ݵÔû ý ¨ ßþ Âޗ
‘û߃ª‘õ ø ‘ûö‘“¥ ý‚þÂÑ÷ §¤¢
83113804 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ëªýƒÊ÷ ßþÀþ
:1 ý‚ó‘bÆõ
.´¨ ù¢“
w
2 fa; bg
,w
2 f0; 1g
¥ ¤ Ñ€õ ,ñ
b ¨ –¤ ¬ ¤¢ ‚î ùÀª ­Âê
:‚›
a —
b ø ‘û a Àµ“ ‚î ´¨ ßþ ,‘ûö‘“¥ ßþ ýÂ“ ÂþÁ•ÝƒÞʗ ـþ¤— ߃ª‘õ ßµ¡‘¨ ýÂ“ ù¢‘¨ ù¤ ×þ
¤¢ ø ùÀª ÛþÀ±— x ‚“ ‘f õ‘Þ— ‚ƒa óøa ý¢ø ¤ø ‚î ݃€î °—aÂõ ý¤Ï ý¢ø ¤ø ý‚µª¤ ý‘úµ÷ ¤¢ ¤ ‘ûö ý‘û
,ñ‘·õ ö€ä ‚“ .Àþ‘ƒ“ ‘û b üõ‘Þ— ų¨ ø ‘û a üõ‘Þ— Àµ“ ,ö ¥ ŕ ø # Âʀä ×þ Àµ“ ö ý‘úµ÷
.¢ª ÛþÀ±— xxxxx#aaabb ý‚µª¤ ‚“ ,¤÷ ýø ¤ abbaa ý¢ø ¤ø
:݃€î ÛÞä Âþ¥ ý‚þø ¤ Փ‘Îõ ´¨üê‘î ,¤Ñ€õ ßþ ýÂ“
# Âʀä ×þ ,(¢ªüõ ´ê‘þ üó‘¡ Âʀä ߃óøa ‚î üþ‘›) ý¢ø ¤ø ý‘úµ÷ ¤¢ ,ôÂÔ¬ ý‚ÜŸÂõ ¤¢
.¢Âð“ ¤÷ ýÀµ“ ‚“ ø ù¢Âî š¤¢
‘— ø ù¢Âî ÛþÀ±— x ‚“ ¤ ö ,a Âû öÀþ¢ ‘“ ,¤÷ ýÀµ“ ¥ áø ª ‘“ ,ñøa ý‚ÜŸÂõ ¤¢ ,ö ¥ ŕ
ßþ .Ýþ¢Âðüõ“ ¤÷ ýÀµ“ ‚“ f¢À¹õ ö‘þ‘• ¤¢ ø ‚µª÷ a ×þ ‘›ö ¤¢ ų¨ ,Ýþø ¤üõ ¤÷ ý‘úµ÷
# ‚“ ,a ßµê‘þ ýÂ“ ¹µÆ› ô‘Ú€û ø) À÷‘Þ÷ ü쑓 # ¥ Û±ì ¤÷ ¤¢ üþa ºƒû ‚î üãìõ ‘— ¤ ¤‘î
.¢ªüõ ô‘¹÷ (ÝþÀƒ¨¤
.݃û¢üõ ô‘¹÷ ‘û b ýÂ“ ¤ Û±ì ý‚ÜŸÂõ ¤c‘î ö‘Þû ,Ã÷ ôø¢ ý‚ÜŸÂõ ¤¢ ų¨
ŕ # ø ‚µª¤ ýÀµ“ ý‘û x ßµêÂÚ÷ ÂÑ÷ ¤¢ ‘“) ¤ ý¤‘› ý‚µª¤ ´¨üê‘î ,–…þÀ±— ßþ ¥ ŕ
¤ ö ý‚¹ƒµ÷ ø ù¢¢ ᑛ¤ ùÀª ù¢¢ ¼ƒ®— §¤¢ ’‘µî ¤¢ ‚î an bn ýùÀ÷ƒð݃Þʗ ߃ª‘õ ‚“ (‘ûö¥
.¢¤¢ ‚“‘Èõ ýÀ䐁ì Ã÷ an b2n ýùÀ÷ƒð ݃Þʗ .݃÷¢Â𓠂ρ“Âõ ߃ª‘õ ý‚¹ƒµ÷ ö€ä ‚“
:´¨ žÂª ßþÀ“ ‚ó‘bÆõ ֵ݃Æõ ۟ù¤ ‘õa
×þ ñ‘±÷¢ ‚“ ø ù¢Âî áø ª ‚µª¤ ýÀµ“ ¥ ‚î ´¨ ߃€ ߃ª‘õ ¤‘î ýù½÷ üܬ ýùÀþ (Óó
;(q0 ´ó‘Ÿ ¤¢) ¢¢Âðüõ b ‘þ a Âʀä
;À÷¢Âðüõ “ ¤ 1 ©ÂþÁ• ü›ø ¡ ,ÀÈ÷ ´ê‘þ ýÂʀä ߃€ ‚î ü—¤¬ ¤¢
1
accept
1
´îŸ Ü› ´Þ¨ ‚“ ø (ù¢Âî x ‚“ ÛþÀ±—) í¤‘õ ¤ ö ,Àª ´ê‘þ ýÂʀä ߃€ ‚î ü—¤¬ ¤¢ ‘õa
ý b ýÂ“ q2 ø ùÀª ´ê‘þ ý a ýÂ“ q1 °ƒ—— ‚“) À€î Àƒ• ¤ ö Óó‘¿õ Âʀä ×þ ‘— À€îüõ
:(ùÀª ´ê‘þ
x ‚“ ÛþÀ±— ¤ b ×þ Û±ì ý‚ÜŸÂõ ¤¢ üµìø ,a ü€ãþ) Óó‘¿õ Âʀä ö öÀÈ÷ Àƒ• –¤¬ ¤¢ --
“ ¤ 2 ¢¤d ý‚¹ƒµ÷ , (Ýþ¢Âî ÛþÀ±— x ‚“ ¤ a ×þ Û±ì ý‚ÜŸÂõ ¤¢ ‚î üµìø ýÂ“ ,b ø Ýþ¢Âî
;À÷¢Âðüõ
‚µÈð“ ¤÷ ýÀµ“ ‚“ ,(ù¢Âî x ‚“ ÛþÀ±—) í¤‘õ Ã÷ ¤ Âʀä ö ,öÀª Àƒ• –¤¬ ¤¢ ‘õa -.¢Âƒðüõ ǃ• ¤¢ ¤ ‚þø ¤ ߃Þû f¢Àa¹õ ø (q2 ´½—)
:´¨ ߃€ Ã÷ ߃ª‘õ ßþ 3 üÞ¨¤ Ӄ¬—
= fQ; ; ; Æ; q0; qaccept ; qreject g
Q = fq0 ; q1 ; q2 ; q3 ; qaccept ; qreject g;
= fa; bg;
= fa; b; xg;
Æ = f(q0 ; ) ! (qaccept ; ; R); (q0 ; a) ! (q1 ; x; R); (q0 ; b) ! (q3 ; x; R); (q0 ; x) ! (q0 ; x; R);
(q1 ; ) ! (qreject ; ; R); (q1 ; a) ! (q1 ; a; R); (q1 ; b) ! (q2 ; x; L); (q1 ; x) ! (q1 ; x; R);
(q2 ; ) ! (q0 ;
; R); (q2 ; a) ! (q2 ; a; L); (q2 ; b) ! (q2 ; b; L); (q2 ; x) ! (q2 ; x; L);
(q3 ; ) ! (qreject ; ; R); (q3 ; a) ! (q2 ; x; L); (q3 ; b) ! (q3 ; b; R); (q3 ; x) ! (q3 ; x; R)g
M1
´ÞÆì ¤¢ ‚ÜŸÂõ Âû ý¥‚“ ‚î –ø‘Ô— ßþ ‘“ ,´¨ Û±ì ´ó‘Ÿ ‚“‘Èõ …fõ‘î Ã÷ Ç¿“ ßþ ýùÀþ (’
‘“ ÛÞä ßþ .¢¢Âړ b ¢Àä ø¢ ñ‘±÷¢ ‚“ Àþ‘“ ,´ÞÆì ßþ ¤¢ ,´Èðüõ b ×þ ñ‘±÷¢ ‚“ ߃ª‘õ ‚î Û±ì
.¢ªüõ ô‘¹÷ À€€îüõ ÛÞä Û±ì ´ó‘Ÿ ý q3 ø q1 ¥ Û±ì ‚î q5 ø q4 ´ó‘Ÿ ø¢ ö¢ø Ãê
‚“ ,¢ø “ q1 ‚“ ‘f ރֵÆõ ߃ª‘õ ‚îö ý‘› ‚“ ,q0 ´ó‘Ÿ ¤¢ a Âʀä ×þ ö¢Âî Àƒ• ¥ À㓠,üþ¨ ¥
‚“ ÛÞä ßþ ‘“ â쐁óüê ø ¢ø ¤üõ q1 ‚“ ,b ߃óøa ýùÀû‘Èõ ‘“ ų¨ ø ¢ø ¤üõ q4 ô‘÷ ‚“ ýÀþÀ› ´ó‘Ÿ
:´¨ ߃€ üÜ±ì –Âƒƒç— ø ÀþÀ› ߃÷ì .¢¢Âðüõ a Âû ýÂ“ b Âʀä ø¢ ñ‘±÷¢
Æ (q0 ; a)
Æ (q4 ;
= (q4 ; x; R);
) = (qreject ; ; R); Æ(q4 ; a) = (q4 ; a; R); Æ(q4 ; x) = (q4 ; x; R); Æ(q4 ; b) = (q1 ; x; R)
ý b ñ‘±÷¢ ‚“ Àþ‘“ ‘fõÃó ,q0 ´ó‘Ÿ ¤¢ b Âʀä ߃óøa ýùÀû‘Èõ ‘“ ‚î ´ª¢ ÂÑ÷ ¤¢ Àþ‘“ ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥
:¢¢Âðüõ Û¹aÆõ ©¢¡ ‚“ ¯“Âõ ߃÷ì ø q5 ö¢ø Ãê ‘“ ÛÞä ßþ ‚î ´ê¤ q3 ‚“ ų¨ ø ‚µÈð ôø¢
Æ (q0 ; b)
Æ (q5 ;
= (q5 ; x; R);
) = (qreject ; ; R); Æ(q5 ; a) = (q5 ; a; R); Æ(q5 ; x) = (q5 ; x; R); Æ(q5 ; b) = (q3 ; x; R)
2
3
description
rej ect
F ormal
2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:2 ý‚ó‘bÆõ
Íä — üóø ¢ª ‚µêÂþÁ• 2-PDA Íä — ‚î ݃û¢ ‚Ž¤ L ö‘“¥ ×þ ´¨üê‘î ,¤Ñ€õ ßþ ýÂ“ (Óó
.Àª‘±÷ ©ÂþÁ• ø Ƀ¿È— ۓ‘ì 1-PDA
:݃€îüõ ÓþÂ㗠߃€ ¤ ö‘“¥ ßþ
L
= fw#wjw 2 f0; 1g g
×þ ‚î 1-PDA Íä — ,Àª‘“üÞ÷ 4 ßµõ ¥ ÛÖµÆõ ö‘“¥ ßþ ,(ùÀª –‘±™ ’‘µî ¤¢ ‚î ö‘€) ‚î ‘›ö ¥
.´Æƒ÷ ©ÂþÁ• ۓ‘ì ,´¨ üóÞãõ ý PDA
.´¨ ©ÂþÁ• ۓ‘ì ,´¨ 5 ‚µÈ• ø¢ ‘“
PDA ×þ ‚î 2-PDA ×þ Íä — ö‘“¥ ßþ ÂÚþ¢ ý¨ ¥ ‘õa
(¢ª ùÀþ¢ # ý¢ø ¤ø ¤¢ ‚î üþ‘› ‘—) ý¢ø ¤ø ñøa ý‚Þƒ÷ ‚î ´¨ ‚÷ðßþ Ã÷ 2-PDA ¢ÂîÛÞä ýù½÷
¤ ñøa ý‚µÈ• ýµ½õ üõ‘Þ— ,ý¢ø ¤ø ¥ # öÀ÷¡ ‘“ ö‘õÃÞû ų¨ .¢Ãþ¤üõ ñøa ý‚µÈ• ¤¢ ø ùÀ÷¡ ¤
ý¢ø ¤ø ñøa ý‚Þƒ÷ ø À€µÆû 6 F ILO –¤¬ ‚“ ‚µÈ• ø¢ ‚î ‘›ö ¥ ,ö ¥ ŕ .¢Ãþ¤üõ ôø¢ ý‚µÈ• ¤¢
߃óøa ø ù¢Âî ÛÞä 7 F IF O –¤¬ ‚“ ø¢ ö °ƒî— ,´¨ùÀª ôø¢ ý‚µÈ• ¢¤ø ñøa ý‚µÈ• ÕþÂÏ ¥
ýÂ“ ´¨üê‘î ø ¤ ßþ ¥ .¢“ Àû¡ w Âʀä (ßþ— ² ´Þ¨) ߃óøa ,ôø¢ ý‚µÈ• Âʀä (ßþ—„‘“)
ô‘¹÷ ¤ Ýþ¢Âîüõ w#wR ö‘“¥ ýÂ“ ‚î ý¤‘î ‚“‘Èõ ,‚÷ ‘þ ´¨ w#w –¤¬ ‚“ ‚µª¤ ‚îßþ ü¨¤ “
ø¢ ßþ ‚î ü—¤¬ ¤¢ .݃€î 8 šÂ¿µ¨ Ã÷ ¤ ôø¢ ý‚µÈ• ¬‘€ä ,ý¢ø ¤ø öÀ÷¡ ‘“ ö‘õÃÞû ø ݃û¢
À÷Àª ô‘Þ— ö‘õ¥Ýû ôø¢ ý‚µÈ• ø ý¢ø ¤ø Âð Ã÷ ö‘þ‘• ¤¢ .݃€îüõ ©ÂþÁ• ôÀä ô…ä ,À÷¢±÷ “Â“ Âʀä
.©ÂþÁ• ôÀä ô…ä –¤¬ßþ Âƒè ¤¢ ø ݃€îüõ ©ÂþÁ• ô…ä ,(À÷Àƒ¨¤ ‘úµ÷ ‚“)
a î Âð (’
ñ‘Þä ´¨üê‘î ‘ú€— ,Ýþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ 9 ù‘ƒ¨ ý‚±ã› ×þ –¤¬‚“ ¤ ‘û‚µÈ• ݵƃ¨ Û
ßþ ýÂ“ .݃€î ý¥‘¨‚ƒ±ª 2-PDA ý‚µÈ• ø¢ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,3-PDA ý‚µÈ• ‚¨ Âû ýÂ“ ¤ P op ø P ush
Ã÷ ø ‚µª¤ Âû ¥ Û±ì #
62 Âc ʀä ×þ ö¢¢ ¤Âì ‘“) ¤ 3-PDA ý‚µÈ• ‚¨ Âû ýµ½õ Âð ,¤Ñ€õ
a î ö‘þ‘• ¤¢
ñcøa ý‚µÈ• ¤¢ (´¨ 3-PDA ôe i ý‚µÈ• ýµ½õ Ci ‚î #C1 #C2 #C3 # ƒÑ÷ ,‘û‚µª¤ Û
c
,´¨üê‘î (1 i 3 ‚î) 3-PDA ôe i ý‚µÈ• ‚“ ü¨Âµ¨¢ ýÂ“ ‚ÜŸÂõ Âû ¤¢ ,ÝþÃþ“ 2-PDA
c
4
5
S tack
6
F irstI n; LastOut
7
F irstI n; F irstOut
8
P op
9
Black Box
C ontext F ree
3
¤¢ ,Push(2, Pop(1))  ƒ Ñ ÷ ü ó‘ Þ ä ‘ “ ,¤ 2-PDA ñcøa ý‚ µ È •  ¬‘ € ä ,# ß ƒ õe i ‚ “ öÀ ƒ ¨¤ ‘ —
ô‘¹÷ (´¨ 3-PDA ôe i ý‚µÈ• ‚“‘Èõ ö€î ‚î) 2-PDA ñcøa ý‚µÈ• ‘“ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ ÛÞä ų¨
c
ý‘úµ÷ ‚“ 3-PDA ¤¢ ‚î ´¨ßþ ñ¢‘ãõ ,ÝþÀƒ¨¤ # ‚“ ´ÞÆì ßþ ¤¢ Âð ‚î ´¨üúþÀ“ .݃û¢
.´¨ üÜaîc# ߃õe i ö‘Þû ôø¢ ý‚µÈ• Âcʀä ßþ—„‘“ ‚ÜŸÂõ ßþ ö‘þ‘• ¤¢ .ÝþÃþ“ ôø¢ ý‚µÈ•
.ÝþùÀƒ¨¤ ‚ρ“Âõ ý‚µÈ•
ý‚µÈ• ¤¢ ¤ 2-PDA ôø¢ ý‚µÈ• ýµ½õ ,Push(1, Pop(2)) ƒÑ÷ üó‘Þä ‘“ ,f¢À¹õ ö ¥ ŕ
c
“Â“ ñøa ý‚µÈ• ýµ½õ ø ù¢“ üó‘¡ ôø¢ ý‚µÈ• ‚ÜŸÂõ ßþ ¥ ŕ ‚î ´¨üúþÀ“ .ÝþÃþ“ ñøa
.À÷ùÀƒ±Æ Ýû ‚“ # ‘“ ‚î ´¨ü®Âê ý 3-PDA ý‘û‚µÈ• ýµ½õ
ü¨¤ “ ù‘ƒ¨ ý‚±ã› ×þ –¤¬ ‚“ ø 10 –„‘Ÿ Ç¿“ ¥ ÛÖµÆõ ‘û‚µÈ• Ç¿“ ö ‚î ´¨üúþÀ“
.´Æƒ÷ –„‘Ÿ ‘“ öÀª ƒ𤢠‚“ ý¥‘ƒ÷ ,ùÀª
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:3 ý‚ó‘bÆõ
Ã÷ M2 ߃ª‘õ ø L1 ÂþÁ•ÝƒÞʗ ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ÷ƒð݃Þʗ ߃ª‘õ ×þ M1 ߃ª‘õ ‚î ݃€îüõ ­Âê
.´¨ L2 ÂþÁ•ÝƒÞʗ ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ÷ƒð݃Þʗ ߃ª‘õ ×þ
߃ª‘õ ø¢ ‚“ ¤ ö ,w ý¢ø ¤ø ´ê‘þ¤¢ ‘“ ߃ª‘õ ßþ ‚î Ýþ¥‘¨üõ –¤¬ ßþÀ“ ¤ M3 ߃ª‘õ (Óó
’› ø ¢‘µê À€û¿÷ 11 ‚Öܟ ¤¢ ,À€µÆû ùÀ÷ƒð݃Þʗ ߃ª‘õ ø¢ ßþ ‚î ‘›ö ¥ .Àû¢üõ M2 ø M1
‘þ < M1 ; w > ý‘û’› ¥ üØþ ÛìÀŸ ‚î ü—¤¬ ¤¢ M3 ߃ª‘õ ö€î .¢¢ À€û¡ 13 ¢¤ ‘þ 12 ©ÂþÁ•
.Àû¢üõ ¢¤ ’› –¤¬ßþ Âƒè ¤¢ ø ©ÂþÁ• ’› ¢“ ©ÂþÁ• “Â“ < M2 ; w >
Íä — ‚î w ý¢ø ¤ø Âû ‚î Â ;¢“ Àû¡ L1
SL
2 ¢ÂþÁ•üõ M3 ߃ª‘õ ‚î ü÷‘“¥ ‚î ´¨ ¼®ø
ö‘“¥ ø¢ ¥ üØþ Ìä ø ¤ ßþ ¥ ø ùÀª ‚µêÂþÁ• M2 ‘þ M1 ¥ üØþ Íä — ‘f ÞµŸ ,¢ª ‚µêÂþÁ• M3 ߃ª‘õ
Íä — Ã÷ ¢ª ‚µêÂþÁ• ߃ª‘õ ø¢ ßþ ¥ üØþ Íä — ‚î ý‚µª¤ Âû ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ù¢“ L2 ‘þ L1
.Àª Àû¡ ‚µêÂþÁ• M3
ö ,Û±ì ´ó‘Ÿ ‚“‘Èõ ,w ý¢ø ¤ø ´ê‘þ¤¢ ‘“ ߃ª‘õ ßþ ‚î Ýþ¥‘¨üõ –¤¬ ßþÀ“ ¤ M4 ߃ª‘õ (’
10
11
loop
12
accept
13
rej ect
S tates
4
Àû¡ 14 < M2 ; w > ^ < M1 ; w > ,߃ª‘õ ’› ‚î –ø‘Ô— ßþ ‘“ ,Àû¢üõ M2 ø M1 ߃ª‘õ ø¢ ‚“ ¤
À€û¡ w ý¢ø ¤ø ýÂ“ M2 ø M1 ý‘û߃ª‘õ (üó“) ý‘û’› < M2 ; w > ø < M1 ; w > ‚î .¢“
.¢“ Àû¡ L1
TL
.¢“
2 “Â“ ,Û±ì ´ó‘Ÿ ‚“‘Èõ ü—‘±™ ‘“ ,¢ÂþÁ•üõ M4 ߃ª‘õ ‚î ü÷‘“¥ ‚î ´¨ ¼®ø
:Ýþ¥‘¨üõ °ƒ—— ßþ ‚“ L1 ö‘“¥ ©ÂþÁ• ýÂ“ ¤ M5 ÂþÁ•ÝƒÞʗ ߃ª‘õ (š
;ÂþÁ³“ ¤ ö ¢“ “Â“ ý¢ø ¤ø ý‚µª¤ ‚î ü—¤¬ ¤¢
ý¤Ï w2 ø w1 ý‚Øa — ø¢ ‚“ ¤ ý¢ø ¤ø ý w ý‚µª¤ ,15 üãÎì Âƒè –¤¬‚“ –¤¬ßþ Âƒè ¤¢
¢ø¢Âõ ¤ÀÖõ ,ÀõüÞ÷ ´¨¢ ‚“ w1 ¤Âؗ ¥ w2 ‚î ü—¤¬ ¤¢ ų¨ .w = w1 w2 ‚î ßî ݃Æ֗
.ö¢Âð“ üþ‘ú÷ ü›ø ¡ ö€ä ‚“ w1 ýÂ“ ¤ M1 ߃ª‘õ ü›ø ¡ ,–¤¬ßþ Âƒè ¤¢ ;ö¢Â𓠐¤
‚µÔð °ó‘Îõ Õ±Ï ‚î ´¨ (N
T uring ) üãÎìƒè ـþ¤— ߃ª‘õ ×þ ,߃ª‘õ ßþ ‚î ´¨üúþÀ“
.´¨ ÂþÁ•ÝƒÞʗ ö‘“¥ ßþ ŕ ,´¨ L1 ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ÷ƒð݃Þʗ ×þ ö ,’‘µî ¤¢ ùÀª
ßþ ‚î ´¨ "?‚÷ ‘þ Àþüõ ´¨¢ ‚“ w1 ¤Âؗ ¥ w2 ‘þ' ‚îßþ ü¨¤ “ ýù½÷ ,‚ƒÌì ý‚µØ÷ ‘ú€—
öÀƒ¨¤ ‘— w1 ¬‘€ä ‘“ ´ú“‘Èõ –¤¬ ¤¢ w2 ¬‘€ä ý‚µ¨¢ ‚“ ‚µ¨¢ ö¢Âî í¤‘õ ‘“ ø üµŸ¤ ‚“ Ã÷ Ýúõ
.´¨ ÂþÁ•ö‘Øõ ـþ¤— ߃ª‘õ ×þ ÕþÂÏ ¥ ,... ø ’› öÀ÷¢Âð“ ų¨ ø Âʀä ßþ¡ ‚“
:Ýþ¥‘¨üõ °ƒ—— ßþ ‚“ L1 L2 ö‘“¥ ©ÂþÁ• ýÂ“ ¤ M6 ÂþÁ•ÝƒÞʗ ߃ª‘õ (¢
‚ î ß î Ý ƒ Æ Ö — ý¤ Ï w2 ø w1 ý‚ Øa — ø¢ ‚ “ ¤ ý¢ø ¤ø ý w ý‚ µ ª¤ ,ü ã Π젃 è –¤ ¬ ‚ “
.ö¢Â𓠐¤ < M1 ; w1 > ^ < M2 ; w2 > ¤ÀÖõ
.w = w1 w2
’› ‘f ÞµŸ ,Àª‘“ w
2 L1 L2 ‚î ü—¤¬ ¤¢ ŕ ,´¨üãÎìƒè M6 ߃ª‘õ ö ‚î ´¨üúþÀ“
.À÷¢Âðüõ “ ¤ ©ÂþÁ•
‚“ ¤ M7 ߃ª‘õ ý¢ø ¤ø ´¨üê‘î ,L1 ö‘“¥ ©ÂþÁ• ýÂ“ ,M7 ÂþÁ•ÝƒÞʗ ߃ª‘õ ßµ¡‘¨ ýÂ“ (ù
.݃÷¢Â𓠐¤ ö (not) ÅØä ¤ÀÖõ ø ù¢¢ M1 ߃ª‘õ ‚“ ý¢ø ¤ø ö€ä
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
‘þ ¢¤' ý‘€ãõ ‚“ "f alse ‘þ ÍÜè' ¤ÀÖõ ø "©ÂþÁ•' ö‘Þû ـþ¤— ߃ª‘õ ×þ ýÂ“ "true ‘þ ¼ƒ½¬' üó“ ¤ÀÖõ ’›14
.´¨ "©ÂþÁ• ôÀä
15
non deterministic
5
:4 ý‚ó‘bÆõ
ÂþÁ•Éƒ¿È— ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ€û¢Éƒ¿È— ߃ª‘õ ×þ M1 ߃ª‘õ ‚î ݃€îüõ ­Âê ,Û±ì ñb¨ ‚“‘Èõ
.´¨ L2 ÂþÁ•Éƒ¿È— ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ€û¢Éƒ¿È— ߃ª‘õ ×þ Ã÷ M2 ߃ª‘õ ø L1
߃ª‘õ ø¢ ‚“ ¤ ö ,w ý¢ø ¤ø ´ê‘þ¤¢ ‘“ ߃ª‘õ ßþ ‚î Ýþ¥‘¨üõ –¤¬ ßþÀ“ ¤ M3 ߃ª‘õ (Óó
©ÂþÁ• “Â“ < M2 ; w > ‘þ < M1 ; w > ý‘û’› ¥ üØþ ÛìÀŸ ‚î ü—¤¬ ¤¢ .Àû¢üõ M2 ø M1
Âƒè ¤¢ ø Àû¢üõ ¢¤ ’› ,À÷¢¢ ¢¤ ’› ø¢ Âû ‚î ü—¤¬ ¤¢ .Àû¢üõ ©ÂþÁ• ’› ߃ª‘õ ßþ ,¢“
.¢¤Áðüõ ¾¨‘• öøÀ“ ,(À€ª‘“ ‚Öܟ ¤¢ ø¢ Âû ‘þ ,¢¤ ýÂÚþ¢ ø ‚Öܟ ¤¢ üØþ ‚î) –¤¬ßþ
߃ª‘õ ø¢ ‚“ ¤ ö ,w ý¢ø ¤ø ´ê‘þ¤¢ ‘“ ߃ª‘õ ßþ ‚î Ýþ¥‘¨üõ –¤¬ ßþÀ“ ¤ M4 ߃ª‘õ (’
©ÂþÁ• ’› ,À÷¢“ ©ÂþÁ• < M2 ; w > ø < M1 ; w > ’› ø¢ Âû ‚î ü—¤¬ ¤¢ .Àû¢üõ M2 ø M1
Âû ‚î) –¤¬ßþ Âƒè ¤¢ ø Àû¢üõ ¢¤ ’› ,Àª‘“ ¢¤ “Â“ ’› ø¢ ö ¥ üØþ ‚î ü—¤¬ ¤¢ .Àû¢üõ
.¢¤Áðüõ ¾¨‘• öøÀ“ ,(‚Öܟ ¤¢ ýÂÚþ¢ ø ©ÂþÁ• üØþ ‘þ À€ª‘“ ‚Öܟ ¤¢ ø¢
:Ýþ¥‘¨üõ °ƒ—— ßþ ‚“ L1 ö‘“¥ ©ÂþÁ• ýÂ“ ¤ M5 ÂþÁ•Éƒ¿È— ߃ª‘õ (š
;ÂþÁ³“ ¤ ö ¢“ “Â“ ý¢ø ¤ø ý‚µª¤ ‚î ü—¤¬ ¤¢
ý¤Ï w2 ø w1 ý‚Øa — ø¢ ‚“ ¤ ý¢ø ¤ø ý w ý‚µª¤ ,üãÎì Âƒè –¤¬‚“ –¤¬ßþ Âƒè ¤¢
¢ø¢Âõ ¤ÀÖõ ,ÀõüÞ÷ ´¨¢ ‚“ w1 ¤Âؗ ¥ w2 ‚î ü—¤¬ ¤¢ ų¨ .w = w1 w2 ‚î ßî ݃Æ֗
.ö¢Âð“ üþ‘ú÷ ü›ø ¡ ö€ä ‚“ w1 ýÂ“ ¤ M1 ߃ª‘õ ü›ø ¡ ,–¤¬ßþ Âƒè ¤¢ ;ö¢Â𓠐¤
‚µÔð °ó‘Îõ Õ±Ï ‚î ´¨ (N
T uring ) üãÎìƒè ـþ¤— ߃ª‘õ ×þ ,߃ª‘õ ßþ ‚î ´¨üúþÀ“
.´¨ ÂþÁ•Éƒ¿È— ö‘“¥ ßþ ŕ ,´¨ L1 ö‘“¥ ýÂ“ ùÀ€û¢Éƒ¿È— ×þ ö ,’‘µî ¤¢ ùÀª
ßþ ‚î ´¨ "?‚÷ ‘þ Àþüõ ´¨¢ ‚“ w1 ¤Âؗ ¥ w2 ‘þ' ‚îßþ ü¨¤ “ ýù½÷ ,‚ƒÌì ý‚µØ÷ ‘ú€—
öÀƒ¨¤ ‘— w1 ¬‘€ä ‘“ ´ú“‘Èõ –¤¬ ¤¢ w2 ¬‘€ä ý‚µ¨¢ ‚“ ‚µ¨¢ ö¢Âî í¤‘õ ‘“ ø üµŸ¤ ‚“ Ã÷ Ýúõ
.´¨ ÂþÁ•ö‘Øõ ـþ¤— ߃ª‘õ ×þ ÕþÂÏ ¥ ,... ø ’› öÀ÷¢Âð“ ų¨ ø Âʀä ßþ¡ ‚“
:Ýþ¥‘¨üõ °ƒ—— ßþ ‚“ L1 L2 ö‘“¥ ©ÂþÁ• ýÂ“ ¤ M5 ÂþÁ•Éƒ¿È— ߃ª‘õ (¢
‚ î ß î Ý ƒ Æ Ö — ý¤ Ï w2 ø w1 ý‚ Øa — ø¢ ‚ “ ¤ ý¢ø ¤ø ý w ý‚ µ ª¤ ,ü ã Π젃 è –¤ ¬ ‚ “
.w = w1 w2
 ƒ è ¤¢ ø ö‘ Þ “ ¾ ¨‘ • öøÀ “ ,À ÷¢‘ µ ê ‚ Ö Ü Ÿ ¤¢ < M2 ; w2 > ‘ þ < M1 ; w2 > ‚ î ü —¤ ¬ ¤¢
.ö¢Â𓠐¤ < M1 ; w1 > ^ < M2 ; w2 > ¤ÀÖõ ,–¤¬ßþ
6
’› ‘f ÞµŸ ,Àª‘“ w
2 L1 L2 ‚î ü—¤¬ ¤¢ ŕ ,´¨üãÎìƒè M6 ߃ª‘õ ö ‚î ´¨üúþÀ“
.À÷¢Âðüõ “ ¤ ©ÂþÁ•
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ö‘þ‘•
7