ ،u‬دﻳﮕﺮ ﺷﺎﻧﺲ ﻓﻌﺎل ﺳﺎزﯼ ﺁن را در دورﻩ هﺎﯼ‬
‫ﺑﻌﺪﯼ از دﺳﺖ ﺧﻮاهﺪ داد‪ .‬اﻳﻦ روﻧﺪ ﺗﺎ ﺟﺎﻳﯽ اداﻣﻪ ﭘﻴﺪا ﻣﯽ‬
‫ﮐﻨﺪ ﮐﻪ دﻳﮕﺮ راس ﻓﻌﺎﻟﯽ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ ﺑﺮاﯼ درﮎ ﺑﻬﺘﺮ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫‪found.‬‬
‫‪Error! Reference source not ‬‬
‫ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪. 2‬ﺑﺮاﯼ هﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺧﺮوﺟﯽ‬
‫‪ σ 0‬ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺷﺮوع اﺛﺒﺎت ﺑﺎﻳﺪ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫∪‬
‫‪ σ‬ﺑﻪ‬
‫ازاﯼ هﺮ ‪ A‬و ‪ v‬دﻟﺨﻮاﻩ ﮐﻪ در ﺁن ‪ A‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ از رﺋﻮس اوﻟﻴﻪ‬
‫ﻓﻌﺎل و ‪ v‬راﺳﯽ ﺧﺎرج از اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺷﺮوع ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ‬
‫ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ ﻣﺎ ﭼﻘﺪر ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ راس ‪ v‬را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬اﺿﺎﻓﻪ ﮐﻨﻴﻢ؟‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣﺪل ﻣﺸﮑﻞ ﺳﺎزﯼ در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﮐﻪ ﻣﺎ ﺗﺮﺗﻴﺒﯽ ﮐﻪ رﺋﻮس ﺟﺪﻳﺪ در هﺮ ﻗﺪم ﻓﻌﺎل‬
‫ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ و ﺳﻌﯽ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ رﺋﻮس هﻤﺴﺎﻳﻪ ﺧﻮد را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﻨﺪ را‬
‫ﻧﻤﯽ داﻧﻴﻢ از ﻃﺮﻓﯽ ﺑﺮرﺳﯽ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳﻨﮑﻪ ﻣﺎ ﻧﻤﯽ‬
‫داﻧﻴﻢ رﺋﻮس ﺑﻪ ﭼﻪ ﺗﺮﺗﻴﺒﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺸﮑﻞ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ دﻟﻴﻞ از روﺷﯽ دﻳﮕﺮ ﺟﻬﺖ ﺁﺳﺎﻧﺘﺮ ﮐﺮدن اﻳﻦ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬
‫ﺧﻮاهﻴﻢ ﮐﺮد‪.‬‬
‫‪ 20‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ در ﻗﺪﻣﯽ هﺴﺘﻴﻢ ﮐﻪ راس ‪ v‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ و ﻗﺼﺪ دارد ﮐﻪ‬
‫هﻤﺴﺎﻳﻪﯼ ‪ w‬را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻧﮑﺘﻪ ﻣﻬﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫‪,‬‬
‫ﮐﻪ اﻳﻦ اﺗﻔﺎق ) ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ ( ﻣﺴﺘﻘﻞ از زﻣﺎن اﻧﺠﺎم ﺷﺪﻧﺶ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ ﮐﻪ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ راس ‪ w‬ارﺗﺒﺎﻃﯽ ﺑﻪ ﻓﻌﺎل ﺷﺪن ﺑﻘﻴﻪ‬
‫رﺋﻮس دﻳﮕﺮ ﻧﺪارد‪ .‬درﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﺮﺗﺎب ﺳﮑﻪ اﺳﺖ‪ ،‬دﻳﺮ ﻳﺎ زود‬
‫ﻣﯽ‬
‫ﺗﻮاﻧﺪ‬
‫درخ‬
‫ﺑﺪهﺪ‬
‫اﻣﺎ‬
‫در‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬
‫ﺗﺎﺛﻴﺮﯼ‬
‫ﻧﺪارد‪.‬‬
‫ﻳﻌﻨﯽ‬
‫اهﻤﻴﺘﯽ ﻧﺪارد ﮐﻪ ﺁﻳﺎ ﺳﮑﻪ در ﻟﺤﻈﻪاﯼ ﮐﻪ ‪ v‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ ﭘﺮﺗﺎب‬
‫ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﻳﺎ اﻳﻨﮑﻪ ﺳﮑﻪ در اﺑﺘﺪاﯼ ﮐﻞ اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﭘﺮﺗﺎب ﺷﺪﻩ‬
‫اﺳﺖ و اﻻن ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺁن ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ هﻤﻴﻦ ﺧﺎﻃﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﺮﺗﺎب‬
‫ﺳﮑﻪ ﻣﯽﺗﻮان ﺁن را ﭘﺮﺗﺎب ﮐﺮد و ﻧﺘﻴﺠﻪ را ذﺧﻴﺮﻩ ﮐﺮد‪ ،‬در‬
‫اﻳﻨﺠﺎ هﻢ ﻣﯽﺗﻮان ﺗﻤﺎم اﺣﺘﻤﺎﻻت را ﺣﺴﺎب ﮐﺮد و ذﺧﻴﺮﻩ ﮐﺮد ﮐﻪ‬
‫ﻣﺜﻼ ﺁﻳﺎ ﺑﺎ ﻓﻌﺎل ﺷﺪن ‪ w‬راس ‪ v‬ﻧﻴﺰ ﻓﻌﺎل ﻣﯽ ﺷﻮد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟‬
‫ﺟﻮاب را ﺑﻪ ﺻﻮرت )‪ (w,v‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﯽدهﻴﻢ‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ دوﺗﺎﻳﯽ )‪ (v,w‬را در ﮔﺮاف‪ ،‬ﻳﮏ ﺳﮑﻪ ﻧﺎﻣﺘﻘﺎرن ﺑﺎ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪,‬‬
‫ﭘﺮﺗﺎب ﺷﺪﻩ اﺳﺖ) ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺗﻤﺎم ﺳﮑﻪ‬
‫هﺎ ﺑﺮاﯼ هﻤﻪ دوﺗﺎﻳﯽ هﺎﯼ هﻤﺴﺎﻳﻪ (‪ ،‬و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اﯼ‬
‫ذﺧﻴﺮﻩ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ در زﻣﺎنهﺎﯼ ﺑﻌﺪﯼ ﺑﺘﻮان ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮد ﮐﻪ ﺁﻳﺎ ‪v‬‬
‫ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ ‪ w‬هﻨﻮز ﻏﻴﺮ ﻓﻌﺎل اﺳﺖ‪.‬‬
‫در ﺣﺎﻟﺘﯽ ﮐﻪ ﮐﻞ ﺳﮑﻪ هﺎﯼ ﭘﻴﺸﺎﭘﻴﺶ ﭘﺮﺗﺎب ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬روﻧﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻳﺎلهﺎﯼ ‪ G‬را ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ زﻧﺪ ﻩ‬
‫‪8‬‬
‫و ﻣﺴﺪو د‬
‫‪9‬‬
‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ و‬
‫ﺁﻧﻬﺎ را ﺑﺮﭼﺴﺐﮔﺬارﯼ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ ﻳﺎلهﺎﻳﯽ زﻧﺪﻩ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ در ﺁﻧﻬﺎ ﻣﻮﻓﻘﻴﺖﺁﻣﻴﺰ ﺑﻮدﻩ اﺳﺖ و ﻣﺴﺪود‬
‫ﺑﻪ ﺁﻧﻬﺎﻳﯽ ﺗﻌﻠﻖ ﻣﯽﮔﻴﺮد ﮐﻪ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ در ﺁﻧﻬﺎ ﻣﻮﻓﻘﻴﺖﺁﻣﻴﺰ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Live ‬‬
‫‪ Blocked ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻧﺒﻮدﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ هﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﭼﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﻳﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺎﻻ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ادﻋﺎ ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ راس ‪ x‬ﻓﻌﺎل اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬
‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺴﻴﺮﯼ از راس ‪ A‬ﺑﻪ ‪ x‬ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ ﻳﺎل هﺎ در‬
‫ﺁن‬
‫ﻣﺴﻴﺮ‬
‫زﻧﺪﻩ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬
‫)‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﺴﻴﺮ‬
‫ﻣﺴﻴﺮ‪،‬‬
‫ﻳﺎل‪-‬زﻧﺪ ﻩ‬
‫‪10‬‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ (‪ .‬ﺣﺎﻻ ﻓﻀﺎﯼ ﺣﺎﻟﺘﯽ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ هﺮ ﻧﻘﻄﻪ در‬
‫ﺁن ﻓﻀﺎﯼ ﺣﺎﻟﺖ‪ ،‬ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺤﺘﻤﻞ از ﺧﺮوﺟﯽ ﺑﺮﭼﺴﺐ‬
‫ﻳﺎلهﺎ اﺳﺖ و ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ‪ X‬ﻧﻴﺰ ﻳﮏ ﻧﻘﻄﻪ در اﻳﻦ ﻓﻀﺎﯼ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎﻻ‬
‫‪ σ A‬را ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ رﺋﻮﺳﯽ در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮم ﮐﻪ‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻓﻌﺎل اوﻟﻴﻪ ‪ A‬ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻳﻌﻨﯽ ‪ A‬ﻓﻌﺎلﮐﻨﻨﺪﻩ‬
‫اوﻟﻴﻪ ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻮدﻩ اﺳﺖ‪ ،‬و ‪ X‬هﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺧﺮوﺟﯽ ﺗﻤﺎﻣﯽ ﭘﺮﺗﺎبهﺎﯼ‬
‫ﺳﮑﻪ ﺑﺮاﯼ ﻳﺎلهﺎ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﮐﻪ ﻣﺎ ﻣﻘﺪارﯼ ﺛﺎﺑﺖ را‬
‫ﺑﺮاﯼ ‪ X‬دارﻳﻢ‪،‬‬
‫‪ σ A‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻳﮏ ﮐﻤﻴﺖ ﻗﻄﻌ ﯽ‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻃﺒﻴﻌﯽ ﺁن وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺣﺎل‬
‫‪,‬‬
‫‪11‬‬
‫اﺳﺖ و راهﯽ‬
‫ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ ﮐﻞ‬
‫رﺋﻮﺳﯽ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ‪ v‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ هﺴﺘﻨﺪ) ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ ﮐﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺴﻴﺮﯼ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم ﻳﺎلهﺎﯼ ﺁن زﻧﺪﻩ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ اﺳﺖ(‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺁﻧﭽﻪ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ‬
‫‪ σ A‬ﺗﻌﺪاد‬
‫رﺋﻮﺳﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮان در ﻣﺴﻴﺮهﺎﯼ ﻳﺎل‪-‬زﻧﺪﻩ از هﺮ راس در ‪A‬‬
‫ﺑﻪ ﺁﻧﻬﺎ رﺳﻴﺪ ﻳﻌﻨﯽ در واﻗﻊ‬
‫ﺣﺎﻻ‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫∪‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻرﻳﺘﯽ‬
‫‪.σ A‬‬
‫ﻣﺪل‬
‫اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫ﺑﭙﺮدازﻳﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪،X‬‬
‫‪σ 0‬‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪.‬ﺑﺮاﯼ اﺛﺒﺎت اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ‪ S‬و ‪ T‬دو‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از رﺋﻮس ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرﯼ ﮐﻪ‪:‬‬
‫⊆‬
‫و ﻣﻘﺪار ∪‬
‫‪σ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Live Edge ‬‬
‫‪ Deterministic Quantity ‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪σ S‬‬
‫‪,‬‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎﯼ‬
‫‪,‬‬
‫را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ ﮐﻪ در اﺟﺘﻤﺎع‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫اﻧﺪازﻩ‬
‫‪,‬‬
‫اﺟﺘﻤﺎع) ﺑﺰرﮔﺘﺮ (‬
‫ﺗﻌﺪاد‬
‫∈‬
‫∈‬
‫∪ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ‬
‫‪,‬‬
‫اﻋﻀﺎﯼ‬
‫ﮐﻪ‬
‫اﺳﺖ‬
‫در‬
‫∪ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ‬
‫ﮐﻪ ‪:‬‬
‫ﮐﻪ دﻗﻴﻘﺎ هﻤﺎن ﻧﺎﻣﺴﺎوﯼ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻرﻳﺘﯽ اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﻬﺎﻳﺖ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮﺳﯽ ﮐﻪ ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩاﻧﺪ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫ﺧﺮوﺟﯽ‬
‫وﻟﯽ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺧﻄﯽ‬
‫ﺗﺮﮐﻴﺐ‬
‫از‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﻧﻴﺰ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫ﻏﻴﺮﻣﻨﻔﯽ‬
‫‪ σ 0‬هﻢ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺪل اراﺋﻪ ﺷﺪﻩ ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ‪:‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .3‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫‪ NP‐Complete‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫را در‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫ﻣﺮﺟﻊ‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ‪ NP‐Complete‬ﭘﻮﺷﺶ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪا ﯼ‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‬
‫‪,…,‬‬
‫ﮐﻪ‬
‫‪,‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﯽﺧﻮاهﻴﻢ‬
‫‪,S ,…,S‬‬
‫از‬
‫ﺑﺪاﻧﻴﻢ‬
‫ﺁﻳﺎ‬
‫‪k‬ﺗﺎ‬
‫از‬
‫اﻳﻦ‬
‫زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﺸﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ ﻣﺮﺟﻊ‬
‫ﺷﻮﻧﺪ؟‬
‫ﺣﺎل‬
‫ﻧﺸﺎن‬
‫ﻣﯽدهﻴﻢ‬
‫ﮐﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﺧﺎص‬
‫از‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Set Cover ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 23‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﻳﮏ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﻮﺷﺶ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ ﺑﻪ ﻣﺎ دادﻩ ﺷﺪﻩ‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺎل ﻳﮏ ﮔﺮاف ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺟﻬﺖ دار دوﺑﺨﺸﯽ ﺑﺎ ‪ n+m‬راس را ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫در ﺑﺨﺶ اول و ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﻋﻀﻮ‬
‫دوم ﻣﯽدهﻴﻢ و ﻳﺎل )‪ (I,j‬را ﺑﻪ ﺷﺮ ط‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫ﻳﮏ راس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﯼ ‪i‬‬
‫ﻳﮏ راس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ در ‪ j‬در ﺑﺨﺶ‬
‫∈‬
‫ ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ‬
‫را رﺳﻢ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﻮﺷﺶ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ ﻣﻌﺎدل اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﮐﻪ‬
‫ﺁﻳﺎ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬ﺑﺎ ‪ k‬راس در اﻳﻦ ﮔﺮاف ﺑﺎ وﻳﮋﮔﯽ‬
‫وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬دﻗﺖ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ را ﻳﮏ‬
‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻗﻄﻌﯽ درﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻴﻢ ) ﮐﻪ ﺗﻤﺎم اﺣﺘﻤﺎﻻت ‪ 0‬ﻳﺎ ‪ 1‬هﺴﺘﻨﺪ‬
‫(‪ .‬ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ ‪ k‬راس اوﻟﻴﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎ در ﻳﮏ راﻩﺣﻞ‬
‫ﭘﻮﺷﺶ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ‬
‫ﻣﻨﺠﺮ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ‬
‫ﮐﻞ‬
‫‪n‬‬
‫راس‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اوﻟﻴﻪ ‪ U‬ﻣﯽ ﺷﻮد و اﮔﺮ هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ k‬ﻋﻀﻮﯼ ‪ A‬داراﯼ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺖ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ ﺑﺎﻳﺪ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‬
‫‪13‬‬
‫‪ ‬‬
‫در اﻳﻦ ﻣﺪل ﻧﻴﺰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎ‬
‫ﻳﮏ ﮔﺮاف ﻣﺪل ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ اﻓﺮاد ﺑﻪ ﺻﻮرت راس و ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن‬
‫اﻓﺮاد ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ دادﻩ ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬از ﻃﺮﻓﯽ هﺮ راس‬
‫داراﯼ دو وﺿﻌﻴﺖ ﻓﻌﺎل و ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل اﺳﺖ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﻓﺮد‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Linear Threshold Model ‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ 24‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ v‬ﺑﺮ ﻓﺮد ‪ u‬را ﺑﺎ وزن ﺑﻴﻦ دو ﻳﺎل‪ ،‬ﮐﻪ ﺑﺎ‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﯽدهﻴﻢ‪،‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﻴﺎن ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ وزن ﻳﺎ هﻤﺎن اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∑ ‪ .‬روﻧﺪ اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪ θ‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ از‬
‫هﺮ راس ‪ v‬داراﯼ ﻳﮏ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﺑﺎزﻩ ]‪ [0,1‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﺎدﻓﯽ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﺷﻮد‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﻧﺴﺒﺖ‬
‫وزﻧﯽ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﯽ از ‪ v‬ات ﮐﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻓﻌﺎل ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫ﺷﺪن‬
‫‪v‬‬
‫ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺎ‬
‫داﺷﺘﻦ‬
‫اﻧﺘﺨﺎبهﺎﯼ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫) ﮐﻪ در اﻳﻦ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎ و ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از رﺋﻮس ﻓﻌﺎل اوﻟﻴﻪ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻘﻴﻪ رﺋﻮس ﮐﺎﻣﻼ ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل هﺴﺘﻨﺪ (‪ ،‬ﻣﺮاﺣﻞ اﻧﺘﺸﺎر ﺑﻪ‬
‫ﻃﻮر ﻗﻄﻌﯽ در ﻗﺪم هﺎﯼ ﻣﺠﺰاﯼ زﻳﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪:‬‬
‫‪ .1‬در ﻗﺪم ‪ ،t‬ﮐﻞ رﺋﻮﺳﯽ ﮐﻪ در ﻗﺪم ‪ t‐1‬ﻓﻌﺎل ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫ﻓﻌﺎل ﺑﺎﻗﯽ ﺧﻮاهﻨﺪ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬‬
‫‪ .2‬راس‬
‫‪v‬‬
‫را‬
‫در‬
‫ﺻﻮرﺗﯽ‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ﻓﻌﺎل ﺁن ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﺟﻤﻊ‬
‫وزنهﺎﯼ‬
‫‪ θ‬ﺑﺎﺷﺪ ﻳﻌﻨﯽ ‪ :‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻃﻮر ﺷﻬﻮدﯼ ﮔﺮاﻳﺶ ﭘﻨﻬﺎن‬
‫ﻣﺘﻔﺎوت راسهﺎ را ﺑﻪ اﺗﺨﺎذ ﺗﺼﻤﻴﻢهﺎﯼ ﺟﺪﻳﺪ و ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻦ ﻣﻮارد‬
‫ﺟﺪﻳﺪﯼ ﮐﻪ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺸﺎن ﻣﯽ ﭘﺬﻳﺮﻧﺪ‪ ،‬دارﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن هﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ از ارزش واﻗﻌﯽ ﺁﻧﻬﺎ‬
‫اﻃﻼﻋﯽ ﻧﺪارﻳﻢ‪ ،‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﺎ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻨﯽ روﯼ ﮐﻞ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫هﺎﯼ ﻣﻤﮑﻦ ﺑﺮاﯼ ﺗﻤﺎﻣﯽ رﺋﻮس ﻣﻴﮕﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬
‫‪ 25‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ درﺑﺎرﻩ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﺧﺮوﺟﯽ ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل ﺣﺪ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺁن را ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫ﺑﻴﺎن ﮐﺮدﻳﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ . 4‬ﺑﺮاﯼ هﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪﯼ ﺧﻄﯽ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺧﺮوﺟﯽ‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬اﺛﺒﺎت اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﮐﻤﯽ ﭘﻴﭽﻴﺪﻩﺗﺮ از ﻗﻀﻴﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺁن‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‪ .‬وﻟﯽ از ﺑﻌﻀﯽ ﻣﻮارد ﻣﺸﺎﺑﻪ از‬
‫ﺁن ﻗﻀﻴﻪ ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻬﺮﻩ ﺑﺮد‪ .‬ﺁﻧﭽﻪ ﺑﻬﺘﺮ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽرﺳﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‪ ،‬رﻓﺘﺎر ﻣﺪل را ﭘﺲ از اﻳﻨﮑﻪ ﮐﻞ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫رﺋﻮس‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫در‬
‫ﺷﺪﻧﺪ‬
‫ﻧﻈﺮ‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪.‬وﻟﯽ‬
‫در‬
‫اﺛﺒﺎت اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳﻨﮑﻪ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻣﻘﺪارﯼ ﺛﺎﺑﺖ ﻧﻴﺴﺖ‬
‫و ﻧﻤﯽﺗﻮان ﺁن را ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺮض ﮐﺮد و ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس ﻓﻌﺎل‬
‫داد‬
‫ﻧﻈﺮﯼ‬
‫و‬
‫اﺳﺘﺪﻻل‬
‫ﮐﺮد‬
‫و‬
‫در‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫رﺋﻮس‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر را ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻧﻤﯽدهﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﺳﺘﺪﻻل را ﮐﻤﯽ‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽدهﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻳﺎدﺁورﯼ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ هﺮ راس ‪ v‬داراﯼ وزن اﺛﺮ ‪0‬‬
‫از ﻃﺮف‬
‫‪,‬‬
‫هﺮﮐﺪاﻣﻴﮏ از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪ w‬ﺧﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺤﺪودﻳﺖ ‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫∑ را‬
‫را‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﻧﻮﺷﺘﻦ‬
‫ﻧﻴﺰ‬
‫‪0‬‬
‫دارا‬
‫‪,‬‬
‫اﺳﺖ‬
‫)‬
‫اﻟﺒﺘﻪ‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ‪ w‬هﻤﺴﺎﻳﻪ‬
‫ﻣﯽﺗﻮان‬
‫ﻧﻤﺎدﮔﺬارﯼ‬
‫‪ v‬ﻧﻴﺴﺖ ﮐﺎﻣﻞ ﮐﺮد (‪ .‬ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫‪ v‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻳﮑﯽ از ﻳﺎلهﺎﯼ ورودﯼاش را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ و هﻴﭻ ﻳﺎﻟﯽ را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪,‬‬
‫∑‬
‫‪,‬‬
‫اﻧﺘﺨﺎب‬
‫‪ 1‬اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻳﺎل اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ را زﻧﺪﻩ و دﻳﮕﺮ ﻳﺎلهﺎ را ﻣﺴﺪود درﻧﻈﺮ‬
‫ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪ ).‬ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺗﻀﺎد اﺛﺒﺎت را ﺑﺎ اﺛﺒﺎت ﻗﻀﻴﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﮐﻨﻴﺪ‪ ،‬در ﺁﻧﺠﺎ ﻣﺎ زﻧﺪﻩ ﺑﻮدن‬
‫ﻳﺎل را ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﺮاﯼ دﻳﮕﺮ ﻳﺎلهﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽﮐﺮدﻳﻢ‪ ،‬در‬
‫‪ 26‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﻳﻨﺠﺎ ﻣﺎ در ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎت را ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﯽداﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ ﮐﻪ‬
‫ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻳﮏ ﻳﺎل زﻧﺪﻩ ﺑﺮاﯼ هﺮ راس وﺟﻮد دارد‪(.‬‬
‫ﻧﻘﻄﻪ ﺣﺴﺎس و ﭘﻴﭽﻴﺪﻩ اﺛﺒﺎت ﺑﺮ ﭘﺎﻳﻪﯼ ادﻋﺎ اﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ در‬
‫اداﻣﻪ ﻣﯽﺁﻳﺪ و در ﺁن ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‬
‫ﻣﻌﺎدل ﻣﺴﻴﺮ دﺳﺘﺮﺳﯽ از ﻃﺮﻳﻖ ﻳﮏ ﺳﺮﯼ ﻳﺎل زﻧﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﺁن‬
‫ﺑﺮاﺑﺮﯼ اﺛﺒﺎت ﺷﻮد‪ ،‬اﺛﺒﺎت ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻧﻴﺰ ﻣﺎﻧﻨﺪ اﺛﺒﺎت‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻣﯽﺗﻮان ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫‪,‬‬
‫ﻗﺒﻞ‬
‫را ﺗﻌﺮﻳﻒ ﮐﺮد و‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‬
‫‪σ A‬‬
‫ﻧﻴﺰ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬
‫‪,‬‬
‫‪ σ 0‬ﮐﻪ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺧﻄﯽ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻔﯽ از‬
‫∈‬
‫∪‬
‫‪σ 0‬‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ادﻋﺎ ‪ . 1‬ﺑﺮاﯼ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف‬
‫‪14‬‬
‫‪ ،A‬دو ﺗﻮزﻳﻊ زﻳﺮ روﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫رﺋﻮس ﺁﻧﻬﺎ ﻳﮑﺴﺎن هﺴﺘﻨﺪ‬
‫‪i‬‬
‫ﺗﻮزﻳﻊ روﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎﻟﯽ ﮐﻪ ﺑﺎ اﺟﺮاﯼ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‬
‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩاﻧﺪ و‬
‫‪ ii‬ﺗﻮزﻳﻊ روﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ از ‪ A‬از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺴﻴﺮهﺎﯼ‬
‫ﻳﺎل‪-‬زﻧﺪﻩ‪ ،‬ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻳﺎلهﺎﯼ زﻧﺪﻩ اﺷﺎرﻩ ﺷﺪﻩ‪.‬‬
‫اﺛﺒﺎت‪.‬‬
‫ﺑﺎﻳﺪ اﺛﺒﺎت ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ دﺳﺘﺮﺳﯽ ﻣﺎ ﺗﺤﺖ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫ﻳﺎلهﺎﯼ زﻧﺪﻩ و ﻣﺴﺪود ﻓﺮاﻳﻨﺪﯼ را ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‬
‫اﻳﺠﺎد ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁوردن ﺷﻬﻮدﯼ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ‬
‫ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻳﮏ ﻣﻮرد ﺧﺎص را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ در ﺁن ﮔﺮاف‬
‫‪ G‬ﮔﺮاﻓﯽ ﺟﻬﺖدار و ﺑﺪون ﺣﻠﻘﻪ اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫‪,…,‬‬
‫روﻧﺪ ﻣﮑﺎﻧﯽ رﺋﻮس را ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪,‬‬
‫) ﮐﻪ ﺗﻤﺎم ﻳﺎلهﺎ از‬
‫رﺋﻮس ﺟﻠﻮﺗﺮ ﺧﻮد ﺑﻪ رﺋﻮس ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﺮوﻧﺪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ( و ﻳﮏ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Targeted set ‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ 27‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺗﻮزﻳﻊ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎل را ﺑﺎ دﻧﺒﺎل ﮐﺮدن اﻳﻦ روﻧﺪ ﺑﻪ‬
‫دﺳﺖ ﺑﻴﺎورﻳﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﺑﺮاﯼ هﺮ راس‬
‫‪ ،‬ﻣﺎ ﺗﻮزﻳﻊ را روﯼ‬
‫زﻳﺮﻣﻮﺟﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎل هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﮐﺮدﻩاﻳﻢ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺗﺤﺖ ﻣﺪل‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﺧﻄﯽ‪،‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل‬
‫اﻳﻨﮑﻪ‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ﻓﻌﺎﻟﺶ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫ﺷﻮد‪،‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﺎ‬
‫∈‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫∑ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ‬
‫ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻘﺎ ﺑﺮاﺑﺮ اﺣﺘﻤﺎل ﺁن اﺳﺖ ﮐﻪ ﻳﺎل ورودﯼ زﻧﺪﻩاﯼ ﮐﻪ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ در‬
‫ﺗﻮﺳﻂ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا ﻣﯽﺑﻴﻨﻴﻢ ﮐﻪ هﺮ‬
‫دو روﻧﺪﯼ ﻣﺸﺎﺑﻪ را در ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺮ روﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎل ﻧﺸﺎن‬
‫ﻣﯽدهﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮاﯼ اﺛﺒﺎت ادﻋﺎ‪ ،‬ﮔﺮاف ‪ G‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﮐﻪ ﺑﺪون دور‬
‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓﯽ ﻧﺸﺎن دادن ﻳﮑﺴﺎﻧﯽ ﻣﺸﮑﻞﺗﺮ ﻧﻴﺰ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﮐﻪ ﺗﺮﺗﻴﺒﯽ ﻃﺒﻴﻌﯽ از رﺋﻮس وﺟﻮد ﻧﺪارد ﮐﻪ ﺑﺘﻮان ﺑﻪ‬
‫راﺣﺘﯽ از اﺳﺘﻘﺮا اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﺮد‪ .‬در ﻋﻮض‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روﯼ‬
‫ﺗﮑﺮارهﺎﯼ روﻧﺪ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ اﺛﺒﺎت را ﭘﻴﺶ ﻣﯽﺑﺮﻳﻢ‪.‬‬
‫را‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ از رﺋﻮس ﻓﻌﺎل در اﻧﺘﻬﺎﯼ هﺮ ﺗﮑﺮار ‪ ،t‬ﺑﻪ ازاﯼ‬
‫…‪ t 0,1,2,‬در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ )‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اوﻟﻴﻪاﯼ هﺪف اﺳﺖ (‪ .‬اﮔﺮ‬
‫راس ‪ v‬در اﻧﺘﻬﺎﯼ ﺗﮑﺮار ‪ t‬ﻓﻌﺎل ﻧﺸﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﺁﻧﮑﻪ در ﺗﮑﺮار ‪ t 1‬ﻓﻌﺎل ﺷﻮد ﺑﺮاﺑﺮ اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ وزنهﺎﯼ‬
‫\‬
‫اﺛﺮ در‬
‫ﻣﻘﺪار ﺁن را از ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺑﮕﺬراﻧﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻳﻦ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻪ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺁن هﻨﻮز رد ﻧﺸﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺁن اﺣﺘﻤﺎل ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪,‬‬
‫‪/‬‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫∑‬
‫∑‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫در ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ روﻧﺪ ﻳﺎل‪-‬زﻧﺪﻩ را ﺑﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ﻳﺎل‬
‫هﺎﯼ زﻧﺪﻩ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن دهﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف‬
‫‪ A‬ﺷﺮوع ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺁﻳﺎ ﻳﺎل زﻧﺪﻩ ‪ v‬ﻋﻀﻮ ‪ A‬اﺳﺖ‬
‫ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬اﮔﺮ هﺴﺖ ﺁﻧﮕﺎﻩ ‪ v‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ اﺳﺖ وﻟﯽ اﮔﺮ ﻧﻴﺴﺖ ﻣﺎ‬
‫‪ 28‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﻨﺒﻊ ﻳﺎل زﻧﺪﻩ ‪ v‬را ﻧﺎﻣﺸﺨﺺ ﻧﮕﻪ ﻣﯽدارﻳﻢ ) ﻳﻌﻨﯽ ﻳﺎﻟﯽ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ از ﺧﺎرج ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ (‪ .‬ﺣﺎل دﺳﺘﻪاﯼ ﺟﺪﻳﺪ از راسهﺎﯼ ﻗﺎﺑﻞ‬
‫دﺳﺘﺮﺳﯽ‬
‫را در ﻣﺮﺣﻠﻪ اول دارﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁوردن‬
‫راسهﺎﯼ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ ﺑﻴﺸﺘﺮ اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺸﺎﺑﻪ‬
‫روﯼ‬
‫ﻳﺎلهﺎﯼ‬
‫اﺟﺮا‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫و‬
‫ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﺻﻮرت‬
‫…‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫را‬
‫ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ‪ .‬ﺣﺎل اﮔﺮ راس ‪ v‬در اﻧﺘﻬﺎﯼ ﮔﺎم ‪ t‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ ﻧﺒﻮد‪،‬‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ در ﻗﺪم ‪ t 1‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﮏ راس ﻗﺎﺑﻞ‬
‫دﺳﺘﺮﺳﯽ ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﯽ ﺷﻮد ﺑﺮاﺑﺮ اﺣﺘﻤﺎل ﺁن اﺳﺖ ﮐﻪ ﻳﺎلهﺎﯼ زﻧﺪﻩ‬
‫\‬
‫ﺁن از‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫‪,‬‬
‫‪/‬‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫∑‬
‫∑‬
‫ﺑﻴﺎﻳﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض ﮐﻪ ﻳﺎلهﺎﯼ زﻧﺪﻩ ﺁن از‬
‫ﻗﺒﻞ‬
‫از‬
‫ﺁن‬
‫ﻧﻴﺎﻣﺪﻩ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ در ﭘﺎراﮔﺮاف ﻗﺒﻞ ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روﯼ ﻗﺪمهﺎ‪ ،‬دﻳﺪﻩ ﻣﯽﺷﻮدﮐﻪ روﻧﺪ ﻳﺎل‪-‬‬
‫زﻧﺪﻩ ﺗﻮزﻳﻌﯽ ﻣﺸﺎﺑﻪ روﻧﺪ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ روﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎل‬
‫اﻳﺠﺎد ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ دراداﻣﻪ ﺑﻪ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ ﻣﯽﭘﺮدازد‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ . 5‬ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪﯼ‬
‫ﺧﻄﯽ ‪ NP‐Complete‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﻳﮏ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ ‪ NP‐Complete‬ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ‬
‫‪15‬‬
‫ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ‬
‫ﮔﺮاف ‪ G‬ﺑﻪ ﻣﺎ دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺟﻬﺖ دار‬
‫ﮐﺮدن ﺗﻤﺎﻣﯽ ﻳﺎلهﺎﯼ ‪ G‬ﺑﻪ ﺻﻮرت دوﻃﺮﻓﻪ‪ ،‬از ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ ﺑﺎ‬
‫اﻧﺪازﻩﯼ ‪ k‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻗﻄﻌﯽ ﺑﺎ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Set cover ‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 29‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ,‬‬
‫ﻗﺮار دادن‬
‫‪ σ‬را ﺣﻞ ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﻋﮑﺲ اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻧﻴﺰ‬
‫ﺗﻨﻬﺎ راﻩ ﺑﻪدﺳﺖﺁوردن ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ ‪ A‬ﺑﺎ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﺁوردن ﻣﺜﺎل‬
‫ﺑﺮاﯼ ﮐﺎﻣﻞ ﻧﻤﻮدن اﺛﺒﺎت ﻧﻴﺰ ﺑﺪﻳﻬﯽ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽرﺳﺪ‪.‬‬
‫دو ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ و اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺟﻤﻠﻪ ﭘﺎﻳﻪاﯼ ﺗﺮﻳﻦ‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎرﯼ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت ﮔﺴﺘﺮدﻩاﯼ روﯼ ﺁﻧﻬﺎ اﻧﺠﺎم‬
‫ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ ،‬هﺮﭼﻨﺪ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﯽ ﻣﯽﺗﻮان ﺁﻧﻬﺎ را ﺑﺴﻴﺎر ﮔﺴﺘﺮش‬
‫داد‪.‬‬
‫در‬
‫اداﻣﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﻣﺪل‬
‫هﺎﯼ‬
‫دﻳﮕﺮ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫ﻣﯽ‬
‫ﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬
‫ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫در ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪﯼ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫‪16‬‬
‫ﺑﻪ هﺮ راس ‪ v‬ﻳﮏ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯽ‬
‫دهﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﻤﺴﺎﻳﻪ هﺎﯼ ‪ v‬را ﺑﺮ روﯼ ﻋﺪدﯼ ﺣﻘﻴﻘﯽ درﺑﺎزﻩ‬
‫‪0,1‬‬
‫ﻧﮕﺎﺷﺖ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﺎ ﻣﯽﺧﻮاهﻴﻢ ﻣﻔﻬﻮﻣﯽ را ﺑﻴﺎن‬
‫ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺗﺼﻤﻴﻢ راس ‪ v‬ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎل ﺷﺪن را ﺑﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻳﮏ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫دﻟﺨﻮاﻩ ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪ v‬ﮐﻪ ﻓﻌﺎل ﺑﻮدﻩاﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﺷﻮد‪.‬‬
‫و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ ﮐﻪ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪ v‬را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ از اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﯽ درﺑﺎزﻩ‬
‫‪0,1‬‬
‫ﻧﮕﺎﺷﺖ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫روﻧﺪ‬
‫اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﺳﺎﺧﺘﺎر‬
‫ﮐﻠﯽ‬
‫ﻣﺪل‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬هﺮ راس ‪ v‬ﻳﮏ ﻣﻘﺪار‬
‫ﺣﺪ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﺧﻄﯽ‬
‫را‬
‫دﻧﺒﺎل‬
‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﺎدﻓﯽ در ﺑﺎزﻩ‬
‫‪ 0,1‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ‪ v‬در ﺻﻮرﺗﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ در ﻗﺪم ‪t‬‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫ﮐﻪ ‪ S‬ﻧﻴﺰ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪ v‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫در ﻗﺪم ‪ t‐1‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ General Threshold Model ‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 30‬‬
‫‪ ‬‬
‫دﻗﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺧﺎﺻﯽ از ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﻋﻤﻮﻣﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ هﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺁن ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﮐﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫∑‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮرﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ‪ :‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣ ﯽ‬
‫‪17‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﻋﻤﻮﻣﯽ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺎ‬
‫در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر را ﻋﻤﻮﻣﻴﺖ ﻣﯽدهﻴﻢ ﺗﺎ ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل اﺟﺎزﻩ‬
‫دهﻴﻢ ﮐﻪ راس ‪ u‬در ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن هﻤﺴﺎﻳﻪاش ‪ v‬ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺴﺘﮕﯽ‬
‫ﺑﻪ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪ v‬دارد ﮐﻪ ﺗﺎﮐﻨﻮن ﺳﻌﯽ ﮐﺮدﻩاﻧﺪ ﺁن را ﻓﻌﺎل‬
‫ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ هﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﻣﺎ ﺗﺎﺑﻊ اﻓﺰاﻳﺸﯽ‬
‫‪u‬‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ در ﺁن ‪ S‬و‬
‫‪∈ 0,1‬‬
‫‪,‬‬
‫را ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ﻣﺠﺰاﯼ ‪ v‬هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﮐﻠﯽ وﻗﺘﯽ ‪ u‬ﺗﻼش ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ ‪ v‬را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻮﻓﻘﻴﺘﺶ‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﻳﯽ از ‪ v‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫ﺗﺎﮐﻨﻮن ﺗﻼش ﮐﺮدﻩاﻧﺪ)اﻣﺎ ﺷﮑﺴﺖ ﺧﻮردﻩاﻧﺪ( ﺁن را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺣﺎﻟﺘﯽ ﺧﺎص از اﻳﻦ ﻣﺪل اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺁن‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ S‬اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎرﯼ ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻮاﺑﻊ اﻓﺰاﻳﺸﯽ ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﺷﺪﻩاﻧﺪ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫اﮔﺮ هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﯼ‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪18‬‬
‫هﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ‪:‬‬
‫ﺳﻌﯽ ﺑﺮ ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن ‪ v‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ ‪ v‬در ﻧﻬﺎﻳﺖ اﻳﻦ ‪ l‬ﺗﻼش ﻓﻌﺎل ﺷﻮد ﺑﺴﺘﮕﯽ‬
‫ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻧﺠﺎم ‪ l‬ﺗﻼش ﻧﺨﻮاهﺪ داﺷﺖ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ General Cascade Model ‬‬
‫‪ Order Independent ‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ 31‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﮐﺮد ﮐﻪ ﻣﺪلهﺎﯼ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ و اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫ﻣﻌﺎدلاﻧﺪ‪ .‬در اﻳﻨﺠﺎ روﺷﯽ ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻳﻦ دو ﺑﻪ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ‬
‫اراﺋﻪ ﻣﯽدهﻴﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ را‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻧﺸﺎن دادن‬
‫ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﻣﺘﻌﺎدل ﺑﻮدن ﺑﺎ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ را ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫ﻳﮏ هﻤﺴﺎﻳﻪ اﺿﺎﻓﻪ ‪ u‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ‪ v‬را ﻓﻌﺎل ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض ﮐﻪ‬
‫راسهﺎ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﺳﻌﯽ ﮐﺮدﻩاﻧﺪ و ﺷﮑﺴﺖ ﺧﻮردﻩاﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬
‫رﺋﻮﺳﯽ ﮐﻪ در ‪ S‬هﺴﺘﻨﺪ ﺷﮑﺴﺖ ﺧﻮردﻩاﻧﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ‪،v‬‬
‫ﺑﺎﻳﺪ در ﻣﺤﺪودﻩ‬
‫‪,1‬‬
‫∈‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬هﺮ ﭼﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫روﺑﺮو هﺴﺘﻴﻢ وﻟﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ ﺗﻮزﻳﻊ ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪،‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ ﻳﮏ هﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ،u ∉ S‬در ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ ‪ v‬ﻣﻮﻓﻖ‬
‫ﺷﻮد ) در ﺣﺎﻟﺘﯽ ﮐﻪ راسهﺎﯼ ‪ S‬ﺷﮑﺴﺖ ﺧﻮردﻩاﻧﺪ ( ﺑﺮاﺑﺮ‪:‬‬
‫∪‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫ﺣﺎل اﺛﺒﺎت اﻳﻨﮑﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ اﻧﺘﺸﺎر ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻌﺎدل ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬
‫در ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ اﺻﻠﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪,…,‬‬
‫ﺑﻪ ﻋﮑﺲ‪ ،‬راس ‪ v‬در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر‪ ،‬و ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪,‬‬
‫از‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ راسهﺎﯼ ‪ S‬ﺳﻌﯽ ﺑﺮ‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫‪,…,‬‬
‫ﮐﺮدن‬
‫‪,‬‬
‫‪v‬‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫‪,…,‬‬
‫‬
‫‪,‬‬
‫را‬
‫دارﻧﺪ‬
‫و‬
‫‪ .‬ﺣﺎل اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ ‪ v‬در اﻳﻦ روﻧﺪ ﻓﻌﺎل ﻧﺸﻮد‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﺮدﻳﻢ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻳﻨﮑﻪ ﮐﺪام ﻳﮏ از‬
‫∏ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻳﺎد دارﻳﻢ ﮐﻪ‬
‫هﺎ ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن ‪v‬‬
‫ﺳﻌﯽ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ روﯼ اﺣﺘﻤﺎل ﮐﻠﯽ ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ ﺗﺎﺛﻴﺮﯼ ﻧﺪارد‪ .‬ازاﻳﻨﺮو‪،‬‬
‫اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﺑﺴﺘﮕﯽ دارد و ﻣﺎ ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‪:‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ‬
‫از ﻣﺪل ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻣﻌﺎدل روﻧﺪ ﮐﻠﯽ اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ‬
‫ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ اﺑﺘﺪا ﺗﻮﺳﻂ ‪Error! Error! Reference source not found.‬‬
‫‪ Reference source not found.‬ﻣﻌﺮﻓﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ و از ﭘﺎﻳﻪاﯼ ﺗﺮﻳﻦ و‬
‫ﻃﺒﻴﻌﯽﺗﺮﻳﻦ‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ‬
‫اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﻧﻈﺮات‬
‫در‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﮐﻪ‪ :‬در هﺮ‬
‫ﮔﺎم‪ ،‬هﺮ ﺷﺨﺺ ﻧﻈﺮ ﺧﻮد را ﻋﻮض ﻣﯽﮐﻨﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻧﻈﺮ ﻳﮑﯽ از‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﺎدﻓﯽ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﺪ و ﻧﻈﺮ ﺧﻮد‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫درﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ ﺑﺎ ﻣﺪلهﺎﯼ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‬
‫وﻟﯽ وﻳﮋﮔﯽهﺎﯼ ﮐﻠﻴﺪﯼ ﻣﺸﺎﺑﻪاﯼ ﺑﺎ ﺁﻧﻬﺎ دارد ﮐﻪ ﻣﺜﻼ اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ ﻳﮏ ﺷﺨﺺ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻋﻼﻗﻪ دارد ﮐﻪ ﻧﻈﺮ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻧﻈﺮﯼ ﮐﻪ ﻳﮑﯽ‬
‫از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ دارد ﺗﻐﻴﻴﺮ دهﺪ ﺗﺎ ﺷﺨﺺ دﻳﮕﺮﯼ‪.‬‬
‫در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﺪلهﺎﯼ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ هﺴﺘﻨﺪ از اﻳﻦ ﻧﻈﺮ ﮐﻪ‬
‫اﮔﺮ ﻳﮏ ﻳﺎل ﻓﻌﺎل ﺷﻮد دﻳﮕﺮ هﻤﻴﺸﻪ ﻓﻌﺎل ﺧﻮاهﺪ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ‬
‫ﻣﻮﺿﻮع اﻳﻦ ﻣﺪلهﺎ را ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت در زﻣﻴﻨﻪهﺎﯼ ﺳﺮاﻳ ﺖ‬
‫‪19‬‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﻞ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﻳﮏ ﮐﺎرﺑﺮ ﻳﺎ‬
‫ﻣﺼﺮفﮐﻨﻨﺪﻩ‬
‫ﮐﺎﻻﻳﯽ‬
‫را‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪،‬‬
‫دﻳﮕﺮ‬
‫در‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ ﮐﻪ در ﺁن اﺟﺎزﻩ‬
‫ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل‬
‫ﮐﺮدن‬
‫ﻳﺎلهﺎ‬
‫را‬
‫دارﻳﻢ‬
‫ﺷﺎﻳﺪ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻓﺮاﻳﻨﺪهﺎﯼ‬
‫ﻏﻴﺮﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Infection ‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ 33‬‬
‫‪ ‬‬
‫در ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ هﺮ راس در هﺮ ﮔﺎم ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺴﺎوﯼ ﻳﮑﯽ از‬
‫هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﻳﺶ را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﺪ و ﻧﻈﺮش را ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻈﺮ او ﻗﺮار‬
‫ﻣﯽدهﺪ‪.‬ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪Error! Reference source not found.‬‬
‫ﻣﻄﺮح و ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ ،‬در اداﻣﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺣﻮل ﻗﻀﺎﻳﺎ و ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬
‫ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺧﻮاهﻴﻢ ﭘﺮداﺧﺖ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪.10‬‬
‫ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ‬
‫ﺟﻬﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻳﮏ راس‬
‫∈ ‪ ،‬ﻣﺎ‬
‫‪,‬‬
‫ﻳﮏ ﮔﺮاف ﺑﺪون‬
‫را ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪v‬‬
‫در ‪ G‬ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺷﺮوع از اﺧﺘﺼﺎص اوﻟﻴﻪ دﻟﺨﻮاﻩ ‪ 0/1‬ﺑﻪ‬
‫ﻳﺎلهﺎﯼ ﮔﺮاف ‪ ،G‬در هﺮ زﻣﺎن‬
‫‪1‬‬
‫‪ ،‬هﺮ راس ﺑﻪﻃﻮر ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻳﮑﯽ از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﺪ و ﻧﻈﺮش را ﻗﺒﻮل‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤﯽﺗﺮ ﺑﺎ ﺷﺮوع از اوﻟﻴﻦ ﺗﺨﺼﻴﺺ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪→ 0,1‬‬
‫‪ ، :‬ﻗﺪم هﺎﯼ ﺑﻌﺪﯼ را ﺑﻪ ﺻﻮرت‪:‬‬
‫ﺑﻪ ﻳﺎد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ ﻓﺮاﻳﻨﺪﯼ ﺗﺼﺎدﻓﯽ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ رﻓﺘﺎر ﺁن ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺪار دهﯽ اوﻟﻴﻪ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪1‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﻳﻨﮑﻪ ﻧﺸﺎن دهﺪ ﺁﻳﺎ ‪ v‬از ﻣﺤﺼﻮﻟﯽ ﮐﻪ ﻣﺎ‬
‫ﺗﺒﻠﻴﻎ ﺁن را ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﻘﺪار‬
‫ﻃﺒﻴﻌﯽاﯼ ﮐﻪ ﻣﺎ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺁن هﺴﺘﻴﻢ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎرﯼ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ در راﺑﻄﻪ ‪1‬‬
‫در هﺮ زﻣﺎن ‪ t‬ﺻﺪق ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺁﻧﭽﻪ در‬
‫ﻧﮕﺎﻩ اول ﺑﺮاﯼ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﮐﺮدن ﺗﻌﺪاد ﭼﻨﻴﻦ رﺋﻮﺳﯽ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽرﺳﺪ‬
‫اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻳﮏ ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ‬
‫‪ v‬ﺑﺮاﯼ ﺁن راﺑﻄﻪ ‪1‬‬
‫ﺷﺮوع ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬هﺮﭼﻨﺪ در دﻧﻴﺎﯼ‬
‫‪ 34‬‬
‫‪ ‬‬
‫واﻗﻌﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻧﺘﻮاﻧﻴﻢ از ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻘﺎدﻳﺮ اوﻟﻴﻪاﯼ ﺷﺮوع ﮐﻨﻴﻢ‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻣﻘﺪار ‪1‬‬
‫ﺑﻪ دﻟﻴﻞ وﺟﻮد هﺰﻳﻨﻪ‬
‫ﺑﺮاﯼ اﻳﻦ ﮐﺎر‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل‪،‬‬
‫و ﺑﻮدﺟﻪ ﻣﺤﺪود ‪B‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ هﺰﻳﻨﻪ ﻣﺘﻘﺎﻋﺪ ﮐﺮدن ﻳﮏ‬
‫وبﺳﺎﻳﺖ ﺟﻬﺖ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻳﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺧﺎص ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﺎ ﻣﯽﺧﻮاهﻴﻢ‬
‫ﺳﺎﻳﺖهﺎﯼ دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ از ﺁن اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎزﻣﯽﮔﺮدﻳﻢ ﺑﻪ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﺗﻮﺳﻂ دوﻣﻴﻨﮕﻮس و رﻳﭽﺎردﺳﻮن ‪Error! Reference‬‬
‫‪ ،sourcenotfound.‬ﮐﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﺪاﮐﺜﺮﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ را در ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ ﺑﻪ‬
‫ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ .11‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺣﺪاﮐﺜﺮﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش‪ :‬ﮔﺮاف ‪ G‬ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ ﺷﺒﮑﻪ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﺳﺖ و‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫‪1‬‬
‫اﺳﺖ و ‪ B‬ﺑﻮدﺟﻪ و ‪ t‬زﻣﺎن هﺪف اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺣﺪاﮐﺜﺮﺳﺎزﯼ‬
‫اﻣﻴﺪ‬
‫∈̅‬
‫ﺑﺮدارﯼ از هﺰﻳﻨﻪهﺎ اﺳﺖ ﮐﻪ هﺰﻳﻨﻪ‬
‫را‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫رﻳﺎﺿﯽ‬
‫‪:‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫∈‬
‫∑‬
‫ﻳﺎﻓﺘﻦ‬
‫را‬
‫ﺑﺎ‬
‫‪→ 0,1‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫∶‬
‫هﺎﻳﯽ‬
‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﺑﻮدﺟﻪﯼ‬
‫∑‪ ،‬را ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﺳﺮاغ ﺣﻞ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﺮوﻳﻢ‪.‬‬
‫در ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ راس ‪ ،v‬ﻧﻈﺮ هﻤﺴﺎﻳﻪﯼ ‪ u‬اش را‬
‫ﺑﭙﺬﻳﺮد ﺑﺮاﺑﺮ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ اﻳﻦ ﻋﺪد ﻣﻌﺎدل ﻳﮏ ﻗﺪمزدن‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ 1‬اﺳﺖ ﮐﻪ از ‪ v‬ﺷﺮوع و ﺑﻪ ‪ u‬ﺧﺘﻢ ﻣﯽﮔﺮدد‪ .‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺨﻮاهﻴﻢ اﻳﻦ ﻣﺸﺎهﺪﻩ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮﻣﯽ ﺑﻴﺎن ﮐﻨﻴﻢ در ﻗﺪمهﺎﯼ‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮ‪ ،‬ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا ﺑﺮ روﯼ ‪ t‬اﻳﻦ ﮐﺎر را اﻧﺠﺎم‬
‫دهﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ ‪ .6‬اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ‬
‫‪,‬‬
‫‪ p‬ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ اﺣﺘﻤﺎ اﻳﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ‬
‫ﻗﺪم زدن ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ t‬ﺑﺎ ﺷﺮوع از ‪ u‬و ﺑﻪ ‪ v‬ﺧﺘﻢ ﺷﻮد‪،‬‬
‫‪ 35‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻦ ﮐﻪ ﭘﺲ از ‪ t‬ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺟﺮاﯼ ﻣﺪل‪ ،‬راس ‪ u‬ﻧﻈﺮ‬
‫راس ‪ v‬در زﻣﺎن ‪ t 0‬را ﺑﭙﺬﻳﺮد ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬
‫‪,‬‬
‫‪ p‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ :‬هﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ ﺑﻪ راﺣﺘﯽ ﺗﻮﺳﻂ اﺳﺘﻘﺮا‬
‫اﺛﺒﺎت ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫از ﻗﻀﻴﻪ ﺑﺎﻻ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻓﺮﻋﯽ زﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽﺷﻮد‪:‬‬
‫اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪:‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل ﺁﻧﮑﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ اﺣﺘﻤﺎل ﻗﺪم زدن ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ t‬ﮐﻪ از ‪ v‬ﺷﺮوع‬
‫ﺷﻮد و ﺑﻪ ﻳﮑﯽ از اﻋﻀﺎﯼ ‪ S‬ﺧﺘﻢ ﺷﻮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﭽﻪ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﯽ ﺳﺎدﻩ ﺑﺮاﯼ ﺣﻞ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اراﺋﻪ دهﻴﻢ‪ .‬ﻣﺴﺎﻟﻪ در دوﺣﺎﻟﺖ ﮐﻮﺗﺎﻩ ﻣﺪت و ﺑﻠﻨﺪ ﻣﺪت‬
‫ﻣﻄﺮح ﻣﯽﺷﻮد‪ ،‬در اداﻣﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻮﺗﺎﻩ ﻣﺪت‬
‫ﻣﺎ ﺣﺎل ﻣﺴﺎﻟﻪ را ﺑﺎ ﻧﺸﺎندادن ﺁن در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻮﺗﺎﻩ ﻣﺪت ﺷﺮوع‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ t‬ﻳﮏ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاﯼ)هﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاﯼ( در‬
‫‪ n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ اذﻋﺎن ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺣﺪاﮐﺜﺮﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﺑﺮاﯼ دورﻩ ﮐﻮﺗﺎﻩ زﻣﺎﻧﯽ ﺑﺮاﯼ ﻣﺮاﺣﻞ اوﻟﻴﻪ ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻓﻨﺎورﯼ‬
‫ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﺑﺎزار ﺑﺴﻴﺎر ﺗﻌﻴﻴﻦﮐﻨﻨﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫در اﻳﻨﺠﺎ ‪ M‬ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ اﻧﺘﻘﺎل ﻧﺮﻣﺎلﺷﺪﻩ ﺑﺮاﯼ ﮔﺮاف ‪ G‬اﺳﺖ ) ﻣﺜﻼ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫دو‬
‫راس‬
‫زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫‪u , v‬‬
‫‪، ⊆ 1, … ,‬‬
‫داﺷﺘﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫‪ 1‬ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩﯼ ﺑﺮدار ‪ 0/1‬در ﻧﻈﺮ‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﮐﻪ ‪ i‬اﻣﻴﻦ ﻋﻨﺼﺮش ‪ 1‬اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‬
‫∈‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ 36‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻟﻢ ‪ .1‬ﺑﺮاﯼ هﺮ ﮔﺮاف ‪ G‬ﮐﻪ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ اﻧﺘﻘﺎلاش ‪ M‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺷﺒﮑﻪﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫ﻓﻌﺎل اوﻟﻴﻪ ‪ S‬ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن‬
‫ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫∈‬
‫‪ 1‬ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ‬
‫∑‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﭽﻪ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ ﮐﻪ‬
‫‪,‬‬
‫ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩﯼ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﺁن اﺳﺖ ﮐﻪ ﻳﮏ ﻗﺪم زدن ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺑﺎ ﺷﺮوع از ‪ u‬و ‪ t‬ﻗﺪم در‬
‫ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﻪ ‪ v‬ﺑﺮﺳﺪ ﮐﻪ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫∈‬
‫ﺣﺎل‬
‫∑‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪u,v‬‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫دوﺗﺎﻳﯽ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻀﻮ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﮐﺮدن‬
‫ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﺤﺪودﻳ ﺖ‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫∈‬
‫ﻣﻌﺎدل‬
‫∑ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬اﮔﺮ ‪1‬‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫∈‬
‫ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪:‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ اﻳﻦ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪ ‪ S‬در واﻗﻊ هﻤﺎن ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﮐﺮدن‬
‫‪ 1‬ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫∈‬
‫∑ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رواﺑﻂ ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ ﻣﯽﺗﻮان ﻗﻀﺎﻳﺎﯼ دﻳﮕﺮﯼ ﮐﻪ ﺣﻞ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش را روﺷﻨﺘﺮ ﻣﯽﺳﺎزد ﺑﻴﺎن ﮐﺮد‪.‬‬
‫‪ 37‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .7‬اﮔﺮ ﺑﺮدار هﺰﻳﻨﻪ ‪ c‬ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ اﮔﺮ ﺑﺮاﯼ هﻤﻪ ‪ v‬هﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫‪ ،c‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪c‬‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﺑﺮاﯼ هﺮ زﻣﺎن ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ ‪ t‬در‬
‫‪poly n‬‬
‫زﻣﺎن ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاﯼ‬
‫‪ t‬ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﻳﺎد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ ﻋﻨﺎﺻﺮ‬
‫ﺑﻪ راﺣﺘﯽ در زﻣﺎن‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﺮد‪ .‬از ﻃﺮﻓﯽ ﺑﻪ ازاﯼ‬
‫هﺮ ‪ t‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﺑﺎﻻ‪،‬‬
‫ﻣﯽ‬
‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫∈‬
‫‪log‬‬
‫ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻧﺠﺎم‬
‫‪1‬‬
‫دارﻳﻢ‪ .‬ﺑﺮاﯼ هﺮ راس ‪ v‬دارﻳﻢ‬
‫داﻧﻴﻢ‬
‫را ﻣﯽﺗﻮان‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﻌﺎدل‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺿﺮب ﻣﺎﺗﺮﻳﺴﯽ‬
‫‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻟﻢ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫∑اﺳﺖ‪ .‬از ﺁﻧﺠﺎﻳﯽ ﮐﻪ‬
‫∈‬
‫‪ 1‬ﺑﺎ‬
‫ﻧﻤﻮدن‬
‫∑‬
‫‪ 1‬و هﺰﻳﻨﻪ‬
‫ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ اوﻟﻴﻪ ﺗﻤﺎم رﺋﻮس ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪ ،‬اﻧﮕﺎﻩ ﺑﺮاﯼ هﺮ ﺑﻮدﺟﻪ‬
‫‪/‬‬
‫‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪ اوﻟﻴﻦ‬
‫راس ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬
‫ﻣﺮﺗﺐ ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪.12‬‬
‫‪:FPTAS‬‬
‫‪FPTAS‬‬
‫ﮐﻮﺗﺎﻩ‬
‫‪Fully Polynomial Time‬‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫‪ Approximation Scheme‬اﺳﺖ ﮐﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ هﺮ ‪ ϵ‬راﻩ‬
‫‪ϵ‬‬
‫ﺣﻞ ﺑﻬﻴﻨﻪ را ﺗﺎ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺧﻄﺎﯼ‬
‫‪1‬‬
‫در زﻣﺎن ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ‬
‫ﺗﺨﻤﻴﻦ ﻣﯽزﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .8‬ﻳﮏ ‪ FPTAS‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪،‬‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬دوﺑﺎرﻩ ﺑﺮاﯼ هﺮ راس ‪ v‬ﺑﻴﺎن ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫هﺪف‬
‫ﻣﺎ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﮐﺮدن‬
‫∈‬
‫∑‬
‫‪ 1‬ﺑﺎ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‬
‫‪1‬‬
‫ﺑﻪ‬
‫‪.‬‬
‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ‬
‫∈‬
‫∑اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪Knapsack‬‬
‫‪FPTAS‬‬
‫اﺳﺖ‬
‫و‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫از‬
‫زﻣﺎن‬
‫ﺧﻄﯽ‬
‫‪ 38‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ Error! Reference source not found. Knapsack‬ﺑﺮاﯼ ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫ﺁوردن ﻳﮏ ‪ FPTAS‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪،‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﺮد‪.‬‬
‫ﻓﺮاﻣﻮش ﻧﮑﻨﻴﻢ ﮐﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠﯽ ﻧﺒﺎﻳﺪ اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ را دﻗﻴﻘﺎ ﺣﻞ‬
‫ﮐﻨﻴﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﮐﻪ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ‪ t 0‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪ Knapsack‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺁن ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ NP‐hard‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻠﻨﺪ ﻣﺪت‬
‫در‬
‫ﻗﺴﻤﺖ‬
‫ﻗﺒﻞ‬
‫را‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺣﺎﻟﺘﯽ‬
‫در‬
‫در‬
‫ﻧﻈﺮ‬
‫ﮔﺮﻓﺘﻴﻢ‬
‫ﮐﻪ‬
‫‪t‬‬
‫ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ از درﺟﻪ ‪ n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل اﻳﻦ ﻣﻮرد را ﺑﺮاﯼ ‪ t‬هﺎﯼ ﺑﺰرگ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻳﺎد دارﻳﻢ‬
‫در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ ﮐﻪ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ هﺮ ﮔﺮاف ‪ G‬ﺑﺎ ﺣﻠﻘﻪ‪ ،‬ﻗﺪمزدن ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﮐﻪ از هﺮ راس ‪v‬‬
‫ﻗﺪم ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻮزﻳﻊ ﺛﺎﺑﺘﯽ هﻤﮕﺮا‬
‫ﺷﺮوع ﺷﻮد ﭘﺲ از ﺣﺪود‬
‫|‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪﻋﻼوﻩ اﮔﺮ ﻣﺎ ﻣﻘﺪار |‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﮐﻨﻴﻢ ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻳﮏ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎص ﺗﻮزﻳﻊ ﺛﺎﺑﺖ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ راس ‪u‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ‬
‫| |‪/2‬‬
‫| |‪/2‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ‪ ،‬اﮔﺮ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫≫‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .9‬در زﻣﺎن ﺧﻄﯽ ﻳﮏ ‪ FPTAS‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪ ،‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬اﮔﺮ‬
‫ﻣﻄﺮح ﺷﺪ ﻣﺎ ﻋﻨﺎﺻﺮ‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﭽﻪ در ﻗﻀﺎﻳﺎﯼ ﺑﺎﻻ‬
‫را ﺑﺪون ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﺎﻣﻞ‬
‫در هﺮ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻀﺮﺑﯽ از‬
‫ﻣﯽداﻧﻴﻢ‪ .‬ﺧﻄﺎ‬
‫‪ 1‬ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫‪ 39‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ از زﻣﺎن ﺧﻄﯽ ‪ FPTAS‬ﮐﻪ در ‪ Knapsack‬در ﻗﻀﻴﻪ دوماش‬
‫ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻳﮏ ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎص از ﻗﻀﻴﻪ ﺑﺎﻻ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ راسهﺎ داراﯼ‬
‫هﺰﻳﻨﻪ ﺛﺎﺑﺖ ‪ c‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﺸﺎهﺪﻩ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ راﻩﺣﻞ‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ‬
‫‪/‬‬
‫ﻳﺎلهﺎﯼ ‪ G‬را ﺑﺎ ﺑﺎﻻﺗﺮﻳﻦ‬
‫درﺟﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻳﮏ ﺗﻮﺟﻴﻪ رﺳﻤﯽ ﺑﻪ دﻳﺪﮔﺎﻩ ذهﻨﯽ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب رﺋﻮس ﺑﺎ ﺑﺎﻻﺗﺮﻳﻦ ﺁﺷﻨﺎﻳﯽ ﻣﯽدهﺪ‪.‬‬
‫‪log‬‬
‫اﻳﻨﮑﻪ ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ در زﻣﺎن‬
‫ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﺑﺎﻻﻳﯽ ﺑﻪ‬
‫اﺟﻤﺎع ﻣﯽرﺳﺪ)ﺑﻪ اﺟﻤﺎع رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ هﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻣﻼﻗﺎت ﮐﺮدن‬
‫اﺳﺖ( ﮐﻪ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪1‬‬
‫‪log‬‬
‫‪ .‬ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ‬
‫ﺑﻪ ﺟﻬﺖ ﺗﮑﻤﻴﻞ اﻳﻦ ﺑﺨﺶ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .10‬ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪1‬‬
‫‪ ،1‬ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ ﭘﺲ از‬
‫ﻗﺪم ﺑﻪ اﺟﻤﺎع ﻣﯽرﺳﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﺑﻪ ﻳﺎد دارﻳﻢ ﮐﻪ ﻧﻈﺮ راس ‪ v‬در زﻣﺎن ‪ t‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬
‫ﻗﺪمزدن ﺗﺼﺎدﻓﯽاﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ از ‪ v‬ﺑﺎ ﻃﻮل‪ t‬ﺷﺮوع ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺮاﯼ‬
‫هﺮ دو زوج راس ‪ ) u,v‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﭽﻪ در ﮐﺘﺎب ‪Error! Reference‬‬
‫‪ source not found.‬ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩاﺳﺖ( ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪ 1‬دو ﻗﺪمزدن‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﮐﻪ از ‪ u‬و‪ v‬ﺷﺮوع ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ ﻳﮑﺪﻳﮕﺮ را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪ 1‬ﭘﺲ از‬
‫ﮐﻪ ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪log‬‬
‫ﻗﺪم ﻣﻼﻗﺎت ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺑﺪان ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ‬
‫‪ 1‬رﺋﻮس ‪ u,v‬داراﯼ ارزش ﺑﺮاﺑﺮﯼ ﺧﻮاهﻨﺪ‬
‫ﺑﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از اﺗﺤﺎد ﻣﻠﺘﺰم‬
‫‪20‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ ﮐﻪ ﭘﺲ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Union Bound ‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ 40‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪log‬‬
‫از‬
‫‪1‬‬
‫ﻗﺪم ﮐﻞ رﺋﻮس داراﯼ ﻣﻘﺪار ﻳﮑﺴﺎن ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪ 1‬هﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺑﻴﺎن ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ‬
‫‪log‬‬
‫اﺳﺖ‬
‫ﺗﻤﺎﻣﯽ رﺋﻮس ﻳﺎ هﻤﻪ ﻣﻘﺪار ‪ 1‬دارﻧﺪ ﻳﺎ هﻴﭻ ﮐﺪام ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ و ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‬
‫ﺗﺎ ﺑﻪ ﺣﺎل ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪهﺎﻳﯽ ﭘﺮداﺧﺘﻴﻢ ﮐﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‬
‫داﺷﺘﻪاﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺪلهﺎﻳﯽ ﮐﻪ در ﺁن اﻣﮑﺎن ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل ﺷﺪن اﻓﺮاد‬
‫ﭘﺲ‬
‫از‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫ﺷﺪنﺷﺎن‬
‫وﺟﻮد‬
‫داﺷﺘﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫ﻏﻴﺮ‬
‫ﭘﻴﺶروﻧﺪ ﻩ‬
‫‪21‬‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ و اﮔﺮ اﻣﮑﺎن ﻏﻴﺮ ﻓﻌﺎلﺷﺪن وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺁن‬
‫ﻣﺪل ﭘﻴﺶروﻧﺪ ﻩ‬
‫‪22‬‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ‪ .‬ﻧﮑﺘﻪاﯼ ﮐﻪ در ﻣﻮرد ﻣﺪل هﺎﯼ ﻏﻴﺮ‬
‫ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ وﺟﻮد دارد اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳﻨﮑﻪ‬
‫اﻓﺮاد ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻌﺎدل ﻧﺮﺳﻨﺪ‪.‬اﻳﻦ ﻣﺪلهﺎ در‬
‫اﻧﺘﻬﺎﯼ ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ Error!Referencesourcenotfound.‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺰ‬
‫اﻳﻨﮑﻪ در هﺮ ﻗﺪم ‪ ،t‬هﺮ راس ‪ v‬ﻳﮏ ﻣﻘﺪار ﺟﺪﻳﺪ‬
‫ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ و ﺗﺼﺎدﻓﯽ در ﺑﺎزﻩ‬
‫‪0,1‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫ﺑﻪ ﺧﻮد ﻣﯽﮔﻴﺮد‪ .‬راس ‪ v‬در‬
‫ﻗﺪم ‪ t‬در ﺻﻮرﺗﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ‬
‫ﺷﻮد‪ ،‬ﮐﻪ ‪ S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﯽ از ‪ v‬اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻗﺪم ‪ t‐1‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫از‬
‫ﻣﻨﻈﺮ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﮐﺮدن‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪،‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫ﺳﻮاﻻﺗﯽ‬
‫ﻣﻄﺮح‬
‫ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻣﺪﻟﯽ ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ دارﻳﻢ ﮐﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻗﺪم اﺟﺮا ﺷﻮد‪ ،‬و در ﺣﻴﻦ اﺟﺮاﯼ ﺁن‪ ،‬اﺟﺎزﻩ دارﻳﻢ ﮐﻪ ‪k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Non Progressive ‬‬
‫‪ Progressive ‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ 41‬‬
‫‪ ‬‬
‫دﺧﺎﻟ ﺖ‬
‫‪23‬‬
‫را اﻧﺠﺎم دهﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ در ﻳﮏ زﻣﺎن‬
‫‪،‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ‪ v‬را ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ در زﻣﺎن ‪ t‬هﺪف ﻗﺮار دهﻴﻢ‪v ) .‬‬
‫ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﻏﻴﺮ ﻓﻌﺎل ﺷﻮد وﻟﯽ اﻣﻴﺪوارﻳﻢ ﮐﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ‬
‫ﻳﮏ اﺛﺮ ﻣﻮﺟﯽ‬
‫‪24‬‬
‫اﻳﺠﺎد ﮐﻨﻴﻢ‪ (.‬ﭼﻪ ‪ k‬دﺧﺎﻟﺖهﺎﻳﯽ را ﺑﺎﻳﺪ اﻧﺠﺎم‬
‫دهﻴﻢ؟ ﻣﺜﺎلهﺎﻳﯽ ﺳﺎدﻩ از ﭼﮕﻮﻧﮕﯽ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪﮐﺮدن اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﻧﺸﺎن‬
‫ﻣﯽدهﺪ ﮐﻪ ﻟﺰوﻣﺎ ﻧﺒﺎﻳﺪ ‪ k‬دﺧﺎﻟﺖ را در زﻣﺎن ‪ 0‬اﻧﺠﺎم دهﻴﻢ‪،‬‬
‫ﻣﺜﻼ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ‪ G‬هﻨﻮز ‪ k‬راس ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ‪ A‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ k‬دﺧﺎﻟﺖ ﻣﺎ اﺳﺖ‪ .‬اﺛﺮ اﻳﻦ ‪ k‬دﺧﺎﻟﺖ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻊ روﯼ ﮐﻞ رﺋﻮس ‪ v‬اﺳﺖ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﺑﺎرﯼ ﮐﻪ ‪ v‬ﻓﻌﺎل اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪﻧﻤﻮدن اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﻣﺪل ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ در ﺣﻘﻴﻘﺖ‬
‫ﻳﺎﻓﺘﻦ ‪ k‬دﺧﺎﻟﺖ ﺑﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ اﺛﺮﮔﺬارﯼ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫ﻧﺸﺎن‬
‫دهﻴﻢ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﺑﻴﺸﻨﻪﻧﻤﻮدن‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﻏﻴﺮ‬
‫ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺘﯽ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﺑﺎ ﮔﺮاﻓﯽ ﻣﺘﻔﺎوت ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﮔﺮاف‬
‫ﻻﻳﻪا ﯼ‬
‫را روﯼ | | ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫و زﻣﺎن ﻣﺤﺪود‬
‫راس ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ‪ .‬ﻳﮏ ﻧﺴﺨﻪ از‬
‫راس ‪ v‬در ﮔﺮاف ‪ G‬وﺟﻮد دارد و در هﺮ ﻗﺪم زﻣﺎﻧﯽ‬
‫‪ ،‬ﻣﺎ ﮔﺮاف‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫‪ .‬ﻣﺎ هﺮ‬
‫راس اﻳﻦ ﮔﺮاف را ﺑﺎ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ در ‪ G‬ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻗﺪم‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﻗﺒﻠﯽ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪﻩاﻧﺪ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .11‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫در اﻓﻖ زﻣﺎﻧﯽ‬
‫ﻣﻌﺎدل ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن ﮔﺴﺘﺮش‬
‫اﺳﺖ‪ .‬راس ‪ v‬در روﻧﺪ ﻏﻴﺮ‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ روﯼ ﮔﺮاف ﻻﻳﻪاﯼ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ K Intervention ‬‬
‫‪ Ripple Effect ‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ 42‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ در زﻣﺎن ‪ t‬ﻓﻌﺎل اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‬
‫در روﻧﺪ‬
‫ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ ﻳﮏ ﮐﺎهﺶ از ﮔﻮﻧﻪﯼ ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻪ‬
‫ﮔﻮﻧﻪﯼ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩﯼ ﺁن اﻧﺠﺎم دهﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻳﮏ ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ G‬و‬
‫راس ‪ v‬در ‪1 ،G‬‬
‫روﯼ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪G‬‬
‫دادﻩ‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺗﮑﺮار ﺁن اﺳﺖ )‬
‫‪,…,‬‬
‫( ﺑﻪ ﻃﻮرﯼ ﮐﻪ هﺮ‬
‫‪,…,‬‬
‫در‬
‫ﺗﮑﺮار ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺎر ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪﯼ ﻏﻴﺮ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ را ﻃﻮرﯼ ﻃﺮاﺣﯽ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺗﺎﺛﻴﺮات‬
‫ﻣﺮﺣﻠﻪاﯼ ‪ t‬ام ﺣﺎﻟﺖ ﻏﻴﺮﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ از ﻃﺮف زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ‬
‫از‬
‫روﯼ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫اﻋﻤﺎل ﺷﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ واﺿﺢ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻣﺮﺣﻠﻪﯼ ‪ t‬ﻓﺮد‬
‫∈‬
‫از‬
‫∈‬
‫ﻓﻌﺎل اﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬
‫ﻓﻌﺎل ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .12‬در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠﯽ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﺮدن ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪ ،‬ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫ﺳﺨﺖ‬
‫‪25‬‬
‫ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬
‫اﺳﺖ‪ .‬‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ‪0‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻳﮏ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ ﮐﺎهﺶ دهﻴﻢ‪.‬‬
‫از ﻣﻮارد ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ در اﺛﺒﺎت ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﮐﻤﮏ‬
‫…‪,‬‬
‫ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ راسهﺎﯼ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪n‬‬
‫ﻋﻀﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل راس‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ‬
‫ﻳﮑﯽ از رﺋﻮس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﯼ درﺑﺮﮔﻴﺮﻧﺪﻩاش ﻓﻌﺎل ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺳﭙﺲ ﺑﺮاﯼ ﻳﮏ ﻋﺪد ﺑﺰرگ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاﻩ ‪، c‬ﺗﻌﺪاد‬
‫…‪,‬‬
‫را اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ در ﺁن هﺮ‬
‫راس‬
‫ﺑﻪ ﺗﻤﺎم رﺋﻮس‬
‫‪ ‬‬
‫‪ NP‐hard ‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ 43‬‬
‫‪ ‬‬
‫هﺎ ﻓﻌﺎل‬
‫ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ و ﺗﻨﻬﺎ زﻣﺎﻧﯽ ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺎل اﮔﺮ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ k‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ رﺋﻮس را ﭘﻮﺷﺶ‬
‫دهﻨﺪ‪ ،‬ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن اﻳﻦ ‪ k‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ رﺋﻮس‬
‫ﻧﻤﻮد و هﻤﻴﻦﻃﻮر ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫را ﻓﻌﺎل ﺧﻮاهﺪ‬
‫هﺎ را و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫راس ﻓﻌﺎل ﺧﻮاهﻨﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﮑﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ هﻴﭻ ﭘﻮﺷﺶ‬
‫راﺳﯽ ﺑﺎ اﻧﺪازﻩ ‪ k‬ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺁﻧﮕﺎﻩ هﻴﭻ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫هﺎ را ﻓﻌﺎل ﻧﺨﻮاهﺪ ﻧﻤﻮد و هﻴﭻ ﮐﺪام از‬
‫هﺎ ﻓﻌﺎل ﻧﺨﻮاهﺪ ﺷﺪ‬
‫) ﻣﮕﺮ اﻳﻨﮑﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮﻧﺪ ( و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﮐﻤﺘﺮ از‬
‫راس‬
‫ﻓﻌﺎل ﺧﻮاهﻨﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫اﮔﺮ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﯽ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﻣﺴﺎﻟﻪ را ﺑﺎ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫ﻧﻬﺎﻳﺖ‬
‫از‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺑﺰﻧﺪ‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺗﻤﺎﻳﺰ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﻮد ﺑﻴﻦ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ در‬
‫راس ﻓﻌﺎل هﺴﺘﻨﺪ و زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﮐﻤﺘﺮ‬
‫راس ﻓﻌﺎل هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﻳﻦ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮش را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﻳﺪ و اﻳﻦ ﻧﮑﺘﻪ ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ اﻳﻦ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‬
‫ﮐﻪ ﻓﺮض‬
‫ﻏﻠﻂ ﺑﻮدﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫ﮐﺎوش ﻣﺮزهﺎﯼ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫ﺗﺎ ﺑﻪ اﻳﻨﺠﺎ دو ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ و ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺪلهﺎﻳﯽ‬
‫ﺑﺴﻴﺎر ﮔﺴﺘﺮدﻩ هﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ ﮔﺴﺘﺮﮔﯽ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﻧﺘﻮاﻧﻨﺪ‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﻨﺎﺳﺒﯽ را در ﻋﻴﻦ ﻋﻤﻮﻣﻴﺖ ﺧﻮد ﺿﻤﺎﻧﺖ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬از ﻃﺮف‬
‫‪ 44‬‬
‫‪ ‬‬
‫دﻳﮕﺮ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﺿﻤﺎﻧﺖ ﺑﺴﻴﺎر ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪﯼ ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺪادﯼ‬
‫از ﻣﻮارد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻧﺸﺎن دادﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺪﻟﯽ اراﺋﻪ دهﻴﻢ و اﻟﺒﺘﻪ هﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ از اﻳﻦ ﻣﺪل ﻳﮏ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر‬
‫ﺧﻮاهﺪ‬
‫داﺷﺖ‪.‬اﻳﻦ‬
‫ﻣﺪل‬
‫در‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫‪ Error!Referencesourcenotfound.‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺪل رهﺎﺳﺎزﯼ‪ . 26‬هﺮ راس ‪ v‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻞ و ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫رهﺎﺳﺎز ﯼ‬
‫‪27‬‬
‫را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻮزﻳﻌﯽ ﮐﻪ در هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ وﺟﻮد‬
‫دارد‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺷﺮوع ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬را‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎل ﺳﺎزﯼ اوﻟﻴﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﺗﮑﺮار اول‪،‬‬
‫راس ‪ v‬ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل در ﻗﺪم ‪ t‬ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ هﻤﺴﺎﻳﻪاﯼ‬
‫در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ رهﺎﺳﺎزﯼ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩاش ﮐﻪ در ﻗﺪم ‪ t‐1‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻩ‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ).‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ‪ v‬ﺑﺎ ﻳﮏ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫از هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﻳﺶ ﮐﻪ رﻓﺘﺎرﺷﺎن ﺑﻪ واﻗﻊ ﺑﺮ روﯼ ‪ v‬اﺛﺮ دارد‪،‬‬
‫ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺷﺪﻩاﻧﺪ (‬
‫اﮔﺮ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ رهﺎﺳﺎزﯼ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﺎلهﺎﯼ زﻧﺪﻩ و ﻣﺴﺪود‬
‫ﻧﮕﺎﻩ ﮐﻨﻴﻢ ﻣﻔﻴﺪﺗﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ ،‬اﮔﺮ راس ‪ u‬ﻋﻀﻮﯼ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫رهﺎﺳﺎزﯼ‬
‫از ‪ v‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﺎ ﻳﺎل‬
‫‪u,v‬‬
‫را زﻧﺪﻩ در ﻧﻈﺮ‬
‫ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ و در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺁن را ﻣﺴﺪود در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬
‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ )اﺻﻠﻴﻪ( اﺛﺒﺎت ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪0‬‬
‫ﮐﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ‬
‫از ﻣﺪل رهﺎﺳﺎزﯼ اﺳﺖ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Triggering ‬‬
‫‪ Triggering Set ‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ 45‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف‬
‫‪28‬‬
‫ﺳﺎزﯼ‬
‫و‬
‫ﮐﺎرهﺎﯼ‬
‫اوﻟﻴﻦ‬
‫ﻣﺮﺑﻮط‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﺪل‬
‫ﺳﺎزﯼ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ در ﺳﺎلهﺎﯼ ‪ 2003‬و ‪ 2005‬ﺗﻮﺳﻂ‬
‫ﮐﻤﭗ‪ ،‬ﮐﻼﻳﻨﺒﺮگ و ﺗﺎردوس ﻃﯽ دو ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪Error! Reference source not‬‬
‫‪ found.‬و ‪ Error! Reference source not found.‬اراﺋﻪ ﺷﺪ‪ .‬هﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ‬
‫دﻳﺪﻳﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﻋﻤﻮﻣﯽ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬
‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﻣﻘﺎﻟﻪهﺎﻳﯽ‬
‫ﮐﻪ ﭘﺲ از اﻳﻦ دو ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻄﺮح ﺷﺪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪TARGET‐SELECTION‬‬
‫ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪.TARGET‐SELECTION‬‬
‫‪V,E‬‬
‫ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮏ ﮔﺮاف‬
‫‪ G‬دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫∗‬
‫ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫∗‬
‫را ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ اﻧﺘﺨﺎب‬
‫‪ σ‬و ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎﯼ‬
‫∗‬
‫ﮐﻤﻴﻨﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫در‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫ﮐﺎهﺸﯽ‬
‫‪29‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻣﺪﻟﯽ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
‫دﻳﮕﺮ‬
‫ﻣﻄﺮح‬
‫از‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫ﻣﺪلهﺎﯼ‬
‫اﺳﺖ‪،‬‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﻣﺪل‪،‬‬
‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﻣﺪل‬
‫در‬
‫اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻧﺎم دارد‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺪل ﺗﻮﺳﻂ ﮐﻤﭗ‪ ،‬ﮐﻼﻳﻨﺒﺮگ و ﺗﺎردوس در‬
‫اداﻣﻪ ﮐﺎرهﺎﯼ ﻗﺒﻠﻴﺸﺎن در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 4‬در ﺳﺎل ‪ 2005‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪ‪ .‬از‬
‫ﻃﺮف دﻳﮕﺮ در اداﻣﻪ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﻳﮏ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ‬
‫ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﻧﻴﺰ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﮐﺎهﺸﯽ‬
‫وﻳﮋﮔﯽهﺎﯼ اﻳﻦ ﻣﺪل‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Target Set Selection ‬‬
‫‪ The Decreasing Cascade Model ‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪ 46‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬ﺑﻪ‬
‫اﺷﺨﺎص)رﺋﻮس(‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫ﮔﻔﺘﻪ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‬
‫در‬
‫ﺻﻮرﺗﯽ‬
‫ﮐﻪ‬
‫اﮔﺮ‬
‫ﻣﺤﺼﻮل ﻳﺎ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻳﺎ ﻋﻘﻴﺪﻩ را ﻗﺒﻮل ﮐﻨﻨﺪ و در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ‬
‫ﺻﻮرت ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﻳﮏ راس ﻓﻌﺎل ﺷﺪ‪ ،‬هﻤﻴﺸﻪ ﻓﻌﺎل‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎر‪ ،‬ﻗﺪم ﺑﻪ ﻗﺪم ﺟﻠﻮ ﻣﯽروﻧﺪ‪ .‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ راس‬
‫‪ u‬در اﺑﺘﺪا ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮد‪ ،‬ﺑﺮ ﻓﺮض در زﻣﺎن ‪ ،t‬ﺁن را‬
‫ﻣﺴﺮ ﯼ‬
‫‪30‬‬
‫در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬اﻳﻦ راس ﺷﺎﻧﺲ اﺛﺮﮔﺬارﯼ هﺮ‬
‫هﻤﺴﺎﻳﻪ ﻏﻴﺮﻓﻌﺎل ﻗﺒﻠﯽ ﺧﻮد ‪ v‬را دارا اﺳﺖ‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻳﮏ ﺗﻼش ﻣﻮﻓﻖ در ﺟﻬﺖ ﻓﻌﺎل ﺳﺎزﯼ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ‪ v‬در ﻗﺪم‬
‫‪ t 1‬ﻓﻌﺎل ﺷﻮد‪ .‬‬
‫‪ ‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪﻳﻦ هﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ v‬ﻓﻌﺎل در زﻣﺎن ‪ t‬ﻓﻌﺎل ﺷﺪﻧﺪ‪،‬‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ ﺗﻼش ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎل ﺳﺎزﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ دﻟﺨﻮاﻩ ﺻﻮرت‬
‫ﻣﯽﮔﻴﺮد وﻟﯽ ﻣﺎ ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ هﻤﻪ در ﻗﺪم ‪ t‬اﺗﻔﺎق‬
‫اﻓﺘﺎﻩ اﺳﺖ‪ .‬‬
‫‪ ‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ راس ‪ u‬ﺗﻤﺎم ﺗﻼش ﺧﻮد را ﺟﻬﺖ ﻓﻌﺎلﺳﺎزﯼ رﺋﻮس‬
‫دﻳﮕﺮ ﮐﺮد‪ ،‬ﻓﻌﺎل ﺑﺎﻗﯽ ﺧﻮاهﺪ ﻣﺎﻧﺪ وﻟﯽ دﻳﮕﺮ ﻣﺴﺮﯼ ﻧﺨﻮاهﺪ‬
‫ﺑﻮد‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ زﻣﺎﻧﯽ ﺗﻤﺎم ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ هﻴﭻ راس ﻣﺴﺮﯼ وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬‬
‫ﺑﺮاﯼ اﻳﻨﮑﻪ ﻣﺪل را ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﺷﺮح دهﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫اﻳﻨﮑﻪ راس ‪ u‬در ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن راس ‪ v‬ﻣﻮﻓﻖ ﻣﯽﺷﻮد را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬در ﺳﺎدﻩﺗﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬اﻳﻦ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ از ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‪ .‬در‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Contagious ‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ 47‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠﯽ‪ ،‬هﺮﭼﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻤﺎﻳﻞ راس ‪ v‬ﺑﺮاﯼ ﻓﻌﺎل ﺷﺪن ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﺘﺎﺛﺮ از هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﯽ از او ﮐﻪ ﺳﻌﯽ ﮐﺮدﻩاﻧﺪ او را‬
‫ﻓﻌﺎل ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﮐﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ S‬ﻧﺸﺎندهﻨﺪﻩ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎن ‪v‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺳﻌﯽ ﺧﻮد را ﻣﺒﻨﯽ ﺑﺮ اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﺑﺮ ‪ v‬ﮐﺮدﻩاﻧﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ‬
‫‪,‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ ‪ u‬را ﺑﺎ‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﯽدهﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاﯼ اﻳﻨﮑﻪ‬
‫اﻳﻦ ﻣﺪل را ﺑﻪ درﺳﺘﯽ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﮐﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﻼل از‬
‫ﺗﺮﺗﻴ ﺐ‬
‫‪31‬‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ ﻳﻌﻨﯽ اﮔﺮ هﻤﻪ راسهﺎ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪T‬‬
‫ﺳﻌﯽ ﮐﺮدﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﺮ ‪ v‬اﺛﺮ ﺑﮕﺬارﻧﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫ﺁﻧﻬﺎ ﺗﺎﺛﻴﺮﯼ در اﺣﺘﻤﺎل اﻳﻨﮑﻪ ‪ v‬در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻓﻌﺎل ﺷﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤﯽ‪ ،‬اﮔﺮ‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫و‬
‫́ ‪́ ,…,‬‬
‫و ﺑﻪ هﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫دو ﺟﺎﻳﮕﺸﺖ از ‪ T‬ﺑﺎﺷﻨﺪ و‬
‫́ ‪́ ,…,‬‬
‫‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
‫از ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻳﻌﻨﯽ‪:‬‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ ﺗﻤﺎم ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ‪ S‬ﮐﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ از ‪.T‬‬
‫از دﻳﺪ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪﻧﻤﻮدن اﺛﺮﮔﺬارﯼ‪ ،‬ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻓﺮاد ‪ A‬را هﺪف‬
‫ﻣﯽﮔﺬارﻳﻢ ﺑﺮاﯼ اﻳﻨﮑﻪ در زﻣﺎن ‪ 1‬ﻓﻌﺎل ﺷﻮﻧﺪ و ﻣﺴﺮﯼ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺳﭙﺲ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در ﺑﺎﻻ ﭘﻴﺶ ﺧﻮاهﻴﻢ رﻓﺖ ﺗﺎ دﻳﮕﺮ‬
‫راس ﻣﺴﺮﯼ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬اﻳﻦ اﺗﻔﺎق ﺣﺪاﮐﺜﺮ در ‪ n 1‬دور ﻣﯽاﻓﺘﺪ‪ .‬در‬
‫ﺁن ﻧﻘﻄﻪ‪ ،‬ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫را از رﺋﻮس ﻓﻌﺎل دارﻳﻢ‪ ،‬ﮐﻪ ﻣﻘﺪارﯼ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ اﺳﺖ‪ .‬هﺪف اﻧﺘﺨﺎب ‪ A‬ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ اﻣﻴﺪ رﻳﺎﺿﯽ‬
‫|‬
‫|‬
‫≔‬
‫ﺑﺮاﯼ اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻬﺎﻳﯽ رﺋﻮس ﻓﻌﺎل‪ ،‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ‬
‫ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺸﮑﻼت و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽهﺎﯼ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﯽ اﻳﻦ هﺪف‪ ،‬ﻣﺎ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Order‐Independence ‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ 48‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫هﺎﯼ‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫را‬
‫ﻧﻈﺮ‬
‫در‬
‫ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻪ ﺑﺰرﮔﯽ‬
‫ﺁن ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫‪1/‬‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻣﯽﺧﻮاهﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬اﯼ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫∗‬
‫ﺛﺎﺑﺖ‬
‫‪،c‬‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ k‬راﺳﯽ‬
‫∗‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮐﻤﻴﺖ ‪ c‬ﺿﻤﺎﻧﺖ ﺗﻘﺮﻳﺐ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻣﺎ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺪل ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻧﺘﺸﺎر ﺑﺴﻴﺎر ﻋﻤﻮﻣﻴﺖ دارد‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺪل‬
‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ هﺮ راس ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺮ راس دﻳﮕﺮ اﺛﺮ ﻣﯽ ﮔﺬارد و‬
‫ﭼﮕﻮﻧﻪ اﻳﻦ اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﺑﺎ ﺗﻌﺎﻣﻞهﺎﯼ ﻗﺒﻠﯽاﯼ ﮐﻪ راس داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪،‬‬
‫ﺗﻀﻌﻴﻒ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫ﮔﺮﻧﻮوﺗ ﺮ‬
‫‪32‬‬
‫از‬
‫ﻣﻨﻈﺮﯼ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻣﻮﺿﻮع‬
‫ﻣﺸﺎﺑﻪ‬
‫ﻣﺪل‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫) ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 10‬از ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 5‬ﻓﻮﻟﺪر ( ﺑﺮاﯼ ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫در اﻳﻨﺠﺎ ﻣﺤﺪودﻳﺘﯽ ﻃﺒﻴﻌﯽ را ﻣﻄﺮح ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺪل‬
‫‪,‬‬
‫اﻧﺘﺸﺎر ﮐﺎهﺸﯽ‪ .‬در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﮐﺎهﺸﯽ‪ ،‬ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫اﻓﺰاﻳﺸﯽ هﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪،‬‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ‬
‫⊆‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫در ‪ S‬ﻏﻴﺮ‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﺑﻴﺎن ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﻳﮏ راس ﻣﺴﺮﯼ ﺑﻪ ازاﯼ ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن هﺮ راس‬
‫∈‬
‫ﮐﺎهﺶ‬
‫ﻣﯽﻳﺎﺑﺪ‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ رﺋﻮس ﺑﻴﺸﺘﺮﯼ ﺳﻌﯽ ﺑﺮ ﻓﻌﺎل ﮐﺮدن ‪v‬‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ‪ v‬در اﻳﻨﺠﺎ اﺷﺒﺎع ﺑﺎزارﻳﺎﺑﯽ‬
‫‪33‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﮐﺎهﺸﯽ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﮏ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎص اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫در‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫‪Error! Reference source not found.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫ﺳﺎدﻩ‬
‫ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪاﯼ ﺑﺮاﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪﻧﻤﻮدن اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺿﻤﺎﻧﺖ‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ اﺻﻠﯽﺗﺮﻳﻦ ﺑﺤﺚ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Granovetter’s Threshold Model ‬‬
‫‪ Marketing Saturated ‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ 49‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ 1‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ‬
‫اﺑﺘﺪا ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ در ﺣﻠﻘﻪ ‪ for‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﻴﺸﺘﺮ در ﻣﻮرد ﺗﻌﻴﻴﻦ‬
‫راس‬
‫را‬
‫ﺑﺪاﻧﻴﻢ‪ .‬ﺣﺘﯽ در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻧﻴﺰ ﮐﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ‬
‫‪σ‬‬
‫زﻣﺎن‬
‫ﭼﻨﺪ‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫ﻳﺎ‬
‫ﺁﻳﺎ‬
‫اﻳﻨﮑﻪ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﮐﺎر‬
‫در‬
‫ﺟﻤﻠﻪاﯼ ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺠﺎم اﺳﺖ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و‬
‫‪ σ‬را‬
‫ارزﻳﺎﺑﯽ‬
‫ﻣﺴﻴﺮﯼ‬
‫رو‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت‬
‫ﺁﻳﻨﺪﻩ‬
‫ﻣﯽداﻧﻴﻢ‪.‬‬
‫هﺮﭼﻨﺪ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ اﻧﺘﺸﺎر اﻳﻦ وﻳﮋﮔﯽ را دارد ﮐﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻮﺛﺮﯼ‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ‬
‫ﺑﺎ‬
‫اﺟﺮاﯼ‬
‫ﻗﺎﻧﻮن‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ‬
‫اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﺗﺎﺛﻴﺮﮔﺬارﯼ ﺗﺎ زﻣﺎن ﭘﺎﻳﺎن‪ ،‬ﺷﺒﻴﻪ ﺳﺎزﯼ ﺷﻮد) ﮐﻪ هﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ‬
‫ﻣﻄﺮح ﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ در ‪ n 1‬دور اﻧﺠﺎم ﻣﯽﺷﻮد(‪ .‬ﺑﺎ ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ‬
‫‪ ،σ‬ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫ﻣﮑﺮر ﻓﺮاﻳﻨﺪ اﻧﺘﺸﺎر و ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﻴﺮﯼ‬
‫ﺧﻮﺑﯽ‬
‫‪ σ‬را ﺑﻪ دﺳﺖ ﺑﻴﺎورﻳﻢ‪ .‬ﻳﮏ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺪادﯼ ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ در‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫‪ 1‬را ﺑﺮاﯼ‬
‫‪ σ‬ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﺳﻮد ﺣﺎﺷﻴﻪا ﯼ‬
‫‪34‬‬
‫‪ 1‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫‪ σ‬ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﻳﮏ ﻋﻀﻮ ‪ v‬را‬
‫ﺁورﻳﻢ‪ .‬اﻳﻦ ارزﻳﺎﺑﯽ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ́‬
‫‪,‬‬
‫و ‪ ،n‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫‪σ‬‬
‫∪‬
‫‪ σ‬اش ﺑﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬
‫‪ 1‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ Error! Reference source not found.‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫ﺑﺎﻻ ﻗﻀﺎﻳﺎﯼ زﻳﺮ را دارﻳﻢ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Marginal Gain ‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ 50‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪.12‬‬
‫ﻓﺮض‬
‫ﮐﻨﻴﺪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ‪ k‬ﻋﻀﻮﯼ‬
‫‪ .1‬اﮔﺮ‬
‫∗‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫‪0‬‬
‫هﺮ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫∗‬
‫در‬
‫را ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﻨﺪ ﺣﺎل‪:‬‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪ‬
‫ﺗﮑﺮار‬
‫ﺗﻮﺳﻂ‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﺷﻮد‪،‬‬
‫‪1/‬‬
‫ﭘﻴﺪا‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‬
‫‪. 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬اﮔﺮ راس‬
‫‪ 1‬ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ راس در هﺮ ﺗﮑﺮار‬
‫ﻳﮏ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺁﻧﮕﺎﻩ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﺑﺎ ﺗﻘﺮﻳﺐ ́‬
‫́‬
‫ﺁﻧﮕﺎﻩ‬
‫‪ 1‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ ﻳﮏ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬
‫‪A‬اﯼ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﻴﺎن‬
‫ﺗﻤﺎم‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ ﺑﻪ‬
‫‪ 1‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫ﺑﺴﺘﮕﯽ دارد‪ .‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬اﺛﺒﺎت ﻗﻀﻴﻪ ﺑﺎﻻ اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺸﺎن دهﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫‪ σ‬ﺗﺎﺑﻌﯽ‬
‫ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ و ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر اﺳﺖ‪ .‬وﻳﮋﮔﯽ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﺑﻪ ﻃﻮر‬
‫∪‬
‫رﺳﻤﯽ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ ﮐ ﻪ‬
‫زﻣﺎن ﮐﻪ‬
‫∪‬
‫‪ σ‬هﺮ‬
‫⊆ ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻏﻴﺮ رﺳﻤﯽ اﻳﻦ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﺎهﺶ‬
‫وﺿﻌﻴﺖ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﯽ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺳﺮﻣﺎﻳﻪ ﮔﺬارﯼ ﺑﺮ روﯼ راس‬
‫‪ w‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ هﺰﻳﻨﻪ ﮐﻞ ﺳﺮﻣﺎﻳﻪ ﮔﺬارﯼ )ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ( زﻳﺎد ﻣﯽﺷﻮد‪،‬‬
‫ﮐﺎهﺶ ﻣﻴﺎﺑﺪ‪.‬‬
‫‪ σ‬ﺑﺮاﯼ اﺛﺒﺎت ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻳﻦ وﻳﮋﮔﯽهﺎﯼ‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﻗﻀﻴﻪ ﻣﺸﻬﻮر ﻧﻤﻬﺎوزر‪ ،‬وﻟﺰﯼ و ﻓﻴﺸﺮ را اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬
‫ﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫در اداﻣﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ وﻳﮋﮔﯽهﺎﯼ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر و‬
‫ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ و ﻏﻴﺮﻣﻨﻔﯽ ‪ f‬ﻣﯽﭘﺮدازد و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺁن‬
‫اﺛﺒﺎت‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻣﺪل‬
‫اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﮐﺎهﺸﯽ‬
‫‪ σ‬ﻳﮏ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ و ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر از ‪ A‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 51‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻرﻳﺘﯽ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪﻩ از ﻣﻮزل و راﮎ از دﭘﺎرﺗﻤﺎن ﺁﻣﺎر ﺑﺮﮐﻠﯽ‬
‫‪ Error! Reference source not found.‬روﯼ وﻳﮋﮔﯽ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ σ‬ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺤﺚ ﻣﯽﮐﻨﺪ و ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ ﭘﻴﺸﻴﻦ در ﻣﻘﺎﻟﻪهﺎﯼ‬
‫ﻗﺒﻠﯽ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ وﻳﮋﮔﯽ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻣﯽﭘﺮدازد‪ .‬در اﻳﻦ‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺑﺘﺪا ﺗﻌﺮﻳﻔﯽ از اﻧﺘﺸﺎر و اﺛﺮﮔﺬارﯼ ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ ﺳﭙﺲ ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻣﯽﭘﺮدازد‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪.12‬‬
‫)‬
‫اﻧﺘﺸﺎر(‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫⊆‬
‫‪F‬‬
‫دادﻩ‬
‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬
‫ﺷﺪﻩ‪،‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﺷﻮد‬
‫‪ ‬ﺑﻪ هﺮ راس ‪ v‬ﻳﮏ ﻣﻘﺪار ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮑﻨﻮاﺧﺖ در‬
‫ﺑﺎزﻩ ‪ 0,1‬ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯽدهﻴﻢ‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫‪ ‬در زﻣﺎن ‪1‬‬
‫از‬
‫\‬
‫‬
‫ﻗﺮار ﻣﯽدهﻴﻢ و ﺑﻪ‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫رﺋﻮﺳﯽ‬
‫‬
‫اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ‬
‫ﺑﻪ وﺿﻮح دﻧﺒﺎﻟﻪ ﭘﺲ از زﻣﺎن ‪ n‐1‬ﻣﯽاﻳﺴﺘﺪ‪ .‬ﻣﺎ‬
‫را ﺗﻮزﻳﻊ‬
‫‪ S‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ از ‪ S‬ﺷﺮوع ﻣﯽﺷﻮد در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ و‬
‫~‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ زﻳﺮوﻧﺪ را ﺣﺬف ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ‪ F‬را ﻧﺪارﻳﻢ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪ ) .13‬اﺛﺮﮔﺬارﯼ ( ﺑﺮاﯼ ﺗﺎﺑﻊ وزﻧﯽ ‪:w‬‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ اﺛﺮ‬
‫ﮐﻪ‬
‫‪ σ‬ﺑﺮاﯼ‬
‫⊆‬
‫→ ‪ ،2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‪:‬‬
‫ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﻣﻴﺪ رﻳﺎﺿﯽ ﺗﺤﺖ‬
‫‪ 52‬‬
‫‪ ‬‬
‫در ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺻﻠﯽ ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫‪7‬‬
‫ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺁن را‬
‫در اداﻣﻪ اﺛﺒﺎت ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .13‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻧﺘﺸﺎر را در ﺑﺎﻻ در ﻧﻈﺮ‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ ،‬ﮐﻪ در ﺁن ‪ F‬و‪ w‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر و ﺻﻌﻮدﯼ هﺴﺘﻨﺪ‪،‬‬
‫‪ σ‬ﻧﻴﺰ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر و ﺻﻌﻮدﯼ اﺳﺖ‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع‬
‫ﺣﺎل‬
‫زﻣﺎﻧﯽ درﺳﺖ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ w‬ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺎردﻳﻨﺎﻟﻴﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‪.‬‬
‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬
‫ﻣﻄﺮح‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫را‬
‫در‬
‫ﻧﻈﺮ‬
‫‪1‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ )ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ (‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺎل‬
‫ﻳﮏ‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻧﻤﻮدن‬
‫‪ σ‬در ﻣﻴﺎن ﺗﻤﺎﻣﯽ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ ‪ S‬ﺑﺎ اﻧﺪازﻩ ‪ ،k‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺎﻻ در اداﻣﻪ ﻗﻀﻴﻪ ‪ 1‬و ‪ 2‬از ﻣﻘﺎﻟﻪ ﮐﻤﭗ و ﺗﺎردوس )‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﺻﻠﯽ(‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ‬
‫‪KTT‬‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬
‫ﻳﮏ‬
‫از‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺳﺎدﻩ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﻴﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﺗﺨﻤﻴﻦ‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫‪ σ‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ) ﮐﻤﭗ و ﺗﺎردوس‪،(Error! Reference source not found.‬‬
‫اﻳﺪﻩ اﻳﻨﻄﻮر اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ را در ﻣﺮاﺣﻠﯽ اﺟﺮا ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﻣﺎ در‬
‫∩‬
‫اﻳﻨﺠﺎ ﺳﻪ ﻓﺎز اﺻﻠﯽ را ﻣﻄﺮح ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ :‬ﻣﺎ اﺑﺘﺪا‬
‫ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ‪ ،‬ﺳﭙﺲ‬
‫ﻣﺮﺣﻠﻪ‬
‫ﺁﺧﺮ‬
‫\‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫و در ﺁﺧﺮ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫اﻧﺠﺎم‬
‫را‬
‫\ ‪ .‬ﺗﻔﺎوت اﺻﻠﯽ در اﺟﺮاﯼ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﮐﺎر‪،‬‬
‫ﺟﺪا‬
‫ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻧﺮﻣﺎل ﺷﺪﻩ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در ﻣﻘﺎﻟﻪ‪،‬‬
‫از‬
‫ﺷﺮاﻳﻂ‬
‫‪Error! Reference ‬‬
‫‪source not found.‬ﺷﺮاﻳﻂ زﻳﺮ را ﻧﻴﺰ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ ‬ﻳﮏ ﺗﺮﮐﻴﺐ از ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎر و ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‪ ،‬ﮐﻪ ﺑﻪ ﺁﻧﻬﺎ‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺑﺎﻳﺪ‪-‬ﺑﺪاﻧﻴﻢ‬
‫‪35‬‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Need‐to‐Know ‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ 53‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬و ﻣﻬﻢﺗﺮ از ﺁن‪ ،‬ﻳﮏ روش ﺟﻔﺖﺷﺪﮔ ﯽ‬
‫ﺳﻨ ﺲ‬
‫‪37‬‬
‫‪36‬‬
‫ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﺎم ﺁﻧﺘﯽ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺸﺎهﺪﻩاﯼ ﮐﻪ ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﻓﺮاﻳﻨﺪهﺎ ﺑﺎ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ دﻟﺨﻮاﻩ ‪ A‬و ‪ B‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫و‬
‫‪ 1‬ﺷﺮوع ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ اﺷﺘﺮاﮎ ﺁﻧﻬﺎ را ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮرد ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ دﻗﺖ ﭘﻴﺎدﻩ ﺷﻮد ﺗﺎ ﺑﺘﻮان‬
‫ﻓﺼﻞﻣﺸﺘﺮﮎهﺎ را ﮐﻨﺘﺮل ﮐﺮد ) روش ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ‪Error! Reference‬‬
‫‪ .(sourcenotfound.‬‬
‫ﻣﺎ ‪ F‬و ‪ w‬را ﺻﻌﻮدﯼ و ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﻓﺮض ﮐﺮدﻳﻢ‪ .‬هﻤﭽﻨﻴﻦ دو‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫∪‬
‫دﻟﺨﻮاﻩ‬
‫⊆‬
‫‪,‬‬
‫را‬
‫ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ﮔﺮﻓﺘﻴﻢ‬
‫و‬
‫∩‬
‫و‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﺪﻩ اﺛﺒﺎت ﺟﻔﺖ ﮐﺮدن ﭼﻬﺎر دﻧﺒﺎﻟﻪ‬
‫ﻳﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ زﻳﺮ اﺳﺖ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ‬
‫و در اداﻣﻪ ﻟﻢ زﻳﺮ را ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Coupling ‬‬
‫‪ Antisense ‬‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ 54‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻟﻢ‪ .2‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻳﮏ ﺟﻔﺖﺷﺪﮐﯽ ﺑﺮاﯼ ‪ A, B, C, D‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ در‬
‫دو ﺷﺮط ﺑﺎﻻ ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺁﻧﮕﺎﻩ‬
‫اﺛﺒﺎت‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر و ﺻﻌﻮدﯼ ﺑﻮدن‬
‫دارﻳﻢ‬
‫و‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪،‬‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬
‫اﻣﻴﺪ‬
‫رﻳﺎﺿﯽ‬
‫ﺑﻪ‬
‫راﺑﻄﻪ‬
‫ﻣﻄﺮح‬
‫ﺷﺪﻩ‬
‫ﻣﯽرﺳﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﻣﺎ ﺑﺮ اﺳﺎس اﻳﺪﻩهﺎﯼ زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪ ‬ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺁﻧﺘﯽﺳﻨﺲ‪ :‬ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺑﺪﻳﻬﯽ اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ از‬
‫ﻳﮑﺴﺎن ﺑﺮاﯼ ﺗﻤﺎم روﻧﺪهﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫∪‬
‫اﻳﻦ ﻧﻮع ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ وﻳﮋﮔﯽ‬
‫وﻳﮋﮔﯽ‬
‫∪‬
‫⊆‬
‫⊆‬
‫را ﻧﺪارد وﻟﯽ‬
‫را دارد‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ از‬
‫ﻳﮑﺴﺎن ﺑﺮاﯼ ‪ A,B‬ﻓﺼﻞﻣﺸﺘﺮﮎ ﺁﻧﻬﺎ را ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻣﯽﮐﻨﺪ در‬
‫ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﺑﺮاﯼ ‪ A‬و‬
‫‪ 1‬ﺑﺮاﯼ ‪ B‬اﺷﺘﺮاﮎ را‬
‫ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ اﻳﻦ ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺁﺧﺮ را ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺁﻧﺘﯽﺳﻨﺲ‬
‫ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺑﻪ دﺳﺖﺁوردن هﻢ ﻓﺼﻞﻣﺸﺘﺮﮎ و هﻢ اﺷﺘﺮاﮎ‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮر هﻤﺰﻣﺎن‪ ،‬اﻳﻦ دو ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ را ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬‬
‫‪ ‬رﺷﺪ ﺗﺪرﻳﺠﯽ‪ .38‬رﺷﺪ ﭼﻬﺎر دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ‬
‫ﺗﺠﺰﻳﻪ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ اوﻟﻴﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‬
‫اﺿﺎﻓﻪ ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ‪ ،‬ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ زﻳﺮ اﺑﺘﺪا از رﺷﺪ‬
‫∩‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Piecemeal Growth ‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ 55‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺷﺮوع ﻣﯽﺷﻮد و ﺳﭙﺲ‬
‫\‬
‫و در ﺁﺧﺮ‬
‫\ ‪ .‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺁﺧﺮ از‬
‫ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺁﻧﺘﯽﺳﻨﺲ اﺳﺘﻔﺎﻩ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ اﻳﻨﮑﻪ ﺑﻪ ‪ B‬اﺟﺎزﻩ‬
‫ﮐﻨﺘﺮل ﮐﺮدن ‪ D‬را در ﺁن ﻓﺎز داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬‬
‫‪ ‬ﻧﻤﺎﻳﺶ‬
‫ﺑﺎﻳﺪ‪-‬ﺑﺪاﻧﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻧﻬﺎﻳﺖ‪،‬‬
‫در‬
‫اﺟﺮاﻳﯽ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺷﺪن‬
‫ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﻗﺒﻠﯽ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﮐﻪ ﻟﺰوﻣﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد ﮐﻪ در‬
‫اﺑﺘﺪاﯼ ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﺟﺎﯼ اﻳﻦ ﮐﺎر‪ ،‬در هﺮ‬
‫ﻗﺪم‪ ،‬ﻣﺎ ﻣﻘﺪار ﮐﻤﯽ اﻃﻼﻋﺎت ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز را درﺑﺎرﻩ‬
‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ‬
‫در ) ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 8‬در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ ،10‬ﺗﺎردوس ( اﺳﺖ‪ ،‬هﺮﭼﻨﺪ در‬
‫اﻳﻨﺠﺎ از ﺗﺮﮐﻴﺐ واﺿﺤﯽ از ﻣﺪلهﺎﯼ اﻧﺘﺸﺎر و ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﺮدﻩاﻳﻢ‪ .‬‬
‫در اداﻣﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ ،Error!Referencesourcenotfound.‬دو ﻟﻢ ﻣﻬﻢ دﻳﮕﺮ‬
‫درﺑﺎرﻩ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ S,T‬ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﻟﻢ اول درﺑﺎرﻩ رﺷﺪ ﺗﺮﻳﺠﯽ‬
‫اﺳﺖ و ﻟﻢ دﻳﮕﺮ درﺑﺎرﻩ ﺁﻧﺘﯽﺳﻨﺲ اﺳﺖ ﮐﻪ هﺮ دو ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ‬
‫ﺗﻮزﻳﻊ ‪ S,T‬ﻣﯽﭘﺮدازﻧﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ دو ﻟﻢ و ﻟﻢ ﻣﻄﺮح‬
‫ﺷﺪﻩ در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﻗﻀﻴﻪ ‪ 13‬را اﺛﺒﺎت ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﺑﺎ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ و ﺟﻔﺖﺷﺪﮔﯽ ﺑﻴﺎن ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ ،18‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﺎر دﻳﮕﺮ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ‬
‫ﻗﺮار ﻣﯽﮔﻴﺮد‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺑﺘﺪا ﻣﺪﻟﯽ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﺷﻮد‬
‫ﻣﺪل‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ در ﮔﺮاف‬
‫‪V,E‬‬
‫‪ G‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫→‬
‫‪:‬‬
‫دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ ﺑﻴﺎنﮔﺮ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪﯼ هﺮ راس اﺳﺖ‪ .‬و هﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ‬
‫راس دارﻳﻢ‬
‫‪ .‬در اﺑﺘﺪا رﺋﻮس ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اوﻟﻴﻪ را‬
‫ﻓﻌﺎل ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﺁن در هﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ رﺋﻮﺳﯽ را ﻓﻌﺎل ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫‪ 56‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﯼ ﻓﻌﺎل ﺁﻧﻬﺎ از‬
‫اﻳﻨﮑﺎر را ﺗﺎ ﺟﺎﻳﯽ اداﻣﻪ ﻣﯽدهﻴﻢ ﮐﻪ دﻳﮕﺮ هﻴﭻ راﺳﯽ ﻓﻌﺎل‬
‫ﻧﺸﻮد‪ ).‬اﻳﻦ روﻧﺪ ‪ n‐1‬دور اﺟﺮا ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ |‪ n |V‬ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس‬
‫ﮔﺮاف اﺳﺖ (‪ .‬اﻳﻦ روﻧﺪ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ ﻣﻮرد‬
‫ﻧﻈﺮ ﻣﺎ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ TARGETSETSELECTION‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ ﮔﺴﺘﺮش از‬
‫ﻧﮕﺎهﯽ دﻳﮕﺮ‬
‫ﻣﺪل ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 0‬از ﻣﺪل ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﺗﻮﺳﻂ ﮐﻤﭗ در‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫ﻣﺘﻔﺎوت‬
‫‪Error! Reference source not found. Error! Reference source not found.‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫اول‬
‫اﻳﻨﮑﻪ‬
‫ﺗﻤﺮﮐﺰ‬
‫ﺁﻧﻬﺎ‬
‫ﺑﺮ‬
‫از دو ﻧﻈﺮ‬
‫روﯼ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪﻧﻤﻮدن ﺑﻮدن ) ﺑﺮاﯼ هﺮ ‪ ،k‬ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف ﺑﺎ اﻧﺪازﻩ ‪k‬‬
‫ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس ﻓﻌﺎل را در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﻨﺪ (‬
‫وﻟﯽ در اﻳﻨﺠﺎ ﻣﺎ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﮐﻤﻴﻨﻪ اﻧﺪازﻩاﯼ هﺴﺘﻴﻢ ﮐﻪ ﺿﻤﺎﻧﺖ‬
‫ﮐﻨﺪ هﻤﻪ )ﻳﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺛﺎﺑﺘﯽ( از رﺋﻮس ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪ .‬دوم اﻳﻨﮑﻪ‬
‫ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻗﻄﻌﯽ و واﺿﺢ درﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺘﺎﻳﺞ‬
‫اﺻﻠﯽ ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 1‬در اداﻣﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺣﺎﻟﺖ ﻋﻤﻮﻣﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ TARGET SET SELECTION‬ﻣﺎ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺣﺪ‬
‫ﭘﺎﻳﻴﻦ ﭘﻠﯽﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﯽ‬
‫ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪2‬‬
‫‪39‬‬
‫را ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ‪ ،‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﺎ‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ ‪0‬‬
‫⊆‬
‫ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﻣﮕﺮ اﻳﻨﮑﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﺛﺒﺎﺗﯽ ﮐﻪ در اداﻣﻪ ﻣﻄﺮح ﺧﻮاهﺪ‬
‫ﺷﺪ ﺑﺮا ﭘﺎﻳﻪ ﮐﺎهﺸﯽ اﺳﺖ از ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬ﮐﻪ در ‪Error!Reference‬‬
‫‪ Error!Referencesourcenotfound. sourcenotfound.‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Poly Logarithmic ‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ 57‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ اﻧﻮاع ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ و ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺷﺒﮑﻪهﺎ‪،‬‬
‫ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺮ را ﻧﻴﺰ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﺑﻴﺸﻴﻦ‬
‫ﻳﮑﯽ از ﺣﺪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﻣﻬﻢ و ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‪ ،‬ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺑﻴﺸﻴﻦ‬
‫اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻳﮏ‬
‫راس‬
‫زﻣﺎﻧﯽ‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‬
‫ﻧﻴﻤﯽ‬
‫ﺣﺪاﻗﻞ‬
‫از‬
‫هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ ﻓﻌﺎل ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯼ ﻓﺮاواﻧﯽ از اﻳﻦ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺗﻮزﻳﻊ ﺷﺪ ﻩ‪ ، 40‬ﺳﺎﻣﺎﻧﻪهﺎﯼ راﯼﮔﻴﺮ ﯼ‬
‫‪41‬‬
‫و ﻏﻴﺮﻩ وﺟﻮد‬
‫دارد‪ .‬ﮔﻮﻧﻪهﺎﯼ ﻣﺘﻔﺎوﺗﯽ از ﺑﻴﺸﻴﻦهﺎ و روﻧﺪهﺎﯼ ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‪ ،‬ﺑﺎ‬
‫ﺣﺪود‬
‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬
‫ﻣﺘﻔﺎوت‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫هﺪف‬
‫دارﻧﺪ‪.‬‬
‫وﺟﻮد‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻴﺸﺘﺮ درﺑﺎرﻩ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﺑﻴﺸﻴﻦ ﺑﻪ‪Error! Reference‬‬
‫‪ sourcenotfound.‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺣﺪود ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺑﻴﺸﻴﻦ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﻴﻢ ﮐﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ‬
‫ﺑﺎب‬
‫اﺳﺖ‪.‬اﻳﻦ‬
‫ﻧﺴﺒﺘﯽ‬
‫ﻳﻌﻨﯽ‬
‫ﺑﻬﺘﺮ‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ‬
‫از‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻦ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫‪0‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﺧﺮد‪ :‬ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ زﻣﺎﻧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎ‬
‫ﮐﻮﭼﮏ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬درﻳﺮ ‪ Error! Reference source not found.‬ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ‬
‫اﮔﺮ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ هﺮ راس‪ k‬ﺑﺎﺷﺪ و ‪3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪TARGET SET‬‬
‫‪ SELECTION‬ﻣﺴﺎﻟﻪاﯼ ‪ NP‐hard‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬هﺮﭼﻨﺪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع‬
‫ﺑﺮاﯼ ﺣﺎﻟﺖ ‪ k 2‬هﻨﻮز ﻣﺴﺎﻟﻪاﯼ ﺑﺮرﺳﯽ ﻧﺸﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪18‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ‪ k 2‬ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽﺷﻮد و اﺛﺒﺎت ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻪ هﻤﺎن‬
‫ﺻﻮرت ‪ NP‐hard‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺟﺎﻟﺐﺗﺮ و ﺷﮕﻔﺖﺁور ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Distributed Computing ‬‬
‫‪ Voting Systems‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ 58‬‬
‫‪ ‬‬
‫در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﻳﻦ ﺑﻮد ﮐﻪ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ‪2‬‬
‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﺗﻘﺮﻳﺐ در ﺣﺎﻟﺖ ﻋﻤﻮﻣﯽ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﺛﺒﺎت ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﺑﺮﭘﺎﻳﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺳﺨﺘﯽ ﺑﺮاﯼ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﺑﻴﺸﻴﻦ‬
‫اﺳﺖ و اﻟﺒﺘﻪ ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ ﻣﺪارهﺎﯼ ﺑﻮﻟﯽ ﺻﻌﻮدﯼ‪ .42‬ﻣﯽﺗﻮان ﻣﺸﺎهﺪﻩ‬
‫ﮐﺮد ﮐﻪ ﺣﺎﻟﺖ هﺮ راس را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﻮﻟﯽ ﻧﺸﺎن‬
‫داد و ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮﻟﯽ ﺑﻴﺸﻴ ﻦ‬
‫‪43‬‬
‫از ﺣﺎﻟﺖ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ‬
‫ﻧﻮﺷﺖ‪ .‬ﺑﺮﭘﺎﻳﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺮﺗﺐ ﺳﺎزﯼ ﺷﺒﮑﻪهﺎ ‪Error!Referencesourcenot‬‬
‫‪ ،found.‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮﻟﯽ ﺑﻴﺸﻴﻦ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺎ ﻳﮏ ﻣﺪار ﺻﻌﻮدﯼ ﺑﺎ‬
‫اﻧﺪازﻩ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ ﮐﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
‫در ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺟﺮاﯼ ﻳﮏ ﻣﺪار‬
‫ﺻﻌﻮدﯼ ﺑﺎ اﻧﺪازﻩ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ ﺑﺮوﯼ هﺮ راس‪ ،‬ﻧﺸﺎن داد‪ .‬ﺑﺎ‬
‫داﺷﺘﻦ اﻳﻦ اﻳﺪﻩ‪ ،‬ﻣﺎ اﺟﺰاﻳﯽ ﻣﯽﺳﺎزﻳﻢ ﮐﻪ از رﺋﻮﺳﯽ ﺑﺎ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﺣﺪاﮐﺜﺮ‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ‬
‫هﺮ‬
‫دروازﻩ‬
‫‪AND‬‬
‫و‬
‫‪،OR‬‬
‫ﺗﺸﮑﻴﻞ‬
‫ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﻣﺘﺤﺪ‬
‫‪44‬‬
‫‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺎوﻣﺖ اﺛﺮﮔﺬار ﯼ‬
‫‪45‬‬
‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻣﺘﺤﺪ اﺳﺖ )ﺑﻪ‬
‫ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ هﺮ راس ﺑﺮاﺑﺮ درﺟﻪاش ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬
‫ﻣﺜﺎل درد ﻳﮏ ﺷﺒﮑﻪ ﻣﻘﺎوم درﺑﺮاﺑﺮ وﻳﺮو س‪ ، 46‬ﻳﮏ راس ﺗﻨﻬﺎ‬
‫زﻣﺎﻧﯽ ﺁﻟﻮدﻩ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ هﻤﺴﺎﻳﮕﺎﻧﺶ ﺁﻟﻮدﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫درﮎ‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻣﻮرد‬
‫ﻣﺸﺨﺺ‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﺎ‬
‫در‬
‫ﺳﺎﺧﺖ‬
‫ﺳﺎﺧﺘﺎرهﺎﯼ‬
‫ﺷﺒﮑﻪاﯼ ﻣﻘﺎوم درﺑﺮاﺑﺮ وﻳﺮوس ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ ﮐﻤﮏ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﻴﻢ‬
‫‪ ‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ Monotone Boolean circuits ‬‬
‫‪ Majority Boolean function ‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ Unanimous Thresholds ‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ Influence‐Resistant ‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ Virus Resistant ‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ 59‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﮐﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ ﻣﺘﺤﺪ ﻣﻌﺎدل ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺐ‪ 2-‬را ﻗﺒﻮل ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺳﺎﺧﺘﺎر درﺧﺘﯽ‬
‫ﻳﮑﯽ از ﺳﺎﺧﺘﺎرهﺎﯼ ﺳﺎدﻩ وﻟﯽ ﻣﻬﻢ ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ درﺧﺘﺎن‬
‫هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ ﺑﺎ ﻣﺤﺮﮎ درﺧﻮاﺳ ﺖ‬
‫‪47‬‬
‫!‪Error‬‬
‫‪ Error!Referencesourcenotfound. Referencesourcenotfound.‬ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻳﮏ‬
‫درﺧﺖ ﻣﺪل ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻳﮏ درﺧﺖ اﺳﺖ‪ ،‬درﻳﺮ‬
‫‪ Error! Reference source not found.‬ﻳﮏ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺟﺮاﯼ‬
‫ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاﯼ ﺑﺮاﯼ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف ﺑﻬﻴﻨﻪ ) زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ هﺎ ﻣﺴﺎوﯼ ﺑﺎﺷﻨﺪ ( اراﺋﻪ داد‪ .‬در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ ،0‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪهﺎﯼ دﻟﺨﻮاﻩ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﺳﺎزﯼ ﭘﻮﻳ ﺎ‬
‫‪48‬‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﻣﻴﺎﺑﺪ‪ .‬‬
‫در اداﻣﻪ ﻗﻀﻴﻪ و ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺻﻠﯽ ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ 1‬را ﺑﻴﺎن ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .13‬ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ TARGET SET SELECTION‬ﺑﺎ ﻧﺴﺒﺖ‬
‫هﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﻣﮕﺮ اﻳﻨﮑﻪ ⊆‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﺑﺎ ﮐﺎهﺸﯽ از ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫اﺑﺘﺪا‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪MinRep‬‬
‫را‬
‫ﺑﻴﺎن‬
‫‪49‬‬
‫‪ MinRep‬ﻗﺎﺑﻞ اﺛﺒﺎت اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‬
‫ﺳﭙﺲ‬
‫ﮐﺎهﺶ‬
‫را‬
‫ﻧﺸﺎن‬
‫ﺧﻮاهﻴﻢ داد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ .MinRep‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻳﮏ ﮔﺮف دو ﻗﺴﻤﺘﯽ‬
‫; ‪,‬‬
‫دارﻳﻢ‪ ،‬ﮐﻪ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﻳﯽ از رﺋﻮس ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪا از هﻢ‬
‫‪ ‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ Query Incentive Networks ‬‬
‫‪ Dynamic Programming ‬‬
‫‪49‬‬
‫‪ Minimum Representative ‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ 60‬‬
‫‪ ‬‬
‫هﺴﺘﻨﺪ و ﻧﺎﺣﻴﻪﺑﻨﺪﯼهﺎﯼ ﺁﺷﮑﺎرﯼ از ‪ A‬و ‪ B‬در زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫⋃‬
‫هﻢاﻧﺪازﻩ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﮐﻪ‬
‫ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫داراﯼ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﯼ‬
‫‪ G‬ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﮔﺮا ف‬
‫اﻧﺪازﻩ ‪β‬‬
‫و‬
‫‪50‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ‬
‫‪ | |/‬هﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻧﺎﺣﻴﻪﺑﻨﺪﯼهﺎﯼ‬
‫‪51‬‬
‫وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫ﻳﮏ ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎل‬
‫∈‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪ | |/‬و‬
‫ﺗﻤﺎﻣﯽ‬
‫‪ H‬را ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﯽﺁورﻧﺪ‪ :‬ﺑﻪ‬
‫‪ α‬ﺳﻮﭘﺮ‪-‬راس‬
‫و‬
‫و‬
‫اﻧﺪازﻩ‬
‫داراﯼ اﻧﺪازﻩ ﺛﺎﺑﺖ‬
‫⋃‬
‫هﺴﺘﻨﺪ و‬
‫‪52‬‬
‫∈‬
‫و‬
‫ﻣﻴﺎن‬
‫وﺟﻮد دارد اﮔﺮ وﺟﻮد‬
‫و‬
‫ﮐﻪ در ﮔﺮاف ‪ G‬هﻤﺴﺎﻳﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺷﮑﻞ‬
‫‪ 1‬ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ ﮐﻪ هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫داراﯼ ‪ 3‬راس و هﺮ‬
‫داراﯼ ‪ 4‬راس اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺎ ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ دوﺗﺎﻳﯽ‬
‫‪a,b‬‬
‫∈‬
‫‪،1‬‬
‫∈‬
‫و‬
‫‪,‬‬
‫در ﮔﺮاف ‪ G‬هﻤﺴﺎﻳﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل‪ ،‬در ﺷﮑﻞ‬
‫‪,‬‬
‫ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎل‬
‫‪,‬‬
‫ﻳﮏ ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎل‬
‫ﮔﻮﻧﻪاﯼ ﮐﻪ‬
‫ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎل‬
‫‪,‬‬
‫را ﻣﯽﭘﻮﺷﺎﻧﻨﺪ اﮔﺮ‬
‫‪,‬‬
‫را ﭘﻮﺷﺶ ﻣﯽدهﻨﺪ‪ .‬ﻣﯽﮔﻮﻳﻴﻢ‬
‫را ﭘﻮﺷﺶ ﻣﯽدهﺪ اﮔﺮ ﻳﺎﻓﺖ ﺷﻮد‬
‫‪,‬‬
‫‪،‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﻪ‬
‫را ﭘﻮﺷﺶ دهﺪ‪.‬‬
‫هﺪف ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬اﻧﺘﺨﺎب ﺣﺪاﻗﻞ ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﺮ ف‬
‫و‬
‫∪‬
‫∈‬
‫⊆‬
‫‪53‬‬
‫از هﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎلهﺎ ﭘﻮﺷﺶ دادﻩ‬
‫ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﮐﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺎ ﻣﯽﺧﻮاهﻴﻢ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪهﺎﻳﯽ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫| |‬
‫⊆‬
‫و‬
‫⊆‬
‫را ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﻢ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ اﻧﺪازﻩ‬
‫| | ﺑﻪ ﻃﻮرﯼ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﺳﻮﭘﺮ‪-‬ﻳﺎل‬
‫‪,‬‬
‫ﻣﻌﺮفهﺎﯼ‬
‫‪ ‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ Super Graph ‬‬
‫‪ Super‐Vertices ‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ Super‐Edge ‬‬
‫‪53‬‬
‫‪ Representative ‬‬
‫‪51‬‬
‫‪ 61‬‬
‫‪ ‬‬
‫∩‬
‫∈‬
‫و‬
‫∩‬
‫∈‬
‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ در ‪ G‬هﻤﺴﺎﻳﻪ‬
‫هﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪2‬ﻧﻤﻮﻧﻪاﯼ از ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪MinRep‬‬
‫از ﻃﺮﻓﯽ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪ Error! Reference source not found.‬ﻗﻀﻴﻪ زﻳﺮ‬
‫درﺑﺎرﻩ ‪ MinRep‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻗﻀﻴﻪ‪ .14‬ﺑﺮاﯼ هﺮ ‪0‬‬
‫هﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ‬
‫‪0‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬ﺑﺎ ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﻣﮕﺮ اﻳﻨﮑﻪ ⊆‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮهﺎن‪ .‬ﺣﺎل ﺑﻪ اﺛﺒﺎت ﻗﻀﻴﻪ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ درﺑﺎرﻩ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪TARGET‬‬
‫‪ SET SELECTION‬ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﮐﺎر ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫‪ 62‬‬
‫‪ ‬‬
‫; ‪,‬‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪ از‬
‫از ‪ ،MinRep‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ‪ M‬ﺗﻌﺪاد ﺳﻮﭘﺮ‪-‬‬
‫ﻳﺎلهﺎ و ‪ N‬ﮐﻞ ﺗﻌﺪاد ورودﯼهﺎ اﺳﺖ‪ .‬در ﮐﺎهﺶ‪ ،‬ﻣﺎ از اﺟﺰاﻳﯽ‬
‫(ﮐﻪ ‪1‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ) ﻣﺜﻞ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫‪1, … ,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪3‬واﺣﺪ ﺟﺰء ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪MinRep‬‬
‫ﺑﺮاﯼ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪TARGET SET SELECTION‬‬
‫در اداﻣﻪ ﻣﺎ ﺳﺎﺧﺖ ﮔﺮاف‬
‫از ﭼﻬﺎر ﮔﺮوﻩ اﺻﻠﯽ رﺋﻮس‬
‫ﻣﯽﭘﺮدازﻳﻢ‪ .‬اﺳﺎﺳﺎ‪،‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺗﺸﮑﻴﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ رﺋﻮس ﻣﻴﺎن هﺮ دو ﮔﺮوﻩ ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺰﺋﯽ ﮐﻪ در‬
‫ﺑﺎﻻ ﺷﺮح دادﻩ ﺷﺪ ﺑﻪ هﻢ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤﯽ ﺑﻪ اﻳﻦ‬
‫ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫∈ | ‬
‫∪‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫راس‬
‫‪‬‬
‫∈ |‬
‫و هﺮ راس ﺑﺎ ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫و هﺮ راس ﺁﺳﺘﺎﻧﻪاﯼ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪,‬‬
‫∈‬
‫ﺑﻪ هﺮ راس‬
‫ﺗﻮﺳﻂﻳﮏﺳﻮﭘﺮ‬
‫ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬‬
‫ﻳﺎلﻣﺘﺼﻞاﻧﺪ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬راس‬
‫در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ‬
‫∈‪ a‬و‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬‬
‫ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ‪ .‬‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺰ‬
‫و هﺮ راس داراﯼ‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﻪ راس‬
‫‪ 2‬دارد‪.‬‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺰ‬
‫∈ ‪ b‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺘﺼﻞاﻧﺪ‪ .‬‬
‫‪ 63‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,…,‬‬
‫∈‬
‫∈‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫اﺳﺖ و هﺮ راس ﺁﺳﺘﺎﻧﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫∈‬
‫ﺑﻪ هﺮ‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺰ‬
‫∈‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺰ‬
‫‪.‬‬
‫دارد‪ .‬هﺮ راس‬
‫ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ و هﺮ راس‬
‫ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ‪ .‬‬
‫ﺷﮑﻞ زﻳﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺳﺎﺧﺘﻦ ﮔﺮاف را ﺑﻬﺘﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﯽدهﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺷﮑﻞ ‪4‬ﺳﺎﺧﺖ ﮔﺮاف ́‪G ‬‬
‫اﺛﺒﺎت ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﭘﻴﺶ ﺧﻮاهﺪ رﻓﺖ ﮐﻪ ﻣﺎ ادﻋﺎ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫اﻧﺪازﻩ راﻩﺣﻞ ﺑﻬﻴﻨﻪ ﻣﺴﺎﻟﻪ ‪ MinRep‬ﺑﺮاﯼ ‪ G‬ﻓﺎﮐﺘﻮر ‪ 2‬اﻧﺪازﻩ‬
‫راﻩﺣﻞ‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫‪TARGET SET SELECTION‬‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺑﺮاﯼ ‪ TARGET SET SELECTION‬ﻟﺰوﻣﺎ‬
‫‪ 64‬‬
‫‪ ‬‬
‫هﻤﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻘﺮﻳﺐ ) ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺗﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮر ﺛﺎﺑﺘﯽ ( ﺑﺮاﯼ ‪MinRep‬‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫⊆‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ‬
‫و‬
‫⊆‬
‫ﻳﮏ راﻩﺣﻞ ﺑﻬﻴﻨﻪ ‪ MinRep‬ﺑﺮاﯼ ‪ G‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫⊆ ⋃‬
‫ﻣﺎ ادﻋﺎ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ‬
‫ﻳﮏ ﺟﻮاب ‪ TARGET SET SELECTION‬ﺑﺮاﯼ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬در اداﻣﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ اﺛﺒﺎت ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣﯽ رﺋﻮس در‬
‫در اﻧﺘﻬﺎ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻨﮑﻪ ‪S‬‬
‫ﺟﻮاب ﺑﻬﻴﻨﻪ ‪ TARGET SET SELECTION‬اﺳﺖ اداﻣﻪ اﺛﺒﺎت در ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫ﮐﺎﻣﻞ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫در اداﻣﻪ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ در ﺣﺎﻻت ﺧﺎص ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫‪deg‬‬
‫‪/2‬‬
‫ﺑﻪ ازاﯼ‬
‫و‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﻴﺰ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺳﺨﺘﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ ﺳﺨﺘﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫در‬
‫ﺳﺎل‬
‫‪2009‬‬
‫ﭼﻨﮓ‬
‫و‬
‫در‬
‫دﻳﮕﺮان‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪Reference‬‬
‫!‪Error‬‬
‫‪ Error! Reference source not found. source not found.‬ﺣﻞ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫ﺑﻬﻴﻨﻪﺳﺎزﯼ‬
‫ﮔﺴﺘﺮش‬
‫را‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﻧﮕﺮش‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎﯼ‬
‫ﺟﺴﺘﺠﻮﯼ‬
‫ﻣﺤﻠﯽ ﻣﺪ ﻧﻈﺮ ﻗﺮار دادﻧﺪ‪ .‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎﯼ اراﺋﻪ ﺷﺪﻩ ﺗﻮﺳﻂ ﺁﻧﻬﺎ‬
‫از هﻤﺎن اﻳﺪﻩ ﺣﺮﻳﺼﺎﻧﻪﯼ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ KKT‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽﮐﺮدﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ‬
‫اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ اﻓﺰاﻳﺶ ﮐﺎراﻳﯽ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎ از ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫ﻣﮑﺎﺷﻔﻪاﯼ‬
‫در‬
‫‪54‬‬
‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽﮐﺮدﻧﺪ‪.‬‬
‫‪found.‬‬
‫‪not‬‬
‫‪source‬‬
‫‪Reference‬‬
‫!‪Error‬‬
‫!‪Error‬‬
‫‪ Reference source not found.‬ﺳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺮاﯼ ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ اراﺋﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﻠﻴﺎت اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت‬
‫اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Heuristic ‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ 65‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻗﺒﻞ از ﻣﻄﺮح ﮐﺮدن ﺳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻣﺘﻐﻴﻴﺮهﺎﯼ ﻣﻮرد‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ در اﻳﻦ ﺳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ را ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﻴﺎن ﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ‬
‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬
‫‪N‬‬
‫ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس در ﮔﺮاف ‪G‬‬
‫‪M‬‬
‫ﺗﻌﺪاد ﻳﺎلهﺎﯼ ﮔﺮاف ‪G‬‬
‫‪K‬‬
‫ﺗﻌﺪاد ‪ seed‬هﺎﻳﯽ ﮐﻪ اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‬
‫‪R‬‬
‫ﺗﻌﺪاد دورهﺎﯼ ﺗﮑﺮار اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫‪P‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل اﻧﺘﺸﺎر در ﻣﺪل ‪IC‬‬
‫درﺟﻪ راس ‪v‬‬
‫ﺗﻌﺪاد هﻤﺴﺎﻳﻪهﺎﯼ ‪ v‬ﮐﻪ ﺑﻪ‬
‫ﻋﻨﻮان ‪ seed‬اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩاﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ :GeneralGreedy ‬اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣﻄﺮح‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬اﻳﺪﻩﯼ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﮐﻪ در هﺮ‬
‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫ﮐﻪ‬
‫∉‬
‫) ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ k‬ﻋﻀﻮﯼ ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﻳﺖ‬
‫ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد و در اﺑﺘﺪاﯼ ﮐﺎر‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫∅ اﺳﺖ ( ﻳﮏ ﻋﺪد‬
‫ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ‪ 20000‬ﺑﺎر ﺟﻤﻊ ﮐﺮدن ﻣﻴﺰان‬
‫ﻓﺮﺁﻳﻨﺪ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻧﺎﺷﯽ از ﻣﺠﻤﻮﻋ ﻪ‬
‫∪ در ﻣﺪل اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ‬
‫ﻣﻨﺘﺞ از ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‪ .‬ﻃﺮز ﻣﺤﺎﺳﺒﻪﯼ ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮ ﻣﺪل اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ در ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻪ ﺷﺮح زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪ :RandCas(S) .14‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ راسهﺎﻳﯽ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ در ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪i‬ام ﻓﻌﺎل ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ‪ .‬و ﻗﺮار دهﻴﺪ و‬
‫‪ 66‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫ﻗﺮار دهﻴﺪ‬
‫ﮐﻪ‬
‫∈‬
‫و‬
‫‪ .‬د ﻣﺮﺣﻠﻪﯼ ‪1‬‬
‫∉‬
‫ﺑﺎ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ام ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﻳﺎل‬
‫راس‬
‫را‬
‫ﻓﻌﺎل‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﭘﺲ از ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﻳﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪:‬‬
‫در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻋﻀﻮﯼ ﺑﻪ ‪ S‬اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار‬
‫را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ GeneralGreedy‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ 2‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪GeneralGreedy‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺎﻻ ﺑﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ )‪ RanCas(S‬دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬در هﺮ‬
‫دور‬
‫ام‪ ،‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻳﮏ راس را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ ‪S‬‬
‫ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاﯼ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ اﻳﻦ راس ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‬
‫‪ 67‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ S‬ﮔﺴﺘﺮش ﻧﻔﻮذ را ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﮐﻨﺪ ) ﺧﻂ ‪ .( 10‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪،‬‬
‫اﻳﻦ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﻳﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ راس اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ در دور ‪ i‬ام‪،‬‬
‫راﺳﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ اﻓﺰاﻳﺸﯽ را در اﻳﻦ دور‬
‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاﯼ اﻳﻦ ﮐﺎر‪ ،‬ﺑﺮاﯼ هﺮ راس‬
‫∉ ‪ ،‬ﮔﺴﺘﺮش‬
‫ﺷﺒﻴﻪ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫∪‬
‫ﻧﻔﻮذ‬
‫∪‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫)‬
‫ﺧﻄﻮط‬
‫‪9-3‬‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﺗﮑﺮار‬
‫زﻣﺎن‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ در زﻣﺎن‬
‫(‬
‫ﺗﺨﻤﻴﻦ‬
‫ﺳﺎزﯼ‬
‫ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬
‫زدﻩ‬
‫هﺮ‬
‫ﻃﻮر ﻣﯽﮐﺸﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﮐﻞ‬
‫ﺑﻪ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﯽرﺳﺪ‪.‬‬
‫‪ :NewGreedyIC ‬اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﺷﺒﻴﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻗﺒﻠﯽ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ در هﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪ 20000‬دور اﺟﺮاﻳﯽ‬
‫دارﻳﻢ‪ .‬در هﺮ دور از روﯼ ﮔﺮاف ورودﯼ‬
‫ﮔﺮاف ﻗﻄﻌﯽ‬
‫ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ هﺮ ﻳﺎل ﮐﻪ روﯼ ﺁن اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪ 1‬از‬
‫ﺣﺬف ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪاد راسهﺎﯼ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﯽ از‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ را ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﺣﺎﻻ‬
‫در‬
‫ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ‪ .‬اﺧﺘﻼف اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺎ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻗﺒﻠﯽ اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ در اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﮑﻞ ﺣﺴﺎب ﻣﯽﺷﻮد‪:‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ‪:‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ 3‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪NewGreedyIC‬‬
‫‪ 68‬‬
‫‪ ‬‬
‫اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻳﮑﯽ از اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎﯼ ﺑﻬﺒﻮد ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫ﺑﺎ‬
‫ﺗﻮﻟﻴﺪ‬
‫ﺑﺮاﯼ هﺮ‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫\ ∈‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫و‬
‫‪R‬ﺑﺎر‪،‬‬
‫هﺮﺑﺎر‬
‫ﺑﺎ ﭘﻴﻤﺎﻳﺶ ﺧﻄﯽ ﮔﺮاف‬
‫‪،‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﮐﺎﻧﺪﻳﺪاﯼ ﺑﻌﺪﯼ راس ‪ v‬را ﺑﺎ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ‬
‫ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ‬
‫اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﮐﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫‪،3‬‬
‫ﺟﺰﺋﻴﺎت‬
‫ﺑﺎ‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎﻻ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدهﺪ‪ .‬از ﺁﻧﺠﺎﻳﯽ‬
‫و‬
‫ﮐﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﺑﺮاﯼ هﻤﻪ رﺋﻮس‬
‫∈‬
‫زﻣﺎن‬
‫ﻃﻮل ﻣﯽﮐﺸﺪ‪ ،‬زﻣﺎن اﺟﺮاﯼ ﮐﻞ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﺧﻮاهﺪ‬
‫ﺑﻮد‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫ﮐﻪ‬
‫‪R‬‬
‫ﺗﻌﺪاد‬
‫ﺗﮑﺮار‬
‫ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزﯼ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻳﻦ‬
‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻗﺒﻞ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 69‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪:DegreeDiscountIC ‬‬
‫اﻓﺰاﻳﺶ‬
‫ﺑﺮاﯼ‬
‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫و‬
‫ﮐﺎراﻳﯽ‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢهﺎﯼ ﻗﺒﻞ در اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ از ﺗﺎﺑﻊ ﻣﮑﺎﺷﻔﻪاﯼ‬
‫درﺟﻪ ﺗﺨﻔﻴﻒ ﻳﺎﻓﺘ ﻪ‬
‫درﺟﻪ‬
‫)‬
‫ﻳﻌﻨﯽ‬
‫‪55‬‬
‫راسهﺎ‬
‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﮑﺎﺷﻔﻪاﯼ‬
‫را‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ‬
‫درﺟﻪ‬
‫ﺑﻪ‬
‫ﮐﻤﺘﺮﻳﻦ درﺟﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﻴﻢ ( ﻗﺒﻼ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ‪2003 KDD‬‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﺪﻩ ﺑﻮد و ﻋﺪم ﮐﺎراﻳﯽ ﺁن ﻧﺸﺎندادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﻮد‪ .‬اﻳﻦ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﺟﺪﻳﺪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ هﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﻣﮑﺎﺷﻔﻪاﯼ درﺟﻪ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﮔﺮ راس ‪ u‬ﻗﺒﻼ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ‬
‫ﺑﺎﺷﺪف در ﺷﻤﺎرش درﺟﻪ‬
‫ﻳﺎل‬
‫را ﻧﻤﯽﺷﻤﺎرﻳﻢ‪.‬‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ 4‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ )‪DegreeDiscountIC(G,k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Degree Discount ‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ 70‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ‪ Heap‬ﻓﻴﺒﻮﻧﺎﭼﯽ‪ ،‬زﻣﺎن اﺟﺮاﯼ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪4‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‬
‫ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﯽﺑﻴﻨﻴﻢ در‬
‫ﻋﻤﻞ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ DegreeDiscount‬ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮ از اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫‪ GeneralGreedy‬ﻋﻤﻞ ﻣﯽﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪﯼ‬
‫در اﻳﻦ رﺳﺎﻟﻪ ﻣﺒﺎﺣﺜﯽ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﮔﺴﺘﺮش اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ‬
‫اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﻣﻄﺮح ﺷﺪ و ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﺑﻪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺒﺎﺣﺚ ﺿﺮورﯼ و ﭘﻴﺶﻧﻴﺎز ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ ﮐﻪ در اداﻣﻪ‬
‫رﺳﺎﻟﻪ ﮐﺎرﺑﺮد داﺷﺘﻨﺪ‪ .‬از ﺟﻤﻠﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ و ﻧﻈﺮﻳﻪ‬
‫ﮔﺮاف ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﺑﺮﺧﯽ ﻗﻀﺎﻳﺎ و ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣﻄﺮح ﺷﺪﻩ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ 71‬‬
‫‪ ‬‬
‫در ﺑﺨﺶ ﺑﻌﺪﯼ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﺑﺮﺧﯽ ﻣﺪلهﺎﯼ اراﺋﻪ ﺷﺪﻩ ﺑﺮاﯼ ﮔﺴﺘﺮش‬
.‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ‬
‫در اداﻣﻪ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ هﺪف ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ و‬
‫ﻗﻀﺎﻳﺎﯼ ﻣﻬﻢ ﺁن از ﻣﻘﺎﻻت ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﻄﺮح ﺷﺪ و در اداﻣﻪ ﺁن ﺑﻪ‬
.‫ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺎرﻳﻒ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ‬
‫ﺑﺮرﺳﯽ ﺳﺎﺑﻤﺎدوﻻر ﺑﻮدن ﻣﺴﺎﻟﻪ‬
‫در اﻧﺘﻬﺎ ﻧﻴﺰ ﻧﮕﺎهﯽ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﯽ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﮔﺴﺘﺮش‬
.‫اﺛﺮﮔﺬارﯼ در ﺷﺒﮑﻪهﺎﯼ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ‬
‫ﻣﺮاﺟﻊ‬
Chen, N .(2008) .On the Approximability of Influence in Social Networks19 .th annual ACM-SIAM
symposium on Discrete Algorithm(SODA. (
D. Aldous, J. F .(2007) .Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs .Draft.
D. Kempe, J. a .(2005) .Influential nodes in a diffusion model for social networks .ICALP.
D. Kempe, J. K .(2003) .Maximizing the spread of influence through a social network9 .th International
Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD. (
Dreyer, P. A .(2000) .Applications and Variations of Domination in Graphs .Ph.D Thesis.
E. Arcaute, A. K.-N .(2007) .On Threshold Behavior in Query Incentive Networks .EC.74-66 ,
72
E. Mossel, S. R .(2007) .On the Submodularity of Influence in Social Networks .STOC.
Eyal Even-Dar, A. S .(2007) .A Note on Maximizing the Spread of Influence in Social Networks .Internet
and Networks Economics.
G. Cornuejols, M. F .(1977) .Location of Bank Accounts to Optimize Float .Management Science.23 ,
G. Kortsarz, R. K .(2004) .Hardness on Approximating Vertex-Connectivity Network Design Problems .
SIAM journal on Computing.720-704 ,
G. Nemhauser, L. W .(1978) .An analysis of the approsimations for maximizing submodular set
functions. Mathematical Programming, 14.
J. M. Kleinberg, P. R .(2005) .Query Incentive Networks .FOCS.141-132 ,
Knuth, D. E .(1997) .The Art of Computer Programming3 .rd edition, Addison-Wesley.
Kortsarz, G .(2001) .On the Hardness of Approximating Spaners .Algorithmica.450-432 ,
Lawler, E .(1979) .Fast approximation algorithm for knapsack problems .Mathematics of Operations
Research.356-4:330 ,
Lindvall, T .(1992) .Lectures on the Coupling Method .New York: Wiley.
M. Richardson, P. D .(2002) .Mining Knowledge Sharing Sites for Viral Marketing .Eighth Intl. Conf. on
Knowledge Discovery and Data Mining (KDD. (
M. Richardson, P .(2001) .Mining the network value of the customers7 .th Intl. Conf. on Knowledge
Discovery and Data Mining (KDD. (
P. Clifford, A. S .(1973) .A model for spatial conflict .Biometrica.
Peleg, D .(1996) .Local Majority Voting, Small Coalitions and Controlling Monopolies in Graphs .A
Review, in Proceedings of the 3rd Colloquium on Structural Information & Communication Complexity ,
.179-170
R.A. Holley, T. L .(1975) .Ergodic theorems for weakly interacting infinite. Systems and voter model .
Annals of Probability.663-3:643 ,
Raz, R .(1998) .A Parallel Repetition Theorem .SIAM J. Computing , V.27(3), 763-803.
Travers, J. S .(2007) .An Experimental Study of the Small World Problem .Cambridge, UK: Cambridge
University Press.
W.Chen, Y. S .(2009) .Efficient Influence Maximization in Social Networks15 .th International
Conference on Knowledge Discovery and Data Mining ( KDD. (
73
‫واژﻧﺎﻣﻪ اﻧﮕﻠﻴﺴﯽ ﺑﻪ ﻓﺎرﺳﯽ‬
Activation Time ................................ ‫زﻣﺎن ﻓﻌﺎلﺷﺪن‬
Bipartite ................................................................................................... ‫دو ﺑﺨﺸﯽ‬
Blocked ........................................ ‫ﻣﺴﺪود ﺷﺪﻩ‬
Contagious ....................................... ‫واﮔﻴﺮدار‬
Cost .............................................. ‫هﺰﻳﻨﻪ‬
Diameter ............................................................................................................ ‫ﻗﻄﺮ‬
Diminishing ......................................... ‫ﮐﺎهﺸﯽ‬
General Cascade Model ...................... ‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
General Threshold Model ................... ‫ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬
Independent Cascade Model ................... ‫ﻣﺪل اﻧﺘﺸﺎر ﻣﺴﺘﻘﻞ‬
Infinite ........................................... ‫ﻧﺎﻣﺤﺪود‬
Influence Model ............................... ‫ﻣﺪل اﺛﺮﮔﺬارﯼ‬
Linear Threshold Model ...................... ‫ﻣﺪل ﺣﺪﺁﺳﺘﺎﻧﻪ ﺧﻄﯽ‬
Link ............................................... ‫ﭘﻴﻮﻧﺪ‬
74
Live ................................................ ‫زﻧﺪﻩ‬
Monotone .......................................... ‫ﻳﮑﻨﻮا‬
Non Progressive ............................... ‫ﻏﻴﺮﭘﻴﺶ روﻧﺪﻩ‬
Power Law ..................................... ‫ﻗﺎﻧﻮن ﻗﺪرت‬
Progressive ....................................... ‫ﭘﻴﺶروﻧﺪﻩ‬
Random Walk ............................... ‫ﻗﺪم زدن ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
Rich Get Richer Phenomena........ ‫ﭘﺪﻳﺪﻩ ﭘﻮﻟﺪارﺗﺮ ﺷﺪن ﭘﻮﻟﺪارهﺎ‬
Set Cover ................................... ‫ﭘﻮﺷﺶ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ‬
Set Functions ............................... ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاﯼ‬
Social Network ................................ ‫ﺷﺒﮑﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ‬
Table ............................................... ‫ﺟﺪول‬
Vertex Cover ..................................... ‫ﭘﻮﺷﺶ راﺳﯽ‬
Viral Marketing .............................. ‫ﺑﺎزارهﺎﯼ ﺷﻔﺎهﯽ‬
Voter Model .................................. ‫ﻣﺪل راﯼدهﻨﺪﻩ‬
75
Abstract
Social networks plays an important role in information growth and spread in the
world. After the emerging of social networks new markets and new ways of doing
business in the internet world came true. In these markets ideas or even people’s
decisions affects their friends ideas and decisions in some kind of direct way.
On the other hand, many models in the spread on an idea, virus etc. in different
sciences have been analyzed. In social networks spreading is important in the field
of advertisements. In the following thesis we’re doing a survey on growth and
spread models.
Since social networks are providing suitable advertising firms for companies, they
are interested not only in the customer behavior, but also in pricings and different
methods for maximizing profit in these networks.
The main point of this thesis is to analyze different models in spread of social
networks and their complexity. It should be noted that all topics in this thesis are
introduced by other researchers.
Keywords: Social Networks, Spread of social networks, Spread of Influence
76
Sharif University of Technology
Computer Engineering Department
Bachelor of Science Thesis
Information Technology Engineering
Topic
Analysis of Spread of
Influence in Social Networks
by
Pezhman Ahli Bidgoli
Supervisor
Dr Mohammad Ali Safari
77
Summer 2011
78