‫بسم الله الرحمن الرحيم‬
‫ساختواًْای گسستِ‬
‫هجوَػِ ّا‬
‫ػلی ضزیفی سارچی‬
‫داًطگاُ صٌؼتی ضزیف‬
‫داًطکذُ هٌْذسی کاهپیَتز‬
‫تزم تْار ‪1387‬‬
‫مجموعه‬
‫‪ ‬گزدآیِ ای اس اػعا‬
‫‪ ‬سٌگ تٌای ریاظیات ٍ هثٌای تؼزیف اصَل ‪Zermelo‬‬
‫)‪Frankel with Choice (ZFC‬‬
‫‪ ‬تزتیة اػعا در آى هْن ًیست‬
‫‪ ‬دارای ػعَ تکزاری ًویثاضذ‬
‫مجموعه های مهم ریاضیات‬
‫نام فارسی‬
‫نام انگلیسی‬
‫نشان ریاضی‬
‫مجموعه اعضا‬
‫تْی‬
‫‪Empty‬‬
‫‪Φ‬‬
‫}{‬
‫اػذاد طثیؼی‬
‫‪Natural‬‬
‫‪N‬‬
‫}…‪{1,2,3,‬‬
‫اػذاد صحیح‬
‫‪Integer‬‬
‫‪Z‬‬
‫}…‪{…,-2,-1,0,1,‬‬
‫اػذاد گَیا‬
‫‪Rational‬‬
‫‪Q‬‬
‫… ‪½, -3/5,‬‬
‫اػذاد حقیقی‬
‫‪Real‬‬
‫‪R‬‬
‫… ‪e, ln(5),π,‬‬
‫اػذاد هختلط‬
‫‪Complex‬‬
‫‪C‬‬
‫… ‪2i+e, 3.2-i,‬‬
)‫مجموعه های مهم ریاضیات (ادامه‬
‫مجموعه اعضا‬
{x | x  A}
‫نشان ریاضی‬
A
B A
{x | x  A  P( x)}
{B | B  A} Pow( A), 2 A
{x | x  A  x  B}
A B
{x | x  A  x  B}
A B
{x | x  A  x  B}
A B
‫نام انگلیسی‬
‫نام فارسی‬
Complement
‫هجوَػِ هکول‬
Subset
ِ‫سیزهجوَػ‬
Power Set
‫هجوَػِ تَاًی‬
Union
‫اجتواع‬
Intersection
‫اضتزاک‬
Difference
‫تفاظل‬
‫مجموعه توانی‬
‫}‪A={1,2,3‬‬
‫}}‪Pow(A)={{},{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3‬‬
‫اًذاسُ هجوَػِ تَاًی‪2 n :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫سَال‪ Pow( Φ ) :‬چیست؟‬
‫پاسخ‪{ Φ }={ {} } :‬‬
‫سَال‪ Pow( { Φ } ) :‬چیست؟‬
‫پاسخ‪{ Φ, {Φ} }={ {},{{}} } :‬‬
‫نمودار ون (‪)Venn Diagram‬‬
‫اضتزاک‬
‫سیزهجوَػِ‬
‫اجتواع‬
‫هکول‬
‫تفاظل‬
‫توالی ها‬
‫‪ ‬هجوَػِ ّا گزدآیِ اس اضیا تذٍى تزتیة ّستٌذ‬
‫◦ …=}‪{1,2,5}={2,1,5}={5,2,1‬‬
‫‪ ‬تَالی ّا (‪ )Sequences‬گزدآیِ ای هزتة اس اضیا ّستٌذ‬
‫◦ )‪(1,2,5)≠(1,5,2) ≠(2,1,5) ≠(2,5,1) ≠(5,1,2) ≠(5,2,1‬‬
‫‪ ‬در هجوَػِ یک ػعَ ًویتَاًذ تکزار ضَد‪ ،‬اها چٌذ ردُ اس یک‬
‫تَالی هیتَاًٌذ یکساى تاضٌذ‬
‫◦ )‪(2,2,5‬‬
‫‪ ‬هجوَػِ تْی را تا ‪ ٍ Φ‬تَالی تْی را تا ‪ً λ‬وایص هی دٌّذ‪.‬‬
‫‪ ‬هتٌاظز تا ّز هجوَػِ ‪ n‬ػعَی‪ n! ،‬تَالی ٍجَد دارد‬
‫ضزب مجموعه ها‬
‫‪ ‬حاصل ظزب دٍ هجوَػِ ‪ Q ٍ P‬یک هجوَػِ اس تَالی ّای‬
‫)‪ (p,q‬است کِ در آى ّا ‪ p‬ػعَ ‪ P‬است ٍ ‪ q‬ػعَ ‪ Q‬هی تاضذ‬
‫‪ ‬تؼذاد اػعای ‪ PxQ‬تزاتز است تا تؼذاد اػعای ‪ x P‬تؼذاد اػعای‬
‫‪( Q‬در صَرتی کِ ‪ Q ٍ P‬تؼذاد هحذٍدی ػعَ داضتِ تاضٌذ)‬
‫‪ ‬هثال‪:‬‬
‫}‪ N x {a,b‬تزاتز است تا }…‪{(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(2,a),‬‬
‫})‪{0,1}3  {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1‬‬
‫نماد گذاری ایجاد مجموعه ها‬
‫‪ ‬یکی اس کارتزدّای هسٌذ‪ :‬تطزیح هجوَػِ ّا تِ ٍسیلِ هسٌذّا‬
‫})‪B  {x  A | P( x‬‬
‫‪ ‬هثال‪:‬‬
‫}‪A :: {n   | (k    n  4k  1)  n  Primes‬‬
‫}‪B :: {x  R | x3  3x  1  0‬‬
‫}‪C :: {a  bi  C | a 2  2b 2  1‬‬
‫تشابه مجموعه ها با گشاره ها‬
A B  A  B
xy x y
x  A  B  x  ( A  B)  x  A  x  B
 x  A  x  B  x (A  B)
‫نمایش بیتی مجموعه ها‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فزض کٌیذ اػعای هجوَػِ جْاًی (هجوَػِ هادر) هتٌاّی تاضٌذ‬
‫ػعَیت ّز یک اس اػعا در ّز هجوَػِ را هیتَاى تا یک تَالی اس‬
‫‪ً 1 ٍ 0‬طاى داد‬
‫هثال‪ :‬فزض کٌیذ }‪M={1,2,3,4,5‬‬
‫)‪B={}=(0,0,0,0,0‬‬
‫)‪A={1,4,5}=(1,0,0,1,1‬‬
‫اگز رٍی اػعای هجوَػِ جْاًی تزتیة تگذارین‪ ،‬حتی در صَرت‬
‫ًاهتٌاّی تَدى آى هیتَاى ّز هجوَػِ را تا یک دًثالِ ًطاى داد‬
‫هثال‪ :‬اگز هجوَػِ اػذاد صحیح هثثت }…‪ {1,2,3,‬را هجوَػِ‬
‫جْاًی در ًظز تگیزین دارین‪:‬‬
‫)…‪Primes = (0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,‬‬
‫توابع‬
‫‪ ‬هجوَػِ ای اس تَالیْای دٍػعَی تِ صَرت )‪ (a,b‬کِ ػعَ اٍل‬
‫تَالیْا جشٍ هجوَػِ داهٌِ (‪ ٍ )Domain‬ػعَ دٍم جشٍ‬
‫هجوَػِ تزد (‪ )Range‬است‬
‫‪f :DR‬‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬تاتغ سیز را تِ صَرت هجوَػِ اس تَالیْا ًوایص دّیذ‬
‫‪f ( x)  x‬‬
‫‪x‬‬
‫}‪f  {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16),...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬هجوَػِ‬
‫تاتغ است؟‬
‫})‪={((T,T),T),((T,F),F),((F,T),T),((F,F),T‬‬
‫‪f ( x, y)  x  y‬‬
‫‪ f‬هؼادل کذام‬
‫انواع تابع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تاتغ کلی (‪ّ :)Total Function‬وِ اػعای داهٌِ را تِ اػعای‬
‫تزد تثذیل هیکٌذ‬
‫تاتغ جشئی (‪ :)Partial Function‬فقط رٍی تزخی اػعای‬
‫داهٌِ تؼزیف ضذُ است‬
‫تاتغ پَضا (‪ّ :)Surjective‬ز ػعَ تزد حذاقل تا یک ػعَ داهٌِ‬
‫جفت ضذُ است‪.‬‬
‫تاتغ هؼکَس پذیز (‪ّ :)Injective, Reversible‬ز ػعَ تزد‬
‫حذاکثز تا یک ػعَ داهٌِ جفت ضذُ است‪.‬‬
‫تاتغ یک تِ یک (‪ :)Bijective‬تاتؼی کلی کِ هؼکَس پذیز ٍ‬
‫پَضا است‪ ،‬یؼٌی ّز ػعَ داهٌِ دقیقا تا یک ػعَ تزد ٍ ّز ػعَ‬
‫تزد تا یک ػعَ داهٌِ جفت ضذُ است‪.‬‬
‫دنباله ها‬
‫‪ ‬یک تاتغ کِ داهٌِ آى اػذاد طثیؼی ّستٌذ‪:‬‬
‫‪f : S‬‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬دًثالِ هزتغ اػذاد طثیؼی‬
‫‪f (i)  i‬‬
‫}‪f  {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16),...‬‬
‫)‪ (0,1,4,9,16,...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬هثال‪ :‬دًثالِ اػذاد فیثًَاتچی‬
‫)‪f (i)  f (i 1)  f (i  2‬‬
‫}‪f  {(0,1), (1,1), (2,2), (3,3), (4,5), (5,8), (6,13),...‬‬
‫)‪ (1,1,2,3,5,8,13,...‬‬
‫مجموع اعضای دنباله ها‬
f  (1,2,3,4,5,...) ‫دًثالِ اػذاد صحیح هثثت‬
n
n
i 1
i 1

 f (i)   i  12 (1  2  ...  n)  (n  ...  2  1)
n(n  1)
1
1


(1  n)  (2  n  1)  ...  (n  1)  
(n  1)n 
2
2
2
f  (a, ar , ar , ar ,...) ‫ ایذُ تلسکَپی‬:‫تصاػذ ٌّذسی‬
2
3
n
S   ar i  rS  ar  ar 2  ...  ar n 1
i 0
 a  rS  ar n1  a  ar  ar 2  ...  ar n  S
n 1
a
(
r
 1)
n 1
 S (r  1)  ar  a  S 
r 1

‫انداسه مجموعه ها (‪)Cardinality‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫دٍ هجوَػِ ّن اًذاسُ اًذ اگز تتَاى تٌاظز یک تِ یک تیي اػعای‬
‫آًْا تِ ٍجَد آٍرد‬
‫هجوَػِ اػذاد فزد ٍ سٍج ّن اًذاسُ اًذ‬
‫یک هجوَػِ ضوارا است اگز ّن اًذاسُ هجوَػِ اػذاد طثیؼی‬
‫تاضذ‬
‫رٍی هجوَػِ ّای ضوارا هیتَاى تزتیة ٍ ػعَ قثل ٍ تؼذ تؼزیف‬
‫کزد‬
‫هثال‪:‬‬
‫◦ هجوَػِ اػذاد فزد ضوارا است‬
‫◦ هجوَػِ اػذاد صحیح ضوارا است‬
‫انداسه مجموعه ها (ادامه)‬
‫‪ ‬هجوَػِ اػذاد گَیای هثثت ضوارا است‬
‫‪ ‬تِ ّویي صَرت‪ :‬اجتواع ضوارا تا هجوَػِ ضوارا‪ ،‬ضوارا است‬
‫‪ ‬هجوَػِ اػذاد گَیا (هثثت ٍ هٌفی ٍ صفز) ضوارا است‬
‫قضیه ‪Cantor‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هجوَػِ ّوِ سیزهجوَػِ ّای اػذاد طثیؼی ًاضواراست‬
‫اثثات‪ :‬تزّاى خلف‪ ،‬اگز ایي سیزهجوَػِ ّا ضوارا تاضٌذ‬
‫ًوایص دٍدٍیی سیزهجوَػِ ّا را تِ تزتیة در ًظز تگیزیذ‪:‬‬
‫)‪s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...‬‬
‫)‪s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...‬‬
‫)‪s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...‬‬
‫)‪s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...‬‬
‫)‪s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...‬‬
‫)‪s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...‬‬
‫)‪s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...‬‬
‫‪‬‬
‫اگز ‪ s0‬را تِ صَرت سیز تؼزیف کٌین‪ ،‬آًگاُ ‪ّ s0‬یچ گاُ در‬
‫تزتیة ظاّز ًخَاّذ ضذ‪:‬‬
‫)‪s0 = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...‬‬
‫نتایج قضیه کانتور‬
‫‪ ‬هجوَػِ ّوِ سیزهجوَػِ ّای اػذاد صحیح ضوارا ًیست‬
‫‪ ‬هجوَػِ اػذاد حقیقی ضوارا ّن اًذاسُ تا هجوَػِ‬
‫سیزهجوَػِ ّای اػذاد صحیح است‬
‫‪ ‬هجوَػِ اػذاد حقیقی ضوارا ًیست‬
‫پارادوکس راسل (‪)Russell’s Paradox‬‬
‫‪ ‬فزض کٌیذ }‪W :: {S  Sets | S  S‬‬
‫‪ ‬خَاّین داضت‪S  S  S W :‬‬
‫‪ ‬تٌاتزایي خَاّین داضت‪ : W W  W W :‬تٌاقط‬
‫‪ ‬ػلت تٌاقط‪ :‬ها فزض کزدُ این ‪ W‬یک هجوَػِ است‬
‫‪ ‬تزای جلَگیزی تزٍس تٌاقط در ریاظی‪ً ،‬ثایذ اجاسُ داد ّز‬
‫گزدآیِ ای اس اضیا کِ تؼزیف دقیقی داضتِ تاضذ یک‬
‫هجوَػِ تاضذ‬
‫‪ ‬پس کذام گزدآیِ ّا هجوَػِ اًذ؟‬
‫‪ ‬ریاظیذاًاى هتفق القَل اًذ کِ ‪ ZFC‬تِ ایي سَال پاسخ‬
‫دادُ است‬
‫‪ZFC‬‬
‫‪ ‬گستزدگی (‪ :)Extensionality‬دٍ هجوَػِ یکساى ّستٌذ اگز ٍ تٌْا اگز اػعای یکساى داضتِ‬
‫تاضٌذ‪:‬‬
‫‪(z.( z  x  z  y))  x  y‬‬
‫‪ ‬جفت ضذى (‪ : )Pairing‬تِ اسای ّز دٍ هجوَػِ ‪ ،y ٍ x‬هجوَػِ }‪ٍ {x,y‬جَد دارد کِ ‪ y ٍ x‬تٌْا‬
‫اػعای آى تاضٌذ‪.‬‬
‫‪ ‬اجتواع (‪ :)Union‬تِ اسای ّز خاًَادُ ‪ z‬اس هجوَػِ ّا‪ ،‬اجتواع آًْا ًیش یک هجوَػِ هثل ‪ u‬است کِ‬
‫تِ صَرت سیز تؼزیف هی ضَد‪:‬‬
‫‪ux.(y.x  y  y  z)  x  u‬‬
‫‪ ‬تی ًْایت (‪ :)Infinity‬یک هجوَػِ ًاهتٌاّی ٍجَد دارد‪ .‬ایي هجوَػِ ًاتْی کِ ها آى را ‪ x‬هیٌاهین‬
‫ایي خاصیت را دارد کِ‬
‫‪y  x  { y} x‬‬
‫‪ ‬سیزهجوَػِ (‪ :)Subset‬تِ اسای ّز هجوَػِ ‪ّ ٍ x‬ز گشارُ )‪ P(y‬دادُ ضَد‪ ،‬هجوَػِ ای ٍجَد دارد‬
‫کِ فقط ضاهل اػعای ‪ y  x‬تاضذ کِ تزای آًْا )‪ P(y‬تزقزار است‬
‫‪‬‬
‫هجوَػِ تَاًی (‪ّ :)Power Set‬وِ سیزهجوَػِ ّای یک هجوَػِ خَد تطکیل یک هجوَػِ‬
‫هیذٌّذ‬
‫‪( ZFC‬ادامه)‬
‫‪ ‬تؼَیط (‪ :)Replacement‬تصَیز یک هجوَػِ تحت یک تاتغ خَد یک هجوَػِ است‬
‫‪ ‬ساخت (‪ :)Foundation‬تزای ّز هجوَػِ ًاتْی ‪ ،x‬هجوَػِ ًاتْی‪ٍ y  x‬جَد دارد تِ قسوی کِ‬
‫‪ّ y ٍ x‬یچ ػعَ هطتزکی ًذاضتِ تاضٌذ‪.‬‬
‫‪ ‬اًتخاب (‪ :)Choice‬هی تَاًین یک ػعَ ّز هجوَػِ اس ّز خاًَادُ اس هجوَػِ ّای ًاتْی را اًتخاب‬
‫کٌین‪ .‬تِ تیاى دقیق تز اگز ‪ x‬یک هجوَػِ تاضذ ٍ ّز ػعَ آى ًیش یک هجوَػِ ًا تْی تاضذ آًگاُ یک‬
‫تاتغ اًتخاب ‪ٍ g‬جَد دارد تِ قسوی کِ تِ اسای ّز ‪ y  x‬داضتِ تاضین‪g ( y)  y‬‬
‫پارادوکس راسل در ریاضیات‬
‫‪ ‬اصل ساخت تیاى هیکٌذ ّوِ اػعای یک هجوَػِ اس خَد‬
‫آى هجوَػِ «سادُ تز» ّستٌذ‬
‫‪ ‬تٌاتزایي ّیچ هجوَػِ ای ًوی تَاًذ ػعَ خَدش تاضذ‬
‫‪ ‬در ًتیجِ گزدآیِ ّوِ هجوَػِ ّا یک هجوَػِ ًیست‬
‫‪ ‬تٌاتزایي رٍش راسل ًوی تَاًذ تِ ایجاد یک تٌاقط در‬
‫ریاظیات تیاًجاهذ‬