‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﯾﺰدی‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی دوم‬
‫ﻧﻈﺮﯾﻪی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١٣ :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪١٣٩٢‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬ﺳﻮاﻻت اﯾﻦ ﺑﺮﮔﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻌﺪادی ﺗﻤﺮﯾﻦ )‪ (Exercise‬و ﺗﻌﺪادی ﻣﺴﺌﻠﻪ )‪ (Problem‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺳﻨﺠﺶ‬
‫ﺗﺴﻠﻂ ﺷﻤﺎ روی درس‪ ،‬و ﻣﺴﺎﯾﻞ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﮔﺴﺘﺮش ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ و ﺗﻔ ﺮ ﺗﻌﺒﯿﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﺳﺮی ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﺳﻌ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻮارد اﺻﻠ درس‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه و اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻗﻀﺎﯾﺎی اﺻﻠ ﻣﻄﺮح ﺷﺪه در ﮐﻼس را دوره ﮐﻨﯿﺪ و ﺷﺮوع ﺑﻪ ﺣﻞ‬
‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت وﻗﺖ زﯾﺎدی از ﺷﻤﺎ را ﻧﺨﻮاﻫﻨﺪ ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﻣﺴﺎﯾﻞ‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﭼﺎﻟﺶﺑﺮاﻧ ﯿﺰ ﺑﻮده و وﻗﺖ‬
‫ﺑﯿﺸﺘﺮی ﺑﺮای ﺣﻞ ﺷﺪن ﺑﻄﻠﺒﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ وﻗﺖ ﻣﻨﺎﺳﺒ را روی ﺗﻔ ﺮ روی ﻣﺴﺎﯾﻞ ﺑ ﺬارﯾﺪ‪.‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ دﯾ ﺮ‪ ،‬ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﻧ ﺎرش راهﺣﻞ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻨ ﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﺪ راهﺣﻞ ﺧﻮد را در ﻗﺎﻟﺐ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻔﺮ دﯾ ﺮ ﺑﻔﻬﻤﺎﻧﯿﺪ‪،‬‬
‫ﮐﺎری ﺑﺲ دﺷﻮار اﺳﺖ و ﺗﻤﺮﯾﻦ زﯾﺎدی را ﻣ ﻃﻠﺒﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ در اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ روی اﯾﻦ ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﺧﻮد ﻧﯿﺰ ﮐﺎر ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﺛﺒﺎت ﻗﻀﺎﯾﺎﯾ ﮐﻪ در ﮐﺘﺐ رﯾﺎﺿ ﻣﻌﺘﺒﺮ آﻣﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ اﻟ ﻮﯾ ﺑﺮای ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺷﻤﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ اﻣﺘﺤﺎﻧﺎت ﺑﯿﻦ‬
‫ﺗﺮم و ﭘﺎﯾﺎن ﺗﺮم ﺷﻤﺎ ﺳﻮاﻻﺗ ﺷﺒﯿﻪ اﯾﻦ ﻣﺴﺎﯾﻞ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ‪.‬‬
‫داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾ ﻓﺮد‪ ،‬ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی ﻓﺮد‪ ،‬و داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾ زوج‪ ،‬ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی‬
‫زوج را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ A ∩ B‬و ‪ B − A‬اﺷﺘﺮ اﮐ ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻧﺪارﻧﺪ‪) .‬ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﻮدار ون ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ(‬
‫]‬
‫‪ .٢‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪, ۲n‬‬
‫‪[ −۱‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪ .An‬ﻋﺒﺎرتﻫﺎی زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ‪A۴ △ A۵‬‬
‫∞∪‬
‫ب( ‪n=۱ An‬‬
‫‪∩k‬‬
‫ج( ‪n=۱ An‬‬
‫‪ .٣‬ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫ ‪ B ،A‬و ‪ C‬رواﺑﻂ زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( )‪) (A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∪ (B ∩ C‬ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﻮدار ون(‬
‫ب( )‪A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C‬‬
‫پ( اﮔﺮ ‪ A ⊆ B ∩ C‬آﻧ ﺎه ‪.C ⊆ A‬‬
‫‪ .۴‬ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬رواﺑﻂ زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ P ).‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻮاﻧ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ(‬
‫اﻟﻒ( )‪P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B‬‬
‫ب( )‪P (B) − P (A) = P (B) − P (A ∩ B‬‬
‫پ( ‪) A × B ⊆ A × B‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ A‬و ‪ B‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺟﻬﺎﻧ ‪ U‬ﻫﺴﺘﻨﺪ(‬
‫‪ .۵‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ ١٠١‬و ‪ ٨٨‬ﻋﻀﻮ دارﻧﺪ و ﻣ داﻧﯿﻢ ‪ |B − A| = ۳۱‬اﺳﺖ‪ |A − B| .‬را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .۶‬ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬
‫|‪|A ∪ B| + |A ∪ C| + |B ∪ C| ≤ |A| + |B| + |C| + |A ∪ B ∪ C‬‬
‫‪ .٧‬ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ C ،B ،A‬و ‪ D‬درﺳﺘ ﯾﺎ ﻧﺎدرﺳﺘ ﻫﺮﮐﺪام از ﻋﺒﺎرتﻫﺎی زﯾﺮ را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮده و ﺟﻮاب ﺧﻮد را‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﮔﺮ ‪ A ⊆ B‬و ‪ C ⊆ D‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ‪.A × C ⊆ B × D‬‬
‫ب( ‪.A ∪ B ∩ C ∪ D = A ∩ B ∪ C ∩ D‬‬
‫‪١‬‬
‫‪ .٨‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻮاﺑﻊ }‪ f : N → {۱, ۲, . . . , ۹‬ﻧﺎﺷﻤﺎراﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .٩‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﺟﺘﻤﺎع ﺗﻌﺪادی ﺷﻤﺎرا ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺷﻤﺎرا‪ ،‬ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪادی ﮐﻪ ﺑﺎ ارﻗﺎم ‪ ١‬و ‪ ٢‬ﻣ ﺗﻮان ﺳﺎﺧﺖ ﺷﻤﺎراﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١١‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ اﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﯾ‬
‫ﺗﻨﺎﻇﺮ ﯾ‬
‫ﺑﻪ ﯾ‬
‫از ‪ S‬ﺑﻪ ﯾ‬
‫از زﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﺳﺮه آن‬
‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ |‪) .∀i ∈ N : |Ni | = |N‬از اﺳﺘﻘﺮا روی ‪ i‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪(.‬‬
‫‪ .١٣‬اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﺑﺎزه )‪ (۰, ۱‬ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ R‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺑﺎ ﮐﻤ‬
‫ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ |‪|R۲ | = |R‬‬
‫ج( از اﺳﺘﻘﺮا اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ و ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪∀i ∈ N : |R | = |R| :‬‬
‫‪i‬‬
‫ﺑﻪ ﯾ‬
‫‪ .١۴‬اﮔﺮ )‪ P (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻮاﻧ ‪ S‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻌ ﯾ‬
‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ f : P (S) → S‬وﺟﻮد ﻧﺪارد و ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ‬
‫اﻧﺪازه )‪ P (S‬از ‪ S‬ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١۵‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوﯾ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ ax۲ + bx + c = ۰‬ﻫﺴﺘﻨﺪ )‪ a‬و ‪ b‬و ‪c‬‬
‫اﻋﺪادی ﺻﺤﯿﺢاﻧﺪ( ﺷﻤﺎراﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١۶‬اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط ﮔﻮﯾﺎی ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺷﻤﺎراﺳﺖ‪) .‬ﯾ‬
‫ﻧﻘﻄﻪ را ﮔﻮﯾﺎ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ﻫﺮ دو ﻣﻮﻟﻔﻪی‬
‫آن ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺎﺷﺪ( )راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣ داﻧﯿﻢ |‪(|Q| = |N‬‬
‫ب( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ از ﺳ ﻪﻫﺎی داﯾﺮهای ﺷ ﻞ روی ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﺮار داده ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪای‬
‫ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﺑﺮﺧﻮردی ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻌﺪاد اﯾﻦ ﺳ ﻪﻫﺎ ﺷﻤﺎراﺳﺖ‪) .‬ﺷﻌﺎع ﺳ ﻪﻫﺎ ﻟﺰوﻣﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺖ(‬
‫‪ .١٧‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎم ﮔﺮافﻫﺎی ﺟﻬﺖدار ﺷﻤﺎراﺳﺖ ﯾﺎ ﻧﺎﺷﻤﺎرا؟ )راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺟﻬﺖدار را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﯾ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺑﺎ دراﯾﻪﻫﺎی ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺎﻣﻨﻔ ﻧﺸﺎن داد‪(.‬‬
‫‪ .١٨‬ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ‪) N → N‬ﯾﺎ ﺑﻪ ﺑﯿﺎن دﯾ ﺮ | ‪ (|NN‬را ﺑﺎ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ R‬ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ‬
‫ﺷﺮﮐﺘ ‪ ،‬ﮐﺮﯾﻤ ‪ ،‬اﯾﺰدی‬
‫‪٢‬‬