‫امتحان نيم ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫بسمه تعالي‬
‫سوال ‪ 4( 1‬نمره)‬
‫برای سیستم زیر خواص خطي بودن‪ ،‬تغییر ناپذیری با زمان‪ ،‬بي حافظه بودن و علي بودن را‬
‫بررسي کنید‪ .‬در صورت داشتن خاصیت‪ ،‬دلیل آن را ارائه دهید و در صورت نداشتن‪ ،‬مثال نقض‬
‫بیاورید‪.‬‬
‫‪𝑥(𝑡) < 0‬‬
‫‪𝑥(𝑡) ≥ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫{ = )𝑡(𝑦‬
‫)‪𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡 − 1‬‬
‫پاسخ ‪:‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 1‬از ‪6‬‬
‫امتحان نيم ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫سوال ‪ 3( 2‬نمره)‬
‫زوج ورودی و خروجي برای یک سیستم ‪ LTI‬به صورت زیر است ‪:‬‬
‫𝟏‬
‫𝟎 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫𝟐‬
‫𝟏 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫{ = ]𝒏[𝒚‬
‫𝟏‬
‫𝟐 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 𝟎‬
‫خروجي را به ازای ورودی زیر بیابید‪.‬‬
‫𝟎‬
‫𝟎 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫𝟏‬
‫𝟏 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫{ = ]𝒏[𝒙‬
‫𝟏‬
‫𝟐 = 𝒏 𝒇𝒊‬
‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 𝟎‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑖𝑓 𝑛 = 0‬‬
‫‪1 𝑖𝑓 𝑛 = 1,2‬‬
‫{ = ]𝑛[𝑥‬
‫‪2 𝑖𝑓 𝑛 = 3,4‬‬
‫𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒‪0 𝑜𝑡ℎ‬‬
‫پاسخ ‪:‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 2‬از ‪6‬‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫امتحان نيم ترم‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫جزوه بسته‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫سوال ‪ 3( 3‬نمره)‬
‫دو سیستم ‪ LTI‬علّي که معادلهی تفاضلي آنها در ادامه آمده است را در نظر بگیرید‬
‫]‪System 1: y1 [n] = ax1 [n] + bx1 [n − 1] + cx1 [n − 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫]‪System 2: y2 [n] = y2 [n − 1] − y2 [n − 2] + x2 [n‬‬
‫اگر این دو سیستم را به شکل زیر متوالي )‪ (cascade‬کنیم و پاسخ ضربهی سیستم نهایي‬
‫]𝒏[𝜹 = ]𝒏[𝒉 باشد‪ ،‬پارامترهای ‪ a, b, c‬را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 − e−jω + e−j2ω‬‬
‫= ) ‪H2 (ejω‬‬
‫‪H1 (ejω ) = a + be−jω + ce−j2ω ,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪H(ejω ) = H1 (ejω )H2 (ejω ) = 1 → a = 1, b = − , c‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫سوال ‪ 3( 4‬نمره)‬
‫𝝅‬
‫برای دو سیگنال گسسته در زمان )𝒏𝟐(𝒔𝒐𝒄 و )𝒏 ( 𝒏𝒊𝒔 ضرایب سری فوریه را در صورت‬
‫𝟒‬
‫وجود بدست آورید‪.‬‬
‫حل‪ :‬سیگنال )𝒏𝟐(𝒔𝒐𝒄 متناوب نیست و بنابراین نميتوان سری فوریه برای آن نوشت‪.‬‬
‫𝝅‬
‫برای سیگنال )𝒏 ( 𝒏𝒊𝒔 داریم‪:‬‬
‫𝟒‬
‫‪𝑘=1‬‬
‫𝜋𝑘‪2𝑘𝜋 2‬‬
‫=𝑁‬
‫‪= 𝜋 = 8𝑘 → 𝑁 = 8‬‬
‫‪𝜔0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫𝑗‪2‬‬
‫‪𝑎−1 = −‬‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫𝜋 ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪sin ( 𝑛) = 𝑒 𝑗 4 𝑛 − 𝑒 −𝑗 4 𝑛 → 𝑎1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑗‪2‬‬
‫𝑗‪2‬‬
‫𝑗‪2‬‬
‫‪𝑎𝑘 = 0 𝑘 ≠ ±1‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 3‬از ‪6‬‬
‫امتحان نيم ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫سوال ‪ 4( 5‬نمره)‬
‫در هر بخش از سوال زیر شکل سمت چپ یک سیگنال پیوسته در حوزهی زمان است و شکل‬
‫سمت راست اندازه یا فاز تبدیل فوریهی این سیگنال است‪ .‬در هر حالت مشخص کنید آیا این‬
‫زوج تبدیل فوریه ممکن است یا نه‪ .‬دالیل خود را توضیح دهید‪.‬‬
‫الف)‬
‫تابع ‪ f‬یک تابع فرد است و شکل سمت راست اندازهی تبدیل فوریهی آن‪ ،‬تابعي زوج از ∞‪ -‬تا‬
‫∞‪ +‬است‬
‫ب)‬
‫تابع ‪ f‬یک تابع زوج است و شکل سمت راست فاز تبدیل فوریهی آن‪ ،‬تابعي فرد از ∞‪ -‬تا ∞‪+‬‬
‫است‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 4‬از ‪6‬‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫امتحان نيم ترم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫ج)‬
‫تابع ‪ f‬یک تابع زوج که به اندازهی ‪ a‬شیفت یافته است و شکل سمت راست فاز تبدیل‬
‫فوریهی آن‪ ،‬تابعي فرد از ∞‪ -‬تا ∞‪ +‬است‬
‫د) تابع ‪ f‬یک تابع زوج و شکل سمت راست فاز تبدیل فوریه آن است‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫𝜋‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫𝜋‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪٬0‬‬
‫‪٬‬‬
‫ ‪π π,‬‬‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪π π, - ٬ 0‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 5‬از ‪6‬‬
‫امتحان نيم ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 1/5 :‬ساعت‬
‫‪1314/2/5‬‬
‫‪π π, - ٬ 0‬‬
‫‪f‬‬
‫‪sinc‬‬
‫سوال ‪ 3( 6‬نمره)‬
‫]𝒏[𝒙 حقیقي ‪ ،‬علي با تبدیل فوریه گسسته در زمان ) 𝝎𝒋𝒆(𝑿 مي باشد‪ .‬اگر قسمت موهومي‬
‫) 𝝎𝒋𝒆(𝑿 به صورت زیر باشد یک عبارت برای ]𝒏[𝒙 ارائه دهید‪.‬‬
‫)𝝎𝟑(𝒏𝒊𝒔 𝟐 ‪𝑰𝒎{𝑿(𝒆𝒋𝝎 )} = 𝟑 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝎) −‬‬
‫حل‪:‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – پرديس بين الملل تهران‬
‫صفحه‪ 6‬از ‪6‬‬