‫بسم الله الرحمن الرحيم‬
‫عاختواًْای گغغتِ‬
‫اثثات ٍ هٌطك صفز ٍ یه‬
‫ػلی ؽزیفی سارچی‬
‫داًؾگاُ صٌؼتی ؽزیف‬
‫داًؾىذُ هٌْذعی واهپیَتز‬
‫تزم تْار ‪1387‬‬
‫ساختماوُای گسستٍ‬
‫ومرات گسستٍ‬
‫‪ ‬هیاى تزم اٍل (ّفتِ آخز لثل اس ًَرٍس)‪ً 3 :‬وزُ‬
‫‪ ‬هیاى تزم دٍم (ٍعط والعْای تؼذ ًَرٍس)‪ً 3 :‬وزُ‬
‫‪ ‬پایاى تزم‪ً 5 :‬وزُ‬
‫‪ ‬فؼالیت والعی(پزعؾْای ؽفاّی ٍ وتثی)‪ً 2/5 :‬وزُ‬
‫‪ ‬توزیي وتثی‪ً 3/5 :‬وزُ‬
‫‪ ‬توزیي ػولی‪ً 3 :‬وزُ‬
‫‪ ‬پزٍصُ ‪ً 1 :wikipedia‬وزُ (تزای ‪ 4‬صفحِ تاییذ ؽذُ)‬
‫‪ ‬خوغ‪22 :‬‬
‫حل تمریه گسستٍ‬
‫‪ ‬والط ‪ :1‬دٍؽٌثِ ّا ‪ 12:00‬تا ‪13:00‬‬
‫‪ ‬والط ‪:2‬‬
‫◦ ؽٌثِ یا دٍؽٌثِ‪ ،‬ؽزٍع اس ‪ 13:30‬یا ‪14:00‬‬
‫◦ عِ ؽٌثِ‪ ،‬ؽزٍع اس ‪ 9:30‬یا ‪13:30‬‬
‫‪ ‬هحل والعْا‪ :‬صثح دٍؽٌثِ اػالم هی ؽَد‬
‫تمریىُای گسستٍ‬
‫‪ ‬اػالم ٍ ارعال اس طزیك ٍتگاُ (اػالم آدرط در والط‬
‫دٍؽٌثِ صثح)‬
‫‪ ‬ارعال تِ صَرت الىتزًٍیه فمط اس طزیك ٍتگاُ ٍ در‬
‫سهاى هؾخص ؽذُ‬
‫◦ تایپ‬
‫‪ ‬فارعی ته (‪ 30‬درصذ ًوزُ اظافِ تزای ّز توزیي)‬
‫‪ 15( Word ‬درصذ ًوزُ اظافِ تزای ّز توزیي)‬
‫◦ دعت ًَیظ‪ ،‬اعىي ؽذُ‬
‫‪ ‬والط فارعی ته‪ :‬دٍؽٌثِ ‪ 13‬تا ‪14:30‬‬
‫ساختماوُای گسستٍ؟‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪Discrete Structures‬‬
‫ساختارّایی کِ برای هدلسازی هفاّین گسستِ بِ کار هیرًٍد‬
‫گسستِ؟ ّر چیس ًا پیَستِ‬
‫هجوَعِ جاًداراى ساکي در خَابگاُ‬
‫شبکِ اجتواعی داًشجَیاى‬
‫ردُ بٌدی تیوْای هلی فَتبال جْاى‬
‫ٍ آًچِ در طَل ترم خَاّین آهَخت‬
‫مًضًعات درس‬
‫‪ ‬اثبات‬
‫‪ ‬هٌطق صفر ٍ یک‬
‫‪ ‬هجوَعِ ّا‬
‫‪ ‬شوارش بدٍى اًگشت‬
‫‪ ‬استقرا‬
‫‪ ‬گرافْا‬
‫‪ ‬اعداد ٍ احتواالت‬
‫‪ ٍ ‬هَضَعاتی از ایي دست‬
‫اثثات‬
‫‪ّ ‬وِ ها با اثبات آشٌایین‬
‫‪ ‬اثبات یک راُ تصدیق ٍاقعیت است‬
‫‪ ‬دارای اًَاع هتفاٍتی است‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫حقَقی‬
‫اعتباری‬
‫علوی‬
‫احتواالتی‬
‫فلسفی‬
‫◦ ٍ ‪ ...‬ریاضی‬
‫قضیٍ فیثاغًرث‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫اثثات خًب‪ :‬قضیٍ فیثاغًرث‬
‫‪c‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c  4( )  (b  a)  a  b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫اثثات تد‪ :‬ثريتمىد شدن تا ریاضیات‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫اثثات رسمی یک گسارٌ‬
‫‪ ‬دًثالِ ای اس اعتٌتاج ّا وِ یه هدوَػِ اصَل اٍلیِ را تِ‬
‫گشارُ هَرد ًظز هٌتح وٌذ‪.‬‬
‫‪ ‬گشارُ‪ :‬یه خولِ وِ هیتَاًذ درعت یا غلط تاؽذ‬
‫◦ ‪2+3=5‬‬
‫◦ تِ اسای ّز ػذد صحیح ًاهٌفی ‪ n‬دارین ‪ n2  n  41‬اٍل‬
‫اعت‪.‬‬
‫‪n   : n 2  n  41 is prime‬‬
‫‪ ‬ایي گشارُ تِ اسای ‪ 0‬تا ‪ 39‬درعت اعت‪ .‬اها تزای ‪40‬؟‬
‫حدس ايیلر(‪)Euler Conjecture‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a  b c  d‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬اٍیلز در عال ‪ 1769‬حذط سد گشارُ تاال تِ اسای ّیچ‬
‫چْار ػذد صحیح هثثت تزلزار ًیغت‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a   b   c   d   .a  b  c  d‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a, b, c, d   .a  b  c  d‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 218 ‬عال تؼذ ‪ Elkies‬ثاتت وزد حذط فَق درعت‬
‫‪a  95800‬‬
‫ًیغت ‪b  217519‬‬
‫‪d  422481‬‬
‫‪c  414560‬‬
‫گسارٌ َا‬
‫‪‬‬
‫حذط‪ :‬هؼادلِ سیز ّیچ خَاتی در حَسُ اػذاد طثیؼی ًذارد‪:‬‬
‫‪313( x3  y 3 )  z 3‬‬
‫◦ گشارُ فَق غلط اعت اها وَچىتزیي هثال ًمط آى تیؼ اس ‪1000‬‬
‫رلن دارد!‬
‫‪ ‬حذط‪ّ :‬ز ًمؾِ هیتَاًذ تا ‪ 4‬رًگ‪ ،‬رًگ آهیشی گزدد تِ گًَِ‬
‫ای وِ ّیچ دٍ هٌطمِ ّوغایِ ای (تا هزس هؾتزن تِ طَل‬
‫تشرگتز اس صفز) ّوزًگ ًثاؽٌذ‬
‫◦ ایي گشارُ درعت اعت‪ ،‬اها در عال ‪ 1976‬تا یه تزًاهِ پیچیذُ تِ‬
‫ٍعیلِ رایاًِ تزرعی ؽذ‪.‬‬
‫◦ اخیزا یه اثثات لاتل تزرعی تزای آى ارائِ گزدیذُ اعت‪.‬‬
‫گسارٌ َا‬
‫‪ ‬حذط ‪ّ :Goldbach‬ز ػذد طثیؼی سٍج تشرگتز اس ‪2‬‬
‫هدوَع دٍ ػذد اٍل اعت‪.‬‬
‫‪ٌَّ ‬س وغی ًویذاًذ وِ آیا گشارُ فَق درعت اعت یا غلط!‬
‫ريش اصًلی (‪)Axiomatic Method‬‬
‫‪ ‬فزایٌذ اعتاًذارد اثثات در ریاظی‬
‫‪ ‬اللیذط‪ 300 :‬عال لثل اس هیالد حعزت هغیح (ػلیِ‬
‫الغالم)‬
‫‪ ‬ؽزٍع تا پٌح فزض اٍلیِ ٌّذعی وِ تذیْی تِ ًظز‬
‫هیزعٌذ‬
‫◦ هثال‪ :‬تیي ّز سٍج ًمطِ‪ ،‬یه پارُ خط هغتمین ٍخَد دارد‬
‫‪ ‬ایي فزظیات اٍلیِ‪« ،‬اصَل» ًاهیذُ هیؾًَذ‬
‫‪ ‬تا ؽزٍع اس ایي فزظیات‪ ،‬صحت تغیاری اس گشارُ ّا تِ‬
‫ٍعیلِ «اثثات» هؾخص ؽذ‬
‫اصطالحات مُم در ريش اصًلی‬
‫‪ ‬لعیِ (‪ :)Theorem‬گشارُ ّای هْن درعت‬
‫‪ ‬لن (‪ :)Lemma‬گشارُ همذهاتی وِ تزای اثثات گشارُ‬
‫ّای تؼذی اعتفادُ هی ؽَد‬
‫‪ً ‬تیدِ (‪ :)Corollary‬گشارُ ای وِ تا چٌذ لذم عادُ‬
‫هٌطمی اس یه لعیِ هٌتح هی گزدد‬
‫اصًل ریاضی‬
‫‪ّ ‬واى طَر وِ تزای اعتٌتاج ول لعایای ٌّذعِ اللیذعی ‪5‬‬
‫اصل وافی اعت‬
‫‪ ‬تزای رعیذى تِ ّوِ گشارُ ّای ریاظیات هدوَػِ وَچىی‬
‫اس اصَل وافی تِ ّوزاُ دعتِ وَچىی اس لَاًیي اعتٌتاج‬
‫وافی ّغتٌذ‬
‫‪ ‬ایي هدوَػِ ‪Zermelo-Frankel with Choice‬‬
‫(‪ً )ZFC‬اهیذُ هیؾَد‬
‫‪ ZFC ‬آًمذر وَچه اعت وِ تزای اثثات ‪20000 ،2+2;4‬‬
‫لذم السم اعت!‬
‫‪ ‬تزخیح هیذّین اس یه هدوَػِ ػظین اس اصَل اعتفادُ وٌین‬
‫(ریاظیات دتیزعتاى)‬
‫‪ZFC‬‬
‫‪ ‬گغتزدگی (‪ :)Extensionality‬دٍ هدوَػِ یىغاى ّغتٌذ اگز ٍ تٌْا اگز اػعای یىغاى داؽتِ‬
‫تاؽٌذ‪:‬‬
‫‪(z.( z  x  z  y))  x  y‬‬
‫‪ ‬خفت ؽذى (‪ : )Pairing‬تِ اسای ّز دٍ هدوَػِ ‪ ،y ٍ x‬هدوَػِ }‪ٍ {x,y‬خَد دارد وِ ‪ y ٍ x‬تٌْا‬
‫اػعای آى تاؽٌذ‪.‬‬
‫‪ ‬اختواع (‪ :)Union‬تِ اسای ّز خاًَادُ ‪ z‬اس هدوَػِ ّا‪ ،‬اختواع آًْا ًیش یه هدوَػِ هثل ‪ u‬اعت وِ‬
‫تِ صَرت سیز تؼزیف هی ؽَد‪:‬‬
‫‪ux.(y.x  y  y  z)  x  u‬‬
‫‪ ‬تی ًْایت (‪ :)Infinity‬یه هدوَػِ ًاهتٌاّی ٍخَد دارد‪ .‬ایي هدوَػِ ًاتْی وِ ها آى را ‪ x‬هیٌاهین‬
‫ایي خاصیت را دارد وِ‬
‫‪y  x  { y} x‬‬
‫‪ ‬سیزهدوَػِ (‪ :)Subset‬تِ اسای ّز هدوَػِ ‪ّ ٍ x‬ز گشارُ )‪ P(y‬دادُ ؽَد‪ ،‬هدوَػِ ای ٍخَد دارد‬
‫وِ فمط ؽاهل اػعای ‪ y  x‬تاؽذ وِ تزای آًْا )‪ P(y‬تزلزار اعت‬
‫‪‬‬
‫هدوَػِ تَاًی (‪ّ :)Power Set‬وِ سیزهدوَػِ ّای یه هدوَػِ خَد تؾىیل یه هدوَػِ‬
‫هیذٌّذ‬
‫‪( ZFC‬ادامٍ)‬
‫‪ ‬تؼَیط (‪ :)Replacement‬تصَیز یه هدوَػِ تحت یه تاتغ خَد یه هدوَػِ اعت‬
‫‪ ‬عاخت (‪ :)Foundation‬تزای ّز هدوَػِ ًاتْی ‪ ،x‬هدوَػِ ًاتْی‪ٍ y  x‬خَد دارد تِ لغوی وِ‬
‫‪ّ y ٍ x‬یچ ػعَ هؾتزوی ًذاؽتِ تاؽٌذ‪.‬‬
‫◦ ایي تٌذ اس اصَل اس ایي وِ یه هدوَػِ سیزهدوَػِ خَدػ تاؽذ خلَگیزی هیىٌذ‪ .‬در ٍالغ تیاى‬
‫هیىٌذ وِ ّز هدوَػِ هیتَاًذ تِ صَرت یه تَالی اس هدوَػِ ّای عادُ تز عاختِ ؽَد‪.‬‬
‫‪ ‬اًتخاب (‪ :)Choice‬هی تَاًین یه ػعَ ّز هدوَػِ اس ّز خاًَادُ اس هدوَػِ ّای ًاتْی را اًتخاب‬
‫وٌین‪ .‬تِ تیاى دلیك تز اگز ‪ x‬یه هدوَػِ تاؽذ ٍ ّز ػعَ آى ًیش یه هدوَػِ ًا تْی تاؽذ آًگاُ یه‬
‫تاتغ اًتخاب ‪ٍ g‬خَد دارد تِ لغوی وِ تِ اسای ّز ‪ y  x‬داؽتِ تاؽین‪g ( y)  y‬‬
‫گسارٌ َای ترکیثی‬
‫‪‬‬
‫در ستاى فارعی هیتَاًین گشارُ ّا را تِ ٍعیلِ نه (نفی)‪ ،‬و‪،‬‬
‫یا‪ ،‬اگر ٍ آنگاه تِ یىذیگز پیًَذ سًین‬
‫‪‬‬
‫اگر ّوِ اًغاًْا فاًی تاؽٌذ و اگر ّوِ داًؾدَیاى اًغاى‬
‫تاؽٌذ آنگاه ّوِ داًؾدَیاى فاًی ّغتٌذ‬
‫‪‬‬
‫در هٌطك درعت ٍ غلط یا «تَلی» (‪ً )Boolean‬یش‬
‫هیتَاًین ّویي گشارُ ّای تزویثی را هذل وٌین‬
‫‪‬‬
‫‪Then ،If ،Not, And, Or‬‬
ٌ‫ آوگا‬،‫ اگر‬،‫ یا‬،ٍ‫ و‬،‫ي‬
P
Not P
P
Q
P And Q
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
P
Q
If P
Then Q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
P
Q
P Or Q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
»)XOR(‫«اگر ي تىُا اگر» ي «یای مىحصر‬
P
Q
P Iff Q
P
Q
P Xor Q
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
‫مىطق گسارٌ ای در تروامٍ َای رایاوٍ ای‬
if (x > 0 || (x <= 0 && y > 100))
… (‫)ادامه برنامه‬
A: x > 0
B: y > 100
A Or ((Not A) And B)
A
B
A or ((Not A) And B)
A Or B
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
if (x > 0 || y > 100)
‫وگارش ریاضی گسارٌ َای ترکیثی‬
Not P
P And Q
P Or Q
If P then Q (P Implies Q)
P If and only If Q (P Iff Q)
P Xor Q
P P
PQ
PQ
P Q
P Q
P Q
‫قًاعد استىتاج در مىطق تًلی‬
‫همذم‬
P, P  Q
Q
P  Q
QP
‫تالی‬
P  Q, Q
P
P  Q, Q  R
PR
P  Q
P Q
‫گسارٌ َای شرطی‬
‫‪ ‬گشارُ ای تِ صَرت «اگز ‪ p‬آًگاُ ‪ »q‬یه گشارُ ؽزطی‬
‫ًاهیذُ هی ؽَد‬
‫‪ ‬رٍؽْای اثثات گشارُ ؽزطی‪:‬‬
‫◦ رٍػ هغتمین‬
‫‪ ‬فزض وٌین ‪ p‬درعت اعت‪.‬‬
‫‪ ‬ثاتت وٌین ‪ q‬هٌطما ًتیدِ هیگزدد‪.‬‬
‫◦ رٍػ ػىظ ًمیط‬
‫‪ ‬فزض وٌین ‪ً q‬ادرعت اعت‪.‬‬
‫‪ ‬ثاتت وٌین ‪ً p‬ادرعت اعت‪.‬‬
‫ريش عکس وقیض‬
‫‪ ‬ثاتت وٌیذ اگز یه ػذد گَیا ًثاؽذ خذر آى ًیش گَیا‬
‫ًیغت‪.‬‬
‫‪ ‬اثثات‪ :‬فزض وٌیذ خذر یه ػذد گَیا تاؽذ‪ .‬دارین‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪r  2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ ‬در ًتیدِ ‪ r‬گَیا اعت‬
‫اثثات اگر ي تىُا اگر‬
‫‪ ‬رٍػ اٍل‪ :‬ثاتت وٌین ّز گشارُ دیگزی را ًتیدِ هیذّذ‬
‫‪ ‬رٍػ دٍم‪ :‬افشٍدى گشارُ (ّای) هیاًی‪ ،‬اثثات آى وِ اٍلی‬
‫دٍهی را ًتیدِ هیذّذ‪ ،‬دٍهی عَهی را ٍ عَهی‪ ،‬اٍلی را‬
‫‪ ‬تِ ػثارت دیگز ایداد یه سًدیزُ اس اگز ٍ تٌْا اگز‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬ثاتت وٌیذ اًحزاف هؼیار یه عزی دادُ صفز اعت‬
‫اگز ٍ تٌْا اگز ّوِ آًْا یىغاى تاؽٌذ‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n  1 i 1‬‬
ٌ‫اثثات تا ساخته زوجیر‬
1 n
2
(
x

X
)
0

i
n  1 i 1
‫ّا صفز اعت‬
ُ‫داد‬
‫هؼیار‬
‫اًحزاف‬
:
P

n
2
:Q 
(
x

X
)
0

i
‫ّغتٌذ‬i 1‫ ّوِ دادُ ّا یىغاى‬:R 
:P→Q 
n
n
2
(
x

X
)

0

(
x

X
)
0
 i
 i
2
i 1
n
i 1
2
2
(
x

X
)

0



(
x

X
)
 0  i  xi  X
 i
i
i
i 1
i  xi  X   ( xi  X ) 2  0  S  0
:Q→R 
:R→P 
( P  Q  R  P)  ( P  Q  R  P)
‫اثثات وادرست‬
‫‪ab‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬فزض وٌیذ هیخَاّین ثاتت وٌین‪:‬‬
‫‪ ‬چِ چیشی در هَرد اثثات سیز ًادرعت اعت؟‬
‫? ‪ab‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪2‬‬
‫?‬
‫‪a  b  2 ab‬‬
‫?‬
‫‪a  b  2ab  4ab‬‬
‫?‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  b  2ab  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(a  b) 2  0‬‬
‫‪2‬‬
)ٍ‫اثثات وادرست (ادام‬
ab
‫این‬
 ab  (a  b) 2  0
2
‫ وِ ارسؽی ًذارد‬P  True
ُ‫ در ٍالغ ثاتت وزد‬
‫ ایي هؼادل اعت تا‬
:‫ اثثات درعت‬
ab
 ab
2
is implied by
a  b  2 ab
which is implied by
a 2  b2  2ab  4ab
which is implied by
a 2  b2  2ab  0
which is implied by
(a  b) 2  0
‫اثثات وادرست (ادامٍ)‬
‫‪ ‬اها اثثات تِ ؽیَُ لثل خیلی ٍلتْا تِ اؽتثاُ هی اًداهذ‬
‫‪ab‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪is implied by‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪log(1)(a  b)  log(1)(2 ab‬‬
‫)‬
‫‪ab‬‬
‫‪log(1a b )  log(12‬‬
‫)‪log(1)  log(1‬‬
‫‪ ‬پظ تْتز آى اعت اتتذا اس فزض ؽزٍع وٌین ٍ عپظ تِ‬
‫حىن تزعین‬
‫اثثات تا ترَان خلف‬
‫‪ ‬فزض وٌیذ ‪ A‬یه گشارُ اعت‪ .‬اگز ‪ Not A‬تِ یه ًتیدِ‬
‫ًادرعت (تٌالط) تیاًداهذ ‪ A‬درعت اعت ‪A  False‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬ثاتت وٌیذ خذر ‪ 2‬ػذدی گٌگ اعت‬
‫‪ ‬اثثات‪ :‬فزض وٌیذ خذر ‪ 2‬گَیا تاؽذ‪ .‬آى را تِ صَرت یه وغز‬
‫تحَیل ًاپذیز (صَرت ٍ هخزج ًغثت تِ ّن اٍل) هیٌَیغین‪.‬‬
‫دارین‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫)‪2  (a  2  2  2b 2  a 2  a  (even‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪ a  2k  2b2  4k 2  b2  2k 2  b  (even‬‬
‫‪ ‬وغز تا صَرت ٍ هخزج سٍج تحَیل پذیز اعت‪ :‬تٌالط‪.‬‬
‫اثثات تا حالت گیری‬
‫‪ ‬فزض لزاردادى حالت ّای هختلف یه گشارُ ٍ اثثات‬
‫حىن در ّوِ آى حالت ّا‪C1  C2 , C1  A, C2  A :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A  (A  B)  A  B‬‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬هیخَاّین ثاتت وٌین‬
‫‪ ‬اثثات‪ A :‬دٍ حالت دارد‪:‬‬
‫‪ ‬اگز ‪ A‬درعت تاؽذ‪ ،‬آًگاُ ‪ A‬یا ّزچیشی در ّز دٍ گشارُ‬
‫تزویثی درعت اعت‪ ،‬پظ دٍ گشارُ تزویثی یىغاًٌذ‬
‫‪ ‬اگز ‪ً A‬ادرعت تاؽذ‪ ،‬آًگاُ ‪ ، (A  B)  B‬پظ تاسّن‬
‫دٍ گشارُ یىغاًٌذ‬
‫اثثات تا حالت گیری‪ :‬مسالٍ ‪Ramsey‬‬
‫‪ ‬اگز آؽٌایی تیي دٍ ًفز یه راتطِ دٍطزفِ تاؽذ ثاتت‬
‫وٌیذ در یه خوغ ‪ً 6‬فزُ‪ً 3 ،‬فز ّغتٌذ وِ ّوگی‬
‫آؽٌایٌذ (هثلث آؽٌایی) یا ‪ً 3‬فز وِ ّوگی تیگاًِ اًذ‬
‫(هثلث تیگاًگی)‬
‫آؽٌایی‬
‫تیگاًگی‬
‫اثثات مسالٍ رمسی (‪)Ramsey‬‬
‫‪ ‬اثثات‪ :‬یه ًفز تا ًام ‪ x‬را در ًظز تگیزیذ‪ .‬اس تیي ‪ً 5‬فز‬
‫تالیواًذُ دٍ حالت ٍخَد دارد‪:‬‬
‫‪ ‬یا حذالل ‪ً 3‬فز ‪ x‬را هیؾٌاعٌذ‪ .‬در ایي صَرت دٍ حالت‬
‫ٍخَد دارد‪:‬‬
‫◦ آؽٌایی تیي یه سٍج اس ایي ‪ً 3‬فز تاػث تؾىیل یه هثلث‬
‫آؽٌایی تا ‪ x‬هیؾَد‬
‫◦ در غیز ایي صَرت تیي ایي عِ ًفز یه هثلث ػذم آؽٌایی‬
‫اعت‬
‫‪ ‬یا ‪ً 3‬فز ‪ x‬را ًویؾٌاعٌذ‪ :‬اثثات هؾاتِ حالت لثل‬
‫عدد رمسی (‪)Ramsey Number‬‬
‫‪ :R(k) ‬وَچىتزیي تؼذاد افزاد وِ در تیي آًْا یا ‪ً k‬فز‬
‫تاؽٌذ وِ ّوگی تا یىذیگز آؽٌا تاؽٌذ یا ‪ً k‬فز تاؽٌذ وِ‬
‫ّیچ یه ّوذیگز را ًؾٌاعٌذ‬
‫‪R(3)=6 ‬‬
‫‪( R(4)=18 ‬اثثات عادُ ای ًذارد)‬
‫‪ٌَّ R(5) ‬س یافتِ ًؾذُ‬
‫‪( Paul Erdös ‬ریاظیذاى هؼزٍف) تز ایي ػمیذُ تَد وِ‬
‫اهیذی تزای یافتي )‪ٍ R(6‬خَد ًذارد!!‬
‫آیا حالت گیری ريش خًتی است؟‬
‫‪ ‬حغي‪ :‬ؽىغتي یه هغالِ پیچیذُ تِ حالتْای عادُ تز‬
‫‪ ‬ػیة‪ :‬تزخی هؼتمذًذ اعتفادُ اس ایي رٍػ تزای تغیاری‬
‫اس هغائل ًگزاى وٌٌذُ اعت‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬حذط ‪Goldback‬‬
‫‪ّ« ‬ز ػذد سٍج تشرگتز اس ‪ 2‬را هیتَاى تِ صَرت حاصل‬
‫خوغ دٍ ػذد اٍل ًَؽت»‬
‫‪ ‬تزای ّوِ اػذاد ‪ 1‬تا ‪ 10.000.000.000.000‬چه ؽذُ‬
‫ٍ هثال ًمعی یافت ًؾذُ!‬
‫چگًوٍ اثثات خًتی تىًیسیم؟‬
‫‪ ‬در اتتذا اعتزاتضی خَد را هؾخص وٌیذ‪ .‬هثال‪:‬‬
‫◦ ایي حىن را تا اعتمزا اثثات هیىٌین‬
‫◦ فزض وٌیذ حىن درعت ًثاؽذ‪ .‬ثاتت هیىٌین تٌالط رخ هیذّذ‬
‫‪ ‬یه خزیاى یىٌَاخت را طی وٌیذ‪ّ ،‬ز لغوت اس لغوت لثل هٌتح ؽَد ًِ آًىِ‬
‫هدوَػِ ای اس گشارُ ّای هغتمل تاؽذ‬
‫‪ ‬یه اثثات یه اًؾا اعت ًِ یه هحاعثِ‪ :‬در اثثات خَد تِ اًذاسُ وافی تَظیحات‬
‫تٌَیغیذ‬
‫‪ ‬اس ػالهتْا تیؼ اس اًذاسُ اعتفادُ ًىٌیذ‪ :‬خَاًٌذُ اثثات ولوات را راحت تز هیخَاًذ‬
‫چگًوٍ اثثات خًتی تىًیسیم؟ (ادامٍ)‬
‫‪ ‬اثثات را تاسًَیغی ٍ عادُ وٌیذ‬
‫‪ ‬در صَرت لشٍم اس اصطالحات یا هتغیزّای خذیذ تزای عادُ عاسی فْن اثثات ووه تگیزیذ‪ ،‬اها آًْا را‬
‫خَب تؼزیف وٌیذ‬
‫‪ ‬اثثاتْای طَالًی را تا اعتفادُ اس لن ّا عاختار یافتِ وٌیذ‬
‫‪ ‬در هَرد آًچِ «تذیْی» هیپٌذاریذ دلت وٌیذ‪:‬‬
‫◦ آًچِ تزای ؽوا تذیْی اعت هوىي اعت تزای خَاًٌذُ تذیْی ًثاؽذ‬
‫◦ ّزگش تزای فزار اس لغوتی وِ اثثات آى تزایتاى عخت اعت اس «ٍاظح اعت وِ» یا «تذیْی اعت وِ» اعتفادُ ًىٌیذ‬
‫‪ ‬در پایاى‪ٍ ،‬لتی ّوِ گشارُ ّای السم را ثاتت وزدُ ایذ اتوام اثثات را تِ ػْذُ خَاًٌذُ ًگذاریذ‪ ،‬تلىِ تِ‬
‫دلت اس گشارُ ّا تزای اثثات ًْایی حىن ًتیدِ گیزی وٌیذ‪.‬‬
‫مىطق گسارٌ َا‬
‫‪ ‬یًَاًی ّا ؽوؾیز یا ًیشُ (یا ّز دٍ) تِ وار هیثزدًذ‪:‬‬
‫) ‪(G  S )  (G  J‬‬
‫‪ ‬یًَاًی ّا یىی اس دٍ ًَع ؽوؾیز آٌّی یا تزًدی تِ وار‬
‫هیثزدًذ‪:‬‬
‫) ‪(G  S )  (G  J‬‬
‫قًاعد استىتاج‬
‫‪1  1‬‬
‫ؽتز در تخن هزؽ خا هیؾَد‬
‫‪False  False‬‬
‫پظ لاػذُ تاال یه اعتٌتاج درعت اعت‬
‫قًاعد استىتاج‬
P  Q, Q  R, R  P
PQ R
P Q R
P
Q
R
P  Q, Q  R, R  P
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
‫پیچیدگی محاسثٍ‬
‫‪ ‬تزای تزرعی یه لاػذُ اعتٌتاج هی تایغت ّوِ حالتْای‬
‫هوىي تزای هتغیزّای آى تزرعی ؽًَذ‬
‫‪ ‬افشایؼ یه هتغیز ; دٍ تزاتز ؽذى سهاى هحاعثِ‬
‫‪ ‬رٍػ ًاوارا‬
‫‪SAT‬‬
‫‪ ‬هدوَػِ ای اس گشارُ ّای تَلی‬
‫‪ّ ‬ز گشارُ تؾىیل ؽذُ اس دعتِ ای اس هتغیزّا‪ً ،‬میط آًْا‬
‫ٍ ػولگز ‪OR‬‬
‫‪ ‬آیا حالتی تزای همذار دّی (درعت ٍ ًادرعت) تِ‬
‫هتغیزّا ٍخَد دارد وِ تواهی گشارُ ّا درعت ؽًَذ؟‬
‫‪ ‬راُ حل هَخَد‪ :‬تزرعی ّوِ حاالت هوىي تزای هتغیزّا‬
‫‪ ‬رؽذ ًوایی سهاى‪ّ :‬ز هتغیز اظافِ ; هعاػف ؽذى سهاى‬
‫‪ ‬تغیار ًاواراهذ‬
‫?‪P=NP‬‬
‫‪ : P ‬هدوَػِ هغالِ ّایی وِ در سهاى چٌذخولِ ای تز حغة اًذاسُ‬
‫ٍرٍدی هغالِ لاتل حل ّغتٌذ‬
‫‪ :NP-Complete ‬گزٍّی اس هغائل اس خولِ ‪ SAT‬وِ تزای آًْا‬
‫تاوٌَى راُ حل تا سهاى چٌذخولِ ای ارائِ ًؾذُ‬
‫‪ :P=NP? ‬هْوتزیي هغالِ ػلَم رایاًِ در لزى حاظز‬
‫‪ ‬ارائِ راُ حل وارا (غیز ًوایی) تزای ‪ SAT‬تِ هٌشلِ ‪ P=NP‬اعت‬
‫‪ ‬اًتظار ًوی رٍد تتَاى راُ حل وارایی تزای ‪ SAT‬یافت‬
‫مسىدَا‬
‫‪ ‬گشارُ ّایی وِ در آًْا هتغیز ٍخَد دارد‬
‫‪ ‬هثال‪ n « :‬یه هزتغ واهل اعت» ‪P(n) :: a    a 2  n‬‬
‫‪P(3)  False, P(4)  True‬‬
‫‪ ‬هثال‪:‬‬
‫] ‪P( X , Y ) :: [ X  2  Y‬‬
‫‪X  1, Y  3  P( X , Y )  True‬‬
‫‪X  1, Y  4  P( X , Y )  False‬‬
‫‪ ‬هغٌذ تاتؼی تا خزٍخی «درعت» ٍ «غلط» اعت‪ .‬آى را تا تَاتغ‬
‫ػذدی اؽتثاُ ًگیزیذ!‬
‫سًرَا‬
‫‪ ‬عَر ػوَهی‬
‫◦ «ّز اًغاى آرسٍیی دارد»‬
‫)‪h  Humans  HasDream(h‬‬
‫◦ «لگاریتن تاتؼی اویذا صؼَدی اعت»‬
‫‪ ‬عَر ٍخَدی‬
‫)‪a, b  R   a  b  log( a)  log( b‬‬
‫◦ ّز ػذد سٍج تشرگتز اس ‪ 2‬را هیتَاى تِ صَرت حاصل خوغ دٍ‬
‫ػذد اٍل ًَؽت‬
‫‪i  j, k  Primes  i  2  i  j  k‬‬
‫ترتیة تٍ کار گیری سًرَا‬
‫‪‬‬
‫آیا راتطِ سیز تزای حذط ‪ Goldbach‬درعت اعت؟‬
‫‪j, k  Primesi    i  2  i  j  k‬‬
‫‪ ‬در ٍالغ ایي راتطِ تیاى هیىٌذ هیتَاى اػذاد ‪ k ٍ j‬را یافت تِ‬
‫گًَِ ای وِ ّز ػذد تشرگتز اس ‪ 2‬تزاتز هدوَع آًْا تاؽذ!‬
‫‪‬‬
‫در ٌّگام ًَؽتي هغٌذّا تایذ تِ تمذم ٍ تاخز عَرّا تَخِ‬
‫وزد‪ :‬تمذم تا ًخغتیي عَر اعت‬