‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﯾﺰدی‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﻫﻔﺘﻢ‬
‫ﻧﻈﺮﯾﻪی ﮔﺮافﻫﺎ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ :‬اﻣﺘﺤﺎن ﭘﺎﯾﺎﻧ درس‬
‫از ﺑﺨﺶ اول ﺑﺎﯾﺪ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ١٢‬ﺳﻮال و از ﺑﺨﺶ دوم ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ۴‬ﺳﻮال را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ در اﻧﺘﺨﺎب ﺳﻮاﻻت‪،‬‬
‫ﺳﻮاﻻت ﻣﺘﻨﻮع را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺳﻮاﻻت اﻧﺘﺨﺎﺑﯽ ﺧﯿﻠ ﺷﺒﯿﻪ ﺑﻪ ﻫﻢ‪ ،‬ﺗﻘﻠﺐ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺣﻞ‬
‫ﺳﻮاﻻت اﺿﺎﻓ ﻧﻤﺮهی اﺿﺎﻓ ﻧﺨﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪.‬‬
‫ﺳﻌ ﺷﺪه در ﭘﺎﻧﻮﯾﺲﻫﺎ ﺗﻌﺎرﯾﻒ ﻧﺎﻣﺄﻧﻮس آورده ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ اوﻟﯿﻪ‬
‫‪ .١‬ﮔﺮاﻓ دﻗﯿﻘﺎً دو رأس ﺑﺎ درﺟﻪ ﻓﺮد دارد‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺴﯿﺮی وﺟﻮد دارد ﮐﻪ از اﯾﻦ دو رأس ﻣ ﮔﺬرد‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺣﺪاﻗﻞ دو رأس ﻏﯿﺮ ﺑﺮﺷ ‪ ١‬دارد‪.‬‬
‫‪ .٣‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ در ﻫﺮ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه ‪ G‬ﯾﺎ ‪ diam(G) ≤ 3‬ﯾﺎ ‪≤ 3‬‬
‫)̄‪٢ .diam(G‬‬
‫‪ .۴‬اﻧﺪازه ﮐﻤﺮ ‪ ٣‬و ﻗﻄﺮ ‪‐k‬ﻣ ﻌﺐ ) ‪ (۴ Qk‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .۵‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ Qk‬ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۶‬ﺗﻤﺎم ﯾﺎلﻫﺎی ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﮐﺎﻣﻞ را ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺟﻬﺘﺪﻫ ﮐﺮدﻫﺎﯾﻢ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ رأﺳ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﺘﻮان ﺑﺎ ﺣﺪاﮐﺜﺮ دو ﯾﺎل‬
‫از آن رأس ﺑﻪ ﻫﺮ رأس دﯾ ﺮی رﺳﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٧‬ﮔﺮاف ‪ G‬را ﻗﻮﯾﺎً ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﯿ ﻮﯾﯿﻢ و ﺑﺎ )‪ srg(p, k, r, s‬ﻧﺸﺎن ﻣﯿﺪﻫﯿﻢ‪ ،‬ﻫﺮﮔﺎه ‪ G‬ﮔﺮاﻓ ‪ p‬رأﺳ و ‪‐k‬ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﻮده و ﻫﺮ دو‬
‫رأس ﻣﺠﺎور ‪ G‬دﻗﯿﻘﺎً ‪ r‬ﻫﻤﺴﺎﯾﻪ ﻣﺸﺘﺮک و ﻫﺮ دو رأس ﻏﯿﺮﻣﺠﺎور ‪ G‬دﻗﯿﻘﺎً ‪ s‬ﻫﻤﺴﺎﯾﻪ ﻣﺸﺘﺮک داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬
‫ﻣﺜﺎل ﮔﺮاف ﭘﺘﺮﺳﻦ ‪ srg(10, 3, 0, 1) ۵‬و دور ‪ ۵‬رأﺳ ) ‪ srg(5, 2, 0, 1) (C5‬ﻣﯿﺒﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﮔﺮاف ﮐﺎﻣﻞ ) ‪(Kp‬‬
‫ﯾ‬
‫)‪ srg(p, p − 1, p − 2, s‬اﺳﺖ ﮐﻪ در آن ‪ s‬ﻫﺮ ﻋﺪدی ﻣﯿﺘﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﻤﻮاره دارﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪s × (p − k − 1) = k × (k − r − 1‬‬
‫‪ .٨‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﮔﺮاﻓ )‪‐(3k + 6‬ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺎ ‪ 12k‬رأس ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ دو رأس دﻗﯿﻘﺎً ‪ ۶‬ﻫﻤﺴﺎﯾﻪ ﻣﺸﺘﺮک دارﻧﺪ‪ k .‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٩‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ٢‬در ﮔﺮاف ﺳﺎده ‪ G‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫) ‪∑ ( di‬‬
‫‪2‬‬
‫ﮐﻪ در آن ‪ di‬درﺟﻪی رأس ‪i‬ام اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪١‬ﺑﻪ رأﺳ از ﮔﺮاف ﺑﺮﺷ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ اﮔﺮ ﺑﺎ ﺣﺬف آن‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻫﻤﺒﻨﺪی اﻓﺰاﯾﺶ ﭘﯿﺪا ﮐﻨﺪ‬
‫‪٢‬ﻣﻨﻈﻮر از ‪ diam‬ﯾﺎ ﻗﻄﺮ ﯾ ﮔﺮاف‪ ،‬ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﯿﺎن رﺋﻮس ﯾ ﮔﺮاف اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺎﺻﻠﻪی دو رأس ﻧﯿﺰ ﻃﻮل ﮐﻮﺗﺎهﺗﺮﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ ﺑﯿﻦ آن دو‬
‫رأس ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪٣‬ﮐﻤﺮ ﻃﻮل ﮐﻮﺗﺎهﺗﺮﯾﻦ دور ﯾ ﮔﺮاف اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪۴‬ﮔﺮاف ‪ Qk‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞ اﺳﺖ‪ :‬رﺋﻮس آن ﺗﻤﺎم ‪k‬ﺗﺎﯾﯽ ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ ﺑﺎ اﻋﻀﺎی ‪ 0‬و ‪ 1‬اﺳﺖ و دو رأس ﻣﺘﺼﻞاﻧﺪ اﮔﺮ ﺗﻨﻬﺎ در ﯾ‬
‫ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻋﻠﺖ ﻧﺎمﮔﺬاری از اﯾﻨﺠﺎﺳﺖ ﮐﻪ ‪ Q2‬ﺷﺒﯿﻪ ﻣﺮﺑﻊ و ‪ Q3‬ﺷﺒﯿﻪ ﻣ ﻌﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪۵‬در اﯾﻨﺘﺮﻧﺖ ﺷ ﻞ اﯾﻦ ﮔﺮاف را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ‪Peterson Graph :‬‬
‫‪١‬‬
‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬
‫‪ .١٠‬ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روی ﺗﻌﺪاد ﯾﺎلﻫﺎی ﮔﺮاف ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان ﯾﺎلﻫﺎی ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎدهی ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﯾﺎلﻫﺎی زوج را ﺑﻪ‬
‫ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل دو اﻓﺮاز ﮐﺮد‪ .‬اﮔﺮ ﺷﺮط ﻫﻤﺒﻨﺪی را ﺣﺬف ﮐﻨﯿﻢ آﯾﺎ ﺑﺎز ﻫﻢ ﻧﺘﯿﺠﻪ درﺳﺖ اﺳﺖ؟‬
‫ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮی ﺣﺴﺎﺑﯽ‐ﻣﺮﺑﻌ ‪:‬‬
‫‪ .١١‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣ ﻢ ﺳﻮال ‪ ٩‬و ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫‪a21 + · · · + a2n‬‬
‫‪n‬‬
‫√‬
‫‪a1 + · · · + an‬‬
‫≤‬
‫‪n‬‬
‫)‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ٢‬در ﮔﺮاف ﺳﺎدهی ‪ G‬ﺑﺎ ‪ n‬رأس و ‪ e‬ﯾﺎل ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪− 1‬‬
‫‪( 2e‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .١٢‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ،n‬ﮔﺮاﻓ ﺳﺎده ﺑﺎ ‪ n‬رأس و ⌋ ‪ ⌊ n4‬ﯾﺎل ﺑﺴﺎزﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﺜﻠﺚ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﮔﺮاف ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ ‪ ۶‬اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ G‬رأﺳ ﺑﺮﺷ دارد اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ رأﺳ ﺑﺎ درﺟﻪی ﯾ‬
‫‪ .١٣‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﯾ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .١۴‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ در ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫‪ .١۵‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ در ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫‪ .١۶‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﯾ‬
‫‪n−1‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ ‪ ،δ‬آﻧﮕﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ‬
‫)‪(n−1‬‬
‫‪2‬‬
‫اﺳﺖ‪٧ .‬‬
‫> ‪ ،e‬آﻧﮕﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﮔﺮاف ﺑﺎ ﮐﻤﺮ ‪ ۴‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﺮ رأس آن از درﺟﻪی ﺣﺪاﻗﻞ ‪ k‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﺣﺪاﻗﻞ ‪ 2k‬رأس‬
‫دارد‪ .‬ﺗﻤﺎم ﮔﺮافﻫﺎی ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞ ﮐﻪ دﻗﯿﻘﺎً ‪ 2k‬رأس دارﻧﺪ را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٧‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﮐﻪ درﺟﻪی ﻫﺮ رأﺳﺶ ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ اﺳﺖ‪ ،‬دوری ﺑﺎ ﻃﻮل زوج دارد‪.‬‬
‫‪ .١٨‬ﮔﺮاف ‪ G‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﺴﯿﺮ و دور ﺑﻪ ﻃﻮل ﺳﻪ ﻧﺪارد‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ G‬ﯾ‬
‫‪ .١٩‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ v‬ﯾ‬
‫‪ .٢٠‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﯾ‬
‫رأس دارد‪.‬‬
‫ﮔﺮاف دو ﺑﺨﺸ ﮐﺎﻣﻞ اﺳﺖ‪.‬‬
‫راس ﺑﺮﺷ ﮔﺮاف ﺳﺎده ی ‪ G‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ G − v‬ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﮔﺮاف ﺑﺎ ﮐﻤﺮ ‪ ۵‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﺮ رأس آن از درﺟﻪی ﺣﺪاﻗﻞ ‪ k‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﺣﺪاﻗﻞ ‪k 2 + 1‬‬
‫‪ .٢١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ درﺟﻪی ﻫﻤﻪی رﺋﻮس ﮔﺮاف ‪ G‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ دورﻫﺎی ﻣﺠﺰای )ﯾﺎﻟ ( ‪ C1 , . . . , Cm‬ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ‬
‫ﯾﺎلﻫﺎی ‪ G‬را اﻓﺮاز ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ در ﮔﺮاف ‪ G‬ﻣﺴﯿﺮی ﺑﻪ ﻃﻮل )‪ δ(G‬ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .٢٣‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﮔﺮاﻓ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد رﺋﻮس ﺑﯿﺶ از ‪ ١‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ دو رأس از ‪ G‬ﭘﯿﺪا ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﮐﻪ درﺟﻪی ﺑﺮاﺑﺮ دارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮای ﮔﺮاف ﺑﺎ رﺋﻮس ﺑﯿﺶ از ‪ ،٢‬ﻣﺜﺎﻟ ﺑﺴﺎزﯾﺪ ﮐﻪ در آن ﺳﻪ درﺟﻪی ﺑﺮاﺑﺮ ﭘﯿﺪا ﻧﺸﻮد‪.‬‬
‫‪ .٢۴‬اﮔﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎدهی ‪ G‬ﻧﺎﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ̄‪ G‬ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ و ‪.diam(Ḡ) ≤ 2‬‬
‫‪ .٢۵‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﺑﺪون ﺟﻬﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣ ﺗﻮان ﯾﺎلﻫﺎی ‪ G‬را ﻃﻮری ﺟﻬﺖدﻫ ﮐﺮد ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ رأس‬
‫‪ v‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‬
‫‪| deg v − deg v| ≤ 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ ٢‬درﺧﺖﻫﺎ‬
‫‪ .١‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫‪ .٢‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ T‬ﯾ‬
‫زﯾﺮدرﺧﺖ ﻓﺮاﮔﯿﺮ دارد‪.‬‬
‫درﺧﺖ و ‪ v‬رأﺳ از آن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ‪ v‬ﯾ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫رأس ﺑﺮﺷ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪deg(v) > 1‬‬
‫‪۶‬ﺑﻪ ﮔﺮاﻓ ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ اﮔﺮ ﺧﻮدش ﺑﺎ ﻣ ﻤﻠﺶ ﯾ ﺮﯾﺨﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪٧‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮﯾﻦ درﺟﻪی ﯾ ﮔﺮاف را ﺑﺎ ‪ δ‬و ﺑﺰرﮔﺘﺮﯾﻦ درﺟﻪی ﮔﺮاف را ﺑﺎ ∆ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﻨﺪ‪.‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪ .٣‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﺳﺎدهی ﻫﻤﯿﻨﺪ ﮐﻪ دﻗﯿﻘﺎ دو راس ﻏﯿﺮ ﺑﺮﺷ دارد‪ ،‬ﯾ‬
‫‪ .۴‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ درﺧﺖ ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﻣﺴﯿﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﮔﺮاف دوﺑﺨﺸ اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ درﺧﺖ‪ ،‬ﺑﺮﮔ در ﺑﺨﺶ ﺑﺰرﮔﺘﺮ دارد‪ .‬و اﮔﺮ اﻧﺪازهی‬
‫ﺑﺨﺶﻫﺎ ﻣﺴﺎوی ﺑﺎﺷﺪ در ﻫﺮ دو ﺑﺨﺶ ﺑﺮﮔ از درﺧﺖ وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫‪ .۵‬در ﯾ‬
‫درﺧﺖ ﻣﺮﮐﺰ رأﺳ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪی آن ﺗﺎ ﺑﺎﻗ رأسﻫﺎ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ در ﻫﺮ درﺧﺖ ﯾﺎ ﯾ‬
‫ﻣﺮﮐﺰ دارﯾﻢ ﯾﺎ دو ﻣﺮﮐﺰ ﻣﺠﺎور‪.‬‬
‫‪ .۶‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ T‬درﺧﺘ ﺑﺎ ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ درﺟﻪ ∆ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ T‬ﺣﺪاﻗﻞ ∆ ﺑﺮگ دارد‪.‬‬
‫‪ .٧‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ T‬ﯾ‬
‫درﺧﺖ ‪ k‬راﺳ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ G‬ﯾ‬
‫ﯾ رﯾﺨﺖ ﺑﺎ ‪ T‬دارد‪.‬‬
‫‪ G .٨‬را ﯾ‬
‫ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ درﺟﻪی ‪ k − 1‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ G‬ﯾ‬
‫زﯾﺮﮔﺮاف‬
‫ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ ‪ n‬رأﺳ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﮔﺮاف ‪ G′‬را اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ ﻣ ﺳﺎزﯾﻢ ﮐﻪ رﺋﻮس ‪ G′‬زﯾﺮدرﺧﺖﻫﺎی ﻓﺮاﮔﯿﺮ ‪ G‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
‫و دو رأس ‪ G′‬ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻞاﻧﺪ اﮔﺮ دو زﯾﺮدرﺧﺖ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ در دﻗﯿﻘﺎً ‪ n − 2‬ﯾﺎل ﻣﺸﺘﺮک ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫)آ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ G′‬ﻧﯿﺰ ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫)ب( ﻗﻄﺮ ‪ G′‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٩‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ G1 , . . . , Gk‬زﯾﺮدرﺧﺖﻫﺎﯾﯽ از درﺧﺖ ‪ G‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ دوﺗﺎی آنﻫﺎ در ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫رأس ﻣﺸﺘﺮکاﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ رأﺳ از ‪ G‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ در ﻫﻤﻪی اﯾﻦ زﯾﺮدرﺧﺖﻫﺎ آﻣﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ‬
‫اﯾﺰدی‪ ،‬ﮐﺮﯾﻤ ‪ ،‬ﻗﺪﯾﺮی‬
‫‪٣‬‬