‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪاوﻧﺪ ﻫﺴﺘﻲﺑﺨﺶ ﻳﮕﺎﻧﻪ‬
‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎن دادهﻫﺎ و اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢﻫﺎ‬
‫‪Data Structures and Algorithms‬‬
‫داﻧﺸﻜﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي ‪1‬‬
‫‪ (1‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ از ﻣﺮﺗﺒﻪي اﺟﺮاي ‪ Θ‬اراﺋﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي از اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ و ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ورودي‬
‫ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ دو ﻋﻨﺼﺮ در ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺸﺎن ﺷﻮد ﻳﺎ ﻧﻪ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از ﻋﺪد ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ و آﻧﮕﺎه زوج را ﻳﻚ واروﻧﮕﻲ‬
‫ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬
‫أ‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ Insertion-Sort‬را ﺑﺮ روي آراﻳﻪ ‪ A‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﺮﺗﺐ ﺳﺎزي ﺻﻌﻮدي اﻳﻦ آراﻳﻪ اﻧﺠﺎم‬
‫دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد اﻋﻤﺎل ‪ swap‬دﻗﻴﻘﺎً ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد واروﻧﮕﻲﻫﺎ در آراﻳﻪي ‪ A‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ب‪ .‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ از ﻣﺮﺗﺒﻪي اﺟﺮاي ‪ Θ‬اراﺋﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد واروﻧﮕﻲﻫﺎي آراﻳﻪي وروردي ‪ A‬را ﺑﺪﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫‪ (3‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ و ﺗﻮاﺑﻌﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺠﺎﻧﺒﻲ‪ 1‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻔﻲاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮ اﺳﺎس ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ Θ‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ ‪.‬‬
‫‪ (4‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪي اﺟﺮاي اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ در ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ از ﻣﺮﺗﺒﻪي ‪ Ω‬و در‬
‫ﺑﺪﺗﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ از ﻣﺮﺗﺒﻪي ‪ Ο‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (5‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬
‫! !‬
‫"‬
‫‪!#$‬‬
‫ ‬
‫ﻛﻪ ‪ ." %‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ k‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻤﺎد ﻣﺠﺎﻧﺒﻲ ﮔﺰارهﻫﺎي زﻳﺮ را اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬
‫أ‪.‬‬
‫اﮔﺮ ( ' & آﻧﮕﺎه )‪. Ο‬‬
‫ب‪ .‬اﮔﺮ ( * & آﻧﮕﺎه )‪. Ω‬‬
‫ج‪ .‬اﮔﺮ ( & آﻧﮕﺎه )‪. Θ‬‬
‫د‪ .‬اﮔﺮ ( & آﻧﮕﺎه )‪. ο‬‬
‫ه‪.‬‬
‫اﮔﺮ ( & آﻧﮕﺎه )‪. ω‬‬
‫‪Asymptotic‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (6‬ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ را ﺑﺮ اﺳﺎس رﺷﺪ ﻣﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺮﺗﺐ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ ﺗﺮﺗﻴﺒﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ + , -‬ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ در آن‬
‫ ‪ + .,‬و ‪ , ./‬و ‪ ...‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪7 4‬‬
‫;‬
‫ ‪01234 , 556 8 / 9: , 9:51, 234 9 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 14 <= <= 4 9 1<= 4 9: <= 4 > 4 ?<= 4 5@9: 1@, <= 4‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫ ‪9: ,‬‬
‫ ‪9:‬‬
‫ ‪9:‬‬
‫ ‪
%% 9: 9: ,‬‬
‫‪;AB‬‬
‫‪14 9: 1,‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﺜﺎﻟﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ C‬ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﺗﻮاﺑﻊ ‪ : D‬ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه ﻛﻪ ‪ C‬از ‪ E: D‬ﻳﺎ ‪Ω: D‬‬
‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (7‬ﮔﺰارهﻫﺎي زﻳﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎ ﺑﺮاي آن ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬
‫أ‪.‬‬
‫ ‪ F‬‬
‫ب‪ .‬اﮔﺮ ‪ E‬آﻧﮕﺎه ‪ ،9: E9:‬ﻛﻪ ﺑﺮاي ‪ n‬ﻫﺎي ﺑﻪ اﻧﺪازه ﻛﺎﻓﻲ ﺑﺰرگ‬
‫
' ‪ 9:‬و ' ‪.‬‬
‫ج‪ .‬اﮔﺮ ‪ E‬آﻧﮕﺎه ‪.1G4 E134‬‬
‫‪,‬‬
‫د‪. E H I .‬‬
‫ه‪.‬‬
‫و‪.‬‬
‫ز‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. H I‬‬
‫‪,‬‬
‫ ‪. J‬‬
‫اﮔﺮ ﻳﻚ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي از ‪ n‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه ‪.E9: E9:‬‬
‫ح‪ .‬اﮔﺮ ‪ EK‬و ‪ EL‬آﻧﮕﺎه ‪. M EK M L‬‬
‫‪NO‬‬
‫ط‪ .‬اﮔﺮ ‪ EK‬و ‪ EL‬آﻧﮕﺎه ‪I‬‬
‫‪PO‬‬
‫‪ EH‬‬
‫‪G4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ (8‬دو ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي و ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ ‪ Q E‬و ‪. Q E‬‬
‫‪2‬‬