‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﯾﺰدی‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﻮم‬
‫اﺳﺘﻘﺮا و ﺑﺎزﮔﺸﺖ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١٧ :‬ﻓﺮوردﯾﻦ ‪١٣٩٣‬‬
‫ﺑﺴﯿﺎری از ﻣﺴﺎﯾﻞ اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﭼﺎﻟﺶﺑﺮاﻧ ﯿﺰ ﺑﺎﺷﻨﺪ و وﻗﺖ ﻧﻪ ﭼﻨﺪان ﮐﻤ ﺑﺮای ﺣﻞ ﺷﺪن ﺑﻄﻠﺒﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ روی آنﻫﺎ وﻗﺖ ﺑ ﺬارﯾﺪ و اﻧﺘﻈﺎر ﺣﻞ ﺷﺪن در ﻋﺮض ﭼﻨﺪ ﺛﺎﻧﯿﻪ را ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ!‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ دﯾ ﺮ ﮐﻪ ﺑﺎز ذﮐﺮ آن ﺧﺎﻟ از ﻟﻄﻒ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﻧ ﺎرش راهﺣﻞﻫﺎﺳﺖ‪ .‬اﯾﻨ ﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﺪ‬
‫راهﺣﻞ ﺧﻮد را در ﻗﺎﻟﺐ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻔﺮ دﯾ ﺮ ﺑﻔﻬﻤﺎﻧﯿﺪ‪ ،‬ﻣﺨﺼﻮﺻﺎً در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﮐﺎری ﺑﺲ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ اﺑﺘﺪا ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ و آنرا ﻓ ﺮ ﺷﺪه ﺑﻨ ﺎرﯾﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﻣﻮرد در ﮐﻼسﻫﺎی ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺤﺚ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬
‫داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾ ﻓﺮد‪ ،‬ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی ﻓﺮد‪ ،‬و داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾ زوج‪،‬‬
‫ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی زوج را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ n‬ﮐﻪ ‪ n > ۴‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫!‪n۲ < n‬‬
‫‪ .٢‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫اﺳﺘﻘﺮا ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫‪۱ × ۱! + ۲ × ۲! + · · · + n × n! = (n + ۱)! − ۱‬‬
‫‪ .٣‬اﻋﺪاد ﻓﯿﺒﻮﻧﺎﭼ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ f۰ = f۱ = ۱ :‬و ‪ .fn = fn−۱ + fn−۲‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪n‬‬
‫دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪= f۲n−۱ f۲n+۱ − ۱‬‬
‫‪۲‬‬
‫‪f۲n‬‬
‫‪ .۴‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮای اﻋﺪاد ﻓﯿﺒﻮﻧﺎﭼ )ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻗﺒﻠ را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ( دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪f۰ + f۲ + · · · + f۲n = f۲n+۱‬‬
‫‪ .۵‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ n‬ﻃﺒﯿﻌ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ ۲۵n+۳ + ۵n ۳n+۲‬ﺑﺮ ‪ ۱۷‬ﺑﺨﺸﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۶‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ ۴۲n+۱ + ۳n+۲‬ﺑﺮ ‪ ۱۳‬ﺑﺨﺸﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .٧‬ﯾ‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻋﺠﯿﺐ در اﺧﺘﯿﺎر دارﯾﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﯾ‬
‫ﻋﺪد دودوﯾ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ n‬ﯾ‬
‫• ﺳﻤﺖ راﺳﺖﺗﺮﯾﻦ ﺑﯿﺖ را ﺗﻐﯿﯿﺮ وﺿﻌﯿﺖ دﻫﺪ )از ﺻﻔﺮ ﺑﻪ ﯾ‬
‫و از ﯾ‬
‫از دو ﮐﺎر زﯾﺮ را ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪:‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻔﺮ(‪.‬‬
‫• ﺳﻤﺖ راﺳﺖﺗﺮﯾﻦ ﺑﯿﺖ ‪ ١‬را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﺪ و ﺑﯿﺖ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ آن را )در ﺻﻮرت وﺟﻮد( ﺗﻐﯿﯿﺮ وﺿﻌﯿﺖ دﻫﺪ‪ .‬دﻗﺖ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ رﺷﺘﻪ ﺗﻤﺎﻣﺎً ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﺗﻐﯿﯿﺮی در رﺷﺘﻪ اﯾﺠﺎد ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﮐﺮد‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪی اﻋﻤﺎل اﯾﻦ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻣ ﺗﻮان از ﻫﺮ ﻋﺪد دودوﯾ ‪ n‬رﻗﻤ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﺪد دودوﯾ ‪ n‬رﻗﻤ دﯾ ﺮ رﺳﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٨‬ﯾ ﺧﺎﻧﻪ از ﯾ ﺻﻔﺤﻪ ﺷﻄﺮﻧﺠ ‪ ۲n × ۲n‬ﺣﺬف ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻘﯿﻪ ﺷ ﻞ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻣﻮزاﯾﯿ ﻫﺎﯾ ﺑﻪ‬
‫ﺷ ﻞ »ﻣﺮﺑﻊ ‪ ۲ × ۲‬ﺑﺎ ﯾ ﺧﺎﻧﻪی ﻣﺤﺬوف« ﻓﺮش ﮐﺮد‪.‬‬
‫‪ .٩‬اﻟﻒ( ‪ n‬ﺧﻂ در ﺻﻔﺤﻪ داده ﺷﺪهاﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﯿﭻ دوﺗﺎﯾ ﻣﻮازی و ﻫﯿﭻ ﺳﻪﺗﺎﯾ ﻫﻤﺮس ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﯾﻦ‬
‫‪ n‬ﺧﻂ ﺻﻔﺤﻪ را ﺑﻪ ‪+ ۱‬‬
‫)‪ n(n+۱‬ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪۲‬‬
‫ب( ‪ n‬داﯾﺮه ﺻﻔﺤﻪ را ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ؟ اﺑﺘﺪا ﺣﺪس زده و ﺳﭙﺲ ﺣﺪس ﺧﻮد را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪ .١٠‬ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ روشﻫﺎی ﭘﺮاﻧﺘﺰﮔﺬاریﻫﺎی ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ n‬ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﺑﺎز و ‪ n‬ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﺑﺴﺘﻪ را ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﯾ‬
‫ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪) .‬ﺣﻞ راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻟﺰوﻣ ﻧﺪارد(‬
‫راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ‬
‫‪ .١١‬ﻣﺴﺌﻠﻪی ﺑﺮجﻫﺎی ﻫﺎﻧﻮی را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪ ١‬و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻬﺮهﻫﺎ در ﺳﻪ ﻣﯿﻠﻪی ‪ A, B, C‬ﻗﺮار دارﻧﺪ‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺘ ﮐﻪ در‬
‫اﯾﻦ ﺣﺮﮐﺎت دارﯾﻢ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻣﻬﺮهای را از روی ﻣﯿﻠﻪی ‪ A‬ﺑﺮدارﯾﻢ و ﺑﺮ روی ﻣﯿﻠﻪی ‪ B‬ﺑ ﺬارﯾﻢ‪ .‬ﻫﻤﯿﻦﻃﻮر‬
‫ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻣﻬﺮهای از روی ﻣﯿﻠﻪی ‪ C‬ﺑﺮداﺷﺘﻪ و ﺑﺮ ﻣﯿﻠﻪی ‪ A‬ﺑ ﺬارﯾﻢ‪ .‬اﮔﺮ در اﺑﺘﺪا ‪ n‬ﻣﻬﺮه ﺑﺮ روی ﻣﯿﻠﻪ ‪ A‬ﻗﺮار داﺷﺘﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﭼﻨﺪ ﺣﺮﮐﺖ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ آنﻫﺎ ﺑﺮ روی ﻣﯿﻠﻪی ‪ C‬ﻗﺮار ﺑ ﯿﺮﻧﺪ؟‬
‫‪ .١٢‬اﺻﻞ اﺳﺘﻘﺮا را ﺑﺎ ﻓﺮض درﺳﺘ اﺻﻞ ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺒ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬اﺻﻞ ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺒ ‪ :‬ﻫﺮ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻧﺎﺗﻬ از اﻋﺪاد‬
‫ﻃﺒﯿﻌ ‪ ،‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ دارد(‪ .‬ﻫﻤﯿﻨﻄﻮر ﺑﺎ ﻓﺮض درﺳﺘ اﺻﻞ اﺳﺘﻘﺮا‪ ،‬اﺻﻞ ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺒ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﮐﺎر‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﺮدهاﯾﺪ ﮐﻪ »اﺻﻞ اﺳﺘﻘﺮا ⇔ اﺻﻞ ﺧﻮﺷﺘﺮﺗﯿﺒ «‪.‬‬
‫‪ .١٣‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ را ﻣ ﺷﻮد ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﻤﻌ از ﺗﻮانﻫﺎی ‪ ۲‬ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬
‫‪ .١۴‬اﻟﻒ( ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ روشﻫﺎی ﭘﺮ ﮐﺮدن ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ‪ ۲ × n‬ﺑﺎ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞﻫﺎی ‪ ۲ × ۱‬و ‪ ۱ × ۲‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ روشﻫﺎی ﭘﺮ ﮐﺮدن ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ‪ ۳ × n‬ﺑﺎ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞﻫﺎی ‪ ۲ × ۱‬و ‪ ۱ × ۲‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١۵‬اﻋﺪاد ‪ ۱‬ﺗﺎ ‪ n‬را روی ﯾ داﯾﺮه در ﺟﻬﺖ ﻋﻘﺮﺑﻪﻫﺎی ﺳﺎﻋﺖ ﭼﯿﺪهاﯾﻢ‪ .‬از ﻋﺪد ‪ ۱‬ﺷﺮوع و اﻋﺪاد را ﯾ در ﻣﯿﺎن ﺣﺬف‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺗﺎ ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﯾ ﻋﺪد ﺑﺎﻗ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻋﺪد را )‪ J(n‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ‪ J(۵) = ۳‬اﺳﺖ ﭼﺮا ﮐﻪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪،۲‬‬
‫‪ ۱ ،۴‬و ‪ ۵‬ﺣﺬف ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و ﻋﺪد ‪ ۳‬ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ J(۲n) = ۲J(n) − ۱‬و ‪.J(۲n + ۱) = ۲J(n) + ۱‬‬
‫‪ .١۶‬ﻣﯿﺰان ﺑﻨﺰﯾﻨ ﮐﻪ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻧﯿﺎز دارد ﺗﺎ دور ﯾ ﻣﺴﯿﺮ داﯾﺮهای را ﺑﭽﺮﺧﺪ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﭘﻤﭗ ﺑﻨﺰﯾﻦ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ ﻗﺮار دارﻧﺪ‬
‫ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻧﻘﻄﻪای روی داﯾﺮه وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺑﺎ ﺑﺎک ﺧﺎﻟ ﺑﺎ ﺷﺮوع از آن ﻧﻘﻄﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﮐﻞ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ را ﻃ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻇﺮﻓﯿﺖ ﺑﺎک ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ زﯾﺎد ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٧‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ از ﻣﯿﺎن ﻫﺮ ‪ ۲n+۱‬ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ﻣ ﺗﻮان ‪ ۲n‬ﻋﺪد را ﻃﻮری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺸﺎن ﺑﺮ ‪ ۲n‬ﺑﺨﺸﭙﺬﯾﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٨‬دﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ an‬اﯾﻦ ﻃﻮر ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ a۱ = ۵ :‬و ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ n‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪a۲n = ۲an − ۳‬‬
‫‪a۲n−۱ = ۲an − ۱‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ n‬ﻃﺒﯿﻌ دارﯾﻢ ‪ n + an‬ﺑﺮ ‪ ٣‬ﺑﺨﺸﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١٩‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n‬ﺗﯿﻢ در ﯾ ﺗﻮرﻧﻤﻨﺖ ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﺑﺎزی ﮐﺮدهاﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﯿﭻ دو ﺗﯿﻤ ﻣﺴﺎوی ﻧ ﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪی‬
‫‪ t۱ , t۲ , . . . , tn‬از ﺗﯿﻢﻫﺎ وﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺗﯿﻢ ‪ t۱‬از ‪ t۲‬ﺑﺮده‪… ،‬و ﺗﯿﻢ ‪ tn−۱‬از ‪ tn‬ﺑﺮده اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .٢٠‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ n‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣ ﺗﻮان رﺷﺘﻪﻫﺎی دودوﯾ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ n‬را دور ﯾ داﯾﺮه ﻧﻮﺷﺖ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ اوﻻ ﺗﻤﺎم ‪ ۲n‬رﺷﺘﻪ‬
‫دودوﯾ در اﯾﻦ داﯾﺮه ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮﻧﺪ و ﺛﺎﻧﯿﺎً ﻫﺮ دو رﺷﺘﻪ ﻣﺠﺎور دﻗﯿﻘﺎ در ‪ ۱‬ﺑﯿﺖ ﺑﺎ ﻫﻢ اﺧﺘﻼف داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ‬
‫ﺟﺎﻣ ﻣﻘﺪم‪ ،‬ﮐﺮﯾﻤ ‪ ،‬اﯾﺰدی‬
‫‪١‬اﮔﺮ ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ آﺷﻨﺎ ﻧﯿﺴﺘﯿﺪ ﺑﻪ آدرس ‪ http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٢‬‬