‫‪ 𝑥(𝑡) .1‬سیگنالی با نرخ نایکوییست ‪ 𝜔0‬است‪ .‬نرخ نایکوییست را برای سیگنال های زیر تعیین کنید‪.‬‬
‫(الف) )‪𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡 − 1‬‬
‫(ب)‬
‫)𝑡(𝑥𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫(ج) )𝑡( ‪𝑥 2‬‬
‫(د) 𝑡 ‪𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔0‬‬
‫پاسخ‪ :‬چون نرخ نایکوییست سیگنال )𝑡(𝑥 برابر ‪ 𝜔0‬است پس برای ‪.𝑋(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 𝜔0 /2‬‬
‫(الف) برای این قسمت خواهیم داشت‪،‬‬
‫𝑇𝐹‬
‫)𝜔𝑗(𝑋 𝑡𝜔𝑗‪𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡 − 1) ↔ 𝑌(𝑗𝜔) = 𝑋(𝑗𝜔) + 𝑒 −‬‬
‫بنابراین می توان گفت که برای ‪ .𝑌(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 𝜔0 /2‬پس نرخ نایکوییست در این حالت برابر ‪𝜔0‬‬
‫می شود‪.‬‬
‫(ب) برای این قسمت خواهیم داشت‪،‬‬
‫𝑇𝐹 )𝑡(𝑥𝑑‬
‫)𝜔𝑗(𝑋𝜔𝑗 = )𝜔𝑗(𝑌 ↔‬
‫𝑡𝑑‬
‫= )𝑡(𝑦‬
‫بنابراین می توان گفت که برای ‪ .𝑌(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 𝜔0 /2‬پس نرخ نایکوییست در این حالت برابر ‪𝜔0‬‬
‫می شود‪.‬‬
‫(ج) برای این قسمت خواهیم داشت‪،‬‬
‫‪1‬‬
‫])𝜔𝑗(𝑋 ∗ )𝜔𝑗(𝑋[ )‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝑇𝐹‬
‫( = )𝜔𝑗(𝑌 ↔ )𝑡( ‪𝑦(𝑡) = 𝑥 2‬‬
‫بنابراین می توان گفت که برای ‪ .𝑌(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 𝜔0‬پس نرخ نایکوییست در این حالت برابر ‪ 2𝜔0‬می‬
‫شود‪.‬‬
‫(د) برای این قسمت خواهیم داشت‪،‬‬
‫𝑇𝐹‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)) ‪𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡 ↔ 𝑌(𝑗𝜔) = ( ) 𝑋(𝑗(𝜔 − 𝜔0 )) + ( ) 𝑋(𝑗(𝜔 + 𝜔0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫بنابراین می توان گفت که برای ‪ .𝑌(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 𝜔0 + 𝜔0 /2‬پس نرخ نایکوییست در این حالت‬
‫برابر ‪ 3𝜔0‬می شود‪.‬‬
‫‪ .2‬سیگنال حقیقی‪ ،‬فرد و متناوب )𝑡(𝑥 را در نظر بگیرید که نمایش سری فوریه اش به صورت زیر است‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫)𝑡𝜋𝑘(⁡‪𝑥(𝑡) = ∑( )𝑘 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑘=0‬‬
‫)𝑡(̂𝑥 را سیگنال حاصل از نمونه برداری ضربه ای )𝑡(𝑥‪ ،‬با فاصله نمونه برداری ‪ 𝑇 = 0.2‬فرض کنید‪.‬‬
‫(الف) آیا این نمونه برداری با اختالط فرکانسی همراه است‪.‬‬
‫(ب) )𝑡(̂𝑥 از فیلتر پایین گذر ایده آلی با فرکانس قطع‬
‫𝜋‬
‫𝑇‬
‫و بهره ی باند عبور 𝑇 گذرانده می شود‪ .‬سری فوریه‬
‫سیگنال خروجی )𝑡(𝑔 را بیابید‪.‬‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫(الف) بله‪ .‬این نمونه برداری همراه با اختالط فرکانسی خواهد بود‪ .‬چون جمله ای که به ازای ‪ 𝑘 = 5‬به دست‬
‫‪1‬‬
‫می آید برابر است با )𝑡𝜋‪ .( )5 sin⁡(5‬اگر )𝑡(𝑥 فقط به ازای ‪ 𝑇 = 0.2‬نمونه برداری شود آنگاه جمله ی‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫اشاره شده با )𝑡𝜋‪ ( )5 sin⁡(0‬یکسان خواهد بود که با جمله ی متناظر با ‪ 𝑘 = 0‬اختالط خواهد داشت‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫(ب) فیلتر پایین گذر یک درونیابی با باند محدود کننده انجام خواهد داد‪ .‬اما جمله ی متناظر با ‪ 𝑘 = 5‬به علت‬
‫اختالط فرکانسی از بین خواهد رفت‪ .‬بنابراین خروجی به صورت زیر است‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑘 ‪1‬‬
‫)𝑡𝜋𝑘(‪𝑥(𝑡) = ∑ ( ) sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑘=0‬‬
‫نمایش سری فوریه این سیگنال به صورت زیر خواهد بود‪:‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪𝑘=0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 𝑘+1‬‬
‫) ( 𝑗‪−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1≤𝑘≤4‬‬
‫= 𝑘𝑎⁡⁡⁡⁡⁡𝑒𝑟𝑒‪𝑥(𝑡) = ∑ 𝑎𝑘 𝑒 −𝑗(𝑘𝜋/𝑡) ,⁡⁡⁡⁡𝑤ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑘=−4‬‬
‫‪1 −𝑘+1‬‬
‫‪, −4 ≤ 𝑘 ≤ −1‬‬
‫)‪{ 𝑗 (2‬‬
‫‪ .3‬با نمونه برداری ضربه ای از ]𝑛[𝑥 به دست آورده ایم‬
‫∞‬
‫]𝑁𝑘 ‪𝑔[𝑛] = ⁡ ∑ 𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 −‬‬
‫اگر در 𝜋 ≤ |𝜔| ≤‬
‫𝜋‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫∞‪𝑘=−‬‬
‫‪ ،𝑋(𝑒 𝑗𝜔 ) = 0 ،‬بزرگترین فاصله ی نمونه برداری 𝑁 برای اینکه در نمونه های‬
‫]𝑛[𝑥 اختالط فرکانسی رخ ندهد چقدر است؟‬
‫پاسخ‪ :‬در این مسئله به دنبال کوچکترین نرخ نمونه برداری هستیم به صورتی که اختالط فرکانسی اتفاق‬
‫نیفتد‪ .‬در این مسئله نرخ نمونه برداری برابر 𝑁‪ 2𝜋/‬است‪ .‬پس با توجه به فرض مسئله باید داشته باشیم‪:‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜋‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫≤ 𝑁 ⟹ ) (‪≥ 2‬‬
‫𝑁‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫بنابراین 𝑁 حداکثر می تواند برابر ‪ 2‬باشد‪.‬‬
‫‪ .4‬سیگنال )𝑡(𝑦 از کانولوشن سیگنال محدود باند )𝑡( ‪ 𝑥1‬و سیگنال محدود باند )𝑡( ‪ 𝑥2‬حاصل شده است‪،‬‬
‫یعنی‬
‫)𝑡( ‪𝑦(𝑡) = ⁡ 𝑥1 (𝑡) ∗ ⁡ 𝑥2‬‬
‫که برای آن ها‬
‫در⁡⁡𝜋‪𝑋1 (𝑗𝜔) = 0⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡|𝜔| > 1000‬‬
‫در⁡⁡𝜋‪𝑋2 (𝑗𝜔) = 0⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡|𝜔| > 2000‬‬
‫با نمونه برداری ضربه ای از )𝑡(𝑦 به دست آورده ایم‬
‫∞‬
‫)𝑇𝑛 ‪𝑦𝑝 (𝑡) = ∑ 𝑦(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 −‬‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫گستره ی 𝑇 را به نحوی تعیین کنید که مطمئنا بتوان )𝑡(𝑦 را از )𝑡( 𝑝𝑦 بازیابی کرد‪.‬‬
‫پاسخ‪ :‬با توجه به خواص تبدیل فوریه می دانیم‪:‬‬
‫)𝜔𝑗( ‪𝑌(𝑗𝜔) = 𝑋1 (𝑗𝜔)𝑋2‬‬
‫بنابراین برای 𝜋‪ .𝑌(𝑗𝜔) = 0 ،|𝜔| > 1000‬پس نتیجه می گیریم که نرخ نایکوییست برای )𝑡(𝑦‬
‫برابر 𝜋‪ 2 × 1000𝜋 = 2000‬است‪ .‬بنابراین دوره ی نمونه برداری 𝑇 حداکثر می تواند برابر با‬
‫‪= 10−3‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜋‪2000‬‬
‫باشد‪ .‬پس برای اینکه بتوانیم سیگنال )𝑡(𝑦 را از روی سیگنال )𝑡( 𝑝𝑦 بازیابی کنیم‬
‫باید داشته باشیم‪.𝑇 ≤ 10−3 ،‬‬
‫‪ 𝑥(𝑡) .5‬را سیگنال محدود باندی در نظر بگیرید که برای آن در‬
‫𝜋‬
‫𝑇‬
‫≥ |𝜔|‪.𝑋(𝑗𝜔) = 0 ،‬‬
‫(الف) )𝑡(𝑥 با دوره ی تناوب 𝑇 نمونه برداری می شود‪ .‬تابع درون یابی )𝑡(𝑔 را به نحوی تعیین کنید که‬
‫داشته باشیم‬
‫∞‬
‫)𝑡(𝑥𝑑‬
‫)𝑇𝑛 ‪= ∑ 𝑥(𝑛𝑇)𝑔(𝑡 −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫(ب) آیا )𝑡(𝑔 تابع یکتایی است؟‬
‫پاسخ‪ :‬سیگنال نمونه برداری شده را با )𝑡( 𝑝𝑥 نمایش می دهیم‪ .‬داریم‪:‬‬
‫∞‬
‫)𝑇𝑛 ‪𝑥𝑝 (𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 −‬‬
‫چون نرخ نایکوییست سیگنال )𝑡(𝑥 برابر‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝑇‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫است‪ .‬می توانیم سیگنال را به صورت زیر بازیابی کنیم‪:‬‬
‫)𝑡(‪𝑥(𝑡) = 𝑥𝑝 (𝑡) ∗ ℎ‬‬
‫که داریم‪:‬‬
‫)𝑇‪sin⁡(𝜋𝑡⁄‬‬
‫𝑇‪𝜋𝑡⁄‬‬
‫= )𝑡(‪ℎ‬‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫)𝑡(𝑥𝑑‬
‫)𝑡(‪𝑑ℎ‬‬
‫∗ )𝑡( 𝑝𝑥 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫)𝑡(‪𝑑ℎ‬‬
‫را با )𝑡(𝑔 نمایش دهیم‪ ،‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫اگر‬
‫𝑡𝑑‬
‫∞‬
‫)𝑡(𝑥𝑑‬
‫)𝑇𝑛 ‪= 𝑥𝑝 (𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛𝑇)𝑔(𝑡 −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫)𝑇‪𝑑ℎ(𝑡) cos(𝜋𝑡⁄𝑇) Tsin⁡(𝜋𝑡⁄‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡‬
‫‪𝜋𝑡 2‬‬
‫= )𝑡(𝑔‬
‫(ب) خیر‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫طرز عملکرد هر یک از سه نمونه ماژولیشن آنالوگ ‪ PM ،FM ،AM‬را توضیح دهید‪ .‬همچنین نحوه عملکرد‬
‫ماژولیشن های هم ارز دیجیتال آنها یعنی ‪ FSK ،ASK‬و ‪ PSK‬و را به اختصار بیان نمایید‪.‬‬
‫پاسخ‪ :‬تشریحی و دلخواه‬
‫‪ AM‬و ‪FM‬‬
‫‪ASK‬‬
‫‪FSK‬‬
‫‪ PM‬و ‪PSK‬‬
‫‪.7‬‬
‫فرض کنید )𝑡(𝑥 یک سیگنال با مقدار حقیقی است به صورتی که ‪ 𝑋(⍵) = 0‬و 𝜋‪.|⍵| > 1000‬‬
‫همچنین در صورتی که )𝑡(𝑥 𝑡 𝑐‪ 𝑦(𝑡) = 𝑒 𝑗⍵‬به سواالت زیر پاسخ دهید‪.‬‬
‫الف) چه محدودیت هایی بایستی برای ‪ ⍵‬وجود داشته باشد تا سیگنال )𝑡(𝑥 قابل بازیابی از سیگنال )𝑡(𝑦‬
‫باشد؟‬
‫ب) چه محدودیت هایی بایستی برای ‪ ⍵‬وجود داشته باشد تا سیگنال )𝑡(𝑥 قابل بازیابی از سیگنال‬
‫})𝑡(𝑦{𝑒𝑅 باشد؟‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫الف)تبدیل فوریه ی )‪ 𝑌(𝑗⍵‬از سیگنال )𝑡(𝑦 به صورت زیر است‬
‫)) 𝑐‪𝑌(𝑗⍵) = 𝑋(𝑗(⍵ − ⍵‬‬
‫واضح است که )‪ 𝑌(𝑗⍵‬نمونه ی شیفت خورده ی )‪ 𝑋(𝑗⍵‬است‪ .‬در نتیجه )𝑡(𝑥 به راحتی با ضرب )𝑡(𝑦 در‬
‫𝑡 𝑐‪ 𝑒 −𝑗⍵‬بدست می آید‪ .‬پس برای قابل بازیابی بودن )𝑡(𝑥 هیچ محدودیتی برای ‪ ⍵‬وجود احتیاج نیست‪.‬‬
‫ب) فرض کنید )𝑡 𝑐‪ 𝑦1(𝑡) = 𝑅𝑒{𝑦(𝑡)} = 𝑥(𝑡)cos⁡(⍵‬در این صورت تبدیل فوریه آن به صورت زیر‬
‫خواهد بود‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)) 𝑐‪𝑌1(𝑗⍵) = 𝑋(𝑗(⍵ − ⍵𝑐 )) + 𝑋(𝑗(⍵ + ⍵‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫اگر بخواهیم دو نمونه ی شیفت خورده ی )‪ 𝑌(𝑗⍵‬با هم تداخل نداشته باشند‪ ،‬بایستی مطمئن شویم‬
‫𝜋‪|⍵𝑐 | > 1000‬‬
‫‪.8‬‬
‫خروجی ماژولیتر ‪ AM‬به صورت زیر است‪:‬‬
‫)𝑡𝜋‪𝑠(𝑡) = 5 cos(1800𝜋𝑡) + 20 cos(2000𝜋𝑡) + 5 cos(2200‬‬
‫الف) سیگنال پیام )𝑡(𝑚 و سیگنال حامل )𝑡(𝑐 را بدست آورید‪.‬‬
‫ب) نسبت توان در باندهای جانبی به توان حامل را بدست آورید‪.‬‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫الف)‬
‫⁡)𝑡𝜋‪𝑠(𝑡) = 5(cos(1800𝜋𝑡) + cos(2200𝜋𝑡)) + 20 cos(2000‬‬
‫)𝑡𝜋‪= 5(2⁡𝑐𝑜𝑠2000𝜋𝑡⁡𝑐𝑜𝑠200𝜋𝑡) + 20⁡𝑐𝑜𝑠(2000‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= 20𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡)( 𝑐𝑜𝑠200𝜋𝑡 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫از آنجایی که سیگنال ماژولیشن دامنه در قالب باال بروز می کند‪ ،‬سیگنال حامل به صورت‬
‫‪1‬‬
‫)𝑡𝜋‪ 20𝑐𝑜𝑠(2000‬و سیگنال اصلی به صورت 𝑡𝜋‪ 𝑐𝑜𝑠200‬است‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ب)‬
‫فرمول توان ارسال به صورت زیر است که لزومی به دانستن تمام آن در این درس نیست‬
‫اما قسمتی از فرمول که بایستی در این درس بدانیم این است که‬
‫‪𝑃𝑜𝑤𝑒𝑟 ∝ 𝐴2‬‬
‫پس نسبت توان سیگنال جانبی به توان سیگنال حامل برابر است با‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪𝑎𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟 = 2 2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1600‬‬
‫‪.9‬‬
‫فرض کنید ]𝑛[𝑥 یک سیگنال گسسته در زمان است با طیف (تبدیل فوریه) ) ‪ 𝑋(𝑒 𝑗⍵‬در حوزهی فرکانس‪ ،‬و‬
‫همچنین فرض کنید )𝑡(𝑝 یک سیگنال پالس مداوم با طیف )‪ 𝑃(𝑗⍵‬باشد‪ .‬در صورتی که‬
‫∞‪+‬‬
‫)𝑛 ‪𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑝(𝑡 −‬‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫الف) )‪ 𝑌(𝑗⍵‬را بر اساس ) ‪ 𝑋(𝑒 𝑗⍵‬و )‪ 𝑃(𝑗⍵‬بدست آورید‪.‬‬
‫ب) اگر‬
‫‪cos 8𝜋𝑡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬‬
‫سایر⁡نقاط⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡‪𝑝(𝑡) = { 0‬‬
‫)‪ 𝑃(𝑗⍵‬و )‪ 𝑌(𝑗⍵‬را بدست آورید‪.‬‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫الف‪ :‬اگر از دو طرف‬
‫∞‪+‬‬
‫)𝑛 ‪𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑝(𝑡 −‬‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫تبدیل فوریه بگیریم‪ ،‬خواهیم داشت‬
‫∞‪+‬‬
‫∞‪+‬‬
‫) ‪𝑌(𝑗⍵) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑃(𝑗⍵)𝑒 −𝑗⍵𝑛 = 𝑃(𝑗⍵) ∑ 𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗⍵𝑛 = 𝑃(𝑗⍵)𝑋(𝑒 𝑗⍵‬‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫∞‪𝑛=−‬‬
‫ب‪:‬‬
‫فرض کنید سیگنال های )𝑡(𝑐 و )𝑡(𝑑 را به صورتی تعریف می کنیم که‬
‫)𝑡𝜋‪𝑐(𝑡) = cos⁡(8‬‬
‫‪1⁡⁡ 0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬‬
‫سایر⁡نقاط⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡‪𝑑(𝑡) = {0‬‬
‫پس خواهیم داشت‬
‫])‪𝐶(𝑗⍵) = π[𝜹(⍵ − 8π) + 𝜹(⍵ + 8π‬‬
‫‪⍵‬‬
‫) ( ‪sin‬‬
‫‪2 −𝑗⍵/2‬‬
‫= )‪𝐷(𝑗⍵‬‬
‫𝑒 ‪⍵‬‬
‫‪2‬‬
‫به این نکته توجه کنید که )𝑡(𝑑)𝑡(𝑐 = )𝑡(𝑝 پس خواهیم داشت‬
‫‪1‬‬
‫])‪[𝐶(𝑗⍵) ∗ 𝐷(𝑗⍵‬‬
‫= )‪𝑃(𝑗⍵‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫))𝜋‪= 𝐷(𝑗(⍵ − 8𝜋)) + 𝐷(𝑗(⍵ + 8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝜋‪(⍵ − 8‬‬
‫)𝜋‪(⍵ + 8‬‬
‫]‬
‫[⁡‪sin‬‬
‫]‬
‫[⁡‪1 sin‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪𝑒 −𝑗(⍵−8𝜋)/2 +‬‬
‫‪𝑒 −𝑗(⍵+8𝜋)/2‬‬
‫‪(⍵‬‬
‫‪(⍵‬‬
‫)𝜋‪− 8‬‬
‫)𝜋‪+ 8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⍵‬‬
‫‪⍵‬‬
‫‪1 sin ( 2 ) −𝑗⍵/2 1 sin ( 2 ) −𝑗⍵/2‬‬
‫‪=−‬‬
‫𝑒‬
‫‪+‬‬
‫𝑒‬
‫)𝜋‪2 (⍵ − 8‬‬
‫)𝜋‪2 (⍵ + 8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫این مقدار بدست آمده برای)‪ ⁡𝑃(𝑗⍵‬را در معادله ی ) ‪ 𝑌(𝑗⍵) = 𝑃(𝑗⍵)𝑋(𝑒 𝑗⍵‬جایگرین می کنیم و مقدار‬
‫)‪ 𝑌(𝑗⍵‬بدست می آید‪.‬‬