new paper from Laurent Lafforgue

Noyaux du transfert automorphe de Langlands et
formules de Poisson non linéaires
Laurent LAFFORGUE
Institut des Hautes Études Scientifiques
35, route de Chartres
91440 – Bures-sur-Yvette (France)
Octobre 2012
IHES/M/12/28
Noyaux du transfert automorphe de Langlands
et formules de Poisson non linéaires
par Laurent Lafforgue
Résumé :
On montre qu’un certain type de formules de Poisson non linéaires explicites, qui est impliqué par le
principe de fonctorialité de Langlands, permet de construire des “noyaux” du transfert automorphe. Il y a
donc équivalence entre le principe de fonctorialité et ces formules de Poisson non linéaires.
Abstract :
We prove that some type of explicit non linear Poisson formulas, which is implied by Langlands’ functoriality principle, allows to build “kernels” of automorphic transfer. So, the functoriality principle is equivalent
to these non linear Poisson formulas.
Mots Clés : Principe de fonctorialité, transformation de Fourier, formule de Poisson
AMS Math. Classification : 11F, 11F66
Introduction
Ce texte est la continuation de nos notes de cours de 2008 et 2009, “Construire un noyau de la fonctorialité ? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL1 à GL2 ” (publiées depuis aux “Annales
de l’Institut Fourier”) et “Construire un noyau de la fonctorialité ? Définition générale, cas de l’identité de
GL2 et construction générale conjecturale de leurs coefficients de Fourier” (prépublication de l’IHÉS numéro
M/09/43).
Considérant un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps global F , son groupe réductif complexe
b muni de l’action du groupe de Galois ΓF de F , et une représentation
dual G
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
on cherche à construire des “noyaux” du transfert automorphe de G à GLr induit par ρ selon la conjecture
de Langlands.
Si |F | désigne l’ensemble des places de F et Sρ son sous-ensemble fini des places en lesquelles G ou ρ
sont ramifiées, ρ induit en toute place non archimédienne et non ramifiée x ∈ |F | − Sρ un homomorphisme
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
r
G
de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
= Cc (GLr (Ox )\GLr (Fx )/GLr (Ox )) de GLr (Fx ) vers celle Hx,∅
=
∗
Cc (G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )) de G(Fx ). Ces algèbres sont commutatives et l’homomorphisme ρx transforme
r
G
→ C de la première.
tout caractère zx : Hx,∅
→ C de la seconde en un caractère (ρx )∗ (zx ) = zx ◦ ρ∗x : Hx,∅
Étant donné un sous-ensemble fini S de |F | contenant Sρ , une famille de caractères
G
zx : Hx,∅
→C
r
[resp. zx0 : Hx,∅
→ C]
indexés par les places x ∈ |F | − S peut être dite “automorphe” s’il existe une fonction automorphe non nulle
ϕ : G(F )\G(A) → C
[resp. ϕ0 : GLr (F )\GLr (A) → C]
telle que, en toute place x ∈ |F | − S, ϕ [resp. ϕ0 ] est invariante à droite par G(Ox ) [resp. GLr (Ox )] et vecteur
G
propre de valeur propre zx (resp. zx0 ) pour l’action par convolution de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
r
[resp. Hx,∅ ] au sens que
G
ϕ ∗ ϕx = zx (ϕx ) · ϕ , ∀ ϕx ∈ Hx,∅
[resp. ϕ0 ∗ ϕ0x = zx0 (ϕ0x ) · ϕ0 ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
].
Le principe de fonctorialité de Langlands peut être formulé en la conjecture suivante : Pour toute famille
G
r
de caractères (zx : Hx,∅
→ C)x∈|F |−S qui est automorphe, sa transformée (zx ◦ ρ∗x : Hx,∅
→ C)x∈|F |−S est
encore automorphe.
Comme dans notre cours de 2009, nous appelons “noyau” du transfert automorphe par ρ toute fonction
automorphe en 3 variables g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A),
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
qui est invariante à droite par (G × G × GLr )(Ox ) en toute place x ∈ |F | − S et vérifie
K ∗3 ϕ0x = K ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
K ∗2 ϕx = K ∗1 ϕ∨
x ,
1
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
,
où ∗1 , ∗2 et ∗3 désignent les produits de convolution en les 3 variables g1 , g2 ∈ G(Fx ) et g ∈ GLr (Fx ), et
G
−1
ϕx 7→ ϕ∨
x désigne l’automorphisme de Hx,∅ défini par le changement de variable gx 7→ gx .
Pour démontrer le principe de fonctorialité, il suffirait de montrer que pour toute fonction automorphe
C ∞ à support compact et non nulle
ϕ : G(F )\G(A) → C ,
Q
qui est invariante à droite par
G(Ox ), il existe un “noyau” du transfert K au sens ci-dessus tel que
x∈|F |−S
l’intégrale
Z
(g2 , g) 7→
dg1 · ϕ(g1 ) · K(g1 , g2 , g)
G(F )\G(A)
ne soit pas uniformément nulle. Pour cela, il suffirait d’ailleurs qu’il en soit ainsi de l’intégrale
Z
ψ
(g2 , g) 7→
dg1 · ϕ(g1 ) · W(r)
K(g1 , g2 , g)
G(F )/G(A)
où
"
ψ
W(r)
: [H : GLr (F )\GLr (A) → C] 7→
#
Z
ψ
W(r)
H : g 7→
du ·
Nr (F )\Nr (A)
−1
ψ(r)
(u)
· H(ug)
désigne l’opérateur de formation du ψ(r) -coefficient unipotent associé à un caractère additif continu non
trivial
ψ : A/F → C×
et au caractère régulier
ψ(r) : Nr (A)/Nr (F ) → C×
du groupe Nr des matrices triangulaires supérieures unipotentes qui s’en déduit par l’homomorphisme
Nr
(ui,j )1≤i,j≤r
→ A1 ,
X
7
→
ui,i+1 .
1≤i<r
Cette remarque est utile dans la mesure où, comme dans nos cours de 2008 et 2009, nous cherchons à
ψ
construire des noyaux du transfert K en commençant par leurs ψ(r) -coefficients unipotents W(r)
K.
ψ
Les coefficients W(r)
K des noyaux cherchés K sont en effet introduits comme des sommes localement
finies de la forme


X
Y
ψ

 (g1−1 γ g2 , g)
W(r)
K(g1 , g2 , g) =
KψG,ρ
x
x∈|F |
γ∈G(F )
où les facteurs locaux
KψG,ρ
,
x
x ∈ |F | ,
sont des fonctions
G(Fx ) × GLr (Fx ) → C ,
(g, g 0 ) 7→ KψG,ρ
(g, g 0 ) ,
x
de classe C ∞ à support compact en la variable g ∈ G(Fx ) et qui vérifient
KψG,ρ
(g, ug 0 ) = ψ(r) (u) · KψG,ρ
(g, g 0 ) ,
x
x
2
∀ u ∈ Nr (Fx ) .
En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , on demande que KψG,ρ
soit un “noyau local” du transfert non
x
G,ρ
ramifié par ρ. Cela signifie que Kψx est invariante à gauche et à droite par G(Ox ) en la variable g ∈ G(Fx ),
invariante à droite par GLr (Ox ) en la variable g 0 ∈ GLr (Fx ) et compatible avec l’homomorphisme
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
au sens que
KψG,ρ
∗2 ϕ0x = KψG,ρ
∗1 ρ∗x (ϕ0x ) ,
x
x
r
.
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
Cette condition équivaut à demander que la décomposition spectrale de KψG,ρ
sous la double action par
x
G
r
G
convolution à droite de Hx,∅
et Hx,∅
ne fasse apparaı̂tre que des paires de caractères (zx : Hx,∅
→ C,
0
r
zx : Hx,∅ → C) telles que
zx0 = zx ◦ ρ∗x = (ρx )∗ (zx ) .
Ainsi, partir d’une telle famille de noyaux locaux KψG,ρ
consiste à reprendre la construction de la théorie
x
des “théorèmes inverses” (voir [Cogdell, Piatetski-Shapiro]) et à la transposer “en famille” sur toutes les
paires de caractères (zx , zx0 = (ρx )∗ (zx0 )) possibles, au lieu de partir d’une unique famille de caractères
r
→ C donnée a priori.
zx0 : Hx,∅
Comme dans cette théorie, on considère le sous-groupe “mirabolique” supérieur de GLr


∗ ... ∗ ∗ 




 .

.. .. 

 ..
.
.
Qr = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1 = 


∗ . . . ∗ ∗






0 ... 0 1
et son opposé
op
op
Qop
r = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1

∗



 ..

= .

∗



∗
...
∗
..
.
...
...
∗
∗

0 


.. 
.
 ,

0


1
puis on somme sur les éléments δ ∈ GLr−1 (F )\Qr (F ) = Nr−1 (F )\GLr−1 (F ). La fonction obtenue
X
ψ
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
W(r)
K(g1 , g2 , δg)
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
r
G
G
est compatible avec ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
et avec l’involution ϕx 7→ ϕ∨
x de Hx,∅ en toute place x ∈ |F | − S, et
elle est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ).
Comme le transfert par ρ d’une représentation automorphe de G, même cuspidale, n’est pas nécessairement
une représentation automorphe cuspidale de GLr , on ne peut s’attendre en général à ce que la fonction KψG,ρ
soit invariante à gauche par GLr (F ) en la variable g ∈ GLr (A). En revanche, il est permis de chercher à
construire une fonction complémentaire notée
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
également compatible avec ρ∗x et ϕx 7→ ϕ∨
x en toute place x ∈ |F | − S, également invariante à gauche par
G(F ) × G(F ) × Qr (F ), qui est orthogonale à KψG,ρ au sens que
ψ
W(r)
KψG,ρ = 0
et telle que la somme
KψG,ρ + KψG,ρ = K G,ρ
3
soit invariante à gauche par GLr (F ) en la variable g ∈ GLr (A) et définisse donc un “noyau” du transfert
automorphe par ρ.
Dans ce but, on introduit comme dans la théorie des “théorèmes réciproques” les matrices de permutation
en rang r






0 ... ... 0 1
0 ... 0 1 0
0 ... 0 1
1 0 . . . 0 0
 ..
.


 . . . . . . . 0 .. 

 ..



 . . . . . . . 0
. .
 , αr = wr wr−1 = 0 . . . . . . .. ..  ,
 , wr−1 = 
.
.
.
.
wr = 
.. .. 


0 . .

.
..
. .



0 1 . . . .. 
. . . . . 0 ... 
 ..
1 0 . . . 0 0
1 0 ... 0
0 ... 0 1 0
0 ... ... 0 1
puis, remarquant que
−1
−1
Qop
r = (αr Nr αr ) · GLr−1 = GLr−1 · (αr Nr αr )
et
(αr−1 Nr αr ) ∩ GLr−1 = Nr−1 ,
on forme la somme
X
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
ψ
W(r)
K(g1 , g2 , αr δ g) .
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
r
G
La fonction ainsi définie sur (G × G × GLr )(A) est compatible avec ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
et avec l’involution
G
ϕx 7→ ϕ∨
de
H
en
toute
place
x
∈
|F
|
−
S,
et
elle
est
invariante
à
gauche
par
G(F
)
×
G(F ) × Qop
x
r (F ).
x,∅
On voudrait construire, parallèlement au terme complémentaire KψG,ρ , un terme complémentaire symétrique
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
K
ψ
e G,ρ
invariant à gauche part G(F ) × G(F ) × Qop
r (F ) comme Kψ , et tel que
e G,ρ + K
e G,ρ .
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
Cela impliquerait comme voulu que K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ est invariant à gauche par (G × G × GLr )(F )
puisque le groupe discret GLr (F ) est engendré par ses sous-groupes Qr (F ) et Qop
r (F ).
e G,ρ sur (G × G × GLr )(A) et de rechercher des termes
Afin de comparer les deux fonctions KψG,ρ et K
ψ
G,ρ
G,ρ
e
complémentaires Kψ et Kψ permettant de réaliser l’égalité
e G,ρ + K
e G,ρ ,
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
on considère une fonction test C ∞ à support compact arbitraire
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
et on forme les produits scalaires
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
Z
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
et
GLr−1 (A)
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) .
dg 0 · K
ψ
4
e G,ρ , ils se développent en
Par construction de KψG,ρ et K
ψ
X
X
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ)
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
et
X
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
f G,ρ,h (γ, δ)
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
où
G,ρ,h
Wψ,g
=
1 ,g2 ,g
O
x
WψG,ρ,h
x ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
et
f G,ρ,h =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
O
f G,ρ,hx
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
sont les produits des fonctions locales
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
respectivement définies en chaque place x ∈ |F | par les intégrales
Z
0
0
0−1 0
x
WψG,ρ,h
(m
,
m
)
=
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 m−1
x
x
x g2 , gx g) · hx (mx gx )
x ,g1 ,g2 ,g
x
GLr−1 (Fx )
et
f G,ρ,hx (mx , m0x )
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
Z
=
GLr−1 (Fx )
Z
=
GLr−1 (Fx )
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , αr gx0 g) · hx (m0x gx0 )
x
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , wr tgx0−1 g) · hx (m0x wr−1 tgx0−1 ) .
x
Un résultat fondamental de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika – l’équation fonctionnelle locale des intégrax
f G,ρ,hx à partir
les de Rankin-Selberg – permet de donner des décompositions spectrales de WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
de celles de KψG,ρ
et
h
,
et
de
les
relier
par
une
équation
fonctionnelle.
x
x
En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , le noyau KψG,ρ
se décompose spectralement comme une intégrale
x
de fonctions éléments des espaces propres associés aux valeurs propres (λ, (ρx )∗ (λ)) composées des caractères
G
r
unitaires λ de Hx,∅
et de leur image (ρx )∗ (λ) dans l’espace des caractères unitaires de Hx,∅
.
Si la fonction test locale hx : GLr−1 (Fx ) → C est sphérique, elle se décompose spectralement comme une
r−1
intégrale de fonctions propres indexées par les caractères unitaires z = (z1 , . . . , zr−1 ) ∈ U (1)r−1 de Hx,∅
.
G,ρ,hx
G,ρ,h
x
f
Alors les deux fonctions W
et W
admettent des décompositions spectrales de la forme
ψx ,g1 ,g2 ,g
x
WψG,ρ,h
(mx , m0x ) =
x ,g1 ,g2 ,g
et
f G,ρ,hx (mx , m0x ) =
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
ψx ,g1 ,g2 ,g
Z
Z
−1
x ,λ,z
(mx , m0x )
dz · Lx ρ, λ−1 , z −1 , qx 2 · WψG,ρ,h
x ,g1 ,g2 ,g
Z
−1
f G,ρ,hx ,λ,z (mx , m0x )
dz · Lx ρ, λ−1 , z −1 , qx 2 · W
ψx ,g1 ,g2 ,g
dλ ·
Z
dλ ·
x ,λ,z
f G,ρ,hx ,λ,z (•, •) sont des polynômes en les valeurs propres λ, z,
où les fonctions propres WψG,ρ,h
(•, •) et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
et où Lx (ρ, λ, z, Z) désigne le dénominateur
Lx (ρ, λ, z, Z) =
Y
1≤i≤r
1≤j≤r−1
5
1
1 − (ρx )i∗ (λ) · zj · Z
formé à partir des valeurs propres de Hecke zj ∈ U (1), 1 ≤ j ≤ r − 1, de z et de celles (ρx )i∗ (λ) ∈ U (1),
r
1 ≤ i ≤ r, du caractère unitaire (ρx )∗ (λ) de Hx,∅
. De plus, on a les équations fonctionnelles
−1
f G,ρ,hx ,λ
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
,z −1
− 21
−1
0−1
x ,λ,z
(mx , m0x ) = WψG,ρ,h
(m
,
m
)
·
ε
ρ,
λ,
z,
ψ
,
q
x
x
x
x
x
,g
,g
,g
x 1 2
où
Y
εx (ρ, λ, z, ψx , Z) =
εx ((ρx )i∗ (λ) · zj , ψx , Z) .
1≤i≤r
1≤j≤r−1
x
f G,ρ,hx
Ainsi, dans le cas où hx est sphérique, les fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g sur G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) ne
x ,g1 ,g2 ,g
r−1
G
font intervenir dans leur décomposition spectrale que les caractères unitaires λ et z de Hx,∅
et Hx,∅
, et
leurs raies spectrales sont reliées par une équation fonctionnelle qui fait intervenir les facteurs Lx et εx des
représentations sphériques de GLr(r−1) (Fx ) dont les valeurs propres de Hecke sont les produits (ρx )i∗ (λ) · zj .
De même, dans le cas d’une fonction test hx arbitraire que l’on décompose spectralement sur l’espace
x
des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires π de GLr−1 (Fx ), les fonctions WψG,ρ,h
et
x ,g1 ,g2 ,g
G,ρ,h
G
f
Wψx ,g1 ,g2 ,g font intervenir dans leur décomposition spectrale les caractères unitaires λ de Hx,∅ et lesdites
représentations π. Leurs raies spectrales sont reliées par une équation fonctionnelle qui fait intervenir les
facteurs
Y
Lx (ρ, λ, π, Z) =
Lx (π, (ρx )i∗ (λ) · Z)
1≤i≤r
Y
εx (ρ, λ, π, ψx , Z) =
εx (π, ψx , (ρx )i∗ (λ) · Z)
1≤i≤r
qui ne sont autres que les facteurs Lx et εx associées à la représentation lisse admissible de GLr(r−1) (Fx )
induite par la famille des représentations π ⊗ (ρx )i∗ (λ)vx ◦ det(•) , 1 ≤ i ≤ r, de GLr−1 (Fx ).
L’apparition de facteurs Lx et εx classiques dans les équations fonctionnelles de Jacquet, Piatetski-Shapiro
et Shalika, et donc dans notre recherche de “noyaux” du transfert automorphe, incite à revoir rapidement la
théorie de ces facteurs Lx et εx classiques associés, en tout rang r ≥ 1, aux représentations lisses admissibles
irréductibles de GLr (Fx ).
Rappelons d’abord que toute fonction C ∞ à support compact fx : GLr (Fx ) → C se décompose spectralement comme une intégrale sur l’espace des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires π de
GLr (Fx )
Z
dπ · fx,π (g)
fx (g) =
où chaque composante g 7→ fx,π (g) est un coefficient matriciel de la représentation π dont la dépendance en
π est polynomiale.
Les facteurs Lx (π, Z) = Lx (π ⊗ | det(•)|s , qxs · Z), ∀ s ∈ C, sont les fractions rationnelles sur l’espace des
π, inverses de polynômes dont le coefficient constant est 1, tels que toute fonction C ∞ à support compact
fx : Mr (Fx ) → C se décompose spectralement sous la forme
Z
−1
− r2
fx (g) = | det(g)| · dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,π (g)
π
où π ∨ désigne la représentation contragiente de π, et chaque g 7→ fx,π (g) est comme précédemment un
coefficient matriciel de la représentation π dont la dépendance en π est polynomiale. De plus, les polynômes
π 7→ Lx (π, Z)−1 sont les plus petits dénominateurs communs aux décompositions spectrales de toutes les
fonctions fx : Mr (Fx ) → C, ce qui achève de les caractériser.
Le choix du caractère additif continu non trivial ψx : Fx → C× définit un opérateur fx 7→ fbx de ψx transformation de Fourier dans l’espace des fonctions C ∞ à support compact fx : Mr (Fx ) → C. Modulo
6
−r
multiplication par le caractère g 7→ | det(g)|x 2 et changement de variable g 7→ g −1 , cet opérateur commute
avec les translations à gauche ou à droite par tout élément de GLr (Fx ). Il doit donc agir par multiplication
par un scalaire sur l’espace des coefficients matriciels de toute représentation lisse admissible irréductible
unitaire π de GLr (Fx ). Tate dans le cas r = 1, puis Godement et Jacquet dans le cas r ≥ 2, ont montré que
ce scalaire a la forme
−1
Lx π, qx 2
−1
· εx π, ψx , qx 2
1
−
Lx π ∨ , qx 2
où
π 7→ εx (π, ψx , Z) = εx (π ⊗ | det(•)|s , ψx , qxs · Z) ,
∀s ∈ C,
est un monôme qui prend la valeur 1 lorsque π est non ramifiée et que le conducteur de ψx est 0.
Autrement dit, toute fonction C ∞ à support compact fx : Mr (Fx ) → C décomposée spectralement en
Z
−1
− 12
fx (g) = | det(g)| · dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,π (g)
admet pour ψx -transformée de Fourier la fonction définie par la décomposition spectrale
Z
1
−1
−1
fbx (g) = | det(g)|− 2 · dπ · Lx π, qx 2 · εx π, ψx , qx 2 · fx,π (g −1 ) .
En résumé, les fractions rationnelles Lx (π, Z) sont les dénominateurs communs des décompositions spectrales d’un certain espace de fonctions GLr (Fx ) → C dans lequel agit naturellement la ψx -transformation de
Fourier fx 7→ fbx , et les monômes εx (π, ψx , Z) sont les facteurs correctifs des valeurs propres
−1
Lx π, qx 2
−1
· εx π, ψx , qx 2
1
−
Lx π ∨ , qx 2
de cet opérateur.
Le choix du caractère additif continu non trivial
Y
ψ=
ψx : A/F → C×
x∈|F |
définit la ψ-transformation de Fourier
f=
O
fx 7→ fb =
x∈|F |
O
fbx
x∈|F |
des fonctions C ∞ à support compact sur Mr (A). La propriété globale essentielle de cet opérateur est qu’il
laisse invariante la “fonctionnelle de Poisson”
X
f 7→
f (γ) .
γ∈Mr (F )
Autrement dit, toute fonction C ∞ à support compact f : Mr (A) → C satisfait la formule de Poisson
X
X
f (γ) =
fb(γ) .
γ∈Mr (F )
γ∈Mr (F )
7
Tate en rang r = 1, puis Godement et Jacquet en N
rang r ≥ 2, ont montré que la formule de Poisson implique
que, pour toute représentation automorphe π =
πx de GLr (A), le produit
x∈|F |
Y
L(π, s) =
Lx (πx , qx−s ) ,
x∈|F |
qui est absolument convergent si Re(s) est assez grand, se prolonge en une fonction analytique sur C tout
entier et vérifie l’équation fonctionnelle
L(π ∨ , 1 − s) = L(π, s) · ε(π, ψ, s)
où ε(π, ψ, s) désigne le produit essentiellement fini
ε(π, ψ, s) =
Y
ε(πx , ψx , qx−s ) .
x∈|F |
Revenons maintenant au groupe réductif quasi-déployé G sur F et à la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Le principe de fonctorialité prédit que pour toute représentation automorphe π =
N
πx de G(A) non
N 0
πx
ramifiée en dehors du sous-ensemble fini S ⊃ Sρ de |F |, il existe une représentation automorphe π 0 =
x∈|F |
x∈|F |
r
de GLr (A) telle que, en toute place x ∈ |F |−S, le facteur πx0 est non ramifié et s’identifie au caractère de Hx,∅
G
image par (ρx )∗ du caractère πx de Hx,∅ . On conjecture également que, même en les places éventuellement
ramifiées x ∈ S, le facteur πx0 de π 0 ne dépend que du facteur πx de π et de ρ, si bien que, en toute place
x ∈ |F |, on devrait pouvoir associer aux représentations locales πx des facteurs Lx et εx non linéaires
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (πx0 , Z) ,
εx (ρ, πx , ψx , Z) = εx (πx0 , ψx , Z) .
Le principe de fonctorialité combiné avec les N
propriétés déjà connues des fonctions L linéaires implique que,
pour toute représentation automorphe π =
πx de G(A) comme ci-dessus, le produit
x∈|F |
L(ρ, π, s) =
Y
Lx (ρ, πx , qx−s )
x∈|F |
doit définir une fonction analytique sur C tout entier qui vérifie l’équation fonctionnelle
L(ρ, π ∨ , 1 − s) = L(ρ, π, s) · ε(ρ, π, ψ, s)
pour ε(ρ, π, ψ, s) =
Q
εx (ρ, πx , ψx , qx−s ).
x∈|F |
Il n’est pas restrictif de supposer, comme nous le ferons toujours, que le groupe réductif G est muni d’un
caractère bien défini sur F
detG : G → Gm
dont le cocaractère central dual
c G : C× → G
b,
det
8
b o ΓF → GLr (C), est égal à
composé avec ρ : G

z

0
z 7→ 
.
 ..
0
0
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
0

0
.. 
.
.

0
z
Alors les facteurs Lx et εx de toute représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ) doivent vérifier
Lx (ρ, πx , Z) = L (ρ, πx ⊗ |detG (•)|sx , qxs · Z) ,
∀s ∈ C,
εx (ρ, πx , ψx , Z) = εx (ρ, πx ⊗ |detG (•)|sx , ψx , qxs · Z) ,
∀s ∈ C.
On peut vouloir construire directement, c’est-à-dire sans passer par le transfert en partie conjectural
vers GLr , ces facteurs locaux Lx et εx non linéaires et même – pourquoi pas ? – démontrer directement les
propriétés globales attendues des fonctions L(ρ, π, s).
Braverman et Kazhdan ont tenté de le faire en généralisant l’approche de Tate puis Godement et Jacquet
dans le cas linéaire.
Dans cette perspective, ils ont conjecturé que les facteurs locaux Lx (ρ, πx , Z) devraient pouvoir être
définis comme plus petits communs dénominateurs dans les décompositions spectrales des fonctions sur G(Fx )
éléments d’un certain sous-espace fonctionnel à définir par des conditions géométriques. Ils ont proposé de
définir par un certain noyau qu’ils construisent un opérateur de ψx -transformation de Fourier des fonctions
sur G(Fx ), puis conjecturé que cet opérateur devait préserver le sous-espace fonctionnel encore à définir, et
admettre des valeurs propres spectrales de la forme
−1
Lx ρ, πx , qx 2
−1
· εx ρ, πx , ψx , qx 2 .
1
−
Lx ρ∨ , πx , qx 2
Ils ont encore conjecturé qu’il devait être possible de compléter la fonctionnelle d’évaluation des fonctions
sur G(A)
X
f 7→
f (γ) ,
γ∈G(F )
en ajoutant des “termes de bord”, de façon à obtenir une fonctionnelle invariante par la transformation
de Fourier. Ils ont supposé enfin qu’une telle formule de Poisson relative à ρ impliquerait les propriétés
attendues des fonctions globales L(ρ, π, s), malgré la difficulté supplémentaire que le transfert par ρ d’une
représentation automorphe de G(A) même cuspidale n’est pas nécessairement cuspidal sur GLr (A).
Dans le présent travail, nous adoptons au sujet des facteurs Lx et εx non linéaires une perspective proche
mais inversée.
En chaque place x ∈ |F |, nous commençons par dresser une liste de représentations lisses admissibles
irréductibles unitaires πx de G(Fx ) pour lesquelles les facteurs Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z) sont déjà
définis sans ambiguı̈té.
Ayant dressé une telle liste, nous appelons “fonction de type L” sur G(Fx ) toute fonction qui admet une
décomposition spectrale dans laquelle n’apparaissent que des représentations π éléments de la liste, et qui a
la forme
Z
− 21
−1
hx (g) = |detG (g)|x
dπ · Lx ρ, π ∨ , qx 2 · hx,π (g)
où chaque g 7→ hx,π (g) est un coefficient matriciel de la représentation π dont la dépendance en π est
polynomiale.
9
−1
Modulo multiplication par le caractère local g 7→ | detρ (g)|x 2 associé à un certain caractère algébrique
b = GLr (C)),
detρ : G → Gm (qui est égal à (det)r−1 si G = GLr et ρ est la représentation standard de G
nous appelons “ψx -transformation de Fourier relative à ρ” l’automorphisme de l’espace des “fonctions de
type L” sur G(Fx ) qui associe à toute fonction hx décomposée spectralement comme ci-dessus la fonction
Z
−1
−1
−1
b
hx (g) = |detG (g)|x 2 · dπ · Lx ρ, π, qx 2 · εx ρ, π, ψx , qx 2 · hx,π (g −1 ) .
En toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , nous appelons “fonction de type L standard” l’unique fonction
de type L
Z
−1
−1
hx (g) = |detG (g)|x 2 · dπ · Lx ρ, π, qx 2 · hx (π, g)
qui est sphérique, ne fait donc apparaı̂tre dans sa décomposition spectrale que des représentations π non
ramifiées et des fonctions propres hx,π sphériques, et vérifie
hx,π (1) = 1 ,
∀π.
Modulo multiplication par le caractère global
1
G(A) 3 g 7→ |detρ (g)|− 2 ,
nous appelons “fonction de type L global” sur G(A) les combinaisons linéaires finies de fonctions produits
O
h=
hx
x∈|F |
dont les facteurs hx sont tous des “fonctions de type L sur G(Fx )” et presque tous égaux à la “fonction de
type L standard”.
Le produit des ψx -transformations de Fourier relatives à ρ sur les G(Fx ) définit un automorphisme de
ψ-transformation de Fourier dans l’espace des fonctions de type L global sur G(A).
On remarque enfin que pour toute fonction de type L global h : G(A) → C, la somme
X
h(γ)
γ∈G(F )
est essentiellement finie.
Avant d’aller plus loin, précisons les listes de représentations lisses admissibles πx des groupes locaux
G(Fx ) pour lesquelles les facteurs Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z) sont déjà définis sans ambiguı̈té.
Tout d’abord, et par définition de la règle de transfert de Langlands, il y a en toute place non ramifiée
x ∈ |F | − Sρ les représentations πx de G(Fx ) qui sont sphériques, c’est-à-dire correspondent à un caractère zx
G
r
G
de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
. Via l’homomorphisme ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
induit par ρ, tout tel caractère
r
zx induit un caractère (ρx )∗ (zx ) de Hx,∅ et on pose naturellement
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (ρ, zx , Z) = Lx ((ρx )∗ (zx ), Z) ,
εx (ρ, πx , ψx , Z) = εx (ρ, zx , ψx , Z) = εx ((ρx )∗ (zx ), ψx , Z) .
b o ΓF →
Puis on peut généraliser cette définition en supposant que la représentation de transfert ρ : G
GLr (C) induit un homomorphisme entre les tores maximaux
Y
ρT : Tb → Tbr =
C× ,
1≤i≤r
10
que le groupe de Galois ΓF de F agit sur l’espace Cr par permutation de ses r vecteurs de base et définit donc
par cette action une F -algèbre E séparable de degré r dont le dual TbE du tore multiplicatif TE = ResE/F Gm
Q ×
s’identifie à
C = Tbr , et que l’homomorphisme dual de ρT
1≤i≤r
ρ∨
T : TE → T
induit des homomorphismes surjectifs en toutes places x ∈ |F |
TE (Fx ) → T (Fx ) .
Via ces homomorphismes surjectifs, tout caractère continu χx : T (Fx ) → C× peut être vu comme un caractère
continu χ0x : TE (Fx ) → C× du groupe multiplicatif TE (Fx ) = Ex× de la Fx -algèbre séparable Ex = E ⊗F Fx ,
et il est naturel de poser
Lx (ρT , χx , Z) = Lx (χ0x , Z) ,
εx (ρT , χx , ψx , Z) = εx (χ0x , ψx , Z) ,
puis
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (ρT , χx , Z) ,
εx (ρ, πx , Z) = εx (ρT , χx , ψx , Z) ,
si πx désigne la représentation lisse admissible de G(Fx ) induite normalisée du caractère χx du tore maximal T (Fx ). Les fonctions “de type L” sur G(Fx ) dont la décomposition spectrale ne fait apparaı̂tre que
des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de G(Fx ) induites de caractères de T (Fx ), en
particulier les fonctions sphériques, seront appelées “fonctions de type L torique”.
Nous élargissons encore la famille des représentations locales dont les facteurs Lx et εx sont bien définis
a priori en remplaçant le groupe réductif G par ce que nous appelons ses “groupes croisés” Gr0 . Voici de
quoi il s’agit :
Le groupe croisé de degré r0 ≥ 2 de G est défini comme le sous-groupe algébrique réductif de G × GLr0
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )} .
Il admet pour groupe dual le quotient
b r0 = (G
b × GLr0 (C))/C×
G
b × GLr0 (C) par le cocaractère central
de G
c G (z), z −1 ,
C× 3 z 7→ det
et ce groupe dual se trouve muni de la “représentation croisée”
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
b o ΓF → GLr (C) et de la représentation standard de GLr0 (C) = GL
c r0 .
produit tensoriel de ρ : G
En toute place x ∈ |F |, les représentations lisses admissibles irréductibles de Gr0 (Fx ) sont les produits d’une représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ) et d’une représentation lisse admissible
irréductible πx0 de GLr0 (Fx ).
Si x ∈ |F | − Sρ est une place non ramifiée et que πx est sphérique et correspond donc à un caractère zx
G
de Hx,∅
dont le transfert (ρx )∗ (zx ) admet pour valeurs propres les (ρx )i∗ (zx ) ∈ C× , 1 ≤ i ≤ r, il est naturel
de poser
Y
Lx (ρr0 , πx ⊗ πx0 , Z) =
Lx (πx0 , (ρx )i∗ (zx ) · Z) ,
1≤i≤r
11
Y
εx (ρr0 , πx ⊗ πx0 , ψx , Z) =
εx (πx0 , ψx , (ρx )i∗ (zx ) · Z) .
1≤i≤r 0
Cette construction est particulièrement importante lorsque r0 = r − 1, car les facteurs Lx et εx simples
ci-dessus qu’elle introduit naturellement sont égaux aux facteurs Lx et εx de paires
Lx (ρ, zx , πx0 , Z) ,
εx (ρ, zx , πx0 , ψx , Z)
qui, nous l’avons vu, apparaissent d’après Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika dans les équations fonctionnelles locales des intégrales de Rankin-Selberg.
D’autre part, en toute place x ∈ |F |, si la représentation πx de G(Fx ) est l’induite normalisée d’un
caractère χx du tore maximal T (Fx ) et que la représentation πx0 de GLr0 (Fx ) est sphérique, avec pour
valeurs propres de Hecke z10 , . . . , zr0 0 ∈ C× , il est naturel de poser encore
Y
Lx (ρr0 , πx ⊗ πx0 , Z) =
Lx (ρT , χx , zj0 · Z) ,
1≤j≤r 0
εx (ρr0 , πx ⊗ πx0 , ψx , Z) =
Y
εx (ρT , χx , ψx , zj0 · Z) .
1≤j≤r 0
Il existe une dernière série très importante de représentations lisses admissibles irréductibles de G(Fx )
(ou Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2), x ∈ |F |, dont les facteurs Lx et εx non linéaires relatifs à ρ (ou ρr0 ) sont bien définis a
priori.
Un résultat local fondamental dû à Jacquet et Shalika dit en effet que pour toute représentation lisse
admissible irréductible πx0 de GLr (Fx ), de caractère central χπx0 : Fx× → C× , et pour tout caractère ωx :
Fx× → C× suffisamment ramifié en fonction de πx0 , on a nécessairement
Lx (πx0 ⊗ (ωx ◦ det), Z) = 1 ,
εx (πx0 ⊗ (ωx ◦ det), ψx , Z) = εx (χπx0 ωx , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)r−1 .
Notons µG : Gm → ZG ,→ G le cocaractère central de G dont le dual est le caractère composé
det
ρ
b −→
µ
bG : G
GLr (C) −−−→ C× ,
et
ωρ : A× /F × −→ C×
le caractère automorphe qui correspond, via la théorie du corps de classes, au déterminant de l’action par ρ
du groupe de Galois ΓF sur l’espace Cr de GLr (C).
Pour tout représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ), notons χπx : Fx× → C× le caractère
induit par πx via le cocaractère central µG : Fx× → G(Fx ). On vérifie que si x ∈ |F | − Sρ , que πx est non
ramifiée et que πx0 est la représentation non ramifiée de GLr (Fx ) qui lui correspond par transfert, on a
χπx0 = χπx · ωρ .
Il est naturel d’attendre que le transfert local πx0 sur GLr (Fx ) de toute représentation lisse admissible
irréductible πx de G(Fx ) en toute place x ∈ |F | vérifie encore cette formule.
Pour toute telle représentation πx de G(Fx ) en une place arbitraire x ∈ |F |, et pour tout caractère
ωx : Fx× → C× suffisamment ramifié en fonction de la ramification de πx , il est donc naturel de poser
Lx (ρ, πx ⊗ (ωx ◦ detG ), Z) = 1 ,
12
εx (ρ, πx ⊗ (ωx ◦ detG ), ψx , Z) = εx (χπx ωρ ωx , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)r−1 .
Ainsi se trouve définie, en toute place x ∈ |F |, la ψx -transformée de Fourier relative à ρ de toute fonction
hx · (ωx ◦ detG )
produit d’une fonction à support compact
hx : G(Fx ) → C
de ramification donnée et d’un caractère ωx : Fx× → C× suffisamment ramifié en fonction de la ramification
de hx . Cette transformée de Fourier est elle-même à support compact dans G(Fx ).
Ayant passé en revue les espaces de fonctions “de type L” local ou global sur G (ou Gr0 , r0 ≥ 2) dans
lesquels la transformation de Fourier relative à ρ est bien définie a priori, nous pouvons passer à la recherche
d’une formule de Poisson.
Considérons une fonction de type L global sur G(A) (ou Gr0 (A), r0 ≥ 2) qui est un produit
O
h=
hx
x∈|F |
de fonctions hx de type L local sur les G(Fx ) (ou Gr0 (Fx )). Modulo multiplication par le caractère gx 7→
−1
−1
| detG (gx )|x 2 · | detρ (gx )|x 2 , chaque hx admet une décomposition spectrale de la forme
Z
−1
dπx · Lx ρ, πx∨ , qx 2 · hx,πx (•)
dans laquelle n’apparaissent que des représentations πx de G(Fx ) de la liste que nous venons de passer en
revue, et dont par conséquent les facteurs Lx et εx non linéaires sont déjà définis sans ambiguı̈té.
La ψx -transformée de Fourier de h relative à ρ
O
b
b
h=
hx
x∈|F |
est définie par le produit des décompositions spectrales
Z
−1
−1
dπx · Lx ρ, πx , qx 2 · εx ρ, πx , ψx , qx 2 · hx,πx ((•)−1 ) .
D’après le théorème de décomposition spectrale automorphe de Langlands, les sommes
X
G(A) 3 g1 , g2 7→
h(g1−1 γ g2 )
γ∈G(F )
1
1
sont égales, modulo multiplication par le caractère g1 , g2 7→ | detG (g1−1 g2 )|− 2 · | detρ (g1−1 g2 )|− 2 , à une somme
spectrale de la forme
Z
∨ 1
dπ · L ρ, π , + s · hπ⊗| detG |−s (g1 , g2 )
2
où
• s est n’importe quel nombre complexe de partie réelle assez grande,
• π décrit un espace de représentations automorphes unitaires π =
N
πx de G(A) dont chaque facteur
x∈|F |
local πx , x ∈ |F |, est élément de notre liste, si bien que l’on peut associer à π le produit
Y
L(ρ, π, s) =
Lx (ρ, πx , qx−s ) ,
x∈|F |
13
qui converge absolument si Re(s) est assez grande, et le produit essentiellement fini
Y
ε(ρ, π, ψx , s) =
εx (ρ, πx , ψx , qx−s ) ,
x∈|F |
• chaque (g1 , g2 ) 7→ hπ (g1 , g2 ) est une somme de produits de séries d’Eisenstein des représentations automorphes π ∨ et π, qui est une fraction rationnelle en π dont les pôles ne rencontrent pas la sous-variété des
produits π ⊗ | detG (•)|s d’une représentation automorphe unitaire π et d’un caractère de la forme | detG (•)|s ,
s ∈ C.
De même, les sommes
X
G(A) 3 g1 , g2 7→
b
h(g2−1 γ g1 )
γ∈G(F )
1
1
sont égales, modulo multiplication par le caractère g1 , g2 7→ | detG (g2−1 g1 )|− 2 · | detρ (g2−1 g1 )|− 2 , à la somme
spectrale
Z
1
1
dπ · L ρ, π, + s · ε ρ, π, + s · hπ⊗| detG (•)|s (g1−1 g2 )
2
2
pour n’importe quel s ∈ C dont la partie réelle Re(s) est assez grande.
Faisons maintenant l’hypothèse que toutes les représentations automorphes π de G(A) qui apparaissent
dans les décompositions spectrales ci-dessus se transfèrent via ρ en des représentations automorphes π 0 de
GLr (A). Alors tous les facteurs Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z) non linéaires se réinterprètent comme des
facteurs Lx (πx0 , Z) et εx (πx0 , ψx , Z) si bien que les fonctions s 7→ L(ρ, π, s) se prolongent analytiquement sur
C tout entier et vérifient l’équation fonctionnelle
1
1
1
L ρ, π ∨ , + s = L ρ, π, − s · ε ρ, π, ψ, − s .
2
2
2
Cela signifie que l’on passe de la somme
X
h(g1−1 γ g2 )
γ∈G(F )
à la somme
X
b
h(g2−1 γ g1 )
γ∈G(F )
par de simples déplacements de contours dans les intégrales
Z
∨ 1
dπ · L ρ, π , + s · hπ⊗| detG (•)|−s (g1−1 g2 ) .
2
Supposons enfin que, en au moins une place x0 ∈ |F |, le facteur hx0 est le produit
h0x0 · (ωx0 ◦ detG )
d’une fonction à support compact h0x0 : G(Fx0 ) → C de ramification donnée et d’un caractère ωx0 assez
ramifié en fonction de la ramification de h0x0 .
Alors toutes les représentations automorphes π de G(A) qui apparaissent dans les décompositions spectrales ci-dessus vérifient en la place x0 l’identité
Lx0 (ρ, πx0 , Z) = 1 .
14
D’après les propriétés connues des fonctions L globales associées aux représentations automorphes de GLr (A),
cela implique que les fonctions analytiques
C 3 s 7→ L(ρ, π, s)
associées aux représentations automorphes de G(A) qui apparaissent dans nos décompositions spectrales
n’ont pas de pôles. Par simple déplacement des contours d’intégration, on obtient l’identité
X
X
b
|detG (g1−1 g2 )| · |detρ (g1−1 g2 )| ·
h(g1−1 γ g2 ) =
h(g2−1 γ g1 ) .
γ∈G(F )
γ∈G(F )
b o ΓF → GLr (C)
En résumé, nous voyons que l’existence du transfert automorphe de G à GLr via ρ : G
implique la formule de Poisson sans termes de bord
X
X
b
h(γ) =
h(γ)
γ∈G(F )
γ∈G(F )
pour toute fonction de type L global
h=
O
hx
x∈|F |
dont un facteur local hx0 au moins est le produit
hx0 = h0x0 · (ωx0 ◦ detG )
d’une fonction à support compact h0x0 de ramification donnée et d’un caractère ωx0 assez ramifié.
Le résultat principal du présent travail est que, réciproquement, la formule de Poisson sans termes de
bord sur le groupe croisé Gr−1 de degré r − 1 permet de construire suffisamment de “noyaux du transfert”
G(A) × G(A) × GLr (A) → C
pour réaliser le transfert automorphe de G à GLr via ρ.
Cela signifie que le transfert automorphe général vers les groupes linéaires est équivalent à une formule
– la “formule de Poisson sans termes de bord” pour les fonctions de type L global tordues par un caractère
très ramifié en au moins une place – dont tous les termes sont bien définis a priori et explicites.
Afin d’expliquer cela, revenons aux noyaux locaux
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
introduits au début de la discussion. Tous sont de ψx -type de Whittaker, c’est-à-dire satisfont l’identité
KψG,ρ
(g, ug 0 ) = ψ(r) (u) · KψG,ρ
(g, g 0 ) ,
x
x
∀ u ∈ Nr (Fx ) .
En les places x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , KψG,ρ
a été supposé sphérique en les deux variables g ∈ G(Fx ),
x
0
r
G
g ∈ GLr (Fx ), et compatible avec l’homomorphisme ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
.
Supposant que la partie finie S ⊃ Sρ n’est pas vide, on demande que, en toute place x ∈ S, le noyau
local KψG,ρ
satisfasse les conditions suivantes :
x
•
KψG,ρ
(g, zg 0 ) = ωρ (z) · KψG,ρ
(µG (z)g, g 0 ) ,
x
x
15
∀ z ∈ Fx× ,
• KψG,ρ
ne fait intervenir dans sa décomposition spectrale que des paires de représentations lisses admissibles
x
irréductibles unitaires de G(Fx ) et GLr (Fx ) de la forme
(πx ⊗ (ωx ◦ detG ), πx0 ⊗ (ωx ◦ det)) = (πx ωx , πx0 ωx )
où la ramification de πx et πx0 est bornée et où ωx : Fx× → C× est un caractère assez ramifié en fonction de
cette borne,
• en la variable g 0 ∈ GLr (Fx ), le noyau KψG,ρ
est invariant à droite par le sous-groupe
x
GLr (Ox )Nx ⊂ GLr (Ox ) ⊂ GLr (Fx )
des matrices entières inversibles dont la réduction modulo $xNx (pour un certain entier Nx assez grand), a
la forme


∗ ... ∗ ∗
 ..
.. .. 
.
. .

.
∗ . . . ∗ ∗
0 ... 0 1
En particulier, KψG,ρ
est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) en la variable g 0 ∈ GLr (Fx ).
x
L’existence de larges classes de tels noyaux KψG,ρ
en les places x ∈ S est assurée par un lemme tiré de
x
[Cogdell, Piatetski-Shapiro].
Ces hypothèses de construction impliquent que, en toute place x ∈ S, pour toutes paires de représentations
(πx ωx , πx0 ωx )
r−1
qui apparaissent dans la décomposition spectrale de KψG,ρ
et pour tout caractère unitaire zx0 de Hx,∅
de
x
0
0
×
valeurs propres de Hecke z1 , . . . , zr−1 ∈ C , on a
Y
Y
Lx (πx0 ωx , zj0 Z) = 1 =
Lx (ρ, πx ωx , zj0 Z) ,
1≤j≤r−1
Y
1≤j≤r−1
Y
εx (πx0 ωx , ψx , zj0 Z) =
1≤j≤r−1
εx (ρ, πx ωx , zj0 Z) .
1≤j≤r−1
Les équations fonctionnelles locales de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika s’interprètent alors en disant
que, pour toute function sphérique test
hx : GLr−1 (Ox )\GLr−1 (Fx )/GLr−1 (Ox ) → C
en une place x ∈ S, et à multiplication près par le caractère
−1
−1
− r−2
2
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ |detG (mx )|x 2 · |detρ (mx )|x 2 · |det(m0x )|x
la fonction
x
WψG,ρ,h
(mx , m0x ) =
x ,g1 ,g2 ,g
Z
GLr−1 (Fx )
,
0
0−1 0
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 m−1
x g2 , gx g) · hx (mx gx ) ,
x
restreinte à Gr−1 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr−1 (Fx ), est de type L et admet pour ψx -transformée de Fourier relative
à ρr−1 la fonction
Z
f G,ρ,hx (mx , m0 ) =
W
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , αr gx0 g) · hx (m0x gx0 )
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
x
GLr−1 (Fx )
f G,ρ,hx (mx , (−1)r−1 m0x ) .
= W
ψx ,g1 ,g2 ,g
16
De même, ces équations fonctionnelles locales en les places x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ s’interprètent en disant
que, pour toute fonction test arbitrairement ramifiée
hx : GLr−1 (Fx ) → C ,
−1
et à multiplication par le caractère | detG (•) · detρ (•) · det(•)r−1 |x 2 , la fonction
x
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ WψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
est de type L et admet pour ψx -transformée de Fourier relative à ρr−1 la fonction
f G,ρ,hx (mx , (−1)r−1 m0 ) .
(mx , m0x ) 7→ W
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
Comme la partie S ⊃ Sρ est supposée non vide et les caractères ωx : Fx× → C× , x ∈ S, sont supposés assez
ramifiés, la “formule de Poisson sans termes de bord” relative à la représentation de transfert croisée ρr−1
implique la famille d’identités
X
X
G,ρ,h
f G,ρ,h (γ, (−1)r−1 δ) ,
Wψ,g
W
(γ, δ) =
ψ,g1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
(γ,δ)∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
pour toute fonction test h =
N
(γ,δ)∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
hx : GLr−1 (A) → C sphérique en les places x ∈ S.
x∈|F |
On en déduit que pour toute telle fonction test h sphérique en les places de S, et pour tous éléments
g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A), le produit scalaire
Z
X
X
G,ρ,h
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) = KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
Wψ,g
(γ, δ)
1 ,g2 ,g
GLr−1 (A)
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
est égal au produit scalaire
Z
X
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) = K
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
dg 0 · K
ψ
ψ
GLr−1 (A)
X
f G,ρ,h (γ, δ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
G,ρ
0
0
0
0
e G,ρ
Or les
Qdeux fonctions GLr−1 (A) 3 g 7→ Kψ (g1 , g2 , g g) et g 7→ Kψ (g1 , g2 , g g) sont invariantes à droite
par
GLr−1 (Ox ) si g est élément du sous-groupe ouvert GLr (A)NS de GLr (A) image réciproque du sousx∈S
Q
Q
e G,ρ coı̈ncident sur le sous-groupe
groupe ouvert
GLr (Ox )Nx de
GLr (Fx ). Il en résulte que KψG,ρ et K
ψ
x∈S
x∈S
ouvert G(A) × G(A) × GLr (A)NS de (G × G × GLr )(A). En la troisième variable g ∈ GLr (A)NS , leur
restriction commune est invariante par le sous-groupe discret GLr (F )NS = GLr (F ) ∩ GLr (A)NS puisque,
d’après un lemme tiré de [Cogdell, Piatetski-Shapiro], celui-ci est engendré par ses sous-groupes Qr (F )NS =
op
Qr (F ) ∩ GLr (A)NS et Qop
r (F )NS = Qr (F ) ∩ GLr (A)NS . L’isomorphisme
∼
GLr (F )NS \GLr (A)NS −→ GLr (F )\GLr (A)
e G,ρ à G(A)×G(A)×GLr (A)N comme une fonction
permet alors de voir la restriction commune de KψG,ρ et K
S
ψ
automorphe
(G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
C’est un noyau du transfert.
Cette construction fondée sur “la formule de Poisson non linéaire sans terme de bord sur Gr−1 ” engendre
suffisamment de “noyaux du transfert” pour réaliser l’ensemble du transfert automorphe, avec ramification
b o ΓF → GLr (C).
arbitraire, de G à GLr induit par ρ : G
17
Cependant, il est intéressant de chercher à raffiner cette construction pour obtenir des termes complémentaires
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
ψ
permettant de réaliser l’égalité
e G,ρ + K
e G,ρ
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
sur (G × G × GLr )(A) tout entier et donc de définir directement un noyau automorphe
(G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
On doit impérativement trouver un tel raffinement si l’on cherche à construire des noyaux du transfert
global qui soient compatibles avec le transfert local en toute place x ∈ |F | sans exception. On part alors
d’une famille de noyaux locaux
KψG,ρ : G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
dont la décomposition spectrale en toute place x ∈ |F | ne fait apparaı̂tre que des paires (πx , πx0 ) de
représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de G(Fx ) et GLr (Fx ) telles que πx0 soit le transfert local de πx par ρ en un sens déjà connu sans ambiguı̈té.
Dans le présent travail, nous étudions le cas du transfert automorphe partout non ramifié, où S = Sρ = ∅
et tous les noyaux locaux KψG,ρ
sont sphériques. Si l’on voulait étudier des cas de transfert avec ramification
x
en partant de noyaux locaux ramifiés déjà connus, le procédé de construction et d’étude globales serait le
même.
Afin de réaliser ce programme, on a besoin d’une formule de Poisson non linéaire avec termes de bord
pour les fonctions “de type L global” sur G(A) ou Gr0 (A), r0 ≥ 2. Autrement dit, on a besoin de définir sur
l’espace des fonctions de type L global une fonctionnelle complémentaire de l’évaluation
X
h 7→
h(γ)
γ∈G(F )
telle que leur somme, notée par convention
h 7→ “
X
h(γ)” ,
γ∈G(F )
vérifie la formule de Poisson
“
X
γ∈G(F )
h(γ)” = “
X
b
h(γ)” ,
∀h.
γ∈G(F )
Considérons une fonction de type L global sur G(A) (ou Gr0 (A), r0 ≥ 2)
O
h=
hx
x∈|F |
puis n’importe qu’elle place x0 ∈ |F | − Sρ en laquelle le facteur hx0 est sphérique. Ce facteur admet une
décomposition spectrale de la forme
Z
−1
−1
−1
hx0 (g) = |detG (g)|x02 · |detρ (g)|x02 · dπx0 · Lx0 ρ, πx∨0 , qx02 · hx0 ,πx0 (g)
où πx0 décrit l’espace des représentations non ramifiées unitaires de G(Fx0 ), c’est-à-dire des caractères
unitaires de HxG0 ,∅ , et chaque g 7→ hx0 ,πx0 (g) est une fonction sphérique, vecteur propre de valeur propre πx0 ,
et dont la dépendance en πx0 est polynomiale.
18
Pour tout entier N ∈ N, on note hN
x0 la fonction sur G(Fx0 ) définie par la décomposition spectrale
Z
− 21
−1
−1
− 12
N
hx0 (g) = |detG (g)|x0 · |detρ (g)|x0 · dπx0 · Lx0 ρ, πx∨0 , qx02 · IxN0 ρ, πx0 , qx02 · hx0 ,πx0 (g)
où IxN0 (ρ, πx0 , Z) désigne le polynôme en Z produit du polynôme
Lx0 (ρ, πx0 , Z)−1
et du monôme de degré N qui figure dans le développement en série formelle de l’inverse
Lx0 (ρ, πx0 , Z) .
On remarque que
X
IxN0 (ρ, πx0 , Z) = 1
N ∈N
d
N relative
dans l’anneau des séries formelles en Z et que, pour tout entier N , la ψx0 -transformée de Fourier h
x0
N
à ρ de hx0 est à support compact dans G(Fx0 ).
Nous considérons alors la série



O
X X
hN

hx  (γ)
x0 ⊗
N ∈N γ∈G(F )
x6=x0
et conjecturons que :
• cette série est convergente, quelle que soit la fonction de type L global h =
N
hx sur G(A), et quelle que
x∈|F |
soit la place x0 sans ramification,
• la valeur S(h) de cette série convergente ne dépend pas du choix de la place x0 ,
• la fonctionnelle de l’espace des fonctions de type L global sur G(A)
h 7→ S(h)
est laissée invariante par la ψ-transformation de Fourier relative à ρ, et il en est de même de la fonctionnelle

 

X
X
X
b
h 7→ 
h(γ) + 
h(γ) − S(h) = “
h(γ)” .
γ∈G(F )
γ∈G(F )
γ∈G(F )
Dans le présent travail, nous montrons que cette conjecture est vraie dans le cas où G = GLr et ρ est la
b = GLr (C), et que, de plus, la fonctionnelle
représentation standard de G
X
h 7→ “
h(γ)”
γ∈G(F )
coı̈ncide dans ce cas avec la fonctionnelle de Poisson linéaire
X
h 7→
h(γ) .
γ∈Mr (F )
×
Cette conjecture est également vraie pour le tore T (A) quotient du tore linéaire TE (A) = A×
E = (A×F E)
par l’homomorphisme
TE = ResE/F Gm → T
19
dual de l’homomorphisme ΓF -équivariant
Y
ρT : Tb → Tbr =
C× = TbE
1≤i≤r
comme expliqué plus haut. La formule de Poisson relative à ρT sur T (A) se déduit de la formule de Poisson
linéaire sur AE = A ⊗F E en prenant la partie invariante par le sous-tore Tρ de TE dual du tore quotient
Tbρ = Coker (Tb → Tbr = TbE ).
À partir de cette formule de Poisson sur T (A), nous montrons encore dans le présent travail que la
conjecture sur G(A) ci-dessus devient vraie après moyennisation par l’opérateur de coefficient unipotent
constant
Z
du .
NB (F )\NB (A)
En fait, et bien que nous ne l’ayons pas écrit, on pourrait certainement généraliser notre étude du cas
linéaire et montrer que le transfert automorphe pour ρ implique la conjecture ci-dessus sur G(A).
Afin de construire des noyaux du transfert KψG,ρ + KψG,ρ avec terme complémentaire KψG,ρ , on applique dans le présent travail la formule de Poisson non linéaire pour les fonctions de type L global sur
le groupe croisé Gr−1 de degré r − 1. La construction fait apparaı̂tre quelles propriétés de la fonctionnelle
complémentaire

 

X
X
X
b
h 7→ “
h(γ)” − 
h(γ) = 
h(γ) − S(h)
γ∈G(F )
γ∈G(F )
γ∈G(F )
il est nécessaire de connaı̂tre pour conclure.
La formulation de ces propriétés demande de construire un objet géométrique auxiliaire, déjà introduit
b o ΓF → GLr (C).
par Braverman et Kazhdan, le “semi-groupe dual” d’une représentation de transfert ρ : G
Rappelons qu’un semi-groupe G de groupe G est une variété affine intègre qui contient G comme ouvert
dense et telle que le morphisme de multiplication G × G → G se prolonge en G × G → G.
Pour tout semi-groupe normal G de groupe G, l’adhérence schématique T du tore maximal T de G dans
G est une variété torique affine normale de tore T sur laquelle agit le groupe de Weyl SG . On montre que,
réciproquement, toute variété torique affine normale T de tore T sur laquelle agit SG provient d’un semigroupe normal G de groupe G, unique à unique isomorphisme près. Se donner un tel semi-groupe normal G
de groupe G équivaut donc à se donner un cône polyédral saturé XT stable par l’action de SG dans le réseau
XT des caractères de T ou, ce qui revient au même, son cône dual XT∨ dans le réseau XT∨ des cocaractères
de T .
b o ΓF → GLr (C) est le semi-groupe
Le semi-groupe G dual de la représentation de transfert ρ : G
∨
∨
normal de groupe G associé au cône saturé XT de XT = XTb engendré par les poids ρ1T , . . . , ρrT : Tb → C×
de la représentation ρ ou, ce qui revient au même, par les SG -orbites des plus hauts poids des facteurs
b → GLr (C). Cette notion avait déjà été introduite par Braverman et Kazhdan, en des
irréductibles de ρ : G
termes différents mais équivalents.
b = GLr (C), le semi-groupe G dual de ρ n’est
Lorsque G = GLr et ρ est la représentation standard de G
évidemment autre que le semi-groupe matriciel Mr .
Dans le cas général, le semi-groupe dual G n’est par lisse. Tout au plus peut-on dire que son plus grand
lisse
codim≤1
ouvert lisse G
contient l’ouvert G
réunion de G et des orbites de codimension 1.
0
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
Pour tout degré r ≥ 2, le semi-groupe Gr0 dual de la représentation croisée ρr0 = G
s’identifie à la normalisation du sous-schéma fermé
(g, g 0 ) ∈ G × Mr0 | detG (g) = det(g 0 ) .
20
lisse
Par conséquent, le lieu lisse Gr0
de Gr0 contient l’image réciproque de G
codim≤1
× Mr 0 .
Revenons aux espaces de fonctions de type L local ou global sur les G(Fx ), x ∈ |F |, et sur G(A).
Contrairement à ce qui se passe dans le cas linéaire, il est en général impossible de choisir le caractère
algébrique
detρ : G → Gm
de façon que les fonctions éléments de ces espaces se prolongent par continuité non trivialement aux G(Fx ),
x ∈ |F |, et à G(A). Il est seulement possible, sous des hypothèses techniques très peu restrictives sur ρ,
de choisir le caractère detρ de façon que les fonctions de type L local ou global sur G se prolongent par
codim≤1
lisse
et même sur G .
continuité non trivialement sur G
Nous complétons nos conjectures sur les fonctionnelles de Poisson non linéaires relatives à ρ (ou ρr0 ,
r0 ≥ 2) sur G (ou Gr0 )
O
X
h=
hx 7→ “
h(γ)”
x∈|F |
γ∈G(F )
en conjecturant encore que la fonctionnelle de bord

h=
O
X
hx 7→ “
x∈|F |
h(γ)” − 

X
h(γ)
γ∈G(F )
γ∈G(F )
vérifie la propriété suivante :
• Sur G, elle dépend linéairement des seules restrictions de chaque facteur hx , x ∈ |F |, aux strates de
codimension 1 de G(Fx ).
• Sur Gr0 , r0 ≥ 2, elle dépend linéairement des seules restrictions de h aux points de Gr0 (A) de la forme
(m, γ 0 )
codim≤1
avec m ∈ G
(A) et γ 0 ∈ Mr0 (F ) − GLr0 (F ).
0
Le cas r = r − 1 de cette conjecture est ce que l’on a besoin de connaı̂tre sur la fonctionnelle de bord


X
X
h 7→ “
h(γ)” − 
h(γ) ,
γ∈Gr−1 (F )
γ∈Gr−1 (F )
outre la formule de Poisson sur Gr−1 (A)
X
“
h(γ)” = “
γ∈Gr−1 (F )
X
b
h(γ)” ,
γ∈Gr−1 (F )
pour construire des termes complémentaires
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
ψ
qui réalisent l’égalité
e G,ρ + K
e G,ρ
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
et définissent des noyaux du transfert par ρ de la forme
K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
21
Le présent texte représente les étapes successives de la recherche de l’auteur au cours des deux dernières
années. Il contient les rappels et les développements techniques qui composent les démonstrations des
résultats que nous venons d’exposer, ainsi que des digressions.
Il traite seulement le cas des corps de fonctions mais, comme toutes les constructions et démonstrations
n’utilisent que de l’analyse harmonique sur les groupes réductifs locaux et adéliques, il serait facile de traiter
de la même façon le cas des corps de nombres. Dans un article publié comme le nôtre aux Annales de l’Institut
Fourier, Jacquet a d’ailleurs réécrit dans le cas général des corps globaux (et de la ramification arbitraire)
le procédé de construction de noyaux de l’induction automorphe de GL1 à GL2 que nous avions introduit
dans le cas des corps de fonctions (et en l’absence de ramification).
Passons rapidement en revue le contenu des X chapitres du texte.
Le chapitre I introduit une notion très forte mais très restrictive de “représentation de transfert duale
d’un semi-groupe”. Cette notion trop restrictive ne sera pas utilisée dans la suite bien que, comme ce chapitre
l’explique, elle recouvre quelques cas de fonctorialité particulièrement importants : le transfert identique des
groupes linéaires, le produit tensoriel automorphe, l’induction automorphe, le transfert automorphe associé
aux représentations de Vinberg des groupes linéaires.
Le chapitre II réintroduit, après Braverman et Kazhdan, la notion beaucoup plus souple de “semi-groupe
dual d’une représentation de transfert”. Il donne également une liste de conditions techniques que devront
vérifier les représentations de transfert, dites “bien disposées”, étudiées dans la suite du texte. Ces hypothèses
sont très peu restrictives et, en fait, il ne serait pas difficile d’adapter les arguments pour couvrir la totalité
b o ΓF → GLr (C) arbitraires.
des cas de transfert de Langlands induits par des représentations ρ : G
Le chapitre III rappelle la décomposition spectrale des fonctions sphériques à support compact sur G(Fx ),
et étudie celle des fonctions sphériques à support compact dans G(Fx ).
Le chapitre IV rappelle la décomposition spectrale des fonctions localements constantes à support compact dans GLr (Fx ) puis Mr (Fx ), ainsi que celle de leurs coefficients unipotents réguliers. Il précise la caractérisation spectrale des fonctions à support compact, ce qui sera utile dans la suite pour des raisons
techniques. Il rappelle également la décomposition spectrale de la transformation de Fourier linéaire sur
Mr (Fx ).
Le chapitre V étudie les fonctions sur les groupes croisés Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2, dont le support est compact
dans Gr0 (Fx ) ou Gr0 (Fx ), et dont la décomposition spectrale ne fait apparaı̂tre que des représentations lisses
admissibles irréductibles unitaires de G(Fx ) induites de caractères non ramifiés du tore maximal T (Fx ).
En revanche, toutes les représentations irréductibles de GLr0 (Fx ) sont autorisées à apparaı̂tre. On étudie
également dans ce chapitre les fonctions sur Gr0 (Fx ) qui sont de type de Whittaker relativement au sousgroupe Nr0 des matrices triangulaires supérieures unipotentes de GLr0 .
Le chapitre VI introduit la notion de fonctions de type L local sur G(Fx ) ou les Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2, pour
des fonctions dont la décomposition spectrale est du type étudié dans les chapitres III et V. Il introduit
également la ψx -transformation de Fourier relative à ρ des fonctions de type L étudiées, et celle de leurs
coefficients unipotents.
Le chapitre VII est consacré à la formule de Poisson avec termes de bord. Il commence par étudier la
formule de Poisson sur le tore maximal T de G qui se déduit par quotient de la formule de Poisson sur un
tore linéaire TE . Puis il vérifie la nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson linéaire sur les espaces
de matrices que nous avons exposée plus haut. Il introduit alors la notion de fonctions de type L global sur
G(A) ou Gr0 (A) et la ψ-transformation de Fourier globale de ces fonctions. Il formule la conjecture générale
de formule de Poisson sur G(A) ou Gr0 (A) relative à ρ ou ρr0 . Enfin, il démontre que cette conjecture devient
vraie après moyennisation sur le radical unipotent NB du sous-groupe de Borel B.
Le chapitre VIII construit un noyau du transfert avec terme complémentaire K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ , dans
le cas partout non ramifié, en appliquant la formule de Poisson avec termes de bord du chapitre VII.
Le chapitre IX est consacré à la formule de Poisson sans termes de bord. Il rappelle le résultat de Jacquet
et Shalika sur les facteurs Lx et εx des représentations de GLr (Fx ) tordues par un caractère assez ramifié,
22
et en déduit une définition de la ψx -transformation de Fourier relative à ρ sur G(Fx ) ou Gr0 (Fx ), pour les
produits d’une fonction à support compact de ramification bornée et d’un caractère très ramifié. Dans un
second temps, on propose dans ce chapitre une conjecture de formule de Poisson sans terme de bord pour
les fonctions de type L global dont le facteur local en au moins une place a la forme ci-dessus.
Enfin, le chapitre X construit des noyaux du transfert sans terme complémentaire, sans condition sur la
ramification, en appliquant la formule de Poisson sans termes de bord du chapitre IX.
Au terme de cette introduction, je suis très heureux d’exprimer ma profonde reconnaissance envers :
Gérard Laumon qui n’a jamais cessé de me soutenir et de m’encourager au long de mes années de recherche
mathématique,
Édouard Belaga qui, particulièrement pendant son séjour à l’IHÉS, m’a permis de renouer dans mon
esprit le lien entre mathématiques et vérité, et de continuer ma recherche avec une énergie renouvelée,
Cécile Gourgues qui a réalisé avec une efficacité parfaite et une grande patience la frappe entière de ce
trop long texte.
23
24
Sommaire
Chapitre I : Représentations de transfert de type dual
1. Rappels sur les semi-groupes affines
2. Représentation de transfert duale d’un semi-groupe
3. Représentations de transfert centrales ou libres
4. Exemples de représentations de transfert de type dual
5. Semi-groupes et représentations de Vinberg
6. Dualité de la représentation de transfert de Vinberg dans le cas linéaire
Chapitre II : Une notion symétrique plus souple : le semi-groupe dual d’une représentation de transfert
1. Construction du semi-groupe dual d’une représentation
2. Semi-groupes de type dual
3. Semi-groupes duaux croisés
4. Représentations de transfert bien disposées
Chapitre III : Fonctions sphériques sur un semi-groupe local
1. Structures entières
2. Décomposition spectrale des fonctions sphériques sur un groupe réductif local et ses croisés
3. Les fonctions L locales attachées à une représentation de transfert
4. Rappels sur les fonctions sphériques propres et la mesure de Plancherel
5. Fonctions sphériques supportées par les points entiers d’un semi-groupe local de type dual
6. La fonction caractéristique des points entiers d’un semi-groupe local de type dual
7. Prolongement par continuité sur le bord d’un semi-groupe local de type dual
8. Prolongement par continuité partiel sur le bord d’un semi-groupe local croisé
Chapitre IV : Rappel sur la décomposition spectrale des fonctions localement constantes sur un groupe
linéaire local
1. Représentations lisses admissibles
2. La formule de Plancherel avec ramification pour GLr (Fx )
3. Les coefficients unipotents des fonctions de Hecke
4. Caractérisation des fonctions à support compact par leur décomposition spectrale
5. Sections des fonctionnelles unipotentes
6. Facteurs L locaux et prolongement sur l’espace des matrices
7. Transformation de Fourier et facteurs locaux
Chapitre V : Fonctions partiellement ramifiées sur un semi-groupe local croisé
1. Fonctions à support compact dans un groupe croisé local
2. Fonctions ramifiées en la partie linéaire
3. Fonctions de type torique
25
4. Fonctions à support compact dans un semi-groupe
5. Fonctions de type L ramifiées en la partie linéaire
6. Fonctions de type L torique
7. Prolongement sur le bord en codimension 1
Chapitre VI : Transformation de Fourier sur les semi-groupes locaux de type dual
1. Expression quotient des variétés toriques de type dual et de leurs épaississements
2. Transformation de Fourier sur les variétés toriques de type dual
3. Transformation de Fourier des fonctions de type L torique
4. Transformation de Fourier des fonctions de type L ramifiées en la partie linéaire
Chapitre VII : Une formule de Poisson sur les semi-groupes adéliques de type dual
1. Une formule de Poisson sur les variétés toriques de type dual
2. Retour sur la fonctionnelle de Poisson dans le cas linéaire
3. Transformation de Fourier globale sur un semi-groupe adélique de type dual
4. Fonctionnelle et formule de Poisson
5. Coefficients unipotents constants et formule de Poisson
Chapitre VIII : Construction de noyaux du transfert sans ramification
1. Construction des termes principaux d’un noyau
2. Construction relative au sous-groupe mirabolique opposé
3. Expression locale des intégrales contre des fonctions tests non ramifiées
4. Expression locale des intégrales contre des fonctions tests éventuellement ramifiées
5. Échange par transformation de Fourier
6. Application de la formule de Poisson
Chapitre IX : Une formule de Poisson après torsion par un caractère très ramifié en quelques places
1. Transformation de Fourier locale
2. Transformation de Fourier globale et formule de Poisson après torsion
Chapitre X : Construction de noyaux du transfert avec ramification
1. Construction d’un noyau partiel
2. Construction relative au sous-groupe mirabolique opposé
3. Expression locale des intégrales contre des fonction tests
4. Échange par transformation de Fourier
5. Application de la formule de Poisson
26
Chapitre I :
Représentations de transfert de type dual
1
Rappels sur les semi-groupes affines
Dans ce paragraphe, on considère un groupe réductif (connexe) G sur un corps arbitraire k.
Commençons par définir ce qu’on entend par le terme “semi-groupe” :
Définition I.1. –
Un semi-groupe (affine) de groupe G sur k est un schéma affine G sur k muni d’une immersion ouverte
G ,→ G
et d’un morphisme de produit
G×G→G
qui vérifient les conditions suivantes :
(1) Le sous-schéma ouvert G de G est schématiquement dense. En particulier, G est un schéma intègre.
(2) Le morphisme de produit G × G → G prolonge celui du groupe G. Il est donc associatif et admet pour
élément neutre l’unité de G.
(3) Le sous-schéma des éléments inversibles de G est égal au sous-schéma ouvert G.
Les exemples les plus importants de semi-groupes G ⊃ G sont ceux qui viennent immédiatement à
l’esprit : les schémas affines matriciels Mr prolongeant les groupes linéaires GLr .
Ces exemples engendrent d’ailleurs tous les semi-groupes affines au sens suivant :
Pour tout plongement G ,→ GLr défini sur k d’un groupe réductif G sur k dans un groupe linéaire
GLr , l’adhérence schématique G de G dans le semi-groupe matriciel Mr de groupe GLr est un semi-groupe
affine de groupe G. Réciproquement, tout semi-groupe affine G de groupe G est isomorphe à l’adhérence
schématique de G dans Mr pour un certain plongement G ,→ GLr défini sur k.
Supposons maintenant que G est un groupe réductif quasi-déployé sur k. Alors il possède une paire de
Borel (T, B) constituée d’un sous-tore maximal T et d’un sous-groupe de Borel B ⊃ T tous deux définis sur
k.
χ
∨
On note XT = XG le réseau des caractères T −→ Gm du tore T , XT∨ = XG
le réseau dual de ses
µ
∨
cocaractères Gm −→ T , ∆B ⊂ XT le sous-ensemble fini des racines simples de B et ∆∨
B ⊂ XT le sousensemble fini des coracines simples.
Le groupe de Weyl SG de G agit sur les réseaux XT et XT∨ .
27
Le groupe de Galois Γk du corps de base k agit sur le groupe SG ainsi que sur les réseaux XT et XT∨ . Il
préserve les sous-ensembles finis ∆B et ∆∨
B.
Considérons alors un semi-groupe affine G de groupe G sur k.
Ce semi-groupe étant fixé, on peut noter T l’adhérence schématique dans G du tore maximal T de G.
C’est une variété torique affine de tore T définie sur k.
On peut associer à cette variété torique affine les deux semi-groupes
XT = {χ ∈ XT | χ se prolonge en un morphisme bien défini T → A1 }
et
XT∨ = {µ ∈ XT∨ | µ se prolonge en un morphisme bien défini A1 → T } .
Ces sous-semi-groupes des réseaux duaux XT et XT∨ sont respectés par la double action du groupe de Weyl
SG et du groupe de Galois Γk .
L’algèbre du schéma affine T est constituée des combinaisons linéaires des caractères de T qui sont
éléments du semi-groupe XT . On en déduit
XT∨ = {µ ∈ XT∨ | hχ, µi ≥ 0 ,
∀ χ ∈ XT } .
Autrement dit, XT∨ est le cône dual du semi-groupe XT . C’est un semi-groupe saturé. Il est l’intersection du
réseau XT∨ et d’un cône convexe polyédral rationnel de l’espace vectoriel réel XT∨ ⊗Z R.
Comme T est plongé dans T , le semi-groupe XT engendre le réseau XT tout entier. Cela entraı̂ne que le
cône saturé XT∨ ne contient aucune droite, soit
XT∨ ∩ (−XT∨ ) = {0} .
On sait que le sous-semi-groupe XT de XT est saturé si et seulement si la variété torique T est normale.
Cela revient à demander que XT soit le dual de XT∨ , soit
XT = {χ ∈ XT | hχ, µi ≥ 0 ,
∀ µ ∈ XT∨ } .
Rappelons de résultat principal de la théorie des semi-groupes affines :
Théorème I.2. –
Soit G un groupe réductif quasi-déployé sur un corps k et soit T un tore maximal défini sur k de G.
Alors :
(i) Pour tout semi-groupe affine G de groupe G, il suffit que G soit normal pour que l’adhérence schématique
T de T dans G soit elle-même normale. La réciproque est vraie lorsque le corps de base k est de caractéristique 0.
(ii) Tout cône saturé de XT qui est stable par la double action de SG et de Γk , et qui engendre le réseau
XT tout entier, est associé à un semi-groupe affine normal G de groupe G. De plus, ce semi-groupe
affine normal G est unique à unique isomorphisme près.
En général, il existe dans chaque réseau XT assez peu de cônes saturés stables par le groupe de Weyl SG
et qui engendrent le réseau XT tout entier. Par conséquent, un groupe réductif donné G admet assez peu de
semi-groupes.
Par exemple, si SG ne fixe aucun élément autre que 0 dans XT ou XT∨ , le seul cône possible est XT tout
entier. Si donc le centre de G est fini, G n’admet pas d’autre semi-groupe que lui-même.
Un groupe réductif n’admet des semi-groupes non triviaux que si son centre est assez grand.
28
2
Représentation de transfert duale d’un semi-groupe
À partir de ce paragraphe, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps de base F . Plus
tard, F sera un corps global, c’est-à-dire un “corps de fonctions” – le corps des fonctions rationnelles sur une
courbe projective lisse sur un corps fini – ou un corps de nombres – une extension finie de Q. Mais, dans ce
chapitre, le corps de base F est arbitraire.
Le groupe réductif quasi-déployé G admet une paire de Borel (T, B) définie sur F . Le groupe de Galois
ΓF de F agit sur la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) que définit cette paire de Borel.
∨
∨
b sur C dual de G. Il
La donnée radicielle duale (XT , ∆B , XT , ∆B ) définit le groupe réductif complexe G
b
b
est muni d’une paire de Borel (T , B) telle que s’identifient
XTb = XT∨ ,
∆Bb = ∆∨
B,
XT∨b = XT ,
∆∨
b = ∆B ,
B
et d’une action continue (nécessairement finie) du groupe de Galois ΓF .
À la suite de Langlands, on s’intéresse aux “représentations de transfert” d’un tel groupe réductif quasidéployé G, c’est-à-dire aux homomorphismes continus
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Quitte à remplacer ces représentations par des représentations conjuguées, on peut toujours supposer que
les représentations de transfert envisagées envoient le tore maximal T̂ de Ĝ dans le tore maximal diagonal
Tbr = (C× )r de GLr (C). Elles induisent donc un homomorphisme de tores
ρT : Tb → Tbr
qui consiste en une famille de r caractères
ρ1T , ρ2T , . . . , ρrT : Tb → C×
éléments de XTb = XT∨ .
Considérons d’autre part un semi-groupe affine G de groupe G, la variété torique affine T définie comme
l’adhérence schématique de T dans G, le semi-groupe XT des caractères de T qui se prolongent en des
morphismes bien définis T → A1 , et enfin le cône saturé XT∨ dual de XT .
Comme le cône saturé XT∨ ⊂ XT∨ ne contient aucune droite, il est entièrement déterminé par l’ensemble
fini de ses arêtes, c’est-à-dire de ses faces de dimension 1. Chaque arête est engendrée par un élément de XT∨
uniquement déterminé que l’on appelle son vecteur directeur.
L’ensemble des vecteurs directeurs des arêtes de XT∨ est un sous-ensemble fini de XT∨ qui, comme XT et
∨
XT , est stable par la double action de SG et de ΓF .
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition suivante :
Définition I.3. –
Considérons comme ci-dessus une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et un semi-groupe affine G de groupe G.
Alors la représentation de transfert ρ sera dite duale du semi-groupe G si l’on a :
29
b agit sur l’espace
(1) Les r caractères ρ1T , . . . , ρrT : Tb → C× par lesquels le tore maximal Tb du groupe dual G
de la représentation complexe ρ sont deux à deux distincts. Autrement dit, leurs espaces propres associés
sont tous de dimension 1.
(2) L’ensemble des caractères ρ1T , . . . , ρrT ∈ XTb = XT∨ se confond avec l’ensemble des vecteurs directeurs
des arêtes du cône saturé XT∨ associé à la variété torique affine T et au semi-groupe affine G.
(3) Les quatre propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées :
• Les vecteurs directeurs ρ1T , . . . , ρrT engendrent le cône saturé XT∨ .
• Le semi-groupe des caractères de Tb qui se prolongent en des fonctions bien définies sur l’adhérence
schématique de Tb dans Mr (C) ou Cr est un cône saturé.
• La variété torique affine définie comme l’adhérence schématique de Tb dans Mr (C) ou Cr est
normale.
b dans Mr (C) est normal.
• Le semi-groupe affine défini comme l’adhérence schématique de G
3
Représentations de transfert centrales ou libres
Avant de donner des exemples de représentations de transfert de type dual, introduisons deux propriétés
supplémentaires qui nous seront utiles et que possèderont toutes les représentations de transfert de type dual
que nous considérerons.
Voici la première :
Définition I.4. –
Étant donné un groupe réductif G quasi-déployé sur un corps global F , une représentation de transfert
b o ΓG → GLr (C)
ρ:G
sera dite “centrale” de centre
c G : C× → Z b ,→ Tb
det
G
b de G admet un cocaractère
si le centre ZGb ⊂ Tb du groupe dual G
c G : C× → Z b
det
G
qui est fixé par l’action du groupe de Galois ΓF et qui fait agir C× sur l’espace Cr de la représentation ρ par
le caractère standard z 7→ z.
b agit sur
Autrement dit, si ρ1T , . . . , ρrT désignent les r caractères par lesquels le tore maximal Tb de G
l’espace Cr de la représentation ρ, on demande que
c G = IdC× ,
ρiT ◦ det
∀ i ∈ {1, . . . , r} .
Pour toute représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est “centrale” de centre
c G : C× → Z b ,→ Tb ,
det
G
30
on notera
detG : G → Gm
c G de Tb : il est caractérisé par la
le caractère du groupe réductif G qui correspond au cocaractère central det
propriété que le caractère
detG
→ Gm
T ,→ G −−−−
c G de Tb.
de T défini par restriction de detG correspond par dualité au cocaractère det
c
Comme le cocaractère detG est fixé par l’action du groupe de Galois ΓF , le caractère
detG : G → Gm
est défini sur le corps F .
Afin d’introduire la seconde propriété des représentations de transfert dont nous aurons besoin, rappelons
la notion de poids ou copoids dominant :
Étant donné comme toujours un groupe réductif G quasi-déployé sur son corps de base, un poids
χ ∈ XT = XG
∨
] est dit “dominant” (relativement au choix d’un sous-groupe de Borel
[resp. un copoids µ ∈ XT∨ = XG
B ⊃ T ) si
hχ, α∨ i ≥ 0 , ∀ α ∈ ∆B
[resp. hα, µi ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B ] .
Comme ∆B est stable par l’action du groupe de Galois ΓF , il en est de même du cône des poids [resp.
copoids] dominants.
On sait encore que toute orbite de XT [resp. XT∨ ] sous l’action du groupe de Weyl SG compte un unique
élément dominant. Cet élément induit par restriction le même caractère du centre ZG ,→ T de G [resp. du
b que tous les autres éléments de l’orbite.
centre ZGb ,→ Tb de G]
Étant donnée une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F , supposons que les caractères ρ1T , . . . , ρrT par lesquels le tore
b agit sur l’espace Cr de ρ sont deux à deux distincts.
maximal Tb de G
La famille de ces caractères ρ1T , . . . , ρrT est stable sous la double action de ΓF et de SGb = SG .
La sous-famille des éléments de {ρ1T , . . . , ρrT } qui sont dominants est stable sous l’action de ΓF et elle
fournit une famille de représentants des orbites de {ρ1T , . . . , ρrT } sous l’action de SG .
Posons maintenant :
Définition I.5. –
Une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F sera dite “libre” si :
b agit sur l’espace Cr de ρ sont deux à
(1) Les caractères ρ1T , . . . , ρrT par lesquels le tore maximal Tb de G
deux distincts.
(2) La sous-famille de {ρ1T , . . . , ρrT } constituée des éléments dominants définit par restriction une base du
b
réseau XZGb des caractères du centre ZGb ,→ Tb du groupe dual G.
31
Il est immédiat que cette seconde propriété des représentations de transfert est plus forte que la première :
Lemme I.6. –
Si une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F est “libre”, elle est a fortiori “centrale” et son centre
c G : C× → Z b ,→ Tb
det
G
est uniquement déterminé, ainsi que le caractère correspondant
detG : G → Gm .
Nous aurons besoin plus tard d’une autre propriété des représentations de transfert “libres”. Afin de la
formuler, rappelons en quelques mots la définition du caractère modulaire
∼
δB : T −→ B/NB −→ Gm
associé au sous-groupe de Borel B de G et à son radical unipotent NB .
On considère l’action de T sur NB
T × NB
→
(µ, u) 7→
NB
µ u µ−1
puis l’action induite de T sur l’espace Lie (NB ). Le caractère δB de T est le déterminant de l’action de T sur
l’espace vectoriel Lie (NB ). Autrement dit, on a l’égalité dans XT
X
δB =
α
α∈ΦB
où ΦB désigne l’ensemble fini des “racines positives”, c’est-à-dire des caractères par lesquels T agit sur
l’espace Lie (NB ), toujours avec la multiplicité 1.
On a :
Lemme I.7. –
Considérons une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F , et la famille ρ1T , . . . , ρrT des caractères par lesquels Tb agit sur
l’espace Cr de ρ.
Si cette représentation de transfert ρ est libre, il existe un unique caractère défini sur F
detρ : G → Gm
tel que, pour tout élément ρiT ∈ XTb = XT∨ de la famille {ρ1T , . . . , ρrT } qui est dominant, on ait
detρ ◦ ρiT = δB ◦ ρiT .
On note
c ρ : C× → Z b ,→ Tb
det
G
le cocaractère central de Tb correspondant. Il est fixé par l’action de ΓF .
32
4
Exemples de représentations de transfert de type dual
Nous allons maintenant donner une suite d’exemples de représentations de transfert de type dual. Toutes
sont “libres” et a fortiori “centrales”.
a) La représentation standard d’un groupe linéaire
Voici le premier exemple de représentation de transfert de type dual, le tranfert identique des groupes
linéaires :
Proposition I.8. –
Supposons que G est le groupe linéaire GLr sur F , plongé dans le semi-groupe des matrices
GLr ,→ Mr = G .
Alors la représentation de transfert standard
=
b = GLr (C) −→
ρ:G
GLr (C)
est “libre” et duale du semi-groupe G = Mr .
b = GLr (C), Tb = Tbr = (C× )r .
Démonstration : On a G = GLr , T = Tr = Grm , G = Mr , T = (A1 )r et G
b agit sur l’espace Cr de ρ par les r composantes ρ1 , . . . , ρr de l’isomorphisme
Le tore maximal Tb = Tbr de G
T
T
r
×
r
1
Tbr = (C ) . Ces ρT , . . . , ρT forment une seule orbite sous l’action de SG = Sr . Leur restriction commune
∼ C× définit un vecteur de base du réseau des caractères de ce tore, si bien que ρ est libre.
au centre ZGb =
D’autre part, le réseau XG = XT s’identifie à Zr et le semi-groupe XT s’identifie à Nr . Le réseau dual
XTb = XT∨ s’identifie à Zr et le cône saturé XT∨ s’identifie à Nr . Les arêtes de ce cône XT∨ admettent pour
vecteurs directeurs les r composantes de l’isomorphisme Tb = (C× )r , c’est-à-dire les caractères ρ1T , ρ2T , . . . , ρrT .
C’est ce que l’on voulait.
b) L’induction automorphe
Voici le second exemple, qui se déduit du précédant essentiellement en ajoutant une action du groupe de
Galois :
Proposition I.9. –
Soient un entier r ≥ 1 et une extension séparable E de F de degré d ≥ 2.
On suppose que
G = ResE/F GLr
est le groupe réductif déduit de GLr par restriction des scalaires à la Weil de E à F , si bien que
Y
b=
G
GLr (C)
ι:E,→F
où ι décrit l’ensemble des d plongements de E dans la clôture séparable F de F .
Alors la représentation d’induction automorphe
b o ΓF → GLrd (C)
ρ:G
33
est “libre” et duale du semi-groupe
G = ResE/F GLr ,→ ResE/F Mr = G
déduit du semi-groupe linéaire standard
GLr ,→ Mr
par restriction des scalaires à la Weil de E à F .
Démonstration : On dispose de l’isomorphisme canonique de F -algèbres
M
∼
F
E ⊗F F −→
ι:E,→F
X
e j ⊗ fj


X

ι(ej ) · fj 
7−→
j
j
.
ι:E,→F
Cet isomorphisme d’algèbres induit l’isomorphisme de groupes
Y
∼
G(F ) −→
GLr (F )
ι:E,→F
et, si T = ResE/F Tr désigne le tore maximal de G,
∼
Y
T (F ) −→
×
(F )r .
ι:E,→F
Le réseau XT des caractères du tore T s’identifie au produit
Y
Zr
ι:E,→F
muni de l’action par permutation du groupe de Galois ΓF .
Par suite, le réseau dual XT∨ = XTb s’identifie au produit
Y
Zr
ι:E,→F
muni de l’action par permutation de ΓF .
Dans ce réseau dual XTb , les caractères de Tb qui apparaissent comme les composantes de l’action
ρ
b o ΓF −→
Tb ,→ G
GLrd (C)
de Tb sur l’espace Crd de ρ ne sont autres que les rd vecteurs de coordonnées de
Y
Zr
ι:E,→F
munis de la double action par permutation de ΓF et de SGb = SG = (Sr )d . On en déduit que la représentation
de transfert ρ est libre comme annoncé.
D’autre part, le semi-groupe
G = ResE/F GLr ,→ ResE/F Mr = G
34
s’écrit sur F
G(F ) =
Y
Y
GLr (F ) ,→
ι:E,→F
Mr (F ) = G(F ) .
ι:E,→F
Le cône saturé XT∨ ⊂ XT∨ = XT associé à ce semi-groupe consiste en les éléments
Y
(ni,ι ) 1≤i≤r ∈
Zr
ι:E,→F
ι:E,→F
tels que
ηi,ι ≥ 0 ,
Ce cône
XT∨
∀ i ∈ {1, . . . , r} , ∀ ι : E ,→ F .
Q
n’est donc autre que le cône libre de
Zr engendré par les rd vecteurs de coordonnées.
ι:E,→F
Cela prouve comme voulu que ρ est duale du semi-groupe G ,→ G.
c) Le produit tensoriel de deux groupes linéaires
L’exemple suivant est celui du produit tensoriel automorphe de deux groupes linéaires :
Proposition I.10. –
Soient r et r0 deux entiers positifs.
Notons GLr,r0 le sous-groupe de GLr × GLr0 défini par le carré cartésien :

GLr,r0 / GLr × GLr0
det × det
/ Gm × Gm

Gm Et notons Mr,r0 le semi-groupe de groupe GLr,r0 défini par le carré cartésien :
Mr,r0
A1
/ M r × Mr 0
det × det
/ A1 × A1
Alors :
c r,r0 de GLr,r0 est le quotient de
(i) Le groupe dual GL
GLr (C) × GLr0 (C)
par le sous-tore central
C×
z
,→ C× × C× = Zr (C) × Zr0 (C)
7→
(z, z −1 ) .
(ii) La représentation de transfert
c r,r0
ρr,r0 : GL
0
(g, g )
est “libre” et duale du semi-groupe Mr,r0 .
35
,→ GLrr0 (C)
7→
g ⊗ g0
Démonstration : Le réseau XT des caractères du tore maximal T de GLr,r0 s’identifie au quotient du réseau
0
Zr × Zr = XTr × XTr0 par la droite {(n, . . . , n, −n, . . . , −n) | n ∈ Z}.
0
Le réseau dual XT∨ = XTb s’identifie au sous-réseau de Zr × Zr = XTbr × XTb 0 défini par l’équation
r
n1 + . . . + nr = n01 + . . . + n0r0 .
On en déduit facilement (i).
De plus, le cône saturé XT∨ ⊂ XT∨ associé au semi-groupe
GLr,r0 ,→ Mr,r0
consiste en les éléments (n1 , . . . , nr , n01 , . . . , n0r0 ) ∈ XT∨ tels que
n1 , . . . , n r ≥ 0
et
n01 , . . . , n0r0 ≥ 0 .
Les vecteurs directeurs des arêtes de ce cône saturé sont les rr0 caractères de Tb = (Tbr × Tbr0 )/C× qui s’écrivent
(z1 , . . . , zr , z10 , . . . , zr0 0 ) 7→ zi zj0
avec 1 ≤ i ≤ r et 1 ≤ j ≤ r0 . Ces caractères zi zj0 engendrent le cône XT∨ tout entier, ce qui achève de prouver
que la représentation ρr,r0 est duale du semi-groupe Mr,r0 de groupe GLr,r0 .
Enfin, tous les caractères zi zj0 , 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ r0 , forment une seule orbite sous l’action du groupe de
Weyl SG = Sr ×Sr0 de G = GLr,r0 , et leur restriction commune au centre Zr,r0 (C) = (Zr (C)×Zr0 (C))/C× ∼
=
c r,r0 est le caractère standard de C× . Cela montre que la représentation ρr,r0 est “libre”.
C× de GL
d) Le produit tensoriel avec un groupe linéaire
Compte tenu de la proposition I.8 – la représentation standard d’un groupe linéaire – l’exemple suivant
généralise celui du produit tensoriel de deux groupes linéaires que nous venons de voir :
Proposition I.11. –
Considérons une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
On suppose que :
• ρ est centrale [resp. libre] de centre le cocaractère
c G : C× → Z b ,→ Tb
det
G
qui correspond à un caractère
detG : G → Gm ,
• ρ est duale d’un semi-groupe
G ,→ G .
0
Étant donné un entier positif r , notons Gr0 le sous-groupe de G × GLr0 défini par le carré cartésien

/ G × GLr0
Gr0
Gm detG × det
/ Gm × Gm
et Gr0 le semi-groupe de groupe Gr0 défini comme l’adhérence schématique de Gr0 dans G × Mr0 .
Alors :
36
b r0 de Gr0 est le quotient de
(i) Le groupe dual G
b × GLr0 (C)
G
par le sous-tore central
/ C× × C×

C×
z
/
c G ,Id)
(det
(z, z −1 )
/ Z b × Zr0 (C)
G
c G (z), z −1 ) .
/ (det
(ii) La représentation de transfert
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
obtenue comme quotient par C× de
b o ΓF ) × GLr0 (C) −→
(G
0
(g, g ) 7−→
GLrr0 (C)
ρ(g) ⊗ g 0
est centrale [resp. libre] et duale du semi-groupe Gr0 de groupe Gr0 .
b agit sur
Démonstration : Par hypothèse, les caractères ρ1T , . . . , ρrT par lesquels le tore maximal Tb de G
r
l’espace C de la représentation ρ sont deux à deux distincts, ce sont les vecteurs directeurs des arêtes du
cône saturé XT∨ associé au semi-groupe G ,→ G et ils engendrent ce cône.
0
Le réseau XTr0 des caractères du tore maximal Tr0 de Gr0 s’identifie au quotient du réseau XT × Zr par
la droite {(n · detG , −n, . . . , −n) | n ∈ Z}.
0
Le réseau dual XT∨r0 = XTb 0 s’identifie au sous-réseau de XTb × Zr constitué des paires d’éléments µ ∈ XTb
0
r
et (n01 , . . . , n0r0 ) ∈ Zr vérifiant l’équation
c G = (z 7→ z n01 +...+n0r0 ) .
µ ◦ det
On en déduit facilement (i).
De plus, le cône saturé XT∨
r0
associé au semi-groupe
Gr0 ,→ Gr0
défini comme l’adhérence schématique de Gr0 dans G × Mr0 consiste en les éléments (µ, n01 , . . . , n0r0 ) ∈ XT∨r0 =
XTb 0 tels que
r
µ ∈ XT∨ et n01 , . . . , n0r0 ≥ 0 .
Alors les rr0 caractères de Tbr0
Tbr0 = (Tb × Tbr0 )/C×
−→
(λ, z10 , . . . , zr0 0 ) 7−→
C×
ρiT (λ) · zj0
indexés par 1 ≤ i ≤ r et 1 ≤ j ≤ r0 , sont les vecteurs directeurs des arêtes du cône saturé XT∨ 0 et ils
r
b r0 o ΓF → GLrr0 (C) est duale du
engendrent ce cône. Cela prouve que la représentation de transfert ρr0 = G
semi-groupe Gr0 ,→ Gr0 .
Elle est centrale de centre
c G 0 : C× = (C× × C× )/C×
det
r
c G ,Id)
(det
/ (Z b × Zr0 (C))/C× = Z b .
G 0
G
r
37
b
b
Enfin, elle est libre si ρ : GoΓ
F → GLr (C) est libre puisque le centre de Gr 0 est canoniquement isomorphe
b et que les orbites des caractères ρi (•) · z 0 , 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ r0 sous l’action du groupe de
à celui de G
j
T
Weyl SGr0 = SG × Sr0 s’identifient à celles des caractères ρiT , 1 ≤ i ≤ r, sous l’action de SG .
Dans la situation de la proposition I.11 ci-dessus, les groupes Gr0 , les semi-groupes Gr0 et les représentab r0 oΓF → GLrr0 (C) seront dits les “croisés” de degré r0 du groupe G, du semi-groupe
tions de transfert ρr0 : G
b o ΓF → GLr (C).
G et de la représentation de transfert ρ : G
0
Comme on verra plus tard, le cas r = r − 1 sera particulièrement important pour nous.
D’autre part, on peut itérer le procédé de la proposition I.11 pour obtenir :
Corollaire I.12. –
Considérons un groupe réductif G quasi-déployé sur F et une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est centrale [resp. libre] et duale d’un semi-groupe
G ,→ G .
Étant donnés des entiers positifs r1 , . . . , rk , notons Gr1 ,...,rk le sous-groupe de G × GLr1 × . . . × GLrk
défini par le carré cartésien

/ G × GLr1 × . . . × GLr
Gr1 ,...,rk k
(detG ,det,...,det)
/ Gm × Gm × . . . × Gm

Gm et Gr1 ,...,rk le semi-groupe de groupe Gr1 ,...,rk défini comme l’adhérence schématique de Gr1 ,...,rk dans G ×
Mr1 × . . . × Mrk . Alors :
b r ,...,r de Gr ,...,r est le quotient de
(i) Le groupe dual G
1
1
k
k
b × GLr (C) × . . . × GLr (C)
G
1
k
par le sous-tore de

C× × (C× × . . . × C× ) c G ,Id)
(det
/ Z b × Zr (C) × . . . × Zr (C)
1
k
G
défini dans C× × (C× × . . . × C× ) par l’équation
z z1 . . . zk = 1 .
(ii) La représentation de transfert
b r ,...,r o ΓF → GLrr ...r (C)
ρr1 ,...,rk : G
1
1
k
k
obtenue comme quotient de
b o ΓF ) × GLr (C) × . . . × GLr (C) −→
(G
1
k
(g, g1 , . . . , gk ) 7−→
GLrr1 ...rk (C)
ρ(g) ⊗ g1 ⊗ . . . ⊗ gk
est centrale [resp. libre] et duale du semi-groupe Gr1 ,...,rk de groupe Gr1 ,...,rk .
38
e) La somme de deux représentations de transfert de type dual
Dans le souci d’être complet, remarquons que la famille des représentations de transfert de type dual est
stable par somme directe :
Lemme I.13. –
Considérons deux groupes réductifs G1 et G2 quasi-déployés sur F et deux représentations de transfert
b 1 o ΓF
ρ1 : G
b 2 o ΓF
ρ2 : G
−→
GLr1 (C) ,
−→
GLr2 (C) ,
qui sont duales de deux semi-groupes
G1 ,→ G1
et
G2 ,→ G2 .
Alors la somme directe de ces deux représentations de transfert
b1 × G
b 2 ) o ΓF → GLr +r (C)
ρ1 ⊕ ρ2 : (G
1
2
est duale du semi-groupe
G1 × G2 ,→ G1 × G2 .
De plus, ρ1 ⊕ ρ2 est centrale [resp. libre] si ρ1 et ρ2 le sont.
f ) Les représentations de Vinberg
Dans le paragraphe 6 du présent chapitre I, nous donnerons un dernier exemple important de représentations de transfert de type dual : les “représentations de Vinberg” qui sont duales des “semi-groupes de
Vinberg” associés aux groupes spéciaux linéaires SLr .
5
Semi-groupes et représentations de Vinberg
Rappelons d’abord la définition suivante :
Définition I.14. –
Soient G0 un groupe réductif quasi-déployé et simplement connexe sur F , Z0 son centre (qui est fini) et
T0 un tore maximal quasi-déployé de G (qui contient nécessairement Z0 ).
On appelle groupe de Vinberg associé à G0 le groupe réductif quasi-déployé
G = (T0 × G0 )/Z0
quotient de T0 × G0 par Z0 plongé diagonalement par
z 7→ (z, z) .
On rappelle qu’un groupe réductif est dit “simplement connexe” quand le réseau des cocaractères de
n’importe quel tore maximal est engendré par l’ensemble fini des coracines α∨ . Il est dit “de type adjoint”
39
quand son centre est trivial ou, ce qui revient au même, quand le réseau des caractères de n’importe quel
tore maximal est engendré par l’ensemble fini des racines α.
Commençons par montrer que le dual d’un groupe de Vinberg est isomorphe à un groupe de Vinberg :
Lemme I.15. –
Considérons un groupe de Vinberg sur F
G = (T0 × G0 )/Z0
associé à un groupe réductif quasi-déployé et simplement connexe G0 de centre Z0 et de tore maximal T0 .
ad
Notons Gad
= T0 /Z0 son tore maximal
0 = G0 /Z0 le quotient de type adjoint canonique de G0 et T0
quasi-déployé.
Alors :
b ad de Gad est simplement connexe et admet pour tore maximal le dual Tbad de T ad .
(i) Le dual G
0
0
0
0
b 0 de G0 est le quotient de type adjoint canonique de G
b ad et admet pour tore maximal le dual
Le dual G
0
Tb0 de T0 .
b ad n’est autre que le noyau de l’homomorphisme
Le centre Zb0 du groupe réductif simplement connexe G
0
surjectif
Tb0ad → Tb0
dual de
T0 → T0ad .
b de
(ii) Le dual G
G = (T0 × G0 )/Z0
s’identifie au quotient
b ad
b
(Tb0ad × G
0 )/Z0
b ad par Zb0 plongé antidiagonalement par
de Tb0ad × G
0
z 7→ (z, z −1 ) .
b ad .
Il est isomorphe au groupe de Vinberg associé à G
0
Démonstration :
(i) résulte de ce que le dual d’un groupe réductif simplement connexe [resp. de type adjoint] est de type
adjoint [resp. simplement connexe].
(ii) On a un homomorphisme surjectif
G → T0ad
dont le noyau s’identifie à G0 . Donc on a un homomorphisme central injectif
b
Tb0ad ,→ G
b0 .
dont le conoyau s’identifie à G
De même, on a un homomorphisme central injectif
T0 ,→ G
40
dont le conoyau s’identifie à Gad
0 . Donc on a un homomorphisme surjectif
b → Tb0
G
b ad .
dont le noyau s’identifie à G
0
Le résultat annoncé s’en déduit.
Considérons toujours un groupe de Vinberg
G = (T0 × G0 )/Z0
associé à un groupe réductif quasi-déployé et simplement connexe G0 sur F , et son dual
b = (Tb0ad × G
b ad
b
G
0 )/Z0 .
Complétons le choix du tore maximal quasi-déployé T0 de G0 par celui d’un sous-groupe de Borel B0 ⊃ T0
de G0 défini sur F .
On note ∆B0 l’ensemble des racines simples α ∈ XT0 de B0 , et α∨ ∈ XT∨0 la coracine associée à chaque
racine α ∈ ∆B0 . Les α ∈ ∆B0 composent une base de l’espace vectoriel XT0 ⊗Z Q et leurs coracines associées
α∨ composent une base de l’espace vectoriel dual XT∨0 ⊗Z Q.
On note encore {$α∨ | α ∈ ∆B0 } la base de l’espace XT∨0 ⊗Z Q qui est duale de la base ∆B0 de XT0 ⊗Z Q,
∨
∨
et {$α | α ∈ ∆B0 } la base de l’espace XT0 ⊗Z Q qui est duale de la base ∆∨
B0 = {α | α ∈ ∆B0 } de XT0 ⊗Z Q.
∨
Le groupe de Galois ΓF agit sur l’ensemble ∆B0 des racines simples α et sur celui ∆B0 des coracines
simples α∨ , donc aussi sur la famille des copoids $α∨ et celle des poids $α .
Comme le groupe réductif G0 est simplement connexe, les poids $α , α ∈ ∆B0 , forment une base du réseau
XT0 des poids de G0 . Ils engendrent le cône des poids dominants. On les appelle les “poids fondamentaux”.
∨
De même, comme Gad
0 est simplement connexe, les copoids $α , α ∈ ∆B0 , forment une base du réseau
∨
XTbad de l’espace XT0 ⊗Z Q. Ils engendrent le cône des copoids dominants de Gad
0 c’est-à-dire des poids
0
ad
b . On les appelle les “copoids fondamentaux”.
dominants de G
0
b$∨ la représentation complexe irréductible du groupe dual
Pour toute racine simple α ∈ ∆B0 , notons R
α
b = (Tb0ad × G
b ad
b
G
0 )/Z0
dont le poids dominant est ($α∨ , $α∨ ).
Le groupe de Galois ΓF agit sur l’ensemble des copoids fondamentaux $α∨ , α ∈ ∆B0 , donc il agit par
b$∨ , α ∈ ∆B , du groupe G.
b Cela permet de
permutation sur la famille des représentations irréductibles R
0
α
poser la définition suivante :
Définition I.16. –
On note
b o ΓF → GL(R
bVinberg )
ρbVinberg : G
b o ΓF obtenue en
et on appelle “représentation de transfert de Vinberg” la représentation complexe de G
faisant la somme directe
M
bVinberg =
b$ ∨
R
R
α
α∈∆B0
b
des représentations irréductibles de G
b → GL(R
b$ ∨ )
G
α
41
associées aux différents copoids fondamentaux $α∨ , α ∈ ∆B0 .
Notons d’autre part w0 l’unique élément du groupe de Weyl SG0 qui transforme en B0 son sous-groupe
de Borel opposé B0op ⊃ T0 . Comme B0 et B0op sont définis sur F , l’élément w0 est fixé par l’action du groupe
de Galois ΓF .
Pour toute racine simple α ∈ ∆B0 , l’élément −w0 ($α ) est encore un poids fondamental du groupe
réductif semi-simple G0 . On peut donc introduire la représentation irréductible (à coefficients dans la clôture
séparable F de F ) R$α de
G = (T0 × G0 )/Z0
dont le poids dominant est ($α , −w0 ($α )).
On dispose alors de la représentation somme

G → GL 

M
R$α 
α∈∆B0
à coefficients dans F .
Le groupe de Galois ΓF agit sur l’ensemble des poids fondamentaux $α , α ∈ ∆B0 , donc il agit par
permutation
L sur la famille des représentations irréductibles R$α , α ∈ ∆B0 , du groupe G sur F . Par suite, la
somme
R$α peut être munie d’une structure F -linéaire telle que l’homomorphisme
α∈∆B0

G → GL 

M
R$α 
α∈∆B0
devienne défini sur F .
On pose ainsi :
Définition I.17. –
On note
RVinberg
l’espace vectoriel sur F tel que
RVinberg ⊗F F =
M
R$α
α∈∆B0
et
ρVinberg : G → GL(RVinberg )
la représentation bien définie sur F qui s’identifie sur F à la somme directe des représentations irréductibles
G → GL(R$α ) .
La représentation
ρVinberg : G → GL(RVinberg )
b de la représentation de transfert de Vinberg
est une immersion fermée. Il en est de même de la restriction à G
b o ΓF → GL(R
bVinberg ) .
ρbVinberg : G
42
Considérons encore les racines simples α ∈ ∆B0 . Elles consistent en des caractères
α : T0 → Gm
définis sur F .
Comme chaque α ∈ ∆B0 est triviale sur le centre Z0 de G0 , on peut aussi la voir comme un caractère
α : (T0 × G0 )/Z0 = G → T0 /Z0 → Gm
défini sur F .
De plus, la famille de ces caractères est permutée par l’action du groupe de Galois ΓF . Leur produit sur
toutes les racines α ∈ ∆B0 définit donc un homomorphisme sur F
det
detVinberg : G → TVinberg
det
de G vers le tore F -rationnel TVinberg
tel que
Y
det
TVinberg
×Spec F Spec F =
Gm .
α∈∆B0
On note encore
det
T Vinberg
det
la variété torique F -rationnelle affine lisse de tore TVinberg
telle que
det
Y
T Vinberg ×Spec F Spec F =
A1 .
α∈∆B0
On rappelle la définition de Vinberg :
Définition I.18. –
Le semi-groupe de Vinberg associé à un groupe réductif simplement connexe et quasi-déployé G0 sur F
est l’adhérence schématique
G
de
G = (T0 × G0 )/Z0
plongé dans le produit de l’espace matriciel
End(RVinberg )
et de la variété torique
det
T Vinberg
par l’immersion localement fermée
det
G ,→ End(RVinberg ) × T Vinberg
composée de l’immersion fermée
det
G ,→ GL(RVinberg ) × TVinberg
et de l’immersion ouverte
det
det
GL(RVinberg ) × TVinberg
⊂ End(RVinberg ) × T Vinberg .
43
6
Dualité de la représentation de transfert de Vinberg dans le cas
linéaire
On considère toujours le groupe de Vinberg
G = (T0 × G0 )/Z0
associé à un groupe réductif simplement connexe et quasi-déployé G0 sur F , et son groupe dual
b = (Tbad × G
b ad )/Zb0 .
G
0
0
Commençons par le lemme suivant :
Lemme I.19. –
Pour tout groupe réductif simplement connexe G0 quasi-déployé sur F , la représentation de Vinberg
associée
b o ΓF → GL(R
bVinberg )
ρbVinberg : G
b ad ∼
est centrale. Elle est libre si G
0 = SLr (C).
Démonstration : Par construction, on a la décomposition
M
bVinberg =
b$ ∨
R
R
α
α∈∆B0
b$∨ désigne la représentation complexe irréductible de
où, pour tout α ∈ ∆B0 , R
α
b = (Tb0ad × G
b ad
b
G
0 )/Z0
dont le poids dominant est le caractère ($α∨ , $α∨ ) du tore maximal
b0
Tb = (Tb0ad × Tb0ad )/Z
b
de G.
b$∨ , α ∈ ∆B , est le caractère
Le caractère central de chaque représentation irréductible R
0
α
$∨
α
ZGb = Tb0ad −→
C× .
Comme les copoids fondamentaux $α∨ , α ∈ ∆B0 , forment une base du réseau des caractères de Tb0ad = ZGb , on
c G est uniquement
conclut comme annoncé que la représentation ρbVinberg est centrale, et que son centre det
déterminé.
b$ ∨
Le même argument montre que la représentation ρbVinberg est “libre” si toutes les représentations R
α
sont “minuscules” au sens du lemme suivant, qui termine la démonstration :
Lemme I.20. –
Rappelons qu’une représentation irréductible d’un groupe réductif sur un corps algébriquement clos est
appelée “minuscule” si n’importe quel tore maximal de ce groupe agit sur l’espace de la représentation par
des caractères qui
• apparaissent tous avec la multiplicité 1,
• forment une seule orbite sous l’action du groupe de Weyl.
44
Alors :
(i) Toute représentation irréductible minuscule d’un groupe réductif simplement connexe admet pour poids
dominant un poids fondamental du tore maximal.
(ii) En sens inverse, pour que toutes les représentations irréductibles associées aux différents poids fondamentaux d’un groupe réductif simplement connexe soient minuscules, il faut et il suffit que ce groupe
soit isomorphe à l’un des SLr .
Montrons enfin :
Proposition I.21. –
Considérons toujours un groupe réductif simplement connexe G0 quasi-déployé sur F , son groupe de
Vinberg associé
G = (T0 × G0 )/Z0
et le dual de celui-ci
b = (Tb0ad × G
b ad
b
G
0 )/Z0 .
b ad ∼
Supposons que G
0 = SLr (C).
Alors la représentation de transfert de Vinberg
b o ΓF → GL(R
bVinberg )
ρbVinberg : G
est duale du semi-groupe de Vinberg
G ,→ G
défini comme l’adhérence schématique de G dans
det
End(RVinberg ) × T Vinberg .
b ad ∼
Démonstration : Comme G
= SLr (C), la représentation de Vinberg
b o ΓF → GL(R
bVinberg )
ρbVinberg : G
est “libre” d’après le lemme I.19.
D’après le lemme I.20, ses facteurs irréductibles
b → GL(R
b$ ∨ )
G
α
b
sont tous des représentations minuscules. Cela signifie que les caractères du tore maximal de G
Tb = (Tb0ad × Tb0ad )/Z0
bVinberg de ρbVinberg apparaissent tous avec la multiplicité 1 et que ce sont les
agissant sur l’espace R
($α∨ , $α∨ ) ,
α ∈ ∆B ,
ainsi que leurs transformés
($α∨ , w($α∨ )) ,
α ∈ ∆B ,
par l’action du groupe de Weyl SG0 .
45
w ∈ SGb = SG = SG0 ,
D’autre part, on a par construction
M
RVinberg =
R$α
α∈∆B0
où chaque R$α , α ∈ ∆B0 , est la représentation irréductible sur F de
G = (T0 × G0 )/Z0
dont le poids dominant est ($α , −w0 ($α )). Par hypothèse, toutes les représentations R$α sont minuscules
et les caractères de T = (T0 × T0 )/Z0 qui apparaissent dans son action sur RVinberg sont les
($α , −w($α )) ,
α ∈ ∆B0 ,
w ∈ SG0 .
Enfin, l’homomorphisme
det
detVinberg : G → TVinberg
s’écrit sur F comme la juxtaposition des caractères (α, 0) de T = (T0 × T0 )/Z0 vus comme des caractères de
G.
Pour achever la preuve de la proposition, il suffit désormais de montrer le lemme suivant :
Lemme I.22. –
Sous les hypothèses de la proposition précédente, on a :
b = (Tbad × G
b ad )/Z0 , le cône saturé
(i) Dans le réseau XGb = XTb des caractères du tore maximal Tb de G
0
0
dual du semi-groupe engendré par les
($α , −w($α )) ,
α ∈ ∆B 0 ,
w ∈ SG0 ,
est engendré par les
($α∨ , w($α∨ )) ,
α ∈ ∆B0 ,
w ∈ SG0 ,
et les
(α∨ , 0) ,
α ∈ ∆B0 .
(ii) Dans le réseau XGb = XTb , le cône saturé dual du semi-groupe engendré par les
($α , −w($α )) ,
α ∈ ∆B 0 ,
w ∈ SG0 ,
et les
α ∈ ∆B 0 ,
(α, 0) ,
est engendré par les
($α∨ , w($α∨ )) ,
α ∈ ∆B0 ,
w ∈ SG0 .
Démonstration :
(i) Le cône saturé dual du semi-groupe engendré par les
($α , −w($α )) ,
α ∈ ∆B0 ,
w ∈ SG0 ,
consiste en les paires de caractères
(µ, µ0 ) ∈ XTbad × XTbad = XT∨ad × XT∨ad
0
0
46
0
0
telles que
µ|Zb0 = µ0|Zb
0
et
h$α , µi − hw($α ), µ0 i ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B 0 ,
∀ w ∈ SG0 .
C’est équivalent à demander que
µ − µ0 ∈ XTb0 = XT∨0
et
h$α , µ − w(µ0 )i ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B0 ,
∀ w ∈ SG0 .
C’est encore équivalent à demander que
X
µ − w(µ0 ) ∈
N · α∨ ,
∀ w ∈ SG0 .
α∈∆B0
On voit que, comme annoncé, le cône saturé ainsi défini est engendré par les éléments
($α∨ , w($α∨ )) ,
α ∈ ∆B0 ,
w ∈ SG0 ,
et
(α∨ , 0) ,
α ∈ ∆B 0 .
(ii) Compte tenu de (i) et par symétrie de XT et XT∨ , il suffit de démontrer que le semi-groupe de XT∨ = XTb
engendré par les
($α∨ , w($α∨ )) , α ∈ ∆B0 , w ∈ SG0 ,
est saturé.
Cela résulte du lemme suivant :
Lemme I.23. –
b ad = SLr (C).
Conservons les hypothèses de la proposition et du lemme précédents selon lesquels G
0
Alors tout cocaractère
µ ∈ XT∨0 ⊂ XT∨ad
0
qui est dominant, c’est-à-dire vérifie
hα, µi ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B 0 ,
peut s’écrire comme une somme
X
µw
w∈SG0
où chaque µw est un élément dominant de XT∨ad et
0
X
w(µw ) = 0 .
w∈SG0
b ad = SLr (C), on a
Démonstration : Comme G
0
XT∨ad = Zr /Z
0
et
XT∨0 = {(n1 , . . . , nr ) ∈ Zr | r divise n1 + . . . + nr }/Z .
47
Un élément (n1 , n2 , . . . , nr ) de XT∨ad = Zr /Z est dominant si et seulement si
0
n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nr .
Écrivons un tel élément sous la forme
(n1 , n2 , . . . , nr )
=
(n1 − n2 ) · (1, 0, . . . , 0)
+
(n2 − n3 ) · (1, 1, 0, . . . , 0)
+
...
+
(nr−1 − nr ) · (1, 1, . . . , 1, 0)
+
nr · (1, 1, . . . , 1) .
Si n1 + n2 + . . . + nr = d · r pour un certain entier d ∈ Z, il existe des permutations
w1 , w2 , . . . , wr−1 ∈ Sr = SG0
telles que
(n1 − n2 ) · w1 (1, 0, . . . , 0)
+ (n2 − n3 ) · w2 (1, 1, 0, . . . , 0)
+
...
+
(nr−1 − nr ) · wr−1 (1, 1, . . . , 1, 0)
+
nr · (1, 1, . . . , 1, 1)
=
r · (1, 1, . . . , 1) .
C’est ce que l’on voulait.
Ceci termine la démonstration du lemme I.23 et donc aussi du lemme I.22 et de la proposition I.21.
48
Chapitre II :
Une notion symétrique plus souple :
le semi-groupe dual d’une représentation de transfert
1
Construction du semi-groupe dual d’une représentation
On considère toujours un groupe réductif (connexe) G quasi-déployé sur le corps de base F . Il est muni
d’un tore maximal T défini et quasi-déployé sur F et d’un sous-groupe de Borel B ⊃ T défini sur F . Connaı̂tre
G avec sa structure F -rationnelle quasi-déployée équivaut à connaı̂tre la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B)
munie de l’action du groupe de Galois ΓF .
b
La donnée radicielle duale (XT∨ , ∆∨
B , XT , ∆B ) définit le groupe réductif complexe G dual de G muni du
b
b
tore maximal T qui est le tore complexe dual de T , d’un sous-groupe de Borel B ⊃ Tb et d’une action du
b
groupe de Galois ΓF qui respecte Tb et B.
Une représentation de transfert est un homomorphisme continu
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Commençons par le lemme suivant :
Lemme II.1. –
Pour toute représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F , le groupe
Zbρ
des automorphismes de la représentation ρ est un sous-groupe algébrique de GLr (C) qui est isomorphe à un
produit de groupes linéaires.
Plus précisément, si ρ est la somme de k représentations irréductibles distinctes qui apparaissent avec
des multiplicités m1 , . . . , mk , on a
bρ ∼
Z
= GLm1 (C) × . . . × GLmk (C) .
En particulier, si ρ est irréductible, Zbρ n’est autre que le tore central Zr (C) = C× de GLr (C).
Remarque. Par définition de Zbρ , l’action (par conjugaison) de ΓF sur GLr (C) laisse invariant tout point
bρ .
de Z
Démonstration du lemme : Cela résulte de ce que :
49
b est un groupe réductif complexe et ΓF est un groupe profini, toute représentation continue
• Comme G
b o ΓF → GLr (C)
G
se décompose comme une somme directe de représentations irréductibles.
• Si ρ et ρ0 sont deux représentations irréductibles, on a
C si ρ ∼
= ρ0 ,
Hom(ρ, ρ0 ) =
0 sinon.
Pour toute représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
on dispose de la représentation complétée
b o ΓF ) × Z
bρ = (G
b×Z
bρ ) o ΓF → GLr (C) .
(G
Disons qu’une telle représentation
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est “non dégénérée” si le noyau de sa restriction à la composante neutre
b → GLr (C)
G
b On remarque que dans ce cas la représentation complétée
est contenu dans le centre ZGb ⊂ Tb de G.
b × Zbρ ) o ΓF → GLr (C)
(G
est également non dégénérée. De plus, le noyau de l’homomorphisme
b × Zbρ → GLr (C)
G
est respecté par l’action de ΓF .
Nous pouvons maintenant poser la définition suivante :
Définition II.2. –
Considérons une représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
Alors :
b ρ le groupe algébrique complexe quotient du produit
(i) On note G
b×Z
bρ
G
par le noyau de l’homomorphisme induit par ρ
b×Z
bρ → GLr (C) .
G
bρ ) et d’une action du groupe de
C’est un groupe réductif complexe, muni d’une paire de Borel (Tbρ , B
Galois ΓF .
50
(ii) On note Gρ , et on appelle “groupe dual de ρ” le groupe réductif quasi-déployé sur F dont le dual est
bρ .
G
Avec son tore maximal Tρ défini et quasi-déployé sur F , égal au tore dual de Tbρ , et son sous-groupe de
b ρ à unique isomorphisme près.
Borel Bρ ⊃ Tρ défini sur F , il est déterminé par son dual G
Dans la situation de cette définition, l’homomorphisme
Zbρ → GLr (C)
est une immersion fermée par définition de Zbρ .
Par conséquent, le noyau de l’homomorphisme
b × Zbρ → GLr (C) ,
G
b × Zbρ , se projette isomorphiquement sur un sous-groupe du centre Z b de
qui est contenu dans le centre de G
G
b : ce sous-groupe est constitué des éléments dont l’image dans GLr (C) appartient au centre de Z
bρ .
G
En particulier, si la représentation de transfert ρ est injective et irréductible, le noyau de l’homomorphisme
b × Zbρ → GLr (C)
G
b constitué des éléments fixés par l’action
se projette isomorphiquement sur le sous-groupe du centre ZGb de G
du groupe de Galois ΓF .
On a :
Lemme II.3. –
Considérons comme dans la définition précédente une représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
Notons Zρ ∼
= GLm1 × . . . × GLmk le groupe linéaire déployé sur F qui est le dual du groupe linéaire
∼
b
complexe Zρ = GLm1 (C) × . . . × GLmk (C).
Alors :
(i) On dispose d’un homomorphisme canonique
Gρ → G × Zρ
bien défini sur F .
Le noyau de cet homomorphisme est un groupe fini contenu dans le centre ZGρ de Gρ , et son conoyau
b → GLr (C)
est un tore quasi-déployé sur F (et même déployé sur F si le noyau de l’homomorphisme G
est fini).
(ii) Le conoyau de l’homomorphisme
Gρ → G
est un tore quasi-déployé sur F . Il est trivial si le noyau de l’homomorphisme
b → GLr (C)
G
est fini.
51
(iii) Si la représentation ρ est irréductible, le noyau de l’homomorphisme
Gρ → G
est contenu dans le centre ZGρ de Gρ . Sa composante neutre est triviale ou isomorphe au tore déployé
Gm .
(iv) La représentation de transfert
b ρ o ΓF → GLr (C)
G
est “centrale” (au sens de la définition I.4).
Son centre
c G : C× → Z b ,→ Tbρ
det
ρ
Gρ
est uniquement déterminé, ainsi donc que le caractère correspondant
detGρ : Gρ → Gm .
Nous pouvons maintenant introduire deux semi-groupes naturellement associés à la représentation de
transfert ρ dans le réseau XTbρ = XT∨ρ des caractères de Tbρ et son réseau dual XT∨b = XTρ :
ρ
Lemme II.4. –
Étant donnée une représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F , considérons les caractères ρ1T , . . . , ρrT ∈ XTbρ par lesquels le tore
b ρ agit sur l’espace Cr de la représentation ρ.
maximal Tbρ de G
Alors :
(i) Le semi-groupe hρ1T , . . . , ρrT i engendré dans le réseau XTbρ = XT∨ρ par les éléments ρ1T , . . . , ρrT est stable
par la double action du groupe de Weyl SGρ et du groupe de Galois ΓF .
Il engendre le réseau XTbρ tout entier et ne contient pas de droite c’est-à-dire vérifie
hρ1T , . . . , ρrT i ∩ (− hρ1T , . . . , ρrT i) = {0} .
(ii) Le dual
XT ρ = {χ ∈ XTρ | hχ, ρiT i ≥ 0 ,
1 ≤ i ≤ r}
du semi-groupe hρ1T , . . . , ρrT i est un cône saturé de XTρ = XT∨b qui est stable par la double action de
ρ
SGρ et de ΓF .
Il engendre le réseau XTρ tout entier et ne contient pas de droite.
Démonstration :
(i) Le semi-groupe hρ1T , . . . , ρrT i est respecté par l’action de SGρ et de ΓF car il en est ainsi de la famille
des caractères ρ1T , . . . , ρrT .
Il engendre le réseau XTbρ tout entier car, par construction, l’homomorphisme
b ρ → GLr (C)
G
52
est injectif.
Enfin, il ne contient pas de droite car le cocaractère
c G : C× → Z b ,→ Tbρ
det
ρ
Gρ
définit une forme linéaire sur XTbρ qui vérifie
c G , ρi i = 1 ,
hdet
T
ρ
1 ≤ i ≤ r.
(ii) Comme hρ1T , . . . , ρrT i est respecté par SGρ et ΓF , il en est de même de son dual XT ρ .
Celui-ci engendre XTρ tout entier [resp. ne contient pas de droite] car hρ1T , . . . , ρrT i ne contient pas de
droite [resp. engendre le réseau XTbρ = XT∨ρ tout entier].
Dans la situation de ce lemme, on pourra noter
XT∨ρ ⊂ XT∨ρ
le cône saturé de XT∨ρ = XTbρ dual du cône saturé XT ρ de XTρ = XT∨b . Il et obtenu par saturation du
ρ
semi-groupe hρ1T , . . . ρrT i.
Le théorème I.2 permet de poser la définition suivante, due à Braverman et Kazhdan (voir le paragraphe 5.5 de l’article [Braverman,Kazhdan,2000]) :
Définition II.5. –
Soit
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
une représentation de transfert non dégénérée d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
On note
Gρ
et on appelle “semi-groupe dual de ρ” l’unique semi-groupe normal de groupe Gρ associé au cône saturé
XT ρ ⊂ XTρ
ou à son dual
XT∨ρ ⊂ XT∨ρ = XTbρ .
On note naturellement T ρ la variété torique affine normale de tore Tρ définie comme l’adhérence schématique de Tρ dans Gρ ou, si l’on préfère, comme le spectre de l’algèbre du semi-groupe XT ρ .
Si une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est centrale et duale d’un semi-groupe
G ,→ G
au sens de la définition I.3 et du chapitre I, alors l’homomorphisme canonique
G → Gρ
53
est un isomorphisme et G s’identifie au semi-groupe Gρ dual de ρ.
La réciproque est évidemment fausse :
Toute représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
admet un semi-groupe dual Gρ , alors que très rares sont celles qui sont duales d’un semi-groupe au sens de
la définition I.3.
2
Semi-groupes de type dual
On a le lemme suivant :
Lemme II.6. –
Considérons une représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
Alors :
(i) La représentation de transfert induite
b 0 o ΓF = G
b ρ o ΓF → GLr (C)
ρ0 : G
du groupe réductif quasi-déployé G0 = Gρ sur F vérifie les propriétés suivantes :
(1) La restriction
b 0 → GLr (C)
G
est injective et, a fortiori, ρ0 est non dégénérée.
(2) Les facteurs irréductibles de ρ0 apparaissent tous avec la multiplicité 1 ou, ce qui est équivalent,
le sous-groupe
bρ0 ⊂ GLr (C)
Z
des automorphismes de ρ0 est un tore.
bρ0 ⊂ GLr (C) est contenu dans l’image de G
b0 .
(3) Le sous-groupe Z
F
b0
(4) Plus précisément, si ZG
b0 de G constitué des éléments fixés
b0 désigne le sous-groupe du centre ZG
par l’action du groupe de Galois ΓF , l’homomorphisme
b 0 → GLr (C)
G
induit un isomorphisme
∼ b
F
ZG
b0 −→ Zρ0 .
(ii) Réciproquement, si G0 = G et ρ0 = ρ vérifient les propriétés (1), (2) et (3) ci-dessus, ils vérifient aussi
la propriété (4) et l’homomorphisme canonique
Gρ → G = G0
est un isomorphisme.
54
On peut poser :
Définition II.7. –
(i) Une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif quasi-déployé G sur F sera dite “réduite” si
b → GLr (C) est injective,
(1) la restriction ρ0 : G
(2) les composantes irréductibles de ρ apparaissent toutes avec la multiplicité 1,
∼ b
(3) ρ induit un isomorphisme Z F −→ Z
ρ,
b
G
b dans le tore maximal Tbr = (C× )r de GLr (C) et définit donc une
(4) ρ envoie le tore maximal Tb de G
famille de r caractères
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → (C× )r .
(ii) Un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G seront dits “de
type dual” s’il existe une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
telle que le semi-groupe G s’identifie à Gρ .
3
Semi-groupes duaux croisés
Le procédé général de construction des semi-groupes duaux développé au paragraphe 1 permet en particulier d’étendre le “produit tensoriel avec un groupe linéaire” introduit comme exemple d) dans le paragraphe I.4 :
Proposition II.8. –
Soit une représentation de transfert non dégénérée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif G quasi-déployé sur F .
Pour tout entier r0 ≥ 2, on considère la représentation de transfert non dégénérée
b × GLr0 (C)) o ΓF = (G
b o ΓF ) × GLr0 (C) −→
ρ ⊗ Idr0 : (G
0
(g, g ) 7−→
définie comme le produit tensoriel de ρ avec l’identité de GLr0 (C).
Alors :
(i) Le groupe réductif Gρr0 dual de ρ ⊗ Idr0 est le sous-groupe de
Gρ × GLr0
défini comme
{(g, g 0 ) ∈ Gρ × GLr0 | detGρ (g) = det(g 0 )} .
55
GLrr0 (C)
ρ(g) ⊗ g 0
b ρ 0 s’identifie au quotient de
(ii) Son dual G
r
b ρ × GLr0 (C)
G
par le sous-tore central
C×
z
,→ ZGbρ × Zr0 (C)
c G (z), z −1 )
(det
ρ
7→
et la représentation de transfert
b ρ 0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
r
est le quotient par le sous-tore central C× de l’homomorphisme
b ρ o ΓF ) × GLr0 (C) −→
(G
0
(g, g ) 7−→
GLrr0 (C)
ρ(g) ⊗ g 0 .
(iii) Le semi-groupe Gρr0 dual de ρ ⊗ Idr0 ou ρr0 est la normalisation de l’adhérence schématique de Gρr0
dans le semi-groupe produit
Gρ × Mr0
de groupe Gρ × GLr0 .
Sa variété torique normale associée T ρr0 est l’adhérence schématique du sous-tore Tρr0 de Tρ × Tr0 dans
la variété torique produit T ρ × T r0 .
Remarque. Lorsque la représentation ρ est irréductible, alors les semi-groupes Gρr0 de groupes Gρr0 sont
aussi les duaux, au sens de la définition II.5, de la représentation de transfert non dégénérée
0
b o ΓF → GLrr0 (C)
ρr : G
définie comme la somme directe de r0 copies de la représentation ρ.
Démonstration de la proposition : Le seul point délicat est de montrer que l’adhérence schématique de
Tρr0 dans la variété torique T ρ × T r0 est normale.
0
0
Or le cône saturé XT r0 plongé dans le réseau XTr0 s’identifie à Nr plongé dans Zr .
D’autre part, XT ρ est un cône saturé du réseau XTρ .
0
Le réseau XTρ 0 est le quotient de XTρ × XTr0 = XTρ × Zr par la droite engendrée par l’élément
r
(detGρ , − det) dont la première composante detGρ est élément du cône XT ρ ⊂ XTρ et la seconde composante
0
− det a pour coordonnées (−1, . . . , −1) dans XTr0 = Zr .
Il s’agit de prouver que l’image dans le réseau XTρ
0
r0
du cône XT ρ × XT r0 = XT ρ × Nr est saturée.
Considérons un élément
(χ, n1 , . . . , nr0 ) ∈ XTρ × XTr0 = XTρ × Zr
dont l’image dans le réseau XTρ
r0
0
appartient à la saturation de l’image du cône XT ρ × XT r0 .
Il existe donc un élément c ∈ Q tel que
(χ, n1 , . . . , nr0 ) − c · (detGρ , −1, . . . , −1)
soit élément du cône rationnel engendré par XT ρ × XT r0 .
56
Comme detGρ est élément du cône XT ρ , le point entier
(χ, n1 , . . . , nr0 ) − [c] · (detGρ , −1, . . . , −1)
est élément du cône saturé XT ρ × XT r0 .
Cela prouve ce que l’on voulait.
Généralisant la définition qui suit la proposition I.11 du paragraphe I.4, on peut poser :
Définition II.9. –
Soient un groupe réductif G quasi-déployé sur F et une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est “réduite” au sens de la définition II.7 si bien qu’elle admet un semi-groupe dual G de groupe G.
Alors, pour tout entier r0 ≥ 2, on note
Gr0 = Gρr0
le semi-groupe normal de groupe
Gr0 = Gρr0
défini comme le dual de l’homomorphisme de transfert
b × GLr0 (C)) o ΓF → GLrr0 (C) .
ρ ⊗ Idr0 : (G
On appelle Gr0 [resp. Gr0 ] le semi-groupe [resp. le groupe] “croisé de degré r0 ” de G [resp. de G].
Il résulte de la proposition II.8 que, pour tout entier r0 ≥ 2, on a :
• Le groupe réductif quasi-déployé Gr0 sur F est le sous-groupe de G × GLr0 défini comme
{(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )} .
b r0 est le quotient de
• Son dual G
b × GLr0 (C)
G
par le cocaractère central
C×
,→
F
ZG
b × Zr 0 (C) ,
z
7→
c G (z), z −1 ) .
(det
• La variété torique affine normale T Gr0 qui définit le semi-groupe Gr0 est l’adhérence schématique du
tore maximal TGr0 de Gr0 dans TG × Tr0 .
• Le semi-groupe Gr0 est la normalisation de l’adhérence schématique de Gr0 dans G × Mr0 .
57
4
Représentations de transfert bien disposées
La définition suivante sera très utile :
Définition II.10. –
Étant donné un groupe réductif G quasi-déployé sur F , une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
sera dite “bien disposée” si elle vérifie les conditions suivantes :
b → GLr (C) de ρ est injective.
(1) La restriction ρ0 : G
b → GLr (C), et a fortiori ceux de ρ, apparaissent
(2) Les facteurs irréductibles de la représentation ρ0 : G
tous avec la multiplicité 1.
(3) ρ induit un isomorphisme
ZGb → Zbρ0 ,
b vers le groupe Z
bρ0 des automorphismes de ρ0 : G
b → GLr (C), et a fortiori il induit
du centre ZGb de G
un isomorphisme
F
b
ZG
b → Zρ .
b dans le tore maximal Tbr = Tr (C) = (C× )r de GLr (C) et définit donc
(4) ρ envoie le tore maximal Tb de G
une famille de r caractères
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → (C× )r .
(5) Le groupe de Galois ΓF agit sur l’espace Cr de GLr (C) par des permutations des r vecteurs de sa base
canonique.
(6) Si E désigne l’algèbre finie séparable sur F associée à l’action de ΓF sur l’ensemble des r vecteurs de la
Q ×
base canonique de Cr , et TE = ResE/F Gm désigne le tore quasi-déployé sur F dual de TbE =
C ,
1≤i≤r
alors le noyau Tρ de l’épimorphisme
TE → T
dual du plongement ΓF -équivariant
Y
ρT : Tb ,→
C× = TbE
1≤i≤r
vérifie
H 1 (F 0 , Tρ ) = 0
pour toute extension F 0 de F .
(7) Il existe une décomposition de E en un produit de corps
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
b → GLr (C) s’envoie dans le
ResEi /F GLmi , l’homomorphisme ρ0 : G
telle que, en notant GLE =
1≤i≤e
Q
cE = Q
dual GL
GLmi (C) identifié à un sous-groupe de Levy de GLr (C) contenant Tbr .
Q
1≤i≤e ι:Ei ,→F
De plus, l’homomorphisme induit
0
ZE → ZG
du centre ZE =
Q
1≤i≤e
0
ResEi /F Gm de GLE vers la composante neutre ZG
du centre ZG de G est un
épimorphisme de noyau fini.
58
Remarques.
(i) Les représentations de transfert “bien disposées” sont réduites.
b o ΓF → GLr (C) qui possède les propriétés (1), (2) et (3) de la
(ii) Toute représentation de transfert ρ : G
définition peut être remplacée par une représentation conjuguée qui possède aussi la propriété (4). En
revanche, les propriétés (5), (6) et (7) sont plus restrictives.
(iii) Pour que la condition (6) soit vérifiée, il suffit d’après le “théorème 90” de Hilbert que le noyau Tρ de
l’épimorphisme TE → T soit de la forme
Tρ ∼
= ResE 0 /F Gm
pour une certaine algèbre finie séparable E 0 sur F .
(iv) Se donner un corps Ei extension finie séparable de F équivaut à se donner un ensemble fini
Ii = {ι : Ei ,→ F }
muni d’une action transitive de ΓF .
Par conséquent, se donner une décomposition
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
équivaut à se donner une décomposition ΓF -équivariante
a
∼
{1, 2, . . . , r} −→
{1, 2, . . . , mi } × Ii .
1≤i≤e
C’est ce qui permet d’identifier le dual
cE =
GL
Y
Y
GLmi (C)
1≤i≤e ι∈Ii
de GLE =
Q
Q ×
ResEi /F GLmi à un sous-groupe de Levy de GLr (C) contenant Tbr =
C .
1≤i≤e
1≤i≤r
ab
cE
GL
c E par son sous-groupe des commutateurs,
(v) Le centre ZE de GLE est dual du tore
quotient de GL
0
ab
b
b
b
b L’homomorphisme ZE → Z 0 est défini
et de même ZG est dual du tore quotient G = G/[G, G].
G
ab
b ab → GL
c E induit par G
b → GL
c E.
comme le dual de l’homomorphisme ΓF -équivariant G
b o ΓF → GLr (C) est bien disposée, il en est de même de ses
(vi) Si une représentation de transfert ρ : G
représentations croisées
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
de tous degrés r0 ≥ 2.
On déduit de la définition des “représentations de transfert bien disposées” :
Lemme II.11. –
Considérons une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Alors on a avec les notations de la définition :
59
(i) Les composantes
b → GLm (C)
G
i
de l’homomorphisme
b ,→ GL
cE =
G
Y
Y
GLmi (C)
1≤i≤e ι:Ei ,→F
sont des représentations irréductibles.
(ii) Le tore Gab quotient de G par son sous-groupe des commutateurs s’identifie au tore
Y
GLab
ResEi /F Gm
E =
1≤i≤e
quotient de GLE par son sous-groupe des commutateurs.
(iii) On a un carré commutatif de tores
ZE −−−−→ GLab
E




y
y
0
ZG
−−−−→ Gab
où la flèche verticale de droite est un isomorphisme et les trois autres flèches sont des épimorphismes
de noyau fini.
Démonstration : Le tore Gab est dual du centre ZGb qui est isomorphe au groupe Zbρ0 des automorphismes
de ρ0 et donc est un tore connexe. De même, GLab
cE.
E est dual du tore central ZGL
0
ZG
b0
b → GLr (C) s’envoie dans GL
c E , le tore Z
bρ0 contient Z c . Or Z b ∼
Comme ρ0 : G
G = Zρ a même rang que
GLE
et donc aussi que ZE et Z c . On en déduit que Zbρ0 = Z c et par conséquent que tous les facteurs de
GLE
GLE
b → GL
cE =
ρ0 : G
Y
Y
GLmi (C)
1≤i≤e ι:Ei ,→F
sont irréductibles.
Cela prouve toutes les affirmations du lemme.
Une représentation de transfert irréductible
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
n’est pas nécessairement conjuguée à une représentation de transfert “bien disposée” mais on peut prouver :
Proposition II.12. –
Soit G un groupe réductif quasi-déployé sur F .
Alors toute représentation de transfert irréductible
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est facteur direct de la composée d’une représentation de transfert “bien disposée”
b 0 o ΓF → GLr0 (C)
ρ=G
d’un groupe réductif G0 quasi-déployé sur F et d’un homomorphisme
b o ΓF → G
b 0 o ΓF
G
60
qui est le dual d’un homomorphisme bien défini sur F
G0 → G .
Remarque. Un homomorphisme
G0 → G
entre deux groupes quasi-déployés sur F admet un dual
G o ΓF → G0 o ΓF
dans les trois cas suivants :
(1) Le noyau de G0 → G est contenu dans le centre de G0 , son image est un sous-groupe distingué de G et
son conoyau est un tore.
(2) G0 est un tore qui s’envoie dans le centre de G.
(3) G est un tore.
61
62
Chapitre III :
Fonctions sphériques sur un semi-groupe local
1
Structures entières
On suppose désormais que le corps de base F est un “corps de fonctions”, c’est-à-dire le corps des fonctions
rationnelles d’une courbe projective, lisse et géométriquement connexe sur un corps Fq à q éléments.
On note |F | l’ensemble des places de F , qui correspondent aux points fermés de la courbe.
À toute place x ∈ |F | sont associés le corps local Fx complété de F en x, son anneau des entiers Ox , le
cardinal qx = q deg(x) du corps résiduel de Ox , la valuation vx : Fx× /Ox× → Z et la norme locale x-adique
Fx
→
a 7→
qxZ ∪ {0} ,
|a|x = qx−vx (a) .
On considère un groupe réductif G quasi-déployé sur F , muni d’un tore maximal T défini et quasi-déployé
sur F et d’un sous-groupe de Borel B ⊃ T défini sur F . On note NB le radical unipotent de B.
On considère d’autre part une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G est “non
ramifié” : cela signifie que l’action sur la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) de G du groupe de Galois ΓFx
du corps local Fx se factorise à travers son quotient non ramifié Γnr
Fx engendré par l’élément de Frobenius σx .
On sait alors que G muni de la paire de Borel (T, B) possède un modèle entier canonique (GOx , TOx , BOx )
sur l’anneau Ox : c’est un schéma en groupes lisse GOx sur Ox muni de deux sous-schémas fermés en groupes
lisses TOx et BOx et dont la fibre au-dessus du corps résiduel de Ox s’identifie au groupe réductif quasi-déployé
associé sur ce corps à la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) munie de l’action de σx .
Comme ce modèle entier (GOx , TOx , BOx ) est canonique, on peut le noter plus simplement (G, T, B).
Alors les notations
G(Ox ) , T (Ox ) , B(Ox ) , NB (Ox )
définissent sans ambiguı̈té des sous-groupes ouverts compacts des groupes toplogiques G(Fx ), T (Fx ), B(Fx )
et NB (Fx ).
Un tel modèle entier d’un groupe réductif G non ramifié en une place se prolonge canoniquement en un
modèle entier de n’importe quel semi-groupe G de groupe G :
Lemme III.1. –
Soit (G, T, B) un groupe réductif quasi-déployé sur F et non ramifié en une place x ∈ |F |.
Soit d’autre part un semi-groupe normal G de groupe G, muni de la variété torique normale T de tore T
dont le cône saturé associé XT ⊂ XT définit G.
Alors le modèle entier (GOx , TOx , BOx ) de (G, T, B) se prolonge de manière unique en un modèle entier
(GOx , T Ox ) de (G, T ) où :
63
• GOx est un schéma en semi-groupes plat sur Ox ,
• T Ox est une variété torique plate sur Ox , plongée dans GOx comme sous-schéma fermé,
• la fibre de (GOx , T Ox ) au-dessus du corps résiduel de Ox s’identifie au semi-groupe normal associé sur
ce corps au cône saturé XT ⊂ XT stable par l’action de σx .
Démonstration : Il existe une extension finie non ramifiée Fx0 de Fx dont le groupe de Galois ΓFx0 agit
trivialement sur la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ).
Si Ox0 désigne l’anneau des entiers de Fx0 , l’image réciproque sur Ox0 du modèle entier (GOx , TOx , BOx ) de
(G, T, B) est constante : elle s’identifie à l’image réciproque (GOx0 , TOx0 , BOx0 ) par le morphisme de structure
Spec(Ox0 ) → Spec(Fq )
du groupe réductif déployé sur Fq dont la donnée radicielle est (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ).
De plus, le morphisme
Spec(Ox0 ) → Spec(Ox )
induit par le plongement Fx ,→ Fx0 est un revêtement fini étale galoisien dont le groupe de Galois est engendré
par l’élément de Frobenius σx .
0 , TO 0 , BO 0 ) une donnée de recollement qui définit,
L’action de σx sur (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) induit sur (GOx
x
x
par descente galoisienne, le modèle entier (GOx , TOx , BOx ).
Or le cône saturé XT ⊂ XT stable par l’action du groupe de Weyl SG définit un semi-groupe normal sur
Fq dont le groupe est le groupe réductif déployé associé à (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ). Son image réciproque par le
morphisme de structure
Spec(Ox0 ) → Spec(Fq )
définit un schéma en semi-groupes (GOx0 , T Ox0 ) plat sur Spec(Ox0 ) qui contient (GOx0 , TOx0 ) comme sous-schéma
ouvert dense.
Comme le cône saturé XT ⊂ XT est stable par l’action de σx , la donnée de recollement de (GOx0 , TOx0 , BOx0 )
se prolonge en une donnée de recollement de (GOx0 , T Ox0 ).
Par descente galoisienne, celle-ci définit un schéma en semi-groupes GOx plat sur Ox et une sous-variété
torique normale T Ox plate sur Ox qui répondent à la question posée.
Comme le modèle entier (GOx , T Ox ) de (G, T ) sur Ox est uniquement déterminé, on pourra le noter
simplement (G, T ).
La structure entière de G et T permet d’introduire les semi-groupes de points entiers G(Ox ) et T (Ox )
plongés dans G(Fx ) et T (Fx ). Ces semi-groupes sont des parties ouvertes et compactes de G(Fx ) et T (Fx )
munis de la topologie induite par la structure de variété algébrique affine de G et T et par la topologie
naturelle de Fx et de ses puissances.
Dans la suite, on s’intéressera au cas où le semi-groupe G de groupe G est dual d’une représentation de
transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
nécessairement “réduite” au sens de la définition II.7 du paragraphe II.2
64
2
Décomposition spectrale des fonctions sphériques sur un groupe
réductif local et ses croisés
Dans ce paragraphe, on considère un groupe réductif G quasi-déployé sur F muni d’un caractère surjectif
bien défini sur F
detG : G → Gm
qui correspond à un cocaractère central
c G : C× ,→ Z b ,→ Tb
det
G
b dual de G.
fixé par l’action de ΓF sur le tore maximal Tb du groupe G
0
Pour tout degré r ≥ 2, on dispose du groupe réductif quasi-déployé croisé
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )}
muni de son tore maximal
TGr0 = {(t, t0 ) ∈ T × Tr0 | detG (t) = det(t0 )} .
b r0 est le quotient de G
b × GLr0 (C) par le cocaractère central
Son dual G
C×
z
,→ ZGb × Zr0 (C) ,
c G (z), z −1 ) ,
7→ (det
et le dual TbGr0 de TGr0 est le quotient de Tb × Tr0 (C) par ce même cocaractère.
On considère une place x ∈ |F | en laquelle le groupe quasi-déployé G est non ramifié. Il en est de même
de tous ses groupes croisés Gr0 , r0 ≥ 2.
Cela permet de choisir sur G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx )] la mesure de Haar dgx qui attribue le volume 1 au
sous-groupe ouvert compact G(Ox ) [resp. Gr0 (Ox )] puis de définir l’algèbre de Hecke sphérique locale
G
G
Hx,∅
[resp. Hx,∅r0 ] .
C’est l’algèbre de convolution des fonctions à support compact sur G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx )] qui sont invariantes
à droite et à gauche par G(Ox ) [resp. Gr0 (Ox )].
Nous voulons expliciter la forme de la décomposition spectrale des fonctions sphériques sur les groupes
croisés Gr0 (Fx ). Dans ce but, rappelons d’abord la forme de celle sur le groupe G(Fx ).
On note Txd le plus grand sous-tore déployé sur Fx contenu dans le tore maximal Tx = T du groupe
réductif G quasi-déployé et non ramifié sur Fx . Le réseau XT∨d des cocaractères de Txd est le sous-réseau de
x
XT∨ constitué des éléments fixés par l’action de l’élément de Frobenius σx . Le tore déployé Txd est muni d’une
action du groupe de Weyl Fx -rationnel de G
SxG = {w ∈ SG | σx (w) = w} .
Le tore dual Tbxd du tore déployé Txd s’identifie au conoyau de l’homomorphisme de tores complexes
Tb
→
Tb ,
λ
7→
λ · σx (λ)−1 .
Il contient le sous-tore réel compact Im Tbxd constitué des éléments λ ∈ Tbxd dont “tous les modules valent 1”
au sens que, pour tout caractère algébrique χ : Tbxd → C× , on a
|χ(λ)| = 1 .
65
La transformation de Satake définit un isomorphisme
∼
x
G
SxG : Hx,∅
−→
C[Tbxd ]SG
hx
7−→
SxG (hx )
G
de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
vers l’algèbre des polynômes sur le tore Tbxd qui sont invariants par le
groupe de Weyl Fx -rationnel SxG .
Toute fonction sphérique à support compact
G
hx ∈ Hx,∅
se décompose spectralement sous la forme
Z
hx (gx ) =
dλ · SxG (hx )(λ) · ϕG
x,λ (gx ) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
Im Tbxd
où :
• dλ désigne la “mesure de Plancherel”, invariante par SxG , sur le tore réel compact Im Tbxd ,
• pour toute valeur propre λ ∈ Tbxd , ϕG
x,λ désigne l’unique fonction sphérique
ϕG
x,λ : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
G
qui est vecteur propre de valeur propre λ pour l’action par convolution de Hx,∅
au sens que
G
G
G
ϕG
x,λ ∗ ϕx = ϕx ∗ ϕx,λ = Sx (ϕx )(λ) · ϕx,λ ,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
,
et qui est normalisée par la condition
ϕG
x,λ (1) = 1 .
Étant donné un entier r0 ≥ 1, rappelons la forme générale de la décomposition spectrale des fonctions
sphériques sur le groupe linéaire déployé GLr0 (Fx ).
0
Le tore maximal Tr0 = Grm de GLr0 est déployé et son dual s’identifie à
0
Tbr0 = (C× )r
qui contient le sous-tore réel compact des éléments dont tous les modules valent 1
0
Im Tbr0 = U (1)r .
Le groupe de Weyl SGLr0 de GLr0 s’identifie au groupe symétrique Sr0 et il agit sur Tr0 et son dual Tbr0 .
La transformation de Satake est un isomorphisme
0
0
∼
r
Sxr : Hx,∅
−→
Sr0
C[Tbr0 ]Sr0 = C[X1±1 , . . . , Xr±1
0 ]
h0x
7−→
Sxr (h0x )
0
0
r
Sr0
de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
de GLr0 (Fx ) vers l’algèbre C[Tbr0 ]Sr0 = C[X1±1 , . . . , Xr±1
des po0 ]
0
×
r
b
lynômes symétriques sur le tore Tr0 = (C ) .
Toute fonction sphérique à support compact
0
r
h0x ∈ Hx,∅
se décompose spectralement sous la forme
Z
0
0
h0x (gx0 ) =
dz · Sxr (h0x )(z) · ϕrx,z (gx0 ) ,
Im Tbr0
où :
66
∀ gx0 ∈ GLr0 (Fx ) ,
0
• dz désigne la “mesure de Plancherel”, qui est symétrique, sur le tore réel compact Im Tbr0 = U (1)r ,
0
0
• pour toute valeur propre z ∈ Tbr0 = (C× )r , ϕr désigne l’unique fonction sphérique
x,z
0
ϕrx,z : GLr0 (Ox )\GLr0 (Fx )/GLr0 (Ox ) → C
0
r
qui est vecteur propre de valeur propre z pour l’action par convolution de Hx,∅
au sens que
0
0
0
0
ϕrx,z ∗ ϕ0x = ϕ0x ∗ ϕrx,z = Sxr (ϕ0x )(z) · ϕrx,z ,
et qui est normalisée par la condition
0
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
0
ϕrx,z (1) = 1 .
Revenons maintenant au groupe réductif G quasi-déployé sur F muni du caractère surjectif
detG : G → Gm
qui correspond à un cocaractère central
c G : C× ,→ Z F ,→ Z b ,→ Tb .
det
b
G
G
Pour tout degré r0 , le tore maximal TGr0 du groupe croisé Gr0 de degré r0 de G s’identifie au sous-tore
{(t, t0 ) ∈ T × Tr0 | detG (t) = det(t0 )}
et son dual TbGr0 s’identifie au quotient de
Tb × Tbr0
par le cocaractère central
C×
,→
z
7→
ZGb × Zr0 (C) ,
c G (z), z −1 ) .
(det
c G de Tb, on a :
Comme le groupe de Galois ΓF agit trivialement sur Tbr0 et sur le cocaractère det
Lemme III.2. –
En toute place x ∈ |F | où le groupe réductif quasi-déployé G est non ramifié, son groupe croisé Gr0 de
degré r0 est également non ramifié.
Le plus grand sous-tore de TGr0 déployé sur Fx
TGx,d
,→ TGx r0 = TGr0
r0
est égal au sous-tore
{(t, t0 ) ∈ Txd × Tr0 | detG (t) = det(t0 )}
et son tore dual TbGx,d
s’identifie au quotient de
r0
Tbxd × Tbr0
par le cocaractère central
67
C×
z
,→ ZGb × Zr0 (C) ,
c G (z), z −1 ) .
7→ (det
En toute place x ∈ |F | où G est non ramifié, on a un isomorphisme canonique
∼
0
G×GLr0
G
r
Hx,∅
⊗ Hx,∅
−→ Hx,∅
vers l’algèbre de Hecke sphérique du groupe produit G × GLr0 sur Fx .
De plus, le sous-groupe ouvert compact Gr0 (Ox ) du groupe croisé Gr0 (Fx ) est égal à l’intersection de
(G × GLr0 )(Ox ) = G(Ox ) × GLr0 (Ox ) avec le sous-groupe Gr0 (Fx ) de (G × GLr0 )(Fx ) = G(Fx ) × GLr0 (Fx ),
et la restriction des fonctions sur (G × GLr0 )(Fx ) au sous-groupe Gr0 (Fx ) définit un homomorphisme linéaire
G×GLr0
Hx,∅
G
→ Hx,∅r0
0
G
G
r
qui est surjectif. Pour toutes fonctions hx ∈ Hx,∅
et h0x ∈ Hx,∅
, on pourra noter encore hx ⊗ h0x ∈ Hx,∅r0 la
fonction sphérique sur Gr0 (Fx ) induite par leur produit tensoriel.
D’autre part, le tore complexe TbGx,d
quotient du tore produit Tbxd × Tbr0 par C× est muni, comme son tore
r0
dual TGx,d
, d’une action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxGr0 = SxG × Sr0 de Gr0 .
r0
Comme les mesures de Plancherel dλ et dz sur Im Tbxd et Im Tbr0 sont invariantes par U (1) plongé par
c G (z) et z 7→ z −1 , la mesure produit dλ · dz sur Im Tbd × Im Tbr0 = Im (Tbd × Tbr0 ) induit une mesure
z 7→ det
x
x
quotient par la mesure invariante de volume 1 de U (1), que nous noterons encore dλ · dz, sur le tore réel
compact quotient
(Im Tbxd × Im Tbr0 )/U (1) ,
lequel s’identifie à Im TbG0r0 .
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de décomposition spectrale des fonctions sphériques sur
le groupe croisé Gr0 en les places x non ramifiées :
Théorème III.3. –
Considérons une place x ∈ |F | où le groupe réductif quasi-déployé G sur F est non ramifié, ainsi donc
que ses groupes croisés Gr0 .
Alors :
(i) Via les isomorphismes de Satake
G
SxG : Hx,∅
0
0
r
Sxr : Hx,∅
G
SxGr0 : Hx,∅r0
−→
∼
C[Tbxd ]SG ,
∼
C[Tbr0 ]Sr0 ,
∼
C[TbGx,d
]SG ×Sr0 ,
r0
x
−→
x
−→
l’homomorphisme linéaire surjectif entre algèbres de Hecke sphériques
0
G
G
r
Hx,∅
⊗ Hx,∅
→ Hx,∅r0
68
correspond à l’homomorphisme linéaire entre algèbres de polynômes
C[Tbxd ] ⊗ C[Tbr0 ] → C[TbGx,d
]
r0
"
px ⊗
p0x
#
Z
7→ (λ, z) 7→
c 1 ) · λ) ·
dz1 · px (det(z
p0x (z1−1
· z)
U (1)
qui consiste à rendre un polynôme invariant par le sous-tore
C× ,→ Tbxd × Tbr0
en l’intégrant pour la mesure dz1 du cercle U (1), définie comme la mesure invariante de volume 1.
(ii) Pour toute fonction sphérique à support compact sur Gr0 (Fx )
G
Hx ∈ Hx,∅r0
et sa transformée de Satake
x
SxGr0 (Hx ) ∈ C[TbGx,d
]SG ×Sr0 ,
r0
qui est un polynôme symétrique sur le tore
= (Tbxd × Tbr0 )/C× ,
TbGx,d
r0
la décomposition spectrale de Hx s’écrit
Z
0
Hx (gx , gx ) =
0
(Im Tbxd ×Im Tbr0 )/U (1)
r
0
dλ · dz · SxGr0 (Hx )(λ, z) · ϕG
x,λ (gx ) · ϕx,z (gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
Remarque. On note en effet que si (gx , gx0 ) ∈ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) est élément du sous-groupe Gr0 (Fx ), alors
la fonction polynomiale
Tbxd × Tbr0
−→
(λ, z) 7−→
C
0
r
0
ϕG
x,λ (gx ) · ϕx,z (gx )
est invariante par le sous-tore C× plongé par
c G (z), z −1 ) .
z 7→ (det
3
Les fonctions L locales attachées à une représentation de transfert
Dans ce paragraphe, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et une représentation de
transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est “réduite” au sens de la définition II.7 du paragraphe II.2.
La représentation ρ admet donc un semi-groupe dual G de groupe G et elle induit une famille de caractères
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → (C× )r .
69
On considère également une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G et la représentab et sur
tion de transfert ρ sont non ramifiés : cela signifie que l’action du groupe de Galois ΓFx de Fx sur G
l’espace Cr de ρ se factorise à travers son quotient le groupe de Galois non ramifié Γnr
dont
un
générateur
Fx
topologique est l’élément σx .
b et sur l’espace Cr de ρ, si bien que l’action
On note ex un entier ≥ 1 tel que σxex agit trivialement sur G
nr ∼ b
de ΓFx = Z se factorise à travers son quotient fini Z/ex Z.
On sait que la représentation de transfert ρ induit en la place non ramifiée x un homomorphisme entre
les algèbres de Hecke sphériques
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
.
Via les isomorphismes de Satake, ρ∗x est défini comme un homomorphisme
x
ρ∗x : C[Tbr ]Sr → C[Tbxd ]SG
de l’algèbre de polynômes symétriques C[Tbr ]Sr = C[X1±1 , . . . , Xr±1 ]Sr vers l’algèbre des polynômes sur le
tore Tbxd qui sont invariants par le groupe de Weyl Fx -rationnel SxG de G.
Dans le but d’expliciter concrètement l’homomorphisme d’algèbres ρ∗x , considérons l’homomorphisme de
tores
Tb
−→
Tbr = (C× )r ,
λ
7−→
ρT (λ · σx (λ) . . . σxx−1 (λ)) .
e
Cet homomorphisme est trivial sur le sous-tore de Tb constitué des éléments de la forme
λ · σx (λ)−1 ,
λ ∈ Tb ;
il se factorise donc en un homomorphisme de tores
ρT,x = (ρ1T,x , . . . , ρrT,x ) : Tbxd → Tbr = (C× )r .
On sait alors qu’il existe un élément
εx = (ε1x , . . . , εrx ) ∈ Tbr = (C× )r
tel que
• εexx = 1, c’est-à-dire (ε1x )ex = . . . = (εrx )ex = 1,
• pour tout polynôme symétrique p ∈ C[Tbr ]Sr et pour tout élément λ ∈ Tbxd , on a
ρ∗x (p)(λex ) = p(εx · ρT,x (λ)) .
Posons maintenant la définition suivante :
Définition III.4. –
Considérons comme ci-dessus un groupe réductif G quasi-déployé sur F et une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est réduite et induit donc un homomorphisme
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → Tbr (C× )r .
En toute place x ∈ |F | où G et ρ sont non ramifiés, on peut introduire :
70
(i) la fonction L locale de ρ, définie comme la série formelle en la variable Z
x
Lx (ρ, λ, Z) ∈ (C[Tbxd ]SG )JZK
telle que, pour tout λ ∈ Tbxd ,
1
Y
Lx (ρ, λex , Z) =
1≤i≤r
1−Z ·
εix
· ρiT,x (λ)
,
(ii) les fonctions L locales de degré r0 ≥ 2 de ρ, définies comme les séries formelles en Z
x
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z) ∈ (C[Tbxd ]SG ⊗ C[Tbr0 ]Sr0 )JZK
telles que, pour tout λ ∈ Tbxd ,
Y
Lx (ρr0 , λex , Z1 , . . . , Zr0 , Z) =
1≤i≤r
1≤j≤r 0
1
.
1 − Z · εix · ρiT,x (λ) · Zj
Remarques :
(i) Les séries formelles
Lx (ρ, λ, Z)
et
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z) ,
sont les transformées des séries formelles en Z
Y
1≤i≤r
et
Y
1≤i≤r
1≤j≤r 0
r0 ≥ 2 ,
1
1 − Z · Xi
1
1 − Z · Xi · Zj
par l’homomorphisme d’algèbres
x
ρ∗x : C[Tbr ]Sr = C[X1±1 , . . . , Xr±1 ]Sr → C[Tbxd ]SG .
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, les coefficients de la série formelle en Z
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z)
sont des polynômes symétriques sur le tore
Tbxd × Tbr0
qui sont invariants par le sous-tore C× plongé par
c G (z), z −1 ) .
z 7→ (det
Comme le tore quotient de Tbxd × Tbr0 par ce sous-tore s’identifie à TbGx,d
, la série formelle
r0
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z)
est en fait élément de l’algèbre
x
C[TbGx,d
]SG ×Sr0 JZK .
r0
71
Nous pouvons expliciter la forme des fonctions L locales lorsque la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est “bien disposée” au sens de la définition II.10 du paragraphe II.4.
Alors le groupe de Galois ΓF agit sur l’espace Cr de GLr (C) par des permutations des r vecteurs de
sa base canonique. En toute place x ∈ |F | où G et ρ sont non ramifiés, l’élément de Frobenius σx définit
une permutation de l’ensemble {1, 2, . . . , r} des indices des vecteurs de cette base canonique. Cet ensemble
{1, 2, . . . , r} s’écrit donc comme la réunion disjointe d’orbites
{i1 , i2 , . . . , ie } = {i1 , σx (i1 ), . . . , σxe−1 (i1 )}
dont l’ordre e divise ex .
Pour toute telle orbite {i1 , i2 , . . . , ie }, les coordonnées correspondantes (εix1 , εix2 , . . . , εixe ) de l’élément
εx ∈ (C× )r associé à ρ en la place x sont les valeurs propres de la matrice


0 ... ... 0 1
1 0
0



.. 
.
..
0 1
.


. .

. . . . . . . . ... 
 ..
0 ... 0
1 0
de permutation des éléments {i1 , i2 , . . . , ie } par σx , c’est-à-dire la famille des racines e-ièmes de 1.
Pour tout élément i d’une telle orbite {i1 , i2 , . . . , ie } de σx agissant sur {1, 2, . . . , r}, le caractère
ρiT,x : Tbxd → C×
a été défini comme l’unique caractère dont le composé avec l’homomorphisme surjectif de passage au quotient
Tb = Tbx → Tbxd
est égal au caractère de Tb
ρi · σx (ρi ) . . . σxex −1 (ρi ) .
Dans le cas où nous sommes, ce produit de caractères est encore égal à
(ρi1 ρi2 . . . ρie )ex /e .
On en déduit que, pour tout élément λ ∈ Tb, on a
1
e
(1 − Z · εix1 · ρiT,x
(λ)) . . . (1 − Z · εixe · ρiT,x
(λ))
=
1
1 − Z e · ρiT,x
(λ)e
=
1 − Z e · (ρi1 ρi2 . . . ρie )(λex )
et, pour tout degré r0 ≥ 2,
Y
1
e
[(1 − Z · εix1 · ρiT,x
(λ) · Zj ) . . . (1 − Z · εixe · ρiT,x
(λ) · Zj )]
1≤j≤r 0
=
Y
1
(1 − Z e · ρiT,x
(λ)e · Zje )
1≤j≤r 0
=
Y
(1 − Z e · (ρi1 ρi2 . . . ρie )(λex ) · Zje ) .
1≤j≤r 0
72
Cela prouve le corollaire suivant :
Corollaire III.5. –
Soient un groupe réductif G quasi-déployé sur F et une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est “bien disposée”.
Alors on a en toute place x ∈ |F | où G et ρ sont non ramifiés :
(i) La fonction L locale de ρ en x vaut, pour tout élément λ ∈ Tbd ,
x
Y
Lx (ρ, λ, Z) =
{i1 ,i2 ,...,ie }
1
1 − Z e · (ρi1 . . . ρie )(λ)
où {i1 , i2 , . . . , ie } décrit l’ensemble des orbites de l’élément de Frobenius σx agissant par permutation
sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}.
(ii) Les fonctions L locales de degré r0 ≥ 2 de ρ en x valent, pour tout élément λ ∈ Tbxd ,
Y
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z) =
{i1 ,i2 ,...,ie }
1≤j≤r 0
4
1−
Ze
1
.
· (ρi1 . . . ρie )(λ) · Zje
Rappels sur les fonctions sphériques propres et la mesure de
Plancherel
Dans ce paragraphe, on considère un groupe réductif G quasi-déployé sur F et muni d’une paire de Borel
(T, B) composée d’un tore maximal T défini et quasi-déployé sur F et d’un sous-groupe de Borel B ⊃ T
défini sur F .
On considère d’autre part une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G est non ramifié.
Ainsi, G muni de la paire de Borel (T, B) possède un modèle entier canonique sur l’anneau Ox des entiers
du corps local Fx . Ce modèle entier est noté (GOx , TOx , BOx ) ou, s’il n’y a pas d’ambiguı̈té, (G, T, B).
Dans ce contexte, nous voulons rappeler :
• l’expression explicite des fonctions sphériques propres normalisées
ϕG
x,λ : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
de valeurs propres les λ ∈ Tbxd ,
• l’expression explicite de la mesure de Plancherel
dλ
sur le tore réel compact Im Tbxd .
Nous nous fondons pour cela sur le livre de référence [Macdonald] et sur sa reformulation dans l’article
[Casselman] qui couvre le cas qui nous intéresse, celui des groupes réductifs quasi-déployés et non ramifiés
sur un corps local.
On a noté Txd le plus grand sous-tore déployé sur Fx du tore maximal Tx = T du groupe réductif G
quasi-déployé et non ramifié sur Fx . Son réseau des cocaractères XT∨d s’identifie au sous-réseau saturé
x
{µ ∈
XT∨
| σx (µ) = µ}
73
de XT∨ , si bien que son réseau des caractères XTxd s’identifie à un quotient du réseau XT des caractères de T .
On note ΦxG [resp. ΦxB , resp. ∆xB ] l’ensemble fini des images des racines α ∈ ΦG [resp. des racines positives
α ∈ ΦB , resp. des racines simples α ∈ ∆B ] par l’homorphisme surjectif
XT = XTx → XTxd .
Ces images sont appelées les racines Fx -rationnelles [resp. les racines positives Fx -rationnelles, resp. les racines
simples Fx -rationnelles] de (G, T, B). L’ensemble ΦxG [resp. ΦxB ] n’est autre que l’ensemble des caractères par
lesquels le tore Fx -déployé Txd agit sur l’espace Lie(G)/Lie(T ) [resp. Lie(B)/Lie(T )]. L’ensemble ΦxG est muni
d’une action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG = {w ∈ SG | σx (w) = w}.
On sait que deux éléments de ΦG ⊃ ΦB ⊃ ∆B ont même image dans ΦxG si et seulement si ils appartiennent à la même orbite de l’élément de Frobenius σx .
Autrement dit, ΦxG [resp. ΦxB , resp. ∆xB ] s’identifie au quotient de ΦG [resp. ΦB , resp. ∆B ] par l’action
de σx .
Pour toute racine Fx -rationnelle
α ∈ ΦxG ,
notons
d
Tx,α
⊂ Txd
le plus grand sous-tore de Txd sur lequel le caractère
α : Txd → Gm
est trivial, puis
Mx,α ⊂ G
d
.
le sous-groupe algébrique de G, défini sur Fx comme le centralisateur du tore Tx,α
d
Comme le sous-tore Tx,α
est de codimension 1 dans le tore déployé maximal Txd , Mx,α est un groupe
réductif sur Fx de rang semi-simple déployé égal à 1. Il est non ramifié sur Fx tout comme G.
fx,α le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de Mx,α . Il est muni d’un homomorSoit alors M
phisme structurel
fx,α → G
M
dont le noyau est fini.
fx,α est un groupe réductif quasi-déployé et non ramifié sur Fx qui est simplement connexe
D’autre part, M
et simple de rang déployé égal à 1.
Or on a :
Proposition III.6. –
Les groupes réductifs quasi-déployés et non ramifiés sur le corps local Fx qui sont simplement connexes
et simples de rang déployé égal à 1 sont :
(i) Les groupes de la forme
f = SL2 (Fx0 )
M
associés à une extension finie non ramifiée Fx0 de Fx .
(ii) Les groupes spéciaux unitaires de la forme
f = SU3 (Ex /F 0 )
M
x
associés à
74
• une extension finie non ramifiée Fx0 de Fx ,
• une extension quadratique non ramifiée Ex de Fx0 munie de son automorphisme non trivial
x 7→ x ,
• la forme hermitienne
→ Fx0 ,
Ex3
(x1 , x2 , x3 ) 7→ x1 x3 + x3 x1 − x2 x2 ,
définie par la matrice

0
J = 0
1
0
−1
0

1
0 ,
0
si bien que
f = {X ∈ SL3 (Ex ) | t X · J · X = J} .
M
f = SU3 (Ex /F 0 ) avec les notations de la partie (ii) de cette proposition, M
f est aussi le sous-groupe
Si M
x
des points fixes de l’involution
−1
X 7→ J · t X · J
de SL3 (Ex ).
Or cette involution préserve le tore diagonal de SL3 (Ex ) ainsi que son sous-groupe des matrices unipotentes triangulaires supérieures :
Si


a 0 0
X = 0 b 0 ,
0 0 c
alors
c−1

·J =
0
0

J · tX
et si
−1

1
X = 0
0
alors
J · tX
−1
0
−1
b
0

0
0 ,
a−1

u v
1 w ,
0 1

1
· J = 0
0
w
1
0

u·w−v
.
u
1
f = SU3 (Ex /F 0 ) admet pour tore maximal quasi-déployé le tore
On en déduit que M
x


 0
0

 a
0 a · a−1
0  a ∈ Ex×


0
0
a−1
75
et pour radical unipotent d’un sous-groupe de Borel défini sur Fx le groupe unipotent


  1 u v 
0 1 u u ∈ Ex , v ∈ Ex , v + v = u · u .


0 0 1
Si une uniformisante $x de Fx (et donc aussi de ses extensions non ramifiées Fx0 et Ex ) est choisie, et si
f = SU3 (Ex /F 0 )
M
x
comme ci-dessus, on notera

$x
$
ex =  0
0

0
0
1
0 .
0 $x−1
f.
C’est un élément du tore maximal de M
De même, si
f = SL2 (Fx0 )
M
comme dans la partie (i) de la proposition III.6 ci-dessus, et si l’on a choisi une uniformisante $x de Fx (et
donc aussi de l’extension non ramifiée Fx0 de Fx ), on notera
$x
0
$
ex =
.
0 $x−1
f.
C’est un élément du tore maximal de M
Revenons au groupe réductif G non ramifié sur Fx .
Comme nous nous intéressons aux fonctions sphériques sur G(Fx ), nous devons étudier l’ensemble de
doubles classes
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )
et, pour cela, les ensembles de classes
T (Fx )/T (Ox )
et
Txd (Fx )/Txd (Ox ) .
Rappelons d’abord :
Lemme III.7. –
Si T = Tx est un tore quasi-déployé et non ramifié sur le corps local Fx et si Txd désigne son plus grand
sous-tore déployé, on a :
(i) Le plongement
Txd ,→ Tx = T
induit un isomorphisme
∼
Txd (Fx )/Txd (Ox ) −→ T (Fx )/T (Ox ) .
(ii) Il existe un isomorphisme canonique
∼
ordx : Txd (Fx )/Txd (Ox ) −→ XT∨xd .
Il est caractérisé par la propriété que pour tout caractère algébrique
(χ : Txd → Gm ) ∈ XTxd ,
76
et pour tout élément tx ∈ Txd (Fx ), on a
hχ, ordx (tx )i = vx (χ(tx )) .
Il résulte de ce lemme que le tore complexe
Tbxd
peut être interprété comme le tore des caractères non ramifiés
λ : Txd (Fx )/Txd (Ox ) → C×
ou, ce qui revient au même,
λ : T (Fx )/T (Ox ) → C× .
Son sous-tore réel compact
Im Tbxd
s’interprète alors comme le tore des caractères non ramifiés unitaires
Txd (Fx )/Txd (Ox ) → C×
ou
T (Fx )/T (Ox ) → C× .
Notons encore Txd (Fx )− [resp. T (Fx )− ] le sous-ensemble de Txd (Fx ) [resp. T (Fx )] stable par le sous-groupe
[resp. T (Ox )], constitué des éléments tx dont l’image par l’homomorphisme
Txd (Ox )
ordx : Txd (Fx )/Txd (Ox ) −→ XT∨xd
k
T (Fx )/T (Ox )
est un cocaractère “dominant” du tore Txd .
Autrement dit, c’est l’ensemble des tx tels que
vx (α(tx )) ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆xB .
On a encore :
Lemme III.8. –
Considérons toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et sa paire de Borel (T, B) définie sur F ,
ainsi qu’une place x ∈ |F | où G est non ramifié. Alors :
(i) L’ensemble de doubles classes
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )
s’identifie au quotient de l’ensemble de classes
Txd (Fx )/Txd (Ox ) = T (Fx )/T (Ox )
par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG de G.
(ii) Il s’identifie aussi à l’ensemble de classes
Txd (Fx )− /Txd (Ox ) = T (Fx )− /T (Ox ) .
77
Nous pouvons maintenant définir certaines fractions rationnelles
λ 7→ cx,α (λ)
sur le tore Tbxd , qui sont indexées par les racines Fx -rationnelles α ∈ ΦxG du tore déployé Txd .
Avec les notations de la discussion qui précède la proposition III.6, la forme de la fraction rationnelle
fx,α simplement connexe et simple de rang déployé 1 associé à la racine
cx,α dépend de celle du groupe M
Fx -rationnelle α :
Définition III.9. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , une paire de Borel (T, B) de G définie sur F , et une
place x ∈ |F | en laquelle le groupe G est non ramifié.
Soit d’autre part une racine Fx -rationnelle α du tore déployé Txd .
Alors :
fx,α = SL2 (Fx0 ), on pose
(i) Si M
cx,α (λ) =
1 − qx0−1 · λ($x,α )
,
1 − λ($x,α )
λ ∈ Tbxd ,
où
[Fx0 :Fx ]
• qx0 = qx
Fx ,
désigne le nombre d’éléments du corps résiduel de l’extension non ramifiée Fx0 de
• $x,α désigne l’image par l’homomorphisme structurel
fx,α → G
SL2 (Fx0 ) = M
de l’élément
$
ex =
$x
0
0
$x−1
du tore maximal de SL2 (Fx0 ).
fx,α = SU3 (Ex /Fx0 ), on pose
(ii) Si M
cx,α (λ) =
(1 − qx0−2 · λ($x,α )) · (1 + qx0−1 · λ($x,α ))
1 − λ2 ($x,α )
où
[Fx0 :Fx ]
• qx0 = qx
Fx ,
désigne le nombre d’éléments du corps résiduel de l’extension non ramifiée Fx0 de
• $x,α désigne l’image par l’homomorphisme structurel
fx,α → G
SU3 (Ex /Fx0 ) = M
de l’élément

$x
$
ex =  0
0
du tore maximal de SU3 (Ex /Fx0 ).
78

0
0
1
0 
0 $x−1
Remarque : Comme les éléments λ ∈ Tbxd vus comme des caractères de Txd (Fx ) ou T (Fx ) sont non ramifiés,
les images
λ($x,α )
ne dépendent pas du choix de l’uniformisante $x de Fx
Notons
δB =
X
α : T → Gm
α∈ΦB
le “caractère modulaire” de T associé à B.
En toute place x ∈ |F | où le groupe réductif G est non ramifié, le module
tx 7→ |δB (tx )|x
définit un caractère non ramifié de T (Fx ) ou Txd (Fx ).
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer :
Théorème III.10. –
Considérons toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et sa paire de Borel (T, B) définie sur F ,
ainsi qu’une place x ∈ |F | où G est non ramifié.
Alors :
(i) Pour toute double classe élément de
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) ,
représentée par un élément
tx ∈ Txd (Fx )− ⊂ T (Fx )− ,
la fonction
Tbxd
−→
C
λ
7−→
ϕG
x,λ (tx )
est une fraction rationnelle sur le tore complexe Tbxd qui s’écrit
X
x
1/2
ϕG
cx,B (w(λ−1 )) · w(λ) (tx )
x,λ (tx ) = µG · |δB (tx )|x ·
w∈Sx
G
où
• µxG désigne une certaine constante rationnelle strictement positive et toujours majorée par 1, qui
ne dépend que du groupe réductif G et de la place x ∈ |F |,
• cx,B désigne la fraction rationnelle
Tbxd → C
définie comme le produit
cx,B (λ) =
Y
cx,α (λ)
α∈Φx
B
des fractions rationnelles cx,α indexées par les racines Fx -rationnelles positives α ∈ ΦxB .
79
(ii) La mesure de Plancherel
dλ
sur le tore réel compact
Im Tbxd
est égale à
1
d0 λ
·
µxG · |SxG | |cx,B (λ−1 )|2
où
• µxG désigne la même constante que dans (i),
• |SxG | désigne le nombre d’éléments du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG de G,
• |cx,B (λ−1 )|2 désigne le carré du module de la fraction rationnelle
λ 7→ cx,B (λ−1 )
restreinte à Im Tbxd ,
• d0 λ désigne la mesure invariante de volume 1 sur le tore réel compact Im Tbxd .
Remarque : Pour toute α ∈ ΦxB et tout caractère unitaire λ ∈ Im Tbxd , on a
cx,α (λ−1 ) = cx,−α (λ−1 ) .
Par conséquent, on a pour tout λ ∈ Im Tbxd
|cx,B (λ−1 )|2 =
Y
cx,α (λ−1 ) .
α∈Φx
G
Cette expression ne dépend pas du choix de B. Elle est invariante par l’action sur Tbxd du groupe de Weyl
Fx -rationnel SxG .
Ce théorème s’applique en particulier dans le cas des groupes linéaires GLr0 sur F . On obtient :
Corollaire III.11. –
Considérons le groupe linéaire déployé GLr0 de rang r0 sur F , muni de sa paire de Borel standard
0
(Tr , Br0 ), et une place arbitraire x ∈ |F |.
Alors :
(i) Pour toute double classe élément de
GLr0 (Ox )\GLr0 (Fx )/GLr0 (Ox )
représentée par un élément
tx = (t1 , . . . , tr0 )
de l’ensemble
0
Tr0 (Fx )− = {tx = (t1 , . . . , tr0 ) ∈ Tr0 (Fx ) = (Fx× )r | vx (t1 ) ≥ . . . ≥ vx (tr0 )} ,
la fonction
0
Tbr0 = (C× )r
−→
z = (z1 , . . . , zr0 ) 7−→
80
C
0
ϕrx,z (tx )
0
est une fraction rationnelle sur le tore complexe Tbr0 = (C× )r qui s’écrit
X
0
cx,Br0 (w(z −1 )) · w(z) (tx )
ϕrx,z (tx ) = µxr0 · |δBr0 (tx )|1/2
x ·
w∈Sr0
où
• µxr0 est la constante
1
−(r 0 −1)
(1 + qx−1 )(1 + qx−1 + qx−2 ) . . . (1 + qx−1 + qx−2 + . . . + qx
,
)
• la racine carrée du caractère modulaire
|δBr0 (tx )|1/2
x
évaluée en tx = (t1 , . . . , tr0 ) vaut
− 12 (vx (ti )−vx (tj ))
Y
qx
,
1≤i<j≤r 0
0
• pour tout z = (z1 , . . . , zr0 ) ∈ Tbr0 = (C× )r , on a
Y
1 − qx−1 · zi · zj−1
1≤i<j≤r 0
1 − zi · zj−1
cx,Br0 (z) =
et
Y
z(tx ) =
v (ti )
zi x
.
1≤i≤r 0
(ii) La mesure de Plancherel
dz
0
sur le tore réel compact Im Tbr0 = U (1)r est égale à
1
dz1 . . . dzr0
·
µxr0 · r0 ! |cx,Br0 (z −1 )|2
où
• µxr0 désigne la même constante que dans (i),
0
• dz1 . . . dz 0 désigne la mesure invariante de volume 1 sur le produit Im Tbr0 = U (1)r de r0 copies
du cercle unité U (1),
0
• on a pour tout z = (z1 , . . . , zr0 ) ∈ Im Tbr0 = U (1)r
1
=
|cx,Br0 (z −1 )|2
Y
1≤i,j≤r 0
i6=j
1 − zi−1 · zj
.
1 − qx−1 · zi−1 · zj
Enfin, considérons comme dans le paragraphe 2 un groupe réductif G quasi-déployé sur F et muni d’un
caractère surjectif bien défini sur F
detG : G → Gm
81
qui correspond à un cocaractère central
c G : C× ,→ Z b ,→ Tb
det
G
fixé par le groupe de Galois ΓF agissant sur Tb.
On a associé à un tel groupe réductif G ses “groupes croisés” de degrés r0 ≥ 2 définis comme les
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )} .
Ils sont non ramifiés en toute place x ∈ |F | où G est non ramifié.
En toute telle place x, le théorème III.10 et la proposition III.11 ci-dessus permettent de rendre explicites :
• les fonctions sphériques propres normalisées
0
r
ϕG
x,λ · ϕx,z : Gr 0 (Fx ) → C
associées à toute valeur propre
(λ, z) ∈ TbGx,d
= (Tbxd × Tbr0 )/C× ,
r0
• la mesure de Plancherel sur
Im TbGx,d
= (Im Tbxd × Im Tbr0 )/U (1)
r0
qui est égale au quotient du produit de mesures de Plancherel
dλ · dz
sur Im Tbxd × Im Tbr0 , par la mesure invariante de volume 1 sur le cercle unité U (1).
5
Fonctions sphériques supportées par les points entiers d’un semigroupe local de type dual
Commençons par rappeler l’expression explicite de l’isomorphisme de Satake et de son isomorphisme
réciproque :
Lemme III.12. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B) définie sur F , et une
place x ∈ |F | en laquelle le groupe G est non ramifié.
Alors :
(i) Pour toute fonction sphérique à support compact
G
hx ∈ Hx,∅
,
x
son image px = SxG (hx ) ∈ C[Tbxd ]SG par l’isomorphisme de Satake
x
∼
G
SxG : Hx,∅
−→ C[Tbxd ]SG
est donnée par la formule
Z
px (λ) =
1
dµx · |δB (µx )|x2 · λ(ordx (µx ))−1 ·
Z
dux · hx (µx · ux )
NB (Fx )
T (Fx )
où
82
• dux désigne la mesure de Haar sur NB (Fx ) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact
NB (Ox ),
• dµx désigne la mesure de Haar sur T (Fx ) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact
maximal T (Ox ),
• pour tout élément λ ∈ Tbd vu comme un caractère
x
λ : XTbd → C× ,
x
le caractère
T (Fx ) −→
7−→
µx
C×
λ(ordx (µx ))
est le composé
ordx
λ
∼
T (Fx ) −→ T (Fx )/T (Ox ) −→
XT∨xd = XTbd −→ C× .
x
(ii) Pour tout polynôme invariant
x
px ∈ C[Tbxd ]SG ,
son image réciproque hx = (SxG )−1 (px ) par l’isomorphisme de Satake est donnée par la formule
Z
Y
1
1
hx (gx ) =
d0 λ · px (λ) · |δB (tx )|x2 · λ(ordx (tx )) ·
c
x,α (λ)
Im Tbxd
x
α∈ΦB
où
• gx désigne n’importe quelle double classe, élément de
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) ,
représentée par un élément
tx ∈ T (Fx )− ,
• d0 λ désigne la mesure invariante de volume 1 sur le tore réel compact Im Tbxd ,
• les λ 7→ cx,α (λ), α ∈ ΦxB , sont les fractions rationnelles introduites dans la définition III.9.
Démonstration :
(i) est la définition de l’isomorphisme de Satake.
(ii) Pour toute double classe
gx ∈ G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) ,
on a
Z
hx (gx ) =
Im Tbxd
dλ · px (λ) · ϕG
x,λ (gx )
si dλ désigne la mesure de Plancherel sur Im Tbxd .
D’après les parties (i) et (ii) du théorème III.10, cela s’écrit
Z
X
Y
1
1
1
hx (gx ) =
d0 λ · px (λ) · |δB (tx )|x2 · x
w(λ) (ordx (tx )) ·
|S
|
c
(w(λ))
d
x,α
Im Tbx
x
x
G
w∈SG
83
α∈ΦB
pour n’importe quel représentant tx ∈ T (Fx )− de la double classe gx .
Comme la mesure invariante d0 λ sur Im Tbxd et le polynôme px ∈ C[Tbxd ] sont fixés par l’action du groupe
de Weyl SxG sur Tbxd , on obtient la formule annoncée.
Montrons maintenant :
Proposition III.13. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soit d’autre part une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont non
ramifiés.
Alors, pour toute fonction sphérique à support compact
G
hx ∈ Hx,∅
et sa transformée de Satake
px = SxG (hx ) ∈ C[Tbxd ] ,
on a :
(i) Le support de hx est contenu dans
G(Ox ) ,
qui est une partie compacte de G(Fx ), si et seulement si px est une combinaison linéaire finie de
monômes éléments du cône saturé
XT∨xd ∩ (−XT∨ ) .
(ii) Pour tout entier n ∈ N, le support de hx est contenu dans
G(Ox ) ∩ {gx ∈ G(Fx ) | vx (detG (gx )) = n} ,
qui est une partie compacte de G(Fx ), si et seulement si px est une combinaison linéaire de monômes
éléments de l’ensemble
XT∨xd ∩ {µ ∈ −XT∨ | hdetG , µi = −n}
qui est fini.
Démonstration : Montrons d’abord que si le support de hx est contenu dans G(Ox ), alors tous les monômes
χ ∈ XT∨d qui apparaissent dans le polynôme px = SxG (hx ) sont éléments du cône −XT∨ .
x
D’après la formule de définition de la transformation de Satake rappelée dans le lemme III.12(i), il suffit
de démontrer que si
µx ∈ T (Fx ) , ux ∈ NB (Fx ) et µx · ux ∈ G(Ox ) ,
alors on a nécessairement
µx ∈ T (Ox ) .
Pour cela on a besoin de disposer d’un système de coordonnées de G bien définies sur son modèle entier.
De telles coordonnées sont fournies par le lemme géométrique suivant :
84
Lemme III.14. –
Soient G un groupe réductif quasi-déployé sur un corps k, G un semi-groupe normal de groupe G, (T, B)
une paire de Borel de G définie sur k, et T la variété torique affine normale de tore T définie comme
l’adhérence schématique de T dans G.
Soient XT et XT∨ les deux cônes saturés de XT et XT∨ , duaux l’un de l’autre, qui définissent T et G.
Alors, si NB désigne le radical unipotent de B et NBop celui du sous-groupe de Borel opposé B op , on a :
(i) Le quotient
NBop \G/NB ,
muni de l’action de T à droite ou à gauche, est une variété torique affine normale de tore T .
Il s’identifie à la variété torique affine
T
+
dont le cône XT+ des caractères bien définis est l’intersection du cône saturé associé à T
XT ⊂ XT
et de celui des poids dominants
XT+ = {χ ∈ XT | hχ, α∨ i ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B } .
(ii) Pour toute paire d’éléments
w, w0 ∈ SkG
+
du groupe de Weyl k-rationnel SkG de G, notons T w,w0 la variété T
par
t 7→ w(t)
+
munie de l’action à gauche de T
et de l’action à droite de T par
t 7→ w0 (t) .
Alors le quotient
w(NBop )\G/w0 (NB ) ,
+
muni de la double action de T à gauche et à droite, s’identifie à T w,w0 .
(iii) Pour toute paire d’éléments w, w0 ∈ SG du groupe de Weyl absolu de G, notons
∼
+
op
0
MinG
w,w0 : G −→ w(NB )\G/w (NB ) −→ T w,w0
le morphisme associé sur la clôture séparable de k.
Alors le morphisme produit
Y
MinG
w,w0 : G →
w,w0 ∈SG
Y
w,w0 ∈SG
est défini sur k pour la structure k-rationnelle naturelle de
Y
+
T w,w0 ,
w,w0 ∈SG
et c’est une immersion fermée.
85
+
T w,w0
Remarque : Dans le cas particulier où G = GLr et G = Mr , les morphismes
1 r
MinG
w,w0 : G = Mr → (A )
indexés par les paires de permutations
w, w0 ∈ Sr = SG
sont donnés par les familles de déterminants mineurs emboı̂tés
(mi,j )1≤i,j≤r 7→ (det(mw(i),w0 (j) )1≤i,j≤r0 )1≤r0 ≤r .
C’est pourquoi nous utilisons en général la notation
MinG
w,w0 .
Suite de la démonstration de la proposition III.13 : Considérons le groupe réductif quasi-déployé G
et son semi-groupe G au-dessus du corps Fx . On dispose de la famille de coordonnées définies sur Fx
+
MinG
w,w0 : G → T w,w0
indexées par les paires d’éléments w, w0 du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG .
Pour tout élément w ∈ SxG , la restriction du morphisme
+
MinG
w,w : G → T w,w
au groupe de Borel B est invariante à droite par B ∩ w(NB ) et invariante à gauche par B ∩ w(NBop ). Elle est
+
donc invariante par NB . De plus, T w,w est la variété torique affine de tore T dont le cône associé est
w(XT+ ) = XT ∩ w(XT+ ) .
Si donc on considère deux éléments
µx ∈ T (Fx ) ,
ux ∈ NB (Fx ) ,
tels que
µx · ux ∈ G(Ox ) ,
on doit avoir pour tout w ∈ SxG
+
G
MinG
w,w (µx ) = Minw,w (µx · ux ) ∈ T w,w (Ox ) .
Cela signifie que pour tout w ∈ SxG et tout caractère χ ∈ XT ∩ w(XT+ ), on a
vx (χ(µx )) ≥ 0
soit
hχ, ordx (µx )i ≥ 0 .
Or ordx (µx ) est élément du sous-réseau
w(XT+ )
XT∨d
x
de XT∨ dont le dual XTxd est recouvert par les images des
chambres
lorsque w décrit SxG .
On en déduit que
vx (χ(µx )) ≥ 0
86
∀ χ ∈ XT ,
c’est-à-dire comme voulu
µx ∈ T (Ox ) .
G
Ainsi avons-nous montré que pour toute fonction sphérique hx ∈ Hx,∅
supportée par
G(Ox ) ,
sa transformée de Satake est une combinaison linéaire, invariante par SxG , de monômes éléments de
XT∨xd ∩ (−XT∨ ) .
On en déduit facilement que pour tout entier n ∈ N, la transformation de Satake envoie l’espace vectoriel
G
des fonctions hx ∈ Hx,∅
supportées par
{gx ∈ G(Ox ) | vx (detG (gx )) = n}
dans l’espace des combinaisons linéaires invariantes par SxG de monômes éléments de
XT∨xd ∩ {µ ∈ −XT∨ | hdetG , µi = −n} .
Or il résulte des lemmes III.7 et III.8 que ces deux espaces vectoriels ont la même dimension finie. Comme
la transformation de Satake SxG qui envoie le premier dans le second est injective, c’est un isomorphisme, ce
qui achève de démontrer (i) et (ii).
On déduit aussitôt de la proposition III.13 :
Corollaire III.15. –
Sous les hypothèses de la proposition III.13, notons
G,ρ,+
Hx,∅
l’espace des fonctions sphériques
hx : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
dont le support est contenu dans
gx−1 · G(Ox )
pour un certain élément gx ∈ G(Fx ) ou, ce qui revient au même, gx ∈ ZG (Fx ).
D’autre part, notons
Sx
CJTbd K G
x ρ,−
l’espace des combinaisons linéaires formelles
X
aµ · µ
µ∈XTb d
x
à coefficients aµ ∈ C, µ ∈ XTbd =
x
est contenu dans
XT∨d ,
x
invariantes par le groupe de Weyl Fx -rationnel SxG et dont le support
µ0 + XT∨xd ∩ (−XT∨ )
x
pour un certain élément µ0 ∈ XT∨d ou, ce qui revient au même, µ0 ∈ (XT∨d )SG .
x
x
x
SG
G,ρ,+
Alors Hx,∅
sont deux algèbres graduées par des espaces de dimension finie indexés par les
et CJTbxd Kρ,−
entiers n ∈ Z, et la transformation de Satake définit un isomorphisme d’algèbres graduées
x
SG
G,ρ,+ ∼
G
Sx,∅
: Hx,∅
−→ CJTbxd Kρ,−
.
87
Cet isomorphisme et sa réciproque sont donnés par les formules du lemme III.12, qui gardent un sens
dans ce contexte élargi.
Remarque : Tout élément de
Sx
G
CJTbxd Kρ,−
qui est supporté par
XT∨xd ∩ (−XT∨ )
x
SG
et dont le coefficient du monôme 1 est non nul, possède un inverse dans l’algèbre CJTbxd Kρ,−
qui est également
∨
∨
supporté par XT d ∩ (−XT ).
x
En particulier, toute fraction rationnelle
px
p0x
x
quotient de deux polynômes invariants px , p0x ∈ CJTbxd ]SG et dont le dénominateur p0x est supporté par
XT∨d ∩ (−XT∨ ) et attribue au monôme 1 un coefficient non nul, peut être vue comme une série formelle
x
Sx
G,ρ,+
G
élément de CJTbxd Kρ,−
. Il lui correspond une fonction sphérique élément de Hx,∅
.
Il sera utile de disposer d’une mesure de la croissance des coefficients aµ d’une série formelle
X
aµ · µ
µ∈X ∨d
Tx
x
SG
élément de CJTbxd Kρ,−
en fonction du degré deg(µ) = −hdetG , µi des monômes µ qui la composent. On pose
pour cela la définition suivante :
Définition III.16. –
Sous les hypothèses de la proposition III.13 ou du corollaire III.15, considérons une série formelle
X
aµ · µ
µ∈X ∨d
Tx
x
SG
élément de CJTbxd Kρ,−
.
Pour d ∈ R, cette série formelle sera dite de divergence ≤ d s’il existe un polynôme
Z 3 n 7→ P (n)
tel que
|aµ | ≤ P (deg(µ)) · qxdeg(µ)·d ,
∀ µ ∈ XT∨xd .
On a :
Lemme III.17. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
88
Alors il existe un polynôme P de degré r − 1
N 3 n 7→ P (n)
tel que, pour tout n ∈ N, le cardinal de l’ensemble
{µ ∈ −XT∨ | deg(µ) = −hdetG , µi = n}
soit majoré par P (n).
b agit sur l’espace
Démonstration : Notons ρ1T , . . . , ρrT les r caractères par lesquels le tore maximal Tb de G
r
0
b
C de ρ. Comme ρ : G → GLr (C) est injective, ces caractères engendrent le réseau XTb = XT∨ .
D’autre part, et par définition du semi-groupe G dual de ρ, ils engendrent le cône saturé XT∨ .
Rappelons enfin que hdetG , ρiT i = 1, ∀ i.
On en déduit que si n ∈ N est assez grand, tout élément µ ∈ XT∨ tel que hdetG , µi = n s’écrit
nécessairement sous la forme
µ = n1 · ρ1T + . . . + nr · ρrT
avec n1 , . . . , nr ∈ N et n1 + . . . + nr = n.
D’où le résultat annoncé.
On déduit de ce lemme :
Corollaire III.18. –
Sous les hypothèses de la proposition III.13 et du corollaire III.15, considérons deux séries formelles
X
X
a=
aµ · µ et a0 =
a0µ · µ
µ∈X ∨d
µ∈X ∨d
Tx
Tx
Sx
G
qui sont éléments de CJTbxd Kρ,−
.
On suppose que a est de divergence ≤ d et a0 de divergence ≤ d0 . Alors :
(i) La somme a + a0 et le produit aa0 sont de divergence ≤ max{d, d0 }.
Sx
G
(ii) Si la série formelle a est inversible dans l’algèbre CJTbxd ]ρ,−
, son inverse a−1 est de divergence ≤ d et
−1
0
0
le quotient a · a est de divergence ≤ max{d, d }.
Autrement dit :
Sx
G
Pour tout d ∈ R, les séries formelles de divergence ≤ d forment une sous-algèbre de CJTbxd Kρ,−
. Et tout
x
S
d
G
b
élément de cette sous-algèbre qui est inversible dans CJTx Kρ,− l’est dans la sous-algèbre.
6
La fonction caractéristique des points entiers d’un semi-groupe
local de type dual
Comme dans le paragraphe précédent, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un
semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
89
On considère également une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont
non ramifiés.
On note 1IG(Ox ) la fonction localement constante sur G(Fx ) définie comme la fonction caractéristique de
la partie compacte ouverte G(Ox ).
Vue comme fonction sur G(Fx ), c’est une fonction sphérique supportée par G(Ox ) et, a fortiori, élément
G,ρ,+
de l’algèbre Hx,∅
.
Elle admet donc une transformée de Satake élément de l’algèbre
Sx
G
CJTbxd Kρ,−
et qui s’écrit sous la forme
X
SxG (1IG(Ox ) ) =
aµ · µ .
µ∈X ∨d ∩(−X ∨ )
T
Tx
Le coefficient du monôme 1 dans SxG (1IG(Ox) )
G,ρ,+
.
1IG(Ox ) est inversible dans l’algèbre Hx,∅
est égal à 1 si bien que cette série formelle est inversible et que
Dans ce paragraphe, notre but est d’étudier la transformée de Satake
SxG (1IG(Ox ) ) .
Cela revient à étudier les intégrales
|δB (tx )|1/2
x ·
Z
NB (Fx )
dux · 1IG(Ox ) (tx · ux )
associées aux éléments tx ∈ Txd (Fx ). Elles sont invariantes par le groupe de Weyl Fx -rationnel SxG .
On sait déjà que ces intégrales ne peuvent être non nulles que si
ordx (tx ) ∈ XT∨xd ∩ XT∨ .
On a δB =
P
α et donc
α∈ΦB
|δB (tx )|1/2
=
x
Y
|α(tx )|1/2
x .
α∈ΦB
Nous voudrions estimer le volume de la partie compacte ouverte
{ux ∈ NB (Fx ) | tx · ux ∈ G(Ox )}
en fonction de tx ∈ Txd (Fx ).
Pour cela, nous allons recourir au système de coordonnées introduit dans le lemme III.14 du paragraphe
précédent : il consiste en des morphismes T -equivariants à gauche et à droite
+
MinG
w,w0 : G → T w,w0 ,
indexés par les paires w, w0 ∈ SG et définis chacun sur l’extension non ramifiée de Fx associée à l’action de
σx sur l’orbite de (w, w0 ) ∈ SG × SG .
Rappelons qu’à toute racine α ∈ ΦB est associé le sous-groupe additif de NB
Uα ∼
= A1
90
dont l’espace tangent Lie(Uα ) s’identifie à la droite vectorielle de Lie(NB ) sur laquelle le tore maximal T de
G agit par le caractère α.
La multiplication dans n’importe quel ordre choisi
(uα )α∈ΦB 7−→
Y
uα
α∈ΦB
définit un isomorphisme de variétés algébriques
Y
∼
Uα −→ NB .
α∈ΦB
On a :
Lemme III.19. –
Soient α ∈ ΦB une racine positive, w un élément de SG et χ ∈ XT un caractère tels que
• w(α) ∈ ΦB ,
• χ est élément du cône XT ,
• w(χ) est un caractère dominant.
Alors, notant
wα : XT
−→
XT
χ0
7−→
χ0 − 2
hχ0 , α∨ i
·α
hα, α∨ i
la réflexion associée à α dans SG , le morphisme
+
MinG
w−1 ,wα ·w−1 : G → T w−1 ,wα ·w−1
vérifie les propriétés suivantes :
(i) Il est invariant à gauche par Uα0 pour toute racine α0 ∈ ΦB telle que w(α0 ) ∈ −ΦB .
(ii) Il est invariant à droite pour Uα0 pour toute racine α0 ∈ ΦB telle que w · wα (α0 ) ∈ ΦB .
+
(iii) L’action à gauche de T sur T w−1 ,wα ·w−1 et le caractère
χ : T → Gm
induisent un morphisme bien défini sur l’anneau des entiers d’une extension non ramifiée de Fx
+
χ : T w−1 ,wα ·w−1 → A1 .
De plus, le composé
MinG
+
χ
w−1 ,wα ·w−1
A1 ∼
= Uα ,→ G −−−−−−−−−−→ T w−1 ,wα ·w−1 −−−−→ A1
est égal à
∨
uα 7→ uhχ,α
α
i
.
91
Une telle coordonnée
MinG
w−1 ,w
·w−1
+
χ
α
G −−−−−−−−
−−→ T w−1 ,wα ·w−1 −−−−→ A1
restreinte à
B = T · NB ,→ G
serait particulièrement commode si elle était invariante ou bien à gauche ou bien à droite par le groupe
additif Uα0 associé à toute racine α0 ∈ ΦB distincte de α.
Or il suffit pour cela que l’élément w ∈ SG de l’énoncé du lemme III.19 envoie la racine α ∈ ΦB sur une
racine simple, élément de ∆B . Cela résulte du lemme suivant de pure théorie des groupes réductifs :
Lemme III.20. –
Soit G un groupe réductif sur un corps algébriquement clos, muni d’une paire de Borel (T, B).
Alors, pour toute racine simple α ∈ ∆B et pour toute racine positive distincte de α
α0 ∈ ΦB − {α} ,
l’image
wα (α0 ) = α0 − 2
hα0 , α∨ i
·α
hα, α∨ i
de α0 par la réflexion wα associée à α est encore une racine positive, élément de ΦB .
Référence. Voir le livre [Springer], lemme 10.1.9, page 212.
On déduit des deux lemmes précédents :
Corollaire III.21. –
Considérons n’importe quelle famille (wα , χα )α∈ΦB de paires (wα , χα ) ∈ SG ×XT indexées par les racines
positives α ∈ ΦB , qui vérifie les conditions suivantes :
• toutes les racines wα (α), α ∈ ΦB , sont éléments de ∆B ,
• tous les caractères wα (χα ) sont dominants,
• on a hχα , α∨ i =
6 0, ∀ α ∈ ΦB ,
• tous les caractères χα sont éléments du cône XT ,
• la famille (wα , χα )α∈ΦB est respectée par l’action de l’élément de Frobenius σx .
Alors, on a pour tout élément tx ∈ Txd (Fx )
Z
x (tx )i
Y hχαhχ,ord
α ,α∨ i
dux · 1IG(Ox ) (tx · ux ) ≤
qx
.
NB (Fx )
α∈ΦB
Démonstration : Soit Ex la Fx -algèbre non ramifiée de degré fini |ΦB | qui est associée à l’ensemble ΦB
muni de l’action de σx .
Alors le produit des morphismes de coordonnées
MinG
(wα )−1 ,w
α ·(wα )−1
+
χα
G −−−−−−−−−−−−−−→ T (wα )−1 ,wα ·(wα )−1 −−−−→ A1
indexés par les α ∈ ΦB est un morphisme
G → ResEx /Fx A1
92
bien défini sur Fx et même sur son anneau des entiers Ox .
Ce morphisme est équivariant pour l’action à gauche de T sur G et pour le caractère
T → ResEx /Fx Gm
qui consiste en la famille (χα )α∈ΦB .
Enfin, pour toute racine positive α ∈ ΦB , la composante d’indice α du morphisme
G → ResEx /Fx A1
vérifie les deux conditions suivantes :
• elle est invariante par Uα0 ou bien à gauche ou bien à droite, pour toute α0 ∈ ΦB − {α},
• sa restriction à Uα s’identifie au morphisme
A1 ∼
= Uα
uα
−→
A1 ,
7−→
uhχ
α
α
,α∨ i
.
D’où la majoration annoncée.
La transformée de Satake de 1IG(Ox ) étant définie par l’expression
Z
1
dux · 1IG(Ox ) (tx · ux )
Txd (Fx ) 3 tx 7→ |δB (tx )|x2 ·
NB (Fx )
dans laquelle figure le facteur
1
|δB (tx )|x2 =
Y
− 21 hα,ordx (tx )i
qx
,
α∈ΦB
nous avons finalement démontré :
Proposition III.22. –
Considérons un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B), et un semigroupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Considérons également une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont non
ramifiés.
Soit (wα , χα )α∈ΦB n’importe quelle famille de paires (wα , χα ) ∈ SG ×XT indexées par les racines positives
α ∈ ΦB , qui vérifie les conditions du lemme III.21 ci-dessus.
Soit d ∈ R le maximum de l’application linéaire
XT∨xd ⊗Z R
−→
R
X 1
hχα , µi
− hα, µi + α ∨
2
hχ , α i
µ 7−→
α∈ΦB
sur la partie convexe compacte de l’espace XT∨d ⊗Z R constituée des éléments µ tels que
x
• µ est dominant, c’est-à-dire vérifie les inégalités hα, µi ≥ 0, ∀ α ∈ ΦB ,
• µ est élément du cône convexe réel engendré par XT∨ c’est-à-dire par les caractères ρ1T , . . . , ρrT par
lesquels Tb agit sur l’espace Cr de ρ,
93
• on a l’égalité hdegG , µi = 1.
Alors la transformée de Satake
x
SG
SxG (1IG(Ox ) ) ∈ CJTbxd Kρ,−
de la fonction caractéristique
1IG(Ox )
des points entiers de G(Fx ) est supportée par XT∨d ∩ (−XT∨ ) et de divergence ≤ d.
x
De plus, elle est inversible et son inverse a ces mêmes propriétés.
Rappelons le cas des semi-groupes de matrices associés aux groupes linéaires :
Proposition III.23. –
Étant donné un entier r0 ≥ 1, considérons le semi-groupe Mr0 de groupe GLr0 et une place arbitraire
x ∈ |F |.
Alors la transformée de Satake
0
Sxr (1IMr0 (Ox ) )
de la fonction caractéristique des matrices de Mr0 (Fx ) à coordonnées entières est supportée par
0
0
−Nr ⊂ Zr = XTr0
et elle s’écrit
r 0 −1
X
qx 2
·(n1 +...+nr0 )
−nr0
· Z1−n1 . . . Zr0
−(n1 ,...,nr0 )∈−Nr0
Elle est de divergence ≤
=
1
Y
1≤j≤r 0
r 0 −1
2
1 − qx
.
· Zj−1
r 0 −1
2 .
Voyons maintenant comment sont reliés le cas d’un semi-groupe et celui de ses croisés :
Lemme III.24. –
Dans la situation de la proposition III.22, considérons encore un degré r0 ≥ 2.
Alors, si la transformée de Satake de la fonction caractéristique de G(Ox ) est écrite sous la forme
X
aµ · µ ,
SxG (1IG(Ox ) ) =
µ∈X ∨d ∩(−X ∨ )
T
Tx
la transformée de Satake de la fonction caractéristique de Gr0 (Ox ) est égale à
SxGr0 (1IGr0 (Ox ) ) =
r 0 −1
X
aµ · qx 2
(n1 +...+nr0 )
−nr0
· µ Z1−n1 . . . Zr0
.
µ ∈ XT∨d ∩ (−X ∨ )
T
x
0
−(n1 , . . . , nr0 ) ∈ −Nr
− degG (µ) = n1 + . . . + nr0
Démonstration : Considérons l’expression intégrale qui définit la transformée de Satake de 1IGr0 (Ox ) . C’est
Z
1
2
(F
)
3
t
→
7
|δ
(t
)|
·
dux · 1IGr0 (Ox ) (tx · ux ) .
TGx,d
x
x
x
B
x
G
0
r0
r
NBG
r0
Or on remarque :
94
• La fonction caractéristique 1IGr0 (Ox ) est la trace dans le sous-groupe
Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx )
défini comme
{(gx , gx0 ) | detG (gx ) = det(gx0 )}
du produit des fonctions caractéristiques
1IG(Ox ) · 1IMr0 (Ox ) .
• De même, le caractère modulaire
δ BG
r0
est la trace dans le sous-tore
TGr0 ⊂ TG × Tr0
du produit des caractères modulaires
δB · δBr0 .
• Le radical unipotent
NBG
r0
s’identifie au produit des radicaux unipotents
NB × Nr0 .
D’où le résultat annoncé.
On déduit de ce lemme :
Corollaire III.25. –
Plaçons-nous dans la situation de la proposition III.22 et du lemme III.24.
Alors, pour tout réel d ∈ R tel que la transformée de Satake sur G(Fx )
SxG (1IG(Ox ) )
soit de divergence ≤ d, la transformée de Satake sur le groupe dérivé Gr0 (Fx )
SxGr0 (1IGr0 (Ox ) )
est de divergence ≤ d +
r 0 −1
2 .
7
Prolongement par continuité sur le bord d’un semi-groupe local
de type dual
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G
qui est le dual d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont non ramifiés.
95
Par définition, la fonction caractéristique
1IG(Ox )
se prolonge par continuité en une fonction localement constante à support compact sur G(Fx ).
Il en est de même de son produit de convolution
1IG(Ox ) ∗ hx = hx ∗ 1IG(Ox )
G
avec n’importe quelle fonction sphérique à support compact hx ∈ Hx,∅
.
Nous voudrions pouvoir prolonger par continuité au bord de G(Fx ) des fonctions sphériques sur G(Fx )
appartenant à une classe plus large.
Commençons par le lemme suivant :
Lemme III.26. –
Soit une fonction sphérique à support compact
G
hx ∈ Hx,∅
dont la transformée de Satake est le polynôme invariant par l’action de SxG
X
aµ · µ .
µ∈X ∨d
Tx
Alors l’intégrale
Z
dgx · hx (gx )
G(Fx )
est égale à la somme
X
1
qx2
hδB ,µi
· aµ .
µ∈X ∨d
Tx
Démonstration : La transformée de Satake de hx est définie par l’intégrale
Z
1
d
d
2
T (Fx )/T (Ox ) = Tx (Fx )/Tx (Ox ) 3 tx 7→ |δB (tx )|x ·
dux · hx (tx ux ) .
NB (Fx )
Et d’autre part, on a
Z
Z
Z
dgx · hx (gx ) =
G(Fx )
dtx ·
T (Fx )
dux · hx (tx ux ) .
NB (Fx )
La formule du lemme s’en déduit.
Nous avons besoin de pouvoir contrôler non pas seulement l’intégrale
Z
dgx · hx (gx )
G(Fx )
mais surtout l’intégrale
Z
dgx · |hx (gx )|
G(Fx )
96
associée à une fonction
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
en fonction de la taille des coefficients aµ de sa transformée de Satake
X
Sx
G
aµ · µ ∈ CJTbxd Kρ,−
.
µ∈X ∨d
Tx
Or on a :
Lemme III.27. –
Pour qu’une série formelle
Sx
X
µ∈X ∨d
G
aµ · µ ∈ CJTbxd Kρ,−
Tx
qui est la transformée de Satake d’une fonction
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
soit de divergence ≤ d pour un certain réel d ∈ R, il faut et il suffit qu’il existe un polynôme
Z ∈ n 7→ P (n)
tel que
1
|hx (gx )| ≤ |δB (tx )|x2 · P (vx (detG (gx ))) · qxd·vx (detG (gx ))
pour n’importe quelle double classe
gx ∈ G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )
représentée par un élément
tx ∈ T (Fx )− .
Démonstration : D’après le lemme III.12(ii), on a


Z
Y
1
 X

hx (gx ) = |δB (tx )|x2 ·
d0 λ · 
aµ · µ(λ) · λ(ordx (tx )) ·
Im Tbxd
α∈Φx
B
µ∈X ∨d
Tx
1
cx,α (λ)
où, avec les notations de la définition III.9, chaque fraction rationnelle
1
,
cx,α (λ)
vaut

1 − λ($x,α )




 1 − qx0−1 · λ($x,α )





On en déduit
α ∈ ΦxB ,
fα = SL2 (Fx0 ) ,
si M
1 − λ2 ($x,α )
(1 − qx0−2 · λ($x,α )) · (1 + qx0−1 · λ($x,α ))
−1
fα = SU3 (Ex /Fx0 ) .
si M
X
hx (gx ) · |δB (tx )|x 2 =
µ∈
P
α∈Φx
B
N·ordx ($x,α )
97
cµ · a−ordx (tx )−µ
où les cµ , µ ∈
P
α∈Φx
B
N · ordx ($x,α ) ⊂ XT∨d , sont les coefficients de la série formelle qui développe la fraction
x
rationnelle
Y
Tbxd 3 λ 7→
α∈Φx
B
1
.
cx,α (λ)
On voit que la somme
X
|cµ |
µ
est convergente.
Il en résulte aussitôt que si la série formelle
X
aµ · µ
µ∈X ∨d
Tx
est de divergence ≤ d, alors la fonction
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
vérifie la propriété de l’énoncé.
En sens inverse, il suffit d’après le lemme III.17 de prouver le lemme suivant :
Lemme III.28. –
Soit une double classe
gx ∈ G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )
représentée par un élément
tx ∈ T (Fx )− .
Alors les coefficients aµ de la transformée de Satake
X
aµ · µ
µ∈X ∨d
Tx
de la fonction
1
|δB (tx )|x2 · 1IG(Ox )·tx ·G(Ox ) (•)
sont majorés en valeur absolue par une borne uniforme qui ne dépend que de G.
Démonstration du lemme III.28 : La transformée de Satake de la fonction caractéristique
1IG(Ox )·tx ·G(Ox ) (•) ,
évaluée en un caractère unitaire λ ∈ Im Tbxd , est égale à
vol (G(Ox ) · tx · G(Ox )) · ϕG
x,λ (tx ) .
Or, d’après la proposition 1.6 de [Casselman], le produit
vol (G(Ox ) · tx · G(Ox )) · |δB (tx )|x
est majoré par une borne uniforme qui ne dépend que de G.
98
D’autre part, on a d’après le théorème III.10(i)
1
X
x
G
2
ϕG
x,λ (tx ) = ϕx,λ−1 (tx ) = µG · |δB (tx )|x ·
w(λ−1 )(tx ) ·
Y
cx,α (w(λ))
α∈Φx
B
w∈Sx
G
où µxG est une constante positive qui ne dépend que de G et de la place x ∈ |F |. Cette constante est toujours
majorée par 1.
La conclusion résulte de ce que les développements en séries formelles des fractions rationnelles
Y
cx,α (w(λ)) , w ∈ SxG ,
λ 7→
α∈Φx
B
ont tous leurs coefficients uniformément bornés.
Cela termine la preuve du lemme III.28 et donc aussi du lemme III.27.
Une fonction sphérique
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
sera dite de divergence ≤ d s’il en est ainsi de sa transformée de Satake
x
SG
SxG (hx ) ∈ CJTbxd Kρ,−
.
Le lemme III.27 peut se reformuler ainsi :
Corollaire III.29. –
Une fonction sphérique
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
est de divergence ≤ d pour un certain réel d ∈ R si et seulement s’il existe un polynôme
Z 3 n 7→ P (n)
tel que
1
|hx (tx )| ≤ |δB (tx )|x2 · P (vx (detG (tx ))) · qxd·vx (detG (tx )) ,
∀ tx ∈ T (Fx )− .
En particulier, hx est de divergence ≤ d si et seulement si |hx | est de divergence ≤ d.
Ce corollaire et le lemme III.26 entraı̂nent :
Proposition III.30. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “réduite”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont non ramifiés.
Soit encore une fonction sphérique
G,ρ,+
hx ∈ Hx,∅
qui est de divergence ≤ d pour un certain exposant d ∈ R tel que
d+
1
hδB , ρiT i < 0 ,
2
1 ≤ i ≤ r,
b agit sur l’espace Cr de
où les ρiT ∈ XTb = XT∨ désignent les caractères par lesquels le tore maximal Tb de G
la représentation ρ.
Alors :
99
(i) La fonction |hx | est intégrable sur G(Fx ).
(ii) Le produit de convolution
hx ∗ 1IG(Ox ) = 1IG(Ox ) ∗ hx
se prolonge en une fonction continue à support compact sur G(Fx ).
8
Prolongement par continuité partiel sur le bord d’un semi-groupe
local croisé
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On considère également un entier r0 ≥ 2, le groupe croisé de G de degré r0
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )}
et le semi-groupe normal Gr0 de groupe Gr0 qui est le dual de la représentation croisée de ρ
b r0 o ΓF → GLrr0 (C) .
ρr 0 : G
On rappelle que Gr0 s’identifie à la normalisation de l’adhérence schématique de Gr0 dans G × Mr0 . Plus
précisément, le morphisme de Gr0 vers cette adhérence schématique est un isomorphisme “radiciel” au sens
qu’il induit des bijections entre les ensemble de points à valeurs dans n’importe quel corps. Il induit aussi
un isomorphisme de la variété torique normale T Gr0 vers l’adhérence schématique du tore maximal TGr0 de
Gr0 dans T G × T r0 .
On a le lemme géométrique suivant :
Lemme III.31. –
Dans les conditions ci-dessus, le bord ∂G = G − G du semi-groupe G et celui ∂Gr0 = Gr0 − Gr0 de son
semi-groupe croisé Gr0 de degré r0 ≥ 2 se décrivent comme suit :
(i) Le bord ∂G de G est la réunion d’un ensemble fini d’orbites sous la double action de G à gauche et à
droite.
Ces orbites, notées Gθ , sont des sous-schémas localement fermés de G.
Chaque orbite Gθ rencontre l’ensemble fini des “points bases” de la variété torique normale T G = T ,
c’est-à-dire des points de T dont toutes les images par les caractères bien définis χ ∈ XT ⊂ XT valent
0 ou 1. On pourra noter 1θ n’importe quel “point base” de T qui rencontre l’orbite Gθ .
Enfin, deux “points bases” de T appartiennent à la même orbite Gθ si et seulement ils sont images
l’un de l’autre par l’action du groupe de Weyl SG .
(ii) En particulier, le bord ∂Mr0 du semi-groupe Mr0 de groupe GLr0 consiste en les matrices de rang
≤ r0 − 1.
Ses orbites sous la double action de GLr0 à gauche et à droite consistent en les sous-schémas localement
00
fermés Mrr0 , 0 ≤ r00 ≤ r0 − 1, qui classifient les matrices de rang fixé r00 .
00
00
Chaque Mrr0 est l’orbite de n’importe quelle matrice diagonale 1rr0 dont r00 coordonnées sont égales à
1 et les autres à 0.
100
(iii) Le bord ∂Gr0 de Gr0 est muni d’un isomorphisme radiciel vers le produit
∂G × ∂Mr0 .
Ses orbites sous la double action de Gr0 à gauche et à droite s’identifient aux différents produits d’une
orbite de bord de G et d’une orbite de bord de Mr0 .
00
Pour tout entier r00 , 0 ≤ r00 ≤ r0 , on peut noter Mr≥r
le sous-schéma ouvert de Mr0 qui classifie les
0
matrices de rang ≥ r00 . Il est stable par la double action de GLr0 .
≥r 00
Puis on peut noter Gr0
00
l’image réciproque de Mr≥r
dans Gr0 par le morphisme de projection
0
Gr0 → G × Mr0 → Mr0 .
≥r
00
Ainsi, Gr0
est un sous-schéma ouvert de Gr0 . Il est stable par la double action de Gr0 .
Considérons maintenant une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont
non ramifiés.
On rappelle que le plus grand sous-tore déployé TGx,d
de TGr0 sur Fx s’identifie à
r0
{(tx , t0x ) ∈ Txd × Tr0 | detG (tx ) = det(t0x )}
et que son dual TbGx,d
est le quotient de
r0
0
Tbxd × Tbr0 = Tbxd × (C× )r
par le tore C× plongé par
c G (z), z −1 ) .
z 7→ (det
L’algèbre
x
S
C [TbGx,d
] Gr 0
r0
consiste en les polynômes de la forme
n
X
aµ,n1 ,...,nr0 · µ Z1n1 . . . Zr0r0
µ ∈ XT∨d
x
n1 , . . . , nr0 ∈ Z
hdetG , µi = n1 + . . . + nr0
qui sont invariants par l’action de SxG × Sr0 .
Enfin, la partie ouverte compacte
Gr0 (Ox ) ⊂ Gr0 (Fx )
est la trace de G(Ox ) × Mr0 (Ox ) dans
Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × Mr0 (Fx ) .
L’algèbre
G ,ρr0 ,+
Hx,∅r0
consiste en les fonctions sphériques
Gr0 (Ox )\Gr0 (Fx )/Gr0 (Ox ) → C
101
supportées par
(gx−1 , gx0−1 ) · Gr0 (Ox )
pour un élément convenable (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ; et son algèbre isomorphe par la
transformation de Satake
Sx
G 0
r
CJTbGx,d
K
ρ
0
r 0 ,−
r
consiste en les séries formelles invariantes par SxG × Sr0
X
n
aµ,n1 ,...,nr0 · µ Z1n1 . . . Zr0r0
µ ∈ XT∨d
x
n1 , . . . , nr0 ∈ Z
hdetG , µi = n1 + . . . + nr0
dont le support est contenu dans un produit de la forme
µ0 + XT∨xd ∩ (−XT∨ ) × (n0 − N) × . . . × (n0 − N)
pour un choix convenable de µ0 ∈ XT∨d et n0 ∈ Z.
x
Nous allons démontrer :
Théorème III.32. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soit un degré r0 ≥ 2.
Soit une place x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif G et la représentation ρ sont non ramifiés.
Considérons une fonction sphérique
G ,ρ ,+
hx ∈ Hx,∅r0 r0
et sa transformée de Satake
n
X
aµ,n1 ,...,nr0 · µ Z1n1 . . . Zr0r0
µ ∈ XT∨d
x
n1 , . . . , nr0 ∈ Z
hdetG , µi = n1 + . . . + nr0
dans
Sx
G
CJTbGx,d
K r0 .
r 0 ρr 0 ,−
On suppose qu’il existe un réel d ∈ R qui vérifie les deux conditions suivantes :
(1) On a
d+
1
r0 − 1
hδB , ρiT i <
,
2
2
1 ≤ i ≤ r,
où les ρiT , 1 ≤ i ≤ r, désignent les caractères par lesquels Tb agit sur l’espace Cr de ρ.
(2) Pour tous entiers n2 , . . . , nr0 ∈ Z fixés, la série formelle
X
aµ,n1 ,...,nr0 · µ ,
µ ∈ XT∨d
x
n1 = hdetG , µi − (n2 + . . . + nr0 )
Sx
G
qui est élément de l’algèbre CJTbxd Kρ,−
, est de divergence ≤ d.
102
Alors, sous ces hypothèses, la fonction sphérique
hx ∗ 1IGr0 (Ox ) = 1IGr0 (Ox ) ∗ hx ,
dont le support est contenu dans une partie compacte de Gr0 (Fx ), se prolonge par continuité sur l’ouvert
≥r 0 −1
Gr 0
(Fx ) de Gr0 (Fx ).
Démonstration : Quitte à translater la fonction hx par un élément convenable du centre ZGr0 (Fx ) ⊂
ZG (Fx ) × Zr0 (Fx ), on peut supposer qu’elle est supportée par Gr0 (Ox ) ou, ce qui revient au même, que le
support de sa transformée de Satake est contenu dans
0
(XT∨xd ∩ (−XT∨ )) × (−N)r .
Alors la fonction
hx ∗ 1IGr0 (Ox ) = 1IGr0 (Ox ) ∗ hx
sur Gr0 (Fx ) est elle-même supportée par la trace dans Gr0 (Fx ) de la partie ouverte compacte Gr0 (Ox ) de
Gr0 (Fx ).
Nous devons prouver qu’elle se prolonge par continuité en tout point de Gr0 (Ox ) qui est élément du bord
≥r 0 −1
(Fx ).
de Gr0
Or tout tel point possède un voisinage U ⊂ Gr0 (Fx ) dont tous les éléments s’écrivent sous la forme
a
0
0
g0 , k0 · 0
·
k
0
0 g00
avec
g0 ∈ G(Ox ) ,
k0 , k00 ∈ GLr0 (Ox ) ,
a0 ∈ Ox ,
g00 ∈ Mr0 −1 (Ox ) ,
a
detG (g0 ) = det k0 · 0
0
0
g00
·
k00
et où vx (det(g00 )) est un entier n0 ≥ 0 fixé.
La valeur de notre fonction
hx ∗ 1IGr0 (Ox ) = 1IGr0 (Ox ) ∗ hx
a
0
0
en un tel élément g0 , k0 · 0
·
k
est par définition égale à l’intégrale
0
0 g00
Z
a
0
0
0−1
d(gx , gx0 ) · hx (gx , gx0 ) · 1IGr0 (Ox ) g0 gx−1 , k0 · 0
·
k
·
g
0
x
0 g00
G 0 (Fx )
r
où
d(gx , gx0 )
désigne la mesure de Haar du groupe
Gr0 (Fx ) = {(gx , gx0 ) ∈ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) | detG (gx ) = det(gx0 )}
qui accorde le volume 1 au sous-groupe ouvert compact Gr0 (Ox ).
Or les éléments gx0 ∈ GLr0 (Fx ) admettent des décompositions d’Iwasawa
1
ux
a
0
gx0 = kx0 ·
· x
· k00
00
0 1r0 −1
0 gx
103
où
kx0 ∈ GLr0 (Ox ),
1r0 −1 désigne la matrice unité de GLr0 −1 (Fx ),
0
ux ∈ Fxr −1 est un vecteur ligne en dimension r0 − 1,
ax ∈ Fx× ,
gx00 ∈ GLr0 −1 (Fx ).
La condition detG (gx ) = det(gx0 ) devient
detG (gx ) = det(kx0 ) · ax · det(gx00 ) · det(k00 )
et la mesure d(gx , gx0 ) s’écrit
dgx · dkx0 · dux · dgx00 .
Comme les fonctions hx et 1IGr0 (Ox ) sont invariantes à gauche et à droite par Gr0 (Ox ), on obtient
a0 0
0
· k0
hx ∗ 1IGr0 (Ox ) g0 , k0 ·
0 g00
Z
dgx · dgx00 · dux · hx
=
0
G(Fx )×GLr0 −1 (Fx )×Fxr
1
gx ,
0
−1
· 1IGr0 (Ox )
g0 gx−1 ,
a0 ·
00
det(gx
)
detG (gx )
0
ux
·
1r0 −1
!!
0
gx00
!
−ux
.
1r0 −1
detG (gx )
00 )
det(gx
0
! 1
0
·
0
g00 gx00−1
Or les conditions
g00 gx00−1 ∈ Mr0 −1 (Ox )
avec
det(g00 ) = n0 fixé
et
gx00 ∈ Mr0 −1 (Ox )
imposent que gx00 reste dans un ensemble fini de classes de GLr0 −1 (Fx )/GLr0 −1 (Ox ).
Pour démontrer le théorème, il suffit donc de prouver le lemme suivant :
Lemme III.33. –
Sous les hypothèses du théorème, l’intégrale
Z
dg
·
du
·
hx
x
x
r 0 −1
G(Fx )×Fx
1
ux
gx ,
0 1r0 −1
·
detG (gx )
00 )
det(gx
0
0
gx00
!!
est convergente pour tout élément gx00 ∈ GLr0 −1 (Fx ).
Démonstration du lemme : Il résulte du corollaire III.29 que si la fonction hx vérifie les hypothèses du
théorème, il en est de même de la fonction |hx |. On peut donc supposer que hx est à valeurs réelles positives.
La transformée de Satake de la fonction hx
X
n
aµ,n1 ,...,nr0 · µ Z1n1 . . . Zr0r0
µ ∈ XT∨d
x
n1 , . . . , nr0 ∈ Z
hdetG , µi = n1 + . . . + nr0
104
s’identifie à celle de la fonction sphérique
G(Fx ) × GLr0 −1 (Fx ) −→
(gx , gx00 )
R+
Z
7−→
Fxr
0 −1
1
ux
gx ,
0 1r0 −1
dux · hx
detG (gx ) · det(g 00 ) x
0
− r 2−1
·
detG (gx )
00 )
det(gx
·
detG (gx )
00 )
det(gx
0
gx00
0
!!
1
· | det(gx00 )|x2
x
à condition de poser Z1 = 1.
Par conséquent, la fonction
G(Fx ) × GLr0 −1 (Fx ) −→
(gx , gx00 )
R+
Z
7−→
Fxr
0 −1
1
ux
gx ,
0 1r0 −1
dux · hx
0
gx00
0
!!
admet pour transformée de Satake la série formelle
r 0 −1
X
aµ,n1 ,n2 ,...,nr0 · qx 2
0
hdetG ,µi − r2 n2
qx
0
− r2 nr0
. . . qx
n
· µ Z2n2 . . . Zr0r0 .
µ ∈ XT∨d
x
n2 , . . . , nr0 ∈ Z
n1 = hdetG , µi − (n2 + . . . + nr0 )
D’après l’hypothèse (2) du théorème, la fonction sphérique
G(Fx ) −→
gx
R+
Z
7−→
Fxr
0 −1
dux · hx
1
ux
gx ,
·
0 1r0 −1
qui est supportée par G(Ox ), est de divergence ≤ d −
r 0 −1
2
detG (gx )
00 )
det(gx
0
0
gx00
!!
,
pour tout élément gx00 ∈ GLr0 −1 (Fx ).
La conclusion du lemme III.33 résulte alors de l’hypothèse (1) du théorème et de la proposition III.30(i).
Cela achève la preuve du théorème III.32.
105
106
Chapitre IV :
Rappels sur la décomposition spectrale
des fonctions localement constantes
sur un groupe linéaire local
1
Représentations lisses admissibles
Dans tout ce chapitre, on considère le groupe topologique GLr (Fx ) des points d’un groupe linéaire GLr
de rang r ≥ 1 à valeurs dans la complétion Fx d’un corps global F en une place x ∈ |F | non-archimédienne.
Le groupe topologique GLr (Fx ) est localement compact et unimodulaire. Il admet une unique mesure de
Haar dgx qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact GLr (Ox ).
On note Hxr l’espace des fonctions localement constantes à support compact sur GLr (Fx ). Muni du produit
de convolution défini par la mesure de Haar dgx , Hxr devient une algèbre associative mais non commutative
si r ≥ 2. On l’appelle l’algèbre de Hecke de GLr (Fx ).
r
On a déjà introduit la sous-algèbre Hx,∅
de Hxr constituée des fonctions invariantes à gauche et à droite
par le sous-groupe ouvert compact maximal GLr (Ox ). Cette sous-algèbre possède un élément unité
1Irx,∅ = 1IGLr (Ox )
qui est la fonction caractéristique de GLr (Ox ). De plus, elle possède la propriété très remarquable d’être
commutative, quel que soit le rang r ≥ 1.
r
Plus généralement, si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ), on note Hx,K
la sous-algèbre
x
r
de Hx constituée des fonctions invariantes à gauche et à droite par Kx . Elle possède un élément unité
1Irx,Kx =
1
1IKx
vol(Kx )
qui est le quotient de la fonction caractéristique de Kx par son volume pour la mesure dgx . On remarque
que pour tout élément g0 ∈ GLr (Fx ), l’application
hx 7→ [gx 7→ hx (g0 gx g0−1 )]
r
définit un automorphisme de l’algèbre Hxr qui transforme chaque sous-algèbre Hx,K
en la sous-algèbre
x
r
Hx,g−1 K g . Comme tout sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) possède un conjugué contenu dans GLr (Ox ),
x 0
0
r
l’étude des sous-algèbres Hx,K
peut se ramener à celle des sous-algèbres associées à des sous-groupes ouverts
x
Kx de GLr (Ox ).
Rappelons la définition suivante :
Définition IV.1. –
Une représentation π dans un espace vectoriel Vπ du groupe topologique GLr (Fx ) est dite “lisse admissible” si :
107
(1) Tout vecteur de Vπ est fixé par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ). Autrement dit, Vπ est la
réunion filtrante de ses sous-espaces
VπKx = {v ∈ Vπ | π(gx )(v) = v ,
∀ gx ∈ Kx }
associés aux sous-groupes ouverts compacts Kx de GLr (Fx ).
(2) Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), le sous-espace associé VπKx de Vπ est de dimension finie.
Si (π, Vπ ) est une représentation “lisse admissible” de GLr (Fx ), chaque sous-espace VπKx associé à un
sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) est naturellement muni d’une action de la sous-algèbre unitaire
r
r
Hx,K
de Hxr . Comme l’algèbre Hxr est la réunion filtrante de ses sous-algèbres Hx,K
, l’espace Vπ est muni
x
x
r
d’une action de l’algèbre Hx dont la connaissance est équivalente à celle de l’action de GLr (Fx ).
Nous nous intéressons particulièrement aux représentations lisses admissibles irréductibles. On a d’abord :
Lemme IV.2. –
(i) Soit (π, Vπ ) une représentation lisse admissible irréductible de GLr (Fx ). Alors, pour tout sous-groupe
r
s’il n’est
ouvert compact Kx de GLr (Fx ), VπKx est une représentation irréductible de l’algèbre Hx,K
x
pas nul.
(ii) Réciproquement, soient Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) et V Kx une représentation de
r
dimension finie et irréductible de Hx,K
. Alors il existe une représentation lisse admissible irréductible
x
(π, Vπ ) de GLr (Fx ) munie d’un isomorphisme
∼
V Kx −→ VπKx .
Cette représentation est unique à unique isomorphisme près.
Une représentation lisse admissible irréductible (π, Vπ ) de GLr (Fx ) sera dite de ramification ≥ Kx si
l’espace VπKx n’est pas nul. Dans ce cas, (π, Vπ ) est aussi de ramification ≥ Kx0 pour n’importe quel sousgroupe ouvert compact Kx0 de GLr (Fx ) qui est conjugué de Kx ou, plus généralement encore, contenu dans
un conjugué de Kx .
Une représentation lisse admissible irréductible (π, Vπ ) de ramification ≥ GLr (Ox ) est aussi appelée une
représentation non ramifiée.
Nous voulons maintenant rappeler comment construire des représentations lisses admissibles de GLr (Fx )
par induction à partir de représentations lisses admissibles de sous-groupes de Levy de GLr (Fx ).
Pour toute partition r = (r = r1 + . . . + rk ) du rang r, on note Pr le sous-groupe parabolique standard
de GLr qui lui est associé, Nr le radical unipotent de Pr et GLr = GLr1 × . . . × GLrk le sous-groupe de Levy
de Pr qui contient le tore maximal standard Tr = Grm de GLr . On a un isomorphisme canonique
∼
Pr −→ Nr o GLr ,
où GLr agit sur Nr par la conjugaison
Le caractère modulaire
(g, u) 7→ g · u · g −1 .
δr : Pr → Pr /Nr ∼
= GLr −→ Gm
108
est défini comme le déterminant de l’action linéaire de GLr ou Pr sur Lie(Nr ). On a
δr (g1 , . . . , gk ) =
Y
1≤i<j≤k
det(gi )rj
,
det(gj )ri
∀ (g1 , . . . , gk ) ∈ GLr = GLr1 × . . . × GLrk .
Définition IV.3. –
Soient une partition r = (r = r1 + . . . + rk ) du rang r et une représentation lisse admissible (π, Vπ ) de
GLr (Fx ), vue comme une représentation de Pr (Fx ).
On appelle “induite normalisée” de π, et on note
Indrr (π) ,
la représentation lisse admissible de GLr (Fx ) constituée des fonctions localement constantes
ϕ : GLr (Fx ) → Vπ
telles que
ϕ(bx · gx ) = |δr (bx )|1/2
x · π(bx )(ϕ(gx )) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
∀ bx ∈ Pr (Fx ) .
L’ajout du facteur de normalisation
Pr (Fx ) 3 bx 7→ |δr (bx )|1/2
x
est justifiée par la première assertion du lemme suivant :
Lemme IV.4. –
Si r = (r = r1 + . . . + rk ) est une partition du rang r et π est une représentation lisse admissible unitaire
de GLr (Fx ), l’induite normalisée
Indrr (π)
est une représentation lisse admissible unitaire de GLr (Fx ).
De plus, elle est irréductible si π est irréductible.
Si r = (r = r1 + . . . + rk ) est une partition du rang r en k intervalles, π est une représentation lisse
admissible de GLr (Fx ) et z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k est une collection de k nombres complexes inversibles, on
pourra noter
πz
la représentation lisse admissible de GLr (Fx ) définie comme le produit tensoriel de π et du caractère
GLr (Fx ) = GLr1 (Fx ) × . . . × GLrk (Fx ) −→
(g1 , . . . , gk ) 7−→
C×
Y
v (det(gi ))
zi x
.
1≤i≤k
Si la représentation π est unitaire, il est équivalent de demander que la représentation πz soit unitaire ou
que toutes les composantes z1 , . . . , zk de z aient 1 pour module.
Pour toute représentation lisse admissible π de GLr (Fx ), on notera [π] l’ensemble des représentations πz
indexées par les z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k . Ainsi, [π] a une structure de variété algébrique complexe : c’est
un tore de dimension k.
109
Si π est unitaire, on notera Im[π] la partie de [π] constituée des représentations unitaires. C’est un tore
réel compact, qui s’identifie au produit des cercles unités des k facteurs C× de [π]. On peut le munir de
l’unique mesure d0 π 0 invariante de volume 1.
Étant données deux partitions r = (r = r1 + . . . + rk ) et r0 = (r = r10 + . . . + rk0 0 ) du rang r et deux
représentations lisses admissibles irréductibles π et π 0 de GLr (Fx ) et GLr0 (Fx ), nécessairement de la forme
π = π1 ⊗ . . . ⊗ πk et π 0 = π10 ⊗ . . . ⊗ πk0 0 , on dira que les paires (r, π) et (r0 , π 0 ) sont équivalentes s’il existe
une bijection
σ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k 0 }
telle que
0
ri = rσ(i)
et
0
πi ∼
,
= πσ(i)
∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} .
On a :
Lemme IV.5. –
Soient π et π 0 deux représentations lisses admissibles irréductibles de deux sous-groupes de Levy GLr (Fx )
et GLr0 (Fx ) de GLr (Fx ).
Si les paires (r, π) et (r0 , π 0 ) sont équivalentes, les deux induites normalisées
Indrr (π)
et
Indrr0 (π 0 )
ont, à permutation près, la même suite finie de sous-quotients irréductibles.
En particulier, si l’une est irréductible, l’autre l’est aussi et elles sont isomorphes.
Si r = (r = r1 + . . . + rk ) est une partition du rang r et π est une représentation lisse admissible
irréductible du groupe GLr (Fx ) = GLr1 (Fx ) × . . . × GLrk (Fx ), on note Fixe(r, π) le groupe fini constitué des
paires (σ, z) où
• σ est une permutation de {1, 2, . . . , k} telle que
rσ(i) = ri ,
∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} ,
• z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k est une famille de nombres complexes telle que
πz ∼
= σ(π) .
Le groupe fini Fixe(r, π) agit sur la variété complexe [π] via la projection (σ, z) 7→ z. Il résulte du
lemme IV.5 ci-dessus que, pour toute représentation π 0 ∈ [π], la suite de composition de l’induite normalisée
Indrr (π 0 ) ne dépend que de l’orbite de π 0 sous l’action de Fixe(r, π).
Nous avons encore besoin de rappeler la notion très importante de “coefficients matriciels” d’une représentation :
Définition IV.6. –
Soit (π, Vπ ) une représentation lisse admissible de GLr (Fx ) ou, plus généralement, d’un sous-groupe de
Levy GLr (Fx ).
On appelle “coefficient matriciel” de π toute fonction sur GLr (Fx ) [resp. GLr (Fx )] qui est de la forme
gx 7→ hv ∗ , π(gx )(v)i
pour le choix de
110
• un vecteur v ∈ Vπ nécessairement fixé par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) [resp. GLr (Fx )],
• une forme linéaire v ∗ sur Vπ qui est invariante par un sous-groupe ouvert compact.
Remarque : Il résulte de la définition que tout coefficient matriciel d’une telle représentation π est invariant
à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) [resp. GLr (Fx )].
Toute représentation lisse admissible irréductible π d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ) admet
un caractère central
χπ : Zr (Fx ) = (Fx× )k → C× .
Cela signifie en particulier que tout coefficient matriciel ϕ de π vérifie la règle de transformation par le centre
Zr (Fx ) de GLr (Fx )
ϕ(zx · gx ) = χπ (zx ) · ϕ(gx ) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
∀ zx ∈ Zr (Fx ) .
On note qu’alors l’induite normalisée Indrr (π) admet pour caractère central la restriction de χπ au centre
Zr (Fx ) = Fx× de GLr (Fx ).
Si la représentation π est unitaire, son caractère central χπ est unitaire, si bien que, pour tout coefficient
matriciel ϕ de π, son module
|ϕ| : GLr (Fx ) → R+
est invariant par le centre Zr (Fx ) de GLr (Fx ).
Rappelons la définition de deux classes particulièrement importantes de représentations lisses admissibles
irréductibles :
Définition IV.7. –
(i) Une représentation lisse admissible irréductible π d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ) est
dite “supercuspidale” si, pour tout coefficient matriciel ϕ de π et pour tout sous-groupe parabolique non
trivial P de GLr de radical unipotent NP , la fonction
Z
GLr (Fx ) 3 gx 7→
dux · ϕ(ux · gx )
NP (Fx )
est uniformément nulle.
(ii) Une représentation lisse admissible irréductible π d’un GLr (Fx ) est dite “de carré intégrable” si elle
est unitaire et si, pour tout coefficient matriciel ϕ de π, le carré de son module
|ϕ|2 : GLr (Fx )/Zr (Fx ) → R+
est intégrable sur le quotient GLr (Fx )/Zr (Fx ).
Remarque : On montre que les coefficients matriciels des représentations supercuspidales de GLr (Fx )
sont à support compact modulo le centre Zr (Fx ). Les représentations supercuspidales unitaires sont donc
automatiquement “de carré intégrable”.
Rappelons comment toutes les représentations “de carré intégrable” sont construites à partir de représentations supercuspidales :
111
Proposition IV.8. –
(i) Si r = (r = r0 + . . . + r0 ) est une partition de r constituée de k facteurs égaux à r0 = kr , π est une
représentation supercuspidale de GLr0 (Fx ) et qx,k = (1, qx , qx2 , . . . , qxk−1 ) ∈ (C× )k , l’induite normalisée
Indrr ((π ⊗ . . . ⊗ π)qx,k )
possède un unique quotient irréductible, noté
Strk (π)
et appelé la représentation de Steinberg associée au diviseur k de r et à la représentation supercuspidale
π de GL kr (Fx ).
Elle est unitaire si et seulement si (π)q(k−1)/2 est unitaire et, dans ce cas, elle est de carré intégrable.
x
(ii) Réciproquement, toute représentation “de carré intégrable” de GLr (Fx ) est
• soit une représentation supercuspidale unitaire,
• soit une représentation de Steinberg unitaire
Strk (π)
associée à un diviseur k de r et à une représentation supercuspidale π de GL kr (Fx ), qui sont
uniquement déterminés.
Il est naturel de poser la définition suivante :
Définition IV.9. –
Considérons deux partitions r = (r = r1 + . . . + rk ) et r0 = (r = r10 + . . . + rk0 0 ) de l’entier r, et deux
représentations lisses admissibles irréductibles π = π1 ⊗ . . . ⊗ πk et π 0 = π10 ⊗ . . . ⊗ πk0 0 de GLr (Fx ) et
GLr0 (Fx ).
On suppose que π est supercuspidale.
On dira que π 0 est une “induite à la Steinberg” de π s’il existe une application surjective
σ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k 0 }
telle que, pour tout indice i0 ∈ {1, 2, . . . , k 0 }, on ait :
• Si i0 possède un unique antécédent i par σ, alors
ri00 = ri
πi00 ∼
= πi .
et
• Si i0 possède ki0 ≥ 2 antécédents par σ, il est possible de numéroter ceux-ci en i1 , i2 , . . . , iki0 de façon
que
r00
ri1 = ri2 = . . . = rik0 = i ,
ki0
∼ (πi ) j−1 , ∀ j ∈ {1, 2, . . . , ki0 } ,
πi =
j
et
1
qx
0
r0
πi00 ∼
= Stkii0 (πi1 ) .
112
2
La formule de Plancherel avec ramification pour GLr (Fx )
Étant donnés une représentation lisse admissible irréductible π d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de
GLr (Fx ) et un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), on dira, généralisant la définition qui suit le
lemme IV.2, que π est de ramification ≥ Kx si tous les sous-quotients irréductibles de l’induite normalisée
Indrr (π)
sont de ramification ≥ Kx .
Dans ce cas, π est de ramification ≥ Kx0 pour n’importe quel sous-groupe ouvert Kx0 d’un conjugué de
Kx .
D’autre part, il résulte du lemme IV.5 que si une paire (r, π) est de ramification ≥ Kx , il en est de même
de toute paire équivalente (r0 , π 0 ).
Commençons par le lemme suivant :
Lemme IV.10. –
Disons que deux représentations lisses admissibles irréductibles π et π 0 de deux sous-groupes de Levy
GLr (Fx ) et GLr0 (Fx ) sont faiblement équivalentes si les deux variétés [π] et [π 0 ] contiennent deux éléments
équivalents ou, ce qui revient au même, si tout élément de [π] [resp. [π 0 ]] est équivalent à un élément de [π 0 ]
[resp. [π]].
Alors on a pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) :
(i) L’ensemble des classes d’isomorphie de paires (r, π) de ramification ≥ Kx est contenu dans une réunion
finie de classes d’équivalence faible.
(ii) Il existe un sous-groupe ouvert Kx0 ⊂ Kx tel que pour toute paire (r, π) de ramification ≥ Kx , toute
paire (r0 , π 0 ) faiblement équivalente à (r, π) est de ramification ≥ Kx0 .
Nous sommes maintenant en mesure de rappeler l’énoncé de la mesure de Plancherel avec ramification
arbitraire sur un groupe linéaire :
Théorème IV.11. –
Soit un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ).
Soit une famille finie de paires (r, π0 ) qui représente les classes déquivalence faible de représentations π
de carré intégrable et de ramification ≥ Kx de sous-groupes de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ).
Alors il existe sur chaque tore réel compact Im[π0 ] une mesure unique
dπ ,
appelée la mesure de Plancherel, qui possède les propriétés suivantes :
(1) La mesure dπ sur chaque Im[π0 ] est invariante par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ).
(2) Pour toute fonction à support compact
r
hx ∈ Hx,K
x
invariante à gauche et à droite par Kx , on a
X Z
hx (1) =
(r,π0 )
Im[π0 ]
dπ · TrIndrr (π) (hx )
où chaque fonction
[π0 ] 3 π 7→ TrIndrr (π) (hx )
est le polynôme sur le tore complexe [π0 ] qui est défini comme la trace de l’action de hx sur l’espace de
la représentation Indrr (π).
113
Remarque : La mesure de Plancherel dπ sur chaque Im[π0 ] est de la forme
dπ = Rπ0 (π) · d0 π
où d0 π désigne la mesure de Haar de volume 1 et la densité π 7→ Rπ0 (π) est la trace sur Im[π0 ] d’une fraction
rationnelle Rπ0 sur [π0 ] dont les pôles ne rencontrent pas Im[π0 ].
Pour toute fonction de Hecke hx ∈ Hxr et tout élément gx ∈ GLr (Fx ), on notera
hgxx : gx0 7→ hgxx (gx0 ) = hx (gx0 gx )
la fonction sur GLr (Fx ) déduite de hx par translation à droite par l’élément gx .
On déduit du théorème précédent :
Corollaire IV.12. –
Soit un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ).
Soit une famille finie de paires (r, π0 ) qui représente les classes d’équivalence faible de représentations π
de carré intégrable et de ramification ≥ Kx de sous-groupes de Levy GLr (Fx ).
Alors on a pour toute fonction
r
hx ∈ Hx,K
x
et tout élément gx ∈ GLr (Fx )
X Z
hx (gx ) =
(r,π0 )
Im[π0 ]
dπ · TrIndrr (π) (hgxx ) .
Démonstration : Il existe un sous-groupe ouvert Kx0 de Kx tel que la fonction hgxx soit invariante à gauche
et à droite par Kx0 .
La formule de l’énoncé est donc vraie, d’après le théorème de Plancherel, si (r, π0 ) décrit une famille
finie qui représente les classes d’équivalence faible de représentations π de carré intégrable et de ramification
≥ Kx0 .
Or la fonction hgxx reste invariante à gauche par Kx tout comme hx .
On a donc
TrIndrr (π) (hx ) = 0
chaque fois que la paire (r, π) n’est pas de ramification ≥ Kx .
D’où la formule voulue.
On peut reformuler ce corollaire comme un théorème de décomposition spectrale :
Corollaire IV.13. –
Avec les notations du théorème IV.11 et du corollaire IV.12, les éléments de l’algèbre
r
Hx,K
,
x
c’est-à-dire les fonctions à support compact
hx : Kx \GLr (Fx )/Kx → C
114
se décomposent sous la forme
gx 7→ hx (gx ) =
X Z
(r,π0 )
dπ · hx,r,π0 (π, gx )
Im[π0 ]
où :
(1) chaque hx,r,π0 (•, •) est une fonction sur le produit [π0 ] × GLr (Fx ),
(2) pour tout π ∈ [π0 ], la fonction
GLr (Fx ) 3 gx 7→ hx,r,π0 (π, gx )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
matriciels de la représentation Indrr (π),
(3) pour tout gx ∈ GLr (Fx ), la fonction
[π0 ] 3 π 7→ hx,r,π0 (π, gx )
est un polynôme sur le tore complexe [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ).
r
écrite sous cette forme, on a pour toute paire (r, π0 ) qui apparaı̂t
De plus, pour toute fonction hx ∈ Hx,K
x
dans la sommation, tout π ∈ [π0 ] et tout gx ∈ GLr (Fx )
hx,r,π0 (gx ) = TrIndrr (π) (hgxx ) .
La décomposition en fonctions hx,r,π0 (•, •) possédant les propriétés (1), (2) et (3) est donc entièrement
déterminée par hx .
Choisissons une fois pour toutes une famille de représentants (r, π0 ) des classes d’équivalence faible des
représentations de carré intégrable des sous-groupes de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ).
Alors toute fonction de Hecke
hx ∈ Hxr
se décompose de manière unique sous la forme
hx (gx ) =
X Z
(r,π0 )
dπ · hx,r,π0 (π, gx )
Im[π0 ]
où chaque fonction hx,r,π0 (•, •) possède les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire IV.13 relativement à
n’importe quel sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) par lequel la fonction hx est invariante à gauche
et à droite.
Étant donné un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), on dira qu’une fonction
hx ∈ Hxr
est de ramification ≥ Kx si, dans sa décomposition spectrale
X Z
hx (gx ) =
dπ · hx,r,π0 (π, gx ) ,
(r,π0 )
Im[π0 ]
les seules composantes
hx,r,π0 (•, •)
115
qui ne sont pas uniformément nulles sont associées à des paires (r, π0 ) telles que toutes les représentations
π ∈ Im[π0 ] sont de ramification ≥ Kx .
r
Toute fonction élément de la sous-algèbre Hx,K
est de ramification ≥ Kx mais la réciproque est
x
évidemment fausse.
Si une fonction est de ramification ≥ Kx , elle est aussi de ramification Kx0 pour n’importe quel sous-groupe
ouvert Kx0 d’un conjugué de Kx .
Enfin, si une fonction est de ramification ≥ Kx , il en est de même de ses translatées à gauche ou à droite
par n’importe quels éléments de GLr (Fx ).
Rappelons que, pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), la sous-algèbre de Hecke possède
l’élément unité
1
1Irx,Kx (•) =
· 1IKx (•) .
vol(Kx )
Notons
X Z
x
dπ · 1Ir,K
1Irx,Kx (gx ) =
x,r,π0 (π, gx )
(r,π0 )
Im[π0 ]
la décomposition spectrale de cet élément unité.
L’unicité de la décomposition spectrale des fonctions de Hecke hx ∈ Hxr implique :
Corollaire IV.14. –
Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et toute fonction de Hecke
r
hx ∈ Hx,K
x
décomposée spectralement en
hx (gx ) =
X Z
(r,π0 )
dπ · hx,r,π0 (π, gx ) ,
Im[π0 ]
on a pour tout représentant (r, π0 ) l’identité
hx,r,π0 (π, •)
=
x
1Ir,K
x,r,π0 (π, •) ∗ hx
=
x
hx ∗ 1Ir,K
x,r,π0 (π, •)
en toute représentation π ∈ [π0 ].
3
Les coefficients unipotents des fonctions de Hecke
Considérons désormais un caractère additif local, continu donc unitaire, et non trivial
ψx : Fx → C× .
Plus tard, nous prendrons pour ψx la composante locale en x d’un caractère additif non trivial ψ : A/F → C×
mais il nous suffit dans le présent chapitre d’envisager le caractère local ψx .
Il lui est associé le caractère régulier
ψ(r) : 
1

0

 ..
.

.
 ..
u1,2
...
1
..
.
0
...
u2,3
..
.
..
.
...
Nr (Fx) −→
...
ur,r
.. 
. 

..  7−→
..
.
. 


1 ur−1,r 
0
1
116
C× ,
ψx
P
u
1≤i<r i,i+1 .
Voici la définition des coefficients unipotents des fonctions de Hecke :
Définition IV.15. –
On appelle ψx -coefficient unipotent d’une fonction de Hecke hx ∈ Hxr et on note
ψx
hx : GLr (Fx ) → C
W(r)
la fonction définie par l’intégrale
Z
GLr (Fx ) 3 gx 7→
Nr (Fx )
−1
dux · ψ(r)
(ux ) · hx (ux · gx ) .
Pour toute hx ∈ Hxr , on a
ψx
ψx
W(r)
hx (ux · gx ) = ψ(r) (ux ) · W(r)
hx (gx ) ,
∀ ux ∈ Nr (Fx ) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
et la fonction
ψx
|W(r)
hx | : Nr (Fx )\GLr (Fx ) → R+
est à support compact.
La fonctionnelle
ψx
Hxr 3 hx 7→ W(r)
hx
est équivariante pour l’action du groupe GLr (Fx ) par translation à droite ou, si l’on préfère, pour l’action
de l’algèbre de Hecke Hxr par convolution à droite.
Remarquons enfin que si hx ∈ Hxr est invariante à gauche par un sous-groupe ouvert compact Kx et que
ψx
la restriction du caractère ψ(r) à Nr (Fx ) ∩ Kx est non triviale, alors le coefficient unipotent associé W(r)
hx
est uniformément nul.
On a le lemme suivant :
Lemme IV.16. –
Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et pour tout élément gx ∈ GLr (Fx ), les intégrales
Z
−1
dux · ψ(r)
(ux ) · 1IC (ux · gx )
Nr (Fx )
associées aux doubles classes
C ∈ Kx \GLr (Fx )/Kx
sont nulles sauf pour un nombre fini de telles doubles classes C.
Démonstration : Il existe un sous-groupe ouvert distingué Kx0 de GLr (Ox ) tel que chaque partie
C · gx−1 ,
C ∈ Kx \GLr (Fx )/Kx
soit une réunion finie de doubles classes
C 0 ∈ Kx0 \GLr (Fx )/Kx0 .
On peut donc supposer que gx = 1 et que Kx est un sous-groupe ouvert distingué de GLr (Ox ).
117
Les doubles classes éléments de
GLr (Ox )\GLr (Fx )/GLr (Ox )
sont indexées par les familles d’entiers
n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nr .
Elles consistent en les matrices gx ∈ GLr (Fx ) telles que
vx (Λi gx ) = n1 + . . . + ni ,
∀ i ∈ {1, 2, . . . , r} ,
où, pour 1 ≤ i ≤ r, la notation vx (Λi gx ) désigne le minimum des valuations des coefficients de la matrice
Λi gx c’est-à-dire des déterminants mineurs de degré i de gx .
Il existe un entier N ≥ 0 ne dépendant que du sous-groupe ouvert Kx de GLr (Ox ) tel que, pour toute
double classe
C ∈ Kx \GLr (Fx )/Kx
dont l’image dans
GLr (Ox )\GLr (Fx )/GLr (Ox )
est indexée par des entiers n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nr , la condition
gx ∈ C
équivaut à ce que, pour 1 ≤ i ≤ r, la matrice Λi gx soit de valuation vx (Λi gx ) = n1 + . . . + ni et que la
−(n +...+ni )
· Λi gx vérifie certaines relations de congruence modulo $xN .
matrice à coefficients entiers $x 1
Or, notant Nψx le conducteur du caractère additif ψx , la restriction de ψx au sous-groupe ouvert compact
{ax ∈ Fx | vx (ax ) ≥ Nψx − 1}
est non triviale.
Le lemme se déduit de ces faits.
Pour toute fonction fx : GLr (Fx ) → C invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact
ψx
Kx de GLr (Fx ), on notera W(r)
fx la fonction
Z
X
ψx
GLr (Fx ) 3 gx 7→ W(r)
fx (gx ) =
C∈Kx \GLr (Fx )/Kx
Nr (Fx )
−1
dux · ψ(r)
(ux ) · 1IC (ux · gx ) · fx (ux · gx ) .
ψx
D’après le lemme IV.16 ci-dessus, cette somme est localement finie si bien que la fonction W(r)
fx est
toujours bien définie. Elle ne dépend que de fx et pas du choix de Kx . Elle est invariante à droite par Kx et
vérifie
ψx
ψx
W(r)
fx (ux · gx ) = ψ(r) (ux ) · W(r)
fx (gx ) , ∀ ux ∈ Nr (Fx ) , ∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
La fonctionnelle
ψx
fx 7→ W(r)
fx
permet de passer de la décomposition spectrale des fonctions de Hecke hx ∈ Hxr à une décomposition spectrale
de leurs coefficients unipotents :
Proposition IV.17. –
Considérons une fonction de Hecke
hx ∈ Hxr
118
et sa décomposition spectrale
hx (•) =
X Z
(r,π0 )
dπ · hx,r,π0 (π, •) .
Im[π0 ]
Alors la famille des fonctions
ψx
hx,r,π0 : [π0 ] × GLr (Fx ) → C
W(r)
indexées par les représentants choisis (r, π0 ) possède les propriétés suivantes :
(1) Pour toute paire (r, π0 ) et toute représentation π ∈ [π0 ], la fonction
ψx
hx,r,π0 (π, •) : GLr (Fx ) → C
W(r)
est invariante à droite par tout sous-groupe de GLr (Fx ) par lequel la fonction hx est invariante à droite.
Elle vérifie
ψx
ψx
hx,r,π0 (π, gx ) ,
W(r)
hx,r,π0 (π, ux · gx ) = ψx (ux ) · W(r)
∀ ux ∈ Nr (Fx ) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
et, plus précisément, elle est élément du ψx -modèle de Whittaker de la représentation π.
(2) Pour toute paire (r, π0 ) et tout point gx ∈ GLr (Fx ), la fonction
ψx
W(r)
hx,r,π0 (•, gx )
est un polynôme sur le tore complexe [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ).
(3) On a la formule de décomposition
X Z
ψx
ψx
W(r)
hx (gx ) =
dπ · W(r)
hx,r,π0 (π, gx ) , ∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
(r,π0 )
Im[π0 ]
ψx
De plus, la famille des fonctions W(r)
hx,r,π0 (•, •) est entièrement déterminée par ces propriétés (1),
(2) et (3).
Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et toute fonction de Hecke
r
hx ∈ Hx,K
x
invariante à gauche et à droite par Kx , l’identité
hx = 1Irx,Kx ∗ hx
entraı̂ne
ψx
ψr r
W(r)
hx = (W(r)
1Ix,Kx ) ∗ hx ,
ψx
et la décomposition spectrale du coefficient unipotent W(r)
hx de hx se déduit de celle
Z
X
ψx r
ψx r,Kx
W(r)
1Ix,Kx (•) =
dπ · W(r)
1Ix,r,π0 (π, •)
(r,π0 )
Im[π0 ]
ψx r
r
du coefficient unipotent W(r)
1Ix,Kx de l’élément unité 1Irx,K de la sous-algèbre de Hecke Hx,K
:
x
Corollaire IV.18. –
r
Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), toute fonction hx ∈ Hx,K
et toute paire (r, π0 )
x
élément de la famille de représentants choisie, on a l’identité
ψx
ψx r,Kx
W(r)
hx,r,π0 (π, •) = (W(r)
1Ix,r,π0 (π, •)) ∗ hx ,
∀ π ∈ [π0 ] .
119
4
Caractérisation des fonctions à support compact par leur décomposition spectrale
Commençons par caractériser par leur décomposition spectrale celles des fonctions de type de Whittaker
qui sont à support compact :
Proposition IV.19. –
Considérons une fonction
Wx : GLr (Fx ) → C
qui est de type de Whittaker. Autrement dit :
• Wx est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ),
• on a
Wx (ux · gx ) = ψx (ux ) · Wx (gx ) , ∀ ux ∈ Nr (Fx ) , ∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
Et supposons que Wx admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
Wx (•) =
dπ · Wx,r,π0 (π, •)
(r,π0 )
Im[π0 ]
où les fonctions
Wx,r,π0 : [π0 ] × GLr (Fx ) → C
possèdent les propriétés (1) et (2) de la proposition IV.17.
Alors le support de la fonction Wx dans GLr (Fx ) est compact modulo Nr (Fx ) si et seulement si la famille
des fonctions Wx,r,π0 (•, •) possède la propriété supplémentaire suivante :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ], on a l’identité
Wx,r1 ,π1 (π10 , •) = Wx,r2 ,π2 (π20 , •)
chaque fois que π20 est une “induite à la Steinberg” de π10 au sens de la définition IV.9.
En utilisant comme dans la proposition IV.17 la fonctionnelle
ψx
fx 7→ W(r)
fx
construite à la suite du lemme IV.16, on déduit de la proposition IV.19 ci-dessus :
Corollaire IV.20. –
Considérons une fonction
hx : GLr (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et qui admet une
décomposition spectrale de la forme
X Z
dπ · hx,r,π0 (π, •)
hx (•) =
(r,π0 )
Im[π0 ]
où les fonctions hx,r,π0 possèdent les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire IV.13.
Alors le support de la fonction hx dans GLr (Fx ) est compact si et seulement si, pour tout caractère
ψx
additif continu non trivial ψx : Fx → C× , la famille des fonctions W(r)
hx,r,π0 (•, •) possède la propriété
supplémentaire suivante :
120
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
ψx
ψx
hx,r2 ,π2 (π20 , •) .
hx,r1 ,π1 (π10 , •) = W(r)
W(r)
5
Sections des fonctionnelles unipotentes
Le lemme IV.16 a permis de définir la fonctionnelle linéaire
ψx
fx
fx 7→ W(r)
qui va de l’espace des fonctions fx : GLr (Fx ) → C invariantes à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert
compact de GLr (Fx ) dans l’espace des fonctions de type de Whittaker.
En sens inverse, considérons un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et une fonction
Wx : GLr (Fx ) → C
qui est de type de Whittaker : Autrement dit on a
Wx (ux · gx ) = ψ(r) (ux ) · Wx (gx ) ,
∀ ux ∈ Nr (Fx ) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
et Wx est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ).
On notera
Kx Wx : GLr (Fx ) → C
la fonction définie par l’intégrale
Kx Wx (gx ) =
1
vol(Kx )
Z
dkx · Wx (kx · gx ) .
Kx
La fonctionnelle linéaire
Wx 7→ Kx Wx
va ainsi de l’espace des fonctions de type de Whittaker vers l’espace des fonctions sur GLr (Fx ) qui sont
invariantes à gauche par Kx et invariantes à droite par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ).
Tout comme
ψx
fx 7→ W(r)
fx ,
la fonctionnelle
Wx 7→ Kx Wx
est équivariante pour l’action de GLr (Fx ) par translation à droite ou, ce qui revient au même, pour l’action
de l’algèbre de Hecke Hxr par convolution à droite.
On déduit de cette remarque :
Lemme IV.21. –
Soit π une représentation lisse admissible de GLr (Fx ) qui est “de type de Whittaker” et possède donc un
modèle de Whittaker. Alors :
(i) Pour toute fonction fx : GLr (Fx ) → C qui est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels
ψx
de π, la fonction W(r)
fx : GLr (Fx ) → C est élément du ψx -modèle de Whittaker de π.
121
(ii) Réciproquement, si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) et Wx : GLr (Fx ) → C est un
élément du ψx -modèle de Whittaker de π, la fonction Kx Wx : GLr (Fx ) → C est un coefficient matriciel
de π.
Rappelons que pour toute représentation lisse admissible π d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) qui est
supercuspidale ou, plus généralement, faiblement équivalente à une représentation “de carré intégrable”, la
représentation induite normalisée
Indrr (π)
est “de type de Whittaker”.
On a d’autre part comme conséquence du corollaire IV.20 :
Proposition IV.22. –
Soit une fonction de type de Whittaker
Wx : GLr (Fx ) → C
dont le support est compact modulo l’action à gauche de Nr (Fx ).
Alors, pour n’importe quel sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), la fonction
Kx Wx : GLr (Fx ) → C
est à support compact dans GLr (Fx ).
Démonstration : La fonction Wx admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
dπ · Wx,r,π0 (π, •)
Wx (•) =
(r,π0 )
Im[π0 ]
où la famille des fonctions Wx,r,π0 (•, •) possède les propriétés (1) et (2) de la proposition IV.17 ainsi que la
propriété (∗) de la proposition IV.19.
Alors la fonction Kx Wx admet la décomposition spectrale
X Z
Kx Wx (•) =
dπ · Kx Wx,r,π0 (π, •)
(r,π0 )
Im[π0 ]
où la famille des fonctions Kx Wx,r,π0 (•, •) possède les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire IV.13.
De plus, pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour
toutes représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
Kx Wx,r1 ,π1 (π10 , •) = Kx Wx,r2 ,π2 (π20 , •) .
A fortiori, la décomposition spectrale de la fonction Kx Wx vérifie la condition (∗) du corollaire IV.20, si bien
que le support de Kx Wx est compact.
Ainsi, les deux fonctionnelles en sens inverse équivariantes
ψx
hx 7→ W(r)
hx
122
et
Wx 7→ Kx Wx
Hxr
envoient l’un dans l’autre l’espace de Hecke
des fonctions localement constantes à support compact et
l’espace des fonctions de type de Whittaker dont le support est compact modulo Nr (Fx ).
On a encore :
Lemme IV.23. –
Soit Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ). Alors :
(i) Pour toute paire (r, π0 ) et toute représentation π ∈ [π0 ], considérons les deux fonctionnelles en sens
inverse
ψx
fx 7→ W(r)
fx
et
Wx 7→ Kx Wx
qui envoient l’un dans l’autre l’espace des combinaisons linéaires finies de coefficients matriciels de la
représentation Indrr (π) et son modèle de Whittaker.
Alors l’opérateur composé
ψx
Wx 7→ W(r)
K x Wx
est un endomorphisme scalaire du modèle de Whittaker de Indrr (π). On note sa valeur propre
ψx ,Kx
Px,r,π
(π) .
0
(ii) Pour toute paire (r, π0 ) élément de la famille de représentants choisie, la fonction
ψx ,Kx
(π)
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
0
est un polynôme sur le tore complexe [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ).
Si r = (r = r1 + . . . + rk ), ce polynôme est également invariant par l’action diagonale de C× sur
[π0 ] ∼
= (C× )k .
(iii) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ), et pour toutes représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que
π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
ψx ,Kx
ψx ,Kx
Px,r
(π10 ) = Px,r
(π20 ) .
1 ,π1
2 ,π2
Démonstration :
(i) L’opérateur composé
ψx
Wx 7→ W(r)
K x Wx
est scalaire parce que c’est un endomorphisme équivariant du modèle de Whittaker de Indrr (π) et que
ce modèle de Whittaker est une représentation irréductible de GLr (Fx ) ou Hxr .
(ii) Le polynôme
ψx ,Kx
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
(π)
0
est invariant par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ) parce que, si deux représentations π, π 0 ∈ [π0 ] sont
équivalentes, les induites normalisées Indrr (π) et Indrr (π 0 ) ont le même modèle de Whittaker.
D’autre part, le tore C× agit diagonalement sur [π0 ] en associant à tout z ∈ C× l’opérateur de tensorisation par le caractère
GLr (Fx ) 3 gx 7→ z vx (det(gx )) .
123
Cet opérateur commute avec l’opérateur
Wx 7→ Kx Wx
car tout élément kx du sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) vérifie
vx (det(kx )) = 0 .
Il commute également avec l’opérateur
ψx
fx
fx 7→ W(r)
car tout élément ux de Nr (Fx ) vérifie
det(ux ) = 1
et a fortiori
vx (det(ux )) = 0 .
ψx ,Kx
On en déduit que le polynôme π 7→ Px,r,π
(π) est invariant par l’action diagonale de C× .
0
(iii) résulte de ce que, si π20 ∈ [π2 ] est une “induite à la Steinberg” de π10 ∈ [π1 ], alors les induites Indrr1 (π10 )
et Indrr2 (π20 ) ont le même modèle de Whittaker.
On déduit de ce lemme :
Corollaire IV.24. –
Soit une fonction de type de Whittaker
Wx : GLr (Fx ) → C
qui admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
Wx (•) =
(r,π0 )
dπ · Wx,r,π0 (π, •)
Im[π0 ]
où la famille des fonctions Wx,r,π0 : [π0 ] × GLr (Fx ) → C possède les propriétés (1) et (2) de la proposition IV.17.
Alors, pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), la fonction
ψx
W(r)
Kx Wx : GLr (Fx ) → C
admet la décomposition spectrale
ψx
W(r)
Kx Wx (•)
=
X Z
(r,π0 )
Im[π0 ]
ψx ,Kx
dπ · Px,r,π
(π) · Wx,r,π0 (π, •) .
0
Le lemme IV.23 donne une décomposition spectrale de l’opérateur composé
ψx
Wx 7→ W(r)
Kx Wx .
Voyons ce qu’il en est de l’opérateur composé dans l’autre sens
ψx
hx 7→ Kx W(r)
hx .
124
Lemme IV.25. –
Soit (r, π0 ) une paire élément de la famille de représentants choisie.
Pour toute représentation π ∈ [π0 ], considérons l’endomorphisme
ψx
hx
hx 7→ Kx W(r)
de l’espace des combinaisons linéaires finies de coefficients matriciels de Indrr (π). Alors :
ψx ,Kx
(i) Si Px,r,π
(π) = 0, le carré de cet endomorphisme est égal à 0.
0
ψx ,Kx
(π) n’est pas uniformément nul sur le tore complexe [π0 ], cet endomor(ii) Si le polynôme π 7→ Px,r,π
0
phisme est, en toute représentation π ∈ [π0 ], le composé d’un projecteur (dont les coefficients sont des
ψx ,Kx
polynômes en π) et de la multiplication par le scalaire Px,r,π
(π).
0
ψx
Démonstration : Notons simplement Kx et W(r)
les deux opérateurs considérés.
On sait d’après le lemme IV.23 que, en toute représentation π ∈ [π0 ], on a
ψx
ψx ,Kx
W(r)
Kx = Px,r,π
(π) · Id .
0
On en déduit que
ψx ψx ψx ψx ,Kx
Kx W(r)
◦ Kx W(r)
= Px,r,π
(π) · Kx W(r)
.
0
D’où la double conclusion du lemme.
On peut démontrer le lemme suivant qui permet de réaliser l’hypothèse du lemme IV.25(ii) ci-dessus :
Lemme IV.26. –
Soit π0 une représentation “de carré intégrable” d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ).
Alors le polynôme
ψx ,Kx
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
(π)
0
n’est pas uniformément nul dès que le sous-groupe ouvert compact Kx est assez petit en fonction de π0 et,
bien sûr, du caractère additif non trivial ψx .
Les résultats qui précèdent permettent de démontrer :
Proposition IV.27. –
Considérons une fonction de type de Whittaker
Wx : GLr (Fx ) → C
dont le support est compact modulo Nr (Fx ).
Soit Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) tel que pour toute paire (r, π0 ) qui apparaı̂t non
trivialement dans la décomposition spectrale
X Z
Wx (•) =
dπ · Wx,r,π0 (π, •)
(r,π0 )
Im[π0 ]
de Wx , le polynôme
ψx ,Kx
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
(π)
0
125
n’est pas uniformément nul.
Alors, pour qu’il existe une fonction localement constante à support compact
hx ∈ Hxr
vérifiant
ψx
hx = Wx ,
W(r)
il faut et il suffit que soit satisfaite la condition suivante :
(∗) Pour toute paire (r, π0 ), le polynôme
ψx ,Kx
Px,r,π
: [π0 ] → C
0
divise tous les polynômes
[π0 ] 3 π 7→ Kx Wx,r,π0 (π, gx )
d’évaluation des fonctions Kx Wx,r,π0 (π, •) en les points gx ∈ GLr (Fx ).
De plus, si cette condition (∗) est satisfaite, on peut construire une fonction hx ∈ Hxr qui vérifie l’identité
voulue
ψx
W(r)
hx = Wx ,
par la formule spectrale
hx (•) =
X Z
(r,π0 )
dπ ·
Im[π0 ]
Kx Wx,r,π0 (π, •)
ψx ,Kx
Px,r,π
0 (π)
.
6
Facteurs L locaux et prolongement sur l’espace des matrices
Rappelons que l’on associe à toute représentation lisse admissible π d’un groupe linéaire local GLr (Fx ),
r ≥ 1, un “facteur L local” qui a la forme
Lx (π, Z) =
Y
1≤i≤rπ
1
1 − zπi · Z
avec nécessairement 1 ≤ rπ ≤ r et zπi ∈ C× , 1 ≤ i ≤ rπ . La suite des zπi est bien définie à l’ordre près. On
l’appelle la suite des valeurs propres de Hecke de π.
Les facteurs L locaux suivent les règles de formation suivantes :
Proposition IV.28. –
(i) Si π est une représentation lisse admissible supercuspidale d’un groupe linéaire local GLr (Fx ) de rang
r ≥ 1, on a
Lx (π, Z) = 1
sauf si r = 1 et si le caractère π de GL1 (Fx ) = Fx× est non ramifié. Dans ce cas, on a
Lx (π, Z) =
1
1 − zπ · Z
où zπ ∈ C× désigne la valeur propre de Hecke du caractère non ramifié π, c’est-à-dire l’unique scalaire
tel que
π(ax ) = zπvx (ax ) ,
∀ ax ∈ Fx× .
126
(ii) Si π = π1 ⊗ . . . ⊗ πk est une représentation lisse admissible irréductible d’un sous-groupe de Levy
GLr (Fx ) de GLr (Fx ) associé à une partition r = (r = r1 + . . . + rk ) d’un rang r ≥ 1, on a
Y
Lx (Indrr (π), Z) =
Lx (πi , Z) .
1≤i≤k
Plus généralement, pour tout élément de la variété [π] écrit sous la forme
πz
avec
z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k ,
on a
Lx (Indrr (πz ), Z) =
Y
Lx (πi , zi Z) .
1≤i≤k
(iii) Soit π une représentation lisse admissible d’un groupe linéaire local GLr (Fx ) de rang r ≥ 1.
Alors le polynôme
Y
Lx (π, Z)−1 =
(1 − zπi · Z)
1≤i≤rπ
est le plus petit commun multiple des polynômes
Lx (π 0 , Z)−1
associés aux sous-quotients irréductibles π 0 de π.
(iv) Si r = kr0 et
π = Strk (π 0 )
est la représentation de Steinberg associée à une représentation supercuspidale π 0 de GLr0 (Fx ), on a
Lx (π, Z) = 1
sauf si r0 = 1, k = r et π 0 est un caractère non ramifié de GL1 (Fx ) = Fx× , auquel cas on a
Lx (π, Z) = Lx (π 0 , Z) =
1
.
1 − zπ0 · Z
La représentation de Steinberg π = Strr (π 0 ) possède alors une unique valeur propre de Hecke
zπ = zπ0 .
Elle est unitaire si et seulement si
− r−1
2
|zπ | = qx
.
Remarque : Dans la situation de (ii), on notera simplement
Y
Lx (πi , Z) = Lx (π, Z) .
1≤i≤k
Pour toute représentation de carré intégrable π0 d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ), la
proposition ci-dessus détermine complètement le facteur L local
Lx (Indrr (π), Z) = Lx (π, Z)
127
associé aux représentations π ∈ [π0 ].
On observe que les coefficients de cette fraction rationnelle en Z sont des polynômes sur le tore complexe
[π0 ] qui sont invariants par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ).
Rappelons encore que pour toute représentation lisse admissible (π, Vπ ) de GLr (Fx ), on appelle “représentation contragrédiente” de π, et on note π ∨ , la représentation dont l’espace Vπ∨ est constitué des formes
linéaires
` : Vπ → C
qui sont invariantes par un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ).
On a :
Lemme IV.29. –
Soient une représentation lisse admissible unitaire π de GLr (Fx ) et son facteur L local
Y
Lx (π, Z) =
1≤i≤rπ
1
.
1 − zπi · Z
∨
Alors la représentation contragrédiente π de π admet pour facteur L local
Lx (π ∨ , Z) =
Y
1
1≤i≤rπ
1 − zπi · Z
.
L’introduction des facteurs L locaux se justifie par le résultat suivant :
Théorème IV.30. –
Considérons une fonction
hx : GLr (Fx ) → C
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ).
Supposons qu’elle se prolonge par continuité en une fonction localement constante à support compact sur
Mr (Fx ).
Alors cette fonction admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
−r
−1 hx (gx ) = | det(gx )|x 2 ·
dπ · Lx Indrr (π)∨ , qx 2 ·hx,r,π0 (π, gx ) , ∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
(r,π0 )
Im[π0 ]
où la famille des fonctions hx,r,π0 (•, •) possède les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire IV.13.
Réciproquement, le corollaire IV.20 permet de prouver :
Corollaire IV.31. –
Considérons une fonction
hx : GLr (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ) et qui admet une
décomposition spectrale de la forme
X Z
− r2
−1 dπ · Lx Indrr (π)∨ , qx 2 ·hx,r,π0 (π, gx ) , ∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
hx (gx ) = | det(gx )|x ·
(r,π0 )
Im[π0 ]
128
où la famille des fonctions hx,r,π0 (•, •) possède les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire IV.13.
Alors la fonction hx se prolonge par continuité en une fonction localement constante à support compact
sur Mr (Fx ) si et seulement si, pour tout caractère additif continu non trivial ψx : Fx → C× , la famille des
fonctions
ψx
hx,r,π0 (•, •)
W(r)
possède la propriété supplémentaire suivante :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
−1 −1 ψx
ψx
hx,r1 ,π1 (π10 , •) = Lx Indrr2 (π20 )∨ , qx 2 ·W(r)
hx,r2 ,π2 (π20 , •) .
Lx Indrr1 (π10 )∨ , qx 2 ·W(r)
Enfin, on déduit de ce corollaire et de la proposition IV.27 :
Proposition IV.32. –
Considérons une fonction de type de Whittaker
Wx : GLr (Fx ) → C
qui admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
− r2
−1 Wx (gx ) = | det(gx )|x ·
dπ · Lx Indrr (π)∨ , qx 2 ·Wx,r,π0 (π, gx ) ,
(r,π0 )
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
Im[π0 ]
où la famille des fonctions Wx,r,π0 : [π0 ] × GLr (Fx ) → C possède les propriétés (1) et (2) de la proposition IV.17.
Soit Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr (Fx ) tel que, pour toute paire (r, π0 ) qui apparaı̂t non
trivialement dans la décomposition spectrale de Wx , le polynôme
ψx ,Kx
(π)
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
0
n’est pas uniformément nul.
Alors, pour qu’il existe une fonction localement constante à support compact
hx : Mr (Fx ) → C
dont la restriction à l’ouvert dense GLr (Fx ) vérifie
ψx
W(r)
hx = Wx ,
il faut et il suffit que soient satisfaites les deux conditions supplémentaires suivantes :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille des représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
−1 −1 Lx Indrr1 (π10 )∨ , qx 2 ·Wx,r1 ,π1 (π10 , •) = Lx Indrr2 (π20 )∨ , qx 2 ·Wx,r2 ,π2 (π20 , •) .
129
(∗∗) Pour toute paire (r, π0 ), le polynôme
ψx ,Kx
Px,r,π
: [π0 ] → C
0
divise tous les polynômes
[π0 ] 3 π 7→ Kx Wx,r,π0 (π, gx )
d’évaluation des fonctions Kx Wx,r,π0 (π, •) en les points gx ∈ GLr (Fx ).
De plus, si ces conditions (∗) et (∗∗) sont satisfaites, on peut construire une fonction localement
constante à support compact
hx : Mr (Fx ) → C
qui vérifie l’identité voulue
ψx
hx = Wx ,
W(r)
par la formule spectrale
−r
hx (gx ) = | det(gx )|x 2 ·
X Z
(r,π0 )
− 21 dπ · Lx Indrr (π)∨ , qx
·
Im[π0 ]
Kx Wx,r,π0 (π, gx )
ψx ,Kx
Px,r,π
0 (π)
,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
7
Transformation de Fourier et facteurs locaux
Considérons toujours un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C× ,
de conducteur
Nψx = min{N ∈ Z | ψx est trivial sur {ax ∈ Fx | vx (ax ) ≥ N }} .
On munit le groupe additif Fx de la mesure invariante “autoduale” dax qui attribue au sous-groupe ouvert
1
N
compact Ox de Fx le volume qx2 ψx .
2
Pour tout rang r ≥ 1, l’algèbre matricielle Mr (Fx ) s’identifie comme groupe additif à Fxr et se trouve
munie de la mesure invariante “autoduale” induite dmx qui attribue au sous-groupe ouvert compact Mr (Ox )
1
le volume qx2
r 2 Nψx
.
La ψx -transformation de Fourier sur Mr (Fx ) est définie de la manière suivante :
Définition IV.33. –
Pour toute fonction localement constante à support compact fx sur Mr (Fx ), la fonction
Z
0
0
b
b
fx : mx 7→ fx (mx ) =
dmx · ψx ◦ Tr(m0x mx ) · fx (mx )
Mr (Fx )
est elle-même localement constante à support compact sur Mr (Fx ).
On l’appelle la ψx -transformée de Fourier de fx .
Rappelons les principales propriétés de la ψx -transformation de Fourier :
130
Proposition IV.34. –
(i) La ψx -transformation de Fourier
fx 7→ fbx
définit un automorphisme de l’espace des fonctions localement constantes à support compact sur Mr (Fx ).
Son automorphisme réciproque n’est autre que la ψ x -transformation de Fourier.
(ii) Si fx est une fonction de cet espace et gx est un élément de GLr (Fx ), la ψx -transformée de Fourier de
la fonction
mx 7→ fx (gx mx )
[resp. mx 7→ fx (mx gx )]
est égale à
m0x 7→ fbx (mx gx−1 ) · | det(gx )|−r
x
[resp. m0x 7→ fbx (gx−1 m0x ) · | det(gx )|−r
x ].
En particulier, si fx est invariante à gauche [resp. à droite] par un sous-groupe ouvert compact de
GLr (Fx ), fbx est invariante à droite [resp. à gauche] par le même sous-groupe.
(iii) (Formule de Plancherel)
Pour toutes fonctions fx et fx0 localement constantes à support compact sur Mr (Fx ), leur produit
hermitien
Z
hfx , fx0 i =
dmx · f (mx ) f 0 (mx )
Mr (Fx )
est égal à celui, hfbx , fbx0 i, de leurs ψx -transformées de Fourier.
Si F est une distribution sur Mr (Fx ), c’est-à-dire une forme linéaire sur l’espace des fonctions localement
constantes à support compact fx : Mr (Fx ) → C, on définit sa ψx -transformée de Fourier Fb par l’identité
b fbx ) = F(fx ) ,
F(
∀ fx .
Il résulte de la formule de Plancherel que la ψx -transformation de Fourier des distributions prolonge celle
des fonctions.
Nous voulons rappeler la décomposition spectrale de la ψx -transformation de Fourier.
Cela amène à considérer les coefficients matriciels des représentations lisses admissibles irréductibles
unitaires de GLr (Fx ). On sait que pour tout coefficient matriciel
hx : GLr (Fx ) → C
d’une telle représentation π, la fonction
h∨
x : GLr (Fx ) −→
gx
7−→
C,
−1
h∨
x (gx ) = hx (gx )
est un coefficient matriciel de la représentation contragrédiente π ∨ .
On a le résultat essentiel :
Théorème IV.35. –
Considérons une représentation lisse admissible irréductible et unitaire π de GLr (Fx ).
131
Alors il existe un monôme en la variable Z, noté
x (π, ψx , Z) ,
tel que pour tout coefficient matriciel hx de π et pour tout s ∈ C vérifiant − 21 < Re(s) < 12 , la distribution
sur Mr (Fx ) définie par la fonction
− r +s
− 1 +s gx 7→ | det(gx )|x 2 · hx (gx ) · Lx π ∨ , qx 2
admet pour ψx -transformée de Fourier le produit de la distribution définie par la fonction
− r −s
− 12 −s gx 7→ | det(gx )|x 2 · h∨
x (gx ) · Lx π, qx
et de la constante
− 12 −s x π, ψx , qx
.
Pour le calcul des facteurs locaux, rappelons seulement la règle suivante :
Lemme IV.36. –
Si π = π1 ⊗ . . . ⊗ πk est une représentation lisse admissible irréductible et unitaire d’un sous-groupe de
Levy GLr (Fx ) de GLr (Fx ) associé à une partition r = (r = r1 + · · · + rk ) d’un rang r ≥ 1, on a
Y
x (πi , ψx , Z) .
x (Indrr (π), ψx , Z) =
1≤i≤k
Plus généralement, pour tout élément de Im[π] écrit sous la forme
πz
avec
z = (z1 , . . . , zk ) ∈ U (1)k ,
on a
x (Indrr (πz ), ψx , Z) =
Y
x (πi , ψx , zi Z) .
1≤i≤k
Par combinaison avec la décomposition spectrale du théorème IV.30, le théorème IV.35 ci-dessus permet
de décomposer spectralement la ψx -transformation de Fourier :
Corollaire IV.37. –
Considérons une fonction localement constante à support compact
hx : Mr (Fx ) → C
dont la restriction à l’ouvert dense GLr (Fx ) a pour décomposition spectrale
X Z
−r
−1 hx (gx ) = | det(gx )|x 2 ·
dπ · Lx Indrr (π)∨ , qx 2 ·hx,r,π0 (π, gx ) ,
(r,π0 )
∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
Im[π0 ]
Alors la ψx -transformée de Fourier b
hx de hx a pour décomposition spectrale
Z
X
r
−1 −1 −
b
hx (gx ) = | det(gx )|x 2 ·
dπ · Lx Indrr (π), qx 2 ·x Indrr (π), ψx , qx 2 ·hx,r,π0 (π, gx−1 ) ,
(r,π0 )
Im[π0 ]
∀ gx ∈ GLr (Fx ) .
132
Chapitre V :
Fonctions partiellement ramifiées
sur un semi-groupe local croisé
1
Fonctions à support compact dans un groupe croisé local
Dans tout ce chapitre, on considérera encore un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps de fonctions
F ainsi qu’un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On choisit une fois pour toutes une paire de Borel (T, B) de G composée d’un tore maximal T qui est
défini sur F et quasi-déployé et d’un sous-groupe de Borel B ⊃ T également défini sur F .
b de G est canoniquement muni d’une paire de Borel (Tb, B)
b respectée par l’action du
Le groupe dual G
groupe de Galois ΓF de F . Le tore maximal Tb de G s’identifie au dual du tore maximal T de G.
Rappelons que le groupe réductif quasi-déployé G sur F est dit non ramifié en une place x ∈ |F | si l’action
sur la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) du groupe de Galois ΓFx de la localisation Fx de F se factorise à
engendré
topologiquement par l’élément de Frobenius σx .
travers son quotient non ramifié Γnr
Fx
b
La représentation de transfert ρ : G o ΓF → GLr (C) est dite non ramifiée en la place x si le groupe
quasi-déployé G est non ramifié en x et si, de plus, l’action de ΓFx sur l’espace Cr de ρ se factorise à travers
son quotient Γnr
Fx .
On a :
Lemme V.1. –
Un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps de fonctions F est non ramifié en toutes les places
x ∈ |F | sauf un nombre fini.
De plus, une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est non ramifiée en toutes les places x ∈ |F | sauf un nombre fini.
On notera Sρ ⊂ |F | l’ensemble fini des places x ∈ |F | en lesquelles le groupe G ou la représentation ρ
sont ramifiés.
Comme le semi-groupe G est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
133
il est muni d’un caractère défini sur F
detG : G → Gm
qui se prolonge en un morphisme équivariant bien défini
detG : G → A1 .
Ce caractère detG correspond dualement à un cocaractère central
c G : C× ,→ Z b ,→ Tb ,→ G
b
det
G
qui est fixé par l’action de ΓF .
Pour tout degré r0 ≥ 2, on a introduit le groupe “croisé”
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )}
b r0 est le quotient du produit
qui, tout comme G, est un groupe réductif et quasi-déployé sur F . Son dual G
b × GLr0 (C)
G
par le tore C× plongé par le cocaractère central
C×
z
,→ ZGb × Zr0 (C) ,
c G (z), z −1 ) .
7→ (det
La représentation de transfert ρr0 croisée de ρ de degré r0 est le quotient par le même tore C× de
b o ΓF ) × GLr0 (C) →
(G
0
(g, g ) 7→
GLrr0 (C)
ρ(g) ⊗ g 0 .
Elle est réduite et son dual est un semi-groupe normal Gr0 de groupe Gr0 qui est muni d’un isomorphisme
radiciel vers l’adhérence schématique
{(g, g 0 ) ∈ G × Mr0 | detG (g) = det(g 0 )}
de Gr0 dans G × Mr0 .
Le groupe Gr0 admet pour tore maximal
TGr0 = {(t, t0 ) ∈ T × Tr0 | detG (t) = det(t0 )} .
0
Si T , T r0 = (A1 )r et T Gr0 désignent les variétés toriques affines normales définies comme les adhérences
0
schématiques de T, Tr0 = Grm et TGr0 dans G, Mr0 et Gr0 , on a prouvé dans la proposition II.8(iii) que
T Gr0 = {(t, t0 ) ∈ T × T r0 | detG (t) = det(t0 )} .
Dans ce chapitre, nous allons d’abord nous intéresser aux fonctions localement constantes à support
compact dans un groupe croisé local Gr0 (Fx ), x ∈ |F |, puis aux fonctions localement constantes à support
compact dans un semi-groupe croisé local Gr0 (Fx ), et enfin à un certain type particulier de fonctions à
support compact dans Gr0 (Fx ) que nous appellerons les “fonctions de type L”.
Commençons par le lemme élémentaire suivant :
Lemme V.2. –
Étant donnés un groupe réductif quasi-déployé G sur F comme ci-dessus, avec son caractère canonique
detG : G → Gm , et un degré r0 ≥ 2, considérons le groupe croisé local
Gr0 (Fx ) ,→ G(Fx ) × GLr0 (Fx )
en une place x ∈ |F |. Alors :
134
(i) Les fonctions localement constantes à support compact
Hx : Gr0 (Fx ) → C
sont les combinaisons linéaires finies de restrictions à Gr0 (Fx ) de produits tensoriels
hx ⊗ h0x : G(Fx ) × GLr0 (Fx ) → C
de deux fonctions localement constantes à support compact
hx : G(Fx ) → C ,
h0x : GLr0 (Fx ) → C .
detG
(ii) Notons G0 = Ker G −−→ Gm .
Supposant que G est non ramifié en la place x, les fonctions localement constantes à support compact
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui sont invariantes à droite et à gauche par
detG
G0 (Ox ) = Ker G(Ox ) −−→ Ox×
sont les combinaisons linéaires finies de restrictions à Gr0 (Fx ) de produits tensoriels
hx ⊗ h0x : G(Fx ) × GLr0 (Fx ) → C
G
d’une fonction sphérique, élément de Hx,∅
,
hx : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
et d’une fonction localement constante à support compact
h0x : GLr0 (Fx ) → C .
2
Fonctions ramifiées en la partie linéaire
On considère toujours le groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni de son caractère surjectif detG :
G → Gm dont le noyau est noté G0 , et un groupe croisé Gr0 de G de degré r0 ≥ 2.
On rappelle que, en toute place x ∈ |F | où le groupe G et non ramifié, on a noté Txd le plus grand
sous-tore déployé sur Fx de Tx = T , Tbxd le tore complexe dual de Txd et
SxG = {w ∈ SG | σx (w) = w}
le groupe de Weyl Fx -rationnel de G. On dispose en une telle place x non ramifiée de l’isomorphisme de
Satake
x
∼
x
G
SG
: Hx,∅
−→ C[Tbxd ]SG ,
et le sous-tore réel compact Im Tbxd de Tbxd est muni de la mesure de Plancherel dλ invariante par l’action de
SxG .
135
Comme dans le chapitre IV, on choisit d’autre part une famille de représentants (r, π0 ) des classes
d’équivalence faible de représentations lisses admissibles irréductibles unitaires et de carré intégrable π0 de
sous-groupes de Levy GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ). On sait que pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de
GLr (Fx ), seulement un nombre fini des représentants (r, π0 ) sont de ramification ≥ Kx .
Pour tout représentant (r, π0 ), et si la partition r de r0 s’explicite en r0 = r1 +. . .+rk , la variété algébrique
[π0 ] s’identifie à (C× )k munie de l’action naturelle du tore (C× )k sur lui-même. Le sous-tore réel compact
Im[π0 ] de [π0 ] s’identifie au sous-tore U (1)k de (C× )k . Il est muni de la mesure de Plancherel dπ qui est
invariante par l’action du groupe fini Fixe(r, π0 ) ainsi que par celle de U (1) plongé diagonalement dans
U (1)k .
Le tore réel compact U (1), agissant sur Im Tbxd par le cocaractère
c G : U (1) → Im Tbd ,
det
x
respecte également la mesure de Plancherel dλ de Im Tbxd . Le quotient
(Im Tbxd × Im Tbr0 )/U (1)
de Im Tbxd × Im Tbr0 par U (1) plongé par
c G (z), z −1 )
U (1) 3 z 7→ (det
est donc muni de la mesure dλ · dz quotient de dλ ⊗ dz par la mesure invariante de volume 1 du tore réel
compact U (1).
On déduit du lemme V.2(ii), du théorème de décomposition spectrale des fonctions sphériques de G(Fx )
et du corollaire IV.13 :
Théorème V.3. –
En n’importe quelle place x ∈ |F | en laquelle le groupe quasi-déployé G sur F est non ramifié, considérons
une fonction localement constante à support compact
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par
detG
G0 (Ox ) = Ker(G(Ox ) −−→ Ox× ) .
Alors Hx admet une unique décomposition spectrale de la forme
X Z
0
dλ · dπ · ϕG
Hx (gx , gx0 ) =
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où l’on rappelle que les fonctions sphériques
ϕG
x,λ : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
sont les fonctions propres normalisées associées aux valeurs propres λ ∈ Tbxd , et où la famille de fonctions
Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possède les propriétés suivantes :
136
(1) Seulement un nombre fini des fonctions Hx,r,π0 ne sont pas uniformément nulles.
(2) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que la fonction Hx soit invariante à gauche
et à droite par Gr0 (Fx ) ∩ (G(Ox ) × Kx ), alors, pour tous λ ∈ Tbxd et π ∈ [π0 ], la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0 7→ Hx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
0
matriciels de la représentation Indrr (π).
(3) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
Tbxd × [π0 ] −→
(λ, π) 7−→
C
Hx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est un polynôme sur le tore complexe Tbxd × [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini SxG ×
Fixe(r, π0 ).
De plus, on a pour tout z ∈ C×
c G (z) · λ , πz−1 , g 0 ) = z −vx (det(gx0 )) · Hx,r,π (λ, π, g 0 ) .
Hx,r,π0 (det
x
x
0
Étant donné un caractère additif continu non trivial
ψ x : Fx → C ,
on appelle “fonction de ψx -type de Whittaker” sur Gr0 (Fx ) ou, si l’on n’a pas besoin de préciser le caractère
ψx , “fonction de type de Whittaker” sur Gr0 (Fx ), toute fonction localement constante
Wx : Gr0 (Fx ) → C
telle que
• Wx est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (Fx ),
detG
• elle est invariante à gauche par un sous-groupe ouvert compact de G0 (Fx ) = Ker G(Fx ) −−→ Fx× ,
• elle vérifie
Wx (gx , ux gx0 ) = ψ(r0 ) (ux ) · Wx (gx , gx0 ) ,
∀ ux ∈ Nr0 (Fx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
Par opposition, on appelle “fonction de type de Hecke” toute fonction
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (Fx ).
La fonctionnelle
"
#
Z
−1
0
0
Hx 7→ (gx , gx ) 7→
dux · ψ(r0 ) (ux ) · Hx (gx , ux gx )
Nr0 (Fx )
G
envoie l’espace Hx r0 des fonctions de Hecke (c’est-à-dire des fonctions de type de Hecke dont le support est
compact) dans l’espace des fonctions de ψx -type de Whittaker dont le support est compact modulo Nr0 (Fx ).
Plus généralement, l’opérateur en la variable gx0 ∈ GLr0 (Fx )
ψx
Hx 7→ W(r
0 ) Hx
137
construit à la suite du lemme IV.16 envoie l’espace des fonctions de type de Hecke dans celui des fonctions
de type de Whittaker.
On a d’après le corollaire IV.20 :
Proposition V.4. –
Considérons une fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
0
Hx (gx , gx ) =
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
0
dλ · dπ · ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où les fonctions Hx,r,π0 possèdent les propriétés (1), (2) et (3) du théorème V.3 qui précède.
Alors le support de la fonction Hx dans GLr (Fx ) est compact si et seulement si, pour tout caractère additif
ψx
continu non trivial ψx : Fx → C× , la famille des fonctions W(r
0 ) Hx,r,π0 possède la propriété supplémentaire
suivante :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
ψx
ψx
0
0
W(r
0 ) Hx,r 1 ,π1 (•, π1 , •) = W(r 0 ) Hx,r 2 ,π2 (•, π2 , •) .
On a encore :
Théorème V.5. –
Considérons une fonction de type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par G0 (Ox ) et dont le support est compact modulo Nr0 (Fx ).
Alors Wx admet une unique décomposition spectrale de la forme
X Z
0
Wx (gx , gx0 ) =
dλ · dπ · ϕG
x,λ (gx ) · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où la famille de fonctions
Wx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possède les propriétés suivantes :
(1) Seulement un nombre fini des fonctions Hx,r,π0 ne sont pas uniformément nulles.
(2) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que la fonction Wx soit invariante à droite
par Gr0 (Fx ) ∩ (G(Ox ) × Kx ), alors, pour tous λ ∈ Tbxd et π ∈ [π0 ], la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0 7→ Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est invariante à droite par Kx , elle est de ψx -type de Whittaker et, plus précisément, elle est élément
0
du ψx -modèle de Whittaker de Indrr (π).
138
(3) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
Tbxd × [π0 ] → C
(λ, π) 7→ Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est un polynôme sur le tore complexe Tbxd × [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini SxG ×
Fixe(r, π0 ).
De plus, on a pour tout z ∈ C×
c G (z) · λ, πz−1 , g 0 ) = z −vx (det(gx0 )) · Wx,r,π (λ, π, g 0 ) .
Wx,r,π0 (det
x
x
0
(4) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
Wx,r1 ,π1 (•, π10 , •) = Wx,r2 ,π2 (•, π20 , •) .
Réciproquement, si une fonction de type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C
admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
Wx (gx , gx0 ) =
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
0
dλ · dπ · ϕG
x,λ (gx ) · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où la famille de fonctions
Wx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possède les propriétés (1), (2), (3) et (4) ci-dessus, alors la fonction Wx est invariante à gauche et à droite
par G0 (Ox ) et son support est compact modulo Nr0 (Fx ).
Enfin, utilisant les notations du lemme IV.23, on a d’après la proposition IV.27 :
Proposition V.6. –
Considérons une fonction de type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par G0 (Ox ) et dont le support est compact modulo Nr0 (Fx ), si bien
qu’elle admet une décomposition spectrale
X Z
0
Wx (gx , gx0 ) =
dλ · dπ · ϕG
x,λ · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
possédant toutes les propriétés du théorème V.5 ci-dessus.
139
Soit Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que, pour toute paire (r, π0 ) qui apparaı̂t non
trivialement dans cette décomposition spectrale, le polynôme
ψx ,Kx
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
(π)
0
n’est pas uniformément nul.
Alors pour qu’il existe une fonction localement constante à support compact
Hx ∈ HxGr0
vérifiant
ψx
W(r
0 ) Hx = W x ,
il faut et il suffit que soit satisfaite la condition suivante :
(∗) Pour tout représentant (r, π0 ), le polynôme
ψx ,Kx
Px,r,π
: [π0 ] → C
0
divise tous les polynômes
[π0 ] 3 π 7→ Kx Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
d’évaluation des fonctions Kx Wx,r,π0 (λ, π, •), λ ∈ Tbxd , en les points gx0 ∈ GLr0 (Fx ).
G
De plus, si cette condition (∗) est satisfaite, on peut construire une fonction Hx ∈ Hx r0 qui vérifie
l’identité voulue
ψx
W(r
0 ) Hx = Wx ,
par la formule spectrale
Hx (•, •) =
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · ϕG
x,λ (•) ·
Kx Wx,r,π0 (λ, π, •)
ψx ,Kx
Px,r,π
0 (π)
.
3
Fonctions de type torique
On considère toujours le groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni de son caractère surjectif detG :
G → Gm dont le noyau est noté G0 , et de sa paire de Borel (T, B) définie sur F .
On considère également une place arbitraire x ∈ |F |, en laquelle donc le groupe réductif quasi-déployé
peut éventuellement être ramifié.
On dispose du plus grand sous-tore déployé sur Fx de Tx = T , noté Txd . Il est muni d’une action du
groupe de Weyl Fx -rationnel
SxG = {w ∈ SG | σ(w) = w ,
∀ σ ∈ ΓFx } .
Le réseau XT∨d des cocaractères de Txd est le sous-réseau saturé de XT∨ constitué des cocaractères Gm → T
x
fixés par l’action du groupe de Galois ΓFx de Fx .
D’autre part, on note Λ0x ⊂ XT le sous-réseau saturé de XT constitué des caractères
T → Gm
140
fixés par l’action de ΓFx . Tout élément de Λ0x définit un caractère de Txd ⊂ T . L’homomorphisme ainsi défini
Λ0x → XTxd
est injectif et identifie Λ0x à un sous-réseau d’indice fini de XTxd . L’homomorphisme dual
XT∨xd → Λ0∨
x
est également injectif et identifie XT∨d à un sous-réseau de Λ0∨
x du même indice fini.
x
On a :
Lemme V.7. –
Considérons comme ci-dessus un groupe réductif quasi-déployé G sur F muni d’une paire de Borel (T, B)
définie sur F , et une place arbitraire x ∈ |f |. Alors :
(i) Il existe un unique homomorphisme
ordx : T (Fx ) → Λ0∨
x
tel que, pour tout caractère algébrique
χ : T → Gm
bien défini sur Fx (c’est-à-dire fixé par l’action de ΓFx ), et pour tout élément tx ∈ T (Fx ), on ait
hordx (tx ), χi = vx (χ(tx )) .
(ii) L’image de l’homomorphisme
ordx : T (Fx ) → Λ0∨
x
x
est un sous-réseau de Λ0∨
x stable par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel SG .
Ce sous-réseau contient XT∨d et, a fortiori, il est d’indice fini dans Λ0∨
x .
x
On le notera Λ∨
x.
(iii) Le noyau de l’homomorphisme
ordx : T (Fx ) → Λ∨
x
est le plus grand sous-groupe ouvert compact de T (Fx ).
On le notera T (Fx )0 .
∨
Remarque : Lorsque le groupe quasi-déployé G est non ramifié en la place x, on a Λ∨
x = XTxd . Mais ce n’est
pas vrai en général.
Dans la situation de ce lemme, on notera Λx le réseau dual de Λ∨
x ; c’est donc un sous-réseau d’indice fini
de XTxd qui est stable par l’action de SxG et qui contient Λ0x .
∨
b x le tore complexe dont le réseau des caractères est égal à Λ∨
Enfin, on notera Λ
x . Tout comme Λx et Λx ,
x
il est muni d’une action de SG .
b x contient un plus grand sous-tore réel compact Im Λ
b x . C’est
Le tore complexe Λ
b x = {λ ∈ Λ
b x | |µ(λ)| = 1 ,
Im Λ
∀ µ ∈ Λ∨
bx } .
x = XΛ
La suite exacte
ordx
1 −→ T (Fx )0 −→ T (Fx ) −−→ Λ∨
x −→ 0
141
b x au tore des caractères
identifie Λ
T (Fx ) −→ C×
b x au sous-tore réel compact constitué de ceux de ces caractères qui sont
qui sont triviaux sur T (Fx )0 , et Im Λ
unitaires.
Comme dans le cas des groupes linéaires GLr rappelé dans le paragraphe 1 du chapitre IV, on dispose de
la notion de représentation lisse admissible de G(Fx ) ou, ce qui revient au même, de l’algèbre de Hecke HxG .
Celle-ci consiste en les fonctions localement constantes à support compact sur G(Fx ), munies du produit de
convolution défini après le choix d’une mesure invariante dgx de G(Fx ).
Plus généralement, si P est un sous-groupe parabolique de G défini sur F , NP son radical et MP = P/NP
le groupe réductif de Levy quotient, on dispose de la notion de représentation lisse admissible de MP (Fx ).
Le caractère modulaire
δP : P → P/NP = MP → Gm
par lequel P agit sur la puissance extérieure maximale de Lie(NP ) permet d’associer à toute représentation
lisse admissible (π, Vπ ) de MP (Fx ), vue comme une représentation de P (Fx ), son “induite normalisée”
IndG
P (π)
qui est une représentation lisse admissible de G(Fx ) : elle consiste en les fonctions localement constantes
ϕ : G(Fx ) → Vπ
telles que
ϕ(bx · gx ) = |δP (bx )|1/2
x · π(bx )(ϕ(gx )) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
∀ bx ∈ P (Fx ) .
Parmi les représentations lisses admissibles de G(Fx ) ou plus généralement MP (Fx ), on distingue en
particulier
• les représentations irréductibles,
• les représentations supercuspidales,
• les représentations unitaires,
• les représentations “de carré intégrable” qui sont les représentations irréductibles unitaires dont tous
les coefficients matriciels sont de carré intégrable.
On rappelle que les “coefficients matriciels” d’une représentation lisse admissible (π, Vπ ) de G sont les
fonctions de la forme
G(Fx ) 3 gx 7→ hv ∗ , π(gx ) · vi
associées à un vecteur v ∈ Vπ nécessairement fixé par un sous-groupe ouvert compact de G(Fx ) et à une
forme linéaire v ∗ sur Vπ qui est invariante par un sous-groupe ouvert compact.
Enfin, on dit que deux représentations lisses admissibles irréductibles π et π 0 de deux groupes de Levy
MP (Fx ) et MP 0 (Fx ) associés à deux sous-groupes paraboliques P et P 0 de G définis sur F sont équivalentes
s’il existe un élément gx ∈ G(Fx ) et deux relèvements de MP et MP 0 dans G tels que la conjugaison par gx
échange les paires (MP , π) et (MP 0 , π 0 ).
On rappelle :
Proposition V.8. –
Considérons un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B) définie sur F ,
et une place arbitraire x ∈ |F |. Alors :
142
(i) Toute représentation lisse admissible π de G(Fx ) possède une filtration finie dont tous les sous-quotients
successifs sont des représentations lisses admissibles irréductibles. La liste de ces sous-quotients, qui
est appelée la suite de composition de π, est uniquement déterminée par π à permutation près de ses
éléments.
(ii) Si P et P 0 sont deux sous-groupes paraboliques de G définis sur Fx , et π et π 0 sont deux représentations
lisses admissibles irréductibles de MP (Fx ) et MP 0 (Fx ) qui sont équivalentes, les induites normalisées
IndG
P (π)
et
0
IndG
P 0 (π )
ont la même suite de composition.
En particulier, si l’une est irréductible, l’autre l’est également et elles sont isomorphes.
(iii) Si P est un sous-groupe parabolique de G défini sur Fx et π est une représentation lisse admissible
unitaire de MP (Fx ), l’induite normalisée
IndG
P (π)
est unitaire.
De plus, elle est irréductible si π est irréductible (et en particulier si π est de carré intégrable).
(iv) Si P et P 0 sont deux sous-groupes paraboliques de G définis sur Fx , et π et π 0 sont deux représentations
de carré intégrable de MP (Fx ) et MP 0 (Fx ), les induites normalisées
IndG
P (π)
et
0
IndG
P 0 (π )
sont isomorphes si et seulement si π et π 0 sont équivalentes.
Au fondement du théorème général de décomposition spectrale des fonctions sur G(Fx ), on a :
Théorème V.9. –
Considérons toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et une place arbitraire x ∈ |F |.
Soit une fonction localement constante à support compact
ϕ : G(Fx ) → C
telle que, pour tout sous-groupe parabolique P de G défini sur Fx , pour toute représentation de carré intégrable
π de MP (Fx ) et pour tout coefficient matriciel ϕπ de π, on ait
Z
Z
1/2
dux · ϕ(ux mx gx ) = 0 , ∀ gx ∈ G(Fx ) .
dmx · ϕπ (mx ) · |δP (mx )|x ·
MP (Fx )
NP (Fx )
Alors on peut conclure
ϕ = 0.
Parmi les représentations de carré intégrable des groupes de Levy de G(Fx ) figurent en particulier les
b x vus comme des caractères unitaires du tore maximal
éléments λ ∈ Im Λ
ordx
×
T (Fx ) −−→ Λ∨
x −→ C .
Deux éléments λ, λ0 ∈ Λx sont équivalents en tant que caractères T (Fx ) → C× si et seulement si ils sont
images l’un de l’autre par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG .
Posons :
143
Définition V.10. –
Étant donnés le groupe réductif quasi-déployé G sur F et une place arbitraire x ∈ |F |, une fonction
localement constante à support compact
ϕ : G(Fx ) → C
sera dite “de type torique” si, pour tout sous-groupe parabolique P de G défini sur F , pour toute représentation
b x de T (Fx ), et
de carré intégrable π de MP (Fx ) qui n’est équivalente à aucun caractère unitaire λ ∈ Im Λ
pour tout coefficient matriciel ϕπ de π, on a
Z
Z
dux · ϕ(ux mx gx ) = 0 , ∀ gx ∈ G(Fx ) .
dmx · ϕπ (mx ) · |δP (mx )|1/2
x ·
NP (Fx )
MP (Fx )
Le sous-espace des fonctions localement constantes à support compact sur G(Fx ) qui sont “de type
torique” est stable par translation à gauche ou à droite par les éléments de G(Fx ).
On dispose pour ce sous-espace du cas particulier suivant de la formule de Plancherel :
Théorème V.11. –
Étant donnés le groupe réductif quasi-déployé G sur F et une place arbitraire x ∈ |F |, il existe sur le tore
réel compact
bx
Im Λ
une unique mesure
dλ ,
appelée la mesure de Plancherel, qui possède les propriétés suivantes :
b x est invariante par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel Sx .
(1) La mesure dλ sur Im Λ
G
(2) Pour toute fonction localement constante à support compact
hx : G(Fx ) → C
qui est “de type torique”, on a
Z
hx (1) =
bx
Im Λ
dλ · TrIndG
(hx )
B (λ)
où
b x 3 λ 7→ TrIndG (λ) (hx )
Λ
B
b x défini comme la trace de l’action de hx sur l’espace de la
est le polynôme sur le tore complexe Λ
G
représentation IndB (λ).
On déduit de ce théorème la décomposition spectrale des fonctions “de type torique” :
Corollaire V.12. –
Dans la situation et avec les notations du théorème V.11 ci-dessus, toute fonction localement constante
à support compact
hx : G(Fx ) → C
qui est “de type torique”, admet une unique décomposition spectrale de la forme
Z
hx (gx ) =
dλ · hx,λ (gx ) , ∀ gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
144
où
(λ, gx ) 7→ hx,λ (gx )
b x × G(Fx ) qui possède les propriétés suivantes :
est une fonction sur Λ
b x , la fonction
(1) Pour tout λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ hx,λ (gx )
est invariante à gauche et à droite par tout sous-groupe ouvert Kx de G(Fx ) par lequel hx est invariante,
et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels de la représentation IndG
B (λ).
(2) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
b x 3 λ 7→ hx,λ (gx )
Λ
b x qui est invariant par l’action de Sx .
est un polynôme sur le tore complexe Λ
G
Réciproquement, on a :
Proposition V.13. –
Dans la même situation, considérons une fonction
hx : G(Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de G(Fx ), et qui admet une
décomposition spectrale de la forme
Z
hx (gx ) =
dλ · hx,λ (gx ) , ∀ gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
où
(λ, gx ) 7→ hx,λ (gx )
b x × G(Fx ) qui possède les propriétés (1) et (2) du corollaire V.12 ci-dessus.
est une fonction sur Λ
Alors, pour que la fonction hx soit à support compact et donc “de type torique”, il suffit que tous les
polynômes d’évaluation
b x 3 λ 7→ hx,λ (gx )
Λ
b x qui sont les pôles des opérateurs d’entreen les éléments gx ∈ G(Fx ) s’annulent sur les hypersurfaces de Λ
lacement associés aux éléments w ∈ SxG .
b x , on déduit de cette propoComme les pôles des opérateurs d’entrelacement ne rencontrent jamais Im Λ
sition :
Corollaire V.14. –
Dans la même situation, il existe des fonctions localement constantes à support compact “de type torique”
hx : G(Fx ) → C
dont la décomposition spectrale
Z
dλ · hx,λ (•)
hx (•) =
bx
Im Λ
145
b x , la fonction
est telle que, pour tout λ ∈ Im Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ hx,λ (gx )
n’est pas uniformément nulle.
Considérons maintenant un groupe croisé de G de degré r0 ≥ 2
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )} .
En une place arbitraire x ∈ |F |, le plus grand sous-tore déployé sur Fx de TGr0 = {(t, t0 ) ∈ T ×Tr0 | detG (t) =
det(t0 )} est
TGx,d
= {(t, t0 ) ∈ Txd × Tr0 | detG (t) = det(t0 )} .
r0
Il est muni d’une action du groupe de Weyl Fx -rationnel de Gr0
SxGr0 = SxG × Sr0 .
Le réseau XT∨x,d des cocaractères de TGx,d
est le sous-réseau saturé de XT∨d × XT∨r0 défini comme
r0
x
G 0
r
{(µ, µ0 ) ∈ XT∨xd × XT∨r0 | hdetG , µi = hdet, µ0 i} .
D’autre part, on a
XTG
r0
= (XT × XTr0 )/Z · (detG , − det) ,
et le sous-réseau saturé Λ0x,r0 de XTG 0 constitué des caractères TGr0 → Gm fixés par l’action de ΓFx s’identifie
r
au quotient
(Λ0x × XTr0 )/Z · (detG , − det) .
L’homomorphisme
Λ0x,r0 → XT x,d
G 0
r
est injectif et son conoyau s’identifie à celui de
Λ0x → XTxd .
L’homomorphisme dual
XT∨x,d → Λ0∨
x,r 0
G 0
r
est également injectif et son conoyau s’identifie à celui de
XT∨xd → Λ0∨
x .
Il existe un unique homomorphisme
ordx : TGr0 (Fx ) → Λ0∨
x,r 0
tel que, pour tout caractère algébrique
χ : TGr0 → Gm
bien défini sur Fx , et pour tout élément
(tx , t0x )
∈ TGr0 (Fx ) ⊂ T (Fx ) × Tr0 (Fx ), on ait
hordx (tx , t0x ), χi = vx (χ(tx , t0x )) .
146
L’image Λ∨
x,r 0 de cet homomorphisme s’identifie à
∨
0
{(µ, µ0 ) ∈ Λ∨
x × XTr0 | hdetG , µi = hdet, µ i} ,
et elle est stable par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxGr0 = SxG × Sr0 .
Le noyau TGr0 (Fx )0 de cet homomorphisme s’identifie à
{(tx , t0x ) ∈ T (Fx )0 × Tr0 (Ox ) | detG (tx ) = det(t0x )} .
Le réseau dual Λx,r0 de Λ∨
x,r 0 s’identifie au quotient
(Λx × XTr0 )/Z · (detG , − det) .
b x,r0 dual de Λ∨ 0 s’identifie au quotient de
Le tore complexe Λ
x,r
b x × Tbr0 = Λ
b x × (C× )r0
Λ
par le tore C× plongé par
c G (z), z −1 ) ,
z 7→ (det
b x,r0 s’identifie au quotient de
et son sous-tore réel compact Im Λ
b x × Im Tbr = Im Λ
b x × U (1)r0
Im Λ
par le cercle unité U (1) de C× .
Enfin, la mesure de Plancherel sur le tore réel compact
b x,r0
Im Λ
est égale au quotient
dλ · dz
du produit dλ ⊗ dz des mesures de Plancherel sur
b x × Im Tbr0
Im Λ
par la mesure invariante de volume 1 sur le cercle unité U (1).
On déduit donc du corollaire V.12 :
Corollaire V.15. –
Étant donnés le groupe réductif quasi-déployé G sur F , un degré r0 ≥ 2 et une place arbitraire x ∈ |F |,
toute fonction localement constante à support compact
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est “de type torique” et invariante à gauche et à droite par SLr0 (Ox ), admet une unique décomposition
spectrale de la forme
Z
0
Hx (gx , gx0 ) =
dλ · dz · Hx,λ,z (gx ) · ϕrx,z (gx0 ) , ∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx )
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
où l’on rappelle que les fonction sphériques
0
ϕrx,z : GLr0 (Ox )\GLr0 (Fx )/GLr0 (Ox ) → C
0
sont les fonctions propres normalisées associées aux valeurs propres z ∈ Tbr0 = (C× )r , et où la fonction
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
(λ, z, gx ) 7−→
possède les propriétés suivantes :
147
C
Hx,λ,z (gx )
(1) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de G(Fx ) tel que la fonction Hx soit invariante à gauche et
b x et z ∈ Tbr0 , la fonction
à droite par Gr0 (Fx ) ∩ (Kx × GLr0 (Ox )), alors, pour tous λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ Hx,λ,z (gx )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
matriciels de la représentation IndG
B (λ).
(2) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
b x × Tbr0
Λ
−→
(λ, z) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
b x × Tbr0 qui est invariant par l’action de Sx × Sr0 .
est un polynôme sur le tore complexe Λ
G
De plus, on a pour tout z0 ∈ C×
v (detG (gx ))
x
Hx,λ det
c G (z0 ),zz −1 (gx ) = z0
0
· Hx,λ,z (gx ) .
On déduit encore de la proposition V.13 :
Corollaire V.16. –
Dans la situation du corollaire précédent, il existe des fonctions localement constantes à support compact
Hx : Gr0 (Fx ) → C
telles que :
• Hx est “de type torique”,
• Hx est invariante à gauche et à droite par SLr0 (Ox ),
• dans la décomposition spectrale de Hx
Z
0
Hx (gx , gx0 ) =
dλ·dz ·Hx,λ,z (gx )·ϕrx,z (gx0 ) , ∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx )×GLr0 (Fx ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
les fonctions
G(Fx ) 3 gx 7→ Hx,λ,z (gx )
b x × Im Tbr0 .
ne sont uniformément nulles pour aucun couple (λ, z) ∈ Im Λ
Posons maintenant la définition suivante :
Définition V.17. –
Considérons encore le groupe réductif quasi-déployé G sur F , un degré r0 ≥ 2 et une place arbitraire
x ∈ |F |.
Considérons d’autre part un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C× .
Une fonction
Wx : Gr0 (Fx ) → C
sera dite “de type torique à la Whittaker” si :
148
(1) Elle est “de type de Whittaker” au sens de la discussion qui précède la proposition V.4.
(2) Son support est compact modulo Nr0 (Fx ).
(3) Elle est invariante à droite par SLr0 (Ox ).
(4) Pour tout élément (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ), la fonction
G0 (Fx ) 3 g0 7→ Wx (g0 gx , gx0 )
est “de type torique” au sens de la définition V.10.
On a le théorème de décomposition spectrale :
Théorème V.18. –
Dans la situation de la définition précédente, toute fonction “de type torique à la Whittaker”
Wx : Gr0 (Fx ) → C
admet une unique décomposition spectrale de la forme
Z
r 0 ,ψx 0
Wx (gx , gx0 ) =
dλ · dz · Hx,λ,z (gx ) · Wx,z
(gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
où les
0
r ,ψx
Wx,z
: GLr0 (Fx )/GLr0 (Ox ) → C
sont les “fonctions de Whittaker” normalisées associées aux valeurs propres z ∈ Tbr0 et au caractère additif
non trivial ψx : Fx → C× , et où les fonctions
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
(λ, z, gx ) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
possèdent les propriétés (1), (2) et (3) du corollaire V.15.
Dans le cas où le caractère additif ψx : Fx → C× est “régulier”, c’est-à-dire de conducteur Nψx = 0, on
0
a pour tout z ∈ Tbr0 = (C× )r
ψx
r 0 ,ψx
r0
Wx,z
= W(r
0 ) ϕx,z
et
0
ϕrx,z (gx0 ) =
Z
0
r ,ψx 0 0
dkx0 · Wx,z
(kx gx ) ,
∀ gx0 ∈ GLr0 (Fx ) .
GLr0 (Ox )
On en déduit :
Corollaire V.19. –
Dans la situation de la définition V.17 et du théorème V.18 ci-dessus, supposons que le caractère additif
continu non trivial
ψx : Fx → C×
est régulier.
Alors pour toute fonction “de type torique à la Whittaker”
Wx : Gr0 (Fx ) → C ,
149
il existe une unique fonction
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est “de type torique” et invariante à gauche et à droite par SLr0 (Ox ), telle que
ψx
Wx = W(r
0 ) Hx .
De plus, si la décomposition spectrale de Wx s’écrit
Z
r 0 ,ψx 0
Wx (gx , gx0 ) =
dλ · dz · Hx,λ,z (gx ) · Wx,z
(gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
alors Hx est donnée par sa décomposition spectrale
Z
0
0
Hx (gx , gx ) =
dλ · dz · Hx,λ,z (gx ) · ϕrx,z (gx0 ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
4
Fonctions à support compact dans un semi-groupe
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Nous avons vu dans le paragraphe 1 du chapitre III que, en toute place x ∈ |F | − Sρ où le groupe
quasi-déployé G et la représentation ρ sont non ramifiés, G possède un modèle entier canonique sur Ox qui
se prolonge en un modèle entier de son semi-groupe G. Cela a permis d’introduire l’ensemble G(Ox ) qui est
une partie à la fois ouverte et compact du semi-groupe topologique G(Fx ). Toute partie compacte de G(Fx )
est contenue dans un translaté gx−1 · G(Ox ) de G(Ox ) par un certain élément gx ∈ G(Fx ) ou, ce qui revient
au même, gx ∈ ZG (Fx ).
Au paragraphe 5 du chapitre III, on a introduit en chaque telle place x ∈ |F |−Sρ l’algèbre de convolution
G,ρ,+
Hx,∅
constituée des fonctions sphériques
hx : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
dont le support est contenu dans une partie compacte de G(Fx ).
Plus largement, on a :
Lemme V.20. –
Considérons comme ci-dessus un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de
groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
En une place arbitraire x ∈ |F |, soit
HxG,ρ,+
l’espace des fonctions “de type de Hecke” (c’est-à-dire invariantes à gauche et à droite par un sous-groupe
ouvert compact de G(Fx ))
hx : G(Fx ) → C
150
dont le support est contenu dans une partie compacte de G(Fx ).
Alors le choix d’une mesure invariante dgx de G(Fx ) fait de l’espace
HxG,ρ,+
une algèbre de convolution.
Démonstration : Toute fonction hx sur G(Fx ) se décompose de manière canonique sous la forme
M
hx =
hnx
n∈Z
où chaque
hnx ,
n ∈ Z, est supportée par
{gx ∈ G(Fx ) | vx (detG (gx )) = n} .
Si hx ∈ HxG,ρ,+ , le support de chaque composante hnx est une partie compacte de G(Fx ) et on a hnx = 0
dès que n est assez petit.
L 00n
L 0n
hx sont deux éléments de HxG,ρ,+ , leur produit de convolution
Si h0x =
hx et h00x =
n∈Z
n∈Z
h0x ∗ h00x =
M
(h0x ∗ h00x )n
n∈Z
est défini par la formule
(h0x ∗ h00x )n =
0
X
00
00n
h0n
,
x ∗ hx
∀n ∈ Z.
n0 ,n00 ∈Z
n0 +n00 =n
Il est supporté par une partie compacte de G(Fx ) car le produit de deux parties compactes de G(Fx ) est une
partie compacte de G(Fx ).
Pour tout degré r0 ≥ 2, on dispose aussi du groupe croisé Gr0 de degré r0 , du semi-groupe croisé Gr0 dual
de la représentation de transfert réduite
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
et, en toute place x ∈ |F |, de l’algèbre de convolution
HxGr0 ,ρr0 ,+
des fonctions de type de Hecke
Gr0 (Fx ) → C
qui sont supportées par une partie compacte de Gr0 (Fx ).
On a encore :
Lemme V.21. –
Considérons un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est le
dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et un degré r0 ≥ 2.
151
Étant donnés une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu non trivial
ψ x : Fx → C ,
soit
G ,ρr0 ,+
r0
Wx,ψ
x
l’espace des fonctions
Wx : G(Fx ) → C
qui sont “de type de Whittaker” (au sens de la discussion précédant la proposition V.4) et dont le support
est contenu, modulo Nr0 (Fx ), dans une partie compacte de Gr0 (Fx ).
Alors :
G ,ρr0 ,+
(i) L’algèbre Hx r0
G ,ρr0 ,+
r0
agit par convolution à droite sur l’espace Wx,ψ
x
.
(ii) L’opérateur
ψx
W(r
0)
définit un homomorphisme équivariant
G ,ρr0 ,+
r0
HxGr0 ,ρr0 ,+ → Wx,ψ
x
G ,ρr0 ,+
r0
Remarque : Toute fonction Wx ∈ Wx,ψ
x
.
se décompose canoniquement en
Wx =
M
Wxn
n∈Z
où chaque Wxn , n ∈ Z, est une fonction de type de Whittaker supportée par une partie compacte de
Nr0 (Fx )\{(gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) | vx (detG (gx )) = vx (det(gx0 )) = n} .
Relever Wx en une fonction Hx =
L
G ,ρr0 ,+
Hxn élément de Hx r0
telle que
n∈Z
ψx
Wx = W(r
0 ) Hx
c’est-à-dire
ψx
n
Wxn = W(r
0 ) Hx ,
∀n ∈ Z,
équivaut à relever individuellement chacune des fonctions à support compact Wxn .
Ce problème est traité par la proposition V.6 dans le cas où x ∈ |F | − Sρ et où la fonction Wx est
invariante à gauche et à droite par G0 (Ox ).
D’autre part, il est traité par le corollaire V.19 dans le cas où le caractère ψx est régulier et où chaque
fonction Wxn , n ∈ Z, est “de type torique à la Whittaker” au sens de la définition V.17.
152
5
Fonctions de type L ramifiées en la partie linéaire
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Dans ce paragraphe, nous allons introduire en toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ certains types de
fonctions éléments de
HxG,ρ,+ ,
HxGr0 ,ρr0 ,+ , r0 ≥ 2 ,
G ,ρr0 ,+
r0
ou Wx,ψ
x
, r0 ≥ 2 ,
que nous appellerons les “fonctions de type L”.
Commençons par le cas des fonctions non ramifiées.
Rappelons que dans la définition III.4 du paragraphe III.3, nous avons introduit en chaque place non
ramifiée x ∈ |F | − Sρ , la “fonction L locale de ρ en x”
x Lx (ρ, λ, Z) ∈ C[Tbxd ]SG JZK
puis les “fonctions L locales de degré r0 ≥ 2 de ρ en x”
x
x
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z) ∈ C[TbGx,d
]SG ×Sr0 JZK ⊂ C[Tbxd ]SG ⊗ C[Tbr0 ]Sr0 JZK .
r0
On remarque que si l’on pose Z = 1, la série formelle
Lx (ρ, λ−1 , 1)
est élément de l’algèbre
Sx
G
CJTbxd Kρ,−
définie dans le corollaire III.15 du paragraphe III.5.
De même, pour tout degré r0 ≥ 2, la série formelle
Lx (ρr0 , λ−1 , Z1−1 , . . . , Zr−1
0 , 1)
est élément de l’algèbre
Cela permet de poser :
Sx ×Sr0
K G
CJTbGx,d
r 0 ρr 0 ,−
.
Définition V.22. –
On considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ .
153
(i) On appellera “fonction sphérique de type L sur G(Fx )” toute fonction
hx : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C ,
G,ρ,+
, dont la transformée de Satake est de la forme
élément de l’algèbre Hx,∅
c G (q −1/2 ) · λ)
SxG (hx ) = Lx (ρ, λ−1 , 1) · px (det
x
pour un polynôme invariant
x
px ∈ C[Tbxd ]SG ,
c’est-à-dire qui admet une décomposition spectrale de la forme
Z
− 12
dλ · Lx (ρ, λ−1 , qx−1/2 ) · px (λ) · ϕG
hx (gx ) = |detG (gx )|x ·
x,λ (gx ) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) .
Im Tbxd
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, on appellera “fonction sphérique de type L sur Gr0 (Fx )” toute fonction
Hx : Gr0 (Ox )\Gr0 (Fx )/Gr0 (Ox ) → C ,
G ,ρr0 ,+
élément de l’algèbre Hx,∅r0
, dont la transformée de Satake est de la forme
SxGr0 (Hx ) = Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , 1) · px (λ, qx−1/2 z)
pour un polynôme invariant
x
x
px ∈ C[TbGx,d
]SG ×Sr0 ⊂ C[Tbxd ]SG ⊗ C[Tbr0 ]Sr0 ,
r0
c’est-à-dire qui admet une décomposition spectrale de la forme
Z
−1 −1
dλ · dz · Lx ρr0 , λ−1 , z −1 , qx 2 · px (λ, z)
Hx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
(Im Tbxd ×Im Tbr0 )/U (1)
0
r
0
· ϕG
x,λ (gx ) · ϕx,z (gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
0
Remarquons que pour tout degré r0 ≥ 2 et tout élément z = (z1 , . . . , zr0 ) ∈ (C× )r = Tbr0 , on a
Y
Lx (ρr0 , λ, z, Z) =
Lx (ρ, λ, zi Z) .
1≤i≤r 0
D’autre part, nous avons rappelé au paragraphe 6 du chapitre IV la théorie des facteurs L locaux
Lx (π, Z) =
Y
1≤i≤rπ
1
1 − zπi Z
associés aux représentations lisses admissibles π de GLr0 (Fx ) et à leurs valeurs propres de Hecke zπi , 1 ≤ i ≤
rπ .
Si r = (r0 = r1 +. . .+rk ) est une partition de r0 et π est une représentation lisse admissible du sous-groupe
de Levy GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ), il est d’autant plus naturel de noter
0
Lx (Indrr (π), Z) = Lx (π, Z)
154
que l’on a
0
Y
Lx (Indrr (π), Z) =
Lx (πi , Z)
1≤i≤k
si π = π1 ⊗ . . . ⊗ πk est le produit tensoriel de représentations lisses admissibles πi , 1 ≤ i ≤ k, des facteurs
GLri (Fx ) de GLr (Fx ).
Comme on a toujours
0
0
Indrr (π)∨ = Indrr (π ∨ ) ,
on remarque que
0
Lx (Indrr (π)∨ , Z) = Lx (π ∨ , Z) .
Passant des représentations non ramifiées de GLr0 (Fx ) aux représentations de ramification arbitraire, on
pose :
Définition V.23. –
On considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
un degré r0 ≥ 2 et une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ .
Pour toute représentation lisse admissible π de GLr0 (Fx ) dont le facteur L local s’écrit
Lx (π, Z) =
Y
1≤i≤rπ
on notera
Lx (ρr0 , λ, π, Z) =
Y
1≤i≤rπ
1
,
1 − zπi Z
x Lx (ρ, λ, zπi Z) ∈ C[Tbxd ]SG JZK .
Plus généralement, si π est une représentation lisse admissible d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de
GLr0 (Fx ) associé à une partition r de r0 , on notera
0
Lx (ρr0 , λ, π, Z) = Lx (ρr0 , λ, Indrr (π), Z) .
Remarque : Si π0 est une représentation de carré intégrable d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ),
l’expression
Tbxd × [π0 ] 3 (λ, π) 7→ Lx (ρr0 , λ, π, Z)
est un élément de
C[Tbxd ] ⊗ C[π0 ] JZK
qui est fixé par l’action du groupe fini SxG × Fixe(r, π0 ) ainsi que par celle de C× donnée par
c G (z), z −1 ) .
C× 3 z 7→ (det
Nous sommes maintenant en mesure d’introduire les “fonctions de type L” avec ramification arbitraire
en la partie linéaire :
155
Définition V.24. –
Soient encore un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
un degré r0 ≥ 2 et une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ .
Alors une fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C ,
G ,ρr0 ,+
qui est élément de l’algèbre Hx r0
forme
, sera dite “de type L” si elle admet une décomposition spectrale de la
Hx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|−1/2
·
x
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
0
· ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où (r, π0 ) décrit une famille de représentants des classes d’équivalence faible des représentations de carré
intégrable de sous-groupes de Levy de GLr0 (Fx ), et où les fonctions
Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possèdent les propriétés (1), (2) et (3) du théorème V.3.
On déduit de la proposition V.4 :
Lemme V.25. –
Dans la situation de la définition V.24 ci-dessus, considérons une fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui admet une décomposition spectrale de la forme demandée par cette définition.
G ,ρ ,+
Alors cette fonction est élément de l’algèbre Hx r0 r0 (c’est-à-dire supportée par une partie compacte de
Gr0 (Fx )), et donc “de type L”, si et seulement si, pour tout caractère additif continu non trivial ψx : Fx →
ψx
C× , la famille des fonctions W(r
0 ) Hx,r,π0 possède la propriété supplémentaire suivante :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
ψx
ψx
0
−1
0
Lx (ρr0 , λ−1 , π10∨ , qx−1/2 ) · W(r
, π20∨ , qx−1/2 ) · W(r
0 ) Hx,r 1 ,π1 (λ, π1 , •) = Lx (ρr 0 , λ
0 ) Hx,r 2 ,π2 (λ, π2 , •) .
156
Parallèlement à la définition V.24 relative aux fonctions de type de Hecke, on pose la définition suivante
relative aux fonctions de type de Whittaker :
Définition V.26. –
Dans la même situation que la définition V.24 ci-dessus, une fonction de type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C ,
G ,ρ ,+
r0
r0
qui est élément de l’espace Wx,ψ
associé à un caractère additif non trivial ψx : Fx → C× , sera dite “de
x
type L à la Whittaker” si elle admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|−1/2
·
x
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
0
· ϕG
x,λ (gx ) · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où la famille de fonctions
Wx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possède les propriétés (1), (2) et (3) du théorème V.5.
Parallèlement au lemme V.25, on a :
Lemme V.27. –
Dans la situation de la définition V.24 et de la définition V.26 ci-dessus, considérons une fonction de
type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C
qui admet une décomposition spectrale de la forme demandée par la définition V.26.
G ,ρ ,+
Alors cette fonction est élément de l’espace Wx r0 r0 et donc “de type L à la Whittaker”, si et seulement
si la famille des composantes spectrales Wx,r,π0 de Wx possède la propriété supplémentaire suivante :
(∗) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants choisie, et pour toutes
représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
Lx (ρr0 , λ−1 , π10∨ , qx−1/2 ) · Wx,r1 ,π1 (λ, π10 , •) = Lx (ρr0 , λ−1 , π20∨ , qx−1/2 ) · Wx,r2 ,π2 (λ, π20 , •) .
Pour toute fonction Hx : Gr0 (Fx ) → C qui est “de type L” au sens de la définition V.24, son image
ψx
ψx
×
W(r
est “de type L à la
0 ) Hx par l’opérateur W(r 0 ) associé à un caractère additif non trivial ψx : Fx → C
Whittaker” au sens de la définition V.26.
En sens inverse, on déduit de la proposition V.6 :
157
Proposition V.28. –
Dans la situation des définitions V.24 et V.26, considérons une fonction “de type L à la Whittaker” et
sa décomposition spectrale
X Z
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|−1/2
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
·
x
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
0
· ϕG
x,λ (gx ) · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
Soit Kx un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que, pour toute paire (r, π0 ) qui apparaı̂t non
trivialement dans cette décomposition spectrale, le polynôme
ψx ,Kx
[π0 ] 3 π 7→ Px,r,π
(π)
0
n’est pas uniformément nul.
Alors, pour qu’il existe une fonction “de type L”
Hx : Gr0 (Fx ) → C
vérifiant
ψx
W(r
0 ) Hx = W x ,
il faut et il suffit que soit satisfaite la condition suivante :
(∗) Pour tout représentant (r, π0 ), le polynôme
ψx ,Kx
: [π0 ] → C
Px,r,π
0
divise tous les polynômes
[π0 ] 3 π 7→ Kx Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
d’évaluation des fonctions Kx Wx,r,π0 (λ, π, •), λ ∈ Tbxd , en les points gx0 ∈ GLr0 (Fx ).
De plus, si cette condition (∗) est satisfaite, on peut construire une fonction “de type L” Hx qui vérifie
l’identité voulue
ψx
W(r
0 ) Hx = W x ,
par la formule spectrale
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|−1/2
·
x
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
· ϕG
x,λ (gx ) ·
Kx Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
ψx ,Kx
Px,r,π
0 (π)
,
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
158
6
Fonctions de type L torique
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est le dual d’une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Comme dans le paragraphe 3 du présent chapitre, on considère également une place arbitraire x ∈ |F |
en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G et la représentation ρ peuvent éventuellement être ramifiés.
On a noté Txd le plus grand sous-tore déployé sur Fx de T = Tx . Il est respecté par l’action du groupe de
Weyl Fx -rationnel SxG = {w ∈ SG | σ(w) = w , ∀ σ ∈ ΓFx }.
On a défini un homomorphisme surjectif canonique
ordx : T (Fx ) → Λ∨
x
dont le noyau T (Fx )0 est le plus grand sous-groupe ouvert compact de T (Fx ) et dont l’image est un sousréseau du dual Λ0∨
x de
Λ0x = {χ ∈ XT | σ(χ) = χ , ∀ σ ∈ ΓFx }
qui contient le réseau XT∨d des cocaractères de Txd .
x
b x le tore complexe dont le réseau des caractères est égal à Λ∨ . Tout comme Λ∨ et Λx ,
On a encore noté Λ
x
x
il est muni d’une action de SxG . Il s’identifie au tore des caractères
T (Fx ) → C×
qui sont triviaux sur T (Fx )0 .
Supposons maintenant que la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
est “bien disposée” au sens de la définition II.10 du paragraphe II.4. Ainsi, le groupe de Galois ΓF agit sur
l’espace Cr de ρ par des permutations des vecteurs de sa base canonique indexée par {1, 2, . . . , r}. Il en est
a fortiori de même de l’action sur Cr du groupe de Galois local ΓFx en la place arbitraire x ∈ |F |.
Notons comme d’habitude ρ1T , . . . , ρrT les r composantes de l’homomorphisme
ρT : Tb → (C× )r = Tbr
induit par la représentation de transfert ρ.
Pour toute orbite {i1 , i2 , . . . , ie } du groupe de Galois local ΓFx agissant sur l’ensemble d’indices {1, 2, . . . , r},
le produit
ρiT1 ρiT2 . . . ρiTe
est un caractère de Tb fixé par les éléments de ΓFx . De manière équivalente, c’est un cocaractère de T fixé
par les éléments de ΓFx . Autrement dit encore, c’est un cocaractère du plus grand sous-tore déployé sur Fx
∨
de Tx = T , c’est-à-dire un élément de XT∨d . Comme Λ∨
x contient XT d , le produit
x
x
ρiT1
ρiT2
. . . ρiTe
b
peut être vu comme un élément de Λ∨
x ou encore comme un caractère algébrique du tore complexe Λx .
Dans le cas où x ∈ |F |−Sρ , c’est-à-dire où le groupe réductif G et la représentation ρ sont non ramifiés en
b et sur {1, 2, . . . , r} se factorise à travers son quotient non ramifié Γnr topologiquement
x, l’action de ΓFx sur G
Fx
159
engendré par l’élément de Frobenius σx , si bien que les orbites {i1 , i2 , . . . , ie } de ΓFx agissant sur {1, 2, . . . , r}
∨
b
bd
sont celles de l’élément σx . On a d’autre part Λ∨
x = XTxd et Λx = Tx . Enfin, d’après le corollaire III.5 du
paragraphe III.3, la fonction L locale de ρ en une telle place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ s’écrit
Lx (ρ, λ, Z) =
1
Y
{i1 ,i2 ,...,ie
1−
}
Ze
·
(ρiT1
. . . ρiTe )(λ)
,
λ ∈ Tbxd ,
et la fonction L locale de tout degré r0 ≥ 2 de ρ en x s’écrit
Y
Lx (ρr0 , λ, Z1 , . . . , Zr0 , Z) =
{i1 ,i2 ,...,ie }
1≤j≤r 0
1
.
1 − Z e · (ρiT1 . . . ρiTe )(λ) · Zje
Cela conduit à poser :
Définition V.29. –
On considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On suppose que ρ est “bien disposée”.
On considère d’autre part une place arbitraire x ∈ |F |.
(i) La fonction L locale de ρ en x est définie comme la série formelle en Z
b x ]SxG )JZK
Lx (ρ, λ, Z) ∈ (C[Λ
b x , par
donnée, pour tout λ ∈ Λ
1
Y
{i1 ,i2 ,...,ie }
1−
Ze
·
(ρiT1
. . . ρiTe )(λ)
où {i1 , i2 , . . . , ie } décrit l’ensemble des orbites du groupe de Galois local ΓFx agissant par permutation
sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}.
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, la fonction L locale de degré r0 de ρ en x est définie comme la série formelle
en Z
b x ]SxG ⊗ C[Tbr0 ]Sr0 )JZK
Lx (ρr0 , λ, z, Z) ∈ (C[Λ
b x et tout z = (z1 , . . . , zr0 ) ∈ Tbr0 = (C× )r0 , par
donnée, pour tout λ ∈ Λ
Y
{i1 ,i2 ,...,ie }
1≤j≤r 0
1
.
1 − Z e · (ρiT1 . . . ρiTe )(λ) · zje
b x × Tbr0 = Λ
b x × (C× )r0 par
Remarque : La série formelle Lx (ρr0 , λ, z, Z) est invariante par C× plongé dans Λ
c G (z), z −1 ) .
z 7→ (det
Nous sommes maintenant en mesure d’introduire la notion de fonctions “de type L torique” en une place
x arbitrairement ramifiée :
160
Définition V.30. –
On considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On suppose que ρ est “bien disposée” et on considère une place arbitraire x ∈ |F |.
(i) Une fonction de type de Hecke
hx : G(Fx ) → C ,
qui est élément de l’algèbre HxG,ρ,+ , sera dite “de type L torique” si elle admet une décomposition
spectrale de la forme
Z
hx (gx ) = |detG (gx )|−1/2
·
dλ · Lx (ρ, λ−1 , qx−1/2 ) · hx,λ (gx ) , ∀ gx ∈ G(Fx ) ,
x
bx
Im Λ
où la fonction
b x × G(Fx ) −→
Λ
(λ, gx ) 7−→
C
hx,λ (gx )
possède les propriétés (1) et (2) du corollaire V.12.
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, une fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C ,
G ,ρ ,+
qui appartient à l’algèbre Hx r0 r0 et qui est invariante à gauche et à droite par SLr0 (Ox ), sera dite
“de type L torique” si elle admet une décomposition spectrale de la forme
Z
0
Hx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|−1/2
·
dλ · dz · Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ) · Hx,λ,z (gx ) · ϕrx,z (gx0 ) ,
x
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où la fonction
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
(λ, z, gx ) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
possède les propriétés (1) et (2) du corollaire V.15.
On déduit de la proposition V.13 :
Proposition V.31. –
Plaçons-nous dans la situation de la définition V.30 ci-dessus et considérons une fonction de type de
Hecke
hx : G(Fx ) → C
[resp.
Hx : Gr0 (Fx ) → C
pour un degré r0 ≥ 2]
qui admet une décomposition spectrale de la forme demandée par la partie (i) [resp. (ii)] de cette définition.
161
Alors, pour que la fonction hx [resp. Hx ] soit supportée par une partie compacte de G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx )]
et soit donc “de type L torique”, il suffit que tous les polynômes
bx 3 λ
Λ
bx 3 λ
Λ
[resp.
7→ hx,λ (gx ) ,
gx ∈ G(Fx ) ,
7→ Hx,λ,z (gx ) , gx ∈ G(Fx ) , z ∈ Tbr0 , ]
b x qui sont les pôles des opérateurs d’entrelacement associés aux éléments
s’annulent sur les hypersurfaces de Λ
w ∈ SxG .
Cette proposition implique :
Corollaire V.32. –
Dans la même situation, il existe des fonctions “de type L torique”
hx : G(Fx ) → C
Hx : Gr0 (Fx ) → C ,
[resp.
pour tout degré r0 ≥ 2]
bx
dont la décomposition spectrale donnée dans la définition V.30 ci-dessus est telle que, pour tout λ ∈ Im Λ
b
[resp. et tout z ∈ Im Tr0 ], la fonction
[resp.
G(Fx ) 3 gx
7→ hx,λ (gx )
G(Fx ) 3 gx
7→ Hx,λ,z (gx )]
n’est pas uniformément nulle.
Posons encore la définition suivante :
Définition V.33. –
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G, dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui est supposée “bien disposée”.
On considère d’autre part un degré r0 ≥ 2, une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu
non trivial
ψx : Fx → C× .
Alors une fonction de type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C
G ,ρ ,+
qui appartient à l’espace Wx r0 r0 et qui est invariante à droite par SLr0 (Ox ), sera dite “de type L torique
à la Whittaker” si elle admet une décomposition spectrale de la forme
Z
r 0 ,ψx 0
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x−1/2 ·
dλ · dz · Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ) · Hx,λ,z (gx ) · Wx,z
(gx ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
162
où la fonction
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
(λ, z, gx ) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
possède les propriétés (1) et (2) du corollaire V.15.
Parallèlement au corollaire V.19, on a :
Corollaire V.34. –
Dans la situation de la définition V.33 ci-dessus, supposons que le caractère additif non trivial
ψx : Fx → C
est régulier.
Alors l’opérateur équivariant
ψx
Hx 7→ W(r
0 ) Hx
définit un isomorphisme de l’espace des fonctions “de type L torique” sur Gr0 (Fx ) dans l’espace des fonctions
“de type L torique à la Whittaker”.
En termes de la décomposition spectrale des fonctions “de type L torique” Hx , cet opérateur consiste à
0
r 0 ,ψx
(•).
remplacer les fonctions sphériques propres ϕrx,z (•), z ∈ Im Tbr0 , par les fonctions de Whittaker Wx,z
7
Prolongement sur le bord en codimension 1
Commençons ce paragraphe par les deux lemmes suivants :
Lemme V.35. –
Considérons un groupe réductif quasi-déployé G sur F et une représentation de transfert réduite
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
b → GLr (C) la restriction de ρ au groupe connexe G
b et ρ1 , . . . , ρr les r caractères par
Notons ρ0 : G
T
T
r
0
b
b
lesquels le tore maximal T de G agit sur l’espace C de ρ ou ρ .
Alors il existe un unique caractère défini sur F
detρ : G → Gm
tel que, pour tout caractère
ρiT
qui est le plus haut poids de l’un des facteurs irréductibles de ρ0 , on ait
hdetρ , ρiT i = hδB , ρiT i .
On note
c ρ : C× ,→ Z F ,→ Tb
det
b
G
le cocaractère central de Tb qui correspond à detρ .
Démonstration : Comme ρ est “réduite”, c’est une somme directe de facteurs irréductibles qui apparaissent
tous avec la multiplicité 1 et elle induit un isomorphisme
F ∼ b
ZG
b −→ Zρ
F
b
de ZG
b | σ(z) = z , ∀ σ ∈ ΓF } vers le tore Zρ des automorphismes de ρ.
b = {z ∈ ZG
On en déduit que
163
F
• pour tous poids ρiT , ρjT de la représentation ρ0 , ces poids ont la même restriction à ZG
b si et seulement
si ils proviennent du même facteur irréductible de ρ,
F
0
• l’ensemble des restrictions à ZG
b des poids de la représentation ρ forme une base du réseau des
F
caractères de ZGb .
De plus, si ρiT et ρjT sont les plus hauts poids de deux facteurs irréductibles de ρ0 , ils proviennent du
même facteur irréductible de ρ si et seulement si ils sont images l’un de l’autre par l’action du groupe de
Galois ΓF . Comme le caractère modulaire
δ B : T → Gm
est défini sur F , on a dans ce cas
hδB , ρiT i = hδB , ρjT i .
La conclusion du lemme résulte de ces faits.
Lemme V.36. –
Dans la situation du lemme précédent, supposons en outre que les facteurs irréductibles de la représentation
b → GLr (C)
ρ0 : G
apparaissent tous avec la multiplicité 1, et que ρ induise un isomorphisme
bρ0
ZGb → Z
b vers le tore Zbρ0 des automorphismes de la représentation ρ0 .
du centre ZGb de G
Alors les arêtes (c’est-à-dire les faces de dimension 1) du cône saturé
XT∨
qui définit le semi-groupe normal G dual de ρ, sont exactement les demi-droites engendrées par ceux des
poids
ρiT
qui sont les plus hauts poids des facteurs irréductibles de ρ0 ou leurs images sous l’action du groupe de Weyl
SG .
Remarque : Les hypothèses de ce lemme sont vérifiées en particulier lorsque la représentation de transfert
ρ est “bien disposée” au sens de la définition II.10.
b sur
Démonstration : Rappelons que si ρ0 est une représentation irréductible du groupe réductif connexe G
C, l’ensemble
Pρ0 ⊂ XTb
de ses poids est la plus petite partie P de XTb telle que :
• P contient le plus haut poids de ρ0 ,
• P est “saturée” au sens que pour tout élément µ ∈ P et toute racine α ∈ ΦG , P contient les
µ − n · α∨
pour tous les entiers n compris entre 0 et hα, µi.
164
On en déduit que le cône saturé engendré par Pρ0 se confond avec celui engendré par le plus haut poids
de ρ0 et ses images sous l’action du groupe de Weyl. Ses arêtes sont exactement les demi-droites engendrées
par le plus haut poids de ρ0 et ses transformés par le groupe de Weyl.
Pour passer des facteurs irréductibles ρ0 de ρ0 à la représentation ρ0 elle-même et au cône associé XT∨ ⊂
XT∨ = XTb , on remarque que l’existence de l’isomorphisme
∼
ZGb −→ Zbρ0
implique les propriétés suivantes :
• Des poids ρiT , ρjT de ρ0 ont la même restriction à ZGb si et seulement si ils proviennent du même facteur
irréductible de ρ0 .
• L’ensemble des restrictions à ZGb des poids de ρ0 forme une base du réseau des caractères de ZGb .
Enfin, chaque ρiT est le vecteur directeur de la demi-droite saturée qu’il engendre dans le réseau XT∨ car
le caractère detG ∈ XT vérifie
hdetG , ρiT i = 1 .
Dans la situation du lemme V.36 ci-dessus, il résulte de ce lemme et du lemme III.31(i) du paragraphe III.8
b
que les orbites de codimension 1 du semi-groupe G dual de ρ : GoΓ
F → GLr (C) sont naturellement associées
b → GLr (C).
aux plus hauts poids des différents facteurs irréductibles de la représentation restreinte ρ0 : G
On a :
Proposition V.37. –
On considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est
le dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et une place arbitraire x ∈ |F |.
Alors :
(i) Pour toute fonction
hx : G(Fx ) → C
qui est “de type L torique” au sens de la définition V.30(i), la fonction
G(Fx ) −→
gx
7−→
C
−1
|detρ (gx )|x 2 · hx (gx )
se prolonge par continuité sur l’ouvert de G(Fx ) constitué des orbites de codimension ≤ 1.
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2 et toute fonction
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est “de type L torique” au sens de la définition V.30(ii), la fonction
Gr0 (Fx ) −→
C,
(gx , gx0 ) 7−→
|detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
−1
−r
0 −1
2
· Hx (gx , gx0 )
se prolonge par continuité sur l’ouvert de Gr0 (Fx ) constitué des orbites de codimension ≤ 1.
165
Remarques :
• Il existe des fonctions “de type L torique” sur G(Fx ) ou Gr0 (Fx ) pour lesquelles les fonctions induites
sur les strates de bord de codimension 1 ne sont pas uniformément nulles.
• En fait, il y a même prolongement par continuité sur l’ouvert de G(Fx ) ou Gr0 (Fx ) constitué des orbites
de codimension k qui sont contenues dans l’adhérence d’exactement k orbites de codimension 1. Cet
ouvert correspond à l’ouvert de lissité de la variété torique affine normale qui définit le semi-groupe G
ou Gr0 .
• En revanche, il n’y a en général de prolongement par continuité sur aucune des autres strates de G(Fx )
ou Gr0 (Fx ).
On a de même :
Proposition V.38. –
Considérons un groupe réductif quasi-déployé G sur F , un semi-groupe normal G de groupe G qui est le
dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
un degré r0 ≥ 2 et une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ .
Alors pour toute fonction
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est “de type L” au sens de la définition V.24, la fonction
Gr0 (Fx ) −→
C
(gx , gx0 ) 7−→
|detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
−1
−r
0 −1
2
· Hx (gx , gx0 )
se prolonge par continuité sur l’ouvert de Gr0 (Fx ) constitué des orbites de codimension ≤ 1.
Remarque : Les remarques faites dans le contexte de la proposition précédente valent encore.
166
Chapitre VI :
Transformation de Fourier sur les semi-groupes
locaux de type dual
1
Expression quotient des variétés toriques de type dual et de
leurs épaississements
Dans tout ce chapitre, on considérera un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps de fonctions F et
un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10.
Cela signifie en particulier que le groupe de Galois ΓF de F agit sur l’espace Cr de ρ par des permutations
des vecteurs de sa base canonique. Ainsi, l’ensemble {1, 2, . . . , r} des indices des vecteurs de cette base
canonique est muni d’une action de ΓF .
D’autre part, ρ induit un homomorphisme injectif de tores
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → Tbr = (C× )r
qui est équivariant pour l’action du groupe de Galois ΓF .
Tout ce chapitre est fondé sur le résultat essentiel suivant :
Proposition VI.1. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soit E l’extension séparable de degré r de F qui correspond à l’action de ΓF sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}
des indices des vecteurs de base de Cr .
Alors :
(i) Le tore maximal T de G s’identifie, avec sa structure F -rationnelle, au quotient du tore
TE = ResE/F Gm
par le sous-tore
Tρ ,→ TE
167
C× par l’image de
Q
dont le dual Tbρ est le quotient de TbE =
1≤i≤r
Y
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb ,→
C× .
1≤i≤r
(ii) La variété torique affine normale T de tore T qui définit le semi-groupe G s’identifie, avec sa structure
F -rationnelle, au quotient de la variété torique affine de tore TE
T E = ResE/F A1
par le sous-tore Tρ de TE .
(iii) Toutes les applications induites
TE (F ) = E × → T (F ) ,
T E (F ) = E → T (F )
et, en toute place x ∈ |F |,
TE (Fx ) → T (Fx ) ,
T E (Fx ) → T (Fx )
sont surjectives.
Démonstration :
(i) La suite exacte de tores
ρT
1 −→ Tb −→
Y
C× −→ Tbρ −→ 1
1≤i≤r
est équivariante pour l’action de ΓF .
Elle définit une suite exacte duale de tores définis sur F :
1 −→ Tρ −→ TE = ResE/F Gm −→ T −→ 1
(ii) Le quotient de la variété torique affine T E par le sous-tore Tρ de son tore TE est la variété torique affine
dont l’algèbre structurelle admet pour base ceux des caractères de TE
χ : TE → Gm
qui sont
• bien définis comme morphismes équivariants
T E → A1 ,
• invariants par le sous-tore Tρ de TE .
Or les caractères χ : TE → Gm qui se prolongent en un morphisme équivariant T E → A1 correspondent
aux cocaractères
Y
χ : C× → TbE =
C×
1≤i≤r
qui se prolongent en un morphisme équivariant
C→
Y
1≤i≤r
168
C.
De plus, un tel caractère χ : TE → Gm est invariant par le sous-tore Tρ de TE si et seulement si le cocaractère
Q
correspondant χ : C× → TbE =
C× prend ses valeurs dans le noyau Tb de l’homomorphisme de tores
1≤i≤r
Y
TbE =
C× → Tbρ .
1≤i≤r
Ainsi, le cône des caractères bien définis sur le quotient de T E par Tρ s’identifie au cône des cocaractères χ
de Tb qui se prolongent en un morphisme bien défini
Y
C→
C,
1≤i≤r
c’est-à-dire qui vérifient
hχ, ρiT i ≥ 0 ,
∀ i ∈ {1, 2, . . . , r} .
Autrement dit, le cône des caractères bien définis sur la variété torique affine quotient de T E par le sous-tore
Tρ de TE n’est autre que XT .
C’est ce que l’on voulait.
(iii) résulte de la condition (6) de la définition II.10 du paragraphe II.4 qui introduit la notion de représentation
b o ΓF → GLr (C) “bien disposée”.
de transfert ρ : G
Nous voudrions raffiner cette proposition pour écrire de manière naturelle
B/[NB , NB ] = (NB /[NB , NB ]) o T
comme le quotient d’une variété affine standard par l’action d’un tore.
Commençons par remarquer :
Lemme VI.2. –
Soit un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni de la paire de Borel (T, B) définie sur F .
Notons EB l’algèbre séparable sur F qui correspond à l’ensemble ∆B des racines simples de B muni de
l’action du groupe de Galois ΓF de F .
Alors le groupe additif quotient
NB /[NB , NB ]
est isomorphe avec sa structure F -rationnelle et l’action par conjugaison de T au groupe
ResEB /F A1
déduit de A1 par restriction des scalaires à la Weil de EB à F .
Par suite, on a :
Lemme VI.3. –
Étant donné un groupe réductif quasi-déployé G sur F muni de la paire de Borel (T, B) définie sur F ,
considérons la variété quotient
NB /[NB , NB ]
munie de l’action par conjugaison du tore T .
169
C’est une variété torique affine lisse de tore le quotient
T /ZG
du tore maximal T de G par son centre ZG .
Elle est définie par le cône saturé XT+∨ des cocaractères
µ : Gm → T
qui sont dominants, c’est-à-dire vérifient
hα, µi ≥ 0 ,
∀ α ∈ ∆B .
Autrement dit, elle est définie par le cône saturé dual XT+ des caractères positifs
χ : T /ZG → Gm ,
qui est engendré par les racines α ∈ ∆B .
On déduit de ce lemme :
Corollaire VI.4. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni de la paire de Borel (T, B) définie sur F , et un
semi-groupe normal G de groupe G associé à un cône saturé XT de XT respecté par l’action du groupe de
Weyl SG et celle du groupe de Galois ΓF .
Considérons l’adhérence schématique
B
de B dans G, puis son quotient
B/[NB , NB ]
muni de la double action de T à gauche et à droite.
Alors ce quotient est une variété torique normale de tore le quotient
(T × T )/ZG
de T × T par le centre ZG de G plongé par
µ 7→ (µ, µ−1 ) .
Le cône saturé qui définit cette variété torique est constitué des paires de cocaractères
(µ1 , µ2 ) ∈ XT∨ × XT∨
telles que
µ2 ∈ XT+∨
µ1 µ2 ∈ XT∨ .
et
Son cône dual est constitué des paires de caractères
(χ1 , χ2 ) ∈ XT × TT
telles que
χ2 χ1−1 ∈ XT+
et
χ1 ∈ XT .
170
Considérons de manière générale une extension finie séparable E de F écrite comme un produit
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
de corps Ei apparaissant avec des multiplicités mi et qui peuvent éventuellement être isomorphes entre eux.
On notera alors
Y
ResEi /F Mmi
ME =
1≤i≤e
qui est une F -algèbre matricielle, et en particulier un semi-groupe lisse de groupe
Y
GLE =
ResEi /F GLmi .
1≤i≤e
Le groupe linéaire GLE admet pour centre
ZE =
Y
ResEi /F Gm
1≤i≤e
et pour tore maximal
TE =
Y
i
ResEi /F Gm
m = ResE/F Gm .
1≤i≤e
Le semi-groupe ME de groupe GLE est associé à la variété torique lisse
Y
TE =
ResEi /F (A1 )mi = ResE/F A1
1≤i≤e
de tore TE .
Enfin, le groupe linéaire GLE admet pour sous-groupe de Borel défini sur F celui des matrices triangulaires
supérieures
Y
BE =
ResEi /F Bmi ,
1≤i≤e
qui admet pour radical unipotent
NE =
Y
ResEi /F Nmi .
1≤i≤e
On a :
Lemme VI.5. –
Considérons comme ci-dessus une algèbre finie séparable E de F décomposée comme un produit de corps
Y
E=
Eimi .
1≤i≤e
Alors, avec les notations introduites ci-dessus :
(i) La famille des morphismes
(aj,j 0 )1≤j<j 0 ≤mi 7→ (aj,j+1 )1≤j<mi ,
1 ≤ i ≤ e,
définit un isomorphisme
∼
NE /[NE , NE ] −→
Y
1≤i≤e
171
ResEi /F (A1 )mi −1 .
(ii) Si B E désigne l’adhérence schématique de BE dans le semi-groupe G, la famille des morphismes
(aj,j 0 )1≤j≤j 0 ≤mi 7→ (aj,j 0 ) 1≤j≤j0 ≤mi ,
1 ≤ i ≤ e,
j 0 ≤j+1
définit un isomorphisme
∼
ResEi /F (A1 )mi × (A1 )mi −1 .
Y
B E /[NE , NE ] −→
1≤i≤e
Si E =
Q
1≤i≤e
Eimi est une algèbre finie séparable sur F décomposée comme un produit de corps Ei ,
chacun des facteurs Ei correspond à un ensemble fini Ii muni d’une action du groupe de Galois ΓF et bien
déterminé à unique isomorphisme près.
Dans le cas où E est associée à une action de ΓF sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}, l’isomorphisme de décomposition
Y
∼
E −→
Eimi
1≤i≤e
correspond à une unique bijection
∼
{1, 2, . . . , r} −→
a
Ii × {1, 2, . . . , mi }
1≤i≤e
qui respecte les actions de ΓF .
Cette bijection identifie le dual
Y
cE =
GL
Y
GLmi (C)
1≤i≤e ι∈Ii
Q
c E à un sous-groupe de Levy de GLr (C) qui admet pour tore maximal TbE =
du groupe linéaire GL
C× =
1≤i≤r
Tbr .
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le raffinement suivant de la proposition VI.1 :
Proposition VI.6. –
Considérons comme dans la proposition VI.1 un groupe réductif quasi-déployé G sur F muni de la paire
de Borel (T, B), un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “bien
disposée”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
et l’extension séparable E de F qui correspond à l’action de ΓF sur l’ensemble {1, 2, . . . , r} des indices des
vecteurs de base de Cr .
On suppose que E admet une décomposition en un produit de corps
Y
E=
Eimi ,
1≤i≤e
correspondant à une partition
∼
{1, . . . , r} −→
a
Ii × {1, 2, . . . , mi } ,
1≤i≤e
qui est “bien disposée” pour ρ au sens que :
172
• pour tout 1 ≤ i ≤ e et tout ι ∈ Ii , {ι} × {1, 2, . . . , mi } correspond à un intervalle de {1, . . . , r} dont
l’ordre des éléments est le même,
b
• la restriction de ρ à G,
b → GLr (C) ,
ρ0 : G
b dans le sous-groupe de Levy
envoie G
cE =
GL
Y
Y
GLmi (C)
1≤i≤e ι∈Ii
b de G
b dans le sous-groupe de Borel
de GLr (C) et elle envoie le sous-groupe de Borel B
Y Y
c E ∩ Br (C)
bE =
Bmi (C) = GL
B
1≤i≤e ι∈Ii
c E,
de GL
• pour tous indices i ∈ {1, . . . , e} et ι ∈ Ii , la composante associée
b → GLm (C)
ρ0i,ι : G
i
b
de ρ0 est une représentation irréductible de G.
Alors :
(i) La variété torique
NB /[NB , NB ]
de tore T /ZG est isomorphe, avec sa structure F -rationnelle, au quotient par le sous-tore Tρ de TE de
la variété torique
NE /[NE , NE ]
de tore TE /ZE .
(ii) La variété torique
B/[NB , NB ]
de tore (T × T )/ZG est isomorphe, avec sa structure F -rationnelle, au quotient par le sous-tore Tρ × Tρ
de TE × TE de la variété torique
B E /[NE , NE ]
de tore (TE × TE )/ZE .
(iii) Les applications induites
(NE /[NE , NE ])(F ) → (NB /[NB , NB ])(F ) ,
(B E /[NE , NE ])(F ) → (B/[NB , NB ])(F )
et, en toute place x ∈ |F |,
(NE /[NE , NE ])(Fx ) → (NB /[NB , NB ])(Fx ) ,
sont surjectives.
173
(B E /[NE , NE ])(Fx ) → (B/[NB , NB ])(Fx )
Démonstration :
(i) Nous devons montrer que pour tout caractère χ ∈ XT vu comme un cocaractère
χ : C× → Tb ,
χ est positif si et seulement si le composé
χ
ρT
C× −→ Tb −→ Tbr = TbE
c E.
est un cocaractère positif du tore maximal TbE de GL
Dans un sens, il suffit de vérifier que pour toute racine simple α ∈ ∆B , le composé
ρT
α
C× −→ Tb −→ TbE
b → GL
c E envoie le sous-groupe de Borel B
b de
est un cocaractère positif de TbE . Cela résulte de ce que ρ0 : G
b dans le sous-groupe de Borel B
bE de GL
c E.
G
Dans l’autre sens, il suffit de prouver le lemme suivant :
Lemme VI.7. –
Dans les conditions de la proposition VI.6, il existe pour toute racine simple α ∈ ∆B des indices i ∈
{1, . . . , e}, ι ∈ Ii et m0i ∈ {1, . . . , mi − 1} tels que le caractère
∨
× mi
b
$m
0 : Tmi = (C )
i
−→
(z1 , . . . , zmi ) 7−→
C× ,
Y
zj
1≤j≤m0i
vérifie les deux propriétés suivantes :
∨
• hρ0i,ι ◦ α , $m
0 i ≥ 1,
i
∨
0
• hρ0i,ι ◦ α0 , $m
0 i = 0 , ∀ α ∈ ∆B − {α}.
i
Démonstration du lemme : Étant donnée une racine simple α ∈ ∆B , notons Pbα le sous-groupe parabolique
b qui lui est associé.
maximal de G
Choisissons n’importe quel indice i ∈ {1, . . . , e} tel que mi ≥ 2 puis n’importe quel indice ι ∈ Ii .
Le facteur correspondant
b → GLm (C)
ρ0i,ι : G
i
b mais sa restriction à Pbα
est une représentation irréductible de G
b → GLm (C)
Pbα ,→ G
i
ne peut être irréductible. Elle stabilise un sous-espace V 0 de V = Cmi de dimension m0i ∈ {1, . . . , mi − 1}.
b qu’elle envoie B
b dans Bm (C) et que Pbα contient
Comme ρ0i,ι est une représentation irréductible de G,
i
0
b
b
b
B, les mi caractères par lesquels le tore maximal T de G agit sur le sous-espace V 0 de V = Cmi sont
nécessairement les m0i premières composantes de l’homomorphisme de tores
Tb → Tbmi = (C× )mi
induit par ρ0i,ι .
La conclusion du lemme s’en déduit.
Fin de la démonstration de la proposition VI.6 : Le lemme VI.7 a achevé la preuve de (i).
Quant à (ii) et (iii), ce sont des conséquences de (i) et de la proposition VI.1.
174
2
Transformation de Fourier sur les variétés toriques de type dual
Comme dans le paragraphe précédent, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un
semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On note E l’extension séparable de degré r de F qui correspond à l’action de ΓF sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}
des indices des vecteurs de base de Cr , et
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
une décomposition de E en un produit de corps Ei apparaissant avec des multiplicités mi .
D’après la proposition VI.1, la variété torique affine normale T de tore T qui définit le semi-groupe G
s’identifie au quotient de la variété torique
Y
T E = ResE/F A1 =
(ResEi /F A1 )mi
1≤i≤e
de tore
TE = ResE/F Gm =
Y
(ResEi /F Gm )mi
1≤i≤e
par le sous-tore Tρ de TE .
On considère d’autre part une place arbitraire x ∈ |F |.
L’ensemble T E (Fx ) des points de T E à valeurs dans le corps local Fx s’identifie à
Y
Ex = E ⊗F Fx =
(Ei ⊗F Fx )mi .
1≤i≤e
L’épimorphisme équivariant
TE → T
induit une application surjective
Ex = T E (Fx ) → T (Fx )
qui est invariante par Tρ (Fx ), si bien que toute fonction sur T (Fx ) peut être vue comme une fonction sur
Ex qui est invariante par Tρ (Fx ).
Pour toute algèbre Fx0 sur Fx de dimension finie, on dispose de l’homomorphisme
Tr : Fx0 → Fx
qui associe aux éléments de Fx0 leur trace comme endomorphismes multiplicatifs de l’algèbre Fx0 vue comme
un espace vectoriel de dimension finie sur Fx . Cela s’applique en particulier à l’algèbre séparable Ex sur Fx
et à ses facteurs Ei ⊗F Fx .
Q
Pour tout élément e = (ei,j ) 1≤i≤e ∈ Ex =
(Ei ⊗F Fx )mi , on a
1≤j≤mi
1≤i≤e
Tr (e) =
X
X
Tr (ei,j ) .
1≤i≤e 1≤j≤mi
On considère encore un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C×
175
de conducteur Nψx .
Pour toute extension finie séparable Fx0 de Fx qui est un corps, le caractère composé
ψx ◦ Tr : Fx0 → Fx → C×
admet pour conducteur le produit de Nψx et de l’indice de ramification de Fx0 sur Fx . Comme le degré
[Fx0 : Fx ] de Fx0 sur Fx est le produit de son indice de ramification et du degré de son corps résiduel sur
celui de Fx , la mesure additive “autoduale” sur Fx0 est celle qui attribue au sous-groupe ouvert compact des
0 :F ]
[Fx
x
N
ψx
.
points entiers le volume qx 2
Par conséquent, la mesure additive autoduale da0x sur une extension finie séparable Fx0 de Fx de degré
0 :F ]
[Fx
x
N
ψx
[Fx0 : Fx ] est celle qui attribue au sous-groupe ouvert compact des points entiers le volume qx 2
. Cela
s’applique en particulier à Ex et à ses facteurs Ei ⊗F Fx , dont les sous-groupes des points entiers ont pour
r
volume qx2
Nψx
[Ei :F ]
2
[resp. qx
Nψx
].
Voici la définition de la ψx -transformation de Fourier sur une telle extension finie séparable Fx0 de Fx :
Définition VI.8. –
Soit une algèbre commutative séparable Fx0 sur Fx qui est de degré fini. Soit da0x sa mesure additive
autoduale relativement au caractère composé
ψx ◦ Tr : Fx0 → Fx → C× .
Pour toute fonction localement constante à support compact fx sur Fx0 , sa ψx -transformée de Fourier est
la fonction localement constante à support compact
Z
b
b
fx : ax 7→ fx (ax ) =
da0x · ψx ◦ Tr (a0x ax ) · fx (a0x ) .
Fx0
Comme dans le cas des algèbres de matrices, la ψx -transformation de Fourier sur une algèbre commutative
finie séparable Fx0 sur Fx possède les propriétés de la proposition IV.34, dont la formule de Plancherel.
Si F est une distribution sur Fx0 , c’est-à-dire une forme linéaire sur l’espace des fonctions localement
constantes à support compact fx : Fx0 → C, on définit sa ψx -transformée de Fourier Fb par l’identité
b fbx ) = F(fx ) ,
F(
∀ fx .
Il résulte de la formule de Plancherel que la ψx -transformation de Fourier des distributions prolonge celle
des fonctions.
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition suivante :
Définition VI.9. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soit E l’extension séparable de degré r de F qui correspond à l’action de ΓF sur l’ensemble {1, 2, . . . , r}
des indices des vecteurs de base de Cr .
176
Soient enfin une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C×
de conducteur Nψx .
Considérons deux fonctions
f1 , f2 : T (fx ) → C
que l’on peut voir aussi comme des fonctions
TE (Fx ) = Ex× → C
invariantes par le sous-groupe Tρ (Fx ) de TE (Fx ).
On dira que f2 est la ψx -transformée de Fourier de f1 et on notera
f2 = fb1
si :
• f1 et f2 définissent des distributions sur T E (Fx ) = Ex nécessairement invariantes par Tρ (Fx ),
• la distribution définie par f2 sur Ex est la ψx -transformée de Fourier de celle définie par f1 .
Afin d’aller plus loin, il faut décomposer spectralement les fonctions localement constantes à support
compact
T E (Fx ) = Ex → C
puis la ψx -transformation de Fourier de ces fonctions.
On commence par appliquer le lemme V.7 du paragraphe V.3 et la discussion qui le précède au tore TEx
déduit de TE par localisation au-dessus de Fx .
On note TEd x le plus grand sous-tore déployé de TEx . Le réseau XT∨d de ses cocaractères est le sous-réseau
Ex
saturé de XT∨Ex = XT∨E constitué des cocaractères Gm → TE fixés par l’action du groupe de Galois ΓFx de
Fx .
D’autre part, on note Λ0Ex ⊂ XTEx le sous-réseau saturé de XTEx = XTE constitué des caractères
TE → Gm
fixés par l’action de ΓFx . Tout élément de Λ0Ex définit un caractère de TEd x ⊂ TEx . L’homomorphisme
Λ0Ex → XTEd
x
est injectif et identifie Λ0Ex à un sous-réseau d’indice fini de XTEd . L’homomorphisme dual
x
XT∨d
Ex
→
Λ0∨
Ex
est également injectif et identifie XT∨d à un sous-réseau de Λ0∨
Ex du même indice fini.
Ex
Il existe un unique homomorphisme
ordx : TE (Fx ) = Ex× → Λ0∨
Ex
tel que, pour tout caractère algébrique
χ : TE → Gm
177
bien défini sur Fx , c’est-à-dire fixé par l’action de ΓFx , et pour tout élément tx ∈ TE (Fx ), on ait
hordx (tx ), χi = vx (χ(tx )) .
L’image de cet homomorphisme
ordx : TE (Fx ) → Λ0∨
Ex
0∨
∨
0∨
est un sous-réseau Λ∨
Ex de ΛEx qui contient XT d et, a fortiori, est d’indice fini dans ΛEx . Son dual ΛEx est
Ex
un sous-réseau d’indice fini de XTEd qui contient Λ0Ex . On a ΛEx = XTEd si Ex est non ramifiée sur Fx mais
x
x
ce n’est pas vrai en général.
Le noyau de l’homomorphisme
ordx : TE (Fx ) → Λ∨
Ex
×
est le plus grand sous-groupe ouvert compact TE (Fx )0 de TE (Fx ). Il n’est autre que le groupe OE
des
x
éléments inversibles du sous-anneau OEx des points entiers de Ex .
b E le tore complexe dont le réseau des caractères est égal à Λ∨ . Il contient un plus
Enfin, on note Λ
x
Ex
grand sous-tore réel compact qui est
n
o
bE = λ ∈ Λ
b E | |µ(λ)| = 1 , ∀ µ ∈ Λ∨
Im Λ
=
X
.
bE
Ex
x
x
Λ
x
La suite exacte
ordx
×
1 −→ TE (Fx )0 = OE
−→ TE (Fx ) = Ex× −−−→ Λ∨
Ex −→ 0
x
b E au tore des caractères
identifie Λ
x
TE (Fx ) = Ex× → C×
×
b E au sous-tore réel compact constitué
qui sont triviaux sur TE (Fx )0 = OE
, c’est-à-dire non ramifiés, et Im Λ
x
x
de ceux de ces caractères qui sont unitaires.
Pour rendre les choses plus tangibles, décomposons l’extension finie séparable Ex de Fx en un produit de
corps :
Lemme VI.10. –
Si E est une extension finie séparable de F comme ci-dessus, écrivons l’extension Ex = E ⊗F Fx de Fx
comme un produit
Y
Y
Ex =
Fx,i
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
de corps Fx,i apparaissant avec des multiplicités mx,i .
Notons κx,i les corps résiduels des corps locaux Fx,i . Ce sont des extensions finies du corps résiduel κx
de Fx .
Alors :
(i) Le plus grand sous-tore déployé TEd x de
TEx =
Y
Y
ResFx,i /Fx Gm
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
s’identifie à
Y
Y
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
178
Gm ,
et le réseau XT∨d de ses cocaractères s’identifie à
Ex
Y
Y
Z
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
plongé diagonalement dans
XT∨Ex =
Y
Y
Z[Fx,i :Fx ] .
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
(ii) Le réseau
Λ0Ex
⊂ XTEd s’identifie à
x
Y
Y
[Fx,i : Fx ] · Z
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
∨
et son dual Λ0∨
Ex ⊃ XT d s’identifie à
Ex
Y
1
· Z.
[Fx,i : Fx ]
Y
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
0∨
(iii) Le réseau Λ∨
Ex ⊂ ΛEx s’identifie à
Y
Y
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
[κx,i : κx ]
·Z
[Fx,i : Fx ]
et son dual ΛEx ⊂ XTEd s’identifie à
x
Y
Y
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
[Fx,i : Fx ]
· Z.
[κx,i : κx ]
(iv) L’homomorphisme surjectif
Y
Y
ordx : TE (Fx ) =
×
Fx,i
→ Λ∨
Ex
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
est le produit des homomorphismes
×
Fx,i
−→
tx,i,j
7−→
[κx,i : κx ]
· Z,
[Fx,i : Fx ]
1
· vx (det(tx,i,j )) .
[Fx,i : Fx ]
b E s’identifie au produit
(v) Le tore complexe Λ
x
Y
Y
C×
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
si l’on associe à tout élément
λ = (λx,i,j ) 1≤i≤ex
1≤j≤mx,i
de ce produit le caractère non ramifié
Y
Y
×
Fx,i
−→
C× ,
7−→
Y
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
tx = (tx,i,j ) 1≤i≤ex
1≤j≤mi,x
Y
vx (det(tx,i,j ))
[κ
:κx ]
λx,i,j x,i
.
1≤i≤ex 1≤j≤mi,x
179
Tout caractère
Y
χ : TE (Fx ) = Ex× =
Y
×
Fx,i
→ C×
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
se décompose comme un produit
χ=
Y
Y
χi,j
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
×
de caractères χi,j : Fx,i
→ C× .
Chaque facteur χi,j est non ramifié, c’est-à-dire invariant par OF×x,i , si et seulement si il est de la forme
×
Fx,i
vx (det(tx,i,j ))
[κx,i :κx ]
3 tx,i,j 7→ zχi,j
pour une unique valeur propre zχi,j ∈ C× .
On sait associer à chaque facteur
×
χi,j : Fx,i
→ C×
son facteur L local
Lx (χi,j , Z) =




1
1 − Z [κx,i :κx ] · zχi,j



1
si χi,j est non ramifié,
sinon,
ainsi que le facteur local
x (χi,j , ψx , Z) = x (χi,j , ψx ◦ Tr, Z [κx,i :κx ] ) .
Pour tout caractère
χ=
Y
Y
χi,j
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
de TE (Fx ) = Ex× , on pose alors
Lx (χ, Z) =
Y
Y
Lx (χi,j , Z)
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
et
x (χ, ψx , Z) =
Y
Y
x (χi,j , ψx , Z) .
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
On dit que deux caractères
χ, χ0 : TE (Fx ) = Ex× → C×
bE .
sont “faiblement équivalents” si leur quotient χ0 χ−1 est un caractère non ramifié, élément de Λ
x
Rappelons :
Proposition VI.11. –
On considère une extension finie séparable E de F associée à l’action du groupe de Galois ΓF sur un
ensemble d’indices {1, 2, . . . , r} et la variété torique
T E = ResE/F A1
de tore TE = ResE/F Gm .
On considère d’autre part une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C× .
Alors :
180
(i) Une fonction
fx : Ex → C
est localement constante à support compact si et seulement si sa décomposition spectrale sous l’action
de Ex× a la forme
XZ
− 12
−1 dχ · Lx χ−1 , qx 2 · pχ0 (χ) · χ(tx )
fx (tx ) = | det(tx )|x ·
Im [χ0 ]
χ0
où :
• les χ0 décrivent une famille de représentants des classes d’équivalence faible de caractères unitaires
Ex× → C,
b E , des caractères Ex× → C
• pour chaque χ0 , [χ0 ] désigne la variété complexe, isomorphe à Λ
x
b E , des
faiblement équivalents à χ0 , et Im [χ0 ] la sous-variété réelle compacte, isomorphe à Im Λ
x
caractères unitaires faiblement équivalents à χ0 ,
• dχ désigne l’unique mesure de volume 1 sur chaque variété compacte Im [χ0 ] qui est invariante
bE ,
par l’action de Im Λ
x
• les pχ0 : [χ0 ] → C sont des polynômes sur les variétés algébriques [χ0 ],
• on a pχ0 = 0 en dehors d’un ensemble fini de représentants χ0 .
(ii) Si une fonction localement constante à support compact
fx : Ex → C
est décomposée spectralement sous la forme de (i), sa ψx -transformée de Fourier fbx admet la décomposition
spectrale
XZ
−1
−1 −1 fbx (tx ) = | det(tx )|x 2 ·
dχ · Lx χ, qx 2 · x χ, ψx , qx 2 · pχ0 (χ) · χ−1 (tx ) .
χ0
Im [χ0 ]
Remarque : Comme l’extension finie séparable Ex de Fx se décompose en un produit de corps
Y
Y
Fx,i ,
Ex =
1≤i≤ex 1≤j≤mx,i
cette proposition se résume au cas particulier r = 1 du théorème IV.30, du corollaire IV.31 et du corollaire IV.37.
Revenons maintenant à la situation de la définition VI.9. Le tore TE = ResE/F Gm est muni d’un soustore Tρ défini sur F tel que le quotient TE /Tρ s’identifie au tore maximal T de G. Le dual Tb de T s’identifie,
via
Y
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb →
C× = TbE ,
1≤i≤r
à un sous-tore de TbE et le dual Tbρ de Tρ est le quotient TbE /Tb. Enfin, Tb est muni d’un cocaractère
c G : C× → Tb
det
dont le composé avec
ρT : Tb →
Y
1≤i≤r
181
C× = TbE
est égal au plongement diagonal
C× ,→
Y
C× .
1≤i≤r
Autrement dit, le caractère
det : TE → Gm
se factorise à travers la projection TE → TE /Tρ = T en
detG : T → Gm .
En la place arbitraire x ∈ |F | et pour tout caractère
χ0 : TE (Fx ) = Ex× → C× ,
on notera [χ0 ]T la sous-variété algébrique de [χ0 ] constituée des caractères
χ : TE (Fx ) → C×
faiblement équivalents à χ0 qui sont invariants par le sous-tore Tρ (Fx ) c’est-à-dire se factorisent en
T (Fx ) → C× .
b x et la sous-variété Im [χ0 ]T = Im [χ0 ] ∩ [χ0 ]T
Si [χ0 ]T n’est pas vide, elle est isomorphe au tore complexe Λ
b x.
des caractères unitaires se factorisant par T (Fx ) est isomorphe au sous-tore réel compact Im Λ
On a :
Lemme VI.12. –
Dans la situation de la définition VI.9, munissons le tore local Tρ (Fx ) en la place arbitraire x de la mesure
invariante dtρ,x qui attribue le volume 1 au plus grand sous-groupe ouvert compact Tρ (Fx )0 de Tρ (Fx ).
Alors :
(i) Pour toute fonction localement constante à support compact
fx : T E (Fx ) = Ex → C ,
l’intégrale
Z
f x : tx 7→
dtρ,x · fx (tx tρ,x )
Tρ (Fx )
définit une fonction sur T (Fx ) = TE (Fx )/Tρ (Fx ).
(ii) Si la fonction localement constante à support compact
fx : Ex → C
a la décomposition spectrale sous l’action de Ex×
XZ
−1
−1 fx (tx ) = | det(tx )|x 2 ·
dχ · Lx χ−1 , qx 2 · pχ0 (χ) · χ(tx ) ,
χ0
Im[χ0 ]
alors la fonction induite par intégration
f x : T (Fx ) = TE (Fx )/Tρ (Fx ) → C
182
a la décomposition spectrale
−1
f x (tx ) = |detG (tx )|x 2 ·
X Z
χ0
[χ0 ]T 6=0
− 21 Im [χ0 ]T
dχT · Lx χ−1
T , qx
· pχ0 (χT ) · χT (tx )
où, pour tout représentant χ0 tel que [χ0 ]T 6= ∅, dχT désigne l’unique mesure de volume 1 sur Im [χ0 ]T
b x.
qui est invariante par l’action de Im Λ
On déduit de ce lemme et du cas particulier r = 1 du théorème IV.35 :
Corollaire VI.13. –
Dans la situation de la définition VI.9, considérons une fonction
fx : T (Fx ) → C
qui provient par intégration d’une fonction localement constante à support compact
T E (Fx ) = Ex → C .
Autrement dit, cette fonction fx admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
−1
− 12 fx (tx ) = |detG (tx )|x 2 ·
· pχ0 (χT ) · χT (tx )
dχT · Lx χ−1
T , qx
χ0
[χ0 ]T 6=∅
Im [χ0 ]T
∼Λ
b x qui sont
où les pχ0 : [χ0 ]T → C forment une famille de polynômes sur les variétés algébriques [χ0 ]T =
non nuls seulement pour un sous-ensemble fini de représentants χ0 .
Alors fx admet une ψx -transformée de Fourier fbx au sens de la définition VI.9, et celle-ci possède la
décomposition spectrale
X Z
−1
−1 −1 fbx (tx ) = |detG (tx )|x 2 ·
dχT · Lx χT , qx 2 · x χT , ψx , qx 2 · pχ0 (χT ) · χ−1
T (tx ) .
χ0
[χ0 ]T 6=∅
Im [χ0 ]T
3
Transformation de Fourier des fonctions de type L torique
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est le dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On considère également une place arbitraire x ∈ |F | en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G et la
représentation ρ peuvent éventuellement être ramifiés.
Rappelons la notion de “fonction de type L torique” introduite dans la définition V.30(i) du paragraphe V.6.
Une fonction de type de Hecke (c’est-à-dire invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert
compact de G(Fx ))
hx : G(Fx ) → C
183
est dite “de type L torique” si elle est élément de l’algèbre HxG,ρ,+ (c’est-à-dire supportée par une partie
compacte de G(Fx )) et admet une décomposition spectrale de la forme
Z
−1/2
hx (gx ) = |detG (gx )|x
·
dλ · Lx (ρ, λ−1 , qx−1/2 ) · hx,λ (gx ) , ∀ gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
où la fonction
b x × G(Fx ) −→
Λ
(λ, gx ) 7−→
C
hx,λ (gx )
possède les deux propriétés suivantes :
b x , la restriction
(1) Pour tout λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ hx,λ (gx )
est invariante à gauche et à droite par tout sous-groupe ouvert de G(Fx ) par lequel hx est invariante,
et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels de la représentation IndG
B (λ).
(2) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
b x 3 λ 7→ hx,λ (gx )
Λ
b x qui est invariant par l’action de Sx .
est un polynôme sur le tore complexe Λ
G
Pour toute telle fonction de type L torique
hx : G(Fx ) → C ,
ses translatées à gauche et à droite
g1 g2
hx
: G(Fx ) −→
gx
7−→
C,
g1 g2
hx (gx )
= hx (g1 gx g2 )
sont encore de type L torique.
Rappelons d’autre part que le lemme V.35 du paragraphe V.7 a permis d’associer à la représentation de
transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
un caractère
detρ : G → Gm
qui est bien défini sur F .
Notant comme d’habitude
δB =
X
α : B → T = B/NB → Gm
α∈ΦB
le “caractère modulaire” par lequel B ou T agissent sur la puissance extérieure maximale de l’espace Lie (NB ),
le caractère detρ : G → Gm est caractérisé par la propriété que
hdetρ , ρiT i = hδB , ρiT i
pour toute composante ρiT ∈ XTb = XT∨ de ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → Tbr = (C× )r qui est le plus haut poids
b → GLr (C) restreinte de ρ.
de l’un des facteurs irréductibles de la représentation ρ0 : G
Ces rappels étant faits, nous sommes en mesure de poser la définition suivante :
184
Définition VI.14. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soient d’autre part une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu unitaire non trivial
ψx : Fx → C× .
Considérons deux fonctions de type de Hecke
h1 , h2 : G(Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
h1 (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h01 (gx ) ,
−1
h2 (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h02 (gx ) ,
pour deux fonctions de type L torique
h01 , h02 : G(Fx ) → C
admettant donc des décompositions spectrales de la forme
Z
−1
−1 h01 (gx ) = |detG (gx )|x 2 ·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 ·h01,λ (gx ) ,
bx
Im Λ
−1
h02 (gx ) = |detG (gx )|x 2 ·
Z
−1
dλ · Lx (ρ, λ−1 , qx 2 ) · h02,λ (gx ) ,
bx
Im Λ
où les deux fonctions
b x × G(Fx ) −→
Λ
C
(λ, gx ) 7−→
h01,λ (gx ) ,
(λ, gx ) 7−→
h02,λ (gx )
possèdent les propriétés (1) et (2) rappelées plus haut.
On dira que h2 est la ψx -transformée de Fourier de h1 (relativement à la représentation de transfert ρ)
b x et gx ∈ G(Fx )
si on a pour tous λ ∈ Λ
−1 h02,λ (gx ) = x λ−1 , ψx , qx 2 ·h01,λ−1 (gx−1 )
où les x (λ, ψx , Z) ont le sens qui leur est donné au paragraphe précédent.
Remarques :
(i) La ψx -transformation de Fourier relative à ρ des fonctions envisagées sur G(Fx ) est donc définie à
partir de leur décomposition spectrale.
Il en résulte immédiatement que la ψx -transformation de Fourier est compatible avec les translations
à gauche et à droite :
Si h2 est la ψx -transformée de Fourier de h1 et g1 , g2 sont deux éléments arbitraires de G(Fx ), la
fonction
−1
−1
gx 7→ |detG (g1 g2 )|x 2 |detρ (g1 g2 )|x 2 g1hg12 (gx )
admet pour ψx -transformée de Fourier la fonction
1
1
gx 7→ |detG (g1 g2 )|x2 |detρ (g1 g2 )|x2
185
−1
g2−1 g1
h2 (gx ) .
b = GLr (C), on a G = Mr ,
(ii) Dans le cas particulier où G = GLr et ρ est la représentation standard de G
detG = det et detρ = (det)r−1 .
Il résulte du corollaire IV.37 du paragraphe IV.7 que la définition ci-dessus recoupe, dans le cas des
fonctions envisagées, la définition standard de la ψx -transformation de Fourier sur Mr (Fx ) rappelée au
début du paragraphe IV.7.
Comme la ψx -transformation de Fourier introduite dans la définition VI.14 ci-dessus est compatible
avec les translations à gauche ou à droite, elle est également compatible avec la formation des “coefficients
unipotents constants”.
Afin de donner un énoncé précis, rappelons que pour toute fonction de type de Hecke
hx : G(Fx ) → C
qui est à support compact ou, plus généralement, dont la restriction à chaque ouvert
{gx ∈ G(Fx ) | vx (detG (gx )) = n} ,
n ∈ Z,
est à support compact, son “coefficient unipotent constant” est la fonction
hx,B : B(Fx )/NB (Fx ) = T (Fx ) −→
C
1
bx
Z
|δB (bx )|x2 ·
7−→
dux · hx (bx ux )
NB (Fx )
−1
Z
= |δB (bx )|x 2 ·
dux · hx (ux bx )
NB (Fx )
où dux désigne une mesure de Haar de NB (Fx ) choisie une fois pour toutes.
On a :
Proposition VI.15. –
Dans la situation de la définition VI.14 ci-dessus, considérons encore deux fonctions de type de Hecke
h1 , h2 : G(Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
h1 (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h01 (gx ) ,
−1
h2 (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h02 (gx ) ,
pour deux fonctions de type L torique
h01 , h02 : G(Fx ) → C .
Alors, si h2 est la ψx -transformée de Fourier de h1 relativement à ρ au sens de la définition VI.14, le
coefficient unipotent constant
h02,B : T (Fx ) → C
est le ψx -transformé de Fourier du coefficient unipotent constant
h01,B : T (Fx ) → C
au sens de la définition VI.9 du paragraphe précédent, c’est-à-dire au sens induit par les isomorphismes
T = TE /Tρ ,
T = T E /Tρ .
186
Remarque : Si h2 est la ψx -transformée de Fourier de h1 , on a même que pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(Fx )
le terme constant
−1
2
|detG (g1 g2 )|x 2 · (g1h0g
1 )B
admet pour ψx -transformé de Fourier le terme constant
1
−1
0g −1
|detG (g1 g2 )|x2 · (g2 h2 1 )B .
Considérons maintenant un entier r0 ≥ 2 et le groupe Gr0 croisé de degré r0 de G. On dispose également
du semi-groupe normal Gr0 de groupe Gr0 . Il est le dual de la représentation de transfert “bien disposée”
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
définie comme la croisée de degré r0 de ρ.
La définition des fonctions “de type L torique” que nous avons rappelée s’applique sur Gr0 (Fx ) comme
sur G(Fx ). En particulier, une fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par SLr0 (Ox ), est “de type L torique” si elle est élément de l’algèbre
G ,ρ ,+
Hx r0 r0 et admet une décomposition spectrale de la forme
Z
0
−1
dλ · dz · Lx ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ·Hx,λ,z (gx ) · ϕrx,z (gx0 ) ,
Hx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
∀ (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) ,
où la fonction
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
(λ, z, gx ) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
possède les deux propriétés suivantes :
(10 ) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de G(Fx ) tel que la fonction Hx soit invariante à gauche et
b x et z ∈ Tbr0 , la fonction
à droite par Gr0 (Fx ) ∩ (Kx × GLr0 (Ox )), alors, pour tous λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ Hx,λ,z (gx )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels
de la représentation IndG
B (λ).
(20 ) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
b x × Tbr0
Λ
−→
(λ, z) 7−→
C
Hx,λ,z (gx )
b x × Tbr0 qui est invariant par l’action de Sx × Sr0 . De plus, on
est un polynôme sur le tore complexe Λ
G
×
a pour tout z0 ∈ C
vx (detG (gx ))
Hx,λ det
· Hx,λ,z (gx ) .
c G (z0 ), zz −1 (gx ) = z0
0
187
Pour toute telle fonction de type L torique
Hx : Gr0 (Fx ) → C ,
ses translatées à gauche et à droite
(g1 ,g10 )
(g2 ,g20 )
Hx
: Gr0 (Fx ) −→
(gx , gx0 )
7−→
C
(g1 ,g10 )
(g2 ,g20 )
Hx
(gx , gx0 ) = Hx (g1 gx g2 , g10 gx0 g20 )
par des éléments arbitraires (g1 , g10 ), (g2 , g20 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) sont encore de type L torique.
La définition VI.14 appliquée à Gr0 au lieu de G s’énonce de la manière suivante :
Définition VI.16. –
Dans la situation de la définition VI.14 ci-dessus, considérons encore un entier r0 ≥ 2 et deux fonctions
de type de Hecke
H1 , H2 : Gr0 (Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
−r
0 −1
−1
−r
0 −1
H1 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · |det(gx0 )|x
H2 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · |det(gx0 )|x
2
2
· H10 (gx , gx0 ) ,
· H20 (gx , gx0 ) ,
pour deux fonctions de type L torique
H10 , H20 : Gr0 (Fx ) → C
admettant des décompositions spectrales de la forme
Z
0
−1
0
H10 (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
dλ · dz · Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ) · H1,λ,z
(gx ) · ϕrx,z (gx0 ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
−1
H20 (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
Z
0
0
dλ · dz · Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ) · H2,λ,z
(gx ) · ϕrx,z (gx0 ) ,
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
où les deux fonctions
b x × Tbr0 × G(Fx ) −→
Λ
C
(λ, z, gx ) 7−→
0
H1,λ,z
(gx ) ,
(λ, z, gx ) 7−→
0
H2,λ,z
(gx )
possèdent les propriétés (10 ) et (20 ) rappelées plus haut.
Alors H2 est la ψx -transformée de Fourier de H1 (relativement à la représentation de transfert ρr0 ) si
b x , z ∈ Tbr0 et gx ∈ G(Fx )
on a pour tous λ ∈ Λ
− 12 0
H2,λ,z
(gx ) = x λ−1 , z −1 , ψx , qx
0
−1
·H1,λ
−1 ,z −1 (gx )
0
où on note pour tout élément z = (z1 , . . . , zr0 ) de Tbr0 = (C× )r
Y
x (λ, z, ψx , Z) =
x (λ, ψx , zi Z) .
1≤i≤r 0
188
et
Rappelons que nous avons noté Br0 le sous-groupe de Borel standard de GLr0 , Nr0 son radical unipotent
X
δ Br 0 =
α : Br0 → Tr0 = Br0 /Nr0 → Gm
α∈ΦB
r0
le “caractère modulaire” par lequel Br0 ou Tr0 agissent sur la puissance extérieure maximale de l’espace
Lie (Nr0 ).
Pour toute fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C
qui est à support compact ou, plus généralement, dont la restriction à chaque ouvert
{(gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) | vx (detG (gx )) = n} ,
n ∈ Z,
est à support compact, son “coefficient unipotent constant” est la fonction
Hx,B,Br0 : TGr0 (Fx ) −→
(tx , t0x )
7−→
C
1
2
Z
1
|δB (tx )|x ·
|δBr0 (t0x )|x2
dux · du0x · Hx (tx ux , t0x u0x )
·
−1
NB (Fx )×Nr0 (Fx )
−1
= |δB (tx )|x 2 · |δBr0 (t0x )|x 2 ·
Z
dux · du0x · Hx (ux tx , u0x t0x )
NB (Fx )×Nr0 (Fx )
du0x
désigne la mesure de Haar sur Nr0 (Fx ) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact
où
Nr0 (Ox ).
La proposition VI.15 appliquée à Gr0 au lieu de G s’énonce de la manière suivante :
Corollaire VI.17. –
Dans la situation des définitions VI.14 et VI.16 ci-dessus, considérons encore deux fonctions de type de
Hecke
H1 , H2 : Gr0 (Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
−r
0 −1
−1
−r
0 −1
H1 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
H2 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
2
2
· H10 (gx , gx0 ) ,
· H20 (gx , gx0 ) ,
pour deux fonctions de type L torique
H10 , H20 : Gr0 (Fx ) → C .
Alors, si H2 est la ψx -transformée de Fourier de H1 relativement à ρr0 au sens de la définition VI.16, le
terme constant
0
H2,B,B
: TGr0 (Fx ) → C
r0
est le ψx -transformé de Fourier du terme constant
0
H1,B,B
: TGr0 (Fx ) → C
r0
au sens induit par les isomorphismes
0
TGr0 = TE r0 /Tρr0 = (TE )r /Tρr0 ,
0
T Gr0 = T E r0 /Tρr0 = (T E )r /Tρr0 .
189
4
Transformation de Fourier des fonctions de type L ramifiées en
la partie linéaire
Comme dans les paragraphes précédents, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un
semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On considère aussi maintenant un rang r0 ≥ 2 et une place x ∈ |F | − Sρ en laquelle le groupe réductif
quasi-déployé G et la représentation de transfert ρ sont non ramifiés.
Rappelons la notion de “fonction de type L” sur Gr0 (Fx ), éventuellement ramifiée en la partie linéaire,
qui a été introduite dans la définition V.24 du paragraphe V.5.
Une fonction de type de Hecke (c’est-à-dire invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert
compact de Gr0 (Fx ))
Hx : Gr0 (Fx ) → C
G ,ρ ,+
est dite “de type L” si elle est élément de l’algèbre Hx r0 r0 (c’est-à-dire supportée par une partie compacte
de Gr0 (Fx )) et admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
− 12
0
Hx (gx , gx ) = |detG (gx )|x ·
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im [π0 ])/U (1)
0
· ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx )
où (r, π0 ) décrit une famille de représentants des classes d’équivalence faible des représentations de carré
intégrable de sous-groupes de Levy de GLr0 (Fx ), et où les fonctions
Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possèdent les trois propriétés suivantes :
(1) Seulement un nombre fini des fonctions Hx,r,π0 ne sont pas uniformément nulles.
(2) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que la fonction Hx soit invariante à gauche
et à droite par Gr0 (Fx ) ∩ (G(Ox ) × Kx ), alors, pour tous λ ∈ Tbxd et π ∈ [π0 ], la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0 7→ Hx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels
0
de la représentation Indrr (π).
(3) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
Tbxd × [π0 ] −→
(λ, π) 7−→
C
Hx,r,π0 (λ, π, gx0 ) ,
est un polynôme sur le tore complexe Tbxd × [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini SxG ×
Fixe (r, π0 ). De plus, on a pour tout z ∈ C×
c G (z) · λ, πz−1 , g 0 ) = z −vx (det(gx0 )) · Hx,r,π (λ, π, g 0 ) .
Hx,r,π0 (det
x
x
0
190
Rappelons encore que pour toute représentation lisse admissible π de GLr0 (Fx ) dont le facteur L local
en x s’écrit
Y
1
,
Lx (π, Z) =
1 − zπj Z
1≤j≤rπ
on a noté dans la définition V.23 du paragraphe V.5
Y
Lx (ρr0 , λ, π, Z) =
Lx (ρ, λ, zπi Z) .
1≤i≤rπ
D’après le corollaire III.5 du paragraphe III.3, on a aussi
Lx (ρr0 , λ, π, Z) =
1
Y
{i1 ,i2 ,...,ie }
1≤j≤rπ
1 − Z e · (ρiT1 . . . ρiTe )(λ) · (zπj )e
où {i1 , i2 , . . . , ie } décrit l’ensemble des orbites de l’élément de Frobenius σx agissant par permutation sur
l’ensemble {1, 2, . . . , r}.
Si ex désigne l’ordre de la permutation de {1, 2, . . . , r} définie par σx , on dispose d’un homomorphisme
associé
ρT,x = (ρ1T,x , . . . , ρrT,x ) : Tbxd → Tbr = (C× )r
induit par passage au quotient de
Tb 3 λ 7→ ρT (λ) ρT (σx (λ)) . . . ρT (σxex −1 (λ)) .
Soit enfin x = (1x , . . . , rx ) ∈ (C× )r la suite telle que, pour toute orbite {i1 , i2 , . . . , ie } de σx agissant sur
{1, . . . , r}, la suite restreinte associée (ix1 , ix2 , . . . , ixe ) soit composée des e racines e-ièmes de 1 dans C× .
Alors on a encore pour tout λ ∈ Tbxd
Lx (ρr0 , λex , π, Z) =
Y
Lx (π, ix · ρiT,x (λ) · Z) .
1≤i≤r
Rappelons enfin que si π est une représentation lisse admissible d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de
GLr0 (Fx ) associé à une partition r de r0 , on a noté
0
Lx (ρr0 , λ, π, Z) = Lx (ρr0 , λ, Indrr (π), Z) .
Nous pouvons poser :
Définition VI.18. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual
d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soient d’autre part un rang r0 ≥ 2, une place x ∈ |F | − Sρ en laquelle le groupe réductif quasi-déployé G
et la représentation de transfert ρ sont non ramifiés, et un caractère additif continu unitaire non trivial
ψx : Fx → C× .
191
(i) Si π est une représentation lisse admissible de GLr0 (Fx ) qui est irréductible, ou induite par une
représentation lisse admissible irréductible d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ), ou plus généralement
admet un facteur local en x
x (π, ψx , Z)
défini comme un monôme en Z, on définit
x (ρr0 , λ, π, ψx , Z)
comme l’unique monôme en Z dépendant de λ ∈ Tbxd , tel que
Y
x (ρr0 , λex , π, ψx , Z) =
x (π, ψx , ix · ρiT,x (λ) · Z) ,
∀ λ ∈ Tbxd ,
1≤i≤r
où ex ≥ 1, ρT,x = (ρ1T,x , . . . , ρrT,x ) : Tbxd → Tbr = (C× )r et x = (1x , 2x , . . . , rx ) ont le sens rappelé plus
haut.
(ii) Si π est une représentation lisse admissible irréductible d’un sous-groupe de Levy GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ),
on notera simplement
x (ρr0 , λ, π, ψx , Z) = x (ρr0 , λ, Indrr0 (π), ψx , Z) .
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition suivante qui recoupe la définition VI.16 du
paragraphe précédent dans le cas des fonctions “de type L torique” :
Définition VI.19. –
Dans les conditions de la définition VI.18 ci-dessus, considérons deux fonctions de type de Hecke
H1 , H2 : Gr0 (Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
−r
0 −1
−1
−r
0 −1
H1 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
H2 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
2
2
· H10 (gx , gx0 ) ,
· H20 (gx , gx0 ) ,
pour deux fonctions “de type L”
H10 , H20 : Gr0 (Fx ) → C
admettant donc des décompositions spectrales de la forme
X Z
−1
H10 (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
0
0
· ϕG
x,λ (gx ) · H1,r,π0 (λ, π, gx ) ,
H20 (gx , gx0 )
=
−1
|detG (gx )|x 2
·
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
0
0
· ϕG
x,λ (gx ) · H2,r,π0 (λ, π, gx ) ,
192
où les deux familles de fonctions
Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) −→
(λ, π, gx0 )
(λ, π, gx0 )
C
7−→
0
(λ, π, gx0 ) ,
H1,r,π
0
7−→
0
(λ, π, gx0 )
H2,r,π
0
possèdent les propriétés (1), (2) et (3) rappelées plus haut.
On dira que H2 est la ψx -transformée de Fourier de H1 (relativement à la représentation de transfert
ρr0 ) si on a pour tout représentant (r, π0 ) et pour tous λ ∈ Tbxd , π ∈ [π0 ] et gx0 ∈ GLr0 (Fx )
0
0
−1
H2,r,π
(λ, π, gx0 ) = x (ρr0 , λ−1 , π ∨ , ψx , qx−1/2 ) · H1,r,π
, π ∨ , gx0−1 )
∨ (λ
0
0
où x (ρr0 , λ, π, ψx , Z) a le sens de la définition VI.18 ci-dessus.
Remarque : Dans la situation de cette définition continue à s’appliquer le corollaire VI.17 du para−1
graphe VI.3 qui précède. Autrement dit, si H2 (•, •) = | detρ (•)|x 2 · H20 (•, •) est la ψ-transformée de Fourier
−1
de H1 (•, •) = | detρ (•)|x 2 · H10 (•, •) sur Gr0 (Fx ), alors le terme constant de H20
0
H2,B,B
: TGr0 (Fx ) → C
r0
est le ψx -transformé de Fourier du terme constant de H10
0
H1,B,B
: TGr0 (Fx ) → C .
r
En effet, ces termes constants ne dépendent que des projections de H10 et H20 dans l’espace des fonctions
de type L torique sur Gr0 (Fx ).
Tout caractère additif continu non trivial
ψx0 : Fx → C×
induit un caractère régulier

1

0

 ..
.

.
 ..
u1,2
...
1
..
.
0
...
u2,3
..
.
..
.
...
0
ψ(r
−→
0 ) : Nr 0 (Fx )

...
u1,r0
.. 
. 

..  7−→
..
.
. 


..
. ur0 −1,r0 
0
1
C

ψx0 

X
ui,i+1 
1≤i<r 0
qui permet d’associer à toute fonction de type de Hecke
Hx : Gr0 (Fx ) → C
son “ψx0 -coefficient unipotent régulier”
ψx
0
W(r
0 ) Hx : (gx , gx ) 7→
Z
Nr0 (Fx )
−1
0
dux · ψ(r
0 ) (ux ) · Hx (gx , ux gx )
dans l’espace des fonctions de type de Whittaker.
193
Nous allons définir une ψx -transformation de Fourier (relative à ρr0 ) des fonctions de type de Whittaker
de façon que l’opérateur
ψ0
Hx 7→ W(rx0 ) Hx
soit compatible avec la transformation de Fourier en un sens que nous préciserons.
Complétons d’abord une définition déjà donnée.
Une fonction localement constante
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est dite “de type de Whittaker” [resp. “de type de Whittaker droit”] si
• Wx est invariante à droite [resp. à gauche] par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (Fx ),
• Wx est invariante à gauche
[resp. à droite] par un sous-groupe ouvert compact de G0 (Fx ) =
detG
Ker G(Fx ) −−−→ Fx× ,
• elle vérifie pour tous (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) et ux ∈ Nr0 (Fx )
0
0
Wx (gx , ux gx0 ) = ψ(r
0 ) (ux ) · Wx (gx , gx )
0
0
[resp. Wx (gx , gx0 u−1
x ) = ψ(r 0 ) (ux ) · Wx (gx , gx )] .
Parallèlement à l’opérateur
ψ0
Hx 7→ W(rx0 ) Hx
de passage au coefficient unipotent régulier des fonctions Hx de type de Hecke, on dispose de l’opérateur de
passage au “coefficient unipotent régulier droit” qui associe à toute fonction de type de Hecke Hx la fonction
de type de Whittaker droit
0
f ψx0 Hx : Gr0 (Fx ) → C
W
(r )
définie par la formule
0
f ψx0 Hx (gx , gx0 ) =
W
(r )
Z
0
0
dux · ψ(r
0 ) (ux ) · Hx (gx , gx ux ) .
Nr0 (Fx )
G ,ρ ,+
r0
r0
De même que l’on a noté Wx,ψ
l’espace des fonctions “de type de Whittaker” sur Gr0 (Fx ) dont le
0
x
support est contenu, modulo l’action à gauche de Nr0 (Fx ), dans une partie compacte de Gr0 (Fx ), on note
fGr00,ρr0 ,+ l’espace des fonctions “de type de Whittaker droit” sur Gr0 (Fx ) dont le support est contenu,
W
x,ψx
modulo l’action à droite de Nr0 (Fx ), dans une partie compacte de Gr0 (Fx ).
Une fonction de type de Whittaker [resp. de type de Whittaker droit]
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est dite “de type L à la Whittaker” [resp. “de type L à la Whittaker droit”] si elle est élément de l’espace
Gr0 ,ρr0 ,+
fGr00,ρr0 ,+ ] et admet une décomposition spectrale de la forme
Wx,ψ
[resp. W
0
x,ψ
x
x
−1
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
0
· ϕG
x,λ (gx ) · Wx,r,π0 (λ, π, gx ) ,
194
où (r, π0 ) décrit la famille déjà choisie de représentants des classes d’équivalence faible des représentations
de carré intégrable de sous-groupes de Levy GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ), et où les fonctions
Wx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possèdent les trois propriétés suivantes :
(10 ) Seulement un nombre fini des fonctions Wx,r,π0 ne sont pas uniformément nulles.
(20 ) Si Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLr0 (Fx ) tel que la fonction Wx soit invariante à droite
[resp. à gauche] par Gr0 (Fx ) ∩ (G(Ox ) × Kx ), alors, pour tous λ ∈ Tbxd et π ∈ [π0 ], la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0
7→
Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
[resp. gx0
7→
Wx,r,π0 (λ, π, gx0−1 )
est invariante à droite par Kx , elle est de ψx0 -type de Whittaker et, plus précisément, elle est élément
0
0
du ψx0 -modèle de Whittaker de Indrr (π) [resp. Indrr (π ∨ )].
(30 ) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
Tbxd × [π0 ] −→
(λ, π) 7−→
C
Wx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est un polynôme sur le tore complexe Tbxd × [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini SxG ×
Fixe (r, π0 ). De plus, on a pour tout z ∈ C×
c G (z) · λ, πz−1 , g 0 ) = z −vx (det(gx0 )) · Wx,r,π (λ, π, g 0 ) .
Wx,r,π0 (det
x
x
0
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition suivante :
Définition VI.20. –
Dans les conditions des définitions VI.18 et VI.19 ci-dessus, considérons une fonction de ψx0 -type de
Whittaker
W1 : Gr0 (Fx ) → C
et une fonction de ψx0 -type de Whittaker droit
W2 : Gr0 (Fx ) → C
qui sont de la forme
−1
−r
0 −1
−1
−r
0 −1
W1 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
W2 (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
2
2
· W10 (gx , gx0 ) ,
· W20 (gx , gx0 ) ,
où W10 est une fonction “de type L à la Whittaker” et W20 une fonction “de type L à la Whittaker droit”,
admettant donc des décompositions spectrales de la forme
X Z
−1
W10 (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
0
0
· ϕG
x,λ (gx ) · W1,r,π0 (λ, π, gx ) ,
195
W20 (gx , gx0 )
=
−1
|detG (gx )|x 2
·
X Z
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im[π0 ])/U (1)
dλ · dπ · Lx (ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx−1/2 )
0
0
· ϕG
x,λ (gx ) · W2,r,π0 (λ, π, gx ) ,
où les deux familles de fonctions
Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) −→
(λ, π, gx0 )
(λ, π, gx0 )
C
7−→
0
W1,r,π
(λ, π, gx0 ) ,
0
7−→
0
W2,r,π
(λ, π, gx0 )
0
possèdent les propriétés (10 ), (20 ) et (30 ) rappelées plus haut.
On dira que W2 est la ψx -transformée de Fourier de W1 (relativement à la représentation de transfert
ρr0 ) si on a pour tout représentant (r, π0 ) et pour tous λ ∈ Tbxd , π ∈ [π0 ] et gx0 ∈ GLr0 (Fx )
0
0
W2,r,π
(λ, π, gx0 ) = x (ρr0 , λ−1 , π ∨ , ψx , qx−1/2 ) · W1,r,π
(λ−1 , π ∨ , gx0−1 )
0
0
où x (ρr0 , λ, π, ψx , Z) a toujours le sens de la définition VI.18.
En rapprochant les définitions VI.19 et VI.20, on obtient immédiatement :
Lemme VI.21. –
Dans les conditions des définitions VI.18, VI.19 et VI.20, considérons deux fonctions de type de Hecke
H1 , H2 : Gr0 (Fx ) → C
qui sont de la forme envisagée dans la définition VI.19.
Alors, si H2 est la ψx -transformée de Fourier de H1 relativement à ρr0 , son ψx0 -coefficient unipotent
régulier droit
0
f ψx0 H2 : Gr0 (Fx ) → C
W
(r )
est le ψx -transformé de Fourier relativement à ρr0 du ψx0 -coefficient unipotent régulier
ψ0
W(rx0 ) H1 : Gr0 (Fx ) → C
de la fonction H1 .
196
Chapitre VII :
Une formule de Poisson sur les semi-groupes adéliques
de type dual
1
Une formule de Poisson sur les variétés toriques de type dual
Dans tout ce chapitre comme dans le précédent, on considère un groupe réductif quasi-déployé G sur
un corps de fonctions F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de
transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10.
On note E l’extension séparable de degré r de F qui correspond à l’action du groupe de Galois ΓF sur
l’ensemble {1, 2, . . . , r} des indices des vecteurs de base de Cr , et
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
une décomposition de E en un produit de corps Ei (éventuellement isomorphes) apparaissant avec des
multiplicités mi .
D’après la proposition VI.1, la variété torique affine normale T de tore T qui définit le semi-groupe G
s’identifie au quotient de la variété torique
Y
T E = ResE/F A1 =
(ResEi /F A1 )mi
1≤i≤e
de tore
TE = ResE/F Gm =
Y
(ResEi /F Gm )mi
1≤i≤e
par le sous-tore Tρ de TE dont le dual Tbρ est le conoyau de l’homomorphisme ΓF -équivariant
Y
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb ,→ Tbr =
C× = TbE .
1≤i≤r
L’homomorphisme F -linéaire qui associe à tout élément de E sa trace en tant qu’endomorphisme de E
vu comme un espace vectoriel sur F
Tr : E → F
définit un morphisme de variétés algébriques sur F
Tr : T E = ResE/F A1 → A1 .
197
En particulier, il induit en chaque place x ∈ |F | un homomorphisme Fx -linéaire
Tr : Ex = T E (Fx ) = E ⊗F Fx → Fx ,
et si A = AF désigne l’anneau des adèles de F , il induit un homomorphisme A-linéaire
Tr : T E (A) = E ⊗F A = AE → A
dont la restriction au sous-groupe discret E de AE est
Tr : E → F .
Choisissons une fois pour toutes un caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C×
dont la composante en chaque place x ∈ |F | est notée
ψx : Fx → C× .
On dispose du caractère additif continu non trivial induit par composition avec Tr : AE /E → AF /F
ψE = ψ ◦ Tr : AE /E → C× .
Sa composante en chaque place x ∈ |F | est
ψEx = ψx ◦ Tr : Ex → Fx → C× .
Comme nous avons fait dans la discussion qui précède la définition VI.8, au paragraphe VI.2 du chapitre
précédent, nous pouvons munir chaque composante Ex , x ∈ |F |, de la mesure additive da0x qui est autoduale
relativement au caractère ψEx : Ex → C× .
Alors le groupe adélique additif AE se trouve muni de la mesure invariante autoduale
O
da0 =
da0x .
x∈|F |
On sait que cette mesure produit attribue le volume 1 au quotient compact AE /E.
Comme rappelé dans la définition VI.8, le caractère ψEx : Ex → C× et la mesure autoduale associée
permettent de construire un automorphisme fx 7→ fbx de ψx -transformation de Fourier de l’espace des
fonctions localement constantes à support compact fx : Ex → C.
da0x
De même, le caractère ψE = ψ ◦ Tr : AE → C× et la mesure autoduale da0 définissent un automorphisme
f →
7 fb de ψ-transformation de Fourier de l’espace des fonctions localement constantes à support compact
f : AE → C.
Les transformations de Fourier locales et globales sont compatibles au sens que si f : AE → C est une
fonction localement constante à support compact de la forme
O
f=
fx ,
x∈|F |
alors on a nécessairement
fb =
O
x∈|F |
198
fbx .
Rappelons enfin que le tore TE est muni du caractère
det : TE = ResE/F Gm → Gm
par lequel il agit sur la puissance extérieure maximale de l’espace vectoriel T E = ResE/F A1 .
On sait que ce caractère det se factorise comme le composé de la projection
TE → T
duale de ρT : Tb → TbE et du caractère
detG : T → Gm
dual du cocaractère central
c G : C× ,→ Tb ,→ G
b.
det
En particulier, le noyau Tρ de la projection
TE → T
est contenu dans le noyau du caractère
det : TE → Gm .
La formule de Poisson sur T E (A) = AE exprime le fait que la distribution définie par l’évaluation en les
points du sous-groupe discret E de AE est autoduale :
Proposition VII.1. –
Soient une fonction localement constante à support compact
f : AE → C
et sa ψ-transformée de Fourier
fb : AE → C .
(i) On a
X
X
f (γ) =
γ∈E
fb(γ) .
γ∈E
(ii) Plus généralement, pour tout élément
t = (tx )x∈|F | ∈ A×
E = TE (A) ,
on a
1
| det(t)| 2 ·
X
1
f (t · γ) = | det(t)|− 2 ·
γ∈E
X
fb(t−1 · γ)
γ∈E
où l’on a noté
| det(t)| =
Y
| det(tx )|x .
x∈|F |
On voit en particulier que pour toute fonction localement constante à support compact
f : AE → C
et pour tout élément
t = (tx )x∈|F | ∈ Tρ (A) ,
199
on a
X
X
f (t · γ) =
γ∈E
fb(t−1 · γ) .
γ∈E
Notre but, dans la suite de ce paragraphe, est d’extraire de la formule de Poisson sur T E (A) = AE sa partie
invariante sous l’action de Tρ (A) pour obtenir une formule de Poisson induite sur T (A).
Rappelons encore que, dans la discussion qui précède le lemme VI.10 du paragraphe VI.2, nous avons
construit en chaque place x ∈ |F | un homomorphisme surjectif
ordx : TE (Fx ) → Λ∨
Ex
×
0
vers un certain réseau Λ∨
Ex . Le noyau TE (Fx ) = OEx de cet homomorphisme est le plus grand sous-groupe
ouvert compact de TE (Fx ) ; il est composé des éléments inversibles du sous-anneau OEx des points entiers
de Ex .
b E le tore complexe dont le réseau des caractères est Λ∨ , et Im Λ
b E son plus grand sous-tore
On a noté Λ
x
x
Ex
réel compact défini comme
b E | |µ(λ)| = 1 ,
{λ ∈ Λ
x
∀ µ ∈ Λ∨
bE } .
Ex = XΛ
x
La suite exacte
ordx
×
1 −→ TE (Fx )0 = OE
−→ TE (Fx ) = Ex× −−−→ Λ∨
Ex −→ 0
x
b E au tore des caractères
identifie Λ
x
TE (Fx ) = Ex× → C×
×
b E au sous-tore réel compact constitué
qui sont triviaux sur TE (Fx )0 = OE
, c’est-à-dire non ramifiés, et Im Λ
x
x
de ceux de ces caractères qui sont unitaires.
Deux caractères locaux
χx , χ0x : TE (Fx ) = Ex× → C×
b
sont dits “faiblement équivalents” si leur quotient χ0x χ−1
x est un caractère non ramifié, élément de ΛEx .
Comme rappelé dans la proposition VI.11 du paragraphe VI.2, une fonction localement constante à
support compact
fx : Ex → C
admet sous l’action de Ex× une décomposition spectrale de la forme
XZ
−1
−1 fx (tx ) = | det(tx )|x 2 ·
dχ · Lx χ−1 , qx 2 · pfx (χ) · χ(tx )
χ0
Im [χ0 ]
où
• les χ0 décrivent une famille de représentants des classes d’équivalence faible de caractères unitaires
Ex× → C× ,
b E , des caractères Ex× → C× faiblement
• pour chaque χ0 , [χ0 ] désigne la variété complexe, isomorphe à Λ
x
b E , des caractères unitaires
équivalents à χ0 , et Im [χ0 ] la sous-variété réelle compacte, isomorphe à Im Λ
x
faiblement équivalents à χ0 ,
• dχ désigne l’unique mesure de volume 1 sur chaque variété compacte Im [χ0 ] qui est invariante par
bE ,
l’action de Im Λ
x
• les pfx : [χ0 ] → C sont des polynômes, ils sont uniformément nuls en dehors d’un ensemble fini de
représentants χ0 .
200
Enfin, la ψx -transformée de Fourier fbx d’une telle fonction fx admet alors la décomposition spectrale
XZ
−1
−1 −1 fbx (tx ) = | det(tx )|x 2 ·
dχ · Lx χ, qx 2 · x χ, ψx , qx 2 · pfx (χ) · χ−1 (tx ) .
[χ0 ]
Im [χ0 ]
Intéressons-nous maintenant aux caractères multiplicatifs continus globaux
O
×
χ=
χx : TE (A) = A×
E →C
x∈|F |
qui sont automorphes c’est-à-dire invariants par le sous-groupe discret E × de A×
E.
L’ensemble de ces caractères automorphes se décompose naturellement comme une réunion disjointe
discrète de familles continues qui ont la structure de variétés algébriques complexes isomorphes à un certain
tore.
Afin d’expliciter cette décomposition, notons Λ0E le réseau des caractères TE → Gm bien définis sur F .
Autrement dit, Λ0E est le sous-réseau de XTE constitué des éléments fixés par l’action du groupe de Galois
ΓF . Comme la F -algèbre séparable E est factorisée en un produit de corps
Y
E=
Eimi ,
1≤i≤e
les caractères bien définis sur F de
Y
TE =
(ResEi /F Gm )mi
1≤i≤e
sont de la forme
(ti,j ) 1≤i≤e
7−→
1≤j≤mi
Y
det(ti,j )ni,j
1≤i≤e
1≤j≤mi
pour une famille d’entiers ni,j ∈ Z, 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ mi . Cela définit un isomorphisme
Y
∼
Λ0E −→
Z.
1≤i≤e
1≤j≤mi
0
On note encore Λ0∨
E le réseau dual de ΛE .
On a :
Lemme VII.2. –
Considérons comme ci-dessus les réseaux duaux Λ0E et Λ0∨
E associés au tore algébrique
Y
TE =
(ResEi /F )mi .
1≤i≤e
Alors :
(i) Il existe un unique homomorphisme
0∨
ordE : TE (A) = A×
E → ΛE
tel que, pour toute place x ∈ |F |, tout caractère χ ∈ Λ0E et tout élément tx ∈ TE (Fx ) = Ex× , on ait
hordE (tx ), χi = deg(x) · vx (χ(tx ))
où deg(x) désigne le degré du corps résiduel κx de Fx sur le corps fini de base Fq .
201
∨
(ii) L’image de cet homomorphisme ordE est un sous-réseau d’indice fini de Λ0∨
E noté ΛE . Via l’isomorphisme canonique
Y
∼
Λ0∨
Z,
E −→
1≤i≤e
1≤j≤mi
0∨
le sous-réseau Λ∨
E de ΛE s’envoie sur
Y
ki · Z
1≤i≤e
1≤j≤mi
où, pour 1 ≤ i ≤ e, ki désigne le degré sur Fq de sa plus grande extension finie contenue dans Ei ,
c’est-à-dire du corps des constantes de Ei .
(iii) Le noyau
TE (A)0 = A×0
E
de l’homomorphisme surjectif
∨
ordE : TE (A) = A×
E → ΛE
contient le sous-groupe discret TE (F ) = E × des points rationnels.
(iv) Le quotient
×
TE (A)0 /TE (F ) = A×0
E /E
est compact.
Autrement dit, le quotient
×
OA×E \A×0
E /E
est fini.
b
On note ΛE le réseau dual de Λ∨
E et ΛE le tore algébrique complexe dont le réseau des caractères est égal
∨
à ΛE . Il contient un plus grand sous-tore réel compact qui est
bE = λ ∈ Λ
b E | |µ(λ)| = 1 ,
Im Λ
∀ µ ∈ Λ∨
bE .
E = XΛ
La suite exacte
ordE
×
∨
1 −→ TE (A)0 = A×0
E −→ TE (A) = AE −−−→ ΛE −→ 0
b E au tore des caractères
identifie Λ
×
TE (A) = A×
E →C
b
qui sont triviaux sur TE (A)0 = A×0
E , et Im ΛE au sous-tore réel compact constitué de ceux de ces caractères
×
b
qui sont unitaires. Comme E est contenu dans A×0
E , les éléments de ΛE sont des caractères automorphes.
On dira que deux caractères multiplicatifs continus automorphes
×
×
χ, χ0 : A×
E /E → C
bE.
sont faiblement équivalents si leur quotient χ0 χ−1 est élément du tore Λ
On choisit une famille de représentants χ0 des classes d’équivalence faible de caractères automorphes
unitaires
×
×
A×
E /E → C .
b E , des caractères autoPour chaque représentant χ0 , on note [χ0 ] la variété complexe, isomorphe à Λ
b E , des
morphes faiblement équivalents à χ0 , et Im [χ0 ] la sous-variété réelle compacte, isomorphe à Im Λ
caractères automorphes unitaires faiblement équivalents à χ0 .
202
Enfin, on note dχ l’unique mesure de volume 1 sur chaque variété compacte Im [χ0 ] qui est invariante
bE.
par l’action de Im Λ
Pour tout caractère multiplicatif
O
χ=
×
χ x : A×
E →C
x∈|F |
invariant par un sous-groupe ouvert compact de A×
E , le produit
Y
L(χ, Z) =
Lx (χx , Z deg(x) )
x∈|F |
est bien défini en tant que série formelle en Z.
De plus, les monômes
x (χx , ψx , Z)
sont égaux à 1 en presque toute place x, si bien que le produit
Y
(χ, ψ, Z) =
x (χx , ψx , Z deg(x) )
x∈|F |
est bien défini en tant que monôme en Z.
On a pour tout élément s ∈ C les relations
L(χ · | det(•)|s , Z) = L(χ, Zq −s ) ,
(χ · | det(•)|s , ψ, Z) = (χ, ψ, Zq −s ) .
Considérons maintenant une fonction localement constante
f : T E (A) = AE → C
qui est de la forme
f=
O
fx
x∈|F |
où les
fx : T E (Fx ) = Ex → C ,
x ∈ |F | ,
sont des fonctions localement constantes à support compact, égales à la fonction caractéristique 1IOEx du
sous-groupe ouvert compact OEx de Ex en presque toute place x.
Pour tout caractère multiplicatif
χ=
O
×
χ x : A×
E →C
x∈|F |
invariant par un sous-groupe ouvert compact de A×
E , les coefficients
pfx (χx )
valent 1 en presque toute place x ∈ |F | si bien que l’on peut poser
Y
pf (χ) =
pfx (χx ) .
x∈|F |
203
Pour tout représentant χ0 d’une classe d’équivalence faible de caractères automorphes, la fonction
[χ0 ] −→
χ 7−→
C
pf (χ)
est un polynôme sur la variété algébrique complexe [χ0 ].
Ces polynômes [χ0 ] 3 χ 7→ pf (χ) sont uniformément nuls en dehors d’un ensemble fini de représentants
χ0 des classes de caractères automorphes.
Nous voulons décomposer spectralement la fonction
×
A×
E /E
−→
C
t = (tx )x∈|F |
7−→
| det(t)| 2 ·
1
X
f (t · γ) .
γ∈E
Dans ce but, remarquons que les orbites de l’ensemble T E (F ) = E =
Q
E× =
(Ei× )mi sont indexées par les parties I de l’ensemble
Q
1≤i≤e
Eimi sous l’action de TE (F ) =
1≤i≤e
{(i, j) | 1 ≤ i ≤ e ,
1 ≤ j ≤ mi } .
Elles consistent en les
n
T E (F )I = γ = (γi,j ) 1≤i≤e
1≤j≤mi
| γi,j = 0 si (i, j) ∈ I , γi,j ∈ Ei× si (i, j) ∈
/I
o
et les fixateurs des éléments de ces orbites T E (F )I sont les sous-tores
Y
TEI =
ResEi /F Gm
(i,j)∈I
de
TE =
Y
ResEi /F Gm .
1≤i≤e
1≤j≤mi
Lorsque I est réduit à un unique élément (i, j), on note simplement
TEI = TEi,j .
Pour toute partie I de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi }, on a
\
TEI =
TEi,j .
(i,j)∈I
Comme Tate l’a prouvé dans sa thèse, la formule de Poisson de la proposition VII.1(ii) implique le
théorème fondamental suivant :
Théorème VII.3. –
Considérons comme ci-dessus une fonction localement constante à support compact
O
f=
fx : T E (A) = AE → C .
x∈|F |
Alors :
204
(i) Pour tout représentant χ0 d’une classe d’équivalence faible de caractères automorphes unitaires de A×
E,
la série formelle en Z à coefficients polynômiaux sur [χ0 ]
L(χ, Z)
est une fraction rationnelle.
La fonction analytique induite
[χ0 ] × C
−→
(χ, s) 7−→
C
L(χ, q −s ) = L(χ · | det(•)|s , 1)
a des pôles simples supportés par les hypersurfaces de la forme
{(χ, s) | χ · | det(•)|s = 1
TEi,j (A)}
sur
ou
{(χ, s) | χ−1 · | det(•)|1−s = 1
TEi,j (A)} .
sur
En particulier, cette fonction est partout définie sur
(χ, s) ∈ [χ0 ] × C | χ ∈ Im [χ0 ] ,
Re(s) =
1
2
.
(ii) Pour tout élément t ∈ TE (A) = A×
E , on a la formule
1
| det(t)| 2 ·
X
1
X
f (t · γ) − | det(t)|− 2 ·
γ∈E ×
fb(t−1 · γ) =
XZ
Im [χ0 ]
χ0
γ∈E−E ×
1
dχ · L χ−1 , q − 2 · pf (χ) · χ(t) .
(iii) La formule de Poisson
1
| det(t)| 2 ·
X
1
f (t · γ) = | det(t)|− 2 ·
γ∈E
X
fb(t−1 · γ)
γ∈E
équivaut à la famille d’équations fonctionnelles
1
1
1
L χ−1 , q − 2 = L χ, q − 2 · χ, ψ, q − 2 ,
χ ∈ [χ0 ] ,
∀ χ0 .
(iv) Pour tout élément t ∈ TE (A) = A×
E , on a la formule
X
XZ
1
1
| det(t)| 2 ·
f (t · γ) =
dχ · L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · | det(•)|−s ) · χ(t) · | det(t)|−s
χ0
γ∈E ×
Im[χ0 ]
pour n’importe quel s ∈ R assez grand.
1
Autrement dit, l’apparition des termes de bord | det(t)|− 2 ·
P
fb(t−1 · γ) correspond à un déplacement
γ∈E−E ×
de contours d’intégration.
(v) Pour toute partie non vide
I ⊆ {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi }
et tout élément t ∈ TE (A) =
1
| det(t)|− 2 ·
X
γ∈T E (F )I
A×
E,
fb(t−1 · γ) =
on a
XZ
χ0
Im [χ0 ]I
1
dχ·Res[χ0 ]I L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ·| det(•)|−s )·χ(t)·| det(t)|−s
pour n’importe quel réel s assez grand, où :
205
• [χ0 ]I désigne la sous-variété homogène de [χ0 ] × C qui consiste en les couples (χ, s) tels que
1
χ−1 · | det(•)| 2 −s = 1 sur TEi,j (A) ,
∀ (i, j) ∈ I ,
• Res[χ0 ]I L(χ−1 , q −s ) désigne le résidu de la fraction rationnelle L(χ−1 , q −s ) le long de la sousvariété [χ0 ]I ,
• Im [χ0 ]I est la sous-variété réelle homogène de [χ0 ]I constituée des couples (χ, s) tels que, pour
tout (i, j) ∈
/ I, la restriction de χ à TEi,j (A) est un caractère unitaire,
• dχ désigne l’unique mesure invariante de volume 1 sur la variété réelle homogène compacte
Im [χ0 ]I .
Rappelons-nous maintenant que le tore TE = ResE/F Gm contient un sous-tore Tρ défini sur F tel que
le quotient TE /Tρ s’identifie au tore maximal T de G. Par définition, le dual Tbρ de Tρ est le conoyau du
plongement ΓF -équivariant ρT : Tb → Tbr = (C× )r = TbE . Enfin, Tb est muni d’un cocaractère
c G : C× → Tb
det
dont le composé avec
Y
ρT : Tb →
C× = TbE
1≤i≤r
est égal au plongement diagonal
C× ,→
Y
C× .
1≤i≤r
Autrement dit, le caractère
det : TE → Gm
se factorise comme le composé de la projection TE → T et du caractère
detG : T → Gm
c G de Tb.
qui correspond au cocaractère det
Rappelons encore que, dans le lemme V.7 du paragraphe V.3, nous avons construit en chaque place
x ∈ |F | un homomorphisme surjectif
ordx : T (Fx ) → Λ∨
x
0
vers un certain réseau Λ∨
x . Le noyau T (Fx ) de cet homomorphisme est le plus grand sous-groupe ouvert
compact de T (Fx ).
b x le tore complexe dont le réseau des caractères est Λ∨
b
On a noté Λ
x , et Im Λx son plus grand sous-tore
réel compact qui est
b x | |µ(λ)| = 1 , ∀ µ ∈ Λ∨ = X b } .
{λ ∈ Λ
x
Λx
La suite exacte
ordx
1 −→ T (Fx )0 −→ T (Fx ) −−−→ Λ∨
x −→ 0
b x au tore des caractères
identifie Λ
T (Fx ) → C×
b x au sous-tore réel compact constitué de ceux de ces caractères qui sont
qui sont triviaux sur T (Fx )0 , et Im Λ
unitaires.
206
L’homomorphisme surjectif
TE (Fx ) → T (Fx )
0
envoie TE (Fx ) =
×
OE
x
0
dans T (Fx ) et s’inscrit donc dans un diagramme commutatif
1 −−−−→ TE (Fx )0 −−−−→ TE (Fx ) −−−−→ Λ∨
−−−−→ 0
E
X





y
y
y
1 −−−−→ T (Fx )0 −−−−→ T (Fx ) −−−−→ Λ∨
x −−−−→ 0
dont les trois flèches verticales sont surjectives.
Deux caractères locaux
χx , χ0x : T (Fx ) → C×
b
sont dits “faiblement équivalents” si leur quotient χ0x χ−1
x est élément de Λx ou, ce qui revient au même, s’ils
sont faiblement équivalents en tant que caractères de TE (Fx ).
Intéressons-nous maintenant à l’ensemble des caractères multiplicatifs continus globaux
O
χ=
χx : T (A) → C×
x∈|F |
qui sont automorphes, c’est-à-dire invariants par le sous-groupe discret T (F ) de T (A).
Afin d’expliciter la structure de cet ensemble, notons Λ0T le réseau des caractères T → Gm bien définis
sur F . Autrement dit, Λ0T est le sous-réseau de XT constitué des éléments fixés par l’action du groupe de
Galois ΓF . C’est aussi l’intersection de Λ0E et de XT dans XTE .
Parallèlement au lemme VII.2, on a :
Lemme VII.4. –
Considérons le réseau Λ0T des caractères de T bien définis sur F et son réseau dual Λ0∨
T .
Alors :
(i) Il existe un unique homomorphisme
ordT : T (A) → Λ0∨
T
tel que, pour toute place x ∈ |F |, tout caractère χ ∈ Λ0T et tout élément tx ∈ T (Fx ), on ait
hordT (tx ), χi = deg(x) · vx (χ(tx )) .
Cet homomorphisme fait commuter le carré :
ord
E
TE (A) −−−−
→


y
Λ0∨
E


y
ord
T
T (A) −−−−
→ Λ0∨
T
∨
(ii) L’image de cet homomorphisme ordT est un sous-réseau d’indice fini de Λ0∨
T noté ΛT . C’est l’image du
0∨
0∨
0∨
→
Λ
.
sous-réseau d’indice fini Λ∨
de
Λ
par
l’homomorphisme
surjectif
Λ
T
E
E
E
(iii) Le noyau
T (A)0
de l’homomorphisme surjectif
ordT : T (A) → Λ∨
T
contient le sous-groupe discret T (F ) des points rationnels.
207
(iv) Le quotient
T (A)0 /T (F )
est compact.
b
On note ΛT le réseau dual de Λ∨
T et ΛT le tore algébrique complexe dont le réseau des caractères est égal
à Λ∨
.
Il
contient
un
plus
grand
sous-tore
réel compact qui est
T
b T = {λ ∈ Λ
b T | |µ(λ)| = 1 ,
Im Λ
∀ µ ∈ Λ∨
bT } .
T = XΛ
La suite exacte
1 → T (A)0 → T (A) → Λ∨
T →0
b T au tore des caractères
identifie Λ
T (A) → C×
b T au sous-tore réel compact constitué de ceux de ces caractères qui sont
qui sont triviaux sur T (A)0 , et Im Λ
b T sont des caractères automorphes.
unitaires. Comme T (F ) est contenu dans T (A)0 , les éléments de Λ
L’homomorphisme surjectif
TE (A) → T (A)
0
0
envoie TE (A) dans T (A) et s’inscrit donc dans un diagramme commutatif
1 −−−−→ TE (A)0 −−−−→ TE (A) −−−−→




y
y
Λ∨
E −−−−→ 0


y
1 −−−−→ T (A)0 −−−−→ T (A) −−−−→ Λ∨
T −−−−→ 0
dont les trois flèches verticales sont surjectives.
b T s’identifie à un sous-tore du tore complexe Λ
b E et son sous-tore réel compact maximal
Le tore complexe Λ
b T s’identifie à l’intersection de Λ
b T et Im Λ
b E dans Λ
bE.
Im Λ
Deux caractères automorphes
χ, χ0 : T (A)/T (F ) → C×
b T ou, ce qui revient au même, s’ils
sont dits “faiblement équivalents” si leur quotient χ0 χ−1 est élément de Λ
sont faiblement équivalents en tant que caractères automorphes de TE (A).
Pour tout caractère automorphe unitaire
χ0 : TE (A)/TE (F ) → C× ,
on notera [χ0 ]T la sous-variété algébrique de [χ0 ] constituée des caractères automorphes
χ : TE (A)/TE (F ) → C×
faiblement équivalents à χ0 qui sont invariants par le sous-tore Tρ (A) c’est-à-dire se factorisent en
T (A)/T (F ) → C× .
b T et la sous-variété Im [χ0 ]T = Im [χ0 ] ∩ [χ0 ]T
Si [χ0 ]T n’est pas vide, elle est isomorphe au tore complexe Λ
bT .
des caractères unitaires se factorisant par T (A)/T (F ) est isomorphe au sous-tore réel compact Im Λ
Revenons maintenant à la fonction localement constante à support compact
O
f=
fx : T E (A) = AE → C .
x∈|F |
208
En toute place x ∈ |F |, on dispose de la fonction
f x : T (Fx ) = TE (Fx )/Tρ (Fx ) −→
tx
C
Z
7−→
dtρ,x · fx (tx · tρ,x )
Tρ (Fx )
déduite de fx par intégration le long des fibres de la projection
TE (Fx ) → T (Fx )
pour la mesure invariante dtρ,x de Tρ (Fx ) qui attribue le volume 1 à son plus grand sous-groupe ouvert
compact Tρ (Fx )0 .
Le lemme VI.12 du paragraphe VI.2 précise comment la décomposition spectrale de f x se déduit de celle
de fx par simple restriction du spectre aux caractères triviaux sur Tρ (Fx ).
Introduisons maintenant la fonction adélique
O
f=
f x : T (A) = TE (A)/Tρ (A) −→
C
x∈|F |
Z
t 7−→
dtρ · f (t · tρ )
Tρ (A)
où dtρ =
N
dtρ,x désigne la mesure invariante sur Tρ (A) qui attribue le volume 1 à son plus grand sous-
x∈|F |
groupe ouvert compact.
On a :
Lemme VII.5. –
Dans la situation du théorème VII.3 et avec les notations ci-dessus, on a pour tout élément
t ∈ T (A) = TE (A)/Tρ (A)
et pour n’importe quel réel s assez grand
X Z
X
1
f (t · γ) =
|detG (t)| 2 ·
γ∈T (F )
χ0
[χ0 ]T 6=∅
Im [χ0 ]T
−s− 12
dχT · L χ−1
· pf (χT · |detG (•)|−s ) · χT (t) · |detG (t)|−s
T ,q
où, pour tout représentant χ0 tel que [χ0 ]T 6= ∅, dχT désigne l’unique mesure de volume 1 sur Im [χ0 ]T qui
bT .
est invariante par l’action de Im Λ
Comme on l’a noté dans la discussion précédant le théorème VII.3, les orbites
T E (F )I
de l’ensemble
T E (F ) = E =
Y
Ei
1≤i≤e
1≤j≤mi
sous l’action du tore TE (F ) = E × sont indexées par les parties I de l’ensemble {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤
mi }.
Le fixateur des éléments de l’orbite d’indice I est le sous-tore
Y
\
TEI =
ResEi /F Gm =
TEi,j
(i,j)∈I
(i,j)∈I
209
de TE =
Q
ResEi /F Gm .
1≤i≤e
1≤j≤mi
On sait d’après la proposition VI.1(ii) du paragraphe VI.1 que la variété torique T de tore T s’identifie
au quotient de T E par Tρ .
L’application équivariante induite
T E (F ) = E → T (F )
est surjective : toute orbite de T (F ) sous l’action de T (F ) est l’image d’au moins une orbite T E (F )I de
T E (F ).
De plus, on a :
Lemme VII.6. –
(i) Pour toute partie I de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi }, l’image du sous-tore
TEI ⊆ TE ,
fixateur des points de l’orbite T E (F )I de T E (F ), dans le tore T = TE /Tρ est égale au sous-tore T I
fixateur des points de l’orbite T (F )I de T (F ) image de T E (F )I .
En particulier, cette image T I de TEI dans T ne dépend que de l’orbite T (F )I image de T E (F )I .
Il en est de même du sous-tore complexe
ΛIT ⊂ ΛT
constitué des caractères
T (A)/T (A)0 → C×
qui sont triviaux sur T I (A), ainsi que de son plus grand sous-tore réel compact
Im ΛIT = ΛIT ∩ Im ΛT
constitué des caractères unitaires.
(ii) Toute orbite de T (F ) sous l’action de T (F ) est l’image T (F )I d’une unique orbite T E (F )I de T E (F )
qui soit “saturée” au sens que, pour toute autre partie J de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi }, on a
l’implication
T (F )J = T (F )I ⇒ J ⊂ I .
(iii) Pour tout caractère automorphe unitaire
χ0 : TE (A)/TE (F ) → C×
tel que [χ0 ]T 6= ∅ et pour toute partie I de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi }, la sous-variété
1
[χ0 ]IT = (χ, s) ∈ [χ0 ]T × C | χ−1 · | det(•)| 2 −s = 1 sur TEi,j (A) ,
∀ (i, j) ∈ I
ne dépend que de l’orbite image T (F )I . C’est une variété homogène sous l’action de ΛIT .
Enfin, si la partie I est saturée au sens de (ii), la sous-variété réelle compacte
Im [χ0 ]IT ⊂ [χ0 ]IT
constituée des couples (χ, s) ∈ [χ0 ]IT tels que, pour tout (i, j) ∈
/ I, la restriction de χ à TEi,j (A) soit un
caractère unitaire, est une variété non vide et homogène sous l’action de Im ΛIT .
210
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer la conséquence suivante du théorème VII.3 :
Proposition VII.7. –
Considérons toujours un groupe réductif G sur un corps de fonctions F et un semi-groupe normal G de
groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée”, avec l’identification induite
T = TE /Tρ .
Considérons d’autre part une fonction localement constante globale
O
f=
fx : T (A) → C
x∈|F |
dont chaque facteur local
fx : T (Fx ) → C ,
x ∈ |F | ,
provient, comme demandé dans le corollaire VI.13 du paragraphe VI.2, d’une fonction localement constante
à support compact
T E (Fx ) = Ex → C
par intégration le long des fibres de la projection
TE (Fx ) → TE (Fx )/Tρ (Fx ) = T (Fx )
pour la mesure invariante dtρ,x de Tρ (Fx ) qui attribue le volume 1 à son plus grand sous-groupe ouvert
compact.
Autrement dit, chaque facteur fx admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
− 21
− 12 fx (tx ) = |detG (tx )|x ·
dχT · Lx χ−1
· pfx (χT ) · χT (tx )
T , qx
χ0
[χ0 ]T 6=∅
Im [χ0 ]T
b x , qui sont
où les pfx : [χ0 ]T → C forment une famille de polynômes sur les variétés algébriques [χ0 ]T ∼
=Λ
uniformément nuls en dehors d’un sous-ensemble fini de représentants χ0 des classes d’équivalence faible de
caractères unitaires TE (Fx ) = Ex× → C× .
Supposons de plus que, en presque toute place x ∈ |F |, la fonction fx provient par intégration de la
fonction caractéristique
1IOEx : Ex → C
de l’anneau OEx des points entiers de Ex .
Autrement dit, en presque toute place x, le polynôme pfx est uniformément égal à 1 sur la classe des
caractères non ramifiés et uniformément égal à 0 sur toutes les autres classes d’équivalence faible.
Alors :
(i) Pour tout représentant χ0 d’une classe d’équivalence faible de caractères automorphes de A×
E tel que
[χ0 ]T 6= ∅, la série formelle en Z à coefficients polynômiaux sur [χ0 ]T
Y
L(χ, Z) =
Lx (χ, Z deg(x) ) , χ ∈ [χ0 ]T ,
x∈|F |
211
est une fraction rationnelle.
La fonction rationnelle induite
[χ0 ]T × C
−→
(χ, s) 7−→
C
L(χ, q −s ) = L(χ · |detG (•)|s , 1)
a des pôles simples supportés par les hypersurfaces de la forme
{(χ, s) ∈ [χ0 ]T × C | χ · | det(•)|s = 1 sur TEi,j (A)}
ou
{(χ, s) ∈ [χ0 ]T × C | χ−1 · | det(•)|1−s = 1 sur TEi,j (A)} .
En particulier, cette fonction est partout définie sur
n
(χ, s) ∈ [χ0 ]T × C | χ ∈ Im [χ0 ]T ,
Re (s) =
1o
.
2
(ii) Pour toute partie I de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi } qui est “saturée” au sens du lemme VII.6(ii),
pour tout représentant χ0 et pour tout réel s assez grand, considérons l’intégrale
Z
h
i
1
dχ · Res[χ0 ]I L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
T
Im [χ0 ]IT
où :
•
h
i
1
Res[χ0 ]I L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
T
1
désigne le résidu de la fraction rationnelle L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
le long de la sous-variété [χ0 ]IT de [χ0 ]T × C,
• dχ désigne l’unique mesure de volume 1 sur la variété réelle homogène compacte Im [χ0 ]IT qui est
invariante sous l’action de Im ΛIT .
Alors cette intégrale ne dépend pas du réel s assez grand.
Remarque
: Les fonctions sur T (A) qui sont des combinaisons linéaires finies de fonctions produits f =
N
fx de la forme envisagée dans cette proposition seront appelées “fonctions de type L global sur T (A)”
x∈|F |
(relativement à l’homomorphisme ΓF -équivariant ρT : Tb → Tr (C) = (C× )r ).
Nous pouvons maintenant poser la définition suivante, qui est inspirée par le théorème VII.3(v) :
Définition VII.8. –
Dans la situation de la proposition VII.7 qui précède, considérons une orbite
T (F )I
de T (F ) − T (F ) et l’unique partie saturée I de {(i, j) | 1 ≤ i ≤ e , 1 ≤ j ≤ mi } qui lui correspond.
Alors on pose
h
i
X
X Z
1
“
fb(γ)” =
dχ · Res[χ0 ]I L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · |detG (•)|−s )
γ∈T (F )I
χ0
[χ0 ]T 6=∅
T
Im [χ0 ]IT
212
pour n’importe quel réel s assez grand.
Si f t : t0 7→ f (tt0 ) désigne la fonction déduite de f par translation par un élément t ∈ T (A), on a
p
1
| detG (t)| 2 ·f t
(χ) = pf (χ) · χ(t) ,
∀ χ ∈ [χ0 ]T ,
∀ χ0 .
On en déduit aussitôt que la formule de la définition VII.8 ci-dessus s’étend de la manière suivante :
Lemme VII.9. –
Dans la situation de la proposition VII.7 et de la définition VII.8 ci-dessus, on a pour n’importe quel réel
s assez grand et pour tout t ∈ T (A)
X
1
|detG (t)|− 2 · “
fb(t−1 · γ)”
γ∈T (F )I
X Z
=
χ0
[χ0 ]T 6=∅
Im [χ0 ]IT
h
i
1
dχ · Res[χ0 ]I L χ−1 , q −s− 2 · pf (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s .
T
Les équations fonctionnelles globales des fonctions L qui résultent, d’après le théorème VII.3(iii), de
la formule de Poisson pour T E (F ) = E ,→ T E (A) = AE induisent, par simple restriction, des équations
fonctionnelles sur les sous-variétés [χ0 ]T des variétés [χ0 ].
La formule des résidus sur ces sous-variétés [χ0 ]T implique alors le théorème suivant, que l’on peut appeler
“formule de Poisson pour T (F ) ,→ T (A)” ou “formule de Poisson pour le tore T relative à l’homomorphisme
Q ×
ρT : Tb ,→
C = TbE ” :
1≤i≤r
Théorème VII.10. –
Dans la situation de la proposition VII.7 ci-dessus, la transformée de Fourier (au sens de la définition VI.9
du paragraphe VI.2)
O
fb =
fbx
x∈|F |
de la fonction
f=
O
fx
x∈|F |
vérifie toutes les propriétés requises dans l’énoncé de la proposition VII.7 dès lors que f les vérifie.
De plus, on a pour tout t ∈ T (A)
X
1
1
f (t · γ) − |detG (t)|− 2
|detG (t)| 2 ·
γ∈T (F )
=
X Z
χ0
[χ0 ]T 6=∅
X
T (F )I ⊂T (F )−T (F )
X
“
fb(t−1 · γ)”
γ∈T (F )I
1
dχ · L χ−1 , q − 2 · pf (χ) · χ(t)
Im [χ0 ]T
1
= |detG (t)|− 2 ·
X
1
fb(t−1 · γ) − |detG (t)| 2
γ∈T (F )
X
T (F )I ⊂T (F )−T (F )
“
X
f (t · γ)” .
γ∈T (F )I
213
On peut bien sûr noter
X
X
“
T (F )I ⊂T (F )−T (F )
X
f (γ)” = “
γ∈T (F )I
f (γ)”
γ∈T (F )−T (F )
de sorte que la formule de Poisson pour T (F ) ,→ T (A) s’écrive simplement
X
X
X
X
f (γ) + “
f (γ)” =
fb(γ) + “
γ∈T (F )
2
γ∈T (F )
γ∈T (F )−T (F )
fb(γ)” .
γ∈T (F )−T (F )
Retour sur la fonctionnelle de Poisson dans le cas linéaire
On considère toujours l’extension finie séparable E de F associée à l’action de ΓF sur {1, 2, . . . , r} et une
décomposition de cette algèbre comme un produit
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
de corps Ei , apparaissant avec des multiplicités mi , qui peuvent éventuellement être isomorphes entre eux.
On a introduit au paragraphe 1 du chapitre VI la F -algèbre matricielle
Y
ME =
ResEi /F Mmi
1≤i≤e
qui est un semi-groupe lisse de groupe
Y
GLE =
ResEi /F GLmi .
1≤i≤e
Le groupe linéaire GLE admet pour centre
ZE =
Y
ResEi /F Gm
1≤i≤e
et il est muni du tore maximal
TE =
Y
i
ResEi /F Gm
m = ResE/F Gm ,
1≤i≤e
du sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures
Y
BE =
ResEi /F Bmi
1≤i≤e
et du radical unipotent de celui-ci
NE =
Y
ResEi /F Nmi .
1≤i≤e
Le semi-groupe ME de groupe GLE est associé à la variété torique lisse
Y
TE =
ResEi /F (A1 )mi = ResE/F A1
1≤i≤e
de tore TE .
214
En chaque place x ∈ |F |, l’algèbre séparable Ex = E ⊗F Fx sur Fx est écrite comme un produit
Y
mi
Ei,x
Ex =
1≤i≤e
dont les facteurs Ei,x = Ei ⊗F Fx sont des produits
Y
Ei,x =
Ei,x,j
1≤j≤ei,x
de corps Ei,x,j , éventuellement isomorphes, qui sont des extensions finies de Fx , munies par conséquent de
l’homomorphisme de trace
Tr : Ei,x,j → Fx .
En toute telle place x, on dispose de la composante locale
ψx : Fx → C×
du caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C×
que nous avons choisi une fois pour toutes.
Munissons chaque facteur Ei,x,j , 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ ei,x , de la mesure additive dai,x,j qui est autoduale
relativement au caractère composé
ψx ◦ Tr : Ei,x,j → Fx → C× .
Alors chaque espace matriciel
Mmi (Ei,x,j )
se trouve muni d’une mesure additive induite, et il en est de même de leur produit
Y
Y
ME (Fx ) =
Mmi (Ei,x,j ) .
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
La mesure produit dmx sur ME (Fx ) est autoduale relativement au composé
ψx ◦ Tr : ME (Fx ) → Fx → C×
du caractère local ψx et de l’homomorphisme de trace
Tr : ME (Fx ) → Fx
Q
de la Fx -algèbre ME (Fx ) agissant sur le Fx -espace de dimension finie
Q
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
mi
Ei,x,j
= Ex .
Enfin, l’espace matriciel adélique
ME (A) =
Q̀
ME (Fx )
x∈|F |
est muni de la mesure additive dm =
N
dmx qui est autoduale relativement au composé
x∈|F |
ψ ◦ Tr : ME (A) → A → C× .
On dispose alors en toute place x ∈ |F | de l’automorphisme linéaire
fx 7→ fbx =
m0x
!
Z
7→
dmx · ψx ◦
ME (Fx )
215
Tr (m0x
mx ) · fx (mx )
de ψx -transformation de Fourier des fonctions localement constantes à support compact fx : ME (Fx ) → C.
De même, on dispose de l’automorphisme linéaire
f 7→ fb =
0
!
Z
0
m 7→
dm · ψx ◦ Tr (m m) · f (m)
ME (A)
de ψ-transformation de Fourier des fonctions localement constantes à support compact f : ME (A) → C.
Les transformations de Fourier locales et globales sont compatibles au sens que si f : ME (A) → C est
une fonction localement constante à support compact de la forme
O
f=
fx ,
x∈|F |
on a nécessairement
fb =
O
fbx .
x∈|F |
Le résultat central de la théorie de la ψ-transformation de Fourier f 7→ fb sur l’espace de matrices à
coefficients adéliques ME (A) est la formule de Poisson :
Théorème VII.11. –
Si f 7→ fb désigne l’automorphisme de ψ-transformation de Fourier associé au caractère additif continu
non trivial
ψ : A/F → C× ,
on a pour toute fonction localement constante à support compact f sur
Y
ME (A) =
Mmi (AEi )
1≤i≤e
la formule
X
γ∈ME (F )
X
f (γ) =
fb(γ) .
γ∈ME (F )
Autrement dit, ce théorème affirme que la fonctionnelle de Poisson
X
f 7→
f (γ)
γ∈ME (F )
est laissée invariante par l’automorphisme de ψ-transformation de Fourier.
Le but du présent paragraphe est d’exprimer la fonctionnelle de Poisson
X
f 7→
f (γ)
γ∈ME (F )
d’une façon qui ne fasse intervenir que les points rationnels γ ∈ GLE (F ) du groupe GLE des éléments
inversibles de ME .
Pour cela, nous avons besoin de faire appel à la décomposition spectrale locale,
Q en une
Q place arbitraire
x ∈ |F |, des fonctions localement constantes à support compact sur ME (Fx ) =
Mmi (Ei,x,j ).
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
216
Rappelons d’abord que toute fonction localement constante à support compact sur ME (A) est une combinaison linéaire finie de fonctions de la forme
O
f=
fx
x∈|F |
où chaque facteur fx : ME (Fx ) → C est lui-même de la forme
O
O
fi,x,j
fx =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
pour des fonctions localement constantes à support compact
fi,x,j : Mmi (Ei,x,j ) → C
qui se confondent avec la fonction caractéristique des entiers 1IMmi (OEi,x,j ) en presque toute place x ∈ |F |.
La décomposition spectrale des fonctions localement constantes à support compact sur chaque facteur
Mmi (Ei,x,j ) et l’expression spectrale de leur ψx -transformation
Fourier ont été rappelées dans le chaQ de Q
pitre IV. Pour obtenir un résultat analogue sur ME (Fx ) =
Mmi (Ei,x,j ), il suffit de combiner
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
ces résultats en formant les produits des spectres des différents facteurs.
Résumons rapidement ce que cela donne, en en profitant pour introduire des notations adéquates.
Les décompositions spectrales des fonctions sur GLE (Fx ) =
Q
Q
GLmi (Ei,x,j ) sont paramétrées
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
par des paires (r, π) où :
!
• r = (ri,j ) 1≤i≤e
1≤j≤ei,x
est une famille de partitions ri,j =
mi =
P
ri,j,k
des intervalles {1, 2, . . . , mi }
k≥1
en sous-intervalles de longueurs ri,j,1 ≥ 1, ri,j,2 ≥ 1, . . . qui définissent des sous-groupes paraboliques
standard
Y
Y
Pri,j (Ei,x,j ) ,
PE,x,r =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
leurs sous-groupes de Levy standard
GLE,x,r =
Y
Y
GLri,j (Ei,x,j ) ,
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
et leurs radicaux unipotents
NE,x,r =
Y
Y
Nri,j (Ei,x,j ) ,
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
• π=
N
N
πi,j est une représentation de carré intégrable (donc en particulier lisse admissible,
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
irréductible et unitaire) du produit
GLE,x,r =
Y
Y
GLri,j (Ei,x,j ) .
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
On appelle en effet représentation lisse admissible irréductible [resp. unitaire, resp. supercuspidale, resp.
de carré intégrable] de GLE,x,r tout produit tensoriel
O
O
π=
πi,j
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
217
de représentations lisses admissibles irréductibles [resp. unitaires, resp. supercuspidales, resp. de carré intégrable]
des facteurs GLri,j (Ei,x,j ) de GLE,x,r .
L’induite normalisée
Indrr (π)
d’une représentation lisse admissible irréductible
O
π=
O
πi,j
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
de GLE,x,r est la représentation lisse admissible de
O
GLE (Fx ) =
O
GLmi (Ei,x,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
définie comme le produit tensoriel
O
O
i
Indm
r i,j (πi,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
des induites normalisées
i
Indm
r i,j (πi,j )
au sens de la définition IV.3 du paragraphe IV.1. Il résulte du lemme IV.4 que l’induite normalisée Indrr (π)
est unitaire et irréductible si π est unitaire et irréductible.
Pour toute famille de partitions
r = (ri,j ) 1≤i≤e ,
1≤j≤ei,x
on note ΛE,x,r le tore complexe des caractères
Y
Y
GLE,x,r =
Y
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
GLri,j,k (Ei,x,j ) → C×
k
de la forme
1
(gi,j,k ) 1≤i≤e
1≤j≤ei,x
1≤k
7→
Y
Y
1≤i≤e
1≤j≤ei,x
k
[κ
i,x,j
zi,j,k
:κx ]
vx (Nm(det(gi,j,k )))
(où [κi,x,j : κx ] désigne le degré du corps résiduel κi,x,j de Ei,x,j sur le corps résiduel κx de Fx ) pour une
famille de nombres complexes
zi,j,k ∈ C× ,
1 ≤ i ≤ e,
1 ≤ j ≤ ei,x ,
1 ≤ k.
On note Im ΛE,x,r le sous-tore réel compact de ΛE,x,r constitué de ceux de ces caractères qui sont unitaires.
Si π est une représentation lisse admissible irréductible de GLE,x,r , on note
πz
les représentations obtenues comme produit tensoriel de π et d’un caractère z ∈ ΛE,x,r . Si π est unitaire, πz
est unitaire si et seulement si z est élément de Im ΛE,x,r . On note
Y
Y
[π] =
[πi,j ]
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
la variété complexe, isomorphe à ΛE,x,r , des représentations de la forme πz et, si π est unitaire, on note
Y
Y
Im [π] =
Im [πi,j ]
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
218
la sous-variété réelle compacte de [π], isomorphe à Im ΛE,x,r , constituée des représentations unitaires.
Deux représentations lisses admissibles irréductibles
O
O
Y
πi,j de GLE,x,r =
π=
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
Y
GLri,j (Ei,x,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
et
π0 =
O
O
0
πi,j
de
Y
GLE,x,r0 =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
Y
GLr0i,j (Ei,x,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
0
sont dites “équivalentes” si, pour tous indices 1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ j ≤ ei,x , les paires (ri,j , πi,j ) et (r0i,j , πi,j
)
sont équivalentes au sens donné avant le lemme IV.5 du paragraphe IV.1. Cela implique que les induites
normalisées
Indrr (π) et Indrr0 (π 0 )
ont, à permutation près, la même suite finie de sous-quotients irréductibles.
On dit que π et π 0 sont “faiblement équivalentes” s’il existe z ∈ ΛE,x,r tel que les représentations πz et
π soient équivalentes.
0
On notera encore
Y
Fixe (r, π) =
Y
Fixe (ri,j , πi,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
le groupe fini des paires (σ, z), constituées d’un élément z ∈ ΛE,x,r et d’une famille de permutations des
composants de chaque partition ri,j , telles que
πz ∼
= σ(π) .
Enfin, pour toute famille de partitions r = (ri,j ) 1≤i≤e
et toute représentation “de carré intégrable”
1≤j≤ei,x
N
N
π0 =
πi,j de GLE,x,r , on note
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
dπ
la “mesure de Plancherel” sur
Y
Im [π0 ] =
Y
Im [πi,j ]
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
définie comme le produit des mesures de Plancherel de chaque facteur Im [πi,j ].
On déduit du corollaire IV.13 du paragraphe IV.2 :
Théorème VII.12. –
Toute fonction à support compact
fx : GLE (Fx ) → C
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLE (Fx ) admet une unique
décomposition spectrale de la forme
X Z
fx (gx ) =
dπ · fx,r,π0 (π, gx )
(r,π0 )
Im [π0 ]
où (r, π0 ) décrit un ensemble fini de représentants de classes d’équivalence faible de représentations de carré
intégrable π0 de sous-groupes de Levy standard GLE,x,r et où :
(1) chaque fx,r,π0 (•, •) est une fonction sur le produit [π0 ] × GLE (Fx ),
219
(2) pour tout π ∈ [π0 ], la fonction
GLE (Fx ) 3 gx 7→ fx,r,π0 (π, gx )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
matriciels de la représentation Indrr (π),
(3) pour tout gx ∈ GLE (Fx ), la fonction
[π0 ] 3 π 7→ fx,r,π0 (π, gx )
est un polynôme sur le tore complexe [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini Fixe (r, π0 ).
Afin de caractériser les fonctions localement constantes à support compact GLE (Fx ) → C par leur
décomposition spectrale, on a besoin de préciser la forme des représentations de carré intégrale comme à
la fin du paragraphe IV.1 et d’introduire les coefficients unipotents des fonctions de Hecke comme dans le
paragraphe IV.3.
N
N
N
Étant données deux représentations lisses admissibles irréductibles π =
πi,j et π 0 =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
1≤i≤e
N
0
πi,j
de deux sous-groupes de Levy GLE,x,r et GLE,x,r0 associés à deux familles de partitions r =
1≤j≤ei,x
(ri,j ) 1≤i≤e
1≤j≤ei,x
et r0 = (r0i,j ) 1≤i≤e
, on dira que π 0 est une “induite à la Steinberg” de π si, pour tous indices
1≤j≤ei,x
0
1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ j ≤ ei,x , πi,j est une représentation supercuspidale de GLri,j (Ei,x,j ) et πi,j
est une induite
à la Steinberg de πi,j au sens de la définition IV.9.
Il résulte de la proposition IV.8(ii) que, pour toute représentation de carré intégrable π 0 d’un sous-groupe
de Levy standard GLE,x,r0 de GLE (Fx ), il existe au moins une famille de partitions r et une représentation
supercuspidale π de GLE,x,r telle que π 0 soit une induite à la Steinberg de π.
Considérons d’autre part un caractère additif continu non trivial arbitraire
ψx0 : Fx → C× .
Il induit un caractère
0
ψx,N
: NE (Fx ) → C×
E
par composition avec les isomorphismes
NE (Fx ) =
Y
Y
Nmi (Ei,x,j )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
et
∼
Nmi (Ei,x,j )/[Nmi (Ei,x,j ), Nmi (Ei,x,j )] −→ (Ei,x,j )mi −1 ,
et avec la somme des homomorphismes de trace
Tr : Ei,x,j → Fx .
Pour toute fonction
fx : GLE (Fx ) → C
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLE (Fx ), la somme
Z
X
0−1
dux · ψx,N
(ux ) · 1IC (ux · gx ) · fx (ux · gx )
E
C∈Kx \GLE (Fx )/Kx
NE (Fx )
220
est localement finie d’après le lemme IV.16 du paragraphe IV.3.
Elle définit une fonction
ψ0
GLE (Fx ) 3 gx 7→ WNEx fx (gx )
qui ne dépend pas du choix de Kx et que l’on peut appeler le ψx0 -coefficient unipotent de fx le long du
sous-groupe unipotent NE .
On a d’après le corollaire IV.20 du paragraphe IV.4 :
Proposition VII.13. –
Considérons une fonction
fx : GLE (Fx ) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLE (Fx ) et qui admet une
décomposition spectrale de la forme
X Z
dπ · fx,r,π0 (π, gx )
fx (•) =
(r,π0 )
Im [π0 ]
où les fonctions fx,r,π0 possèdent les propriétés (1), (2) et (3) du théorème VII.12 ci-dessus.
Alors le support de la fonction fx dans GLE (Fx ) est compact si et seulement si, pour tout caractère
ψ0
additif continu non trivial ψx0 : Fx → C× , la famille des ψx0 -coefficients unipotents WNEx fx,r,π0 possède la
propriété supplémentaire suivante :
(4) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants (r, π0 ) choisie, et pour
toutes représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
ψ0
ψ0
WNEx fx,r1 ,π1 (π10 , •) = WNEx fx,r2 ,π2 (π20 , •) .
Nous voulons maintenant énoncer le théorème de décomposition spectrale des fonctions localement
constantes à support compact
ME (Fx ) → C .
Comme
ME (Fx ) =
Y
Y
Mmi (Ei,x,j ) ,
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
il résulte de la décomposition spectrale des fonctions localement constantes à support compact sur les espaces
Mr (Fx ) rappelée dans le paragraphe 6 du chapitre IV.
On doit d’abord étendre la définition des facteurs L locaux que résume la proposition IV.28 :
Pour toute famille de partitions r = (ri,j ) 1≤i≤e des rangs mi et pour toute représentation lisse admis1≤j≤ei,x
N
N
Q
Q
sible irréductible π =
πi,j du sous-groupe de Levy standard associé GLE,x,r =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
GLri,j (Ei,x,j ), on pose
Lx (π, Z) =
Y
Y
Lx (πi,j , Z [κi,x,j :κx ] )
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
où [κi,x,j : κx ] désigne le degré du corps résiduel κi,x,j de Ei,x,j sur le corps résiduel κx de Fx .
On note que si π est supercuspidale et (r0 , π 0 ) est une autre paire qui est une “induite à la Steinberg” de
π, alors le polynôme
Lx (π 0 , Z)−1
221
divise le polynôme
Lx (π, Z)−1 .
Le groupe GLE est muni du caractère
detGLE : GLE → Gm
égal au produit des caractères composés
det
Nm
ResEi /F GLmi −−−→ ResEi /F Gm −−−→ Gm .
On note que pour toute paire (r, π) comme ci-dessus et tout s ∈ C, on a
Lx (π ⊗ |detGLE (•)|sx , Z) = Lx (π, qx−s · Z) .
Enfin, GLE est muni du caractère
detρE : GLE → Gm
que le lemme V.35 du paragraphe V.7 permet d’associer à la représentation standard
c E o ΓF → GLr (C) .
ρE : GL
Il est égal au produit des caractères composés
(det)mi −1
Nm
ResEi /F GLmi −−−−−−→ ResEi /F Gm −−−→ Gm .
Nous pouvons maintenant énoncer :
Théorème VII.14. –
Pour qu’une fonction
fx : GLE (Fx ) → C ,
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr (Fx ), se prolonge en une
fonction continue à support compact
ME (Fx ) → C ,
il faut et il suffit qu’elle se décompose spectralement sous la forme
X Z
−1
−1
−1
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,r,π0 (π, gx )
fx (gx ) = |detGLE (gx )|x 2 · |detρE (gx )|x 2 ·
(r,π0 )
Im [π0 ]
où les fonctions fx,r,π0 vérifient les propriétés (1), (2) et (3) du théorème VII.12 ainsi que, pour tout caractère
additif continu non trivial ψx0 : Fx → C× , la propriété suivante :
(40 ) Pour toutes paires (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) éléments de la famille de représentants (r, π0 ) choisie, et pour
toutes représentations π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a
l’identité
−1
−1
ψ0
ψ0
Lx π10∨ , qx 2 · WNEx fx,r1 ,π1 (π10 , •) = Lx π20∨ , qx 2 · WNEx fx,r2 ,π2 (π20 , •) .
222
Pour toute famille de partitions r = (ri,j ) 1≤i≤e
des rangs mi et pour toute représentation lisse adN
N 1≤j≤ei,x
missible irréductible unitaire π =
πi,j du sous-groupe de Levy standard associé, on définit le
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
facteur ε local de π et de ψx : Fx → C× comme le monôme
Y
Y
εx πi,j , ψx ◦ TrEi,x,j /Fx , Z [κi,x,j :κx ]
εx (π, ψx , Z) =
1≤i≤e 1≤j≤ei,x
produit des facteurs ε locaux
εx πi,j , ψx ◦ TrEi,x,j /Fx , Z [κi,x,j :κx ]
que le théorème IV.35 et le lemme IV.36 du paragraphe IV.7 associent aux représentations πi,j et aux
caractères composés
ψx
Tr
Ei,x,j −−−→ Fx −−−→ C× .
Le corollaire IV.37 qui clôt le chapitre IV se généralise en :
Proposition VII.15. –
Pour toute fonction localement constante à support compact
fx : ME (Fx ) → C
dont la décomposition spectrale est écrite sous la forme
fx (gx ) =
−1
|detGLE (gx )|x 2
·
−1
|detρE (gx )|x 2
·
X Z
(r,π0 )
−1
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,r,π0 (π, gx )
Im [π0 ]
comme dans l’énoncé du théorème VII.14 ci-dessus, sa ψx -transformée de Fourier
fbx : ME (Fx ) → C
admet la décomposition spectrale
1
1
−
−
fbx (gx ) = |detGLE (gx )|x 2 · |detρE (gx )|x 2 ·
X Z
(r,π0 )
−1
−1
dπ · Lx π, qx 2 · εx π, ψx , qx 2 · fx,r,π0 (π, gx−1 ) .
Im [π0 ]
Pour toute famille r de partitions ri,j , 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ ei,x , des rangs mi , Q
et pourQtoute représentation
lisse admissible irréductible π du sous-groupe de Levy standard GLE,x,r =
GLri,j (Ei,x,j ), le
1≤i≤e 1≤j≤ei,j
facteur L local
Lx (π, Z)
est l’inverse d’un polynôme en Z dont le terme constant est égal à 1. Cela permet de poser la définition
suivante :
Définition VII.16. –
Soit comme ci-dessus une représentation lisse admissible irréductible π d’un sous-groupe de Levy standard
GLE,x,r de GLE (Fx ).
223
(i) Si π est supercuspidale, on notera pour tout entier N ∈ N
IxN (π, Z)
le polynôme en Z défini comme le produit du polynôme
Lx (π, Z)−1
et du monôme de degré N qui apparaı̂t dans le développement en série formelle de l’inverse
Lx (π, Z) .
(ii) Dans le cas général, on posera pour tout N ∈ N
IxN (π, Z) = IxN (π 0 , Z)
pour n’importe quelle représentation lisse admissible irréductible supercuspidale π 0 d’un sous-groupe de
Levy standard GLE,x,r0 contenu dans GLE,x,r telle que π soit un sous-quotient de l’induite normalisée
r
Indr0 (π 0 ).
Remarque : Dans les cas (i) et (ii), on a toujours l’égalité
X
IxN (π, Z) = 1
N ∈N
dans l’anneau des séries formelles en la variable Z.
Cette définition permet de poser la suivante :
Définition VII.17. –
Soit une fonction localement constante à support compact
fx : ME (Fx ) → C
dont la décomposition spectrale est écrite sous la forme
−1
−1
fx (gx ) = |detGLE (gx )|x 2 · |detρE (gx )|x 2 ·
X Z
(r,π0 )
−1
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,r,π0 (π, gx )
Im [π0 ]
comme dans l’énoncé du théorème VII.14.
Alors, pour tout entier N ≥ 0, on notera
fxN : GLE (Fx ) → C
la fonction définie par la décomposition spectrale
fxN (gx )
=
−1
|detGLE (gx )|x 2
·
−1
|detρE (gx )|x 2
·
X Z
(r,π0 )
−1
−1
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · IxN π, qx 2 · fx,r,π0 (π, gx ) .
Im [π0 ]
Il résulte du théorème VII.14 et de la proposition VII.15 :
224
Corollaire VII.18. –
Pour toute fonction localement constante à support compact
fx : ME (Fx ) → C ,
N
et pour tout entier N ∈ N, la ψx -transformée de Fourier fc
x de la fonction localement constante à support
compact
fxN : ME (Fx ) → C
est une fonction localement constante à support compact dans l’ouvert GLE (Fx ) des éléments inversibles de
ME (Fx ).
Nous pouvons maintenant
énoncer la proposition suivante qui exprime d’une autre façon la fonctionnelle
P
de Poisson f 7→
f (γ) :
γ∈ME (F )
Proposition VII.19. –
Soit une fonction localement constante à support compact
f : ME (A) → C
obtenue comme un produit tensoriel
O
f=
fx
x∈|F |
de fonctions localement constantes à support compact
fx : ME (Fx ) → C .
Alors, pour toute place x0 ∈ |F |, la série
X
X
fxN0 ⊗
N ≥0 γ∈GLE (F )
converge absolument, et sa somme est égale à

 
X

f (γ) + 
γ∈GLE (F )
⊗ fx

X
γ∈GLE (F )
(γ)
x6=x0

fb(γ) − 

X
f (γ) .
γ∈ME (F )
Démonstration :
Afin de prouver cette proposition, nous avons besoin du théorème de Q
décomposition spectrale de Langlands pour les fonctions automorphes sur le groupe adélique GLE (A) =
GLmi (AEi ), de la description
1≤i≤e
due à Moeglin et Waldspurger du spectre automorphe discret des groupes linéaires GLmi (AEi ), de l’estimée
de Jacquet et Shalika des valeurs propres de Hecke locales des représentations automorphes cuspidales unitaires des groupes GLmi (AEi ), et du théorème de Godement et Jacquet sur le prolongement analytique et
l’identification des pôles des fonctions L globales de ces représentations.
Nous devons donc rappeler les énoncés de ces théorèmes.
Les décompositions spectrales des fonctions automorphes sur GLE (A) =
Q
1≤i≤e
ramétrées par des paires (r, π) où :
225
GLmi (AEi ) sont pa-
!
• r = (ri )1≤i≤e est une famille de partitions ri =
P
mi =
ri,k
des intervalles {1, 2, . . . , mi } en
1≤k≤ì
sous-intervalles de longueurs ri,k , 1 ≤ k ≤ ì , qui définissent des sous-groupes paraboliques standard
Y
PE,r =
ResEi /F Pri ,
1≤i≤e
leurs sous-groupes de Levy standard
GLE,r
=
Y
ResEi /F GLri
1≤i≤e

=
Y
ResEi /F 
1≤i≤e

Y
GLri,k  ,
1≤k≤ì
les centres de ceux-ci
ZE,r =
Y
ResEi /F G`mi
1≤i≤e
et leurs radicaux unipotents
NE,r =
Y
ResEi /F Nri ,
1≤i≤e
• π=
N
πx est une représentation automorphe discrète unitaire du produit
x∈|F |
GLE,r (A) =
Y
Y
GLri,k (AEi ) ,
1≤i≤e 1≤k≤ì
c’est-à-dire une représentation lisse admissible irréductible dont le caractère central
χπ : ZE,r (A) → C×
est unitaire et qui apparaı̂t comme facteur direct de l’espace de Hilbert
L2χπ (GLE,r (F )\GLE,r (A))
des fonctions
ϕ : GLE,r (A) → C
invariantes à gauche par le sous-groupe discret GLE,r (F ) et qui vérifient
ϕ(µ g) = χπ (µ) · ϕ(g) ,
∀ µ ∈ ZE,r (A) ,
∀ g ∈ GLE,r (A) .
Pour une telle paire discrète (r, π), la représentation π apparaı̂t nécessairement avec la multiplicité 1
comme facteur direct de l’espace L2χπ (GLE,r (F )\GLE,r (A)). On note L2π (GLE,r (F )\GLE,r (A)) le sous-espace
correspondant.
Si
δE,r : PE,r → PE,r /NE,r ∼
= GLE,r → Gm
désigne le caractère modulaireQpar lequel PE,r ou GLE,r agissent sur la puissance extérieure maximale de
l’espace Lie NE,r , et si K =
Kx est un sous-groupe ouvert compact de GLE (A), on note encore
x∈|F |
L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K)
226
l’espace des fonctions de carré intégrable
ϕ : GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K → C
telles que, pour tout g ∈ GLE (A), la fonction induite
1
GLE,r (F )\GLE,r (A) 3 m 7→ |δE,r (m)|− 2 · ϕ(m g)
soit élément de l’espace L2π (GLE,r (F )\GLE,r (A)).
Cet espace
L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K)
est nécessairement de dimension finie. On peut le munir d’une base orthonormée notée BK (r, π).
Pour toute famille de partitions
r = (ri )1≤i≤e
Q
Q
des rangs mi , le groupe GLE,r =
ResEi /F GLmi est muni de l’homomorphisme
1≤i≤e 1≤k≤ì
Y
detE,r : GLE,r →
Y
Gm
1≤i≤e 1≤k≤ì
produit des caractères composés
det
Nm
deti,k
E,r : ResEi /F GLmi −−−→ ResEi /F Gm −−−→ Gm .
On note ΛE,r le tore complexe des caractères
GLE,r (A) =
Y
Y
GLri,k (AEi ) → C×
1≤i≤e 1≤k≤ì
de la forme
(gi,k ) 1≤i≤e 7→
1≤k≤ì
Y
Y
1
· deg(deti,k
E,r (gi,k ))
[FE : Fq ]
zi,k i
1≤i≤e 1≤k≤ì
(où [FEi : Fq ] désigne le degré du corps des constantes FEi de Ei sur le corps des constantes Fq de F ) pour
une famille de nombres complexes
zi,k ∈ C× ,
1 ≤ i ≤ e,
1 ≤ k ≤ ì .
On note Im ΛE,r le sous-tore réel compact de ΛE,r constitué de ceux de ces caractères qui sont unitaires.
Tout élément z ∈ ΛE,r est un caractère
GLE,r (A) → C×
invariant à la fois par le sous-groupe discret GLE,r (F ) et par le sous-groupe ouvert compact maximal
Y
Y
GLE,r (OA ) =
GLri,k (OAEi ) .
1≤i≤e 1≤k≤ì
D’après la décomposition d’Iwasawa, il se prolonge de manière unique en une fonction
NE,r (A)\GLE (A)/GLE (OA ) → C
que l’on notera encore z. Cette fonction est invariante à gauche par GLE,r (F ).
227
Si π est une représentation automorphe discrète de GLE,r (A), on note
πz
les représentations obtenues comme produit tensoriel de π et d’un caractère z ∈ ΛE,r . Ce sont encore des
représentations automorphes discrètes et, si K est un sous-groupe ouvert de GLE (OA ), chaque
ϕ 7→ z · ϕ
définit un isomorphisme d’espaces vectoriels
∼
L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K) −→ L2πz (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K) .
Si π est unitaire, πz est unitaire si et seulement si z est élément de Im ΛE,r . On note [π] la variété complexe,
isomorphe à ΛE,r , des représentations de la forme πz et, si π est unitaire, on note Im [π] la sous-variété réelle
compacte de [π], isomorphe à Im ΛE,r , constituée des représentations unitaires.
Deux paires discrètes (r, π) et (r0 , π 0 ) sont dites “équivalentes” s’il existe une famille σ de permutations
des composantes de chaque partition ri de mi , 1 ≤ i ≤ e, qui transforme ri en r0i et la représentation πi de
GLri (AEi ) en la représentation πi0 de GLr0i (AEi ).
On dit que π et π 0 sont “faiblement équivalentes” s’il existe z ∈ ΛE,r tel que les représentations automorphes discrètes πz et π 0 soient équivalentes.
Pour toute paire discrète (r, π), on note
Y
Fixe (r, π) =
Fixe (ri , πi )
1≤i≤e
le groupe fini des paires (σ, z) constituées d’un caractère z ∈ ΛE,r et d’une famille σ de permutations des
composants de chaque partition ri telles que
πz ∼
= σ(π) .
Rappelons enfin la construction des séries d’Eisenstein.
Pour toute paire discrète (r, π), tout sous-groupe ouvert K de GLE (OA ), toute fonction
ϕ ∈ L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K)
et tout élément g ∈ GLE (A), la série
X
(z · ϕ)(δ g)
δ∈PE,r (F )\GLE (F )
Q
converge absolument pour tout élément z = (zi,k ) 1≤i≤e de ΛE,r =
1≤k≤ì
|zi,k /zi,k+1 | ,
1 ≤ i ≤ e,
1≤i≤e 1≤k≤ì
1 ≤ k < ì ,
soient assez petits (indépendamment de g).
Elle converge vers une limite
E(z · ϕ)(g)
qui est une fraction rationnelle en z ∈ ΛE,r que l’on peut aussi noter
Eπz (ϕ)(g) .
228
Q
C× tel que les quotients
Ces fractions rationnelles sur [π] peuvent s’écrire comme le quotient de deux polynômes dont le second, le
dénominateur, ne dépend pas de g ∈ GLE (A) et ne s’annule pas sur la sous-variété réelle Im [π] de [π] des
représentations unitaires.
Nous avons maintenant rappelé tous les ingrédients nécessaires à l’énoncé du théorème de décomposition
spectrale de Langlands :
Théorème VII.20. –
Q
Q
Soit un sous-groupe ouvert K =
Kx de GLE (OA ) =
GLmi (OAEi ).
1≤i≤e
x∈|F |
Alors les paires discrètes (r, π) telles que l’espace
L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K)
ne soit pas nul forment un ensemble fini de classes d’équivalence faible, et on peut choisir un ensemble fini
de paires discrètes unitaires (r, π0 ) qui représentent ces classes.
Pour toute fonction à support compact
O
h=
hx : GLE (A) → C
x∈|F |
invariante à gauche et à droite par K, et pour tous éléments g1 , g2 ∈ GLE (A), on a
Z
X
X
X
1
h(g1−1 γ g2 ) =
dπ · (h ∗ Eπ (ϕ))(g2 ) · Eπ∨ (ϕ)(g1 )
|Fixe (r, π0 )|
Im [π0 ]
γ∈GLE (F )
(r,π0 )
ϕ∈BK (r,π0 )
où dπ désigne la mesure de volume 1 sur chaque Im [π0 ] qui est invariante par le tore réel compact Im ΛE,r .
Considérons une paire discrète (r, π). C’est un produit
O O
π=
πi,k
1≤i≤e 1≤k≤ì
de représentations automorphes discrètes πi,k des groupes linéaires GLri,k (AEi ).
Chaque facteur πi,k est lui-même un produit
O
πi,k =
πi,k,x
x∈|F |
de représentations lisses admissibles irréductibles πi,k,x des groupes locaux
Y
GLri,k (Ei,x ) =
GLri,k (Ei,x,j ) ,
1≤j≤ei,x
et chaque facteur local πi,k,x est un produit
πi,k,x =
O
πi,k,x,j
1≤j≤ei,x
de représentations lisses admissibles irréductibles πi,k,x,j des groupes linéaires GLri,k (Ei,x,j ) sur les corps
locaux Ei,x,j .
229
En chaque place x ∈ |F |, le facteur L local de π est défini comme un produit
Y
Lx (π, Z) =
Lx (πi,k,x , Z)
1≤i≤e
1≤k≤ì
avec, pour tous indices i et k,
Y
Lx (πi,k,x , Z) =
Lx (πi,k,x,j , Z) .
1≤j≤ei,x
De plus, pour tous indices i, j et k, il existe une famille finie de cardinal au plus ri,k , notée
{zπi,k,x,j }
et constituée d’éléments zπi,k,x,j ∈ C× appelés les valeurs propres de Hecke de πi,k,x,j , telle que
Y
Lx (πi,k,x,j , Z) =
{zπi,k,x,j }
1
.
1 − zπi,k,x,j · Z [κi,x,j :κx ]
Pour tout élément
z = (zi,k ) 1≤i≤e ∈ ΛE,r =
1≤k≤ì
Y
Y
C× ,
1≤i≤e 1≤k≤ì
on a
Lx (πz , Z) =
Y
Lx (πi,k,x , (zi,k )deg(x) · Z) .
1≤i≤e
1≤k≤ì
On a maintenant :
Lemme VII.21. –
Soit une paire automorphe discrète unitaire (r, π) de GLE (A). Alors :
(i) Pour tous indices 1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ k ≤ ì , il existe une décomposition
0
ri,k = ri,k
· mi,k
0
de ri,k comme produit de deux entiers, et une représentation automorphe cuspidale unitaire πi,k
de
0 (AE ) telles que, pour toute place x ∈ |F | et tout indice 1 ≤ j ≤ ei,x , les valeurs propres de
GLri,k
i
Hecke de πi,k,x,j sont les éléments de la forme
0
[κi,x,j :κx ] · ri,k
·
0
zπi,k,x,j = zπi,k,x,j
· qx
mi,k +1−2m
2
,
1 ≤ m ≤ mi,k
0
0
où zπi,k,x,j
décrit la famille des valeurs propres de Hecke de πi,k,x,j
.
0
(ii) Pour tous 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k ≤ ì , x ∈ |F | et 1 ≤ j ≤ ei,x , les valeurs propres de Hecke zπi,k,x,j
du
0
0
facteur local πi,k,x,j de la représentation automorphe cuspidale unitaire πi,k de GLri,k (AEi ) vérifient
0
|zπi,k,x,j
|=1
et
1
0
| < qx2
|zπi,k,x,j
si
[κi,x,j :κx ]
ri,k = 1
si
ri,k ≥ 2 .
(iii) Pour tous 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k ≤ ì , x ∈ |F | et 1 ≤ j ≤ ei,x , les valeurs propres de Hecke zπi,k,x,j du
facteur local πi,k,x,j de la représentation automorphe discrète unitaire πi,k de GLri,k (AEi ) vérifient
ri,k −1
·[κi,x,j :κx ]
2
|zπi,k,x,j | ≤ qx
230
.
Démonstration :
(i) résulte de la description par Moeglin et Waldspurger du spectre automorphe discret des groupes linéaires
GLri,k (AEi ) en fonction de leur spectre automorphe cuspidal.
(ii) est l’estimée de Jacquet et Shalika pour les valeurs propres de Hecke des facteurs locaux des représentations
automorphes cuspidales unitaires des groupes linéaires.
(iii) est conséquence immédiate de (i) et (ii).
Si (r, π) est une paire automorphe discrète, sa fonction L globale est définie comme le produit
Y
Y
L(πi,k , Z)
L(π, Z) =
1≤i≤e 1≤k≤ì
où, pour tous indices 1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ k ≤ ì , L(πi,k , Z) est la série formelle définie comme le produit
Y
L(πi,k , Z) =
Lx (πi,k,x , Z deg(x) ) .
x∈|F |
On dispose également de son facteur ε global
ε(π, ψ, Z) =
Y
Y
ε(πi,k , ψ, Z)
1≤i≤e 1≤k≤ì
défini comme le produit sur toutes les places x ∈ |F | des facteurs ε locaux
Y
Y
εx (πx , ψx , Z deg(x) ) =
εx (πi,k,x , ψx , Z deg(x) )
1≤i≤e 1≤k≤ì,x
où l’on rappelle que, pour tous indices 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k ≤ ì,x ,
Y
εx (πi,k,x , ψx , Z) =
εx πi,k,x,j , ψx ◦ TrEi,x,j /Fx , Z [κi,x,j :κx ] .
1≤j≤ei,x
Si la représentation automorphe discrète πi,k de GLri,k (AEi ) est induite comme dans le lemme VII.21(i)
0
0
ci-dessus par une décomposition ri,k = ri,k
· mi,k et par une représentation automorphe cuspidale πi,k
de
0 (AE ), on a
GLri,k
i
Y
mi,k +1−2m
0
0
2
·Z .
L(πi,k , Z) =
L πi,k
, q ri,k ·
1≤m≤mi,k
On connaı̂t le résultat suivant dû à Godement et Jacquet :
Proposition VII.22. –
Considérons comme dans le lemme VII.21 une paire discrète unitaire (r, π) de GLE (A).
Alors on a pour tous indices 1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ j ≤ ì :
(i) La série formelle
L(πi,k , Z)
est une fraction rationnelle.
(ii) Cette fraction rationnelle vérifie l’équation fonctionnelle
1
1
1
∨
L πi,k
, q − 2 Z −1 = ε πi,k , ψ, q − 2 Z · L πi,k , q − 2 Z .
231
(iii) Elle n’admet de pôle que si πi,k est un caractère de GLri,k (AEi ) composé de
det
Nm
×
×
deti,k
E,r : GLri,k (AEi ) −−−→ AEi −−−→ A
et d’un caractère de la forme
z
deg(•)
[FE : Fq ]
i
A× −−−−−−−→ C×
0
0
pour un certain élément z ∈ C× ou, ce qui revient au même, si ri,k
= 1, mi,k = ri,k et πi,k
est le
caractère
Nm
A×
Ei
×
z
deg(•)
[FE : Fq ]
i
−−−→ A −−−−−−−→ C×
×
0 (AE ) = A
de GLri,k
i
Ei , avec donc
L(πi,k , Z) =
Y
ri,k +1−2m
0
2
L πi,k
,q
·Z .
1≤m≤ri,k
Nous sommes maintenant en mesure de prouver la proposition suivante, qui implique la proposition VII.19 :
Proposition VII.23. –
Considérons comme dans l’énoncé de la proposition VII.19 une fonction localement constante à support
compact
O
f=
fx : ME (A) → C .
x∈|F |
Soit K =
Q
Q
Kx un sous-groupe ouvert de GLE (OA ) =
1≤i≤e
x∈|F |
GLmi (OAEi ) par lequel la fonction f est
invariante à gauche et à droite.
Choisissons un ensemble fini de représentants (r, π0 ) des classes d’équivalence faible de paires discrètes
unitaires (r, π) telles que l’espace L2π (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K) ne soit pas nul.
Enfin, considérons une place arbitraire x0 ∈ |F |. Alors :
(i) Il existe une fonction à support compact
h : K\GLE (A)/K → C
telle que, si on pose pour tout représentant (r, π0 )
hr,π0 (π, g1 , g2 ) =
1
Fixe (r, π0 )
X
(h ∗ Eπ (ϕ))(g2 ) · Eπ∨ (ϕ)(g1 ) ,
ϕ∈BK (r,π0 )
∀ π ∈ [π0 ] ,
∀ g1 , g2 ∈ GLE (F )\GLE (A)/K ,
on a, pour tout réel s assez grand, tout entier N ≥ 0 et tous éléments g1 , g2 ∈ GLE (A), la formule :



X
O
fxN ⊗ 
fx  (g1−1 γ g2 )
0
γ∈GLE (F )
=
X Z
(r,π0 )
x6=x0
1
1
dπ · hr,π0 π ⊗ |detρE (•)|− 2 ⊗ |detGLE (•)|− 2 −s , g1 , g2
Im [π]
1
− 12
· L (π ⊗ |detGLE (•)|−s )∨ , q − 2 · IxN0 πx0 ⊗ |detGLE (•)|−s
x0 , qx0
232
(ii) Pour tout représentant (r, π0 ) et pour tous éléments g1 , g2 ∈ GLE (A), la fonction
[π0 ] → C
π
7→ hr,π0 (π, g1 , g2 )
est une fonction rationnelle sur [π0 ], quotient de deux polynômes dont le second, le dénominateur, est
indépendant de g1 et g2 et ne s’annule pas sur les éléments de [π0 ] de la forme
0
π ⊗ |detGLE (•)|s ⊗ |detρE (•)|s ,
s, s0 ∈ C ,
π ∈ Im (π0 ) .
(iii) Pour tout entier N ≥ 0 et tous éléments g1 , g2 ∈ GLE (A), on a aussi l’égalité :



O
X
N
fx ⊗ 
fx  (g1−1 γ g2 )
0
x6=x0
γ∈GLE (F )
=
X Z
(r,π0 )
1
1
dπ · hr,π0 π ⊗ |detρE (•)|− 2 ⊗ |detGLE (•)|− 2 , g1 , g2
Im [π0 ]
1
−1
· L π ∨ , q − 2 · IxN0 πx0 , qx02
(iv) Pour tout représentant (r, π0 ) et pour tous éléments g1 , g2 ∈ GLE (A), la série
X Z
1
1
1
−1
dπ · hr,π0 π ⊗ |detρE (•)|− 2 ⊗ |detGLE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2 · IxN0 πx0 , qx02
N ≥0
Im [π0 ]
est absolument convergente.
Si la représentation π0 est cuspidale, la limite de cette série est
Z
1
1
1
dπ · hr,π0 π ⊗ |detρE (•)|− 2 ⊗ |detGLE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2 .
Im [π0 ]
(v) Pour tous g1 , g2 ∈ GLE (A), la valeur de la somme convergente



X
X
O
fxN ⊗ 
fx  (g1−1 γ g2 ) ,
0
N ≥0 γ∈GLE (F )
x6=x0
comme fonctionnelle de f , ne dépend que des fonctions
1
1
1
Im [π0 ] 3 π 7→ hr,π0 π ⊗ |detρE (•)|− 2 ⊗ |detGLE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2
indexées par la sous-famille des représentants (r, π0 ) tels que π0 soit cuspidale.
N
(vi) Pour g1 = g2 = 1, la différence entre les deux fonctionnelles en f =
fx
x∈|F |

f 7→ SE (f ) =
X
X


fxN ⊗ 
0
N ≥0 γ∈GLE (F )
O
fx  (γ)
x6=x0
et
f 7→
X
fb(γ)
γ∈GLE (F )
ne dépend que de la restriction des fonctions fx , x ∈ |F |, aux strates de bord des espaces de matrices
ME (Fx ).
233
(vii) La fonctionnelle
0
f 7→ SE
(f ) = SE (f ) +
X
X
f (γ) −
γ∈Mr (F )
f (γ) −
γ∈GLr (F )
X
fb(γ)
γ∈GLr (F )
est égale à 0.
Démonstration :
(i) Par hypothèse, la fonction localement constante à support compact
f : ME (A) → C
est un produit f =
N
fx de fonctions localement constantes à support compact
x∈|F |
fx : ME (Fx ) → C
qui admettent chacune une décomposition spectrale de la forme donnée par le théorème VII.14
X Z
−1
−1
−1
fx (gx ) = |detGLE (gx )|x 2 · |detρE (gx )|x 2 ·
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,rx ,πx (π, gx ) .
(r x ,πx )
Im [πx ]
Définissons alors la fonction à support compact
h : K\GLE (A)/K → C
comme un produit h =
N
hx de fonctions à support compact
x∈|F |
hx : Kx \GLE (Fx )/Kx → C
définies par la décomposition spectrale
hx (gx ) =
−1
|detGLE (gx )|x 2
·
−1
|detρE (gx )|x 2
−1
Lx π ∨ , qx 2
· fx,rx ,πx (π, gx )
dπ ·
−1
Im [πx ]
L0x π ∨ , qx 2
X Z
·
(r x ,πx )
où, pour toute représentation π de la classe [πx ] d’une représentation de carré intégrable, on pose
• L0x (π, Z) = Lx (π, Z) si π est supercuspidale,
• L0x (π, Z) = Lx (π 0 , Z) si π est une “induite à la Steinberg” d’une représentation supercuspidale π 0 d’un
sous-groupe de Levy standard GLE,x,r0x .
Cette définition de h étant posée, la formule de (i) résulte du théorème VII.20 de décomposition spectrale
de Langlands.
(ii) résulte des propriétés des séries d’Eisenstein.
(iii) résulte de (ii) et de ce que, d’après la proposition VII.22, la fonction
1
−1
[π0 ] 3 π 7→ L π ∨ , q − 2 · IxN0 πx0 , qx02
associée à tout entier N ≥ 0 et à tout représentant (r, π0 ), est une fonction rationnelle dont les pôles ne
rencontrent pas le sous-ensemble des éléments de la forme
π ⊗ |detGLE (•)|−s ,
π ∈ Im [π0 ] ,
234
s ≥ 0.
(iv) Considérons une quelconque fonction à support compact
ϕ1 : GLE (F )\GLE (A)/K → C .
Pour tout représentant (r, π0 ), tout ϕ ∈ L2π0 (GLE,r (F ) · NE,r (A)\GLE (A)/K) et tout z = (zi,k ) 1≤i≤e ∈
1≤k≤ì
Q
(C× )ì , la somme
ΛE,r =
1≤i≤e
Z
X
dg1 · ϕ1 (g1 ) ·
GLE (F )\GLE (A)
(z
−1
Z
dg1 · ϕ1 (g1 ) · (z −1 · ϕ)(g1 )
· ϕ)(δg1 ) =
PE,r (F )\GLE (A)
δ∈PE,r (F )\GLE (F )
−1
converge dès que les quotients |zi,k · zi,k+1
|, 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k < ì , sont assez grands. Dans sa zone de
convergence, elle est égale à une fraction rationnelle en z ∈ ΛE,r ou, ce qui revient au même, en π ∈ [π0 ],
que l’on note
Cπ,ϕ (ϕ1 ) .
Considérons un représentant (r, π0 ) tel que π0 soit cuspidale, et un élément z = (zi,k ) 1≤i≤e ∈ ΛE,r tel
1≤k≤ì
−1
que les modules |zi,k |, 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k ≤ ì , et leurs quotients |zi,k · zi,k+1
|, 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ k < ì , soient
assez grands.
Alors, d’après le théorème de décomposition spectrale de Langlands et la formule des résidus, on peut
écrire pour tout élément g2 ∈ GLE (F )\GLE (A) et tout entier N ≥ 0 la formule :
Z
X
1
1
1 (ϕ)
·
dπ · h ∗ E
(g2 )
πz ⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2
|Fixe (r, π0 )|
ϕ∈BK (r,π0 ) Im [π0 ]
1
−1
1
1
·C
(ϕ1 ) · L πz∨ , q − 2 · IxN0 (πz )x0 , qx02
πz ⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2 ,ϕ
"
Z
X
1
1
1
·
dπ · h ∗ E
(ϕ)
(g2 )
=
π⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2
Fixe (r, π0 )
ϕ∈BK (r,π0 ) Im [π0 ]
#
− 12
∨ − 21
N
· Ix0 πx0 , qx0
·C
(ϕ1 ) · L π , q
−1
−1
2
2
π⊗| detGLE (•)|
"
+
X
(r 0 ,π00 )
·C
+
⊗| detρE (•)|
1
·
|Fixe (r0 , π00 )|
,ϕ
dπ 0 · h ∗ E
Z
X
ϕ0 ∈BK (r 0 ,π00 )
π 0 ⊗| detGLE
Im [π00 ]
1
1
π 0 ⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2 ,ϕ
0∨
(ϕ1 ) · L π , q
− 21
·
IxN0
1
(•)|− 2
−1
πx0 0 , qx02
⊗| detρE
1
(•)|− 2
(ϕ) (g2 )
#
(Résidus)N
où (r0 , π00 ) décrit la famille des représentants tels que π00 soit une sous-représentation d’une représentation
induite d’un élément de [π0 ], et où
(Résidus)N
désigne une somme d’intégrales de résidus de la fonction
Z
X
1
1
1
[π0 ] 3 π 7→
·
dπ · h ∗ E
(ϕ)
(g2 )
π⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2
|Fixe (r, π0 )|
ϕ∈BK (r,π0 ) Im [π0 ]
− 12
∨ − 12
N
·C
(ϕ
)
·
L
π
,
q
·
I
π
,
q
x
x
1
−1
−1
0
x0
0
2
2
π⊗| detGLE (•)|
⊗| detρE (•)|
,ϕ
235
supportés par des pôles de la fonction
1
−1
[π0 ] 3 π 7→ L π ∨ , q − 2 · IxN0 πx0 , qx02 .
Faisons la somme des expressions ci-dessus pour tous les entiers N ≥ 0.
P
Comme les modules |zi,k | des coordonnées de z sont assez grands, la série
du terme de gauche de la
N ≥0
formule ci-dessus converge absolument vers
Z
X
1
dπ · h ∗ E
(g2 )
·
−1
− 1 (ϕ)
πz ⊗| detGLE (•)| 2 ⊗| detρE (•)| 2
|Fixe (r, π0 )|
ϕ∈BK (r,π0 ) Im [π0 ]
∨ − 12
·C
(ϕ
)
·
L
π
,
q
.
1
−1
−1
z
2
2
πz ⊗| detGLE (•)|
⊗| detρE (•)|
,ϕ
P
De plus, il résulte du lemme VII.21(ii) que la série
du premier terme de droite, associé à (r, π0 ), de
N ≥0
la même formule converge absolument vers
Z
X
1
1
1 (ϕ)
·
dπ · h ∗ E
(g2 )
π⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2
|Fixe (r, π0 )|
ϕ∈BK (r,π0 ) Im [π0 ]
∨ − 21
(ϕ
)
·
L
π
,
q
.
·C
1
−1
−1
2
2
π⊗| detGLE (•)|
Donc la série
P
⊗| detρE (•)|
,ϕ
de tous les autres termes de droite converge absolument.
N ≥0
Comme la fonction à support compact ϕ1 : GLE (F )\GLE (A)/K → C est arbitraire, les différents termes
de droite de la formule ci-dessus peuvent être séparés les uns des autres, et l’on conclut que pour tout
représentant (r0 , π00 ) la série
"
Z
X
X
1
0
1 (ϕ)
1
·
(g2 )
dπ · h ∗ E 0
π ⊗| detGLE (•)|− 2 ⊗| detρE (•)|− 2
0
|Fixe (r0 , π00 )| 0
N ≥0
ϕ ∈BK (r 0 ,π00 ) Im [π0 ]
#
1
1
−
·C 0
(ϕ1 ) · L π 0∨ , q − 2 · IxN0 πx0 0 , qx02
−1
−1
2
2
π ⊗| detGLE (•)|
⊗| detρE (•)|
,ϕ
est absolument convergente.
Cela termine la preuve de (iv).
(v) En effet, les fonctions
1
1
1
Im [π0 ] 3 π 7→ hr,π0 π ⊗ |detGLE (•)|− 2 ⊗ |detρE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2
indexées par les représentants (r, π0 ) des classes cuspidales déterminent les fractions rationnelles
1
1
1
[π0 ] 3 π 7→ hr,π0 π ⊗ |detGLE (•)|− 2 ⊗ |detρE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2
puis tous les produits indexés par les entiers N ≥ 0
1
1
1
−1
[π0 ] 3 π 7→ hr,π0 π ⊗ |detGLE (•)|− 2 ⊗ |detρE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π ∨ , q − 2 · IxN0 πx0 , qx02
et enfin les fonctions
1
1
1
−1
[π00 ] 3 π 0 7→ hr0 ,π00 π ⊗ |detGLE (•)|− 2 ⊗ |detρE (•)|− 2 , g1 , g2 · L π 0∨ , q − 2 · IxN0 πx0 0 , qx02
236
indexées par des représentants arbitraires (r0 , π00 ), qui sont des résidus des précédentes.
(vi) Pour tout entier N ≥ 0, la ψx -transformée de Fourier de la fonction
fxN0 : ME (Fx ) → C
s’annule sur les strates de bord de ME (Fx ).
Par conséquent, la différence entre

X
fxN ⊗ 
0

X
O
fx  (γ)
x6=x0
γ∈GLE (F )
et



N
fc

x0 ⊗

O
fbx  (γ)
x6=x0
γ∈GLE (F )
est égale à

X
−

fxN ⊗ 
0

O
fx  (γ)
x6=x0
γ∈ME (F )−GLE (F )
et ne dépend que de la restriction de fxN0 et des fx , x 6= x0 , aux strates de bord de ME (Fx0 ) et des ME (Fx ),
x 6= x0 .
On conclut en remarquant que la restriction de fxN0 aux strates de bord ME (Fx0 ) ne dépend que de la
restriction de fx0 à ces strates, et que



X
X
O
X
N
fc

fbx  (γ) =
fb(γ) .
x0 ⊗
N ≥0 γ∈GLE (F )
x6=x0
γ∈GLE (F )
(vii) Il résulte de (v) et de l’équation fonctionnelle des fonctions L globales rappelée dans la proposition VII.22(ii) que la fonctionnelle



X
X
O
fxN ⊗ 
f 7→ SE (f ) =
fx  (γ)
0
N ≥0 γ∈GLE (F )
x6=x0
satisfait l’équation de Poisson
SE (f ) = SE (fb) ,
∀f .
Il en est de même de la fonctionnelle
0
f 7→ SE
(f ) = SE (f ) +
X
f (γ) −
γ∈ME (F )
X
γ∈GLE (F )
f (γ) −
X
fb(γ) .
γ∈GLE (f )
0
Or, d’après (vi), SE
(f ) ne dépend que de la restriction de chaque facteur fx aux strates de bord de ME (Fx ),
pour toute place x.
0
Cela impose SE
= 0 comme annoncé.
Ceci achève la preuve de la proposition VII.23 et donc aussi de la proposition VII.19.
237
3
Transformation de Fourier globale sur un semi-groupe adélique
de type dual
Revenant au cas général, on considère à nouveau un groupe réductif quasi-déployé G sur un corps de
fonctions F et un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10.
On note toujours Sρ l’ensemble fini des places de F en lesquelles le groupe G ou la représentation ρ sont
ramifiés.
On dispose du caractère
detG : G → Gm
dual du cocaractère
c G : C× → Z F = (Z b )ΓF
det
b
G
G
inverse de l’isomorphisme induit par ρ
∼
F
×
ZG
b −→ Zr (C) = C ,
ainsi que du caractère modulaire
δ B : T → Gm
associé à la paire de Borel (T, B) de G, et du caractère
detρ : G → Gm
associé à δB et à ρ comme dans le lemme V.35 du paragraphe V.7.
Il nous faut d’abord définir la notion de “fonction de type L torique global” sur G(A).
Selon la définition V.30(i) du paragraphe V.6, une fonction locale en une place arbitraire x ∈ |F |
hx : G(Fx ) → C
est dite “de type L torique” si :
• elle est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ),
• son support est contenu dans une partie compacte du semi-groupe local G(Fx ),
• elle admet une décomposition spectrale de la forme
Z
1
−1
hx (gx ) = |detG (gx )|− 2 ·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · hx,λ (gx ) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
où la fonction
b x × G(Fx ) →
Λ
(λ, gx ) 7→
C
hx,λ (gx )
possède les deux propriétés suivantes :
b x , la restriction
(1) Pour tout λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ hx,λ (gx )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
matriciels de la représentation IndG
B (λ).
238
(2) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
b x 3 λ 7→ hx,λ (gx )
Λ
b x qui est invariant par l’action du groupe de Galois
est un polynôme sur le tore complexe Λ
Fx -rationnel SxG de G.
Ce rappel étant fait, il est naturel de poser la définition suivante :
Définition VII.24. –
(i) En toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , on appelle “fonction de type L torique standard” l’unique
fonction de type L torique
hx : G(Fx ) → C
invariante à gauche et à droite par G(Ox ) et dont la décomposition spectrale est
Z
1
−1
∀ gx ∈ G(Fx ) .
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · ϕG
hx (gx ) = |detG (gx )|− 2 ·
x,λ (gx ) ,
Im Λx
(ii) Une fonction
G(A) → C
est dite “de type L torique global” si :
• elle est invariante par un sous-groupe ouvert compact K =
Q
Kx de G(A),
x∈|F |
• elle est supportée par une partie compacte du semi-groupe adélique G(A),
• c’est une combinaison linéaire finie de fonctions produits
O
h=
hx
x∈|F |
dont les facteurs
hx : G(Fx ) → C
sont de la forme
−1
hx (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h0x (gx )
où les fonctions locales en les places x ∈ |F |
h0x : G(Fx ) → C
sont des fonctions de type L torique et où, en presque toute place x ∈ |F | − Sρ , h0x est égale à la
fonction de type L torique standard.
Le caractère additif non trivial
ψ : A/F → C× ,
de composantes les ψx : Fx → C× , étant donné, on peut définir la ψ-transformation de Fourier des fonctions
de type L torique global sur G(A) :
239
Définition VII.25. –
On appelle ψ-transformation de Fourier (relativement à la représentation de transfert ρ) des fonctions de
type L torique global sur G(A) l’unique automorphisme linéaire de l’espace de ces fonctions qui transforme
toute fonction produit
O
h=
hx
x∈|F |
en
b
h=
O
b
hx
x∈|F |
où, pour toute place x ∈ |F |, b
hx désigne la ψx -transformation de Fourier (relativement à ρ) de hx au sens
de la définition VI.14 du paragraphe VI.3.
Remarques :
(i) Si h : G(A) → C est une fonction de type L torique global et b
h désigne sa ψ-transformée de Fourier
relativement à ρ, la translatée à gauche et à droite de h par deux éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A)
g1 g2
h
: G(A) → C
g
7→ h(g1 g g2 )
est encore de type L torique global, et elle admet pour ψ-transformée de Fourier la fonction
g 7→ |detG (g1 g2 )|−1 · |detρ (g1 g2 )|−1 · b
h(g2−1 g g1−1 ) .
b = GLr (C), avec donc G =
(ii) Dans le cas particulier où G = GLr et ρ est la représentation standard de G
r−1
Mr , detG = det et detρ = (det) , les fonctions de type L torique global au sens de la définition VII.24
se prolongent en des fonctions localement constantes à support compact
Mr (A) → C
et la définition ci-dessus de leur ψ-transformation de Fourier recoupe la définition usuelle.
Considérons maintenant un entier r0 ≥ 2, le groupe
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )}
croisé de degré r0 de G, et la représentation de transfert croisée
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
qui est bien disposée et non ramifiée en dehors de Sρ .
Le groupe dérivé Gr0 est muni du caractère
detGr0 = detG : Gr0 → Gm ,
de la paire de Borel (TGr0 , BGr0 ) induite par (T, B) et (Tr0 , Br0 ), du caractère modulaire
δBG
r0
= δB · δBr0 : TGr0 → Gm
et du caractère
detρr0 : Gr0 → Gm
240
associé à δBG
r0
et à ρr0 .
Toutes les définitions qui s’appliquent à G s’appliquent également à Gr0 . On dispose en particulier de
la notion de fonction de type L torique local sur Gr0 (Fx ) en toute place x ∈ |F |. Lorsque x ∈ |F | − Sρ est
non ramifiée, on distingue parmi les fonctions de type L torique sur Gr0 (Fx ) la fonction particulière appelée
“fonction de type L torique standard”. Enfin, on dispose de la notion de fonction de type L torique global
sur Gr0 (A) et de la ψ-transformation de Fourier globale (relativement à ρ) de ces fonctions : elle est définie
comme le produit sur toutes les places x ∈ |F | des ψx -transformations de Fourier locales sur Gr0 (Fx ).
Rappelons d’autre part que, selon la définition V.24 du paragraphe V.5, une fonction locale
Hx : Gr0 (Fx ) → C
en une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ est dite “de type L” si :
• il existe un sous-groupe ouvert compact Kx de GLr0 (Fx ) tel que Hx soit invariante à gauche et à droite
par Gr0 (Fx ) ∩ (G(Ox ) × Kx ),
• son support est contenu dans une partie compacte du semi-groupe local Gr0 (Fx ),
• elle admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
−1
−1
0
dλ·dπ ·Lx ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx 2 ·ϕG
Hx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
x,λ (gx )·Hx,r,π0 (λ, π, gx )
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im [π0 ])/U (1)
où (r, π0 ) décrit une famille de représentants des classes d’équivalence faible de représentations de carré
intégrable de sous-groupes de Levy standard de GLr0 (Fx ), et où les fonctions
Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possèdent les propriétés suivantes :
(1) Pour tous λ ∈ Tbxd et π ∈ [π0 ], la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0 7→ Hx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est invariante à gauche et à droite par Kx , et c’est une combinaison linéaire finie de coefficients
0
matriciels de la représentation Indrr (π).
(2) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
Tbxd × [π0 ] → C
(λ, π) 7→ Hx,r,π0 (λ, π, gx0 )
est un polynôme sur le tore complexe Tbxd × [π0 ] qui est invariant par l’action du groupe fini
SxG × Fixe (r, π0 ). De plus, on a pour tout z ∈ C×
c G (z) · λ, πz−1 , g 0 ) = z −vx (det(gx0 )) · Hx,r,π (λ, π, g 0 ) .
Hx,r,π0 (det
x
x
0
Ce nouveau rappel étant fait, il est naturel de poser encore :
Définition VII.26. –
(i) Une fonction
Gr0 (A) → C
est dite “de type L global” si :
241
• elle est invariante par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A),
• elle est supportée par une partie compacte du semi-groupe adélique Gr0 (A),
• c’est une combinaison linéaire finie de fonctions produits
O
H=
Hx
x∈|F |
dont les facteurs
Hx : Gr0 (Fx ) → C
sont de la forme
−r
−1
Hx (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
0 −1
2
· Hx0 (gx , gx0 )
où, pour un ensemble fini S ⊂ |F | − Sρ de places non ramifiées, on a :
• si x ∈ S, la fonction locale
Hx0 : Gr0 (Fx ) → C
est “de type L” au sens rappelé ci-dessus,
• si x ∈
/ S, la fonction locale
Hx0 : Gr0 (Fx ) → C
est “de type L torique”, et elle se confond avec la fonction “de type L torique standard” en
presque toute place x.
(ii) On appelle ψ-transformation de Fourier (relativement à ρ ou ρr0 ) des fonctions de type L global sur
Gr0 (A) l’unique automorphisme linéaire de l’espace de ces fonctions qui transforme toute fonction
produit de la forme de (i)
O
H=
Hx
x∈|F |
en
O
b =
H
bx
H
x∈|F |
b x désigne la ψx -transformation de Fourier (relativement à ρr0 ) de Hx
où, pour toute place x ∈ |F |, H
au sens de la définition VI.19 du paragraphe VI.4 (si x ∈ S) ou au sens de la définition VI.14 du
paragraphe VI.3 (si x ∈
/ S).
Remarque : Ici encore, la ψ-transformation de Fourier est compatible avec les translations à droite et à
gauche :
b désigne sa ψ-transformée de Fourier relativeSi H : Gr0 (A) → C est une fonction de type L global, et H
ment à ρr0 , alors pour tous éléments g1 , g2 ∈ Gr0 (A), la fonction translatée
g1
H g2 : g 7→ H (g1 g g2 )
est aussi de type L global, et elle admet pour ψ-transformée de Fourier la fonction
b −1 g g −1 ) .
g 7→ |detGr0 (g1 g2 )|−1 · |detρr0 (g1 g2 )|−1 · H(g
2
1
Introduisons enfin la notion de fonction de type L global à la Whittaker sur Gr0 (A) et la ψ-transformation
de Fourier relativement à ρr0 d’une telle fonction.
242
Considérons pour cela un caractère additif continu non trivial
ψ 0 : A/F → C×
dont les composantes locales sont notées ψx0 , x ∈ |F |.
Il induit un caractère régulier
0
ψN
: Nr0 (A)/Nr0 (F ) → C×
r0
et ses composantes locales
0
ψN
: Nr0 (Fx ) → C×
r0
par simple composition de ψ 0 : A → C× ou des ψx0 : Fx → C× avec les homomorphismes global ou locaux
induits par l’homomorphisme algébrique
∼
0
Nr0 /[Nr0 , Nr0 ] −→ (A1 )r −1 −→ A1 .
Ces caractères étant choisis, rappelons que, en toute place x ∈ |F |, une fonction localement constante
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est dite “de type de Whittaker” [resp. “de type de Whittaker droit”] si :
• Wx est invariante à droite [resp. à gauche] par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (Fx ),
• Wx est invariante à gauche [resp. à droite] par un sous-groupe ouvert compact de G0 (Fx ) = Ker (G(Fx )
detG
−−−→ Fx× ),
• elle vérifie pour tous (gx , gx0 ) ∈ Gr0 (Fx ) et ux ∈ Nr0 (Fx )
0
Wx (gx , ux gx0 ) = ψN
(ux ) · Wx (gx , gx0 )
r0
0
[resp. Wx (gx , gx0 u−1
x ) = ψNr0 (ux ) · Wx (gx , gx )] .
Si la place x est non ramifiée, une telle fonction est dite “de type L à la Whittaker” [resp. “de type L à
la Whittaker droit”] si, modulo l’action à gauche [resp. à droite] de Nr0 (Fx ), son support est contenu dans
une partie compacte de Gr0 (Fx ) et si elle admet une décomposition spectrale de la forme donnée dans la
discussion qui précède la définition VI.20 du paragraphe VI.4.
De même, que la place x soit ramifiée ou non, une telle fonction est dite “de type L torique à la Whittaker”
[resp. “de type L torique à la Whittaker droit”] si, modulo l’action à gauche [resp. à droite] de Nr0 (Fx ), son
support est contenu dans une partie compacte de Gr0 (Fx ) et si elle admet une décomposition spectrale de
la forme
Z
−1
dλ · dz · Lx (ρr0 , λ−1 , z −1 , qx−1/2 ) · Wx,λ,z (gx , gx0 )
Wx (gx , gx0 ) = |detG (gx )|x 2 ·
b x ×Im Tb 0 )/U (1)
(Im Λ
r
où la fonction
b x × Tbr0 × Gr0 (Fx ) → C
Λ
(λ, z, gx , gx0 ) 7→ Wx,λ,z (gx , gx0 )
est une combinaison linéaire finie de fonctions produits
0
r
Hx,λ,z (gx ) · Wx,z
(gx0 )
dont les facteurs vérifient les propriétés suivantes :
243
b x et z ∈ Tbr0 , la fonction
(1) Pour tous λ ∈ Λ
G(Fx ) 3 gx 7→ Hx,λ,z (gx )
est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact fixe de G(Fx ), et c’est un
coefficient matriciel de la représentation IndG
B (λ).
(2) Pour tout gx ∈ G(Fx ), la fonction
(λ, z) 7→ Hx,λ,z (gx )
b x × Tbr0 qui est invariant par l’action du groupe de Galois
est un polynôme sur le tore complexe Λ
Fx -rationnel SxG de G par celle de Sr0 . De plus, on a pour tout z0 ∈ C×
−vx (detG (gx ))
Hx,λ det
c G (z0 ),zz −1 (gx ) = z0
0
· Hx,λ,z (gx ) .
(3) Pour tout z ∈ Tbr0 , la fonction
GLr0 (Fx ) 3 gx0
h
resp. gx0
0
7→
r
Wx,z
(gx0 )
7→
i
r0
Wx,z
(gx0−1 )
est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact fixe de GLr0 (Fx ), et elle est élément du
GL
GL
ψx0 -modèle de Whittaker de IndBr0r0 (z) [resp. IndBr0r0 (z −1 )].
(4) Pour tout gx0 ∈ GLr0 (Fx ), la fonction
r0
Tbr0 3 z 7→ Wx,z
(gx0 )
est un polynôme invariant par Sr0 .
Si
Hx : Gr0 (Fx ) → C
est une fonction “de type L torique” au sens de la définition V.30(i) du paragraphe V.6, alors son “coefficient
unipotent régulier”
Z
ψ0
W(rx0 ) Hx : (gx , gx0 ) 7→
Nr0 (Fx )
0−1
dux · ψN
(ux ) · Hx (gx , ux gx0 )
r0
est une fonction “de type L torique à la Whittaker” et son “coefficient unipotent régulier droit”
Z
0
0
f ψx0 Hx : (gx , g 0 ) 7→
W
dux · ψN
(ux ) · Hx (gx , gx0 ux )
x
(r )
r0
Nr0 (Fx )
est une fonction “de type L torique à la Whittaker droit”.
De même, si x ∈ |F | − Sρ est une place non ramifiée et
Hx : Gr0 (Fx ) → C
ψ0
est une fonction “de type L” au sens de la définition V.24 du paragraphe V.5, alors W(rx0 ) Hx est une fonction
0
f ψx0 Hx est une fonction “de type L à la Whittaker droit”.
“de type L à la Whittaker” et W
(r )
ψ0
Lorsque x ∈ |F | − Sρ et que Hx est la fonction de type L torique standard sur Gr0 (Fx ), W(rx0 ) Hx est
0
f ψx0 Hx est appelée la fonction standard de type
appelée la fonction standard de type L à la Whittaker, et W
(r )
L à la Whittaker droit.
Comme dans le cas local, une fonction globale
Gr0 (A) → C
est dite “de type de Whittaker” [resp. “de type de Whittaker droit”] si
244
• elle est invariante à droite [resp. à gauche] par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A),
• elle est invariante à gauche [resp. à droite] par un sous-groupe ouvert compact de G0 (A) = Ker
detG
(G(A) −−−→ A× ),
0
• le groupe Nr0 (A) agit par translation à gauche [resp. à droite] sur cette fonction selon le caractère ψN
r0
0−1
[resp. ψNr0 ].
Nous pouvons maintenant poser la définition suivante :
Définition VII.27. –
(i) Une fonction “de type de Whittaker” [resp. “de type de Whittaker droit”]
Gr0 (A) → C
est dite “de type L” si :
• elle est supportée par une partie compacte de Gr0 (A), modulo l’action de Nr0 (A),
• c’est une combinaison linéaire finie de fonctions produits
O
W =
Wx
x∈|F |
dont les facteurs
Wx : Gr0 (Fx ) → C
sont de la forme
−r
−1
Wx (gx , gx0 ) = |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
0 −1
2
· Wx0 (gx , gx0 )
où, pour un ensemble fini S ⊂ |F | − Sρ de places non ramifiées, on a :
• si x ∈ S, la fonction locale
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est “de type L à la Whittaker” [resp. “à la Whittaker droit”] au sens du paragraphe VI.4,
• si x ∈
/ S, la fonction locale
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est “de type L torique à la Whittaker” [resp. “à la Whittaker droit”] au sens donné plus haut,
et elle se confond avec la fonction standard de ce type en presque toute place x.
(ii) On appelle ψ-transformation de Fourier (relativement à ρr0 ) des fonctions de type L à la Whittaker
sur Gr0 (A) l’unique isomorphisme linéaire de l’espace de ces fonctions sur celui des fonctions de type
L à la Whittaker droit, qui transforme toute fonction produit de la forme de (i)
O
W =
Wx
x∈|F |
en
O
c=
W
cx
W
x∈|F |
cx désigne la ψx -transformée de Fourier (relativement à ρr0 ) de Wx au
où, pour toute place x ∈ |F |, W
sens de la définition VI.20 du paragraphe VI.4.
245
Remarque : Il résulte des définitions et de la remarque qui suit la définition VI.26 que, si
H : Gr0 (A) → C
est une fonction de type L global, alors ses “coefficients unipotents réguliers” à gauche et à droite
Z
ψ0
0
0
W(r
H
:
(g,
g
)
→
7
du · ψN
(u) · H(g, ug 0 )
0)
r0
Nr0 (A)
et
0
f ψ 0 H : (g, g 0 ) 7→
W
(r )
Z
Nr0 (A)
0
du · ψN
(u) · H(g, g 0 u−1 )
r0
sont respectivement des fonctions “de type L à la Whittaker” et “de type L à la Whittaker droit”.
De plus, la formation de ces coefficients est compatible avec les transformations de Fourier, au sens que
l’on a
0
\
ψ0
fψ b
W(r
0 ) H = W(r 0 ) H .
4
Fonctionnelle et formule de Poisson
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe normal G de groupe
G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10, avec les deux caractères associés
detG : G → Gm
et
detρ : G → Gm .
On note toujours Sρ l’ensemble fini des places de F en lesquelles le groupe G ou la représentation ρ sont
ramifiés.
Dans la définition VII.24(ii) du paragraphe précédent, on a introduit un espace de fonctions
h : G(A) → C
appelées les “fonctions de type L torique”. Cet espace dépend de la représentation de transfert ρ et il est
muni d’un automorphisme de ψ-transformation de Fourier
h 7→ b
h,
introduit dans la définition VII.25, qui dépend également de ρ.
b = GLr (C) si bien que
Dans le cas particulier où G = GLr et ρ est la représentation standard de G
G = Mr , les “fonctions de type L torique” sur GLr (A) se prolongent en des fonctions localement constantes
à support compact
h : Mr (A) → C
et leur ψ-transformation de Fourier coı̈ncide avec la ψ-transformation de Fourier usuelle sur Mr (A).
246
On dispose alors sur l’espace de ces fonctions de la fonctionnelle de Poisson
X
h 7→
h(γ)
γ∈Mr (F )
qui est fixe par la transformation de Fourier au sens que toute fonction h de notre espace vérifie la formule
de Poisson
X
X
b
h(γ) =
h(γ) .
γ∈Mr (F )
γ∈Mr (F )
Revenant au cas général d’un groupe réductif G et d’une représentation de transfert “bien disposée”
ρ arbitraires, on voudrait définir sur l’espace des fonctions de type L torique sur G(A) une fonctionnelle
linéaire fixe par la ψ-transformation de Fourier et qui généralise la fonctionnelle de Poisson usuelle.
Une première idée naturelle serait de définir cette fonctionnelle de Poisson sur G(A) par la formule
X
h(γ) ,
h 7→
γ∈G(F )
mais une telle définition n’a pas de sens. En effet, d’après la proposition V.37 du paragraphe V.7, les fonctions
de type L torique
h : G(A) → C
se prolongent par continuité en
codim≤1
G
codim≤1
(si G
en
désigne l’ouvert de G constitué de G et des strates de bord de codimension 1) et plus généralement
lisse
G
lisse
(si G
(A) → C
(A) → C
désigne l’ouvert de lissité de G) mais elles ne se prolongent pas en général à G(A) tout entier.
Cependant, la proposition VII.19 du paragraphe VII.2 va permettre de définir conjecturalement pour G
et ρ arbitraires une fonctionnelle de Poisson qui généralise celle sur Mr (A) et que l’on notera
X
h 7→ “
h(γ)” .
γ∈G(F )
D’après la définition VII.24 du paragraphe précédent, les fonctions de type L torique global
G(A) → C
sont les combinaisons linéaires finies de fonctions produits
O
h=
hx
x∈|F |
dont les facteurs hx sont supportés par des parties compactes des G(Fx ) et admettent des décompositions
spectrales de la forme
Z
− 21
− 21
−1
hx (gx ) = |detG (gx )|x · |detρ (gx )|x ·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · hx,λ (gx ) , ∀ gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
où :
• les fonctions hx,λ possèdent les propriétés (1) et (2) énoncées avant la définition VII.24,
247
• en presque toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , on a simplement
hx,λ = ϕG
x,λ .
Par analogie avec la définition VII.16, on pose :
Définition VII.28. –
En toute place x ∈ |F |, pour tout élément
bx
λ∈Λ
et pour tout entier N ≥ 0, on notera
IxN (ρ, λ, Z)
le polynôme en Z défini comme le produit du polynôme
Lx (ρ, λ, Z)−1
et du monôme de degré N qui apparaı̂t dans le développement en série formelle de l’inverse
Lx (ρ, λ, Z) .
Remarque : Par définition, on a l’égalité
X
IxN (ρ, λ, Z) = 1
N ∈N
dans l’anneau des séries formelles en la variable Z.
Puis on pose par analogie avec la définition VII.17 :
Définition VII.29. –
En une place arbitraire x ∈ |F |, considérons une fonction
hx : G(Fx ) → C
supportée par une partie compacte de G(Fx ) et qui admet une décomposition spectrale de la forme
Z
−1
−1
−1
hx (gx ) = |detG (gx )|x 2 · |detρ (gx )|x 2 ·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · hx,λ (gx ) , gx ∈ G(Fx ) ,
bx
Im Λ
où les fonctions hx,λ possèdent les propriétés (1) et (2) énoncées avant la définition VII.24 du paragraphe
précédent.
Alors, pour tout entier N ≥ 0, on notera
hN
x : G(Fx ) → C
la fonction définie par la décomposition spectrale
Z
− 21
− 12
−1
−1
hN
(g
)
=
|det
(g
)|
·
|det
(g
)|
·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · IxN ρ, λ, qx 2 · hx,λ (gx ) ,
x
G x x
ρ x x
x
∀ gx ∈ G(Fx ) .
bx
Im Λ
248
Parallèlement au corollaire VII.18, on a :
Lemme VII.30. –
Dans les conditions de la définition VII.29 ci-dessus, et pour tout entier N ≥ 0, la ψx -transformée de
Fourier
N : G(F ) → C
hc
x
x
de la fonction
hN
x
: G(Fx ) → C est supportée par une partie compacte de G(Fx ).
Proposons la conjecture générale suivante :
Conjecture VII.31. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe G de groupe G qui est le dual d’une
représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Alors :
(i) Pour toute fonction de type L torique global sur G(A) qui s’écrit comme un produit
O
h=
hx → C ,
x∈|F |
et pour toute place x0 ∈ |F |, la série

X
X

hN

x0 ⊗
N ≥0 γ∈G(F )

O
hx  (γ)
x6=x0
converge absolument vers une limite
S(h)
qui ne dépend pas du choix de la place x0 .
(ii) La différence

h 7→ 

X

h(γ) + 
γ∈G(F )

X
b
h(γ) − S(h)
γ∈G(F )
définit une fonctionnelle linéaire sur l’espace des fonctions de type L torique global, que l’on note
X
h 7→ “
h(γ)”
γ∈G(F )
et qui vérifie les propriétés suivantes :
(1) Elle est fixe par la ψ-transformation de Fourier. Autrement dit, toute fonction de type L torique
h sur G(A) satisfait la formule de Poisson
X
X
b
h(γ)” .
“
h(γ)” = “
γ∈G(F )
γ∈G(F )
249
(2) Pour toute fonction de type L torique sur G(A) qui est un produit
O
h=
hx ,
x∈|F |
la différence

“
X

X
h(γ)” − 
h(γ)
γ∈G(F )
γ∈G(F )
ne dépend que de la restriction de chaque hx aux strates de bord de codimension 1 de G(Fx ).
(3) La fonctionnelle
h 7→ “
X
h(γ)”
γ∈G(F )
est invariante par translation à gauche ou à droite par les éléments de G(F ).
Remarques :
Q
(i) On sait d’après la proposition VII.19 du paragraphe VII.2 que dans le cas “linéaire” où G =
1≤i≤e
Q
b = Q
ResEi /F GLmi = GLE et ρ est la représentation standard de G
GLmi (C), avec donc
1≤i≤e ι:Ei ,→F
Q
G =
ResEi /F Mmi = ME , toutes les assertions de la conjecture ci-dessus sont vérifiées et la
1≤i≤e
fonctionnelle
h 7→ “
X
h(γ)”
γ∈G(F )
coı̈ncide avec la fonctionnelle de Poisson usuelle
X
h 7→
h(γ) .
γ∈ME (F )
(ii) D’autre part, on vérifie facilement que dans la situation envisagée dans le paragraphe VII.1 où G
est
le tore T muni du plongement ρT : Tb ,→ TbE de son dual Tb dans le dual TbE =
Q remplacé
Q par
× mi
(C ) , toutes les assertions de la conjecture ci-dessus sont vraies et la définition de la
1≤i≤e ι:Ei ,→F
fonctionnelle
h 7→ “
X
h(γ)”
γ∈T (F )
que donne cette conjecture coı̈ncide avec celle donnée dans la définition VII.8.
Au paragraphe suivant, nous démontrerons que
R cette conjecture est vraie après transformation par
l’opérateur de coefficient unipotent constant global NB (F )\NB (A) du.
Avant de donner cette démonstration, nous devons formuler une conjecture analogue pour les fonctions
“de type L global”
Gr0 (A) → C
sur tout groupe croisé Gr0 de degré r0 ≥ 2 de G.
250
Rappelons que ce sont les combinaisons linéaires finies de fonctions produits
O
H=
Hx : Gr0 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs locaux
Hx : Gr0 (Fx ) → C
vérifient les propriétés suivantes :
• chaque Hx est invariant à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (Fx ), et il est
supporté par une partie compacte du semi-groupe local Gr0 (Fx ),
• il existe un ensemble fini S ⊂ |F | − Sρ de places non ramifiées tel que, pour tout x ∈ |F | − S, le facteur
Hx est le produit du caractère
−r
−1
(gx , gx0 ) 7→ |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
0 −1
2
et d’une fonction “de type L torique local” qui, de plus, est égale à la fonction “standard de type L
torique” (au sens de la définition VII.24(i)) en presque toute place x,
• en les places restantes x ∈ S, le facteur Hx admet une décomposition spectrale de la forme
Hx (gx , gx0 )
=
−1
−r
−1
0 −1
|detG (gx )|x 2 · |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x 2
X Z
−1
0
·
dλ · dπ · Lx ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx 2 · ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx )
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im [π0 ])/U (1)
où (r, π0 ) décrit une famille de représentants des classes d’équivalence faible de représentations de carré
intégrable de sous-groupes de Levy de GLr0 (Fx ), et où les fonctions
Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C
possèdent les propriétés (1) et (2) rappelées avant la définition VII.26 du paragraphe précédent.
Pour une telle fonction produit de type L global
H=
O
Hx ,
x∈|F |
la définition VII.29 du présent paragraphe s’applique en toute place x ∈ |F | − S si bien que, en toute telle
place x, on peut associer au facteur local
Hx : Gr0 (Fx ) → C
une famille de fonctions
HxN : Gr0 (Fx ) → C ,
N ∈ N,
d
N
dont, d’après le lemme VII.30, les ψx -transformées de Fourier H
x sont supportées par des parties compactes
de Gr0 (Fx ).
Nous voulons pouvoir procéder à une construction analogue en les places x ∈ S.
Commençons par la définition suivante :
Définition VII.32. –
En une place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , considérons une représentation lisse admissible irréductible π
d’un sous-groupe de Levy standard de GLr0 (Fx ) et un élément λ ∈ Tbxd .
251
(i) Si π est supercuspidale, on notera pour tout entier N ∈ N
IxN (ρr0 , λ, π, Z)
le polynôme en Z défini comme le produit du polynôme
Lx (ρr0 , λ, π, Z)−1
et du monôme de degré N qui apparaı̂t dans le développement en série formelle de l’inverse
Lx (ρr0 , λ, π, Z) .
(ii) Dans le cas général, on posera pour tout N ∈ N
Ix (ρr0 , λ, π, Z) = Ix (ρr0 , λ, π 0 , Z)
pour n’importe quelle représentation lisse admissible irréductible supercuspidale π 0 d’un sous-groupe de
Levy standard de GLr0 (Fx ) telle que π soit un sous-quotient de l’induite normalisée de π 0 .
Remarque : On a toujours l’égalité
X
IxN (ρr0 , λ, π, Z) = 1
N ∈N
dans l’anneau des séries formelles en la variable Z.
Cette définition permet de poser l’analogue suivant des définitions VII.17 et VII.29 :
Définition VII.33. –
En une place non ramifiée arbitraire x ∈ |F | − Sρ , considérons une fonction
Hx : Gr0 (Fx ) → C
supportée par une partie compacte de Gr0 (Fx ) et qui admet une décomposition spectrale de la forme
Hx (gx , gx0 )
=
−1
−r
−1
0 −1
|detG (gx )|x 2 · |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x 2
X Z
−1
0
·
dλ · dπ · Lx ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx 2 · ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx )
(r,π0 )
(Im Tbxd ×Im [π0 ])/U (1)
où les fonctions Hx,r,π0 : Tbxd × [π0 ] × GLr0 (Fx ) → C possèdent les propriétés (1) et (2) rappelées avant la
définition VII.26.
Alors, pour tout entier N ≥ 0, on notera
HxN : Gr0 (Fx ) → C
la fonction définie par la décomposition spectrale
HxN (gx , gx0 )
=
−1
−r
−1
|detG (gx )|x 2 · |detρ (gx )|x 2 · | det(gx0 )|x
0 −1
2
·
X Z
(r,π0 )
dλ · dπ
(Im Tbxd ×Im [π0 ])/U (1)
−1
−1
0
· Lx ρr0 , λ−1 , π ∨ , qx 2 · IxN ρr0 , λ, π, qx 2 · ϕG
x,λ (gx ) · Hx,r,π0 (λ, π, gx ) .
252
Parallèlement au corollaire VII.18 et au lemme VII.30, on a :
Lemme VII.34. –
Dans les conditions de la définition VII.33 ci-dessus, et pour tout entier N ≥ 0, la ψx -transformée de
Fourier
d
N : G 0 (F ) → C
H
r
x
x
de la fonction
HxN
: Gr0 (Fx ) → C est supportée par une partie compacte de Gr0 (Fx ).
Parallèlement à la conjecture VII.31 ci-dessus, proposons :
Conjecture VII.35. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
un groupe croisé Gr0 de G de degré r0 ≥ 2, et le semi-groupe Gr0 de groupe Gr0 dual de la représentation de
transfert croisée
b r0 o ΓF → GLrr0 (C) .
ρr 0 : G
Alors :
(i) Pour toute fonction de type L global sur Gr0 (A) qui s’écrit comme un produit
O
H=
Hx → C ,
x∈|F |
et pour toute place x0 ∈ |F |, la série

X
X

HxN ⊗ 
0
N ≥0 γ∈Gr0 (F )

O
Hx  (γ)
x6=x0
converge absolument vers une limite
S(H)
qui ne dépend pas du choix de la place x0 .
(ii) La différence


H 7→ 
X

H(γ) + 

X
b  − S(H)
H(γ)
γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )
définit une fonctionnelle linéaire sur l’espace des fonctions de type L global, que l’on note
X
H 7→ “
H(γ)”
γ∈Gr0 (F )
et qui vérifie les propriétés suivantes :
(1) Elle est fixe par la ψ-transformation de Fourier. Autrement dit, toute fonction de type L global
sur Gr0 (A) satisfait la formule de Poisson
X
X
b
H(γ)” = “
H(γ)”
.
“
γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )
253
(2) Pour toute fonction de type L global sur Gr0 (A) qui est un produit
O
Hx ,
H=
x∈|F |
la différence

X
“

X
H(γ)” − 
H(γ)
γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )
ne dépend que de la restriction de chaque facteur local Hx aux strates de bord de codimension 1
de Gr0 (Fx ).
(3) La fonctionnelle
X
H 7→ “
H(γ)”
γ∈Gr0 (F )
est invariante par translation à gauche ou à droite par les éléments de Gr0 (F ).
Dans la situation de cette conjecture, le semi-groupe Gr0 de groupe
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GLr0 | detG (g) = det(g 0 )}
s’identifie à
{(m, m0 ) ∈ G × Mr0 | detG (m) = det(m0 )}
où det : Mr0 → A1 et detG : G → A1 sont les morphismes équivariants qui prolongent les caractères
det : GLr0 → Gm et detG : G → Gm . Par conséquent, les strates de bord de Gr0 sont constituées des
produits d’une strate de bord de G et d’une strate de bord de Mr0 . Comme Mr0 est lisse, le lieu lisse de Gr0
contient les produits d’une strate de bord de codimension 1 de G et d’une strate de bord arbitraire de Mr0 .
Il en résulte que si
O
H=
Hx : Gr0 (A) → C
x∈|F |
est une fonction de type L global comme dans l’énoncé de la conjecture ci-dessus, elle se prolonge par
continuité aux points
(m, m0 ) ∈ Gr0 (A)
≤1
dont la projection m ∈ G(A) est élément de l’ouvert G de G constitué des strates de codimension ≤ 1.
Nous proposons de compléter la conjecture ci-dessus de la manière suivante :
Conjecture VII.36. –
Dans les conditions du théorème VII.35 ci-dessus et pour toute fonction de type L global
H : Gr0 (A) → C ,
la différence

“
X
H(γ)” − 

X
H(γ)
γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )
dépend linéairement des restrictions de H aux seuls points de la forme
(m, γ 0 ) ∈ Gr0 (A)
254
où γ 0 ∈ Mr0 (F ) − GLr0 (F ) et m est élément d’une strate de bord de codimension 1 de G.
Considérons enfin, comme dans la discussion qui précède la définition VII.27 du paragraphe VII.3, un
caractère additif continu non trivial
ψ 0 : A/F → C× ,
le caractère régulier associé
0
ψN
: Nr0 (A)/Nr0 (F ) → C×
r0
et les opérateurs de formation des coefficients unipotents
O
ψ0
ψ0
W(r
W(rx0 )
0) =
x∈|F |
et
0
O
fψ0 =
W
(r )
0
f ψx0
W
(r )
x∈|F |
qu’il définit.
On obtient comme conséquence de la conjecture VII.35 :
Corollaire conditionnel VII.37. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
un groupe croisé Gr0 de G de degré r0 ≥ 2, et le semi-groupe Gr0 de groupe Gr0 dual de la représentation de
transfert croisée
b r0 o ΓF → GLrr0 (C) .
ρr 0 : G
Alors :
(i) Pour toute fonction de ψ 0 -type de Whittaker [resp. ψ 0 -type de Whittaker droit]
W : Gr0 (A) → C
f : Gr0 (A) → C]
[resp. W
qui est “de type L à la Whittaker” [resp. “à la Whittaker droit”] au sens de la définition VII.27 du
paragraphe VII.3 et qui s’écrit
0
0
ψ
W = W(r
0) H
f=W
f ψ 0 H]
[resp. W
(r )
pour une fonction “de type L global”
H : Gr0 (A) → C ,
l’intégrale
Z
X
“
W (γ)” =
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
[resp.
“
X
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
Nr0 (A)/Nr0 (F )
0−1
(u) · “
du · ψN
r0
Z
f (γ)” =
W
Nr0 (A)/Nr0 (F )
X
X
0
du · ψN
(u) · “
r0
γ∈Gr0 (F )
f ] et pas du choix de la fonction H.
ne dépend que de la fonction W [resp. W
255
H(u · γ)”
γ∈Gr0 (F )
H(γ · u)”]
(ii) Les deux fonctionnelles linéaires
X
W 7→ “
W (γ)”
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
et
X
f 7→ “
W
f (γ)”
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
f des types envisagés dans (i) vérifient les propriétés suivantes :
sur les espaces de fonctions W et W
f = W
c est la ψ-transformée de Fourier de W au sens de la définition VII.27(ii) du para(1) Si W
c satisfont la formule de Poisson
graphe VII.3, W et W
X
“
X
W (γ)” = “
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
c (γ)” .
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
f ] est un produit
(2) Si W [resp. W
O
W =
Wx
f=
[resp. W
x∈|F |
O
fx ] ,
W
x∈|F |
la différence

X
“

X
W (γ)” − 
W (γ)
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )


[resp.
X
“
X
f (γ)” − 
W
f (γ) ]
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
dépend linéairement de la restriction de chaque facteur
Wx : Gr0 (Fx ) → C
fx : Gr0 (Fx ) → C]
[resp. W
à un voisinage arbitrairement petit du bord du semi-groupe Gr0 (Fx ).
(3) La fonctionnelle
X
W 7→ “
W (γ)”
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
[resp.
X
f 7→ “
W
f (γ)”]
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
est invariante par translation à droite [resp. à gauche] par les éléments de Gr0 (F ), et elle est
invariante par translation à gauche [resp. à droite] par les éléments de
detG
G0 (F ) = Ker(G(F ) −−−→ F × ) .
Démonstration :
(i) résulte de la définition de la fonctionnelle
H 7→ “
X
γ∈Gr0 (F )
256
H(γ)”
comme différence


X

H(γ) + 
γ∈Gr0 (F )
lorsque H =
N


X

b −
H(γ)
X
X

HxN ⊗ 
0
N ≥0 γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )

O
Hx  (γ)
x6=x0
Hx et pour une place arbitraire x0 .
x∈|F |
(ii) résulte de (i) et de la conjecture VII.35(ii).
Afin de transposer la conjecture VII.36 aux fonctions “de type L global à la Whittaker” (et “à la Whittaker
droit”), nous avons besoin du lemme suivant :
Lemme VII.38. –
0
0
Soit 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr0 = (A1 )r la filtration standard de l’espace (A1 )r qui définit le sous-groupe
de Borel supérieur Br0 de GLr0 et son radical unipotent Nr0 .
fV0r0 −1 ] l’ouvert de Mr0 constitué des matrices γ telles que
Soit MrV01 [resp. M
r
V1 + Im γ = Vr0
[resp. Vr0 −1 ∩ Ker γ = 0].
Alors :
fV0r0 −1 ] par translation à gauche [resp. à droite].
(i) Le groupe unipotent Nr0 agit librement sur MrV01 [resp. M
r
fV0r0 −1 ] et
(ii) Si γ ∈ Mr0 (F ) est une matrice à coefficients dans F qui n’est pas dans l’ouvert MrV01 [resp. M
r
si
ψ 0 : A/F → C×
est un caractère additif continu non trivial, la restriction du caractère régulier induit
0
ψN
: Nr0 (A)/Nr0 (F ) → C×
r0
au sous-groupe fixateur
{u ∈ Nr0 | u · γ = γ} = Nr0 ,γ
[resp.
er0 ,γ ]
{u ∈ Nr0 | γ · u−1 = γ} = N
est non triviale.
Démonstration :
Traitons le cas de l’action par translation à gauche de Nr0 sur Mr0 .
Soient γ un point de Mr0 à coefficients dans un corps et V = Im γ. Le sous-groupe
{g ∈ GLr0 | g · γ = γ} = GLr0 ,γ
est constitué des automorphismes de Vr0 qui respectent V point par point.
La filtration standard 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr0 induit une filtration
0 = V0 ∩ V ⊂ V1 ∩ V ⊂ . . . ⊂ Vr0 ∩ V = V
de V , ainsi qu’une filtration
0 = V0 /V0 ∩ V ⊂ V1 /V1 ∩ V ⊂ . . . ⊂ Vr0 /Vr0 ∩ V = Vr0 /V
de Vr0 /V . Tous les gradués de ces deux filtrations sont de dimension 0 ou 1.
Un élément g de GLr0 ,γ est dans Nr0 ,γ = GLr0 ,γ ∩ Nr0 si et seulement si il respecte la filtration
0 = V0 /V0 ∩ V ⊂ V1 /V1 ∩ V ⊂ . . . ⊂ Vr0 /V
et induit l’automorphisme identique de chacun de ses gradués. On en déduit :
257
(i) Le fixateur Nr0 ,γ = GLr0 ,γ ∩ Nr0 est trivial si et seulement si V1 + V = Vr0 .
0
(ii) Si γ est un point de Mr0 à coefficients dans F , la restriction du caractère ψN
à
r0
Nr0 ,γ (A) ⊂ Nr0 (A)
est triviale si et seulement si Nr0 ,γ est trivial.
Cela termine la démonstration du lemme.
On déduit de ce lemme et de la conjecture VII.36 :
Corollaire conditionnel VII.39. –
Dans les conditions du corollaire conditionnel VII.37 ci-dessus, considérons l’espace des fonctions de
ψ 0 -type de Whittaker [resp. de ψ 0 -type de Whittaker droit]
W : Gr0 (A) → C
f : Gr0 (A) → C]
[resp. W
qui peuvent s’écrire sous la forme
0
0
ψ
W = W(r
0) H
f=W
f ψ 0 H]
[resp. W
(r )
pour une fonction de type L global
H : Gr0 (A) → C .
Alors :
(i) Toute fonction de cet espace
W : Gr0 (A) → C
f : Gr0 (A) → C]
[resp. W
se prolonge par continuité aux éléments
(m, m0 ) ∈ Gr0 (A) ⊂ G(A) × Mr0 (A)
tels que :
≤1
• la première projection m ∈ G(A) est élément de l’ouvert G
codimension ≤ 1,
de G constitué des strates de
fV0r0 −1 ].
• la seconde projection m0 ∈ Mr0 (A) est élément de l’ouvert MrV01 [resp. M
r
f ] de cet espace, la différence
(ii) Pour tout élément W [resp. W


X
X
“
W (γ)
W (γ)” − 
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )


[resp.
“
X
f (γ)” − 
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
X
f (γ) ]
W
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
f ] aux seuls points de la forme
dépend linéairement de la restriction de W [resp. W
(m, γ 0 ) ∈ Gr0 (A) ,
fV0r0 −1 (F )] et m est élément d’une strate de
où γ 0 ∈ Mr0 (F ) − GLr0 (F ) est élément de MrV01 (F ) [resp. M
r
bord de codimension 1 de G.
258
5
Coefficients unipotents constants et formule de Poisson
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B), et
un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert bien disposée
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Rappelons la définition des “coefficients unipotents constants” calculés le long du radical unipotent NB
de B :
Pour toute place x ∈ |F | et toute fonction de type de Hecke
hx : G(Fx ) → C
qui est à support compact ou, plus généralement, dont la restriction à chaque ouvert
{gx ∈ G(Fx ) | vx (detG (gx )) = n} ,
n ∈ Z,
est à support compact, son “coefficient unipotent constant le long de NB ” est la fonction
: B(Fx )/NB (Fx ) = T (Fx ) → C
Z
Z
1
−1
dux · hx (bx ux ) = |δB (bx )|x 2 ·
bx 7→ |δB (bx )|x2 ·
hx,B
NB (Fx )
dux · hx (ux bx )
NB (Fx )
où dux désigne une mesure invariante de NB (Fx ).
De même, pour toute fonction globale de type de Hecke
h : G(A) → C
qui est à support compact ou, plus généralement, dont la restriction à chaque ouvert
{g ∈ G(A) | deg (detG (g)) = n} ,
n ∈ Z,
est à support compact, son “coefficient unipotent constant le long de NB ” est la fonction
hB
: B(A)/NB (A) = T (A) → C
Z
Z
1
− 21
2
du · h(b u) = |δB (b)| ·
b 7→ |δB (b)| ·
NB (A)
où du =
N
du · h(u b)
NB (A)
dux désigne la mesure invariante de NB (A) qui attribue le volume 1 au quotient compact
x∈|F |
NB (A)/NB (F ).
Si une telle fonction globale h : G(A) → C est le produit
O
h=
hx
x∈|F |
de fonctions locales hx : G(Fx ) → C, x ∈ |F |, on a
hB =
O
x∈|F |
On a :
259
hx,B .
Proposition VII.40. –
Considérons une fonction de type L torique global sur G(A)
h : G(A) →
g
C
1
h(g) = |detρ (g)|− 2 · h0 (g)
7→
au sens de la définition VII.24(ii) du paragraphe VII.3, et sa ψ-transformée de Fourier au sens de la
définition VII.25
b
h : G(A) → C
1
g 7→ b
h(g) = |detB (g)|− 2 · b
h0 (g) .
Alors :
(i) Les termes constants
h0B : T (A) → C
et
b
h0B : T (A) → C
sont “de type L global” relativement à l’homomorphisme ΓF -équivariant
ρT : Tb → Tbr = (C× )r .
(ii) Le terme constant
b
h0B : T (A) → C
n’est autre que le ψ-transformé de Fourier du terme constant
h0B : T (A) → C
relativement à l’homomorphisme de transfert ρT .
Remarque : Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), les mêmes énoncés valent si l’on remplace h par
1
1
g 7→ |detG (g1 g2 )|− 2 · |detρ (g1 g2 )|− 2 ·
g1 g2
h (g)
et b
h par la ψ-transformée de Fourier
1
1
g 7→ |detG (g1 g2 )| 2 · |detρ (g1 g2 )| 2 ·
−1
g2−1 g1
h
(g) .
Démonstration de la proposition :
On peut supposer que la fonction de type L torique global h sur G(A) est une fonction produit
O
h=
hx
x∈|F |
de facteurs hx : G(Fx ) → C de la forme
−1
hx (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h0x (gx ) ,
avec
h0x (gx )
=
−1
|detG (gx )|x 2
Z
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
−1
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · h0x,λ (gx )
·
bx
Im Λ
260
où les fonctions
b x × G(Fx ) → C
h0x,λ : Λ
vérifient les propriétés (1) et (2) rappelées avant l’énoncé de la définition VII.24.
De plus, on a en presque toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ
h0x,λ (gx ) = ϕG
x,λ (gx ) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) .
Alors on a
b
h=
O
b
hx
x∈|F |
où, en toute place x ∈ |F |, b
hx est la ψx -transformée de Fourier de hx au sens de la définition VI.14 du
paragraphe VI.3, c’est-à-dire
1
−
b
h0x (gx ) ,
hx (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · b
avec
1
−
b
h0x (gx ) = |detG (gx )|x 2 ·
Z
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
−1
−1
dλ · Lx ρ, λ, qx 2 · εx λ, ψx , qx 2 · h0x,λ (gx−1 ) .
bx
Im Λ
On en déduit que les fonctions
O
h0B =
(h0x )B
x∈|F |
et
O
b
h0B =
(b
h0x )B
x∈|F |
sont “de type L global” sur T (A) relativement à ρT : Tb → Tbr = (C× )r et, d’après la proposition VI.15 du
paragraphe VI.3, que b
h0B est la ψ-transformée de Fourier de h0B relativement à ρT .
D’autre part, il résulte immédiatement des définitions :
Lemme VII.41. –
En une place arbitraire x ∈ |F |, considérons une fonction
hx : G(Fx ) → C
de la forme
−1
hx (gx ) = |detρ (gx )|x 2 · h0x (gx ) ,
où
h0x
: gx 7→
−1
|detG (gx )|x 2
Z
∀ gx ∈ G(Fx ) ,
−1
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · h0x,λ (gx )
·
bx
Im Λ
est une fonction de type L torique local.
Pour tout entier N ∈ N, écrivons la fonction associée hN
x au sens de la définition VII.29 du paragraphe
précédent sous la forme
− 21
0N
hN
x = |detρ (•)|x · hx .
Alors le terme constant
h0N
x,B : T (Fx ) → C
de la fonction h0N
x n’est autre que la fonction de degré N
(h0x,B )N
261
associée au terme constant
h0x,B : T (Fx ) → C
au sens de la définition VII.29 appliquée à T et ρT .
D’après la remarque (ii) qui suit l’énoncé de la conjecture VII.31 du paragraphe précédent, et en appliquant la formule du produit aux éléments rationnels δB (γ) et detρ (γ), γ ∈ T (F ), on obtient :
Théorème VII.42. –
Considérons une fonction de type L torique global sur G(A) qui est un produit
O
h=
hx
x∈|F |
de facteurs hx : G(Fx ) → C écrits sous la forme
−1
hx (•) = |detρ (•)|x 2 · h0x (•)
où les h0x : G(Fx ) → C sont des fonctions de type L torique local presque toutes égales à la fonction de type
L torique standard.
Alors :
(i) Pour toute place x0 ∈ |F |, la série



X X
O
hN

hx,B  (γ)
x0 ,B ⊗
N ≥0 γ∈T (F )
x6=x0
converge absolument vers une limite indépendante de x0 qui n’est autre que

 

X
X
X
b

hB (γ) + 
hB (γ) − “
h0B (γ)”
γ∈T (F )
γ∈T (F )
γ∈T (F )
où b
h désigne la ψ-transformée de Fourier de h relativement à ρ, hB et b
hB les termesN
constants de h
b
et h sur T (A), et h0B la fonction de type L global sur T (A) définie comme le produit
h0x,B .
x∈|F |
(ii) En particulier, la somme de cette série ne change pas si l’on remplace h par b
h.
(iii) La différence entre la somme de cette série et la somme
X
b
hB (γ)
γ∈T (F )
ne dépend que de la restriction de chacune des fonctions de type L local h0x,B aux strates de bord de
codimension 1 de la variété torique T (Fx ).
(iv) La somme des séries






X X
O
O
X X
N
N
b
hx ,B ⊗ 
b
hx,B  (γ) =
hx0 ,B ⊗ 
hx,B  (γ)
0
N ≥0 γ∈T (F )
N ≥0 γ∈T (F )
x6=x0
x6=x0
ne change pas si l’on remplace h et b
h par leurs translatées
δ
hδ : g
b
h:g
−1
7→ h(gδ)
7→ b
h(δ −1 g)
par un élément arbitraire δ ∈ B(F ).
262
Si h =
N
hx est une fonction de type L global comme dans l’énoncé de ce théorème, ses translatées
x∈|F |
hδ par les éléments rationnels δ ∈ G(F ) sont également de type L global et admettent pour ψ-transformées
−1
−1
de Fourier les translatées δ b
h. Il est naturel d’appliquer à chaque hδ ou δ b
h la fonctionnelle définie dans
ce théorème puis de vouloirPfaire la somme
sur
les
éléments
δ
∈
B(F
)\G(F
).
Une difficulté apparaı̂t du fait
P
que les deux sommations
et
appliquées aux expressions de la forme
N ≥0
δ∈B(F )\G(F )

X

hδ,N
x0 ,B
⊗

O
hδx,B  (γ)
x6=x0
γ∈T (F )
ne commutent pas.
Rappelant le décomposition de Bruhat
G(F ) =
a
B(F ) · w · NB (F )
w∈SF
G
indexée par le groupe de Weyl F -rationnel SF
G = {w ∈ SG | σ(w) = w , ∀ σ ∈ ΓF }, on commence par la
proposition suivante :
Proposition VII.43. –
Étant données une fonction produit de type L torique global sur G(A)
O
h=
hx : G(A) → C
x∈|F |
et sa ψ-transformée de Fourier
O
b
h=
b
hx : G(A) → C ,
x∈|F |
on a pour tout élément w ∈ SF
G :
(i) Les deux sommes

XZ
N ≥0
du0 ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
X Z
NB (A)
γ∈T (F )

du · hN
x0 ⊗
et
N ≥0
du0 ·
(NB
∩w−1 N
B w)(A)\NB (A)
X Z
γ∈T (F )
NB (A)

O
hx  (u γ w u0 )
x6=x0

XZ



du · b
hN
x0 ⊗

O
b
hx  (u0−1 w−1 γ u)
x6=x0
sont convergentes quelle que soit la place x0 ∈ |F |, ne dépendent pas de cette place et sont égales entre
elles.
(ii) La différence entre cette somme et
Z
X Z
0
du ·
du · h(u γ w u0 )
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
Z
[resp.
γ∈T (F )
du0 ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
NB (A)
X Z
γ∈T (F )
du · b
h(u0−1 w−1 γ u)]
NB (A)
ne dépend que de la restriction de chaque facteur b
hx [resp. hx ] aux strates de bord de codimension 1
du semi-groupe G(Fx ).
263
Démonstration :
N 0
N b0
Notons h0 =
hx et b
h0 =
hx les produits des fonctions h et b
h avec le caractère
x∈|F |
x∈|F |
1
1
Y
G(A) 3 g = (gx )x∈|F | 7→ |detρ (g)| 2 =
|detρ (gx )|x2 ,
x∈|F |
g1 0g2
h
=
N
g1 0g2
hx
et g1 b
h0g2 =
x∈|F |
N
g1 b 0g2
hx
leurs translatées à gauche et à droite par des éléments arbitraires
x∈|F |
g1 , g2 ∈ G(A), et enfin
g1 0g2
hB
=
N
x∈|F |
g1 0g2
hx,B
et
g1 b 0g2
hB
N
=
x∈|F |
g1 b 0g2
hx,B
les coefficients unipotents constants de
ces translatées.
Les deux sommes envisagées dans l’énoncé de (i) s’écrivent encore



XZ
X
O
0
0
h0wu ,N ⊗ 
 (γ)
du0 ·
h0wu
x,B
x0 ,B
N ≥0
(NB ∩w−1 NB w)(A)
x6=x0
γ∈T (F )
et

XZ
du0 ·
(NB
N ≥0
∩w−1 N
B w)(A)
X
u

0−1
w−1 b 0N
hx0 ,B
⊗

O
u0−1 w−1 b 0
hx,B  (γ) .
x6=x0
γ∈T (F )
Comme les fonctions h et b
h sont de type L torique sur G(A), tous les coefficients unipotents constants
qui sont de type L sur T (A), sont invariants par le plus grand sous-groupe ouvert compact
T (A) =
T (Fx )0 de T (A). Les classes d’équivalence faible de caractères automorphes unitaires
2
g1 0g2
b
hB et g1Q
h0g
B ,
0
x∈|F |
χ : T (A)/T (F ) → C
qui sont invariants par T (A)0 sont en nombre fini. On peut choisir un ensemble fini de représentants χ0 de
ces classes.
D’après le lemme VII.5 du paragraphe VII.1, les fonctions
X
1
g1 0g2
T (A) 3 t 7→ |detG (t)| 2 ·
hB (γ t)
γ∈T (F )
et
1
T (A) 3 t 7→ |detG (t)| 2 ·
X
g1 b 0g2
hB (γ
t)
γ∈T (F )
admettent des décompositions spectrales de la forme
XZ
1
dχ · L χ−1 , q −s− 2 · pg1h0g2 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
et
XZ
χ0
B
Im [χ0 ]T
χ0
Im [χ−1
0 ]T
1
dχ · L χ−1 , q −s− 2 · pg1bh0g2 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s ,
B
où les pg1h0g2 (•) et pg1bhg2 (•) sont des polynômes en les χ ∈ [χ0 ]T et s est n’importe quel réel assez grand.
B
B
Par conséquent, pour tout entier N ∈ N et tout u0 ∈ (NB ∩ w−1 NB w)(A)\NB (A), les fonctions



X
O
0
0
1
0wu
,N
0wu
h
⊗
hx,B  (γ t)
T (A) 3 t 7→ |detG (t)| 2
x0 ,B
x6=x0
γ∈T (F )
264
et

T (A) 3 t 7→ |detG (t)|
1
2

0−1 −1
u w b
h0N
x0 ,B
X
⊗

O
u0−1 w−1 b 0
hx,B  (γ
t)
x6=x0
γ∈T (F )
se décomposent spectralement en
XZ
1
− 1 +s
dχ · L χ−1 , q −s− 2 · IxN0 ρ, χ, qx02
· ph0wu0 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
χ0
B
Im [χ0 ]T
et
XZ
χ0
Im [χ−1
0 ]T
1
− 1 +s
dχ · L χ−1 , q −s− 2 · IxN0 ρ, χ, qx02
· pu0−1 w−1bh0 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
B
pour n’importe quel réel s assez grand.
Nous devons maintenant intégrer les fonctions
u0 7→ ph0wu0 (χ)
et
B
u0 7→ pu0−1 w−1 bh0 (χ) ,
B
au moyen de l’opérateur d’entrelacement
Z
χ ∈ [χ0 ] ,
du0 ·
(NB
∩w−1 N
B w)(A)\NB (A)
associé à l’élément w ∈ SF
G.
Rappelons que, par définition de l’équivalence faible, chaque classe [χ0 ]T est constituée des caractères de
la forme
bT ,
χ = χ0 ⊗ λ = χ0,λ , λ ∈ Λ
b T s’écrit comme le quotient par un sous-groupe fini du sous-tore complexe Λ
b 0 de Tb engendré par les
où Λ
T
×
0
0
b T , on peut encore noter
b de λ ∈ Λ
cocaractères C → Tb de Tb fixés par ΓF . Pour tout antécédent λ ∈ Λ
T
χ0,λ0 = χ0,λ = χ0 ⊗ λ.
On sait que les intégrales
Z
[χ0 ]T 3 χ 7→
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
Z
[resp. χ 7→
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
du0 · ph0wu0 (χ) = Rhw0 (χ)
B
B
du0 · pu0−1 w−1 bh0 (χ) =
B
w−1
Rbh0 (χ)]
B
convergent absolument en les éléments χ ∈ [χ0 ]T de la forme
b 0T ,
λ0 ∈ Λ
χ = χ0,λ0 ,
dès que
|α∨ (λ0 )| < q −1
[resp. |α∨ (λ0 )| > q]
pour toute racine positive α ∈ Φ+
G telle que w(α) soit une racine négative.
De plus, ces intégrales convergentes définissent des fractions rationnelles Rhw0 et
B
complexes [χ0 ]T . Dans la partie de [χ0 ]T définie par les inégalités
|α∨ (λ0 )| ≤ 1
[resp. |α∨ (λ0 )| ≥ 1] ,
265
w−1
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
Rbh0 sur les variétés
B
−1
la fraction rationnelle Rhw0 [resp. w Rbh0 ] n’a que des pôles simples, et ils sont définis par des équations de
B
B
la forme
∨ 0
α (λ ) = zχ0 ,α · q −1
[resp. α∨ (λ0 ) = zχ−1
· q]
0 ,α
où, quand ils existent, les zχ0 ,α sont des nombres complexes de module 1 dépendant de χ0 et de α ∈
−1
Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G ).
On en déduit que, pour tout entier N ≥ 0, l’intégrale

1
2
Z
|detG (t)| ·
du ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
est égale à la somme
XZ
bT
Im Λ
χ0
X
0

0
h0wu ,N
x0 ,B
⊗

0
 (γ
h0wu
x,B
O
t)
x6=x0
γ∈T (F )
− 12
N
− 12
·
I
ρ,
χ
,
q
· Rhw0 (χ0,λλ0 ) · χ0,λλ0 (t)
,
q
dλ · L χ−1
x
0,λλ
0
x0
0
0,λλ0
B
b T dont n’importe quel antécédent λ0 ∈ Λ
b 0 ⊂ Tb vérifie
pour n’importe quel élément λ0 ∈ Λ
0
T
|α∨ (λ00 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
et
|ρiT (λ00 )| 1 ,
1 ≤ i ≤ r.
Par déplacement des contours d’intégration, elle s’écrit
XZ
1
− 1 +s
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
· Rhw0 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
χ0
+
X XZ
χ0
B
Im [χ0 ]T
χ00
Im [χ00 ]T
1
− 1 +s
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
· Res[χ00 ]T Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
B
· χ(t) · |detG (t)|−s
où
• pour tout représentant χ0 , [χ00 ]T décrit une famille de sous-variétés homogènes de [χ0 ]T définies par
des équations de la forme
α∨ (λ0 ) = zχ0 ,α · q −1
si χ = χ0,λ0 ∈ [χ0 ]T
−1
pour un certain sous-ensemble de racines α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G ),
• chaque Im [χ00 ]T désigne la sous-variété réelle homogène de [χ00 ]T constituée des χ0,λ0 ∈ [χ00 ]T ⊂ [χ0 ]T
tels que
|µ(λ0 )| = 1
pour tout caractère µ : Tb → C× vérifiant
hα, µi = 0
pour tout élément α du sous-ensemble de
Φ+
G
0
∩ −w−1 (Φ+
G ) qui définit [χ0 ]T ,
• chaque χ00 est un représentant de [χ00 ]T choisi dans Im [χ00 ]T ,
• chaque Im [χ00 ]T est muni de la mesure dχ induite par celle de Im [χ0 ]T ,
• s est un réel assez grand.
266
D’autre part, on a :
Lemme VII.44. –
Avec les notations ci-dessus, on a pour tout entier N ≥ 0 :
(i) Pour tout représentant choisi χ0 et tout χ ∈ Im [χ0 ]T , la fonction analytique
1
− 1 +s
C 3 s 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
· Rhw0 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
B
n’a pas de pôle dans le demi-plan Re(s) ≥ 0.
(ii) Pour tout représentant χ0 , tout χ00 comme ci-dessus et tout χ ∈ Im [χ00 ]T , la fonction analytique
1
− 1 +s
C 3 s 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
· Res[χ00 ]T Rhw0 (χ · |detG (•)|−s ) · χ(t) · |detG (t)|−s
B
n’a pas de pôle dans le demi-plan Re(s) ≥ 0.
Démonstration :
Considérons un représentant χ0 .
Q
Rappelant que T (A) s’identifie au quotient de TE (A) =
1≤i≤e
mi
(A×
par Tρ (A), le caractère χ0 :
Ei )
T (A)/T (F ) → C× peut être vu comme un caractère TE (A)/TE (F ) → C× et la variété complexe [χ0 ]T
peut être identifiée à la sous-variété de [χ0 ] constituée des caractères χ : TE (F )/TE (F ) → C× faiblement
équivalents à χ0 qui sont triviaux sur Tρ (A).
Alors la fonction analytique
1
− 1 +s
[χ0 ]T × C 3 (χ, s) 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
est la restriction à [χ0 ]T × C de la fonction analytique
1
− 1 +s
[χ0 ]T × C 3 (χ, s) 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 χ, qx02
.
Les pôles de cette dernière ne rencontrent pas le sous-ensemble des (χ, s) tels que χ ∈ Im [χ0 ] et Re (s) ≥ 0,
ce qui prouve (i).
Montrons (ii).
La fraction rationnelle
1
− 1 +s
C× × [χ0 ] 3 (q −s , χ) 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ, qx02
se développe comme la somme d’une série de polynômes
X
Pn (χ · |detG (•)|−s )
n≥0
qui converge absolument dans le domaine des (χ, s) de la forme
(χ, s) = (χ0,z , s) ,
z = (z1 , . . . , zr ) ∈ (C× )r = TbE ,
avec |zi q s | ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r.
Considérons d’autre part un polynôme arbitraire P sur [χ0 ]T .
267
b T dont n’importe quel antécédent λ0 ∈ Λ
b 0 ⊂ Tb vérifie
Si λ0 est comme plus haut un élément de Λ
0
T
|α∨ (λ00 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
et
|ρiT (λ00 )| 1 ,
1 ≤ i ≤ r,
on a pour tout entier n ∈ N l’égalité
Z
dλ · Pn (χ0,λλ0 ) · Rhw0 (χ0,λλ0 ) · χ0,λλ0 (t) · P (χ0,λλ0 )
B
bT
Im Λ
Z
=
dχ · Pn (χ) · Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
B
Im [χ0 ]T
Z
X
dχ · Pn (χ) · Res[χ00 ] Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ) .
+
Or les deux séries
XZ
n≥0
B
Im [χ00 ]T
χ00
dλ · Pn (χ0,λλ0 ) · Rhw0 (χ0,λλ0 ) · χ0,λλ0 (t) · P (χ0,λλ0 )
B
bT
Im Λ
et
XZ
n≥0
dχ · Pn (χ) · Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
B
Im [χ0 ]T
convergent absolument. Donc il en est de même de la série
X XZ
dχ · Pn (χ) · Res[χ00 ] Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ) .
n≥0
χ00
B
Im [χ00 ]T
Le polynôme χ 7→ P (χ) étant arbitraire, il permet de séparer les différents Im [χ00 ]T et on obtient que chacune
des séries
XZ
dχ · Pn (χ) · Res[χ00 ] Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
n≥0
B
Im [χ00 ]T
est absolument convergente.
Cela achève de prouver le lemme.
Suite de la démonstration de la proposition VII.43.
D’après le lemme VII.44 ci-dessus, on obtient pour tout entier N ≥ 0



Z
X
O
0
0
1
 (γ t)
h0wu ,N ⊗ 
|detG (t)| 2 ·
du0 ·
h0wu
x,B
x0 ,B
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
=
XZ
χ0
+
dχ · L χ−1 , q
Im [χ0 ]T
X XZ
χ0
χ00
Im [χ00 ]T
− 12
x6=x0
γ∈T (F )
· IxN0 ρ, χ, q
− 21
x0
· Rhw0 (χ) · χ(t)
B
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t) .
B
268
De même, on a pour tout entier N ≥ 0

Z
1
du0 ·
|detG (t)| 2 ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
=
XZ
χ0
+
Im [χ−1
0 ]T
χ00
Im [χ0−1
]T
0
0−1
w−1 b 0N
hx0 ,B
⊗

u0−1 w−1 b 0
hx,B  (γ
O
t)
x6=x0
γ∈T (F )
1

u
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 ·
X XZ
χ0
X
w−1
−
Rbh0 (χ) · χ(t)
B
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ] w Rbh0 (χ) · χ(t) .
B
La partie (i) de la proposition est donc réduite au lemme suivant :
Lemme VII.45. –
Avec les notations ci-dessus, on a pour tout représentant choisi χ0 :
(i) Les deux séries
XZ
N ≥0
et
Im [χ0 ]T
XZ
N ≥0
Im [χ−1
0 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Rhw0 (χ) · χ(t)
B
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 ·
w−1
Rbh0 (χ) · χ(t−1 )
B
sont convergentes quelle que soit la place x0 , ne dépendent pas de cette place et sont égales entre elles.
(ii) Pour tout χ00 comme ci-dessus, les deux séries
XZ
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t)
N ≥0
et
XZ
N ≥0
B
Im [χ00 ]T
]T
Im [χ0−1
0
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ0−1 ]T
0
w−1
Rbh0 (χ) · χ(t−1 )
B
sont convergentes quelle que soit la place x0 , ne dépendent pas de cette place et sont égales entre elles.
Démonstration :
(i) La série de fonctions sur Im [χ0 ]T
χ 7→
X
−1
IxN0 ρ, χ, qx02
N ≥0
converge uniformément vers 1. Il en résulte que les deux séries de l’énoncé convergent absolument vers
Z
1
dχ · L χ−1 , q − 2 · Rhw0 (χ) · χ(t)
B
Im [χ0 ]T
et
Z
1
dχ · L χ−1 , q − 2 ·
w−1
Im [χ0−1 ]T
Rbh0 (χ) · χ(t
−1
Z
)=
B
Im [χ0 ]T
qui ne dépendent pas de la place x0 .
269
1
dχ · L χ, q − 2 ·
w−1
Rbh0 (χ−1 ) · χ(t)
B
Comme on a vu, on a d’autre part
Rhw0 (χ) =
Z
B
(NB
et
w−1
−1
Rbh0 (χ
∩w−1 N
B w)(A)\NB (A)
Z
)=
B
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
du0 · ph0wu0 (χ)
B
du0 · pu0−1 w−1 bh0 (χ−1 )
B
en les éléments χ ∈ [χ0 ]T de la forme
χ = χ0,λ0 ,
b0 ,
λ0 ∈ Λ
dès que
|α∨ (λ0 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) .
0−1 −1
Pour tout u0 ∈ (NB ∩ w−1 NB w)(A)\NB (A), u w b
h0B est la ψ-transformée de Fourier de la fonction de
0
0wu
type L global hB sur T (A), si bien que pour tout χ ∈ [χ0 ]T , on a
1
pu0−1 w−1 bh0 (χ−1 ) = ε χ, ψ, q − 2 · ph0wu0 (χ) .
B
B
On en déduit l’équation fonctionnelle entre fonctions rationnelles sur [χ0 ]T
1
w−1
Rbh0 (χ−1 ) = ε χ, ψ, q − 2 · Rhw0 (χ) .
B
B
Celle-ci implique la dernière assertion de (i) par combinaison avec l’équation fonctionnelle
L(χ−1 , Z) = ε(χ, ψ, Z) · L(χ, Z) ,
∀ χ ∈ [χ0 ]T .
b T dont n’importe quel antécédent λ0 ∈ Λ
b 0 ⊂ Tb vérifie
(ii) Considérons un élément λ0 ∈ Λ
0
T
|α∨ (λ00 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
et
|ρiT (λ00 )| 1 ,
1 ≤ i ≤ r,
ainsi qu’un polynôme arbitraire χ 7→ P (χ) sur [χ0 ]T .
Pour tout entier N ≥ 0, on peut écrire
Z
−1
− 21
dχ · L χ−1
· IxN0 ρ, χλ0 , qx02 · Rhw0 (χλ0 ) · χλ0 (t) · P (χλ0 )
λ0 , q
B
Im [χ0 ]T
Z
1
1
−
=
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
B
Im [χ0 ]T
XZ
1
1
−
+
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
χ00
B
Im [χ00 ]T
+ (Résidus)N
où (Résidus)N désigne une somme d’intégrales de résidus de la fonction
1
−1
[χ0 ]T 3 χ 7→ L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
B
supportés par des pôles de la fonction
1
−1
χ 7→ L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 .
270
Faisons la somme des expressions ci-dessus sur tous les entiers N ≥ 0.
P
D’après le choix de λ0 , la série
du terme de gauche de la formule converge absolument vers
N ≥0
Z
Im [χ0 ]T
De même, la série
P
− 21
dχ · L χ−1
· Rhw0 (χλ0 ) · χλ0 (t) · P (χλ0 ) .
λ0 , q
B
du premier terme de droite
N ≥0
Z
R
Im [χ0 ]T
dχ · (. . .) de la formule converge absolument vers
1
dχ · L χ−1 , q − 2 · Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ) .
B
Im [χ0 ]T
P
Donc la série
de tous les autres termes de droite converge absolument vers une limite qui ne dépend pas
N ≥0
de la place x0 .
Comme le polynôme P : [χ0 ]T → C est arbitraire, les différents termes de droite, associés à différents
supports de résidus, peuvent être séparés les uns des autres, et l’on conclut que pour tout χ00 la série
XZ
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t)
B
Im [χ00 ]T
N ≥0
converge absolument vers une limite qui ne dépend pas de la place x0 .
On montre de la même façon que la série
XZ
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ0−1 ]T
N ≥0
=
XZ
Im [χ00 ]T
N ≥0
w−1
Rbh0 (χ) · χ(t−1 )
0
Im [χ0−1
]T
0
1
−
1
dχ · L χ, q − 2 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T
B
w−1
Rbh0 (χ−1 ) · χ(t)
B
converge, pour tout χ00 , vers une limite qui ne dépend pas de la place x0 .
Il reste à montrer que les deux séries associées à chaque χ00 sont égales.
Comme les deux fonctions rationnelles sur [χ0 ]T
1
χ 7→ L χ−1 , q − 2 · Rhw0 (χ)
B
et
1
χ 7→ L χ, q − 2 ·
w−1
Rbh0 (χ−1 )
B
coı̈ncident, cela résulte du lemme suivant avec lequel se termine la démonstration du lemme VII.45 :
Lemme VII.46. –
Pour toute place x0 , pour tout représentant choisi χ0 et pour tout χ00 comme ci-dessus ou égal à χ0 , les
deux séries doubles
X Z
0
1
−1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t)
B
Im [χ00 ]T
N,N 0 ≥0
et
X Z
N,N 0 ≥0
Im [χ00 ]T
0
1
−1
−1
dχ · L χ, q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T
271
w−1
Rbh0 (χ−1 ) · χ(t)
B
sont absolument convergentes et ont les mêmes limites que les deux séries simples
XZ
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t)
et
X Z
N 0 ≥0
B
Im [χ00 ]T
N ≥0
Im [χ00 ]T
0
1
−1
dχ · L χ, q − 2 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T
w−1
Rbh0 (χ−1 ) · χ(t) .
B
Démonstration :
La convergence absolue de ces séries doubles pour tous χ0 et χ00 résulte de celle des séries simples déjà
démontrée.
b T dont n’importe quel antécédent λ0 ∈ Λ
b 0 ⊂ Tb vérifie
Considérons encore un élément λ0 ∈ Λ
0
T
|α∨ (λ00 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
et
|ρiT (λ00 )| 1 ,
1 ≤ i ≤ r.
Pour tout polynôme P sur [χ0 ]T et pour tous entiers N, N 0 ≥ 0, on a d’après le lemme VII.44
Z
0
−1
− 21
− 12
dχ · L χ−1
· IxN0 ρ, χλ0 , qx02 · IxN0 ρ, χ−1
· Rhw00 (χλ0 ) · χλ0 (t) · P (χλ0 )
λ0 , q
λ0 , qx0
Im [χ0 ]T
Z
0
1
−1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Rhw00 (χ) · χ(t) · P (χ)
=
Im [χ0 ]T
X Z
0
1
−1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T Rhw00 (χ) · χ(t) · P (χ) .
+
Im [χ00 ]T
χ00 6=χ0
P
Or, pour N fixé, la série
du terme de gauche converge vers
N 0 ≥0
Z
Im [χ0 ]T
Z
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Rhw00 (χ) · χ(t) · P (χ)
=
Im [χ ]
0 T
X Z
+
χ00 6=χ0
et la série
P
−1
− 21
dχ · L χ−1
· IxN0 ρ, χλ0 , qx02 · Rhw00 (χλ0 ) · χλ0 (t) · P (χλ0 )
λ0 , q
Im [χ00 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw00 (χ) · χ(t) · P (χ) ,
du premier terme de droite converge vers
N 0 ≥0
Z
Im [χ0 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Rhw00 (χ) · χ(t) · P (χ) .
Le polynôme P étant arbitraire, il permet de séparer les différents χ00 et l’on obtient que chaque série
X Z
0
1
−1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ)
N 0 ≥0
B
Im [χ00 ]T
converge vers
Z
Im [χ00 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ, qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) · χ(t) · P (χ) .
B
272
Cela prouve la propriété voulue de la première série double du lemme. Celle de la seconde série double
se prouve de la même façon.
Ceci achève de montrer le lemme VII.45 et donc aussi la partie (i) de la proposition VII.43.
Démonstration de la partie (ii) de la proposition VII.43 :
Avec les notations de la preuve de la partie (i), la somme



XZ
X Z
O

hx  (u γ wu0 )
du0 ·
du · hN
x0 ⊗
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
N ≥0
γ∈T (F )
NB (A)
x6=x0

=
XZ
du0 ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
N ≥0
X Z
γ∈T (F )
NB (A)


du · b
hN
x0 ⊗

O
b
hx  (u0−1 w−1 γ u)
x6=x0
est égale à
X XZ
χ0
+
N ≥0
Im [χ0 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Rhw0 (χ)
B
X X XZ
χ0
χ00
N ≥0
Im [χ00 ]T
1
−1
dχ · L χ−1 , q − 2 · IxN0 ρ, χ−1 , qx02 · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ) .
B
b T dont n’importe quel antécédent λ0 ∈ Λ
b 0 ⊂ Tb vérifie
D’autre part, si λ0 est un élément de Λ
0
T
|α∨ (λ00 )| < q −1 ,
−1
∀ α ∈ Φ+
(Φ+
G ∩ −w
G) ,
et
|ρiT (λ00 )| 1 ,
la somme
Z
1 ≤ i ≤ r,
X Z
0
du ·
(NB ∩w−1 NB w)(A)\NB (A)
γ∈T (F )
du · h(u γ wu0 )
NB (A)
est égale à
XZ
χ0
Im [χ0 ]T
− 12
dχ · L χ−1
· Rhw0 (χλ0 ) .
λ0 , q
B
Si s est n’importe quel réel assez grand, elle s’écrit encore
XZ
1
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
χ0
+
X XZ
χ0
=
χ00
Im [χ00 ]T
X XZ
χ0
+
B
Im [χ0 ]T
N ≥0
Im [χ0 ]T
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · Res[χ00 ]T Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
B
1
− 1 −s
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ−1 , qx02
· Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
X X XZ
χ0
χ00
N ≥0
1
Im [χ00 ]T
B
1
− 1 −s
dχ · L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ−1 , qx02
· Res[χ00 ]T Rhw0 (χ · |detG (•)|−s ) .
B
Or, pour tout représentant χ0 et tout χ ∈ [χ0 ], les résidus de la fonction
1
− 1 −s
C 3 s 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ−1 , qx02
· Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
B
273
en ses pôles ne dépendent que des restrictions de chaque facteur
u0−1 w−1 b 0
hx,B
x ∈ |F | ,
,
0−1 −1
des u w b
h0B , u0 ∈ (NB ∩ w−1 NB w)(A)\NB (A), aux strates de bord de codimension 1 de la variété torique
T (Fx ).
Il en est a fortiori de même, pour tout χ00 et tout χ ∈ [χ00 ]T , des résidus de la fonction
1
− 1 −s
C 3 s 7→ L χ−1 , q − 2 −s · IxN0 ρ, χ−1 , qx02
· Res[χ00 ]T Rhw0 (χ · |detG (•)|−s )
B
en ses pôles.
0−1 −1
On conclut en remarquant que, pour tout u0 ∈ NB (A) et toute place x ∈ |F |, la restriction de u w b
h0x,B
hx de b
h aux strates
aux strates de bord de codimension 1 de T (Fx ) ne dépend que de la restriction du facteur b
de bord de codimension 1 du semi-groupe G(Fx ).
Cela termine la preuve de la proposition VII.43.
On déduit de la proposition VII.43 :
Corollaire VII.47. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F et un semi-groupe G de groupe G qui est le dual d’une
représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Considérons comme dans l’énoncé de la conjecture VII.31 du paragraphe précédent une fonction de type L
torique global sur G(A) qui s’écrit comme un produit
O
h=
hx : G(A) → C
x∈|F |
et sa ψ-transformée de Fourier relativement à ρ
O
b
b
h=
hx : G(A) → C .
x∈|F |
Alors les deux séries définies pour tout choix d’une place x0



XZ
X
O
hN

du ·
hx  (u γ)
x0 ⊗
NB (A)/NB (F )
N ≥0
x6=x0
γ∈G(F )
et

XZ
N ≥0
NB (A)/NB (F )
du ·
X

b

hN
x0 ⊗

O
x6=x0
γ∈G(F )
possèdent les propriétés suivantes :
(1) Elles convergent vers deux limites
SB (h)
et
0 b
SB
(h)
qui ne dépendent pas du choix de la place x0 .
(2) On a
0 b
SB (h) = SB
(h) .
274
b
hx  (γ u−1 )
0 b
(3) La différence entre SB (h) = SB
(h) et
Z
X
du ·
h(u γ)
NB (A)/NB (F )
Z
X
du ·
[resp.
NB (A)/NB (F )
γ∈G(F )
b
h(γ u−1 )]
γ∈G(F )
ne dépend que de la restriction de chaque facteur b
hx [resp. hx ] aux strates de bord de codimension 1
du demi-groupe G(Fx ).
0 b
(4) La fonctionnelle h 7→ SB (h) [resp. b
h 7→ SB
(h)] est invariante à droite [resp. à gauche] par G(F ).
Démonstration :
La propriété (4) sera évidente sur la construction dès lors que (1) sera démontrée.
Pour le reste, considérons les deux fonctions sur G(A)
1
1
|detG (g)| 2 · |detρ (g)| 2 · h(• g)
1
1
|detG (g)|− 2 · |detρ (g)|− 2 · b
h(g −1 •)
associées à tout élément g ∈ G(A). Elles sont encore de type L global et la seconde est la ψ-transformée de
Fourier de la première.
On est réduit à prouver que pour toute fonction localement constante à support compact
Y
ϕ=
ϕx : G(A) → C ,
x∈|F |
la fonction de type L global sur G(A)
Z
1
1
dg · ϕ(g) · |detG (g)| 2 · |detρ (g)| 2 · h(• g)
G(A)
et sa ψ-transformée de Fourier
Z
1
1
dg · ϕ(g) · |detG (g)|− 2 · |detρ (g)|− 2 · b
h(g −1 •)
G(A)
possèdent les propriétés (1), (2) et (3).
Or, pour toute place x0 ∈ |F | et tout entier N ≥ 0, les fonctions automorphes



Z
X
O
hN

G(F )\G(A) 3 g 7→
du ·
hx  (u γ g)
x0 ⊗
NB (A)/NB (F )
γ∈G(F )
et
x6=x0

Z
G(F )\G(A) 3 g 7→
X
du ·
NB (A)/NB (F )
γ∈G(F )
b
hN
x0 ⊗

O
b
hx  (g −1 γ u−1 )
x6=x0
ne font apparaı̂tre dans leur décomposition spectrale que des représentations automorphes dont le support
cuspidal est constitué de caractères automorphes de T (A), c’est-à-dire que des séries d’Eisenstein induites
de B et leurs résidus.
On est maintenant réduit à prouver que pour toute fonction localement constante à support compact
Y
ϕ=
ϕx : NB (A)\G(A) → C ,
x∈|F |
275
les séries

XZ
N ≥0
du ·
NB (A)/NB (F )
Z
X
γ∈G(F )/NB (F )
G(A)

1
2
1
2

dg · ϕ(g) · |detG (g)| · |detρ (g)| · hN
x0 ⊗

O
hx  (u γ g)
x6=x0
et

XZ
N ≥0
du ·
NB (A)/NB (F )
Z
X
γ∈NB (F )\G(F )
G(A)
1
1


hN
dg·ϕ(g)·|detG (g)|− 2 ·|detρ (g)|− 2 · b
x0 ⊗

O
b
hx  (g −1 γ u−1 )
x6=x0
possèdent les propriétés (1) et (2), et que leur différence avec
Z
Z
X
1
1
du ·
dg · ϕ(g) · |detG (g)| 2 · |detρ (g)| 2 · h(u γ g)
NB (A)/NB (F )
Z
du ·
[resp.
NB (A)/NB (F )
G(A)
γ∈G(F )/NB (F )
X
γ∈NB (F )\G(F )
Z
1
1
h(g −1 γ u−1 )]
dg · ϕ(g) · |detG (g)|− 2 · |detρ (g)|− 2 · b
G(A)
ne dépend que de la restriction de chaque facteur b
hx [resp. hx ] aux strates de bord de codimension 1 du
semi-groupe G(Fx ).
Cela résulte immédiatement de la proposition VII.43.
276
Chapitre VIII :
Construction de noyaux du transfert
sans ramification
1
Construction des termes principaux d’un noyau
Dans tout ce chapitre, on considère encore et toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F muni
d’une paire de Borel (T, B), et un semi-groupe G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10 du paragraphe II.4.
On rappelle qu’on a noté Sρ l’ensemble fini des places de F en lesquelles le groupe G ou la représentation
de transfert ρ sont ramifiés.
En toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , on dispose des algèbres de Hecke sphériques
G
Hx,∅
= Cc (G(Ox )\G(Fx )/G(Ox )) ,
r
Hx,∅
= Cc (GLr (Ox )\GLr (Fx )/GLr (Ox )) ,
des isomorphismes de Satake
G
Sx
G
Hx,∅
x
∼
∼
b x ]Gb ,
−→
C [Tbxd ]SG −→ C [G
r
Sx
r
Hx,∅
∼
∼
−→
C [Tbr ]Sr −→ C [GLr (C)]GLr (C) ,
et de l’homomorphisme de transfert non ramifié local
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
induit par l’homomorphisme ρ via les isomorphismes de Satake.
Dans le paragraphe III.3, on a noté ex le plus petit entier ≥ 1 tel que la puissance σxex de l’élément de
b et sur l’espace Cr de la représentation ρ. On
Frobenius σx en la place x ∈ |F | − Sρ agisse trivialement sur G
a aussi noté
ρT,x : Tbxd → Tbr = (C× )r
l’homomorphisme quotient de l’homomorphisme
Tb
→ Tbr
λ
7→ ρT (λ · σx (λ) . . . σxex −1 (λ))
277
par la projection canonique
Tb → Tbxd .
Enfin, on a noté
εx = (ε1x , . . . , εrx ) ∈ (C× )r
un certain élément de (C× )r tel que
εexx = 1
et
ρ∗x (p)(λex ) = p(εx · ρT,x (λ)) ,
∀ p ∈ C [Tbr ]Sr ,
∀ λ ∈ Tbxd .
Comme par hypothèse le groupe de Galois ΓF et en particulier l’élément de Frobenius σx agissent sur l’espace
Cr de ρ par permutation de ses r vecteurs de base, l’homomorphisme ρT,x et l’élément εx admettent des
descriptions très concrètes qui ont été rappelées à la fin du paragraphe III.3.
Dans le paragraphe III.2, on a introduit en toute telle place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ et pour toute
valeur propre λ ∈ Tbxd l’unique fonction sphérique propre
ϕG
x,λ : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
vérifiant la condition spectrale
G
G
G
ϕG
x,λ ∗ ϕx = ϕx ∗ ϕx,λ = Sx (ϕx )(λ) · ϕx,λ ,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
et normalisée par la condition
ϕG
x,λ (1) = 1 .
On sait que pour tout élément gx ∈ G(Fx ), la fonction
Tbxd
→
C
λ
7→
ϕG
x,λ (gx )
est un polynôme sur le tore Tbxd invariant par l’action du groupe de Weyl Fx -rationnel SxG de G.
On a également introduit la mesure de Plancherel dλ sur le sous-tore réel Im Tbxd des éléments unitaires
G
se décompose
de Tbxd . Elle est invariante par SxG et caractérisée par la propriété que tout élément hx ∈ Hx,∅
spectralement en
Z
hx (gx ) =
Im Tbxd
dλ · SxG (hx )(λ) · ϕG
x,λ (gx ) ,
∀ gx ∈ G(Fx ) .
Passons maintenant au groupe linéaire GLr (A) vers lequel nous voudrions transférer les représentations
automorphes de G(A).
Commençons par choisir une fois pour toutes un caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C× .
Ses composantes locales sont des caractères additifs continus unitaires non triviaux
ψx : Fx → C× .
On note Nψx le conducteur de chaque telle composante ψx .
Considérant le radical unipotent supérieur Nr de GLr on sait que tout caractère
Nr (F )\Nr (A) → C×
278
s’écrit de manière unique comme le composé ψ` de ψ : A/F → C× et d’un homomorphisme algébrique défini
sur F
` : N r → A1 .
Comme le quotient Nr /[Nr , Nr ] est canoniquement isomorphe à (A1 )r−1 , la variété algébrique Hom (Nr , A1 )
des homomorphismes Nr → A1 est une variété torique de tore Tr /Zr qui s’identifie à (A1 )r−1 . En particulier,
le groupe des homomorphismes algébriques ` : Nr → A1 définis sur F s’identifie à F r−1 .
Un caractère
ψ` : Nr (F )\Nr (A) → C
est dit “régulier” [resp. “irrégulier”] s’il correspond à un homomorphisme ` : Nr → A1 dont toutes les
coordonnées dans F r−1 sont non nulles [resp. dont l’une au moins des r − 1 coordonnées est nulle]. Lorsque
` est le point base de la variété torique Hom (Nr , A1 ), c’est-à-dire lorsque toutes ses coordonnées valent 1,
le caractère régulier ψ` correspondant est noté ψ(r) .
Le caractère régulier standard
ψ(r) : N (r)(F )\Nr (A) → C×
étant déterminé, on rappelle :
Lemme VIII.1. –
En toute place x ∈ |F |, on a :
(i) Pour toute valeur propre λ0 ∈ Tbr = (C× )r , il existe une unique fonction
r,ψx
W = Wx,λ
0 : GLr (Fx ) → C
telle que
• W est invariante à droite par GLr (Ox ),
• W est une fonction de Whittaker au sens que
W (ux · gx ) = ψ(r) (ux ) · W (gx ) ,
∀ ux ∈ Nr (Fx ) ,
∀ gx ∈ GLr (Fx ) ,
• W est vecteur propre de valeur propre λ0 , c’est-à-dire
W ∗ ϕ0x = Sxr (ϕ0x )(λ0 ) · W ,
• W est normalisée par la condition
 r−1
µx

 0


W  ...

 .
 ..
0
0
µxr−2
..
.
...
...
..
.
..
.
..
.
...
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
...
..
.
µx
0

0
.. 

.

..  = 1

.


0
1
pour n’importe quel élément µx ∈ Fx× de valuation vx (µx ) = Nψx .
(ii) Pour tout élément gx ∈ GLr (Fx ), la fonction
Tbr
λ
0
→ C
r,ψx
7→ Wx,λ
0 (gx )
est un polynôme sur le tore complexe Tbr = (C× )r invariant par l’action du groupe symétrique Sr . 279
Nous pouvons maintenant introduire un “noyau local” du transfert non ramifié en toute place x ∈ |F |−Sρ :
Définition VIII.2. –
En toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , on appelle “noyau du transfert non ramifié en x par ρ :
b o ΓF → GLr (C)” la fonction
G
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
définie par l’intégrale
KψG,ρ
(gx , gx0 ) =
x
Z
Im Tbxd
r,ψx
0
dλex · ϕG
x,λex (gx ) · Wx,εx ·ρT ,x (λ) (gx )
où dλex désigne la mesure sur Im Tbxd qui se déduit de la mesure de Plancherel dλ par l’homomorphisme
λ 7→ λex .
Elle vérifie les propriétés suivantes :
(1) En la variable gx ∈ G(Fx ), elle est invariante à gauche et à droite par G(Ox ).
(2) En la variable gx0 ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox ) et de type de Whittaker au sens
que
KψG,ρ
(gx , ux gx0 ) = ψ(r) (ux ) · KψG,ρ
(gx , gx0 ) , ∀ ux ∈ Nr (Fx ) .
x
x
r
G
→ Hx,∅
au sens que
(3) Elle est compatible avec l’homomorphisme de transfert non ramifié local ρ∗x : Hx,∅
KψG,ρ
∗2 ϕ0x = KψG,ρ
∗1 ρ∗x (ϕ0x ) = ϕ∗x (ϕ0x ) ∗1 KψG,ρ
,
x
x
x
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
si ∗2 et ∗1 désignent respectivement les produits de convolution en les variables gx0 ∈ GLr (Fx ) et
gx ∈ G(Fx ).
(4) Pour tout gx0 ∈ GLr (Fx ), la fonction sphérique
G(Fx ) 3 gx 7→ KψG,ρ
(gx , gx0 )
x
est à support compact.
Si Nψx = 0 et gx0 = 1, elle se confond avec la fonction caractéristique 1IG(Ox ) de G(Ox ).
On note
Qr = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1

∗



 ..

= .

∗



0
...
...
...

∗ ∗ 


.. .. 

. .
∗ ∗



0 1
le sous-groupe “mirabolique” supérieur de GLr . Son quotient Nr \Qr s’identifie à Nr−1 \GLr−1 .
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition globale suivante, dans le cas sans ramification :
Définition VIII.3. –
Supposons que le groupe réductif quasi-déployé G sur F et la représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) sont partout non ramifiés, soit Sρ = ∅. Et considérons le sous-groupe ouvert compact
ρ:G
de G(A)
Y
K=
G(Ox ) .
x∈|F |
280
On appellera “partie principale d’un K-noyau du transfert par ρ” la fonction
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
définie par la somme localement finie

X
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X

Y

γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
 (g1−1 γ g2 , δg) .
KψG,ρ
x
x∈|F |
Elle vérifie les propriétés suivantes :
(1) Elle est invariante à droite par K × K × GLr (OA ).
(2) En toute place x ∈ |F |, on a
KψG,ρ ∗3 ϕ0x = KψG,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
KψG,ρ ∗2 ϕx = KψG,ρ ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
,
où ∗3 , ∗2 et ∗1 désignent respectivement les produits de convolution en les variables g ∈ GLr (Fx ),
G
g2 ∈ G(Fx ) et g1 ∈ G(F1 ), et où ϕx 7→ ϕ∨
x désigne l’automorphisme de Hx,∅ défini par le changement
−1
de variable g1 7→ g1 .
(3) La fonction KψG,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ).
(4) Son ψ(r) -coefficient unipotent régulier
(g1 , g2 , g) 7→
ψ
W(r)
KψG,ρ (g1 , g2 , g)
Z
=
Nr (F )\Nr (A)
−1
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
est égal à


Y
X

γ∈G(F )
 (g1−1 γ g2 , g) ,
KψG,ρ
x
x∈|F |
et pour tout caractère
ψ` : Nr (F )\Nr (A) → C×
qui est irrégulier, le coefficient unipotent correspondant
Z
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ`−1 (u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
Nr (F )\Nr (A)
est uniformément nul.
Dans le cas présent du transfert sans ramification, notre objectif est de démontrer comme conséquence
des formules de Poisson conjecturées au paragraphe VII.4 :
Théorème conditionnel VIII.4. –
Q
Dans les conditions de la définition VIII.3 ci-dessus, avec donc Sρ = ∅ et K =
G(Ox ), il est possible
x∈|F |
de construire une fonction
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
qui est une “partie complémentaire d’un K-noyau du transfert par ρ” au sens qu’elle vérifie les propriétés
suivantes :
281
(1) Comme KψG,ρ , la fonction KψG,ρ est invariante à droite par K × K × GLr (OA ).
(2) Comme pour KψG,ρ , on a en toute place x ∈ |F |
KψG,ρ ∗3 ϕ0x = KψG,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
KψG,ρ ∗2 ϕx = KψG,ρ ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
G
.
∀ ϕx ∈ Hx,∅
(3) Comme KψG,ρ , la fonction KψG,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ).
(4) Le ψ(r) -coefficient unipotent régulier de KψG,ρ
ψ
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
(g1 , g2 , g) 7→ W(r)
Z
Nr (F )\Nr (A)
−1
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
est uniformément nul.
(5) La somme
K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ
est invariante à gauche par (G × G × GLr )(F ). Autrement dit, c’est une fonction automorphe sur
(G × G × GLr )(A).
Remarque : Dans ces conditions, la fonction automorphe
K G,ρ : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
est invariante à droite par K × K × GLr (OA ) et elle vérifie les mêmes propriétés (2) que KψG,ρ et KψG,ρ . Enfin,
son ψ(r) -coefficient unipotent régulier est
ψ
ψ
W(r)
K G,ρ = W(r)
KψG,ρ : (G × G × GLr )(A) → C


Y G,ρ
X

K  (g1−1 γ g2 , g) .
(g1 , g2 , g) 7→
ψx
x∈|F |
γ∈G(F )
On appelle K G,ρ un K-noyau du transfert automorphe (partout non ramifié) par ρ.
2
Construction relative au sous-groupe mirabolique opposé
Le sous-groupe “mirabolique” de GLr opposé du sous-groupe mirabolique supérieur Qr est


∗ ... ∗ 0 




 ..

.. .. 
.

op
op
op
. . .
Qr = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1 = 

∗ . . . ∗ 0






∗ ... ∗ 1
Si

0
 ..
.
wr = 

0
1
...
.
..
0
.
..
.
.
..
...
..
0
1


0

.. 
.
et
wr−1
0
282

0
 ..
.

=
0

1
0

0
.
0 .. 

. . . .. .. 
.
..
. .

0 . . . 0 0
... ... 0 1
...
.
..
0
.
..
1
désignent les matrices d’inversion des coordonnées de GLr et GLr−1

0 ... ... 0
1 0 . . . 0


.
..
.
. . . ..
αr = wr wr−1 = 
0
. .
.. ... 0
 ..
0 ... 0 1
plongé dans GLr , et que

1
0

.. 
.

.. 
.
0
désigne leur composé, on a
−1
−1
Qop
r = (αr Nr αr ) · GLr−1 = GLr−1 · (αr Nr αr )
et
(αr−1 Nr αr ) ∩ GLr−1 = Nr−1 .
On considère le même groupe réductif quasi-déployé G sur F et la même représentation de transfert “bien
disposée”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qu’au paragraphe précédent. On note toujours Sρ l’ensemble fini des places de F en lesquelles le groupe G
ou la représentation ρ sont ramifiés.
On considère également le même caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C×
et ses composantes locales ψx : Fx → C× , de conducteur Nψx , en les places x ∈ |F |.
En toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , la définition VIII.2 du paragraphe précédent a introduit un
“noyau du transfert non ramifié en x par ρ”
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
défini par la formule intégrale
KψG,ρ
(gx , gx0 ) =
x
Z
Im Tbxd
r,ψx
0
dλex · ϕG
x,λex (gx ) · Wx,εx ·ρT ,x (λ) (gx ) .
Posons parallèlement à la définition VIII.3 du précédent paragraphe :
Définition VIII.5. –
Supposons comme dans la définition VIII.3 que le groupe réductif G sur F et la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) sont partout non ramifiés, soit Sρ = ∅, et considérons le sous-groupe ouvert compact
ρ:G
de G(A)
Y
K=
G(Ox ) .
x∈|F |
On appellera “partie principale opposée d’un K-noyau de transfert par ρ” la fonction
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
K
ψ
définie par la somme localement finie

e G,ρ (g1 , g2 , g)
K
ψ
=
X
X

Y

γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
Elle vérifie les propriétés suivantes :
283
x∈|F |
 (g1−1 γ g2 , αr
KψG,ρ
x
δg) .
(1) Elle est invariante à droite par K × K × GLr (OA ).
(2) En toute place x ∈ |F |, on a
e G,ρ ∗3 ϕ0x = K
e G,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
K
ψ
ψ
e G,ρ ∗2 ϕx = K
e G,ρ ∗1 ϕ∨
K
x ,
ψ
ψ
r
,
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
G
.
∀ ϕx ∈ Hx,∅
e G,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qop (F ).
(3) La fonction K
r
ψ
(4) Son ψ(r) -coefficient unipotent régulier
Z
(g1 , g2 , g) 7→
Nr (F )\Nr (A)
−1
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr · g)
du · ψ(r)
(u) · K
ψ
est égal à

X

Y

γ∈G(F )
 (g1−1 γ g2 , αr
KψG,ρ
x
g) ,
x∈|F |
et pour tout caractère
ψ` : Nr (F )\Nr (A) → C×
qui est irrégulier, le coefficient unipotent correspondant
Z
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr · g)
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ`−1 (u) · K
ψ
Nr (F )\Nr (A)
est uniformément nul.
Comme conséquence des formules de Poisson conjecturées au paragraphe VII.4, nous allons démontrer
dans ce chapitre le résultat suivant qui implique le théorème conditionnel VIII.4 du paragraphe précédent :
Théorème conditionnel VIII.6. –
Dans les conditions de la définition VIII.3 du paragraphe précédent et de la définition VIII.5 ci-dessus,
il est possible de construire deux fonctions
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
et
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
K
ψ
qui vérifient les propriétés suivantes :
(1) Toutes deux sont invariantes à droite par K × K × GLr (OA ).
(2) Si H désigne l’une de ces deux fonctions, on a en toute place x ∈ |F |
H ∗3 ϕ0x = H ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
H ∗2 ϕx = H ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
.
e G,ρ
(3) La fonction KψG,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ) comme KψG,ρ , et la fonction K
ψ
e G,ρ .
est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qop
r (F ) comme K
ψ
284
(4) Les coefficients unipotents réguliers
Z
(g1 , g2 , g) 7→
Nr (F )\Nr (A)
et
Z
(g1 , g2 , g) 7→
Nr (F )\Nr (A)
−1
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
−1
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr g)
du · ψ(r)
(u) · K
ψ
sont uniformément nuls.
(5) On a l’égalité entre fonctions sur G(A) × G(A) × GLr (A)
e G,ρ + K
e G,ρ .
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
Remarque : Ce théorème conditionnel implique le théorème conditionnel VIII.4 car GLr (F ) est engendré
par ses sous-groupes Qr (F ) et Qop
r (F ).
3
Expression locale des intégrales contre des fonctions tests non
ramifiées
On considère toujours le groupe réductif quasi-déployé G sur F et la représentation de transfert “bien
b o ΓF → GLr (C).
disposée” ρ : G
Comme dans la définition VIII.3 du paragraphe VIII.1 et la définition VIII.5
Q du paragraphe VIII.2, on
suppose que G et ρ sont partout non ramifiés, soit Sρ = ∅, et on note K =
G(Ox ).
x∈|F |
Dans ces deux définitions, on a introduit la “partie principale d’un K-noyau du transfert par ρ”
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A)/K × K × GLr (OA ) → C
et la “partie principale opposée d’un K-noyau du transfert par ρ”
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A)/K × K × GLr (OA ) → C .
ψ
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), les deux fonctions
GLr−1 (A) 3 g 0
7→
KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
g0
7→
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
K
ψ
et
sont invariantes à gauche par GLr−1 (F ) et invariantes à droite par le sous-groupe ouvert compact (g GLr (OA ) g −1 )
∩ GLr−1 (A) de GLr−1 (A).
Pour toute fonction localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
on peut former les produits scalaires
Z
G,ρ,h
Kψ
(g1 , g2 , g) =
GLr−1 (F )\GLr−1 (A)
Z
=
GLr−1 (A)
dg 0 ·
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) ·
KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
285
X
γ∈GLr−1 (F )
· h(g 0 )
h(γ · g 0 )
et
Z
e G,ρ,h (g1 , g2 , g)
K
ψ
=
GLr−1 (F )\GLr−1 (A)
Z
=
GLr−1 (A)
X
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) ·
dg 0 · K
ψ
h(γ · g 0 )
γ∈GLr−1 (F )
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) .
dg 0 · K
ψ
Rappelons que l’on a par définition

X
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X

Y

x∈|F |
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
et

e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
X
 (g1−1 γ g2 , δg)
KψG,ρ
x

Y

 (g1−1 γ g2 , wr wr−1 δg) .
KψG,ρ
x
x∈|F |
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
On en déduit :
Lemme VIII.7. –
Considérons comme ci-dessus des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi qu’une fonction
produit localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C .
x∈|F |
Alors :
(i) Le produit scalaire
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
Z
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
est égal à la somme
X
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ)
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
où
G,ρ,h
Wψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
est la fonction définie par l’intégrale

G,ρ,h
Wψ,g
(m, m0 ) =
1 ,g2 ,g
Z

Y
dg 0 · 
GLr−1 (A)
 (g1−1 m−1 g2 , g 0 g) · h(m0−1 g 0 )
KψG,ρ
x
x∈|F |
c’est-à-dire le produit
Y
G,ρ,h
Wψ,g
=
1 ,g2 ,g
x
WψG,ρ,h
x ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
des fonctions locales
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) →
x ,g1 ,g2 ,g
(mx , m0x ) 7→
C
Z
GLr−1 (Fx )
286
0
0−1 0
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 m−1
x g2 , gx g) · hx (mx gx ) .
x
(ii) De même, le produit scalaire
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
GLr−1 (A)
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
dg 0 · K
ψ
est égal à la somme
X
X
f G,ρ,h (γ, δ)
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
où
f G,ρ,h : G(A) × GLr−1 (A) → C
W
ψ,g1 ,g2 ,g
est la fonction définie par l’intégrale

f G,ρ,h (m, m0 )
W
ψ,g1 ,g2 ,g
Z
0
dg · 
=
GLr−1 (A)

Y
 (g1−1 m g2 , wr
KψG,ρ
x
x∈|F |


Z
dg 0 · 
=
wr−1 g 0 g) · h(m0 g 0 )
GLr−1 (A)
Y
 (g1−1 m g2 , wr t g 0−1 g) · h(m0 wr−1 t g 0−1 ) ,
KψG,ρ
x
x∈|F |
c’est-à-dire le produit
Y
f G,ρ,h =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
f G,ρ,hx
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
des fonctions locales
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
Z
(mx , m0x ) 7→
GLr−1 (Fx )
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , wr t gx0−1 g) · hx (m0x wr−1 t gx0−1 ) .
x
Remarque : En chaque place x ∈ |F |, la fonction
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
est “de ψ(r−1) -type de Whittaker” au sens que
x
x
WψG,ρ,h
(mx , ux m0x ) = ψ(r−1) (ux ) · WψG,ρ,h
(mx , m0x ) ,
x ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
De même, la fonction
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
est “de ψ(r−1) -type de Whittaker droit” au sens que
0
f G,ρ,hx (mx , m0x u−1
f G,ρ,hx
W
x ) = ψ(r−1) (ux ) · Wψx ,g1 ,g2 ,g (mx , mx ) ,
ψx ,g1 ,g2 ,g
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
Considérons comme fixés les éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A) ainsi que la fonction localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C .
x∈|F |
287
En toute place x ∈ |F |, il leur est associé les deux fonctions
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x
(mx , m0x ) 7→ WψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
f G,ρ,hx (mx , m0x )
(mx , m0x ) 7→ W
ψx ,g1 ,g2 ,g
et donc aussi les restrictions de celles-ci au sous-groupe
Gr−1 (Fx ) = {(mx , m0x ) ∈ G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) | detG (mx ) = det(m0x )}
des points à valeurs dans Fx du groupe croisé Gr−1 de degré r − 1 de G.
x
f G,ρ,hx
Nous voulons donner les décompositions spectrales des fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g sur G(Fx ) ×
x ,g1 ,g2 ,g
GLr−1 (Fx ), et donc aussi sur Gr−1 (Fx ), en fonction des décompositions spectrales du noyau KψG,ρ
: G(Fx ) ×
x
GLr (Fx ) → C et de la fonction localement constante à support compact hx : GLr−1 (Fx ) → C.
Par construction, le noyau local non ramifié KψG,ρ
est décomposé spectralement en
x
KψG,ρ
(gx , gx0 ) =
x
Z
Im Tbxd
r,ψx
0
dλex · ϕG
x,λex (gx ) · Wx,εx ·ρT ,x (λ) (gx ) .
Quant à la fonction hx , elle est invariante à gauche et à droite par GLr−1 (Ox ), et donc élément de
r−1
l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
, en presque toute place x ∈ |F |. Supposons d’abord qu’il en soit ainsi en
la place considérée. Alors la fonction hx se décompose spectralement en
Z
0
hx (gx0 ) =
dz · Sxr−1 (hx )(z) · ϕr−1
x,z (gx ) .
Im Tbr−1
Pour tout élément m0x ∈ GLr−1 (Fx ), la fonctionnelle
ψ −1
x
W(r−1)
introduite à la suite du lemme IV.16 du paragraphe IV.3 s’applique non seulement à la fonction localement
constante à support compact
0
0−1 0
hx (m0−1
x •) : gx 7→ hx (mx gx )
mais aussi aux fonctions de type de Hecke
0−1
0
r−1
0−1 0
ϕr−1
x,z (mx •) : gx 7→ ϕx,z (mx gx )
indexés par les z ∈ Tbr−1 . De plus, d’après la proposition IV.17, la fonction
Z
−1
ψx
0
0
W(r−1)
hx (m0−1
•)
:
g
→
7
dux · ψ(r−1) (ux ) h0x (m0−1
x
x
x ux gx )
Nr−1 (Fx )
admet la décomposition spectrale
−1
ψx
W(r−1)
hx (m0−1
x
Z
•) =
Im Tbr−1
ψ −1
r−1
x
dz · Sxr−1 (hx )(z) · W(r−1)
ϕx,z
(m0−1
x •) .
On connaı̂t le résultat suivant de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika :
Proposition VIII.8. –
Considérons des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ). Alors :
288
(i) L’intégrale
Z
ψ −1
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
r,ψx 0
r−1
0−1
x
dgx0 · Wx,λ
•)(gx0 ) ,
0 (gx gx ) · W(r−1) ϕx,z (mx
que l’on peut aussi noter
Z
GLr−1 (Fx )
r,ψx 0
r−1
0−1 0
dgx0 · Wx,λ
gx ) ,
0 (gx gx ) · ϕx,z (mx
converge absolument dès que λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ Tbr = (C× )r et z = (z1 , . . . , zr−1 ) ∈ Tbr−1 = (C× )r−1
vérifient
|λ0i zj | 1 ,
1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ r − 1,
et elle définit une fraction rationnelle en λ0 ∈ Tbr et z ∈ Tbr−1 invariante par Sr × Sr−1 .
(ii) Cette fraction rationnelle est de la forme
ψx ,r,r−1
Lx (λ0 , z, qx−1/2 ) · Wx,λ
(gx , m0x )
0 ,z
où
Y
Lx (λ0 , z, Z) =
1≤i≤r
1≤j≤r−1
1
1 − λ0i zj Z
et où la fonction
Tbr × Tbr−1 × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
ψx ,r,r−1
(λ0 , z, gx , m0x ) 7→ Wx,λ
(gx , m0x )
0 ,z
vérifie les propriétés suivantes :
• c’est un polynôme en les variables λ0 ∈ Tbr et z ∈ Tbr−1 invariant par Sr × Sr−1 ,
• elle est invariante à droite par GLr (Ox ) en la variable gx ∈ GLr (Fx ),
• en la variable m0x ∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) et appartient au
GLr−1 −1
ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée IndBr−1
(z ), avec en particulier
ψx ,r,r−1
ψx ,r,r−1
Wx,λ
(gx , ux m0x ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,λ
(gx , m0x ) ,
0 ,z
0 ,z
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
Rappelons que si Kx0 est un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Fx ), on a introduit dans le paragraphe IV.5 l’opérateur
!
Z
1
0
0
0
dkx · Wx (kx gx )
Wx 7→ Kx Wx = gx 7→
vol (Kx0 ) Kx0
qui transforme toute fonction de type de Whittaker sur GLr−1 (Fx ) en une fonction de type de Hecke.
D’après le lemme IV.23 du paragraphe IV.5, il est associé à Kx0 un polynôme invariant par Sr−1
ψ ,Kx0
Px,∅x
: Tbr−1 → C
tel que, pour tout z ∈ Tbr−1 , l’endomorphisme composé
ψx
Wx 7→ W(r−1)
Kx0 Wx
ψ ,Kx0
GL
r−1
du ψx -modèle de Whittaker de IndBr−1
(z) soit la multiplication par le scalaire Px,∅x
On peut compléter la proposition précédente par le lemme suivant :
289
(z).
Lemme VIII.9. –
(i) Soit Kx0 un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Ox ) tel que le polynôme symétrique
ψ ,Kx0
Px,∅x
: Tbr−1 → C
ne soit pas nul.
Alors, pour tous λ0 ∈ Tbr , gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), le polynôme symétrique
Z
1
ψx ,r,r−1
ψx ,r,r−1
Tbr−1 3 z 7→ Kx0 Wx,λ
(gx , m0x ) =
dkx · Wx,λ
(gx , kx m0x )
0 ,z
0 ,z
vol (Kx0 ) Kx0
ψ ,Kx0
est divisible par le polynôme Px,∅x
.
ψ ,Kx0
(ii) Si Nψx = 0, on peut prendre Kx0 = GLr−1 (Ox ) et, dans ce cas, le polynôme Px,∅x
égal à 1.
est uniformément
Si de plus gx ∈ GLr (Ox ), les fonctions sphériques
ψx ,r,r−1
GLr−1 (Fx ) 3 m0x 7→ Kx0 Wx,λ
(gx , m0x ) ,
0 ,z
z ∈ Tbr−1 ,
valent 1 au point m0x = 1 et se confondent donc avec les fonctions propres normalisées
r−1
0
m0x 7→ ϕx,z
−1 (mx ) ,
z ∈ Tbr−1 .
On déduit de la proposition VIII.8 et du lemme VIII.9 ci-dessus :
Corollaire VIII.10. –
Étant donnés des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi qu’une fonction test localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
considérons une place x ∈ |F | où le facteur local hx est sphérique et admet donc la décomposition spectrale
Z
0
hx (gx0 ) =
dz · Sxr−1 (hx )(z) · ϕr−1
x,z (gx ) .
Im Tbr−1
Alors on a :
(i) La fonction
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
admet la décomposition spectrale
x
WψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
Z
=
Im Tbxd
dλex ·
Z
−1 −1
r−1
dz · ϕG
(hx )(z)
x,λex (g1 mx g2 ) · Sx
Im Tbr−1
−1
ψx ,r,r−1
(g, m0x )
· Lx εx · ρT,x (λ), z, qx 2 · Wx,ε
x ·ρT ,x (λ),z
où les notations sont celles de la proposition VIII.8.
−1
Par conséquent, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction, multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 ,
est “de type L torique à la Whittaker” au sens de la définition V.33 du paragraphe V.6.
290
ψ ,Kx0
(ii) Si Kx0 est un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Ox ) tel que le polynôme symétrique Px,∅x
Tbr−1 → C ne soit pas nul, on peut définir une fonction de type de Hecke
:
G,ρ,h ,K 0
x
x
Hψx ,g1 ,g
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
2 ,g
par sa décomposition spectrale
Z
G,ρ,hx ,Kx0
Hψx ,g1 ,g
(mx , m0x )
2 ,g
=
dλ
Im Tbxd
ex
Z
·
−1 −1
r−1
dz · ϕG
(hx )(z)
x,λex (g1 mx g2 ) · Sx
Im Tbr−1
0
Kx0 W ψx ,r,r−1
x,εx ·ρT ,x (λ),z (g, mx )
− 21
·
.
· Lx εx · ρT,x (λ), z, qx
0
ψ ,K
Px,∅x x (z)
−1
La restriction de cette fonction à Gr−1 (Fx ), multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 , est “de
type L torique” au sens de la définition V.30(ii) du paragraphe V.6, et on a
G,ρ,h ,K 0
ψx
x
x
x
W(r−1)
Hψx ,g1 ,g
= WψG,ρ,h
.
2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
(iii) Si Nψx = 0, on peut prendre Kx0 = GLr−1 (Ox ).
Dans ce cas, et si de plus les composantes en x de g1 , g2 et g sont respectivement éléments de G(Ox )
et GLr (Ox ) et que hx = 1IGLr−1 (Ox ) , soit Sxr−1 (hx ) = 1, la fonction
−1
G,ρ,h ,K 0
x
x
(mx , m0x )
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ |detG (mx )|x 2 · Hψx ,g1 ,g
2 ,g
n’est autre que “la fonction de type L torique standard sur Gr−1 (Fx )” au sens de la définition VII.24(i)
du paragraphe VII.3.
Nous voudrions maintenant donner la décomposition spectrale de la fonction
Z
G,ρ,hx
0
f
Wψx ,g1 ,g2 ,g : (mx , mx ) 7→
dgx0 · KψG,ρ
g1−1 mx g2 , wr t gx0−1 g · hx (m0x wr−1 t gx0−1 )
x
GLr−1 (Fx )
sur (G × GLr−1 )(Fx ) ou son sous-groupe Gr−1 (Fx ), lorsque la fonction hx est sphérique.
Toujours d’après Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika, on a le parallèle suivant de la proposition VIII.8 :
Proposition VIII.11. –
Considérons des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ). Alors :
(i) L’intégrale
Z
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
r,ψx
ψx
t 0−1
0
t
−1
dgx0 · Wx,λ
gx gx ) · W(r−1)
ϕr−1
)(gx0 ) ,
0 (wr
x,z (mx wr−1 (•)
que l’on peut aussi noter
Z
GLr−1 (Fx )
r,ψx
t 0−1
r−1
dgx0 · Wx,λ
gx gx ) · ϕx,z
(m0x wr t gx0−1 ) ,
0 (wr
converge absolument dès que λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ Tbr = (C× )r et z = (z1 , . . . , zr−1 ) ∈ Tbr−1 = (C× )r−1
vérifient
|λ0i zj | 1 , 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ r − 1 ,
et elle définit une fraction rationnelle en λ0 ∈ Tbr et z ∈ Tbr−1 invariante par Sr × Sr−1 .
291
(ii) Cette fraction rationnelle est de la forme
f ψx ,r,r−1
Lx (λ0−1 , z −1 , qx−1/2 ) · W
(gx , m0x )
x,λ0 ,z
où
1
Y
Lx (λ0−1 , z −1 , Z) =
1≤i≤r
1≤j≤r−1
1−
−1
λ0−1
i zj Z
et où la fonction
Tbr × Tbr−1 × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
f ψx ,r,r−1
(λ0 , z, gx , m0x ) 7→ W
(gx , m0x )
x,λ0 ,z
vérifie les propriétés suivantes :
• c’est un polynôme en les variables λ0 ∈ Tbr et z ∈ Tbr−1 invariant par Sr × Sr−1 ,
• en la variable gx ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox ),
∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) et appartient au
• en la variable m0−1
x
GLr−1 −1
ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée IndBr−1
(z ), avec en particulier
f ψx ,r,r−1
f ψx ,r,r−1 (gx , m0x ) ,
W
(gx , m0x u−1
x ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,λ0 ,z
x,λ0 ,z
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
On peut compléter cette proposition par le parallèle suivant du lemme VIII.9 :
Lemme VIII.12. –
(i) Soit Kx0 un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Ox ) tel que le polynôme symétrique
ψ ,Kx0
Px,∅x
: Tbr−1 → C
ne soit pas nul.
Alors pour tous λ0 ∈ Tbr , gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), le polynôme symétrique
Z
1
0
0
f ψx ,r,r−1
f ψx ,r,r−1
Tbr−1 3 z 7→ W
K
(g
,
m
)
=
dkx · W
(gx , m0x kx )
x x
x
x,λ0 ,z
x,λ0 ,z
vol (Kx0 ) Kx0
ψ ,Kx0
est divisible par le polynôme Px,∅x
.
ψ ,Kx0
(ii) Si Nψx = 0, on peut prendre Kx0 = GLr−1 (Ox ) et, dans ce cas, le polynôme Px,∅x
égal à 1.
est uniformément
Si de plus gx ∈ GLr (Ox ), les fonctions sphériques
f ψx ,r,r−1
GLr−1 (Fx ) 3 m0x 7→ W
Kx0 (gx , m0x ) ,
x,λ0 ,z
z ∈ Tbr−1 ,
valent 1 au point m0x = 1 et se confondent donc avec les fonctions propres normalisées
0
m0x 7→ ϕr−1
x,z (mx )
z ∈ Tbr−1 .
On déduit de la proposition VIII.11 et du lemme VIII.12 ci-dessus :
Corollaire VIII.13. –
Dans les conditions du corollaire VIII.10, on a :
292
(i) La fonction
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
admet la décomposition spectrale
Z
f G,ρ,hx (mx , m0x )
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
dλex ·
=
Z
Im Tbxd
−1
r−1
dz · ϕG
(hx )(z)
x,λex (g1 mx g2 ) · Sx
Im Tbr
1
0
−1 −1 − 2
f ψx ,r,r−1
·W
· Lx ε−1
, z , qx
x · ρT,x (λ)
x,εx ·ρT ,x (λ),z (g, mx )
où les notations sont celles de la proposition VIII.11.
−1
Par conséquent, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction, multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 ,
est “de type L torique à la Whittaker droit” au sens de la discussion qui précède la définition VI.20 du
paragraphe VI.4.
ψ ,Kx0
(ii) Si Kx0 est un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Ox ) tel que le polynôme symétrique Px,∅x
Tbr−1 → C ne soit pas nul, on peut définir une fonction de type de Hecke
:
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
par sa décomposition spectrale
Z
0
e G,ρ,hx ,Kx (mx , m0 )
H
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
=
dλex ·
Z
Im Tbxd
−1
r−1
dz · ϕG
(hx )(z)
x,λex (g1 mx g2 ) · Sx
Im Tbr−1
0
0
f ψx ,r,r−1
W
1
x,εx ·ρT ,x (λ),z Kx (g, mx )
−1 −1 − 2
·
.
· Lx ε−1
·
ρ
(λ)
,
z
,
q
x
T,x
x
ψ ,K 0
Px,∅x x (z)
−1
La restriction de cette fonction à Gr−1 (Fx ), multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 , est “de
type L torique” au sens de la définition V.30(ii) du paragraphe V.6, et on a
0
f ψx H
e G,ρ,hx ,Kx f G,ρ,hx
W
(r−1) ψx ,g1 ,g2 ,g = Wψx ,g1 ,g2 ,g .
(iii) Si Nψx = 0, on peut prendre Kx0 = GLr−1 (Ox ).
Dans ce cas, et si de plus les composantes en x de g1 , g2 et g sont respectivement éléments de G(Ox )
et GLr (Ox ) et que hx = 1IGLr−1 (Ox ) , soit Sxr−1 (hx ) = 1, la fonction
1
0
−
e G,ρ,hx ,Kx (mx , m0x )
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ |detG (mx )|x 2 · H
ψx ,g1 ,g2 ,g
n’est autre que “la fonction de type L torique standard sur Gr−1 (Fx )” au sens de la définition VII.24(i)
du paragraphe VII.3.
293
4
Expression locale des intégrales contre des fonctions tests éventuellement ramifiées
On considère toujours le groupe réductif quasi-déployé G sur F et la représentation de transfert “bien
b o ΓF → GLr (C). Tous deux sont supposés partout non ramifiés, soit Sρ = ∅.
disposée” ρ : G
Étant donnés des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et une fonction produit localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
nous continuons de nous intéresser aux fonctions locales
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C ,
x ,g1 ,g2 ,g
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C ,
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
introduites dans le lemme VIII.7 du paragraphe précédent.
Lorsque la fonction hx : GLr−1 (Fx ) → C est sphérique, les corollaires VIII.10 et VIII.13 du paragraphe
x
f G,ρ,hx
précédent ont donné les décompositions spectrales des fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g à partir de celles
x ,g1 ,g2 ,g
G,ρ
de la fonction hx et du noyau local Kψx : G(Fx ) × GLr (Fx ) → C.
L’objet du présent paragraphe est d’étendre ces résultats au cas général où la fonction localement
constante à support compact
hx : GLr−1 (Fx ) → C
est arbitraire.
D’après le corollaire IV.13 du paragraphe IV.2 complété par le corollaire IV.20 du paragraphe IV.4, une
telle fonction hx admet une décomposition spectrale de la forme
X Z
dπ · hx,r,π0 (π, gx0 )
hx (gx0 ) =
(r,π0 )
Im [π0 ]
où (r, π0 ) décrit une famille de représentants des classes d’équivalence faible de représentations de carré
intégrable de sous-groupes de Levy standard GLr (Fx ) de GLr−1 (Fx ), dπ désigne la mesure de Plancherel
sur chaque variété Im [π0 ] et les fonctions
hx,r,π0 : [π0 ] × GLr−1 (Fx ) → C
vérifient les propriétés suivantes :
(1) Elles sont uniformément nulles en dehors d’un ensemble fini de représentants (r, π0 ), et toutes invariantes à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Fx ).
(2) Pour tout π ∈ [π0 ], la fonction
GLr−1 (Fx ) 3 gx0 7→ hx,r,π0 (π, gx0 )
est une combinaison linéaire finie de coefficients matriciels de la représentation Indrr−1 (π).
(3) Pour tout gx0 ∈ GLr−1 (Fx ), la fonction
[π0 ] 3 π 7→ hx,r,π0 (π, gx0 )
est un polynôme invariant par l’action du groupe fini Fixe (r, π0 ).
294
(4) Pour tout caractère additif continu non trivial
ψx0 : Fx → C× ,
pour tous éléments (r1 , π1 ) et (r2 , π2 ) de la famille de représentants choisis, et pour toutes représentations
π10 ∈ [π1 ] et π20 ∈ [π2 ] telles que π20 soit une “induite à la Steinberg” de π10 , on a l’identité
ψ0
ψ0
x
x
hx,r2 ,π2 (π20 •) .
W(r−1)
hx,r1 ,π1 (π10 , •) = W(r−1)
Pour tout élément m0x ∈ GLr−1 (Fx ), il résulte de la proposition IV.17 du paragraphe IV.3 que la fonction
Z
−1
ψx
0−1
0
0
W(r−1) hx (mx •) : gx 7→
dux · ψ(r−1) (ux ) · hx (m0−1
x ux gx )
Nr−1 (Fx )
admet la décomposition spectrale
−1
ψx
W(r−1)
hx (m0−1
x
•) =
X Z
(r,π0 )
Im [π0 ]
ψ −1
x
dπ · W(r−1)
hx (m0−1
x •) .
Comme on a rappelé au paragraphe IV.6, chaque élément π de la classe [π0 ] d’un représentant (r, π0 )
possède un facteur L local de la forme
Y
1
Lx (π, Z) =
1 − zπi · Z
1≤i≤rπ
où le nombre rπ = rπ0 de valeurs propres zπi ne dépend que de la classe [π0 ]. L’application
[π0 ] 3 π 7→ Lx (π, Z)
peut être vue comme une série formelle en Z dont les coefficients sont des polynômes sur [π0 ] invariants par
Fixe (r, π0 ).
Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika ont démontré la version plus générale suivante de la proposition VIII.8 du paragraphe précédent :
Proposition VIII.14. –
Considérons une fonction localement constante à support compact hx : GLr−1 (Fx ) → C décomposée
spectralement en
X Z
hx (•) =
dπ · hx,r,π0 (π, •) ,
(r,π0 )
Im [π0 ]
et des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ).
Alors on a pour tout représentant (r, π0 ) :
(i) L’intégrale
Z
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
ψ −1
r,ψx 0
0−1
x
dgx0 · Wx,λ
•)(gx0 ) ,
0 (gx gx ) · W(r−1) hx,r,π0 (π, mx
que l’on peut aussi noter
Z
GLr−1 (Fx )
r,ψx 0
0−1 0
gx ) ,
dgx0 · Wx,λ
0 (gx gx ) · hx,r,π0 (π, mx
converge absolument dès que λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ Tbr = (C× )r et π = (π0 )z , z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k ∼
=
[π0 ], vérifient
|λ0i zj | 1 ,
1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ k,
et elle définit une fraction rationnelle en λ0 ∈ Tbr et π ∈ [π0 ] ∼
= (C× )k invariante par Sr × Fixe (r, π0 ).
295
(ii) Cette fraction rationnelle est de la forme
−1
ψx ,r,hx
Lx λ0 , π, qx 2 · Wx,λ
(gx , m0x )
0 ,π
où
Lx (λ0 , π, Z) =
1
Y
1≤i≤r
1≤j≤rπ
0
1 − λ0i zπj Z
=
Y
Lx (π, λ0i Z)
1≤i≤r
et où la fonction
Tbr × [π0 ] × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
ψx ,r,hx
(λ0 , π, gx , m0x ) 7→ Wx,λ
(gx , m0x )
0 ,π
vérifie les propriétés suivantes :
• c’est un polynôme en les variables λ0 ∈ Tbr et π ∈ [π0 ] invariant par Sr × Fixe (r, π0 ),
• en la variable gx ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox ),
• en la variable m0x ∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact
(π ∨ ),
de GLr−1 (Fx ) et appartient au ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée Indr−1
r
avec en particulier
ψx ,r,hx
ψx ,r,hx
Wx,λ
(gx , ux m0x ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,λ
(gx , m0x ) ,
0 ,π
0 ,π
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
Considérons un sous-groupe ouvert compact Kx0 de GLr−1 (Fx ) et l’opérateur associé
!
Z
1
0
0
0
Wx 7→ Kx Wx = gx 7→
dkx · Wx (kx gx )
vol (Kx0 ) Kx0
qui transforme les fonctions de type de Whittaker sur GLr−1 (Fx ) en fonctions de type de Hecke.
D’après le lemme IV.23 du paragraphe IV.5, il existe pour tout représentant (r, π0 ) un polynôme
ψ ,K 0
x
x
Px,r,π
0 : [π0 ] → C
invariant par Fixe (r, π0 ), tel que pour toute représentation π ∈ [π0 ], l’endomorphisme composé
ψx
Wx 7→ W(r−1)
Kx0 Wx
ψ ,K 0
x
x
(π) soit la multiplication par le scalaire Px,r,π
du ψ(r−1) -modèle de Whittaker de Indr−1
0 (π).
r
De plus, d’après le lemme IV.26 du paragraphe IV.5, il est possible de choisir Kx0 de façon que, pour tout
représentant (r, π0 ) qui apparaı̂t dans la décomposition de hx , le polynôme
ψ ,K 0
x
x
Px,r,π
0 : [π0 ] → C
ne soit pas uniformément nul.
On peut compléter la proposition précédente par le lemme suivant :
Lemme VIII.15. –
Soit Kx0 un sous-groupe ouvert compact de GLr−1 (Ox ) tel que, pour tout représentant (r, π0 ) qui apparaı̂t
ψx ,Kx0
dans la décomposition spectrale de hx , le polynôme Px,r,π
0 : [π0 ] → C ne soit pas nul.
296
Alors, pour tout tel représentant (r, π0 ), tout λ0 ∈ Tbr et tous gx ∈ GLr (Fx ), m0x ∈ GLr−1 (Fx ), le polynôme
Z
1
ψx ,r,hx
ψx ,r,hx
[π0 ] 3 π 7→ Kx0 Wx,λ
(gx , m0x ) =
·
dkx · Wx,λ
(gx , kx m0x )
0 ,π
0 ,π
vol (Kx0 ) Kx0
ψ ,K 0
x
x
est divisible par le polynôme Px,r,π
0 .
On déduit de la proposition VIII.14 et du lemme VIII.15 ci-dessus :
Corollaire VIII.16. –
Étant donnés des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi qu’une fonction test localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
considérons une place arbitraire x ∈ |F | et la décomposition spectrale du facteur local hx en cette place :
X Z
hx (•) =
dπ · hx,r,π0 (π, •)
Im [π0 ]
(r,π0 )
Alors on a :
(i) La fonction
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
admet la décomposition spectrale
x
WψG,ρ,h
(mx , m0x ) =
x ,g1 ,g2 ,g
X Z
(r,π0 )
dλex ·
Im Tbxd
Z
−1 −1
dπ · ϕG
x,λex (g1 mx g2 )
Im [π0 ]
− 12
· Lx εx · ρT,x (λ), π, qx
ψx ,r,hx
· Wx,ε
(g, m0x )
x ·ρT ,x (λ),π
où les notations sont celles de la proposition VIII.14.
−1
Par conséquent, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction, multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 ,
est “de type L à la Whittaker” au sens de la définition V.26 du paragraphe V.6.
(ii) Si Kx0 est un sous-groupe ouvert de GLr−1 (Ox ) tel que, pour tout représentant (r, π0 ) apparaissant
ψx ,Kx0
dans la décomposition spectrale de hx , le polynôme Px,r,π
: [π0 ] → C n’est pas nul, on peut définir
0
une fonction de type de Hecke
G,ρ,h ,K 0
Hψx ,g,gx1 ,g2x : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
par sa décomposition spectrale
G,ρ,h ,K 0
Hψx ,g,gx1 ,g2x (mx , m0x )
=
X Z
(r,π0 )
dλex ·
Im Tbr
Z
−1 −1
dπ · ϕG
x,λex (g1 mx g2 )
Im [π0 ]
0
Kx0 W ψx ,r,hx
x,εx ·ρT ,x (λ),π (g, mx )
−1
· Lx εx · ρT,x (λ), π, qx 2 ·
.
ψx ,Kx0
Px,r,π
0 (π)
−1
La restriction de cette fonction à Gr−1 (Fx ), multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 , est “de
type L” au sens de la définition V.24 du paragraphe V.5, et on a
G,ρ,h ,K 0
ψx
x
x
x
W(r−1)
Hψx ,g1 ,g
= WψG,ρ,h
.
2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
297
Nous voudrions maintenant donner la décomposition spectrale de la fonction
Z
G,ρ,hx
0
f
Wψx ,g1 ,g2 ,g : (mx , mx ) 7→
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , wr t gx0−1 gx ) · hx (m0x wr−1 t gx0−1 )
x
GLr−1 (Fx )
sur (G × GLr−1 )(Fx ) ou son sous-groupe Gr−1 (Fx ), pour une fonction localement constante à support
compact arbitraire hx : GLr−1 (Fx ) → C décomposée spectralement en
X Z
dπ · hx,r,π0 (π, •) .
hx (•) =
(r,π0 )
Im [π0 ]
Toujours d’après Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika, on a le parallèle suivant de la proposition VIII.14
qui est une version plus générale de la proposition VIII.11 du précédent paragraphe :
Proposition VIII.17. –
Considérons des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ). Alors on a pour tout représentant
(r, π0 ) qui apparaı̂t dans la décomposition spectrale de la fonction hx :
(i) L’intégrale
Z
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
r,ψx
ψx
t 0−1
dgx0 · Wx,λ
gx ) · W(r−1)
hx,r,π0 (π, m0x wr−1 t (•)−1 )(gx0 ) ,
0 (wr gx
que l’on peut aussi noter
Z
GLr−1 (Fx )
r,ψx
t 0−1
dgx0 · Wx,λ
gx ) · hx,r,π0 (π, m0x wr−1 t gx0−1 ) ,
0 (wr gx
converge absolument dès que λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ Tbr = (C× )r et π = (π0 )z , z = (z1 , . . . , zk ) ∈ (C× )k ∼
=
[π0 ], vérifient
|λ0i zj | 1 ,
1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ k,
et elle définit une fraction rationnelle en λ0 ∈ Tbr et π ∈ [π0 ] ∼
= (C× )k invariante par Sr × Fixe (r, π0 ).
(ii) Cette fraction rationnelle est de la forme
−1
0
x
f ψx ,r,h
Lx λ0−1 , π ∨ , qx 2 · W
x,λ0 ,π (gx , mx )
où
Lx (λ0−1 , π ∨ , Z) =
1
Y
1≤i≤r
1≤j≤r ∨
π0
1 − λ0−1
zπj ∨ Z
i
=
Y
Lx (π ∨ , λ0−1
Z)
i
1≤i≤r
et où la fonction
Tbr × [π0 ] × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
0
x
f ψx ,r,h
(λ0 , π, gx , m0x ) 7→ W
x,λ0 ,π (gx , mx )
vérifie les propriétés suivantes :
• c’est un polynôme en les variables λ0 ∈ Tbr et π ∈ [π0 ] invariant par Sr × Fixe (r, π0 ),
• en la variable gx ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox ),
• en la variable m0−1
∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact
x
de GLr−1 (Fx ) et appartient au ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée Indr−1
(π ∨ ),
r
avec en particulier
298
ψx ,r,hx
ψx ,r,hx
0 −1
0
Wx,op,λ
0 ,π (gx , mx ux ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,op,λ0 ,π (gx , mx ) ,
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
On peut compléter cette proposition par le parallèle suivant du lemme VIII.15 :
Lemme VIII.18. –
Soit Kx0 un sous-groupe ouvert de GLr−1 (Ox ) tel que, pour tout représentant (r, π0 ) qui apparaı̂t dans la
ψx ,Kx0
décomposition spectrale de hx , le polynôme Px,r,π
0 : [π0 ] → C ne soit pas nul.
0
Alors, pour tout tel représentant (r, π0 ), tout λ ∈ Tbr et tous gx ∈ GLr (Fx ), m0x ∈ GLr−1 (Fx ), le polynôme
Z
1
ψx ,r,hx
0
0
0
x
f
f ψx ,r,h
[π0 ] 3 π 7→ Wx,λ0 ,π Kx (gx , mx ) =
dkx · W
x,λ0 ,π (gx , mx kx )
vol (Kx0 ) Kx0
ψ ,K 0
x
x
est divisible par le polynôme Px,r,π
0 .
On déduit de la proposition VIII.17 et du lemme VIII.18 ci-dessus :
Corollaire VIII.19. –
Dans les conditions du corollaire VIII.16, on a :
(i) La fonction
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
admet la décomposition spectrale
f G,ρ,hx (mx , m0x )
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
=
X Z
(r,π0 )
dλex ·
Im Tbxd
Z
−1
dπ · ϕG
x,λex (g1 mx g2 )
Im [π0 ]
−1
−1
0
f ψx ,r,hx
· Lx ε−1
, π ∨ , qx 2 · W
x · ρT,x (λ)
x,εx ·ρT ,x (λ),π (g, mx )
où les notations sont celles de la proposition VIII.17.
−1
Par conséquent, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction, multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 ,
est “de type L à la Whittaker droit” au sens de la discussion qui précède la définition VI.20 du paragraphe VI.4.
(ii) Si Kx0 est un sous-groupe ouvert de GLr−1 (Ox ) tel que, pour tout représentant (r, π0 ) apparaissant
ψx ,Kx0
dans la décomposition spectrale de hx , le polynôme Px,r,π
: [π0 ] → C n’est pas nul, on peut définir
0
une fonction de type de Hecke
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
par sa décomposition spectrale
0
e G,ρ,hx ,Kx (mx , m0x )
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
=
X Z
(r,π0 )
dλex ·
Z
Im Tbr
−1
dπ · ϕG
x,λex (g1 mx g2 )
Im [π0 ]
0
0
f ψx ,r,hx
W
1
x,εx ·ρT ,x (λ),π Kx (g, mx )
ex −1
∨ −2
· Lx ε−1
·
ρ
(λ
)
,
π
,
q
.
·
x
T,x
x
ψx ,Kx0
Px,r,π
0 (π)
−1
La restriction de cette fonction à Gr−1 (Fx ), multipliée par le caractère mx 7→ | detG (mx )|x 2 , est “de
type L” au sens de la définition V.24 du paragraphe V.5, et on a
0
f ψx H
e G,ρ,hx ,Kx f G,ρ,hx
W
(r−1) ψx ,g1 ,g2 ,g = Wψx ,g1 ,g2 ,g .
299
5
Échange par transformation de Fourier
On continue l’analyse des deux paragraphes précédents, pour un groupe réductif G sur F et une représentab o ΓF → GLr (C) supposés tous deux partout non ramifiés.
tion de transfert “bien disposée” ρ : G
Étant donnés des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et une fonction produit localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
considérons à nouveau les deux fonctions globales
G,ρ,h
Wψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C ,
1 ,g2 ,g
f G,ρ,h : G(A) × GLr−1 (A) → C ,
W
ψ,g1 ,g2 ,g
introduites dans le lemme VIII.7 du paragraphe VIII.3.
G,ρ,h
La fonction Wψ,g
est le produit sur toutes les places x ∈ |F | des fonctions locales
1 ,g2 ,g
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
dont la décomposition spectrale a été donnée dans le corollaire VIII.10 du paragraphe VIII.3 en les places x
où hx est sphérique, et dans le corollaire VIII.16 du paragraphe VIII.4 en les autres places.
f G,ρ,h
De même, la fonction W
ψ,g1 ,g2 ,g est le produit sur toutes les places x ∈ |F | des fonctions locales
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
dont la décomposition spectrale a été donnée dans le corollaire VIII.13 du paragraphe VIII.3 en les places x
où hx est sphérique, et dans le corollaire VIII.19 du précédent paragraphe VIII.4 en les autres places.
En toutes les places x ∈ |F | où hx est sphérique, choisissons un sous-groupe ouvert Kx0 de GLr−1 (Ox )
ψ ,K 0
tel que le polynôme associé Px,∅x x : Tbr−1 → C ne soit pas uniformément nul. Lorsque hx est sphérique et
Nψx = 0, choisissons simplement Kx0 = GLr−1 (Ox ).
En les autres places x où hx n’est pas sphérique, écrivons la décomposition spectrale de hx
X Z
dπ · hx,r,π0 (π, •)
hx (•) =
(r,π0 )
Im [π0 ]
et choisissons un sous-groupe ouvert Kx0 de GLr−1 (Ox ) tel que, pour tout représentant (r, π0 ) qui apparaı̂t
ψx ,Kx0
dans cette décomposition spectrale, le polynôme Px,r,π
0 : [π0 ] → C ne soit pas nul.
D’après les corollaires VIII.10(ii), VIII.13(ii), VIII.16(ii) et VIII.19(ii), ces choix permettent de définir
en toute place x ∈ |F | des fonctions de type de Hecke
G,ρ,h ,K 0
x
x
Hψx ,g1 ,g
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
2 ,g
et
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C .
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
D’après les corollaires VIII.10(iii) et VIII.13(iii), on peut former le produit sur toutes les places x ∈ |F |
de ces fonctions locales pour définir deux fonctions globales de type de Hecke
Y G,ρ,h ,K 0
G,ρ,h
x
x
Hψ,g
=
Hψx ,g1 ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C ,
,g
,g
1 2
2 ,g
x∈|F |
300
e G,ρ,h
H
ψ,g1 ,g2 ,g =
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(A) × GLr−1 (A) → C .
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
Y
x∈|F |
On obtient comme conséquence des corollaires VIII.10, VIII.13, VIII.16 et VIII.19 :
Corollaire VIII.20. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et pour toute fonction test localement constante à
support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
on a :
(i) La fonction restreinte à Gr−1 (A)
G,ρ,h
Wψ,g
: Gr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
f G,ρ,h : Gr−1 (A) → C] ,
W
ψ,g1 ,g2 ,g
[resp.
multipliée par le caractère
1
1
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
,
est de “type L à la Whittaker” [resp. “de type L à la Whittaker droit] au sens de la définition VII.27(i)
du paragraphe VII.3.
(ii) Les deux fonctions restreintes à Gr−1 (A)
G,ρ,h
Hψ,g
: Gr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
et
e G,ρ,h
H
ψ,g1 ,g2 ,g : Gr−1 (A) → C ,
multipliées par le caractère
1
1
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
,
sont “de type L global” au sens de la définition VII.26(i) du paragraphe VII.3.
De plus, on a
ψ
G,ρ,h
G,ρ,h
W(r−1)
Hψ,g
= Wψ,g
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
et
fψ
e G,ρ,h
f G,ρ,h
W
(r−1) Hψ,g1 ,g2 ,g = Wψ,g1 ,g2 ,g .
Le résultat local central que nous allons maintenant utiliser est “l’équation fonctionnelle locale des
intégrales de Rankin-Selberg” démontrée par Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika :
Théorème VIII.21. –
En toute place x ∈ |F | et pour tous éléments gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), on a :
(i) Les deux polynômes symétriques
ψx ,r,r−1
Tbr × Tbr−1 3 (λ0 , z) 7→ Wx,λ
(gx , m0x ) ,
0 ,z
f ψx ,r,r−1
(λ0 , z) 7→ W
(gx , m0−1
x ),
x,λ0 ,z
301
introduits dans les propositions VIII.8(ii) et VIII.11(ii) du paragraphe VIII.3, sont reliés par l’équation
−1
ψx ,r,r−1
f ψx ,r,r−1
W
(gx , m0−1
(gx , m0x ) · εx λ0 , z, ψx , qx 2
x ) = Wx,λ0 ,z
x,λ0 ,z
où, pour λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ (C× )r = Tbr , on a
Y
εx (λ0 , z, ψx , Z) =
εx (z, ψx , λ0i Z) .
1≤i≤r
(ii) Plus généralement, si on considère une fonction localement constante à support compact arbitraire
hx : GLr−1 (Fx ) → C
décomposée spectralement en
hx (•) =
X Z
(r,π0 )
dπ · hx,r,π0 (π, •) ,
Im [π0 ]
les deux polynômes symétriques
Tbr × [π0 ] 3 (λ0 , π) 7→
(λ0 , π) 7→
ψx ,r,hx
Wx,λ
(gx , m0x ) ,
0 ,π
0−1
x
f ψx ,r,h
W
x,λ0 ,π (gx , mx ) ,
associés à tout représentant (r, π0 ) dans les propositions VIII.14(ii) et VIII.17(ii) du paragraphe VIII.4,
sont reliés par l’équation
− 21
ψx ,r,hx
0−1
0
0
x
f ψx ,r,h
W
(g
,
m
)
=
W
(g
,
m
)
·
ε
λ
,
π,
ψ
,
q
· χπ (−1)r−1
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x,λ ,π
x,λ ,π
où, pour tout λ0 = (λ01 , . . . , λ0r ) ∈ (C× )r = Tbr , on a
εx (λ0 , π, ψx , Z) =
Y
εx (π, ψx , λ0i Z)
1≤i≤r
et où χπ : Zr−1 (Fx ) = Fx× → C désigne le caractère par lequel le centre Zr−1 (Fx ) = Fx× de GLr−1 (Fx )
agit sur l’espace de π ou de Indr−1
(π).
r
Ce théorème permet de compléter le corollaire VIII.20 ci-dessus par le résultat fondamental suivant :
Corollaire VIII.22. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et pour toute fonction test localement constante à
support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
on a :
(i) La fonction de type L à la Whittaker droit
Gr−1 (A) →
0
(m, m ) 7→
C
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
f G,ρ,h (m, (−1)r−1 · m0 )
·W
ψ,g1 ,g2 ,g
est égale à la ψ-transformée de Fourier, au sens de la définition VII.27(ii) du paragraphe VII.3, de la
fonction “de type L à la Whittaker”
Gr−1 (A) → C
(m, m0 ) 7→
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
302
r−2
2
G,ρ,h
· Wψ,g
(m, m0 ) .
1 ,g2 ,g
(ii) La fonction “de type L global”
Gr−1 (A) → C
(m, m0 ) 7→
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
e G,ρ,h (m, (−1)r−1 · m0 )
·H
ψ,g1 ,g2 ,g
est égale à la ψ-transformée de Fourier, au sens de la définition VII.26(ii) du paragraphe VII.3, de la
fonction “de type L global”
Gr−1 (A) → C
(m, m0 ) 7→
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
G,ρ,h
· Hψ,g
(m, m0 ) .
1 ,g2 ,g
6
Application de la formule de Poisson
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F et une représentation de transfert “bien
b o ΓF → GLr (C) supposés tous deux partout non ramifiés.
disposée” ρ : G
Q
Notant K =
G(Ox ), on a introduit dans la définition VIII.3 du paragraphe VIII.1 la “partie principale
x∈|F |
d’un K-noyau du transfert par ρ”
KψG,ρ : G(F ) × G(F ) × Qr (F )\G(A) × G(A) × GLr (A)/K × K × GLr (OA ) → C .
Parallèlement, on a introduit dans la définition VIII.5 du paragraphe VIII.2 la “partie principale opposée
d’un K-noyau du transfert par ρ”
e G,ρ : G(F ) × G(F ) × Qop
K
r (F )\G(A) × G(A) × GLr (A)/K × K × GLr (OA ) → C .
ψ
Puis, considérant une fonction test localement constante à support compact arbitraire
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
nous avons vu dans le lemme VIII.7(i) du paragraphe VIII.3 que le produit scalaire
Z
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
GLr−1 (A)
s’écrit sous la forme
X
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ)
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
=
X
X
0
γ0
G,ρ, h
Wψ,g
(γ, γ 0 )
1 ,g2 ,g
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F ) (γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
où
γ00
h désigne la translatée à gauche de h par γ00 ∈ GLr−1 (F ).
Parallèlement, nous avons vu dans le lemme VIII.7(ii) que le produit scalaire
Z
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
K
dg 0 · K
ψ
ψ
GLr−1 (A)
303
s’écrit sous la forme
X
X
f G,ρ,h (γ, δ)
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
X
=
γ0
X
f G,ρ, 0 h (γ, γ 0 ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F ) (γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
Pour tout γ00 ∈ GLr−1 (F ), nous avons montré dans les corollaires VIII.20 et VIII.22 du précédent paragraphe VIII.5 que le produit de la fonction
Gr−1 (A) →
C
0
γ0
G,ρ, h
G,ρ,h
(m, m ) 7→ Wψ,g
(m, m0 ) = Wψ,g
(m, m0 · γ00−1 )
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
0
et du caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
est “de type L à la Whittaker” et admet pour ψ-transformée de Fourier la fonction “de type L à la Whittaker
droit” définie comme le produit de la fonction
γ0
f G,ρ, 0 h (m, (−1)r−1 m0 ) = W
f G,ρ,h (m, γ00 (−1)r−1 m0 )
(m, m0 ) 7→ W
ψ,g1 ,g2 ,g
ψ,g1 ,g2 ,g
et du caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
.
Enfin, nous avons introduit deux fonctions de type de Hecke
G,ρ,h
Hψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
et
e G,ρ,h
H
ψ,g1 ,g2 ,g : G(A) × GLr−1 (A) → C
telles que
G,ρ,h
ψ
G,ρ,h
Wψ,g
= W(r−1)
Hψ,g
,
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
f G,ρ,h = W
fψ
e G,ρ,h
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(r−1) Hψ,g1 ,g2 ,g ,
et que, pour tout élément γ00 , la fonction restreinte
Gr−1 (A) →
(m, m0 ) 7→
C
0
γ0
G,ρ, h
G,ρ,h
Hψ,g
(m, m0 ) = Hψ,g
(m, m0 γ00−1 ) ,
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
multipliée par le caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
,
soit “de type L global” et admette pour ψ-transformée de Fourier la fonction “de type L global” produit de
la restriction
Gr−1 (A) →
(m, m0 ) 7→
et du caractère
C
γ0
e G,ρ, 0 h (m, (−1)r−1 m0 ) = H
e G,ρ,h (m, γ 0 (−1)r−1 m0 )
H
0
ψ,g1 ,g2 ,g
ψ,g1 ,g2 ,g
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
304
r−2
2
.
Nous pouvons appliquer à ces fonctions “de type L global” la fonctionnelle de Poisson
X
H 7→ “
H(γ, γ 0 )”
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )
qu’introduit la conjecture VII.31 du paragraphe VII.4 :
Définition conditionnelle VIII.23. –
Considérons comme ci-dessus une fonction test localement constante à support compact
O
hx : GLr−1 (A) → C
h=
x∈|F |
et des éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A).
Alors :
(i) Pour tout γ00 ∈ GLr−1 (F ) et tout u ∈ Nr−1 (A), on note
X
G,ρ,h
“
Hψ,g
(γ, u γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )−Gr−1 (F )
et
X
“
e G,ρ,h (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 u−1 )”
H
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )−Gr−1 (F )
les images par la fonctionnelle conjecturale
X
H(γ, γ 0 )” −
H 7→ “
X
H(γ, γ 0 )
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )
des fonctions “de type L global” sur Gr−1 (A) définies comme les produits des fonctions
G,ρ,h
(m, m0 ) 7→ Hψ,g
(m, u m0 γ00−1 ) ,
1 ,g2 ,g
e G,ρ,h (m, γ00 (−1)r−1 m0 u−1 ) ,
(m, m0 ) 7→ H
ψ,g1 ,g2 ,g
et du caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
(ii) Pour tout γ00 ∈ GLr−1 (F ), on note
X
“
r−2
2
.
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
Z
=
Nr−1 (A)/Nr−1 (F )
X
−1
du · ψ(r−1)
(u) · “
G,ρ,h
Hψ,g
(γ, u γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )−Gr−1 (F )
et
X
“
f G,ρ,h (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 )”
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈(Gr−1 −Gr−1 )(F )/Nr−1 (F )
Z
X
du · ψ(r−1) (u) · “
=
Nr−1 (A)/Nr−1 (F )
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )−Gr−1 (F )
305
e G,ρ,h (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 u)” .
H
ψ,g1 ,g2 ,g
Remarque : Il résulte du corollaire conditionnel VII.37(i) du paragraphe VII.4 que, pour tout γ00 ∈
GLr−1 (F ), les expressions
X
G,ρ,h
“
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
et
X
“
f G,ρ,h (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 )”
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈(Gr−1 −Gr−1 )(F )/Nr−1 (F )
G,ρ,h
f G,ρ,h . Autrement dit, elles ne dépendent pas du choix du
ne dépendent que des fonctions Wψ,g
et W
ψ,g1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
sous-groupe ouvert
Y
Kx0 ⊂ GLr−1 (OA )
x∈|F |
au moyen duquel les fonctions
G,ρ,h
Hψ,g
1 ,g2 ,g
G,ρ,h
e G,ρ,h
f G,ρ,h
et H
ψ,g1 ,g2 ,g sont construites à partir de Wψ,g1 ,g2 ,g et Wψ,g1 ,g2 ,g .
Pour tout sous-groupe ouvert compact
Y
K 00 =
Kx00 ⊂ GLr−1 (A) ,
x∈|F |
notons
1Ir−1
K 00 : GLr−1 (A) → Q
la fonction caractéristique de K 00 multipliée par le scalaire 1/vol(K 00 ). Ainsi, 1Ir−1
K 00 est l’élément unité de la
r−1
sous-algèbre de Hecke HK
00 des fonctions à support compact
K 00 \GLr−1 (A)/K 00 → C .
On a :
Lemme VIII.24. –
Considérons trois éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A). Alors les deux fonctions
G,ρ,1Ir−1
00
Wψ,g1 ,gK
: G(A) × GLr−1 (A) → C
2 ,g
et
r−1
f G,ρ,1IK 00 : G(A) × GLr−1 (A) → C
W
ψ,g1 ,g2 ,g
deviennent indépendantes du choix d’un sous-groupe ouvert compact
Y
K 00 =
Kx00 ⊂ GLr−1 (A)
x∈|F |
dès lors que celui-ci satisfait la condition
K 00 ⊂ g GLr−1 (OA ) g −1 .
De plus, cette condition étant satisfaite, on a
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X
X
γ∈G(F ) γ 0 ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
306
G,ρ,1Ir−1
00
Wψ,g1 ,gK
(γ, γ 0 )
2 ,g
et
X
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
r−1
f G,ρ,1IK 00 (γ, γ 0 ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
X
γ∈G(F ) γ 0 ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
Démonstration :
Cela résulte du lemme VIII.7 du paragraphe VIII.3 puisque, sous la condition donnée, on a
Z
G,ρ,1Ir−1
G,ρ
r−1 0
K 00
Kψ
(g1 , g2 , g) =
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · 1IK
(g1 , g2 , g) ,
00 (g ) = Kψ
GLr−1 (A)
Z
r−1
e G,ρ,1IK 00 (g1 , g2 , g) =
K
ψ
GLr−1 (A)
0
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · 1Ir−1
e G,ρ
dg 0 · K
K 00 (g ) = Kψ (g1 , g2 , g) ,
ψ


Z
G,ρ,1Ir−1
00
(m, m0 )
Kψ,g1 ,gK2 ,g
dg 0 · 
=
GLr−1 (A)
Y
0−1 0
 (g1−1 m−1 g2 , g 0 g) · 1Ir−1
g)
KψG,ρ
K 00 (m
x
x∈|F |


Y
= 
 (g1−1 m−1 g2 , m0 g) ,
KψG,ρ
x
x∈|F |
et


r−1
e G,ρ,1IK 00 (m, m0 )
K
ψ,g1 ,g2 ,g
Z
dg 0 · 
=
GLr−1 (A)
r−1
0 0
 (g1−1 m g2 , wr wr−1 g 0 g) · 1IK
KψG,ρ
00 (m g )
x
x∈|F |


= 
Y
Y
 (g1−1 m g2 , wr wr−1 m0−1 g) .
KψG,ρ
x
x∈|F |
Il est naturel de poser la définition suivante à la suite de ce lemme :
Définition conditionnelle VIII.25. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), notons
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
G,ρ,1Ir−1
X
“
00
Wψ,g1 ,gK
(γ, γ 0 γ00−1 )”
2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
et
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
X
“
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
r−1
f G,ρ,1IK 00 (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 )”
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈(Gr−1 −Gr−1 )(F )/Nr−1 (F )
pour n’importe quel sous-groupe ouvert compact
Y
K 00 =
Kx00 ⊂ GLr−1 (A)
x∈|F |
vérifiant
K 00 ⊂ g GLr (OA ) g −1 .
307
e G,ρ qui résultent immédiatement de
Dressons une première liste de propriétés des fonctions KψG,ρ et K
ψ
leur construction :
Lemme conditionnel VIII.26. –
Les deux fonctions
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
K
ψ
vérifient les propriétés suivantes :
(1) Elles sont invariantes à droite par G(OA ) × G(OA ) × GLr (OA ).
(2) Si H désigne l’une de ces deux fonctions, on a en toute place x ∈ |F |
H ∗3 ϕ0x = H ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
H ∗2 ϕx = H ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
.
(3) Elles sont invariantes à gauche par G(F ) en les deux premières variables g1 , g2 ∈ G(A) et invariantes
à droite par GLr−1 (F ) ⊂ GLr (F ) en la troisième variable g ∈ GLr (A).
(4) Pour toute fonction test localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
on a
Z
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
X
=
X
“
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
et
Z
GLr−1 (A)
=
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
dg 0 · K
ψ
X
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
“
X
f G,ρ,h (γ, γ00 (−1)r−1 γ 0 )” .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈(Gr−1 −Gr−1 )(F )/Nr−1 (F )
D’autre part, le corollaire VIII.22 du précédent paragraphe VIII.5 permet d’appliquer la “formule de
Poisson” conjecturale énoncée dans le corollaire conditionnel VII.37(ii) du paragraphe VII.4. On obtient le
résultat fondamental :
Théorème conditionnel VIII.27. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), on a la formule
e G,ρ (g1 , g2 , g) + K
e G,ρ (g1 , g2 , g) .
KψG,ρ (g1 , g2 , g) + KψG,ρ (g1 , g2 , g) = K
ψ
ψ
308
e G,ρ vérifient toutes les propriétés
Pour achever de montrer conditionnellement que les fonctions KψG,ρ et K
ψ
du théorème conditionnel VIII.6 du paragraphe VIII.2, et donc que
e G,ρ + K
e G,ρ
K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
est un “K-noyau du transfert automorphe (partout non ramifié) par ρ” comme annoncé dans le théorème
conditionnel VIII.4 du paragraphe VIII.1, il ne reste plus qu’à prouver la proposition conditionnelle suivante :
Proposition conditionnelle VIII.28. –
Les deux fonctions
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
K
ψ
vérifient les deux propriétés supplémentaires suivantes :
e G,ρ ] est invariante à gauche par le
(1) En la troisième variable g ∈ GLr (A), la fonction KψG,ρ [resp. K
ψ
op
sous-groupe mirabolique Qr (F ) ⊂ GLr (F ) [resp. Qr (F ) ⊂ GLr (F )].
(2) Son coefficient unipotent régulier
Z
(g1 , g2 , g) 7→
Nr (F )\Nr (A)
−1
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
Z
[resp.
(g1 , g2 , g) 7→
Nr (F )\Nr (A)
−1
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr g)]
du · ψ(r)
(u) · K
ψ
est uniformément nul.
Démonstration :
e G,ρ étant identique.
Traitons le cas de KψG,ρ , celui de la fonction K
ψ
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A), notons
G,ρ
Wψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
la fonction

(m, m0 ) 7→ 

Y
 (g1−1 m−1 g2 , m0 g)
WψG,ρ
x
x∈|F |
qui est la valeur commune des fonctions
G,ρ,1Ir−1
00
(m, m0 ) 7→ Wψ,g1 ,gK
(m, m0 )
2 ,g
associés aux sous-groupes ouverts compacts
K 00 =
Y
Kx00 ⊂ GLr−1 (A)
x∈|F |
tels que
K 00 ⊂ g GLr (OA ) g −1 .
On sait déjà que la fonction KψG,ρ est invariante à gauche par GLr−1 (F ) en la variable g ∈ GLr (A). Or
on a
Qr = GLr−1 · Nr−1,1 = Nr−1,1 · GLr−1
309
où


 1







0

=  ...



 .


 ..



0
Nr−1,1
0
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
..
.
...
0
..
.
0
1
0

∗ 


.. 


.



..

. 




∗


1
désigne le sous-groupe unipotent supérieur associé à la partition r = (r − 1) + 1 du rang r.
Pour démontrer le propriété (1), il suffit donc de montrer que l’expression
X
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X
“
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
G,ρ
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
est invariante à gauche par Nr−1,1 (F ) en la variable g.
Il résulte du corollaire conditionnel VII.39 du paragraphe VII.4 que l’on a :
Lemme conditionnel VIII.29. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A) et γ00 ∈ GLr−1 (F ), la fonction produit de
G,ρ
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ Wψ,g
(m, m0 γ00−1 )
1 ,g2 ,g
et du caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
se prolonge par continuité en une fonction
(m, m0 ) 7→ Wg1 ,g2 ,g,γ00 (m, m0 )
sur l’ouvert de Gr−1 (A) défini par les conditions
≤1
m∈G
(A)
et
V1
m0 ∈ Mr−1
(A) .
De plus, chaque expression
X
“
G,ρ
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )”
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\(Gr−1 −Gr−1 )(F )
dépend linéairement des restrictions
Wg1 ,g2 ,g,γ00 (•, γ 0 )
des fonctions Wg1 ,g2 ,g,γ00 aux seuls points (m, γ 0 ) dont la seconde coordonnée γ 0 est élément de
V1
(Mr−1 (F ) − GLr−1 (F )) ∩ Mr−1
(F ) .
Suite de la démonstration de la proposition conditionnelle VIII.28 :
Le sous-groupe unipotent Nr−1,1 s’identifie au groupe additif Vr−1 = (A1 )r−1 et le caractère
ψ(r0 ) : Nr−1,1 (A) → C×
310
s’identifie au caractère
r−1
A 
u1
 .. 
 . 
→
A
7→ ur−1
→
C×
7→
ψ(ur−1 ) .
ur−1
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A), u ∈ Nr−1,1 (A), γ00 ∈ GLr−1 (F ) et γ 0 ∈ (Mr−1 (F ) −
V1
GLr−1 (F )) ∩ Mr−1
(F ), on a
Wg1 ,g2 ,ug,γ00 (•, γ 0 ) = ψ(r0 ) (γ 0 γ00−1 · u) · Wg1 ,g2 ,g,γ00 (•, γ 0 )
où
u 7→ ψ(r0 ) (γ 0 γ00−1 · u)
est le composé de l’endomorphisme
u 7→ γ 0 γ00−1 · u
de (A1 )r−1 et du caractère ψ(r0 ) : (A1 )r−1 → C× .
Comme l’endomorphisme γ 0 γ00−1 est à coefficients dans F , il préserve le réseau F r−1 de Ar−1 et le caractère
u 7→ ψ(r0 ) (γ 0 γ00−1 · u)
est invariant par le réseau F r−1 de Ar−1 .
Cela prouve la propriété (1) de la proposition.
Considérons maintenant le coefficient unipotent régulier
Z
−1
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug) .
Nr (F )\Nr (A)
D’après la discussion qui précède, il dépend linéairement des restrictions
Wg1 ,g2 ,g,γ00 (•, γ 0 )
en les seuls points
V1
γ 0 ∈ (Mr−1 (F ) − GLr−1 (F )) ∩ Mr−1
(F )
tels que la dernière ligne de la matrice
γ 0 γ00−1 ∈ Mr−1 (F )
soit égale à
(0, . . . , 0, 1) .
Poursuivant le même raisonnement, on prouve par récurrence sur r0 , 1 ≤ r0 ≤ r − 1, que notre coefficient
unipotent régulier
Z
−1
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
Nr (F )\Nr (A)
dépend linéairement des restrictions
Wg1 ,g2 ,g,γ00 (•, γ 0 )
en les seuls points
V1
γ 0 ∈ (Mr−1 (F ) − GLr−1 (F )) ∩ Mr−1
(F )
tels que les r0 dernières lignes de la matrice
γ 0 γ00−1 ∈ Mr−1 (F )
311
sont de la forme

0
 ..
.

0
0
...
0
... ...
... ...
1
..
.
∗
...
...
0
...

... ∗
.
..
. .. 
.
1 ∗
0 1
Pour r0 = r − 1 il n’existe plus de telles matrices γ 0 non inversibles, et cela prouve que notre coefficient
unipotent régulier vaut 0.
Ceci achève de démontrer la proposition conditionnelle VIII.28, donc aussi le théorème conditionnel VIII.6
du paragraphe VIII.2 et le théorème conditionnel VIII.4 du paragraphe VIII.1.
312
Chapitre IX :
Une formule de Poisson après torsion
par un caractère très ramifié en quelques places
1
Transformation de Fourier locale
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B), et
un semi-groupe normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10 du paragraphe II.4.
On continue à noter Sρ l’ensemble fini des places de F en lesquelles le groupe G ou la représentation de
transfert ρ sont ramifiés.
Comme la représentation ρ est “bien disposée”, le groupe de Galois ΓF agit sur l’espace Cr par permutation des r vecteurs de la base standard. L’action de ΓF sur l’ensemble de ces r vecteurs de base définit une
extension finie séparable E de F de degré r qui s’écrit comme un produit de corps
Y
E=
Eimi .
1≤i≤e
Le dual TbE du tore TE = ResE/F Gm =
Q
i
ResEi /F Gm
m s’identifie à
1≤i≤e
Q
C× = (C× )r = Tbr muni de
1≤i≤r
l’action de ΓF par permutation de ses r facteurs.
La représentation ρ induit un homomorphisme ΓF -équivariant Tb → TbE = Tbr qui s’inscrit dans une suite
exacte ΓF -équivariante de tores complexes
1 → Tb → TbE → Tbρ → 1 .
La suite exacte duale
1 → Tρ → TE → T → 1
identifie le tore T au quotient du tore TE par un sous-tore Tρ .
En toute place x ∈ |F |, on a noté Txd le plus grand sous-tore de T déployé sur Fx : son réseau des
cocaractères XT∨d est le sous-réseau saturé de XT∨ constitué des cocaractères Gm → T fixés par l’action du
x
groupe de Galois ΓFx de Fx .
On a également noté Λ0x ⊂ XT le sous-réseau saturé de XT constitué des caractères T → Gm fixés par
ΓFx . Ainsi, Λ0x s’identifie à un sous-réseau d’indice fini de XTxd , et XT∨d s’identifie à un sous-réseau de Λ0∨
x
x
du même indice fini.
313
Dans le lemme V.7 du paragraphe V.3, on a défini un homomorphisme
ordx : T (Fx ) → Λ0∨
x
dont le noyau T (Fx )0 est le plus grand sous-groupe ouvert compact de T (Fx ) = Ex× et dont l’image est un
0∨
sous-réseau d’indice fini Λ∨
x de Λx .
∨
b
On a noté Λx le réseau dual de Λ∨
x et Λx le tore complexe dont le réseau des caractères est égal à Λx . La
suite exacte
ordx
1 −→ T (Fx )0 −→ T (Fx ) −−−→ Λ∨
x −→ 0
b x au tore des caractères de T (Fx ) qui sont triviaux sur T (Fx )0 . On a noté Im Λ
b x le plus grand
identifie Λ
b
sous-tore réel compact de Λx constitué de ceux de ces caractères qui sont unitaires.
Q ×
C
En toute place non ramifiée x ∈ |F |−Sρ , le groupe de Galois local ΓFx agit sur XT , XT∨ , Tb, Tbr =
1≤i≤r
et {1, 2, . . . , r} par les puissances de l’élément de Frobenius σx . On a noté ex le plus petit entier ≥ 1 tel que
les actions de σxex sur XT et {1, 2, . . . , r} soient triviales.
On a également noté εx = (ε1x , . . . , εrx ) ∈ (C× )r une famille de r racines ex -ièmes de l’unité telle que,
pour toute orbite {i1 , i2 , . . . , ie } ⊂ {1, . . . , r} de σx agissant sur {1, . . . , r}, la sous-famille (εix1 , εix2 , . . . , εixe )
soit constituée des e racines e-ièmes de l’unité.
Enfin, on a noté
ρT,x = (ρ1T,x , . . . , ρrT,x ) : Tbxd → Tbr =
Y
C×
1≤i≤r
l’unique homomorphisme dont le composé avec l’homomorphisme surjectif canonique
Tb → Tbxd
est égal à
λ 7→ ρT (λ · σx (λ) . . . σxex −1 (λ)) .
Ainsi, l’homomorphisme entre algèbres de Hecke sphériques
x
ρ∗x : Hxr ∼
= HxG
= C [Tbr ]Sr → C [Tbxd ]SG ∼
induit par la représentation de transfert ρ vérifie
ρ∗x (p)(λex ) = p (εx · ρT,x (λ)) ,
∀ λ ∈ Tbxd ,
∀ p ∈ C [Tbr ]Sr .
∨
0∨
On rappelle qu’en toute telle place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , les sous-réseaux Λ∨
x et XTxd de Λx sont égaux,
b x à Tbxd .
si bien que Λx s’identifie à XT d et Λ
x
Choisissons un caractère continu non trivial unitaire
ψx : Fx → C× .
La définition d’une ψx -transformation de Fourier relative à ρ dans certains sous-espaces de fonctions sur
G(Fx ) ou sur les groupes croisés Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2, passe par la définition de facteurs L et ε locaux pour
toutes les représentations irréductibles unitaires de G(Fx ) ou Gr0 (Fx ) qui apparaissent dans la décomposition
spectrale de ces fonctions.
Passons en revue les représentations pour lesquelles nous avons pu définir jusqu’à présent de tels facteurs
L et ε locaux.
314
Considérons d’abord les places non ramifiées x ∈ |F | − Sρ et les représentations non ramifiées de G(Fx )
qui sont les induites normalisées
IndG
B (λ)
b x = Tbd de T (Fx ). On a noté
de caractères non ramifiés λ ∈ Λ
x
x
Lx (ρ, λ, Z) ∈ (C [Tbxd ]SG )JZK
et
x
εx (ρ, λ, ψx , Z) ∈ (C [Tbxd ]SG )[Z]
b x , on ait
les uniques fractions rationnelles en Z telles que, pour tout λ ∈ Λ
Y
Lx (ρ, λex , Z) =
1≤i≤r
1
1 − Z · εix · ρiT,x (λ)
et
εx (ρ, λex , ψx , Z) =
Y
εx (ρiT,x (λ), ψx , εix · Z)
1≤i≤r
0
×
où, pour tout λ ∈ C ,
εx (λ0 , ψx , Z)
désigne le facteur ε local associé au caractère non ramifié µ 7→ λ0vx (µ) de Fx× et au caractère additif ψx :
Fx → C.
En une telle place x ∈ |F | − Sρ , soit π0 une représentation lisse admissible irréductible et de carré
intégrable d’un sous-groupe de Levy standard GLr (Fx ) de GLr0 (Fx ).
b r 0 o ΓF →
b x = Tbxd et π ∈ [π0 ], on peut définir les facteurs L et ε locaux relatifs à ρr0 : G
Alors, pour λ ∈ Λ
GLrr0 (C) de la représentation lisse admissible de Gr0 (Fx ) obtenue comme le produit tensoriel
0
r
IndG
B (λ) ⊗ Indr (π)
des induites normalisées de λ et π. Ce sont les uniques fractions rationnelles en Z
x
Lx (ρ, λ, π, Z) ∈ C [Tbxd ]SG ⊗ C [π0 ]Fixe(r,π0 ) JZK
et
x
εx (ρ, λ, π, ψx , Z) ∈ C [Tbxd ]SG ⊗ C [π0 ]Fixe(r,π0 ) [Z]
bx
telles que l’on ait pour tout λ ∈ Λ
Lx (ρ, λex , π, Z) =
Y
Lx (π, εix · ρiT,x (λ) · Z)
1≤i≤r
et
εx (ρ, λex , π, ψx , Z) =
Y
εx (π, ψx , εix · ρiT,x (λ) · Z) .
1≤i≤r
Considérons maintenant une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère continu unitaire arbitraire
χ0 : T (Fx ) → C× .
Via l’homomorphisme surjectif canonique
TE (Fx ) → T (Fx ) ,
315
χ0 peut être considéré comme un caractère du groupe multiplicatif TE (Fx ) = Ex× de l’algèbre finie séparable
Ex = E ⊗F Fx sur Fx .
Pour tout caractère χ ∈ [χ0 ] de TE (Fx ) faiblement équivalent à χ0 , on dispose donc de facteurs L et ε
locaux notés
Lx (χ, Z)
et
εx (χ, ψx , Z) .
Par restriction à la sous-variété
[χ0 ]T ⊂ [χ0 ]
des caractères, invariants par Tρ (Fx ), qui se descendent sur T (Fx ), on obtient des fractions rationnelles
Lx (ρ, χ, Z) = Lx (χ, Z) ∈ (C [χ0 ]T )JZK
et
εx (ρ, χ, ψx , Z) = εx (χ, ψx , Z) ∈ (C [χ0 ]T )[Z] .
Par définition, ce sont les facteurs L et ε locaux des représentations induites normalisées IndG
B (χ) de G(Fx ).
0
×
r
b
Si maintenant z = (z1 , . . . , zr0 ) ∈ (C ) = Tr0 est un élément du tore dual de Tr0 vu comme un caractère
de Tr0 (Fx ), les facteurs L et ε locaux relatifs à ρr0 de la représentation
GL
r0
IndG
B (χ) ⊗ IndBr0 (z)
de Gr0 (Fx ) sont définis comme les produits
Y
Lx (ρ, χ, z, Z) =
Lx (ρ, χ, zi Z)
1≤i≤r 0
et
Y
εx (ρ, χ, z, ψx , Z) =
εx (ρ, χ, ψx , zi Z) .
1≤i≤r 0
Ces différentes définitions coı̈ncident avec les précédentes dans le cas où x ∈ |F | − Sρ et les caractères
χ : T (Fx ) → C× sont non ramifiés.
Passons en revue comment ces définitions des facteurs L et ε locaux permettent de construire une ψx transformation de Fourier relative à ρ [resp. ρr0 ] dans certains sous-espaces de l’espace
[resp. HxGr0 ,ρr0 ,+ ]
HxG,ρ,+
des fonctions
G(Fx ) → C
[resp. Gr0 (Fx ) → C ]
qui sont invariantes à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert de G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx )] et supportées
par une partie compacte du semi-groupe G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx )].
En les places non ramifiées x ∈ |F | − Sρ , il s’agit d’abord des fonctions
hx : G(Fx ) → C
décomposées spectralement en
−1
−1
Z
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
bx
Im Λ
316
−1
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · hx,λ (g)
b x 3 λ 7→ hx,λ (g) est polynomial et chaque g 7→ hx,λ (g) est combinaison linéaire de coefficients
où chaque Λ
matriciels de la représentation IndG
B (λ). La ψx -transformée de Fourier relative à ρ d’une telle fonction hx est
définie par sa décomposition spectrale
Z
− 21
− 12
−1
−1
b
hx (g) = |detG (g)|x · |detρ (g)|x ·
dλ · Lx ρ, λ, qx 2 · εx ρ, λ, qx 2 · hx,λ (g −1 ) .
bx
Im Λ
Toujours pour x ∈ |F | − Sρ , il s’agit également des fonctions
Hx : Gr0 (Fx ) → C
décomposées spectralement en
0
Hx (g, g )
=
−1
|detG (g)|x 2
·
−1
|detρ (g)|x 2
· | det(g
0
−r
)|x
0 −1
X Z
·
2
(r,π0 )
dλ · dπ
b x ×Im [π0 ])/U (1)
(Im Λ
−1
0
· Lx ρ, λ−1 , π ∨ , qx 2 · ϕG
x,λ (g) · Hx,r,π0 (λ, π, g )
où chaque (λ, π) 7→ Hx,r,π0 (λ, π, g 0 ) est polynomial et chaque g 0 7→ Hx,r,π0 (λ, π, g 0 ) est combinaison linéaire
0
de coefficients matriciels de la représentation Indrr (π). La ψx -transformée de Fourier relative à ρr0 d’une
telle fonction Hx est définie par sa décomposition spectrale
X Z
r 0 −1
1
1
0 − 2
2
b x (g, g 0 ) = |detG (g)|x− 2 · |detρ (g)|−
H
·
dλ · dπ
x · | det(g )|x
(r,π0 )
b x ×Im [π0 ])/U (1)
(Im Λ
−1
−1
−1
· Lx ρ, λ, π, qx 2 · ε ρ, λ, π, qx 2 · ϕG
) · Hx,r,π0 (λ, π, g 0−1 ) .
x,λ (g
En une place arbitraire x ∈ |F |, on peut même définir la ψx -transformation de Fourier des fonctions
hx : G(Fx ) → C
décomposées spectralement en
−1
−1
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
XZ
χ0
−1
dχ · Lx ρ, χ−1 , qx 2 · hx,χ (g)
Im [χ0 ]T
où chaque [χ0 ]T 3 χ 7→ hx,χ (g) est polynomial et chaque g 7→ hx,χ (g) est combinaison linéaire de coefficients
matriciels de la représentation IndG
B (χ). La ψx -transformée de Fourier relative à ρ d’une telle fonction hx est
donnée par sa décomposition spectrale
XZ
− 21
−1
−1
− 21
b
dχ · Lx ρ, χ, qx 2 · εx ρ, χ, ψx , qx 2 · hx,χ (g −1 ) .
hx (g) = |detG (g)|x · |detρ (g)|x ·
χ0
Im [χ0 ]T
Toujours pour x ∈ |F | arbitraire, considérons les fonctions
Hx : Gr0 (Fx ) → C
décomposées spectralement en
Hx (g, g 0 )
=
−1
−r
−1
|detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · | det(g 0 )|x
0 −1
2
·
XZ
χ0
dχ · dz
(Im [χ0 ]T ×Im Tbr )/U (1)
−1
· Lx ρ, χ−1 , z −1 , qx 2 · Hx,χ0 (χ, z, g, g 0 )
317
où chaque (χ, z) 7→ Hx,χ0 (χ, z, g, g 0 ) est polynomial et chaque (g, g 0 ) 7→ Hx,χ0 (χ, z, g, g 0 ) est combinaison
GLr0
linéaire de produits d’un coefficient matriciel de IndG
B (χ) et d’un coefficient matriciel de IndBr0 (z). La ψx transformation de Fourier relative à ρr0 d’une telle fonction Hx est donnée par sa décomposition spectrale
XZ
r 0 −1
1
1
0 − 2
2
b x (g, g 0 ) = |detG (g)|x− 2 · |detρ (g)|−
·
|
det(g
)|
·
H
dχ · dz
x
x
χ0
− 12
· Lx ρ, χ, z, qx
b r )/U (1)
(Im [χ0 ]T ×Im Λ
−1
· εx ρ, χ, z, ψx , qx 2 · Hx,χ0 (χ, z, g −1 , g 0−1 ) .
Dans ce paragraphe, nous voulons définir également une ψx -transformation de Fourier pour des fonctions
sur G(Fx ) ou Gr0 (Fx ) dont la ramification est bornée, après torsion par un caractère suffisamment ramifié.
Commençons par rappeler le résultat suivant dû à Jacquet et Shalika :
Lemme IX.1. –
En une place arbitraire x ∈ |F |, considérons une extension finie séparable (éventuellement ramifiée) Fx0
de Fx , munie du caractère additif composé
ψx
Tr
Fx0 −→ Fx −→ C× ,
un entier r0 ≥ 1 et un sous-groupe ouvert compact Kx0 de GLr0 (Fx0 ).
Alors pour tout caractère continu
ωx0 : Fx0× → C×
suffisamment ramifié en fonction de r0 et Kx0 , et pour toute représentation lisse admissible irréductible πx0
de GLr0 (Fx0 ) qui admet des vecteurs non nuls invariants par Kx0 , on a
Lx (ωx0 ⊗ πx0 , Z) = 1
et
0
εx (ωx0 ⊗ πx0 , ψx , Z) = εx (ωx0 , ψx , Z)r −1 · εx (ωx0 χπx0 , ψx , Z)
où ωx0 ⊗ πx0 désigne le produit tensoriel de la représentation πx0 et du caractère composé
det
ω0
x
GLr0 (Fx0 ) −→ Fx0× −→
C×
et χπx0 : Fx0× → C× désigne le caractère central de πx0 .
Revenons maintenant à la représentation bien disposée
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
Q
et à l’algèbre finie séparable E =
1≤i≤e
Eimi sur F que définit l’action induite de ΓF sur l’ensemble des r
vecteurs de base de Cr .
On déduit du lemme précédent :
Corollaire IX.2. –
Q
Considérons comme dans la définition II.10 du paragraphe II.4 le groupe linéaire GLE =
ResEi /F GLmi
1≤i≤e
Q
Q
∼ ab associé à la
de centre ZE =
ResEi /F Gm et de quotient torique
ResEi /F Gm = GLab
E = G
1≤i≤e
1≤i≤e
représentation bien disposée
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Alors on a en toute place x ∈ |F | :
318
(i) Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de GLE (Fx ), pour tout caractère continu
×
ωx : GLab
E (Fx ) → C
suffisamment ramifié en fonction de Kx , et pour toute représentation lisse admissible irréductible πx
de GLE (Fx ) qui admet des vecteurs non nuls invariants par Kx , on a
Lx (ωx ⊗ πx , Z) = 1
et
Y
εx (ωx ⊗ πx , ψx , Z) = εx (ωx χπx , ψx , Z) ·
εx (ωxi , ψx , Z)mi −1
1≤i≤e
où
• ωx ⊗ πx désigne le produit tensoriel de la représentation πx et du caractère composé
ω
x
×
GLE (Fx ) −→ GLab
E (Fx ) −→ C ,
• χπx : ZE (Fx ) → C× désigne le caractère central de πx vu comme un caractère de GLab
E (Fx ) via
l’isomorphisme
Y
ResEi /F Gm ∼
ZE ∼
= GLab
=
E ,
1≤i≤e
• les ωxi : (Ei ⊗F Fx )× → C× , 1 ≤ i ≤ e, sont les composantes de ωx :
Q
(Ei ⊗F Fx )× → C× .
1≤i≤e
(ii) Pour tout sous-groupe ouvert compact Ix de T (Fx ), pour tout caractère continu
×
ωx : Gab (Fx ) = GLab
E (Fx ) → C
suffisamment ramifié en fonction de Ix , et pour tout caractère
χx : T (Fx ) → C
invariant par Ix , on a
Lx (ωx χx , Z) = 1
et
E
εx (ωx χx , ψx , Z) = εx (ωx χZ
x , ψx , Z) ·
Y
εx (ωxi , ψx , Z)mi −1
1≤i≤e
où
• les facteurs locaux Lx et εx du caractère ωx χx produit de χx : T (Fx ) → C× et de T (Fx ) −→
ωx χx
ω
x
Gab (Fx ) −→
C× sont ceux du caractère composé TE (Fx ) −→ T (Fx ) −−−−→ C× calculés sur
Q
E ⊗ F Fx =
(Ei ⊗F Fx )mi ,
1≤i≤e
•
×
: ZE (Fx ) → C× désigne le caractère de ZE (Fx ) ∼
= GLab
E (Fx ) composé de χx : T (Fx ) → C
E
χZ
x
et de
0
ZE (Fx ) → ZG
(Fx ) ,→ T (Fx ) ,
Q
E
• le facteur local εx du caractère ωx χZ
de GLab
(Ei ⊗F Fx )× = ZE (Fx ) est calculé
x
E (Fx ) =
1≤i≤e
Q
sur
(Ei ⊗F Fx ), et ceux des composantes ωxi : (Ei ⊗F Fx )× → C× , 1 ≤ i ≤ e, de ωx sont
1≤i≤e
calculés sur les (Ei ⊗F Fx ).
319
Démonstration :
(i) est conséquence immédiate du lemme IX.1.
(ii) se déduit de (i) appliqué aux représentations de GLE (Fx ) induites normalisées
E
IndGL
BE (χx )
des caractères composés
χx
BE (Fx ) −→ TE (Fx ) −→ T (Fx ) −→ C×
via le sous-groupe de Borel
BE =
Y
ResEi /F Bmi
1≤i≤e
de
GLE =
Y
ResEi /F GLmi .
1≤i≤e
La partie (ii) du corollaire IX.2 ci-dessus permet de définir une ψx -transformation de Fourier relative à ρ
pour les fonctions localement constantes à support compact sur G(Fx ) tordues par un caractère suffisamment
ramifié :
Définition IX.3. –
Soient un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel (T, B), et un semi-groupe
normal G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Soient d’autre part une place arbitraire x ∈ |F |, un caractère additif continu non trivial
ψx : Fx → C×
un sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ) et le sous-groupe ouvert compact Ix de T (Fx ) défini comme
l’intersection Ix = Kx ∩ T (Fx ).
Soient enfin un caractère continu
×
ωx : G(Fx ) → Gab (Fx ) = GLab
E (Fx ) → C
suffisamment ramifié en fonction de Ix pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii), et une fonction à
support compact
hx : G(Fx ) → C ,
invariante à gauche [resp. à droite] par Kx , et écrite sous la forme
XZ
− 12
− 21
hx (g) = |detG (g)|x · |detρ (g)|x ·
χ0
dχ · hx,χ (g)
Im [χ0 ]
où
• χ0 décrit un ensemble fini de représentants unitaires de classes d’équivalence faible [χ0 ] de caractères
Y
ZE (Fx ) =
(Ei ⊗F Fx )× → C× ,
1≤i≤e
320
• pour tout g ∈ G(Fx ) et tout χ0 , la fonction
[χ0 ] 3 χ 7→ fx,χ (g)
est polynomiale,
• pour tout représentant χ0 et tout χ ∈ [χ0 ], la fonction
G(Fx ) 3 g 7→ hx,χ (g)
est à support compact modulo ZG (Fx ), invariante à gauche [resp. à droite] par Kx , et vérifie
hx,χ (z · g) = χ(z) · hx,χ (g) ,
∀ z ∈ ZE (Fx ) ,
∀g.
Dans ces conditions, on définit la ψx -transformée de Fourier relative à ρ de la fonction à support compact
h0x : G(Fx ) → C
g
7→ hx (g) ωx (g)
comme la fonction à support compact
b
h0x : G(Fx ) → C
donnée par la somme
b
h0x (g)
−1
−1
= |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · ωx (g −1 ) ·
XZ
χ0
dχ · hx,χ (g −1 )
Im [χ0 ]
Y
−1
− 1 mi −1
· εx ωx χx , ψx , qx 2 ·
εx ωxi , ψx , qx 2
.
1≤i≤e
Remarque : On note que cetteQ
définition s’applique aussi bien aux groupes croisés Gr0 , r0 ≥ 2, de G. Chaque
ab
Gab
s’identifie
à
G
.
Si
E
=
Eimi est l’algèbre séparable associée à la représentation bien disposée ρ :
r0
1≤i≤e
Q mi ·r0
r0
b
b r0 oΓF → GLrr0 (C),
GoΓ
Ei
est celle associée à la représentation croisée ρr0 : G
F → GLr (C), E =
1≤i≤e
et le centre ZE r0 du groupe GLE r0 s’identifie au centre ZE de GLE .
Cette définition étant posée, on déduit du corollaire IX.2(ii) :
Proposition IX.4. –
Dans les conditions et avec les notations de la définition IX.3 ci-dessus, et pour tout g ∈ G(Fx ), la
fonction
1
1
1
T (Fx ) 3 t 7→ |detG (g)|x2 · |detρ (g)|x2 · |detρ (t)|x2 · h0x (t · g)
1
[resp.
1
1
t 7→ |detG (g)|x2 · |detρ (g)|x2 · |detρ (t)|x2 · h0x (g · t)]
admet pour ψx -transformée de Fourier relative à l’homomorphisme TE (Fx ) → T (Fx ) la fonction
1
1
1
−
−
T (Fx ) 3 t 7→ |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · |detρ (t)|x2 · b
h0x (g −1 · t)
1
1
[resp.
1
−
−
t 7→ |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · |detρ (t)|x2 · b
h0x (t · g −1 )] .
321
Remarque : Comme la définition IX.3, cette proposition s’applique aussi bien aux groupes croisés Gr0 ,
r0 ≥ 2, de G. On rappelle que chaque Gr0 admet pour tore maximal
TGr0 = {(t, t0 ) ∈ T × Tr0 | detG (t) = det(t0 )} .
Dans le cas d’un groupe croisé Gr0 de degré r0 ≥ 2 de G, on peut définir de manière analogue la
ψx -transformation de Fourier des fonctions de type de Whittaker sur Gr0 (Fx ) tordues par un caractère
suffisamment ramifié.
Pour un caractère additif continu non trivial
ψx0 : Fx → C×
et le caractère régulier
0
×
ψ(r
0 ) : Nr 0 (Fx ) → C
qu’il induit, une fonction
Wx : Gr0 (Fx ) → C
est de
“ψx0 -type
de Whittaker” [resp.
“ψx0 -type
de Whittaker droit”] quand elle vérifie
0
Wx (ug) = ψ(r
0 ) (u) · Wx (g) ,
∀ u ∈ Nr0 (Fx ) ,
0
[resp. Wx (gu−1 ) = ψ(r
0 ) (u) · Wx (g) ,
∀g
∀ u ∈ Nr0 (Fx ) ,
∀g ].
Posons :
Définition IX.5. –
On considère toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F , une représentation de transfert “bien
b o ΓF → GLr (C), une place arbitraire x ∈ |F | et un caractère additif continu non trivial
disposée” ρ : G
×
ψx : Fx → C .
0
On considère d’autre part un degré r0 ≥ 2, le caractère régulier ψ(r
0 ) : Nr 0 (Fx ) → C induit par un
×
0
caractère continu non trivial ψx : Fx → C , un sous-groupe ouvert compact Kx de Gr0 (Fx ) et le sous-groupe
ouvert Ix de TGr0 (Fx ) défini comme l’intersection Ix = Kx ∩ TGr0 (Fx ).
Soient enfin un caractère continu
ab
×
ωx : Gr0 (Fx ) → Gab
r 0 (Fx ) = G (Fx ) → C
suffisamment ramifié en fonction de Ix pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii), et une fonction
de ψx0 -type de Whittaker
Wx : Gr0 (Fx ) → C ,
à support compact dans Nr0 (Fx )\Gr0 (Fx ), invariante à droite par Kx , et écrite sous la forme
XZ
−1
−1
dχ · Wx,χ (g)
Wx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
χ0
Im [χ0 ]
où
• χ0 décrit un ensemble fini de repésentants unitaires de classes d’équivalence faible [χ0 ] de caractères
Y
ZE (Fx ) =
(Ei ⊗F Fx )× → C× ,
1≤i≤e
322
• pour tout g ∈ Gr0 (Fx ) et tout χ0 , la fonction
[χ0 ] 3 χ 7→ Wx,χ (g)
est polynomiale,
• pour tout représentant χ0 et tout χ ∈ [χ0 ], la fonction
Gr0 (Fx ) 3 g 7→ Wx,χ (g)
est de ψx0 -type de Whittaker, à support compact dans Nr0 (Fx )\Gr0 (Fx )/ZGr0 (Fx ), invariante à droite
par Kx , et vérifie
Wx,χ (z · g) = χ(z) · Wx,χ (g) ,
∀ z ∈ ZE (Fx ) , ∀ g .
Dans ces conditions, on définit la ψx -transformée de Fourier relative à ρr0 de la fonction de ψx0 -type de
Whittaker
Wx0 = Wx · ωx
comme la fonction de ψx0 -type de Whittaker droit
cx0 : Gr0 (Fx ) → C
W
donnée par la somme
cx0 (g)
W
=
−1
−1
|detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · ωx (g −1 ) ·
XZ
χ0
dχ · Wx,χ (g −1 )
Im [χ0 ]
Y
−1
− 1 mi −1
· εx ωx χx , ψx , qx 2 ·
εx ωxi , ψx , qx 2
.
1≤i≤e
Remarque : Cette définition et la définition IX.3 sont compatibles avec la formation des ψx0 -coefficients
unipotents réguliers.
Cela signifie que si une fonction
h0x : Gr0 (Fx ) → C
a la forme de la définition IX.3, alors son ψx0 -coefficient unipotent régulier
ψ0
W(rx0 ) h0x : Gr0 (Fx ) → C
a la forme de la définition IX.5 ci-dessus et admet pour ψx -transformée de Fourier relatif à ρr0 le ψx0 -coefficient
unipotent régulier droit
0
0
f ψx0 b
W
(r ) hx .
Enfin, on déduit du corollaire IX.2(ii) l’analogue suivant de la proposition IX.4 :
Proposition IX.6. –
Dans les conditions et avec les notations de la définition IX.5 ci-dessus, et pour tout g ∈ Gr0 (Fx ), la
fonction
1
1
1
TGr0 (Fx ) 3 t 7→ |detGr0 (g)|x2 · |detρr0 (g)|x2 · |detρr0 (t)|x2 · Wx0 (g · t)
admet pour ψx -transformée de Fourier relative à l’homomorphisme TE r0 (Fx ) → TGr0 (Fx ) la fonction
−1
−1
1
cx0 (t · g −1 ) .
TGr0 (Fx ) 3 t 7→ |detGr0 (g)|x 2 · |detρr0 (g)|x 2 · |detρr0 (t)|x2 · W
323
2
Transformation de Fourier globale et formule de Poisson après
torsion
On considère toujours une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
d’un groupe réductif quasi-déployé G sur F muni d’une paire de Borel (T, B). On rappelle que Sρ désigne
l’ensemble fini des places x ∈ |F | en lesquelles G ou ρ sont ramifiés.
Soit ψ : A/F → C× un caractère additif continu non trivial.
Élargissons la notion de fonction de type L global sur G(A) et de ψ-transformation de Fourier relative à
ρ sur l’espace de ces fonctions :
Définition IX.7. –
Soit S une partie finie arbitraire de |F |.
(i) Une fonction
G(A) → C
invariante par un sous-groupe ouvert compact de G(A) et supportée par une partie compacte de G(A)
est dite “de S-type L global” si c’est une combinaison linéaire de fonctions produits
O
h=
hx
x∈|F |
dont les facteurs hx : G(Fx ) → C vérifient les conditions suivantes :
• en presque toute place x ∈ |F | − (Sρ ∪ S), hx est égale à la fonction standard
Z
− 12
− 21
−1
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · ϕG
g 7→ |detG (g)|x · |detρ (g)|x ·
x,λ (g) ,
bx
Im Λ
• en toute place x ∈ |F | − S, hx admet une décomposition spectrale de la forme
XZ
−1
−1
−1
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
dχ · Lx ρ, χ−1 , qx 2 · hx,χ (g)
χ0
Im [χ0 ]
où χ0 décrit un ensemble fini de représentants unitaires de classes d’équivalence faible [χ0 ] de
caractères χ : T (Fx ) → C× , chaque [χ0 ] 3 χ 7→ hx,χ (g) est polynomial et chaque g 7→ hx,χ (g) est
combinaison linéaire de coefficients matriciels de la représentation IndG
B (χ),
• en toute place x ∈ S, hx est une fonction localement constante à support compact dans G(Fx ).
(ii) Soient un sous-groupe ouvert compact de G(A)
Y
K=
Kx
x∈|F |
et, en toute place x ∈ S, le sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ T (Fx ) de T (Fx ).
Soit
ω=
O
ωx : G(A) → Gab (A) → C×
x∈|F |
un caractère continu, invariant par Gab (F ), non ramifié en toute place x ∈ |F | − S, et suffisamment
ramifié en toute place x ∈ S pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) relativement au sousgroupe ouvert compact Ix de T (Fx ).
324
Alors, pour toute fonction produit de S-type L global
O
h=
hx
x∈|F |
invariante à gauche [resp. à droite] par K =
Q
Kx , on définit la ψ-transformée de Fourier relative
x∈|F |
à ρ de la fonction
h·ω =
O
(hx · ωx )
x∈|F |
comme le produit des ψx -transformées de Fourier
O
hd
·ω =
h\
x · ωx .
x∈|F |
On étend cette définition par linéarité à l’espace des fonctions de S-type L global invariantes à gauche
[resp. à droite] par K.
Cette définition s’applique également aux groupes croisés Gr0 , r0 ≥ 2, de G. Mais sur ces groupes croisés
on peut l’étendre encore :
Définition IX.8. –
Soient un degré r0 ≥ 2 et une partie finie arbitraire S de |F |.
(i) Une fonction
Gr0 (A) → C
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A) et supportée par une
partie compacte de Gr0 (A) est dite “de S-type L global” si c’est une combinaison linéaire de fonctions
produits
O
H=
Hx
x∈|F |
dont les facteurs Hx : G(Fx ) → C vérifient les conditions suivantes, pour une partie finie S 0 ⊂ |F | − S
qui contient Sρ − (Sρ ∩ S) :
• en presque toute place x ∈ |F | − (Sρ ∪ S), Hx est égale à la fonction standard
Z
0
−1
− r −1
−1
dλ · dz
(g, g 0 ) 7→ |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · | det(g 0 )|x 2 ·
b x ×Im Tbr )/U (1)
(Im Λ
− 12
· Lx ρ, λ−1 , z −1 , qx
0
r
0
· ϕG
x,λ (g) · ϕx,z (g ) ,
• en toute place x ∈ |F | − (S 0 ∪ S) ⊂ |F | − (Sρ ∪ S), Hx se décompose spectralement sous la forme
0
X Z
−1
−1
− r −1
Hx (g, g 0 ) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · | det(g 0 )|x 2 ·
dλ · dπ
(r,π0 )
b x ×Im [π0 ])/U (1)
(Im Λ
− 12
· Lx ρ, λ−1 , π ∨ , qx
0
· ϕG
x,λ (g) · Hx,r,π0 (λ, π, g )
b x × [π0 ] et chaque g 0 7→ Hx,r,π (λ, π, g 0 )
où chaque (λ, π) 7→ Hx,r,π0 (λ, π, g 0 ) est polynomial sur Λ
0
est combinaison linéaire de coefficients matriciels de la représentation Indrr0 (π),
325
• en toute place x ∈ S 0 , Hx se décompose spectralement sous la forme
0
XZ
−1
−1
− r −1
Hx (g, g 0 ) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · | det(g 0 )|x 2 ·
χ0
dχ · dz
(Im [χ0 ]×Im Tbr )/U (1)
−1
· Lx ρ, χ−1 , z −1 , qx 2 · Hx,χ0 (χ, z, g, g 0 )
où chaque (χ, z) 7→ Hx,χ0 (g)(χ, z, g, g 0 ) est polynomial sur [χ0 ] × Tbr et chaque (g, g 0 ) 7→ Hx,χ0
(χ, z, g, g 0 ) est combinaison linéaire de produits d’un coefficient matriciel de IndG
B (χ) et d’un
GL
coefficient matriciel de IndBr0r0 (z),
• en toute place x ∈ S, Hx est une fonction localement constante à support compact dans Gr0 (Fx ).
(ii) Soient un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A)
Y
K=
Kx
x∈|F |
et, en toute place x ∈ S, le sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ TGr0 (Fx ) du tore maximal TGr0 (Fx ).
Soit
ω=
O
ab
×
ωx : Gr0 (A) → Gab
r 0 (A) = G (A) → C
x∈|F |
ab
un caractère continu, invariant par Gab
r 0 (F ) = G (F ), non ramifié en toute place x ∈ |F | − S, et suffisamment ramifié en toute place x ∈ S pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) relativement
au sous-groupe ouvert compact Ix de TGr0 (Fx ).
Alors, pour toute fonction produit de S-type L global
O
H=
Hx
x∈|F |
invariante à gauche [resp. à droite] par K =
Q
Kx , on définit la ψ-transformée de Fourier relative
x∈|F |
à ρr0 de la fonction
H ·ω =
O
(Hx · ωx )
x∈|F |
comme le produit des ψx -transformées de Fourier
O
[
H
·ω =
H\
x · ωx .
x∈|F |
On étend cette définition par linéarité à l’espace des fonctions de S-type L global invariantes à gauche
[resp. à droite] par K.
Il faut maintenant traiter le cas des fonctions de type de Whittaker sur Gr0 (A).
Choisissant pour cela un caractère additif continu non trivial
Y
ψ0 =
ψx0 : A → A/F → C× ,
x∈|F |
on dispose du caractère régulier induit
0
×
ψ(r
,
0 ) : Nr 0 (A)/Nr 0 (F ) → C
326
de la notion de fonction de ψ 0 -type de Whittaker [resp. de ψ 0 -type de Whittaker droit] sur Gr0 (A) et de
l’opérateur
ϕ0
H 7→ W(r
0) H
0
fψ0 H ]
[resp. H 7→ W
(r )
qui associe à toute fonction de type de Hecke H sur Gr0 (A) son ψ 0 -coefficient unipotent régulier [resp. son
ψ 0 -coefficient unipotent régulier droit].
Posons simplement :
Définition IX.9. –
Soient un degré r0 ≥ 2, le caractère régulier
0
×
ψ(r
0 ) : Nr 0 (A)/Nr 0 (F ) → C
induit par un caractère additif continu non trivial
ψ 0 : A/F → C× ,
et une partie finie arbitraire S de |F |.
(i) Une fonction de ψ 0 -type de Whittaker [resp. de ψ 0 -type de Whittaker droit]
W : Gr0 (A) → C
sera dite “de S-type L global à la Whittaker” [resp. “de S-type L global à la Whittaker droit”] s’il existe
une fonction de S-type L global
H : Gr0 (A) → C
telle que
0
ψ
W = W(r
0) H
[resp.
0
fψ0 H ] .
W =W
(r )
(ii) Soient un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A)
Y
K=
Kx
x∈|F |
et, en toute place x ∈ S, le sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ TGr0 (Fx ) du tore maximal TGr0 (Fx ).
Soit
ω=
O
ab
×
ωx : Gr0 (A) → Gab
r 0 (A) = G (A) → C
x∈|F |
ab
un caractère continu, invariant par Gab
r 0 (F ) = G (F ), non ramifié en toute place x ∈ |F | − S, et suffisamment ramifié en toute place x ∈ S pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) relativement
au sous-groupe ouvert compact Ix de TGr0 (Fx ).
Alors, pour toute fonction de S-type L global à la Whittaker
W : Gr0 (A) → C
invariante à droite par K, qui s’écrit comme le ψ 0 -coefficient unipotent régulier
0
ψ
W = W(r
0) H
327
d’une fonction de S-type L global
H : Gr0 (A) → C
invariante à droite par K, on appelle ψ-transformée de Fourier de
0
ψ
ω · W = W(r
0 ) (ω · H)
relativement à ρ la fonction de S-type L à la Whittaker opposé
0
f ψ 0 (ω[
\
ω
·W =W
· H) .
(r )
\
Remarque : Dans la partie (ii), la définition de ω
· W ne dépend pas du choix du relèvement H de W
puisque, si
O
W =
Wx
x∈|F |
est une fonction produit, on a
\
ω
·W =
O
ω\
x · Wx
x∈|F |
où chaque ω\
x · Wx est la ψx -transformée de Fourier locale de ωx · Wx en les sens déjà définis.
Nous pouvons maintenant énoncer une formule de Poisson conjecturale pour les différents types de fonctions de S-type L global que nous venons d’introduire, après torsion par un caractère continu
ω : Gab (A)/Gab (F ) → C×
non ramifié en les places x ∈ |F | − S et suffisamment ramifié en les places x ∈ S.
Du fait de la présence de ce caractère ω très ramifié en les places x ∈ S, on ne doit pas attendre de termes
de bord dans la formule de Poisson.
Proposons les deux conjectures suivantes :
Conjecture IX.10. –
Soit S une partie finie et non vide de |F |.
Soient un sous-groupe ouvert compact de G(A)
K=
Y
Kx
x∈|F |
et, en toute place x ∈ S, le sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ T (Fx ) de T (Fx ).
Soit
O
ω:
ωx : G(A) → Gab (A) → C×
x∈|F |
ab
un caractère continu, invariant par G (F ), non ramifié en toute place x ∈ |F | − S, et suffisamment ramifié
en toute place x ∈ S pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) relativement au sous-groupe ouvert
compact Ix de T (Fx ).
Alors, pour toute fonction de S-type L global
h : G(A) → C
328
invariante à gauche [resp. à droite] par K =
Q
Kx , on a la formule de Poisson sans terme de bord
x∈|F |
X
X
(h · ω)(γ) =
γ∈G(F )
hd
· ω (γ) .
γ∈G(F )
Remarque : On peut noter que
(h · ω)(γ) = h(γ) ,
∀ γ ∈ G(F ) .
Conjecture IX.11. –
Soient un degré r0 ≥ 2 et une partie finie non vide S de |F |.
Soient un sous-groupe ouvert compact de Gr0 (A)
Y
K=
Kx
x∈|F |
et, en toute place x ∈ S, le sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ TGr0 (Fx ) du tore maximal TGr0 (Fx ).
Soit
O
ab
×
ω=
ωx : Gr0 (A) → Gab
r 0 (A) = G (A) → C
x∈|F |
ab
un caractère continu, invariant par Gab
r 0 (F ) = G (F ), non ramifié en toute place x ∈ |F |−S, et suffisamment
ramifié en toute place x ∈ S pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) relativement au sous-groupe
ouvert compact Ix de TGr0 (Fx ).
Alors, pour toute fonction de S-type L global
H : Gr0 (A) → C
Q
invariante à gauche [resp. à droite] par K =
Kx , on a la formule de Poisson sans terme de bord
x∈|F |
X
X
(H · ω)(γ) =
γ∈Gr0 (F )
[
H
· ω (γ) .
γ∈Gr0 (F )
Remarque : Ici encore, on note que
(H · ω)(γ) = H(γ) ,
∀ γ ∈ Gr0 (F ) .
Notons le corollaire suivant de la conjecture IX.11 ci-dessus :
Corollaire conditionnel IX.12. –
Dans les conditions et avec les notations de la conjecture IX.11 ci-dessus, considérons encore un caractère
additif continu non trivial
ψ 0 : A/F → C× .
Alors, pour toute fonction de ψ 0 -type de Whittaker
W : Gr0 (A) → C
329
qui est “de S-type L global à la Whittaker” et qui est invariante à droite par K =
Q
Kx , on a la formule
x∈|F |
de Poisson sans terme de bord
X
X
(W · ω)(γ) =
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
\
W
· ω (γ) .
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
Démonstration :
Par hypothèse, on peut écrire
0
ψ
W = W(r
0) H
pour une certaine fonction de S-type L global
H : Gr0 (A) → C
invariante par K =
Q
Kx .
x∈|F |
Alors on a
X
Z
(W · ω)(γ) =
Nr0 (A)/Nr0 (F )
γ∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
et
X
γ∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
Z
\
W
· ω (γ) =
Nr0 (A)/Nr0 (F )
0−1
du · ψ(r
0 ) (u) ·
0−1
du · ψ(r
0 ) (u) ·
X
(H · ω)(uγ)
γ∈Gr0 (F )
X
[
H
· ω (γ u−1 )
γ∈Gr0 (F )
si bien que la formule de Poisson pour W · ω se déduit de celle pour H · ω et ses translatées à gauche par les
éléments u d’une partie compacte de Nr0 (A) qui relève Nr0 (A)/Nr0 (F ).
330
Chapitre X :
Construction de noyaux du transfert
avec ramification
1
Construction d’un noyau partiel
On considère encore et toujours un groupe réductif quasi-déployé G sur F , muni d’une paire de Borel
(T, B), et un semi-groupe G de groupe G qui est le dual d’une représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
supposée “bien disposée” au sens de la définition II.10 du paragraphe II.4. L’action de ΓF sur l’ensemble
des r vecteurs de base de l’espace Cr définit une algèbre E séparable de degré r sur F . Elle est décomposée
comme un produit de corps
Y
E=
Eimi
1≤i≤e
et il est associé à cette décomposition le groupe linéaire
Y
GLE =
ResEi /F GLmi
1≤i≤e
de tore maximal TE =
Q
i
ResEi /F Gm
m et de centre ZE =
1≤i≤e
Q
ResEi /F Gm . Le tore maximal T de G
1≤i≤e
s’identifie au quotient de TE par un sous-tore Tρ .
Dans ce chapitre, on considère également une partie finie S de |F | qui contient l’ensemble Sρ des places
en lesquelles G ou ρ sont ramifiés, un sous-groupe ouvert compact
Y
K=
Kx
x∈|F |
de G(A) tel que
∀ x ∈ |F | − S ,
Kx = G(Ox ) ,
une fonction produit invariante à gauche et à droite par K
O
ϕ0 =
ϕ0x : G(A) → C
x∈|F |
telle que
ϕ0x = 1IG(Ox ) ,
∀ x ∈ |F | − S ,
331
et un caractère automorphe unitaire
ω=
O
ωx : A× /F × → C×
x∈|F |
non ramifié en toutes les places x ∈ |F | − S. On sera amené à supposer ultérieurement que, en chaque place
x ∈ S, ωx est suffisamment ramifié en fonction de Kx .
Le but de ce chapitre est de construire à partir de toutes ces données un “K-noyau du transfert par ρ”
analogue à celui construit dans le chapitre VIII dans le cas sans ramification.
Pour cela, commençons par choisir une fois pour toutes un caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C× .
Les conducteurs de ses composantes locales ψx : Fx → C× , x ∈ |F |, sont notés Nψx . On supposera par
commodité que Nψx = 0 en toute place x ∈ S.
Au caractère ψ : A/F → C× est associé le caractère régulier
ψ(r) : Nr (A)/Nr (F ) → C×
et on dispose en toute place x ∈ |F | de la notion de fonction de ψx -type de Whittaker sur GLr (Fx ).
Partant des données constituées de Kx ⊂ G(Fx ), ϕ0x : G(Fx ) → C, ωx : Fx× → C× et ψx : Fx → C× , nous
voulons d’abord construire en toute place x ∈ |F | une fonction
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
qui est de ψx -type de Whittaker en la seconde variable g 0 ∈ GLr (Fx ).
Lorsque x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , on suit simplement la définition VIII.2 du paragraphe VIII.1, en posant
pour g ∈ G(Fx ), g 0 ∈ GLr (Fx ),
Z
G,ρ
0
r,ψx
0
Kψx (g, g ) =
dλex · ϕG
x,λex (g) · Wx,εx ·ρT ,x (g ) .
Im Tbxd
Cette fonction possède les propriétés (1), (2), (3), (4) énoncées dans la définition VIII.2. Avant de passer
aux places x ∈ S, nous voulons énoncer deux propriétés supplémentaires des noyaux KψG,ρ
en les places
x
x ∈ |F | − S : elles sont relatives à la torsion par les caractères non ramifiés ωx : Fx× → C× et à l’action du
centre Zr (Fx ) = Fx× de GLr (Fx ).
Pour cela, notons
µG : Gm → ZG ,→ T ,→ G
le cocaractère central de G qui est le dual du caractère composé
det
b −→ GLr (C) −→
µ
bG = detGb : G
C× .
Il est bien défini sur F puisque detGb est fixé par l’action de ΓF , et le composé
µG
detG
Gm −−−→ G −−−→ Gm
n’est autre que l’endomorphisme z 7→ z r du tore Gm .
Notons d’autre part
ωρ : A× /F × → {±1} ⊂ C×
332
le caractère automorphe d’ordre 2 qui correspond, via la théorie du corps de classes, au caractère d’ordre 2
ΓE → {±1}
qui associe à tout élément de ΓE la signature de la permutation induite de l’ensemble des r vecteurs de base
de Cr .
On a :
Lemme X.1. –
En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , le noyau local
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
choisi en suivant la définition VIII.2 du paragraphe VIII.1, possède les deux propriétés supplémentaires
suivantes :
(i) Pour tous g ∈ G(Fx ) et g 0 ∈ GLr (Fx ), on a
KψG,ρ
(g, g 0 ) · ωx (detG (g)) · ωx (det(g 0 )) = KψG,ρ
(g, g 0 ) .
x
x
(ii) Pour tous g ∈ G(Fx ), g 0 ∈ GLr (Fx ) et z ∈ Fx× = Zr (Fx ), on a
KψG,ρ
(g, z · g 0 ) = ωρ (z) · KψG,ρ
(µG (z) · g, g 0 ) .
x
x
Démonstration :
(i) On rappelle que le composé du cocaractère
c G : C× → Tb
det
et de l’homomorphisme induit par ρ
ρT : Tb → Tbr = (C× )r
n’est autre que le plongement diagonal
C× ,→ (C× )r .
Par conséquent, le composé du cocaractère
cG
det
C× −−−→ Tb −→ Tbxd ,
c G par la projection Tb → Tbd , et de l’homomorphisme
déduit de det
x
ρT,x : Tbxd → Tbr = (C× )r
est égal à
z 7→ (z ex , z ex , . . . , z ex ) .
Or, si z0 désigne un élément unitaire de C× dont la puissance z0ex est la valeur propre de Hecke du caractère
non ramifié ωx : Fx× → C× , la fonction
(g, g 0 ) 7→ KψG,ρ
(g, g 0 ) · ωx (detG (g)) · ωx (det(g 0 ))
x
s’écrit
Z
Im Tbxd
dλex · ϕG
c
x,λex · det
ex
G (z0 )
r,ψx
0
(g) · Wx,ε
ex (g ) .
x ·ρT ,x (λ)·z
333
0
Le résultat s’en déduit par le changement de variable d’intégration
c G (z0 )
λ 7→ λ · det
qui respecte la mesure dλex sur Im Tbxd .
(ii) Pour tout λ ∈ Tbxd , les fonctions
Fx× 3 z 7→ ϕG
x,λex (µG (z) · g) ,
g ∈ G(Fx ) ,
sont proportionnelles au caractère non ramifié
Fx× → C×
dont la valeur propre de Hecke est l’image de λ par
ρT ,x
det
Tbxd −−−→ Tbr = (C× )r −−−→ C× .
D’autre part, les fonctions
r,ψx
Fx× 3 z 7→ Wx,ε
(z · g 0 ) ,
x ·ρT ,x (λ)
g 0 ∈ GLr (Fx ) ,
sont proportionnelles au caractère non ramifié
Fx× → C×
dont la valeur propre de Hecke est l’image de εx · ρT,x (λ) par
det
Tbr = (C× )r −−−→ C× .
Or l’image
Q
εix de εx = (ε1x , . . . , εrx ) par
1≤i≤r
det
Tbr = (C× )r −−−→ C×
n’est autre que la signature de l’élément de Frobenius σx agissant par permutation sur l’ensemble des r
vecteurs de base de Cr .
Cela prouve ce que l’on voulait.
Avant de construire les fonctions
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
en les places restantes x ∈ S, nous avons besoin de deux lemmes préparatoires. Voici le premier :
Lemme X.2. –
En n’importe quelle place x ∈ S, notons Ix = Kx ∩ T (Fx ) le sous-groupe ouvert compact de T (Fx ) induit
par le sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ).
Alors, si le caractère continu unitaire
ωx : Fx× → C×
est suffisamment ramifié en fonction de Ix , on a pour tout caractère
χx : T (Fx ) → C
334
invariant par Ix non seulement
Lx ((ωx ◦ detG ) · χx , Z) = 1
et
Y
E
εx ((ωx ◦ detG ) · χx , ψx , Z) = εx (ωx χZ
x , ψx , Z) ·
εx ((ωx ◦ detG )i , ψx , Z)mi −1
1≤i≤e
comme dans le corollaire IX.2(ii) du paragraphe IX.1, mais aussi
r−1
r
εx ((ωx ◦ detG ) · χx , ψx , Z) = εx (ωx χZ
x ωρ , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)
où
×
×
×
×
r
• χZ
x : Zr (Fx ) = Fx → C désigne le caractère de Fx composé de χx : T (Fx ) → C et de
µG : Fx× → ZG (Fx ) → T (Fx ) ,
• ωρ désigne le caractère automorphe de A× introduit dans la discussion qui précède l’énoncé du lemme X.1,
r
• les facteurs εx locaux de ωx χZ
x ωρ et ωx sont calculés sur Fx .
Démonstration :
Si le caractère
ωx : Fx× → C×
est suffisamment ramifié en fonction de Ix , alors son composé avec l’homomorphisme
ab
×
detG : GLab
E (Fx ) = G (Fx ) → Fx
est suffisamment ramifié pour vérifier les conclusions du corollaire IX.2(ii) du paragraphe IX.1. D’où la
première assertion du lemme.
Pour la seconde assertion, considérons un caractère continu arbitraire
χ0x : TE (Fx ) = (E ⊗F Fx )× → C×
du groupe multiplicatif (E ⊗F Fx )× de l’algèbre E ⊗F Fx finie séparable de degré r sur Fx .
Comme le groupe de Galois de Fx est nilpotent, on sait associer à χ0x une représentation lisse admissible
irréductible πx0 de GLr (Fx ) telle que, pour tout caractère ωx0 : Fx× → C× , on ait
Lx ((ωx0 ◦ Nm) · χ0x , Z) = Lx (ωx0 ⊗ πx0 , Z)
et
εx ((ωx0 ◦ Nm) · χ0x , ψx , Z) = εx (ωx0 πx0 , ψx , Z) .
De plus, si χ0x ne décrit qu’un ensemble fini de classes d’équivalence faible de caractères continus de (E ⊗F
Fx )× , la ramification de πx0 reste bornée.
r
Enfin, pour χ0x et πx0 comme ci-dessus, le caractère χ0Z
: Zr (Fx ) = Fx× → C× déduit de χ0x via l’homox
Q ×
×
b
morphisme Zr = Gm → TE dual de TE =
C → C et le caractère central χπx0 : Fx× → C× de πx0
1≤i≤r
vérifient
r
χπx0 = χ0Z
x ωρ .
La seconde assertion du lemme résulte donc du lemme IX.1 du paragraphe IX.1 dû à Jacquet et Shalika.
En n’importe quelle place x ∈ S, revenons à la fonction à support compact
ϕ0x : G(Fx ) → C
335
invariante à gauche et à droite par le sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ).
On peut écrire cette fonction sous la forme
XZ
ϕ0x (g) =
dλ · ϕ0x,χ0,λ (g)
χ0
U (1)
où
• χ0 décrit un ensemble fini de représentants unitaires des classes d’équivalence faible de caractères
Fx× → C× invariants par l’image réciproque dans Fx× du sous-groupe ouvert compact Ix = Kx ∩ T (Fx )
de T (Fx ),
• pour λ ∈ C× , χ0,λ = χ0 ⊗ λvx (•) décrit la variété des caractères faiblement équivalents à chaque
représentant χ0 ,
• pour tout χ0 et tout g ∈ G(Fx ), la fonction
C× 3 λ 7→ ϕ0x,χ0,λ (g)
est polynomiale,
• pour tout χ0 et tout λ ∈ C× , la fonction
G(Fx ) 3 g 7→ ϕ0x,χ0,λ (g)
est invariante à gauche et à droite par Kx , et à support compact modulo l’action centrale de Fx× , et
elle vérifie
ϕ0x,χ0,λ (z · g) = χ0,λ (z) · ϕ0x,χ0,λ (g) ,
∀ z ∈ Fx× , ∀ g .
Pour tout élément χ0 de notre ensemble fini de représentants, on peut choisir une représentation lisse
admissible irréductible πχ0 ωρ de GLr (Fx ), induite normalisée d’un caractère unitaire de Tr (Fx ) = (Fx× )r , et
dont le caractère central
χπχ0 ωρ : Fx× → C×
est égal au produit de χ0 : Fx× → C× et du caractère
ωρ : Fx× → C×
qui est la composante locale en x du caractère automorphe ωρ : A× /F × → C× introduit dans la discussion
qui précède l’énoncé du lemme X.1.
On remarque que pour tout λ ∈ C× , le caractère central de la représentation
πχ0 ωρ ,λ = πχ0 ωρ ⊗ λvx ◦ det(•)
est égal à
χ0,λr · ωρ .
On a dans la situation et avec les notations que nous venons d’introduire :
Lemme X.3. –
En n’importe quelle place x ∈ S, et si
Nx ∈ N
est un entier suffisamment grand en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) et du caractère très ramifié
ωx : Fx× → C× ,
il est possible d’associer à tout élément χ0 de notre ensemble fini de représentants de classes d’équivalence
faible de caractères continus Fx× → C× , une fonction
r,ψx
Wx,π
: GLr (Fx ) → C
χ0 ωρ ⊗ ωx
qui possède les propriétés suivantes :
336
(1) C’est une fonction de Whittaker. Autrement dit, elle appartient à l’espace des fonctions W : GLr (Fx ) →
C vérifiant
W (u g 0 ) = ψx (u) · W (g 0 ) ,
∀ u ∈ Nr (Fx ) , ∀ g 0 .
(2) Elle appartient au ψx -modèle de Whittaker de la représentation lisse admissible irréductible
πχ0 ωρ ⊗ ωx
produit tensoriel de πx0 ωρ et du caractère
ωx ◦ det : GLr (Fx ) → Fx× → C× .
(3) Elle vaut 1 au point 1.
(4) Elle est invariante à droite par le sous-groupe ouvert compact
GLr (Ox )Nx ⊂ GLr (Ox )
constitué des matrices de GLr (Ox ) dont la réduction modulo $xNx a la forme


∗ ... ∗ ∗
 ..
.. .. 
.
. .

.
∗ . . . ∗ ∗
0 ... 0 1
En particulier, elle est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) plongé dans GLr (Ox ).
Démonstration :
L’ensemble fini de représentants χ0 ne dépend que de Ix et chaque représentation πχ0 ωρ ne dépend que
de χ0 · ωρ .
Il suffit donc de prouver le lemme pour chaque représentation
πχ0 ωρ ⊗ ωx
fixée, dès lors qu’elle a un modèle de Whittaker (comme induite normalisée d’un caractère unitaire de
Tr (Fx ) = (Fx× )r ).
La preuve pour une telle représentation fixée est donnée dans le paragraphe 8 de [Cogdell, PiatetskiShapiro].
Pour tout représentant χ0 dans notre famille finie et pour tout λ ∈ C× , la fonction
0
r,ψx
GLr (Fx ) 3 g 0 7→ Wx,π
(g 0 ) · λvx ◦ det(g )
ωρ ⊗ ωx
possède les propriétés (1), (3) et (4) du lemme, ainsi que l’analogue de la propriété (2) : elle est élément du
ψx -modèle de Whittaker de la représentation lisse admissible irréductible
πχ0 ωρ ,λ ⊗ ωx .
En particulier, son caractère central est égal à
χ0,λr · ωρ · ωxr .
Nous sommes maintenant en mesure de poser la définition suivante :
337
Définition X.4. –
En n’importe quelle place x ∈ S, considérons la fonction à support compact
ϕ0x : Kx \G(Fx )/Kx → C
décomposée sous la forme
ϕ0x (g) =
XZ
χ0
U (1)
dλ · ϕ0x,χ0,λ (g) ,
g ∈ G(Fx ) ,
comme dans la discussion qui précède l’énoncé du lemme X.3.
Choisissons un entier Nx ≥ 0 assez grand en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) et du caractère très ramifié
ωx : Fx× → C× pour qu’il soit possible de construire une famille de fonctions
r,ψx
Wx,π
: GLr (Fx ) → C
χ0 ωρ ⊗ ωx
indexées par la famille finie des représentants choisis χ0 des classes d’équivalence faible de caractères Fx× →
C× invariants par l’image réciproque de Ix , et qui possèdent les propriétés (1), (2), (3), (4) du lemme X.3
ci-dessus.
Alors on pose pour g ∈ G(Fx ), g 0 ∈ GLr (Fx ),
XZ
0
G,ρ
r,ψx
0
Kψx (g, g ) =
(g 0 ) · λvx ◦ det(g ) .
dλ · ϕ0x,χ0,λr (g) · ωx (detG (g)) · Wx,π
x0 ωρ ⊗ ωx
χ0
U (1)
Cette fonction
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
possède les propriétés suivantes :
(1) En la variable g ∈ G(Fx ), elle est le produit du caractère ωx ◦ detG et d’une fonction invariante à
gauche et à droite par Kx .
(2) En la variable g 0 ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox )Nx et de type de Whittaker au
sens que
KψG,ρ
(g, ug 0 ) = ψ(r) (u) · KψG,ρ
(g, g 0 ) ,
∀ u ∈ Nr (Fx ) , ∀ (g, g 0 ) .
x
x
(3) Pour tous g ∈ G(Fx ), g 0 ∈ GLr (Fx ) et z ∈ Fx× = Zr (Fx ) on a
KψG,ρ
(g, z · g 0 ) = ωρ (z) · KψG,ρ
(µG (z) · g, g 0 ) .
x
x
(4) Pour tout g 0 ∈ GLr (Fx ), la fonction
G(Fx ) 3 g 7→ KψG,ρ
(g, g 0 )
x
est à support compact.
Rappelant que nous avons noté
Qr = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1

∗



 ..

= .

∗



0
...
...
...

∗ 


.. 

.

∗ ∗


0 1
∗
..
.
le sous-groupe mirabolique supérieur de GLr , nous pouvons poser maintenant la définition globale suivante,
qui est analogue à la définition VIII.3 du paragraphe VIII.1 :
Définition X.5. –
En toute place x de la partie finie S ⊃ Sρ de |F |, supposons que
338
• la composante locale ωx : Fx× → C× du caractère automorphe unitaire ω : A× /F × → C× est suffisamment ramifiée en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ),
• nous avons choisi des fonctions
r,ψx
: GLr (Fx ) → C
Wx,π
χ0 ωρ ⊗ ωx
indexées par la famille finie des représentants χ0 dépendante de Ix , et qui possèdent les propriétés
(1), (2), (3), (4) du lemme X.3 relativement à un entier Nx ≥ 0 assez grand en fonction de Ix et du
caractère très ramifié ωx : Fx× → C× .
Alors on notera
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
la fonction définie par la somme localement finie

KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
X
X

Y
 (g1−1 γ g2 , δg) .
KψG,ρ
x

x∈|F |
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
Elle possède les propriétés suivantes :
(1) Si NS désigne la famille (Nx )x∈S et


Y
GLr (OA )NS = 
!
Y
GLr (Ox ) ×
GLr (Ox )Nx
x∈S
x∈|F |−S
le sous-groupe correspondant de GLr (OA ), la fonction KψG,ρ est le produit du caractère
(g1 , g2 , g) 7→ ω(detG (g1−1 g2 ))
et d’une fonction invariante à droite par K × K × GLr (OA )NS .
(2) En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , on a
KψG,ρ ∗3 ϕ0x = KψG,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
KψG,ρ ∗2 ϕx = KψG,ρ ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,φ
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,φ
.
(3) La fonction KψG,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ).
(4) Son ψ(r) -coefficient unipotent régulier
Z
ψ
−1
(g1 , g2 , g) 7→ W(r)
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
du · ψ(r)
(u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
Nr (F )\Nr (A)
est égal à

X

Y

γ∈G(F )
 (g1−1 γ g2 , g) ,
KψG,ρ
x
x∈|F |
et pour tout caractère
ψ` : Nr (F )\Nr (A) → C×
qui est irrégulier, le coefficient unipotent correspondant
Z
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ`−1 (u) · KψG,ρ (g1 , g2 , ug)
Nr (F )\Nr (A)
est uniformément nul.
339
Le but des prochains paragraphes sera de démontrer que les formules de Poisson conjecturées au paragraphe IX.2 impliquent le théorème conditionnel suivant :
Théorème conditionnel X.6. –
Supposant que la partie finie S ⊃ Sρ de |F | est non vide, notons
GLr (A)NS ⊂ GLr (A)
le sous-groupe ouvert image réciproque du sous-groupe ouvert compact
Y
Y
GLr (Ox )Nx ⊂
GLr (Ox )
x∈S
de
Q
x∈S
GLr (Fx ).
x∈|F |
Alors, dans les conditions et avec les notations de la définition X.5 ci-dessus, la restriction à
G(A) × G(A) × GLr (A)NS
de la fonction
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C
est invariante à gauche par
G(F ) × G(F ) × GLr (F )NS
où GLr (F )NS désigne l’intersection
GLr (F )NS = GLr (F ) ∩ GLr (A)NS .
2
Construction relative au sous-groupe mirabolique opposé
Comme dans le paragraphe 2 du chapitre VIII, on considère maintenant le sous-groupe mirabolique
inférieur de GLr


∗ ... ∗ 0 




 ..

.. .. 


op
op
. . .
Qop
.
r = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1 =

∗ . . . ∗ 0






∗ ... ∗ 1
En notant comme alors

0
 ..
.
wr = 

0
1
...
.
..
0
.
..
.
.
..
...
..
0
1



0

..  ,
.
0
wr−1
0
 ..
.

=
0

1
0
...
.
..
.
..
0
...

0
.
0 .. 

. .. .. 
,
..
. .


... 0 0
... 0 1
0
.
..
1
αr = wr wr−1
on rappelle que
−1
−1
Qop
r = (αr Nr αr ) · GLr−1 = GLr−1 · (αr Nr αr )
et
(αr−1 Nr αr ) ∩ GLr−1 = Nr−1 .
On considère encore toutes les données du paragraphe précédent :
340

0
1


=
0
.
 ..
0

... 0 1
. . . 0 0

. .
..
. .. .. 
,
.. 
.. ..
.
. 0 .
... 0 1 0
...
0
..
.
– un groupe réductif quasi-déployé G sur F et une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C) ,
ρ:G
– l’ensemble fini Sρ ⊂ |F | des places en lesquelles G ou ρ sont ramifiés,
– une partie finie non vide S de |F | qui contient Sρ ,
– une fonction à support compact
O
ϕ0 =
ϕ0x : G(A) → C
x∈|F |
invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact
Y
K=
Kx
x∈|F |
de G(A) et telle que
ϕ0x = 1IG(Ox ) ,
∀ x ∈ |F | − S ,
Kx = G(Ox ) ,
– un caractère automorphe continu unitaire
ω=
O
ωx : A× /F × → C×
x∈|F |
non ramifié en toute place x ∈ |F | − S et suffisamment ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) en
toute place x ∈ S,
– un caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C×
dont les conducteurs Nψx des composantes locales ψx : Fx → C× valent 0 en toutes les places x ∈ S,
– une famille NS = (Nx )x∈S d’entiers Nx ≥ 0, x ∈ S, suffisamment grands en fonction de Ix et de ωx .
Ces données ont permis de compléter les “noyaux locaux du transfert non ramifié” en les places x ∈ |F |−S,
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
(g, g 0 )
Z
7→
Im Tbxd
r,ψx
0
dλ · ϕG
x,λex (g) · Wx,εx ·ρT ,x (λ) (g ) ,
par les fonctions en les places x ∈ S introduites dans la définition X.4 du paragraphe précédent,
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
(g, g 0 )
7→
XZ
χ0
U (1)
0
r,ψx
dλ · ϕ0x,χ0 ,λr (g) · ωx (detG (g)) · Wx,π
(g 0 ) · λvx ◦ det(g ) .
χ0 ωρ ⊗ ωx
Posons parallèlement à la définition X.5 du précédent paragraphe :
Définition X.7. –
Dans les conditions et sous les hypothèses de la définition X.5, on notera
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → (C)
K
ψ
la fonction définie par la somme localement finie

e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
X

Y

γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
Elle possède les propriétés suivantes :
341
x∈|F |
 (g1−1 γ g2 , αr δ g) .
KψG,ρ
x
(1) En notant comme au paragraphe précédent

Y
GLr (OA )NS = 

!
Y
GLr (Ox ) ×
GLr (Ox )Nx
,
x∈S
x∈|F |−S
e G,ρ est le produit du caractère
la fonction K
ψ
(g1 , g2 , g) 7→ ω(detG (g1−1 g2 ))
et d’une fonction invariante à droite par K × K × GLr (OA )NS .
(2) En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , on a
e G,ρ ∗3 ϕ0x = K
e G,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
K
ψ
ψ
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,φ
,
e G,ρ ∗2 ϕx = K
e G,ρ ∗1 ϕ∨
K
x ,
ψ
ψ
G
∀ ϕx ∈ Hx,φ
.
e G,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qop (F ).
(3) La fonction K
r
ψ
(4) Son ψ(r) -coefficient unipotent régulier
Z
−1
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr · g)
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ(r)
(u) · K
ψ
Nr (F )\Nr (A)
est égal à

(g1 , g2 , g) 7→

Y
X

γ∈G(F )
 (g1−1 γ g2 , αr g) ,
KψG,ρ
x
x∈|F |
et pour tout caractère
ψ` : Nr (F )\Nr (A) → C×
qui est irrégulier, le coefficient unipotent correspondant
Z
e G,ρ (g1 , g2 , αr−1 u αr · g)
(g1 , g2 , g) 7→
du · ψ`−1 (u) · K
ψ
Nr (F )\Nr (A)
est uniformément nul.
Le but des prochains paragraphes sera de démontrer que les formules de Poisson conjecturées au paragraphe IX.2 impliquent le théorème conditionnel suivant :
Théorème conditionnel X.8. –
En notant comme dans l’énoncé du théorème conditionnel X.6 du paragraphe précédent
GLr (A)NS ⊂ GLr (A)
le sous-groupe ouvert image réciproque du sous-groupe ouvert compact
Y
Y
GLr (Ox )Nx ⊂
GLr (Ox )
x∈S
de
Q
x∈S
GLr (Fx ), les deux fonctions
x∈|F |
KψG,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
342
e G,ρ : G(A) × G(A) × GLr (A) → C ,
K
ψ
introduites dans les définitions X.5 et X.7 coı̈ncident sur le sous-groupe ouvert
G(A) × G(A) × GLr (A)NS
sous les hypothèses de ces définitions.
Remarque : Ce théorème conditionnel implique le théorème conditionnel X.6 du paragraphe précédent
d’après le lemme que voici :
Lemme X.9. –
Pour toute partie finie S de |F | et tous entiers Nx ≥ 0, x ∈ S, les sous-groupes
Qr (F )NS = Qr (F ) ∩ GLr (A)NS
et
op
Qop
r (F )NS = Qr (F ) ∩ GLr (A)NS
engendrent le sous-groupe discret
GLr (F )NS = GLr (F ) ∩ GLr (A)NS
de GLr (A)NS .
Démonstration :
Voir la proposition 9.1 de [Cogdell, Piatetski-Shapiro].
3
Expression locale des intégrales contre des fonctions tests
Conservant toutes les données des deux paragraphes précédents, on considère les deux fonctions
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
K
r
ψ
introduites dans les définitions V.5 et V.7. En la troisième variable g ∈ GLr (A), elles sont invariantes à
droite par le sous-groupe ouvert compact GLr (OA )NS .
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), les deux fonctions
GLr−1 (A) 3 g 0
7→ KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
g0
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
7→ K
ψ
et
sont invariantes à gauche par GLr−1 (F ) et invariantes à droite par le sous-groupe ouvert compact (g ·
GLr (OA )NS · g −1 ) ∩ GLr−1 (A) de GLr−1 (A). En particulier, si g ∈ GLr (A)NS , ces deux fonctions de g 0 ∈
GLr−1 (A) sont invariantes à droite par un sous-groupe ouvert compact qui contient en facteur le produit
Y
GLr−1 (Ox ) .
x∈S
343
Cette remarque amène à considérer les produits scalaires
Z
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) ·
GLr−1 (F )\GLr−1 (A)
Z
X
h(γ · g 0 )
γ∈GLr−1 (F )
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
=
GLr−1 (A)
et
e G,ρ,h (g1 , g2 , g)
K
ψ
Z
=
GLr−1 (F )\GLr−1 (A)
Z
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) ·
dg 0 · K
ψ
X
h(γ · g 0 )
γ∈GLr−1 (F )
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
dg 0 · K
ψ
=
GLr−1 (A)
contre des fonctions tests localement constantes à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs hx : GLr−1 (Fx ) → C sont sphériques en toutes les places x ∈ S.
Pour toute telle fonction test
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
on introduit en toute place x ∈ |F | les fonctions locales
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
définies par les intégrales
x
(mx , m0x ) 7→ WψG,ρ,h
(mx , m0x ) =
x ,g1 ,g2 ,g
Z
GLr−1 (Fx )
0
0−1 0
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 m−1
x g2 , gx g) · hx (mx gx )
x
et
(mx , m0x )
f G,ρ,hx (mx , m0x ) =
7→ W
ψx ,g1 ,g2 ,g
Z
GLr−1 (Fx )
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , wr tgx0−1 g) · hx (m0x wr−1 tgx0−1 ) .
x
En toutes les places x ∈ |F | − S, ces fonctions coı̈ncident avec celles introduites dans le lemme VIII.7 du
paragraphe VIII.3. En les places x ∈ S comme en les places x ∈ |F | − S, la fonction
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
est “de ψ(r−1) -type de Whittaker”, et la fonction
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
est “de ψ(r−1) -type de Whittaker droit”.
Formant les fonctions produits
Y
G,ρ,h
x
Wψ,g
=
WψG,ρ,h
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
et
f G,ρ,h =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
Y
f G,ρ,hx : G(A) × GLr−1 (A) → C ,
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
on a l’analogue suivant du lemme VIII.7 du paragraphe VIII.3 :
344
Lemme X.10. –
Considérons comme ci-dessus des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi qu’une fonction
produit localement constante à support compact
O
hx : GLr−1 (A) → C
h=
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx : GLr−1 (Fx ) → C sont supposés sphériques en les places x ∈ S.
Avec les notations introduites dans la discussion qui précède, on a alors :
(i) Le produit scalaire
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
Z
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
est égal à la somme
X
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ) .
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
(ii) De même, le produit scalaire
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
GLr−1 (A)
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
dg 0 · K
ψ
est égal à la somme
X
X
f G,ρ,h (γ, δ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
Considérons comme fixés les éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi que la fonction localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C .
x∈|F |
En toute place x ∈ |F |, nous voudrions décomposer spectralement les deux fonctions
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C ,
x ,g1 ,g2 ,g
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C ,
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
et leurs restrictions au groupe croisé
Gr−1 (Fx ) = {(mx , m0x ) ∈ G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) | detG (mx ) = det(m0x )} ,
en fonction des décompositions spectrales du noyau local
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
et de la fonction localement constante à support compact
hx : GLr−1 (Fx ) → C .
En les places x ∈ |F | − S, cela a été fait au paragraphe VIII.3 dans le cas où la fonction hx est sphérique
et au paragraphe VIII.4 dans le cas général d’une fonction hx arbitraire.
345
Reste à traiter les places x ∈ S.
En une telle place x ∈ S, la fonction hx est par hypothèse sphérique et elle se décompose spectralement
sous la forme
Z
0
hx (gx0 ) =
dz · Sxr−1 (hx )(z) · ϕr−1
x,z (gx ) .
Im Tbr−1
D’autre part, le noyau local
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x
a été défini comme une somme de la forme
XZ
0
r,ψx
0
(gx0 ) · λvx ◦ det(gx ) .
KψG,ρ
(g
,
g
)
=
dλ · ϕ0x,χ0,λr (gx ) · ωx (detG (gx )) · Wx,π
x x
χ0 ωρ ⊗ ωx
x
χ0
U (1)
Comme dans la discussion qui précède la proposition VIII.8 du paragraphe VIII.3, la décomposition
spectrale de hx induit, pour tout m0x ∈ GLr−1 (Fx ), une décomposition spectrale de la fonction de type de
Whittaker
Z
−1
−1
ψx
ψx
r−1
W(r−1)
hx (m0−1
•)
=
dz · Sxr−1 (hx )(z) · W(r−1)
ϕx,z
(m0−1
x
x •) .
Im Tbr−1
On a l’analogue suivant de la proposition VIII.8 :
Proposition X.11. –
En n’importe quelle place x ∈ S, considérons la famille finie des représentants unitaires choisis χ0 des
classes d’équivalence faible de caractères Fx× → C× invariants par l’image réciproque du sous-groupe ouvert
compact Ix = Kx ∩ T (Fx ) de T (Fx ).
Pour des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), on a :
(i) Pour tout élément χ0 de notre famille finie de représentants, l’intégrale
Z
−1
0
ψx
r,ψx
0−1
0
(gx0 gx ) · λvx ◦ det(gx gx ) · W(r−1)
dgx0 · Wx,π
ϕr−1
x,z (mx •)(gx ) ,
χ0 ωρ ⊗ ωx
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
que l’on peut aussi noter
Z
GLr−1 (Fx )
0
r,ψx
0−1 0
dgx0 · Wx,π
(gx0 gx ) · λvx ◦ det(gx gx ) · ϕr−1
x,z (mx gx ) ,
χ0 ωρ ⊗ ωx
converge absolument dès que λ ∈ C× et z = (z1 , . . . , zr−1 ) ∈ Tbr−1 = (C× )r−1 vérifient
|λ · zj | 1 ,
1 ≤ j ≤ r − 1,
et elle définit une fraction rationnelle en λ ∈ C× et z ∈ Tbr−1 invariante par Sr−1 .
(ii) Si le caractère ωx : Fx× → C× est suffisamment ramifié en fonction des représentations lisses admissibles irréductibles πχ0 ωρ de GLr (Fx ) associées aux représentants χ0 , c’est-à-dire en fonction de
Ix = Kx ∩ T (Fx ), les fractions rationnelles de (i) sont des polynômes en λ ∈ C× et z ∈ Tbr−1 que l’on
notera
ψx ,r,r−1
Wx,π
(gx , m0x ) .
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0
ρ
(iii) La fonction polynomiale en λ et z
C× × Tbr−1 × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
ψx ,r,r−1
(λ, z, gx , m0x ) 7→ Wx,π
(gx , m0x )
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0
possède les propriétés supplémentaires suivantes :
346
ρ
• en la variable gx ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox )Nx ,
• en la variable m0x ∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) et appartient au
GLr−1 −1
ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée IndBr−1
(z ), avec en particulier
ψx ,r,r−1
ψx ,r,r−1
Wx,π
(gx , ux m0x ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,π
(gx , m0x ) ,
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0
ρ
0
ρ
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
Démonstration :
(i) est un cas particulier du théorème général de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika sur les intégrales de
Rankin-Selberg.
(ii) résulte de (i) et du lemme IX.1 du paragraphe IX.1 dû à Jacquet et Shalika puisque, d’après Jacquet,
Piatetski-Shapiro et Shalika, les dénominateurs des fractions rationnelles de (i) sont de la forme
Y
−1
Lx πχ0 ωρ ⊗ ωx , λzj qx 2 .
1≤j≤r−1
(iii) est évident dans la zone de convergence des intégrales et s’étend à tous les (λ, z) ∈ C× × Tbr−1 par
prolongement analytique.
En toute place x ∈ S, notons
Kx0 = GLr−1 (Ox )
et
Wx 7→ Kx0 Wx
l’opérateur
Wx 7→
Kx0
Wx =
gx0
!
Z
7→
dkx ·
Wx (kx gx0 )
.
GLr−1 (Ox )
Comme le conducteur Nψx de ψx est égal à 0 par hypothèse sur ψ, l’opérateur composé
ψx
Wx 7→ W(r−1)
Kx0 Wx
GL
r−1
induit l’endomorphisme identique du ψx -modèle de Whittaker de l’induite normalisée IndBr−1
(z) de tout
caractère non ramifié z ∈ Tbr−1 de Tr−1 (Fx ).
On déduit de la proposition X.11 ci-dessus :
Corollaire X.12. –
Considérons des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi qu’une fonction test localement
constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les composantes locales hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques.
Considérons n’importe quelle place x ∈ S et supposons que le caractère ωx : Fx× → C× est suffisamment
ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ).
Alors on a en cette place x ∈ S :
347
(i) La fonction de type de Whittaker
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
se décompose sous la forme
x
WψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
XZ
=
Z
dλ ·
U (1)
χ0
Im Tbr−1
−1 −1
dz · ϕ0x,χ0,λr (g1−1 m−1
x g2 ) · ωx (detG (g1 mx g2 ))
ψx ,r,r−1
(g, m0x )
· Sxr−1 (hx )(z) · Wx,π
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0
ρ
où les notations sont celles de la proposition X.11.
En particulier, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction est à support compact modulo Nr−1 (Fx ).
(ii) La fonction de type de Hecke
G,ρ,h ,K 0
x
x
Hψx ,g1 ,g
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
2 ,g
définie par la somme
G,ρ,hx ,Kx0
Hψx ,g1 ,g
(mx , m0x )
2 ,g
=
XZ
χ0
Z
dλ ·
U (1)
Im Tbr
−1 −1
dz · ϕ0x,χ0,λr (g1−1 m−1
x g2 ) · ωx (detG (g1 mx g2 ))
ψx ,r,r−1
· Sxr−1 (hx )(z) · Kx0 Wx,π
(g, m0x )
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0
ρ
possède les propriétés suivantes :
• en la variable mx ∈ G(Fx ), elle est le produit de
mx 7→ ωx (detG (g1−1 m−1
x g2 ))
et d’une fonction invariante à gauche par g2 Kx g2−1 et invariante à droite par g1 Kx g1−1 ,
• en la variable m0x ∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à gauche et à droite par GLr−1 (Ox ),
• sa restriction à Gr−1 (Fx ) est à support compact,
• on a
G,ρ,h ,K 0
ψx
x
x
x
W(r−1)
Hψx ,g1 ,g
= WψG,ρ,h
.
2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
Passons maintenant à la fonction
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C .
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
Toujours d’après le théorème de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika sur les intégrales de Rankin-Selberg et
le lemme IX.1 du paragraphe IX.1 dû à Jacquet et Shalika, on a le parallèle suivant de la proposition X.11 :
Proposition X.13. –
Considérons comme dans la proposition X.11 une place x ∈ S et la famille finie des représentants unitaires
choisis χ0 des classes de caractères Fx× → C× invariants par l’image réciproque de Ix = Kx ∩T (Fx ) ⊂ T (Fx ).
Pour des éléments arbitraires gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), on a :
348
(i) Pour tout élément χ0 de notre famille finie de représentants, l’intégrale
Z
t 0−1
r,ψx
(wr tgx0−1 gx ) · λvx ◦ det( gx gx )
dgx0 · Wx,π
χ0 ωρ ⊗ ωx
Nr−1 (Fx )\GLr−1 (Fx )
ψx
0
t
−1
ϕr−1
· W(r−1)
)(gx0 ) ,
x,z (mx wr−1 (•)
que l’on peut aussi noter
Z
t 0−1
r,ψx
0
t 0−1
(wr tgx0−1 gx ) · λvx ◦ det( gx gx ) · ϕr−1
dgx0 · Wx,π
x,z (mx wr−1 gx ) ,
χ0 ωρ ⊗ ωx
GLr−1 (Fx )
converge absolument dès que λ ∈ C× et z = (z1 , . . . , zr−1 ) ∈ Tbr−1 = (C× )r−1 vérifient
|λ · zj | 1 ,
1 ≤ j ≤ r − 1,
et elle définit une fraction rationnelle en λ ∈ C× et z ∈ Tbr−1 invariante par Sr−1 .
(ii) Si le caractère ωx : Fx× → C× est suffisamment ramifié en fonction des représentations lisses admissibles irréductibles πχ0 ωρ de GLr (Fx ) associées aux représentants χ0 , c’est-à-dire en fonction de
Ix = Kx ∩ T (Fx ), les fractions rationnelles de (i) sont des polynômes en λ ∈ C× et z ∈ Tbr−1 que l’on
notera
0
f ψx ,r,r−1
W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx ) .
0 ρ
(iii) La fonction polynomiale en λ et z
C× × Tbr−1 × GLr (Fx ) × GLr−1 (Fx ) →
(λ, z, gx , m0x )
7→
C
f ψx ,r,r−1
W
0
x,πχ0 ωρ ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx )
possède les propriétés supplémentaires suivantes :
• en la variable gx ∈ GLr (Fx ), elle est invariante à droite par GLr (Ox )Nx ,
• en la variable m0−1
∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à droite par GLr−1 (Ox ) et appartient au
x
GLr−1 −1
ψ(r−1) -modèle de Whittaker de l’induite normalisée IndBr−1
(z ), avec en particulier
0 −1
0
f ψx ,r,r−1
f ψx ,r,r−1
W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx ux ) = ψ(r−1) (ux ) · Wx,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx ) ,
0 ρ
0 ρ
∀ ux ∈ Nr−1 (Fx ) .
On déduit de cette proposition le parallèle suivant du corollaire X.12 :
Corollaire X.14. –
Considérons comme dans le corollaire X.12 des éléments arbitraires g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), ainsi
qu’une fonction test localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les composantes locales hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques.
Considérons n’importe quelle place x ∈ S et supposons que le caractère ωx : Fx× → C× est suffisamment
ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ).
Alors on a en cette place x ∈ S :
349
(i) La fonction de type de Whittaker droit
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
se décompose sous la forme
f G,ρ,hx (mx , m0x )
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
XZ
=
Z
dλ ·
U (1)
χ0
Im Tbr−1
dz · ϕ0x,χ0,λr (g1−1 mx g2 )
0
f ψx ,r,r−1
ωx (detG (g1−1 mx g2 )) · Sxr−1 (hx )(z) · W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx )
·
0 ρ
où les notations sont celles de la proposition X.13.
En particulier, la restriction à Gr−1 (Fx ) de cette fonction est à support compact modulo Nr−1 (Fx ).
(ii) En notant toujours Kx0 = GLr−1 (Ox ) et
Wx 7→ Wx Kx0 =
GLr−1 (Fx ) 3 gx0 7→
Z
!
dkx · Wx (gx0 kx )
GLr−1 (Ox )
l’opérateur de moyennisation à droite par Kx0 , la fonction de type de Hecke
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
définie par la somme
0
e G,ρ,hx ,Kx (mx , m0x )
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
=
XZ
χ0
·
Z
dλ ·
U (1)
Im Tbr−1
dz · ϕ0x,χ0,λr (g1−1 mx g2 )
0
0
f ψx ,r,r−1
ωx (detG (g1−1 mx g2 )) · Sxr−1 (hx )(z) · (W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z Kx )(g, mx )
0 ρ
possède les propriétés suivantes :
• en la variable mx ∈ G(Fx ), elle est le produit de
mx 7→ ωx (detG (g1−1 mx g2 ))
et d’une fonction invariante à gauche par g1 Kx g1−1 et invariante à droite par g2 Kx g2−1 ,
• en la variable m0x ∈ GLr−1 (Fx ), elle est invariante à gauche et à droite par GLr−1 (Ox ),
• sa restriction à Gr−1 (Fx ) est à support compact,
• on a
0
f ψx H
e G,ρ,hx ,Kx f G,ρ,hx
W
(r−1) ψx ,g1 ,g2 ,g = Wψx ,g1 ,g2 ,g .
4
Échange par transformation de Fourier
On continue l’analyse du paragraphe précédent, pour un groupe réductif G sur F , une représentation
b o ΓF → GLr (C) et une partie finie S de |F | qui contient le lieu Sρ de
de transfert “bien disposée” ρ : G
ramification de G ou ρ.
Le présent paragraphe est parallèle au paragraphe VIII.5 par rapport auquel il n’introduit de modifications qu’aux places x ∈ S.
350
Étant donnés des éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et une fonction test localement constante à
support compact
O
hx : GLr−1 (A) → C
h=
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques, considérons à nouveau les
deux fonctions globales
G,ρ,h
Wψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C ,
1 ,g2 ,g
f G,ρ,h : G(A) × GLr−1 (A) → C ,
W
ψ,g1 ,g2 ,g
introduites dans la discussion préliminaire au lemme X.10 du paragraphe précédent.
G,ρ,h
La fonction Wψ,g
est le produit sur toutes les places x ∈ |F | des fonctions locales
1 ,g2 ,g
x
WψG,ρ,h
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C .
x ,g1 ,g2 ,g
En les places x ∈ |F | − S, ces fonctions sont décomposées spectralement dans le corollaire VIII.10 du
paragraphe VIII.3 ou le corollaire VIII.16 du paragraphe VIII.4 selon que hx est sphérique ou non. En les
places restantes x ∈ S, elles sont décomposées dans le corollaire X.12 du paragraphe précédent.
f G,ρ,h
De même, la fonction W
ψ,g1 ,g2 ,g est le produit sur toutes les places x ∈ |F | des fonctions locales
f G,ρ,hx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C .
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
En les places x ∈ |F | − S, ces fonctions sont décomposées spectralement dans le corollaire VIII.13 du
paragraphe VIII.3 ou le corollaire VIII.19 du paragraphe VIII.4 selon que hx est sphérique ou non. En les
places restantes x ∈ S, elles sont décomposées dans le corollaire X.14 du paragraphe précédent.
En toute place x ∈ S, posons Kx0 = GLr−1 (Ox ). Et choisissons des sous-groupes ouverts Kx0 des groupes
GLr−1 (Ox ), x ∈ |F | − S, comme dans le paragraphe VIII.5.
Ces choix permettent de définir en toute place x ∈ |F | des fonctions de type de Hecke
G,ρ,h ,K 0
x
x
Hψx ,g1 ,g
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
2 ,g
et
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C .
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
Leur produit sur toutes les places x ∈ |F | définit deux fonctions globales de type de Hecke
Y G,ρ,h ,K 0
G,ρ,h
x
x
Hψ,g
=
Hψx ,g1 ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
2 ,g
x∈|F |
et
e G,ρ,h
H
ψ,g1 ,g2 ,g =
0
e G,ρ,hx ,Kx : G(A) × GLr−1 (A) → C .
H
ψx ,g1 ,g2 ,g
Y
x∈|F |
On obtient comme conséquence des corollaires VIII.10, VIII.13, VIII.16 et VIII.19 du chapitre VIII complétés
par les corollaires X.12 et X.14 du paragraphe précédent :
Corollaire X.15. –
Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A), et pour toute fonction test localement constante à
support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques, on a :
351
(i) La fonction produit
G,ρ,h
Hψ,g
: G(A) × GLr−1 (A) → C
1 ,g2 ,g
possède les propriétés suivantes :
• en la variable m ∈ G(A), elle est le produit du caractère
m 7→ ω(detG (m−1 ))
et d’une fonction invariante à gauche par g2 Kg2−1 et invariante à droite par g1 Kg1−1 ,
• en la variable m0 ∈ GLr−1 (A), elle
Q est 0invariante à droite par GLr−1 (OA ) et invariante à gauche
par le sous-groupe ouvert K 0 =
Kx ⊂ GLr−1 (OA ),
x∈|F |
• sa restriction à Gr−1 (A), multipliée par le caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
· ω(detG (m)) ,
est “de S-type L global” au sens de la définition IX.8(i) du paragraphe IX.2,
• on a
ψ
G,ρ,h
G,ρ,h
W(r−1)
Hψ,g
= Wψ,g
.
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
(ii) De même, la fonction produit
e G,ρ,h
H
ψ,g1 ,g2 ,g : G(A) × GLr−1 (A) → C
possède les propriétés suivantes :
• en la variable m ∈ G(A), elle est le produit du caractère
m 7→ ω(detG (m))
et d’une fonction invariante à gauche par g1 Kg1−1 et invariante à droite par g2 Kg2−1 ,
• en la variable m0 ∈ GLr−1 (A), elle est invariante à gauche par GLr−1 (OA ) et invariante à droite
par le sous-groupe ouvert K 0 ⊂ GLr−1 (OA ),
• sa restriction à Gr−1 (A), multipliée par le caractère
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
· ω(detG (m−1 )) ,
est “de S-type L global” au sens de la définition IX.8(i) du paragraphe IX.2,
• on a
fψ
e G,ρ,h
f G,ρ,h
W
(r−1) Hψ,g1 ,g2 ,g = Wψ,g1 ,g2 ,g .
Ici encore, le résultat local central que nous allons utiliser est “l’équation fonctionnelle locale des intégrales
de Rankin-Selberg” démontrée par Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika. En combinant ce résultat avec le
lemme IX.1 du paragraphe IX.1 dû à Jacquet et Shalika, on obtient en les places x ∈ S :
Théorème X.16. –
Considérons comme dans les propositions X.11 et X.13 du paragraphe précédent une place x ∈ S et la
famille finie des représentants unitaires choisis χ0 des classes de caractères Fx× → C× invariants par l’image
réciproque de Ix = Kx ∩ T (Fx ) ⊂ T (Fx ).
352
Si le caractère ωx : Fx× → C× est suffisamment ramifié en fonction des représentations lisses admissibles
irréductibles πχ0 ωρ de GLr (Fx ) associées aux représentants χ0 , c’est-à-dire en fonction de IX = Kx ∩ T (Fx ),
alors, pour tous éléments gx ∈ GLr (Fx ) et m0x ∈ GLr−1 (Fx ), les deux polynômes symétriques
ψx ,r,r−1
C× × Tbr−1 3 (λ, z) 7→ Wx,π
(gx , m0x ) ,
χ ω ⊗ ωx ,λ,z
0 ρ
0
f ψx ,r,r−1
(λ, z) →
7
W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx ) ,
0 ρ
introduits dans les propositions X.11(ii) et X.13(ii) du paragraphe précédent, sont reliés par l’équation fonctionnelle
0
f ψx ,r,r−1
W
x,πχ ω ⊗ ωx ,λ,z (gx , mx )
0 ρ
ψx ,r,r−1
(gx , m0x )
= Wx,π
χ0 ωρ ⊗ ωx ,λ,z
Y − 1 r−1
−1
.
·
εx χ0 ωρ ωx , ψx , λ zj qx 2 · εx ωx , ψx , λ zj qx 2
1≤j≤r−1
Démonstration :
Cela résulte de l’équation fonctionnelle locale des intégrales de Rankin-Selberg, qui fait apparaı̂tre le
facteur
Y
−1
εx πχ0 ωρ ⊗ ωx , ψx , λ zj qx 2
1≤j≤r−1
et du lemme IX.1 du paragraphe IX.1, qui identifie chacun des termes
−1
εx πχ0 ωρ ⊗ ωx , ψx , λ zj qx 2 ,
1≤j ≤r−1
à
−1
− 1 r−1
εx χ0 ωρ ωx , ψx , λ zj qx 2 · εx ωx , ψx , λ zj qx 2
dès lors que le caractère
ωx : Fx× → C×
est suffisamment ramifié en fonction des représentations πχ0 ωρ de caractères centraux les produits χ0 ωρ .
Ce théorème permet de compléter le corollaire X.15 ci-dessus par le résultat fondamental suivant :
Corollaire X.17. –
Considérons des éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A) tels que, pour toute place x ∈ S, les composantes
de g1 et g2 dans G(Fx ) soient éléments du sous-groupe ouvert compact Kx .
Considérons d’autre part une fonction test localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques.
Supposons que le caractère automorphe unitaire
O
ω=
ωx : A× /F × → C× ,
x∈|F |
qui est non ramifié en les places x ∈ |F | − S, soit suffisamment ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) en
toute place x ∈ S.
Alors on a :
353
(i) La fonction “de S-type L global” tordue par le caractère m 7→ ω(detG (m))
Gr−1 (A) →
(m, m0 ) 7→
C
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
e G,ρ,h (m, (−1)r−1 · m0 )
·H
ψ,g1 ,g2 ,g
est égale à la ψ-transformée de Fourier relative à ρr−1 , au sens de la définition IX.8(ii) du paragraphe IX.2, de la fonction “de S-type L global” tordue par le caractère m 7→ ω(detG (m−1 ))
Gr−1 (A) →
0
(m, m ) 7→
C
1
r−2
2
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
G,ρ,h
· Hψ,g
(m, m0 ) .
1 ,g2 ,g
(ii) La fonction “de S-type L global à la Whittaker droit” tordue par le caractère ω ◦ detG
Gr−1 (A) → C
(m, m0 ) 7→
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
f G,ρ,h (m, (−1)r−1 · m0 )
·W
ψ,g1 ,g2 ,g
est égale à la ψ-transformée de Fourier relative à ρr−1 , au sens de la définition IX.9(ii) du paragraphe IX.2, de la fonction “de S-type L global à la Whittaker” tordue par le caractère ω −1 ◦ detG
Gr−1 (A) →
0
(m, m ) 7→
C
1
1
|detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · | det(m0 )|−
r−2
2
G,ρ,h
· Wψ,g
(m, m0 ) .
1 ,g2 ,g
Démonstration :
Comme on a
ψ
G,ρ,h
G,ρ,h
W(r−1)
Hψ,g
= Wψ,g
1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
et
fψ
e G,ρ,h
f G,ρ,h
W
(r−1) Hψ,g1 ,g2 ,g = Wψ,g1 ,g2 ,g ,
on voit que (ii) est conséquence de (i).
Pour (i), il suffit de montrer que, en toute place x ∈ |F |, la fonction
− r−2
2
−1
−1
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ |detG (mx )|x 2 · |detρ (mx )|x 2 · | det(m0x )|x
x
· HψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
admet pour ψx -transformée de Fourier relative à ρ la fonction
−1
−1
− r−2
2
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ |detG (mx )|x 2 · |detρ (mx )|x 2 · | det(m0x )|x
e G,ρ,hx (mx , (−1)r−1 · m0 ) .
·H
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
En les places x ∈ |F | − S, cela résulte du théorème VIII.21 du paragraphe VIII.5.
En les places x ∈ S, cela résulte du théorème X.16 ci-dessus combiné avec le lemme X.2 du paragraphe X.1
puisque, en ces places, les fonctions à support compact
x
Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ HψG,ρ,h
(mx , m0x )
x ,g1 ,g2 ,g
e G,ρ,hx (mx , m0x ) ]
[resp. Gr−1 (Fx ) 3 (mx , m0x ) 7→ H
ψx ,g1 ,g2 ,g
s’écrivent comme le produit du caractère
(mx , m0x ) 7→ ωx−1 (detG (mx ))
[resp.
(mx , m0x ) 7→ ωx (detG (mx )) ]
354
et d’une fonction invariante à gauche et à droite par
Gr−1 (Fx ) ∩ (Kx × GLr−1 (Ox )) .
Ceci résulte en effet des corollaires X.12(ii) et X.14(ii) du paragraphe précédent, puisque, d’après l’hypothèse
faite sur les éléments g1 , g2 ∈ G(A), on a en toute place x ∈ S
g1 Kx g1−1 = Kx = g2 Kx g2−1 .
5
Application de la formule de Poisson
On considère toujours un groupe réductif G sur F , une représentation de transfert “bien disposée”
b o ΓF → GLr (C), une partie finie S de |F | qui contient le lieu Sρ de ramification de G ou ρ, un
ρ : G
Q
sous-groupe ouvert compact K =
Kx de G(A) tel que Kx = G(Ox ), ∀ x ∈ |F | − S, une fonction produit
x∈|F |
ϕ0 =
O
ϕ0x : G(A) → C
x∈|F |
invariante à gauche et à droite par K et telle que
ϕ0x = 1IG(Ox ) ,
∀ x ∈ |F | − S ,
et enfin un caractère automorphe unitaire
ω=
O
ωx : A× /F × → C×
x∈|F |
non ramifié en toutes les places x ∈ |F | − S et suffisamment ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) en les
places x ∈ S.
Ayant choisi également une famille NS = (Nx )x∈S d’entiers Nx ≥ 0, x ∈ S, assez grands en fonction des
Ix et des caractères ωx , nous avons construit à partir de toutes ces données deux fonctions
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
ψ
qui sont les produits du caractère
(g1 , g2 , g) 7→ ω(detG (g1−1 g2 ))
et de deux fonctions invariantes à droite par K × K × GLr (OA )NS .
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer que les formules de Poisson conjecturées au paragraphe IX.2 impliquent :
Théorème conditionnel X.18. –
Supposons comme ci-dessus que le caractère automorphe unitaire
O
ω=
ωx : A× /F × → C× ,
x∈|F |
qui est non ramifié en les places x ∈ |F | − S, soit suffisamment ramifié en fonction de Ix = Kx ∩ T (Fx ) en
les places x ∈ S.
355
Alors, pour toute fonction test localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx : GLr−1 (Fx ) → C en les places x ∈ S sont sphériques, les deux produits scalaires
Z
G,ρ,h
Kψ
(g1 , g2 , g) =
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
GLr−1 (A)
et
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
GLr−1 (A)
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
dg 0 · K
ψ
coı̈ncident, quels que soient les éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A).
Remarque : Ce théorème conditionnel implique le théorème conditionnel X.8 du paragraphe X.2 et donc
aussi le théorème conditionnel X.6 du paragraphe X.1 que nous voulions démontrer comme conséquence des
formules de Poisson conjecturées au paragraphe IX.2.
En effet, si g est élément du sous-groupe ouvert GLr (A)NS de GLr (A), les fonctions
GLr−1 (A) 3 g 0
7→ KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
g0
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
7→ K
ψ
et
sont toujours invariantes à droite par le sous-groupe ouvert
Y
GLr−1 (Ox )
x∈S
de
Q
GLr−1 (Fx ) et invariantes à gauche par GLr−1 (F ).
x∈S
Pour montrer qu’elles sont égales, et donc qu’elles coı̈ncident au point g 0 = 1, il suffit de vérifier l’égalité
de leurs produits scalaires respectifs contre toute fonction test
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs locaux hx sont sphériques en les places x ∈ S.
Démonstration conditionnelle du théorème :
Comme les fonctions considérées
sont invariantes à gauche par G(F ) en les deux variables g1 , g2 ∈ G(A)
Q
et que G(F ) est dense dans
G(Fx ), on peut supposer que les composantes locales de g1 et g2 en chaque
x∈S
place x ∈ S sont éléments du sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ).
D’après le lemme X.10 du paragraphe X.3, on peut écrire pour toute fonction test h
X
X
G,ρ,h
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
Wψ,g
(γ, δ)
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
=
X
X
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F ) (γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
356
0
γ0
G,ρ, h
Wψ,g
(γ, γ 0 )
1 ,g2 ,g
où
γ00
h désigne la translatée à gauche de h par γ00 ∈ GLr−1 (F ), et de même
X
X
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
f G,ρ,h (γ, δ)
K
W
ψ
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
X
=
γ0
X
f G,ρ, 0h (γ, γ 0 ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ00 ∈GLr−1 (F )/SLr−1 (F ) (γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
On sait déjà d’après le corollaire X.17(ii) du paragraphe précédent que la fonction
1
1
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
G,ρ,h
· Wψ,g
(m, m0 )
1 ,g2 ,g
admet pour ψ-transformée de Fourier relative à ρ la fonction
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
f G,ρ,h (m, (−1)r−1 m0 ) .
·W
ψ,g1 ,g2 ,g
D’autre part, elle s’écrit comme le produit du caractère
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ ω(detG (m−1 ))
et d’une fonction invariante à droite par
Gr−1 (A) ∩ (K × GLr−1 (OA )) .
De plus, on peut représenter les classes
γ00 ∈ GLr−1 (F )/SLr−1 (F )
sous la forme
γ00 = γ10 · γ20
où γ10 ∈ Zr−1 (F ) et γ20 est un élément de Tr−1 (F ) dont les composantes en les places x ∈ S appartiennent à
des parties compactes fixées des Tr−1 (Fx ).
Alors, pour tout γ00 ∈ GLr−1 (F )/SLr−1 (F ) écrit sous une telle forme γ00 = γ10 · γ20 , la fonction
1
1
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
0
γ0
G,ρ, h
· Wψ,g
(m, m0 )
1 ,g2 ,g
est le produit du caractère
Gr−1 (A) 3 (m, m0 ) 7→ ω(detG (m−1 ))
et d’une fonction invariante à droite par
Gr−1 (A) ∩ (K × γ20−1 · GLr−1 (OA ) · γ20 ) ,
et elle admet pour ψ-transformée de Fourier relative à ρ la fonction
1
1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|− 2 · |detρ (m)|− 2 · |det(m0 )|−
r−2
2
0
γ0
f G,ρ, h (m, (−1)r−1 m0 ) .
·W
ψ,g1 ,g2 ,g
D’après le corollaire conditionnel IX.12 du paragraphe IX.2, on conclut que pour tout élément γ00 ∈
GLr−1 (F )/SLr−1 (F ), la somme
X
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
0
γ0
X
G,ρ, h
Wψ,g
(γ, γ 0 ) =
1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
357
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, γ 0 γ00−1 )
1 ,g2 ,g
est égale à la somme
X
γ0
X
f G,ρ, 0h (γ, (−1)r−1 γ 0 ) =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
f G,ρ,h (γ, γ 0 (−1)r−1 γ 0 ) .
W
0
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,γ 0 )∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
Cela termine la preuve conditionnelle du théorème X.18, et donc aussi du théorème X.8 du paragraphe X.2
et du théorème X.6 du paragraphe X.1.
Conditionnellement aux formules de Poisson conjecturées au paragraphe IX.2, nous savons maintenant
que les restrictions au sous-groupe ouvert
G(A) × G(A) × GLr (A)NS ⊂ (G × G × GLr )(A)
e G,ρ coı̈ncident et donc sont invariantes à gauche par le sous-groupe discret
des deux fonctions KψG,ρ et K
ψ
G(F ) × G(F ) × GLr (F )NS ,
intersection de
(G × G × GLr )(F )
et de
G(A) × G(A) × GLr (A)NS .
Comme GLr (F ) est dense dans le produit fini
Y
GLr (Fx ) ,
x∈S
on a :
Lemme X.19. –
L’immersion ouverte
GLr (A)NS ⊂ GLr (A)
définit un homéomorphisme
∼
GLr (F )NS \GLr (A)NS −→ GLr (F )\GLr (A)
qui est équivariant pour l’action à droite de GLr (A)NS c’est-à-dire, si l’on préfère, pour l’action à droite des
GLr (Fx ) en les places x ∈ |F | − S et des GLr (Ox )Nx en les places x ∈ S.
On obtient finalement :
Corollaire conditionnel X.20. –
e G,ρ au sous-groupe ouvert
Les restrictions des fonctions KψG,ρ et K
ψ
G(A) × G(A) × GLr (A)NS ⊂ (G × G × GLr )(A)
peuvent être vues comme une fonction automorphe
K G,ρ : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
qui possède les propriétés suivantes :
358
(1) Elle est le produit du caractère
(g1 , g2 , g) 7→ ω(detG (g1−1 g2 ))
et d’une fonction invariante à droite par K × K × GLr (OA )NS .
En particulier, elle est invariante à droite par G(Ox ) × G(Ox ) × GLr (Ox ) en toute place x ∈ |F | − S ⊂
|F | − Sρ .
(2) En toute place x ∈ |F | − S, on a
K G,ρ ∗3 ϕ0x = K G,ρ ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
K G,ρ ∗2 ϕx = K G,ρ ∗1 ϕ∨
x ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,φ
,
G
∀ ϕx ∈ Hx,φ
.
Remarque : La fonction K G,ρ : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C peut à bon droit être appelée
un “K-noyau du transfert automorphe par ρ”.
359
360
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