‫راهنمایی‬
‫‪ -1‬در قاعده ی ‪ ،3‬به جای 𝜙 ‪ ،‬قرار دهید ‪ A‬و به جای 𝜓 قرار دهید 𝐴 → 𝐴‪ .‬در قاعده ی دوم به جای 𝜃 ‪ 𝜙,‬قرار دهید ‪ A‬و به‬
‫جای 𝜓 قرار دهید 𝐴 → 𝐴‪ .‬سپس در قاعده ی ‪ ،3‬به جای هر دوی 𝜓 ‪ 𝐴 ، 𝜙,‬را جایگذاری کنید‪ .‬در قاعده ی اول به جای 𝜓 ‪𝜙,‬‬
‫قرار دهید ‪ .A‬در نهایت‪ ،‬در قاعده ی دوم‪ ،‬به جای 𝜓 ‪ ، 𝜙,‬قراردهید 𝐴 و به جای 𝜃 قراردهید 𝐴 ∧ 𝐴 ‪ .‬سپس از قاعده ی استنتاج‬
‫و جمالت به دست آمده از جایگذاری ها استفاده کنید‪.‬‬
‫‪ -2‬از این نکته استفاده کنید که مجموعه ی اعداد گویا شماراست‪ .‬مجموعه های این سوال را به مجموعه ی اعداد گویا ربط دهید‪.‬‬
‫دقت کنید که در هر بازه از اعداد حقیقی‪ ،‬حتما عدد گویا وجود دارد‪.‬‬
‫‪-4‬‬
‫الف ) از تعریف بیان شده در صورت سوال کمک بگیرید‪.‬‬
‫ب ) از قسمت الف و مجموعه ی ‪( 0, 1‬مثال مطرح شده در صورت سوال) کمک بگیرید‪.‬‬
‫ج ) ابتدا ثابت کنید‪ |𝑃 ℝ × ℝ | = |𝑃 ℝ | :‬و با استفاده از آن حکم را ثابت کنید‪ .‬برای اثبات حکم سوال‪ ،‬ثابت کنید هر‬
‫طرف تساوی کوچکتر مساوی طرف دیگر است‪.‬‬
‫‪ -5‬نشان دهید مجموعه ی اعداد جبری شماراست و از ناشمارا بودن اعداد حقیقی نتیجه بگیرید عدد غیر جبری وجود دارد‪ .‬توجه‬
‫کنید که هر چندجمله ای درجه 𝑛 با ضرایب صحیح‪ ،‬حداکثر‪ 𝑛 ،‬ریشه متمایز دارد‪ .‬ثابت کنید تعداد چندجمله ای های درجه 𝑛 با‬
‫ضرایب صحیح‪ ،‬شماراست و از آن کمک بگیرید‪.‬‬