‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫فصل پنجم‬
‫‪ِReducibility‬‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نیمسال ّاول ‪88-89‬‬
Reducibility
• A reduction is a way of converting one
problem to another problem in such a way
that a solution to the second problem can be
used to solve the first problem.
• If problem A reduces to problem B, we can
use a solution to B to solve A.
88-89 ‫اول‬
ّ ‫نیمسال‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫)‪(continued‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫)‪(continued‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫)‪(continued‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Reduction via Computation‬‬
‫‪Histories‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Linear Bounded Auromata‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Decidable Problems about‬‬
‫‪LBA‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
Decidable Problems about
LBA
• Remember that
• Finally, we have
88-89 ‫اول‬
ّ ‫نیمسال‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪about LBA‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then, we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
Proof:
• For a TM M and an input w we can determine
whether M accepts w by constructing a certain
LBA B and then testing whether L(B) is empty.
• The language that B recognizes comprising all
accepting computation histories for M on w.
• If M accepts w, this language contains one string
and so is nonempty. If M does not accept w, this
language is empty.
88-89 ‫اول‬
ّ ‫نیمسال‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫‪Proof (cont.):‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
Proof (cont.)
• Now we are ready to state the reduction
of ATM to ELBA. Construct TM S that
decides ATM as follows.
88-89 ‫اول‬
ّ ‫نیمسال‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪about CFG‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then, we have‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
Proof:
• We now describe how to use a decision procedure
for ALLCFG to decide ATM.
• For a TM M and an input w we construct a CFG G
(or PDA D) that generates all strings if and only if M
does not accept w.
• G (or PDA D) generates all strings that
1.
2.
3.
do not start with C1,
do not end with an accepting configuration, or
where some Ci does not properly yield Ci+1 under the rule
of M.
88-89 ‫اول‬
ّ ‫نیمسال‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫‪Post Correspondence‬‬
‫)‪Problem (PCP‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪An instance of the PCP‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Main Theorem‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪MPCP‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Proof:‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 1‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 2 and 3‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 4‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫)‪Example (cont.‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 5‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫)‪Example (cont.‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 6‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Part 7‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Conversion of P’ to P‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Computable Functions‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Mapping Reducibility‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Theorem‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Corollary‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Theorem‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Corollary‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫‪Theorem‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬
‫)‪Proof (cont.‬‬
‫نظریه زبان ها و ماشین ها‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫اول ‪88-89‬‬
‫نیمسال ّ‬