¡ÄÅÖÔÕ 2010 Å.
µ³±¦·ª ¶ª©ª¹¦³¬ª· ¯¡µ¬
´ÑÏ 180, å 8
ª© ª³´°²ªª ¶ª©ª¬ª
°Ã ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÌ ×ÑÓÏÇ ÄÑÎÐÑÄÞØ ÖÓÂÄÐÇÐËÌ
Ë ÖÓÂÄÐÇÐËÌ ÆÄËÉÇÐËâ ÊÂÓâÉÇÐÐÑÌ ÕÑÚÇÚÐÑÌ ÏÂÔÔÞ 1
£.¡. ¶ÑÍ
(±ÑÔÕÖÒËΠ30 ËáÎâ 1926 Å.) {
£ÑÎÐÑÄÑÇ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ ºÓÈÆËÐÅÇÓ ÊÂÒËÔÂÐÑ Ä ×ÑÓÏÇ ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÅÑ ÖÓÂÄÐÇÐËâ ­ÂÒÎÂÔÂ,  ÖÓÂÄÐÇÐËâ ÆÄËÉÇÐËâ ì ÍÂÍ ÖÓÂÄÐÇÐËâ ÅÇÑÆÇÊËÚÇÔÍÑÌ ÎËÐËË Ä ÒâÕËÏÇÓÐÑÏ ÒÓÑÔÕÓÂÐÔÕÄÇ. ªÊÃÞÕÑÚÐÂâ ÒâÕÂâ ÍÑÑÓÆËÐÂÕÂ
ÐÂØÑÆËÕÔâ Ä ÕÇÔÐÑÌ ÔÄâÊË Ô ÎËÐÇÌÐÑÌ ÆË××ÇÓÇÐÙËÂÎßÐÑÌ ×ÑÓÏÑÌ àÎÇÍÕÓÑÏÂÅÐËÕÐÑÅÑ ÒÑÕÇÐÙËÂÎÂ.
PACS numbers: 01.65.+g, 04.20. ± q, 11.15. ± q
·. ®ÂÐÆÇÎ Ä ÔÄÑÇÌ ÇÜÈ ÐÇ ÑÒÖÃÎËÍÑÄÂÐÐÑÌ ÓÂÃÑÕÇ 2
ÒÑÎßÊÖÇÕÔâ ÒÑÐâÕËÇÏ ÒâÕËÏÇÓÐÑÅÑ ÒÓÑÔÕÓÂÐÔÕÄ Ô
ÙÇÎßá ÓÂÔÔÏÑÕÓÇÐËâ ÅÓÂÄËÕÂÙËË Ë àÎÇÍÕÓÑÏÂÅÐËÕÐÑÅÑ
ÒÑÎâ Ô ÇÆËÐÑÌ ÕÑÚÍË ÊÓÇÐËâ. ¯ÂÏ ÍÂÉÇÕÔâ, ÚÕÑ ÄÄÇÆÇÐËÇ
ÒâÕÑÌ ÍÑÑÓÆËÐÂÕÞ ØÑÓÑÛÑ ÒÑÆØÑÆËÕ ÆÎâ ÒÓÇÆÔÕÂÄÎÇÐËâ
ÄÑÎÐÑÄÑÅÑ ÖÓÂÄÐÇÐËâ ºÓÈÆËÐÅÇÓÂ Ë ÖÓÂÄÐÇÐËÌ ÆÄËÉÇÐËâ
Ä ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÌ ×ÑÓÏÇ.
1. ³ÒÇÙËÂÎßÐÂâ ÕÇÑÓËâ ÑÕÐÑÔËÕÇÎßÐÑÔÕË
¶ÖÐÍÙËâ ­ÂÅÓÂÐÉÂ, ÔÑÑÕÄÇÕÔÕÄÖáÜÂâ ÆÄËÉÇÐËá ÐÇÍÑÕÑÓÑÌ ÊÂÓâÉÇÐÐÑÌ ÕÑÚÇÚÐÑÌ ÏÂÔÔÞ, ÊÂÒËÔÞÄÂÇÕÔâ Ä ÎÇÅÍÑ
ÒÑÐâÕÐÞØ ÑÃÑÊÐÂÚÇÐËâØ ÍÂÍ
r
v2 e
2
1 ÿ 2 ‡ Av ÿ ej ;
…1†
L ˆ ÿmc
c
c
Ë ÔÑÑÕÄÇÕÔÕÄÖáÜÇÇ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ ¤ÂÏËÎßÕÑРë ÁÍÑÃË
(H.P.) (Hamilton Prinzip. ì ±ÓËÏÇÚ. ÒÇÓ.) ËÏÇÇÕ ÄËÆ
1 ªÆÇâ àÕÑÌ ÓÂÃÑÕÞ ÄÑÊÐËÍÎÂ Ä ÃÇÔÇÆÇ Ô ÒÓÑ×. £. ¶ÓÇÆÇÓËÍÔÑÏ, ÇÏÖ ÉÇ
â ÑÃâÊÂÐ ÐÇÍÑÕÑÓÞÏË ÙÇÐÐÞÏË ÔÑÄÇÕÂÏË.
©ÂÏÇÚÂÐËÇ ÒÓË ÍÑÓÓÇÍÕÖÓÇ. ¬ÑÅÆ àÕ ÊÂÏÇÕÍ ÃÞΠÖÉÇ Ä ÒÇÚÂÕË, ÆÑ
­ÇÐËÐÅÓÂÆ ÆÑÛΠÒÓÇÍÓÂÔÐÂâ ÓÂÃÑÕ °ÔÍÂÓ ¬ÎÇÌР(Z. Phys. 37 895
(1926)) [2], Ä ÍÑÕÑÓÑÌ ÂÄÕÑÓ ÒÑÎÖÚËÎ ÓÇÊÖÎßÕÂÕÞ Ä ÒÓËÐÙËÒÇ ËÆÇÐÕËÚÐÞÇ ÓÇÊÖÎßÕÂÕÂÏ àÕÑÌ ÊÂÏÇÕÍË. £ÄËÆÖ ÄÂÉÐÑÔÕË ÓÇÊÖÎßÕÂÕÑÄ, ÑÆÐÂÍÑ,
ËØ ÄÞÄÑÆ, ÄÞÒÑÎÐÇÐÐÞÌ ÆÓÖÅËÏ ÔÒÑÔÑÃÑÏ (ÑÃÑÃÜÇÐËÇ ÒÑÆÔÕÂÐÑÄÍË,
ËÔÒÑÎßÊÑÄÂÐÐÑÌ Ä ÑÆÐÑÌ ËÊ ÏÑËØ ÒÓÇÆÞÆÖÜËØ ÓÂÃÑÕ), ÕÂÍÉÇ ÏÑÉÇÕ
ÒÓÇÆÔÕÂÄÎâÕß ËÐÕÇÓÇÔ.
2 ¡ÄÕÑÓ ÎáÃÇÊÐÑ ÒÓÇÆÑÔÕÂÄËÎ ÏÐÇ ÄÑÊÏÑÉÐÑÔÕß ÑÊÐÂÍÑÏËÕßÔâ Ô
ÓÖÍÑÒËÔßá ÔÄÑÇÌ ÓÂÃÑÕÞ [3].
DOI: 10.3367/UFNr.0180.201008h.0874
…grad W †2 ÿ
2
1 qW
2e
j qW
ÿ
A
grad
W
‡
‡
c 2 qt
c
c qt
‡ m 2c 2 ‡
e2
…A 2 ÿ j 2 † ˆ 0 :
c2
…2†
±Ñ ÂÐÂÎÑÅËË Ô ÒÑÆÔÕÂÐÑÄÍÑÌ, ËÔÒÑÎßÊÑÄÂÐÐÑÌ Ä
ÐÂÛÇÌ ÓÂÐÐÇÌ ÓÂÃÑÕÇ 3 , ÏÞ ÒÑÎÑÉËÏ ÊÆÇÔß
grad W ˆ
grad c
;
qc=qp
qW qc=qt
ˆ
;
qt
qc=qp
…3†
ÅÆÇ p ÑÃÑÊÐÂÚÂÇÕ ÐÇÍÑÕÑÓÞÌ ÐÑÄÞÌ ÒÂÓÂÏÇÕÓ Ô ÓÂÊÏÇÓÐÑÔÕßá ÍÄÂÐÕ ÆÇÌÔÕÄËâ. ±ÑÔÎÇ ÖÏÐÑÉÇÐËâ Р…qc=qp†2
ÏÞ ÒÑÎÖÚÂÇÏ ÍÄÂÆÓÂÕËÚÐÖá ×ÑÓÏÖ
2
1 qc
2e qc
j qc
2
Q ˆ …grad c† ÿ 2
ÿ
A grad c ‡
‡
c
qt
c qp
c qt
2
e2
qc
:
…4†
‡ m 2 c 2 ‡ 2 …A 2 ÿ j 2 †
c
qp
©ÂÏÇÚÂÇÏ, ÚÕÑ ÍÑà××ËÙËÇÐÕÞ ÒÓË ÐÖÎÇÄÑÌ, ÒÇÓÄÑÌ Ë
ÄÕÑÓÑÌ ÔÕÇÒÇÐË qc=qp âÄÎâáÕÔâ ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÞÏË ËÐÄÂÓËÂÐÕÂÏË. ¬ÓÑÏÇ ÕÑÅÑ, ×ÑÓÏ Q ÑÔÕÂÈÕÔâ ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÌ
ÒÓË ÊÂÏÇÐÇ
A ˆ A1 ‡ grad f ;
j ˆ j1 ÿ
p ˆ p1 ÿ
1 qf
;
c qt
…5†
e
f;
c
ÅÆÇ f ÑÃÑÊÐÂÚÂÇÕ ÐÇÍÑÕÑÓÖá ÒÓÑËÊÄÑÎßÐÖá ×ÖÐÍÙËá
ÍÑÑÓÆËÐÂÕ Ë ÄÓÇÏÇÐË. ±ÑÔÎÇÆÐÇÇ ÒÓÇÑÃÓÂÊÑÄÂÐËÇ ÕÂÍÉÇ
{ ³ÕÂÕßâ ÄÒÇÓÄÞÇ ÑÒÖÃÎËÍÑÄÂÐÂ Ä Z. Phys. 39 226 (1926) [1].
±ÇÓÇÄÈÎ Ô ÐÇÏÇÙÍÑÅÑ ÆÎâ ÐÂÔÕÑâÜÇÅÑ ËÊÆÂÐËâ ³.¥. ¥ÂÐËÎÑÄ.
3 £. ¶ÑÍ "¬ ÄÑÎÐÑÄÑÌ ÏÇØÂÐËÍÇ ºÓÈÆËÐÅÇÓÂ" (V. Fock "Zur Schr
odingershen Wellenmechanik" Z. Phys. 37 242 (1926)) [4].
# £.¡. ¶ÑÍ 2010
# ±ÇÓÇÄÑÆ Ð ÓÖÔÔÍËÌ âÊÞÍ ì ²ÑÔÔËÌÔÍÂâ ÂÍÂÆÇÏËâ ÐÂÖÍ,
"µÔÒÇØË ×ËÊËÚÇÔÍËØ ÐÂÖÍ" 2010
´. 180, å 8]
°¢ ª¯£¡²ª¡¯´¯°« ¶°²®¦ £°­¯°£½· µ²¡£¯¦¯ª«
ÑÔÕÂÄÎâÇÕ ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÌ ÎËÐÇÌÐÖá ÆË××ÇÓÇÐÙËÂÎßÐÖá
×ÑÓÏÖ 4
d 0O ˆ
e
e
1
…Ax dx ‡ Ay dy ‡ Az dz† ÿ
j dt ‡
dp :
mc 2
mc
mc
…6†
®Þ ØÑÕËÏ ÔÇÌÚÂc ÄÞÓÂÊËÕß ×ÑÓÏÖ Q ÍÂÍ ÍÄÂÆÓÂÕ
ÅÓÂÆËÇÐÕ ×ÖÐÍÙËË c Ä ÒâÕËÏÇÓÐÑÏ ÒÓÑÔÕÓÂÐÔÕÄÇ …R5 † Ë
ËÜÇÏ ÔÑÑÕÄÇÕÔÕÄÖáÜËÌ ËÐÕÇÓÄÂÎ. ­ÇÅÍÑ ÐÂØÑÆËÏ
ds 2 ˆ dx 2 ‡ dy 2 ‡ dz 2 ÿ c 2 dt 2 ‡ …d 0 O†2 :
µÓÂÄÐÇÐËÇ ­ÂÒÎÂÔÂ Ä R5 ÊÂÒËÔÞÄÂÇÕÔâ ÍÂÍ
1 q2 c 2e
qc j q2 c
A grad
‡
ÿ
Dc ÿ 2 2 ÿ
c qt
c
qp c qt qp
e qc
1 qj
div A ‡
‡
ÿ
c qp
c qt
2
e2
q c
ˆ 0:
‡ m 2 c 2 ‡ 2 …A 2 ÿ j 2 †
c
qp 2
…7†
…8†
°ÐÑ, ÕÂÍ ÉÇ ÍÂÍ Ë (7) Ë (4), ÑÔÕÂÈÕÔâ ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÞÏ ÒÓË
ÒÓÇÑÃÓÂÊÑÄÂÐËâØ ­ÑÓÇÐÙÂ Ë ÒÓÇÑÃÓÂÊÑÄÂÐËâØ (5).
´ÂÍ ÍÂÍ ÍÑà××ËÙËÇÐÕÞ ÖÓÂÄÐÇÐËâ (8) ÐÇ ÔÑÆÇÓÉÂÕ
ÒÂÓÂÏÇÕÓÂ p, ÏÞ ÏÑÉÇÏ ÄÞÃÓÂÕß ÊÂÄËÔËÏÑÔÕß ×ÖÐÍÙËË
c ÑÕ p Ä àÍÔÒÑÐÇÐÙËÂÎßÐÑÌ ×ÑÓÏÇ, Ë ÏÞ ÆÑÎÉÐÞ ÆÎâ
ÔÑÅÎÂÔËâ Ô ÐÂÃÎáÆÇÐËâÏË ÒÑÎÑÉËÕß 5
p
c ˆ c0 exp 2pi
:
…9†
h
µÓÂÄÐÇÐËÇ ÆÎâ c0 ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑ ÒÑ ÑÕÐÑÛÇÐËá Í ÒÓÇÑÃÓÂÊÑÄÂÐËâÏ ­ÑÓÇÐÙÂ, ÐÑ ÐÇ ÒÑ ÑÕÐÑÛÇÐËá Í ÒÓÇÑÃÓÂÊÑÄÂÐËâÏ (5). ©ÐÂÚÇÐËÇ ËÊÃÞÕÑÚÐÑÅÑ ÍÑÑÓÆËÐÂÕÐÑÅÑ
ÒÂÓÂÏÇÕÓ p ÑÍÂÊÞÄÂÇÕÔâ ÔÑÔÕÑâÜËÏ ËÏÇÐÐÑ Ä ÕÑÏ, ÚÕÑ
ÑÐ ÑÃÖÔÎÑÄÎËÄÂÇÕ ËÐÄÂÓËÂÐÕÐÑÔÕß ÖÓÂÄÐÇÐËÌ ÒÑ ÑÕÐÑÛÇÐËá Í ÆÑÃÂÄÍÇ ÒÓÑËÊÄÑÎßÐÑÅÑ ÅÓÂÆËÇÐÕÂ Í ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÑÏÖ ÒÑÕÇÐÙËÂÎÖ.
©ÆÇÔß ÔÎÇÆÖÇÕ ÑÕÏÇÕËÕß, ÚÕÑ ÍÑà××ËÙËÇÐÕÞ ÖÓÂÄÐÇÐËâ
ÆÎâ c0 Ä ÑÃÜÇÏ ÔÎÖÚÂÇ âÄÎâáÕÔâ ÍÑÏÒÎÇÍÔÐÞÏË.
¦ÔÎË ÆÂÎÇÇ ÒÓÇÆÒÑÎÑÉËÕß, ÚÕÑ àÕË ÍÑà××ËÙËÇÐÕÞ ÐÇ
ÊÂÄËÔâÕ ÑÕ t, Ë ÒÓÇÆÔÕÂÄËÕß
2pi
c0 ˆ exp ÿ
…10†
…E ‡ mc 2 †t c1 ;
h
ÕÑ ÆÎâ c1 ÒÑÎÖÚÂÇÕÔâ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ, ÐÇ ÔÑÆÇÓÉÂÜÇÇ ÄÓÇÏÇÐË,
ÍÑÕÑÓÑÇ ËÆÇÐÕËÚÐÑ ÑÃÑÃÜÈÐÐÑÏÖ ÄÑÎÐÑÄÑÏÖ ÖÓÂÄÐÇÐËá
ºÓÈÆËÐÅÇÓÂ, ÒÓÇÆÎÑÉÇÐÐÑÏÖ Ä ÐÂÛÇÌ ÓÂÐÐÇÌ ÓÂÃÑÕÇ. ´Ç
ÊÐÂÚÇÐËâ E, ÆÎâ ÍÑÕÑÓÞØ ÔÖÜÇÔÕÄÖÇÕ ×ÖÐÍÙËâ c1 , ÖÆÑÄÎÇÕÄÑÓâáÜÂâ ÑÒÓÇÆÇÎÈÐÐÞÏ ÔÑÑÕÐÑÛÇÐËâÏ ÑÅÓÂÐËÚÇÐÐÑÔÕË Ë ÐÇÒÓÇÓÞÄÐÑÔÕË, âÄÎâáÕÔâ ÃÑÓÑÄÔÍËÏË ÖÓÑÄÐâÏË
àÐÇÓÅËË. ªÊ ÕÂÍËÏ ÑÃÓÂÊÑÏ ÒÓÑÄÇÆÈÐÐÑÅÑ ÓÂÔÔÏÑÕÓÇÐËâ
ÔÎÇÆÖÇÕ, ÚÕÑ ÆÑÃÂÄÎÇÐËÇ ÅÓÂÆËÇÐÕÂ Í ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÑÏÖ
4 °ÃÑÊÐÂÚÇÐËÇ d 0 ÖÍÂÊÞÄÂÇÕ, ÚÕÑ d 0 O ÐÇ âÄÎâÇÕÔâ ÒÑÎÐÞÏ ÆË××ÇÓÇÐÙËÂÎÑÏ.
5 ±ÑâÄÎÇÐËÇ ÔÄâÊÂÐÐÑÅÑ Ô ÎËÐÇÌÐÑÌ ×ÑÓÏÑÌ ÒÂÓÂÏÇÕÓ p Ä àÍÔÒÑÐÇÐÙËÂÎßÐÑÌ ×ÖÐÍÙËË, ÄÑÊÏÑÉÐÑ, ÐÂØÑÆËÕÔâ Ä ÔÄâÊË Ô ÐÇÍÑÕÑÓÞÏË
ÊÂÏÇÚÇÐÐÞÏË ¿. ºÓÈÆËÐÅÇÓÑÏ ÔÑÑÕÐÑÛÇÐËâÏË (Z. Phys. 12 13
(1923)) [5].
875
ÒÑÕÇÐÙËÂÎÖ ÐÇ ÏÑÉÇÕ ÒÑÄÎËâÕß Ð ÖÓÑÄÐË àÐÇÓÅËË.
±ÑÎÖÚÇÐÐÞÇ ÆÎâ ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÞØ ÒÑÕÇÐÙËÂÎÑÄ A Ë
1 ÃÖÆÖÕ ÑÕÎËÚÂÕßÔâ ÕÑÎßÍÑ
ˆ A ÿ grad f ×ÖÐÍÙËË c Ë c
A
1
ÏÐÑÉËÕÇÎÇÏ exp ‰2pief=…ch†Š Ô ÂÃÔÑÎáÕÐÞÏ ÊÐÂÚÇÐËÇÏ 1 Ë,
ÔÎÇÆÑÄÂÕÇÎßÐÑ (ÒÓË ÑÚÇÐß ÑÃÜËØ ÕÓÇÃÑÄÂÐËâØ Ð ×ÖÐÍÙËá f ), ÃÖÆÖÕ ËÏÇÕß ÑÆËÐÂÍÑÄÞÇ ÔÄÑÌÔÕÄ ÐÇÒÓÇÓÞÄÐÑÔÕË.
2. °ÃÜÂâ ÕÇÑÓËâ ÑÕÐÑÔËÕÇÎßÐÑÔÕË
A. £ÑÎÐÑÄÑÇ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ. ©ÂÒËÛÇÏ ÆÎâ ÍÄÂÆÓÂÕ ËÐÕÇÓÄÂÎÂ
Ä ÒâÕËÏÇÓÐÑÏ ÒÓÑÔÕÓÂÐÔÕÄÇ
9
5
X
>
>
2
>
gik dxi dxk ˆ
ds ˆ
>
>
=
i; k ˆ 1
…11†
5
2 >
4
X
>
e2 X
>
>
gik dxi dxk ‡ 2
qi dxi : >
ˆ
;
m
iˆ1
i; k ˆ 1
©ÆÇÔß ÄÇÎËÚËÐÞ gik ì ÍÑÏÒÑÐÇÐÕÞ àÌÐÛÕÇÌÐÑÄÔÍÑÅÑ
×ÖÐÆÂÏÇÐÕÂÎßÐÑÅÑ ÕÇÐÊÑÓÂ, ÄÇÎËÚËÐÞ qi …i ˆ 1; 2; 3; 4† ì
ÍÑÏÒÑÐÇÐÕÞ ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÑÅÑ ÒÑÕÇÐÙËÂÎÂ, ÆÇÎÈÐÐÞÇ ÐÂ
c 2 , Õ.Ç.
4
X
qi dxi ˆ
iˆ1
1
…Ax dx ‡ Ay dy ‡ Az dz ÿ jc dt† ;
c2
…12†
ÄÇÎËÚËРq5 âÄÎâÇÕÔâ ÍÑÐÔÕÂÐÕÑÌ,  x5 ì ËÊÃÞÕÑÚÐÞÌ
ÍÑÑÓÆËÐÂÕÐÞÌ ÒÂÓÂÏÇÕÓ. £ÔÇ ÍÑà××ËÙËÇÐÕÞ ÆÇÌÔÕÄËÕÇÎßÐÑÊÐÂÚÐÞ Ë ÐÇ ÊÂÄËÔâÕ ÑÕ x5 .
£ÇÎËÚËÐÞ gik Ë qi ÊÂÄËÔâÕ ÕÑÎßÍÑ ÑÕ ÒÑÎÇÌ, ÐÑ ÐÇ ÑÕ
ØÂÓÂÍÕÇÓËÔÕËÍ ÕÑÚÇÚÐÑÌ ÏÂÔÔÞ; ÒÑÔÎÇÆÐËÇ ÒÓÇÆÔÕÂÄÎâáÕÔâ ÏÐÑÉËÕÇÎÇÏ e 2 =m 2 . ¥Îâ ÍÓÂÕÍÑÔÕË, ÑÆÐÂÍÑ, ÏÞ
ØÑÕËÏ ÄÄÇÔÕË ÊÂÄËÔâÜËÇ ÑÕ e=m ÄÇÎËÚËÐÞ
e
qi ˆ ai
m
…i ˆ 1; 2; 3; 4; 5†
…13†
Ë ÄÑÔÒÑÎßÊÑÄÂÕßÔâ ÔÑÅÎÂÛÇÐËÇÏ, ÚÕÑ ÒÓË ÔÖÏÏËÓÑÄÂÐËË
ÑÕ 1 ÆÑ 5 ÊÐÂÍ ÔÖÏÏÞ ÃÖÆÇÕ ÒËÔÂÕßÔâ, Â ÒÓË ÔÖÏÏËÓÑÄÂÐËË
ÑÕ 1 ÆÑ 4, ÐÂÒÓÑÕËÄ, ÃÖÆÇÕ ÑÒÖÜÇÐ.
£ àÕËØ ÑÃÑÊÐÂÚÇÐËâØ ÏÞ ÐÂØÑÆËÏ
gik ˆ gik ‡ ai ak ; gi5 ˆ 0
…14†
…i; k ˆ 1; 2; 3; 4; 5† ;
…15†
g ˆ kgik k ˆ a52 g
9
g lk ˆ g lk
>
>
>
i>
>
1
a
=
5k
ik
g ˆ ÿ g ai ˆ ÿ
…16†
a5 > …i; k; l ˆ 1; 2; 3; 4† :
a5
>
>
1
>
>
g 55 ˆ 2 …1 ‡ ai a i †
;
a5
£ÑÎÐÑÄÑÇ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ, ÔÑÑÕÄÇÕÔÕÄÖáÜÇÇ ÖÓÂÄÐÇÐËá
(8), ËÏÇÇÕ ÄËÆ
5
X
q p ik qc
ÿg g
ˆ 0;
…17†
qxi
qxk
i; k ˆ 1
ËÎË, ÃÖÆÖÚË ÊÂÒËÔÂÐÐÞÏ ÒÑÆÓÑÃÐÇÇ,
1
q p ik qc
2
q2 c
‡
ÿg g
ÿ ai
p
ÿg qxi
qxk
a5
qxi qx5
‡
2
1
i q c
…1
‡
a
a
†
ˆ 0:
i
a52
qx52
…18†
876
£. ¶°¬
¯ÂÍÑÐÇÙ, ÄÄÑÆâ ×ÖÐÍÙËá c0 Ë ÒÑÕÇÐÙËÂÎÞ qi , àÕÑ
ÖÓÂÄÐÇÐËÇ ÏÑÉÐÑ ÒÇÓÇÒËÔÂÕß ÍÂÍ
1
q p ik qc0
4p p
qc0
ÿ
ÿg g
ÿ
ÿ1 ceq i
p
ÿg qxi
qxk
qxi
h
ÿ
4p2 c 2 2
…m ‡ e 2 qi q i † c0 ˆ 0 :
h2
…19†
£. µÓÂÄÐÇÐËâ ÆÄËÉÇÐËâ. ®Þ ÐÂÏÇÓÇÄÂÇÏÔâ ÔÇÌÚÂÔ ÒÓÇÆÔÕÂÄËÕß ÖÓÂÄÐÇÐËâ ÆÄËÉÇÐËâ ÊÂÓâÉÇÐÐÑÌ ÕÑÚÇÚÐÑÌ ÏÂÔÔÞ
ÍÂÍ ÖÓÂÄÐÇÐËâ ÅÇÑÆÇÊËÚÇÔÍÑÌ ÎËÐËË Ä R5 .
³ àÕÑÌ ÙÇÎßá ÏÞ ÆÑÎÉÐÞ ÔÐÂÚÂΠÄÞÚËÔÎËÕß ÔËÏÄÑÎÞ ¬ÓËÔÕÑ××ÇÎâ. ®Þ ÃÖÆÇÏ ÑÃÑÊÐÂÚÂÕß ÒâÕËÏÇÓÐÞÇ
ÔËÏÄÑÎÞ ÍÂÍ
kl
;
r 5
 ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÞÇ ÍÂÍ
kl
:
r 4
®Þ ÄÄÇÆÈÏ ÆÂÎÇÇ ÍÑÄÂÓËÂÐÕÐÞÇ ÒÓÑËÊÄÑÆÐÞÇ ÚÇÕÞÓÈØÏÇÓÐÑÅÑ ÒÑÕÇÐÙËÂÎÂ
qal
kl
ÿ
a
…20†
Alk ˆ
r 4 r
qxk
Ë ÓÂÊÎÑÉËÏ ÕÇÐÊÑÓ 2Aik ÐÂ ÔËÏÏÇÕÓËÚÐÖá Ë ÂÐÕËÔËÏÏÇÕÓËÚÐÖá ÚÂÔÕË:
Blk ˆ Alk ‡ Akl ;
qal qak
Mlk ˆ Alk ÿ Akl ˆ
ÿ
:
qxk qxl
®Þ ËÏÇÇÏ ÕÑÅÆÂ
1
kl
kl
ˆ
‡ …a g ir Mil ‡ al g ir Mik † ;
r 4 2 k
r 5
1
1
kl
ˆ
B ÿ
…a a i Mil ‡ al a i Mik † ;
5 5 2a5 lk 2a5 k
1
k5
ˆ ÿ a i Mik ;
5 5
2
55
ˆ 0;
k 5
55
ˆ 0:
5 5
…21†
…22†
…24†
©ÆÇÔß, ÍÂÍ Ë ÓÂÐÇÇ, d 0 O ÑÃÑÊÐÂÚÂÇÕ ÎËÐÇÌÐÖá ×ÑÓÏÖ
d 0 O ˆ ai dxi ‡ a5 dx5 :
ÏÑÉÐÑ ÊÂÒËÔÂÕß Ä ÄËÆÇ
d d 0O
ˆ 0:
ds ds
…26†
°ÕÔáÆ ÔÎÇÆÖÇÕ, ÚÕÑ
d 0O
ˆ const :
ds
…27†
¦ÔÎË ÉÇ ÖÏÐÑÉËÕß (23) ÐÂ gra dxa =ds Ë ÒÓÑÔÖÏÏËÓÑÄÂÕß ÒÑ
r Ë a, ÕÑ ÒÑÎÖÚÂÇÕÔâ, ÄÔÎÇÆÔÕÄËÇ ÂÐÕËÔËÏÏÇÕÓËË Mik ,
d
dxr dxa
ˆ0
…28†
gra
ds ds
ds
ËÎË, ÇÔÎË ÄÄÇÔÕË ÔÑÃÔÕÄÇÐÐÑÇ ÄÓÇÏâ t ÒÑ ×ÑÓÏÖÎÇ
gik dxi dxk ˆ ÿc 2 dt 2 ;
2
d dt
ˆ 0:
ds ds
…29†
…30†
µÓÂÄÐÇÐËÇ (28) ËÎË (30), ÄÒÓÑÚÇÏ, âÄÎâÇÕÔâ ËÊ-Ê ÔÑÑÕÐÑÛÇÐËâ
ds 2 ˆ ÿc 2 dt 2 ‡ …d 0 O†2
…31†
ÔÎÇÆÔÕÄËÇÏ (26).
ªÊ ÔÍÂÊÂÐÐÑÅÑ ÄÞÕÇÍÂÇÕ, ÚÕÑ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ (24) âÄÎâÇÕÔâ
ÔÎÇÆÔÕÄËÇÏ (23) Ë ÏÑÉÇÕ ÃÞÕß ÑÕÃÓÑÛÇÐÑ. ¦ÔÎË ÄÄÇÔÕË Ä
(23) ÔÑÃÔÕÄÇÐÐÑÇ ÄÓÇÏâ ÍÂÍ ÐÇÊÂÄËÔËÏÖá ÒÇÓÇÏÇÐÐÖá, ÕÑ
ÒâÕÞÌ ÒÂÓÂÏÇÕÓ ÄÞÒÂÆÂÇÕ ÒÑÎÐÑÔÕßá; ÏÞ ÕÂÍÉÇ ÑÒÖÔÕËÏ
ËÐÆÇÍÔ 4 Ö ÔËÏÄÑÎÑÄ ¬ÓËÔÕÑ××ÇÎâ:
d2 xr
dxl
k l dxk dxl d 0 O ir
‡
ˆ 0:
…32†
‡
g Mil
2
r
dt
dt dt
dt
dt
±ÑÔÎÇÆÐÇÇ ÔÎÂÅÂÇÏÑÇ Ä ÎÇÄÑÌ ÚÂÔÕË ÒÓÇÆÔÕÂÄÎâÇÕ ÔÑÃÑÌ
ÔËÎÖ ­ÑÓÇÐÙÂ. £ ÔÒÇÙËÂÎßÐÑÌ ÕÇÑÓËË ÑÕÐÑÔËÕÇÎßÐÑÔÕË
ÒÇÓÄÑÇ ËÊ àÕËØ ÖÓÂÄÐÇÐËÌ ÏÑÉÇÕ ÃÞÕß ÊÂÒËÔÂÐÑ ÍÂÍ
d dx 1 d 0 O e
qAx
qj
_ z‡
_ y ÿ yH
‡e
m
‡
zH
ˆ 0:
qt
dt dt c dt c
qx
…33†
¥Îâ ÕÑÅÑ ÚÕÑÃÞ ÆÑÔÕËÚß ÔÑÅÎÂÔËâ Ô ÑÒÞÕÑÏ, ÏÐÑÉËÕÇÎß
ÒÇÓÇÆ ÍÄÂÆÓÂÕÐÑÌ ÔÍÑÃÍÑÌ ÆÑÎÉÇÐ ÃÞÕß ÓÂÄÇÐ 1. ³ÎÇÆÑÄÂÕÇÎßÐÑ, ËÏÇÇÕ ÏÇÔÕÑ
µÓÂÄÐÇÐËâ ÅÇÑÆÇÊËÚÇÔÍÑÌ ÎËÐËË Ä R5 ÕÑÅÆÂ ÒÓËÏÖÕ
ÄËÆ
d2 xr
dxl
k l dxk dxl d 0 O ir
‡
ˆ 0;
…23†
‡
g Mil
r 4 ds ds
ds 2
ds
ds
d2 x5
1
dxk dxl 1 d 0 O i
dxl
ÿ
ˆ 0:
‡
Blk
a Mil
2
ds
ds ds a5 ds
ds
2a5
[µ¶¯ 2010
…25†
µÏÐÑÉÂâ ÚÇÕÞÓÇ ÖÓÂÄÐÇÐËâ (23) Рar Ë ÒâÕÑÇ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ
(24) ÐÂ a5 Ë ÔÍÎÂÆÞÄÂâ, ÒÑÎÖÚÂÇÏ ÖÓÂÄÐÇÐËÇ, ÍÑÕÑÓÑÇ
d 0O
ˆc
dt
…34†
ds 2 ˆ 0 :
…35†
Ë
´ÓÂÇÍÕÑÓËË ÕÑÚÇÚÐÑÌ ÏÂÔÔÞ âÄÎâáÕÔâ ÅÇÑÆÇÊËÚÇÔÍËÏË
ÐÖÎÇÄÞÏË ÎËÐËâÏË Ä ÒâÕËÏÇÓÐÑÏ ÒÓÑÔÕÓÂÐÔÕÄÇ.
¥Îâ ÕÑÅÑ ÚÕÑÃÞ ÒÑÎÖÚËÕß ÖÓÂÄÐÇÐËâ ¤ÂÏËÎßÕÑРë
ÁÍÑÃË, ÒÑÎÑÉËÏ ÍÄÂÆÓÂÕ ÒâÕËÏÇÓÐÑÅÑ ÅÓÂÆËÇÐÕÂ ×ÖÐÍÙËË c ÓÂÄÐÞÏ ÐÖÎá
g ik
2
qc qc
2 qc i qc
1 qc
ÿ
a
‡ …1 ‡ ai a i †
ˆ 0 : …36†
qxi qxk a5 qx5
qxi
a5 qx5
´. 180, å 8]
³ÒËÔÑÍ ÎËÕÇÓÂÕÖÓÞ
¦ÔÎË ÏÞ ÒÑÎÑÉËÏ ÊÆÇÔß
mca5
qc=qxi qW
ˆ
qc=qx5 qxi
…37†
Ë ÄÄÇÆÈÏ ÄÏÇÔÕÑ ai ÒÑÕÇÐÙËÂÎÞ qi , ÕÑ ÏÞ ÒÑÎÖÚËÏ
ÖÓÂÄÐÇÐËÇ
g ik
877
°¢ ª¯£¡²ª¡¯´¯°« ¶°²®¦ £°­¯°£½· µ²¡£¯¦¯ª«
qW qW
qW
ÿ 2ecq i
‡ c 2 …m 2 ‡ e 2 qi q i † ˆ 0 ;
qxi qxk
qxi
…38†
ÍÑÕÑÓÑÇ ÏÑÉÇÕ ÓÂÔÔÏÂÕÓËÄÂÕßÔâ ÍÂÍ ÑÃÑÃÜÇÐËÇ ÐÂÛÇÅÑ
ÖÓÂÄÐÇÐËâ (2), ÒÑÔÎÖÉËÄÛÇÅÑ ÐÂÏ ËÔØÑÆÐÞÏ ÒÖÐÍÕÑÏ.
1.
2.
3.
4.
5.

Fock V "Uber
die invariante Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen f
ur einen geladenen Massenpunkt" Z. Phys. 39 226
(1926)
Klein O ``Quantentheorie und f
unfdimensionale Relativit
atstheorie'' Z. Phys. 37 895 (1926)
Mandel H ``Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemeinen
Relativitatstheorie'' Z. Phys. 39 136 (1926)
Fock V "Zur Schr
odingershen Wellenmechanik" Z. Phys. 38 242
(1926)

Schr
odinger E ``Uber
eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines einzelnen'' Z. Phys. 12 13 (1923)
­ÇÐËÐÅÓÂÆ, ¶ËÊËÚÇÔÍËÌ ×ÂÍÖÎßÕÇÕ µÐËÄÇÓÔËÕÇÕÂ,
24 ËáÎâ 1926 Å.
On the invariant form of the wave and motion equations for a charged point-mass
V.A. Fock
The Schr
odinger wave-equation and the equations of motion are written as an invariant Laplace equation and the equation of a geodesic
in éve-dimensional space respectively. The superêuous éfth coordinate is closely related to the linear differential form of the electromagnetic potential.
PACS numbers: 01.65.+g, 04.20. ± q, 11.15. ± q
Bibliography ì 5 references
Uspekhi Fizicheskikh Nauk 180 (8) 874 ± 877 (2010)
DOI: 10.3367/UFNr.0180.201008h.0874
Received 30 July 1926
Physics ± Uspekhi 53 (8) (2010)