‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﯾﺰدی‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺷﻤﺎرش و ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎت‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ٢۴ :‬ﻓﺮوردﯾﻦ ‪١٣٩٣‬‬
‫ﺑﺴﯿﺎری از ﻣﺴﺎﯾﻞ اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﭼﺎﻟﺶﺑﺮاﻧﮕﯿﺰ ﺑﺎﺷﻨﺪ و وﻗﺖ ﻧﻪ ﭼﻨﺪان ﮐﻤ ﺑﺮای ﺣﻞ ﺷﺪن ﺑﻄﻠﺒﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ روی آنﻫﺎ وﻗﺖ ﺑ ﺬارﯾﺪ و اﻧﺘﻈﺎر ﺣﻞ ﺷﺪن در ﻋﺮض ﭼﻨﺪ ﺛﺎﻧﯿﻪ را ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ!‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ دﯾ ﺮ ﮐﻪ ﺑﺎز ذﮐﺮ آن ﺧﺎﻟ از ﻟﻄﻒ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ ﻧﮕﺎرش راهﺣﻞﻫﺎﺳﺖ‪ .‬اﯾﻨﮑﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﺪ‬
‫راهﺣﻞ ﺧﻮد را در ﻗﺎﻟﺐ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻔﺮ دﯾ ﺮ ﺑﻔﻬﻤﺎﻧﯿﺪ‪ ،‬ﻣﺨﺼﻮﺻﺎً در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﮐﺎری ﺑﺲ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ اﺑﺘﺪا ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ و آنرا ﻓﮑﺮ ﺷﺪه ﺑﻨﮕﺎرﯾﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﻣﻮرد در ﮐﻼسﻫﺎی ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺤﺚ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬
‫داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ ﻓﺮد‪ ،‬ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی ﻓﺮد‪ ،‬و داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ زوج‪،‬‬
‫ﺳﻮاﻻت ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهی زوج را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺗﻌﺪاد رﺷﺘﻪﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ٧‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از ﺣﺮوف ‪ A, B, C, D, E‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﯿﭻ دو ‪ A, B‬ﻣﺠﺎور ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺗﻌﺪاد ﺟﺎﯾ ﺸﺘﻬﺎی ﺣﺮوف ‪ SHARIF U N I‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ در آﻧﻬﺎ زﯾﺮدﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ SHA‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪) .‬ﻧﯿﺎزی‬
‫ﺑﻪ ﮐﻨﺎر ﻫﻢ ﺑﻮدن اﯾﻦ ﺳﻪ ﺣﺮف ﻧﯿﺴﺖ و ﮐﺎﻓ ﺳﺖ ﺗﺮﺗﯿﺐ آﻧﻬﺎ در ﺟﺎﯾ ﺸﺖ ﺣﻔﻆ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ(‬
‫‪ .٣‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روشﻫﺎی ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎﺗ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)‬
‫‪2n‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪ .۴‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺣﺎﻟﺖ ﻣ ﺗﻮان از ﯾ‬
‫‪n ( )2‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i=0‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ ٢٠‬ﻋﻀﻮی ﺳﻪ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ S1 , S2 , S3‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‪:‬‬
‫∅ = ‪S1 ∩ S2 ∩ S3‬‬
‫‪ .۵‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻮابﻫﺎی ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺎﻣﻨﻔ دﺳﺘﮕﺎه ﻧﺎﻣﻌﺎدﻟﻪی زﯾﺮ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪x1 + x2 + x3 < 10‬‬
‫‪ .۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ﺻﻔﺮ دارد؟‬
‫‪2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 12‬‬
‫‪ .٧‬در ﺑﺴﻂ ﻋﺒﺎرت زﯾﺮ ﺿﺮﯾﺐ ‪ x21 xk2 x3‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫‪(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )n‬‬
‫‪ .٨‬ﺑﺎ روش ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎﺗ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)‬
‫‪n+1‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫‪+2‬‬
‫‪١‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪i2‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .٩‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دوﮔﺎﻧﻪ ﺷﻤﺎری اﻧﺪازه ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n+1‬‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n+1‬‬
‫‪+6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+6‬‬
‫)‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫= ‪i3‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫}‪S = {(a, b, c, d)|a, b, c, d ∈ {1, 2, . . . , n + 1}, a < d, b < d, c < d‬‬
‫‪ .١٠‬ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ‪ ۵‬رﻗﻤ ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ ۶٣٩٠٠‬وﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﯾ‬
‫‪ .١١‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ ﻣ ﺗﻮان ﯾ‬
‫از ارﻗﺎم آن ‪ ٨‬ﯾﺎ ‪ ٩‬ﻧﺒﺎﺷﺪ؟‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ دو ﻋﻀﻮی از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ۵٠‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( اﺧﺘﻼف دو ﻋﺪد دﻗﯿﻘﺎ ‪ ۶‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺑﯿﻦ ‪ ١٠‬و ‪ ٢٠‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج( اﺧﺘﻼف دو ﻋﺪد ﮐﻤﺘﺮ از ‪ ۴‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻣﻬﻤﺎﻧ ﺗﻌﺪادی ﻣﺮﻏﺎﺑﯽ و ﻻکﭘﺸﺖ و ﯾ‬
‫‪ .١٢‬در ﯾ‬
‫ﻫﺮ ﻻکﭘﺸﺘ ﮐﻪ ﻣ ﺷﻨﺎﺧﺖ ﯾ‬
‫ﻇﺮف ﺑﺰرگ ﺣﺎوی ‪ ٣٠‬ﮐﻠﻮﭼﻪ! ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻫﺮ ﻣﺮﻏﺎﺑﯽ ﺑﻪ‬
‫ﮐﻠﻮﭼﻪ داد‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻫﺮ ﻻکﭘﺸﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﺮﻏﺎﺑﯽ ﮐﻪ ﻧﻤ ﺷﻨﺎﺧﺖ ﯾ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ راﺑﻄﻪ ﺷﻨﺎﺧﺘﻦ اﻓﺮاد ﯾ‬
‫ﮐﻠﻮﭼﻪ داد‪) .‬دﻗﺖ‬
‫راﺑﻄﻪ دوﻃﺮﻓﻪ اﺳﺖ( در اﻧﺘﻬﺎ ﻇﺮف ﮐﻠﻮﭼﻪ ﺧﺎﻟ ﺷﺪه ﺑﻮد‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﻻکﭘﺸﺖﻫﺎ را‬
‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٣‬اﻧﺪازه ﯾ‬
‫‪‐k‬ﺗﺎﯾﯽ ﻣﺮﺗﺐ را اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫| ‪|(S1 , S2 , . . . , Sk )| = |S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ . . . ∩ Sk‬‬
‫ﮐﻪ در آن }‪ .Si ⊆ {1, 2, . . . , n‬ﻣﺠﻤﻮع اﻧﺪازه ﺗﻤﺎم ‪‐k‬ﺗﺎﯾﯽﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١۴‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺻﺤﯿﺢ و ﻣﺜﺒﺖ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪:‬‬
‫‪x1 + x2 + . . . + x7 = 40x1 + x2 + x3 = 8‬‬
‫‪ .١۵‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روشﻫﺎی ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎﺗ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪= n2n−1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ .١۶‬اﺛﺒﺎت ﯾﺎ رد ﮐﻨﯿﺪ‪ :‬ﻣ ﺗﻮان ﻣﺎﺗﺮﯾﺴ ﺑﺎ اﺑﻌﺎد ‪ m × n‬ﺳﺎﺧﺖ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮع دراﯾﻪﻫﺎی ﺳﻄﺮﻫﺎی زوج آن و ﻣﺠﻤﻮع‬
‫دراﯾﻪﻫﺎی ﺳﺘﻮنﻫﺎی آن ﻣﺜﺒﺖ و ﻣﺠﻤﻮع ﺳﺎﯾﺮ دراﯾﻪﻫﺎ ﻣﻨﻔ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ ٢٣ .١٧‬دوﺳﺖ ﻣ ﺧﻮاﻫﻨﺪ در ﯾ‬
‫ﻣﻬﻤﺎﻧ دور ﯾ‬
‫ﻣﯿﺰ ﺑﻨﺸﯿﻨﻨﺪ‪ x, y, z .‬ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻗﻬﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻧﻤ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮐﻨﺎر ﯾ ﺪﯾ ﺮ‬
‫ﺑﻨﺸﯿﻨﻨﺪ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ‪ w, q, s‬ﻣ ﺧﻮاﻫﻨﺪ اﯾﻦ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ را آﺷﺘ دﻫﻨﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ ﻫﺮ ﮐﺪاﻣﺸﺎن ﮐﻨﺎر ﯾ‬
‫ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﺑﻨﺸﯿﻨﻨﺪ و ﺑﺎ آﻧﻬﺎ ﺻﺤﺒﺖ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ اﯾﻦ ﮐﺎر اﻧﺠﺎم ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟ )ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ﯾ‬
‫آﺷﺘ دﻫﻨﺪﮔﺎن ﺑﯿﻦ دو ﺗﺎ از ﻗﻬﺮﮐﻨﻨﺪﮔﺎن ﻗﺮار ﮔﯿﺮد ﻋﻤﻼ ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﯾ‬
‫ﯾ‬
‫از اﯾﻦ‬
‫از‬
‫از آﻧﻬﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺻﺤﺒﺖ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ در ﻃﺮف دﯾ ﺮ‬
‫از دو ﻗﻬﺮﮐﻨﻨﺪه ﺑﺎﯾﺪ آﺷﺘ دﻫﻨﺪه دﯾ ﺮی ﻗﺮار ﮔﯿﺮد(‬
‫‪ .١٨‬در ﺗﺮم ﺟﺎری در داﻧﺸ ﺪه درس ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮی اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﻼس ‪ ١۵‬داﻧﺸﺠﻮ دارد‪ .‬ﺑﺮای ﭘﺮوژه‬
‫اﯾﻦ درس ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎی ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﯿﻦ ﯾ‬
‫ﺗﺎ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ اﻋﻀﺎی ﮐﻼس ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﮔﺮوهﺑﻨﺪی‬
‫ﺷﻮﻧﺪ؟‬
‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ‬
‫اﺣﺴﺎﻧ ‪ ،‬ﮐﺮﯾﻤ ‪ ،‬اﯾﺰدی‬
‫‪٢‬‬