‫تئوری ساختی با قابليت تعيين پيچيدگی محاسباتی‬
‫شهاب تشرفی‬
‫مقدمه‬
‫‪‬‬
‫تئوری پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ايجاد زيربنای رياضياتی الزم برای محاسبات کارآ‬
‫تئوری اثبات‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معرفی سيستمهای اثبات گوناگون‬
‫فرماليزه نمودن يک منطق‬
‫بررسی توانايیها و محدوديتها‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫قابليت بيان يک قضيه‬
‫قابليت اثبات يک قضيه‬
‫مقدمه (ادامه)‬
‫‪‬‬
‫پيچيدگی اثبات‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫حاصل مواجهه تئوری پيچيدگی و تئوری اثبات‬
‫بررسی سيستمهای اثبات گوناگون‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تعيين حد باال و پايين برای کوچکترين اثباتها‬
‫تعريف منطقهايی برای مشخصساختن کالسهای‬
‫‪S 21‬‬
‫پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫نمونههايی از منطقهای کالسيک مانند‬
‫نمونهای از منطقهای شهودگرا مانند ‪IPV‬‬
‫و ‪PV‬‬
‫مقدمه (ادامه)‬
‫‪‬‬
‫منطق ساختی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مهمترين منطق شهودگرای موجود‬
‫اثبات معادل است با برنامه‬
‫تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫از مهمترين فرماليسمهای موجود برای منطق ساختی‬
‫فقط قابليت بيان توابع کامل‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫نسخههايی با قابليت بيان توابع جزيی موجودند‬
‫همه کالسهای پيچيدگی معروف در مجموعه توابع کامل هستند‬
‫مقدمه (ادامه)‬
‫‪‬‬
‫تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫قابليت بيان توصيف يک برنامه يا مساله‬
‫‪2‬‬
‫‪n  N  s  N  s 2  n  s  1‬‬
‫‪‬‬
‫قابليت بيان اثبات يک توصيف‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫وجود نرمافزارهای گوناگون برای کار با تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫از طريق قوانين معرفی و حذف عملگرها و استقرا‬
‫مانند ‪Nuprl‬‬
‫قابليت تعبير توسط تئوری مارتين‪-‬لوف‬
‫هدف پاياننامه‬
‫‪‬‬
‫تعريف برخی کالسهای پيچيدگی در تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫ارائه اصول و قوانين استنتاج به نحوی که‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اثبات يک قضيه با اين اصول و قوانين معادل است با بودن در‬
‫کالس پيچيدگی مربوطه‬
‫برخورداری از خصوصيات مهم تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫قابليت خواندهشدن به صورت انواع‬
‫خصوصيت نوع به جای گزاره‬
‫خصوصيت نوع به جای برنامه‬
‫خصوصيت نوع به جای مجموعه‬
‫مزايا‬
‫‪‬‬
‫عدم نياز به اثبات بودن در يک کالس پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫وجود اثبات برای يک مساله نشانگر داشتن راهحلی در‬
‫کالس پيچيدگی مربوطه است‬
‫اثبات عدماثباتپذيری در اين تئوری نشانگر عدم وجود‬
‫در يک کالس پيچيدگی است‬
‫استفاده از اثباتگرهای خودکار‬
‫کارهای پيشين‬
‫‪‬‬
‫مشخصکردن کالسهای پيچيدگی در‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مدلهای محدود‬
‫توصيف مسالهها‬
‫اثبات مسالهها‬
‫پيادهسازی مسالهها‬
‫مدلهای محدود‬
‫‪‬‬
‫مدلهای محدود‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫کاربرد بسيار در مسائل مهندسی و رياضی‬
‫مدل نمودن بسياری از پديدهها در قالب گرافها و ديگر‬
‫مدلهای محدود‬
‫مدلهای محدود و کالسهای پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫سختی توصيف يک مدل‬
‫سختی توصيف يک خصوصيت در يک مدل‬
‫سختی بررسی يک خصوصيت برای يک مدل‬
‫توصيف مسالهها‬
‫‪‬‬
‫توصيف مدلی است معموال منطقی شامل‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫توصيف ورودیهای مساله و پيششرطها‬
‫توصيف خروجیهای مساله‬
‫رابطه ورودیها و خروجیها‬
‫‪I 1  Type1 ,  , I n  Type n  PreI 1 ,  , I n  ‬‬
‫‪O1  Typen 1 ,  , Om  Typen  m  Post I 1 ,  , I n , O1 ,  , Om ‬‬
‫‪‬‬
‫زبانهای توصيف مانند‪ :‬منطقهای مرتبه اول و دوم‪،‬‬
‫تئوری انواع‪ ،‬زبان ‪B‬‬
‫توصيف مسالهها (ادامه)‬
‫‪‬‬
‫مبحث پيچيدگی در توصيف‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫محدودشده زبان توصيفی‬
‫قابليت بيان توصيف يک برنامه معادل است با وجود‬
‫راهحلی در کالس پيچيدگی مورد توصيف‬
‫برخی از کارهای مهم در اين زمينه عبارتند از‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫توصيف کالس پيچيدگی ‪ NPTIME‬توسط فاگين‬
‫توصيف کالس پيچيدگی ‪ PTIME‬توسط ايمرمن‬
‫اثبات مسالهها‬
‫‪‬‬
‫ارائه اصول و قوانين به صورتی که‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اثبات توصيف يک مسئله با اين اصول و قوانين يعنی‬
‫اثبات وجود راهحلی برای توصيف در کالس پيچيدگی‬
‫مربوطه‬
‫عضويت يک مساله در يک کالس پيچيدگی يعنی وجود‬
‫توصيفی برای مساله که با اين اصول و قوانين ثابت شود‬
‫همه توصيفهای يک مساله لزوما با اين اصول و‬
‫قوانين نمیتوانند ثابت شوند‬
‫سيستمهای اثبات ‪ S‬و ‪ T‬برای سلسلهمراتب‬
‫پيادهسازی مسالهها‬
‫‪‬‬
‫ارائه زبانهای برنامهسازی به طوری که‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هر مسالهی کالس پيچيدگی بتواند در آنها پيادهسازی شود‬
‫هر برنامهی آن در کالس پيچيدگی مربوطه قرار گيرد‬
‫برخی از اين زبانها عبارتند از‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ F+RD‬برای مسائل ‪PTIME‬‬
‫‪ F+RDTR‬برای مسائل ‪LOGSPACE‬‬
‫بالنتونی‬-‫روش کوک‬
PTIME ‫ارائه زبانی برای پيادهسازی مسائل‬
# ‫استقالل از عملگر‬
‫ورودیهای عادی و ورودیهای امن‬
1 Z ;  0
2   nj,m x1 ,, xn ; xn1 ,, xnm   x j
3  s0 ; a   2a s1 ; a   2a  1
4  M ; a  a mod 2
5  P; a   a 2



b a mod 2  0
6  C ; a, b, c   
c otherwise
f 0, x ; y   g x ; y 


7   f 2a, x ; y   h0 a, x ; y , f a, x ; y 
 f 2a  1, x ; y   h a, x ; y , f a, x ; y 
1

8  f x; a   hr x;; t x; a 
‫روشهای کنستابل در تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫مشخصنمودن مجموعه برنامههای با زمان‬
‫چندجملهای‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫استفاده از تعريف کوک‪-‬بالنتونی برای برنامههای با زمان‬
‫چندجملهای‬
‫مشخصنمودن تابع زمان و حافظه برای تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مشخصنمودن کالسهای پيچيدگی با استفاده از اين توابع‬
‫عدم وجود تئوری برای اثبات برابر بودن اين کالسها با‬
‫کالسهای پيچيدگی متناظر معروف‬
‫تعيين هدف نهايی‬
‫‪‬‬
‫محورهای مطرح برای نوآوری‬
‫‪‬‬
‫تئوری پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ارائه تعريف جديد برای کالسهای پيچيدگی‬
‫ارائه نسخه شهودگرا از يکی از تعريفهای موجود‬
‫تعريف يک کالس پيچيدگی در تئوری انواع يعنی پلی بين سه‬
‫دسته تعريف موجود‪ :‬توصيف‪ ،‬اثبات و برنامه‬
‫منطق ساختی و تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫دريافت توجه کمتر نسبت به متناظرهای غيرشهودگرایشان‬
‫کاربردی بودن بيشتر نسبت به ديگر منطقها‬
‫تعيين هدف نهايی (ادامه)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تعريف يا بازتعريف؟ بازتعريف‬
‫کدام کالس پيچيدگی؟ کالس توابع با زمان چندجملهای‬
‫کدام يک از مشخصهها؟ )‪ L2(QF+‬و ‪FO+LFP‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫عدم وجود قيد صريح بر روی رشد توابع و اندازه جملهها‬
‫بنا نهادهشدن بر مبنای منطق‬
‫کارهای انجامشده‬
‫‪‬‬
‫بازتعريف کار آقای ايمرمن‪FO+LFP :‬‬
‫‪‬‬
‫منطق مرتبه اول با بعضی تغييرات بسيار کم‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معادل با مجموعه مسائل قابل حل در زمان ثابت در ماشينهای‬
‫با حافظه با دسترسی تصادفی و قابليت توازی‬
‫قوانين معرفی و حذف عملگرها همانند قوانين تئوری انواع‬
‫به عالوه تابع «کوچکترين نقطه ثابت تابعی»‬
‫‪‬‬
‫مشابهت با استقرا در تئوری انواع‬
‫مشابهتها و تفاوتها با ديگر کارها‬
‫‪‬‬
‫تئوری پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مشابهت‪ :‬بازتعريف تئوریهای موجود‬
‫تفاوتها‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ارائه نسخه ساختی از منطقهايی که حتی نسخه شهودگرا هم‬
‫ندارند‬
‫ايجاد پلی بين سه دسته متفاوت از مشخصسازیها در تئوری‬
‫پيچيدگی‬
‫مشابهتها و تفاوتها با ديگر کارها‬
‫(ادامه)‬
‫‪‬‬
‫تئوری انواع‬
‫‪‬‬
‫نحوه تعريف کالس پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫نحوه برخورد با مسئله پيچيدگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫درگذشته‪ :‬اثبات جداگانه برای هر مساله‬
‫توليد کد‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫در گذشته‪ :‬مجموعهای از توابع در تئوری انواع‬
‫در گذشته‪ :‬آيا کد توليدی در کالس پيچيدگی مورد نظر هست؟‬
‫اثبات خودکار قضايا‬
‫کارهای آتی‬
‫‪‬‬
‫ارائه سه منطق متفاوت‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هر سه برای توصيف توابع با زمان اجرای چندجملهای‬
‫هر سه دارای خصوصيات اصلی تئوری انواع‬
‫يکی بر اساس سيستم توصيف ‪FO+LFP‬‬
‫ديگری بر اساس سيستم اثبات )‪L2(QF+‬‬
‫سومی منطقی کاملتر از ترکيب توصيفها و اثباتهای‬
‫باال‬
‫زمانبندی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ٢‬ماه برای بازتعريف کار آقای ايمرمن‬
‫‪ ٢‬ماه برای بازتعريف کار آقای لوينت‬
‫‪ ۳‬ماه برای ترکيب اين دو کار‬
‫‪ ٢‬ماه برای نوشتن پاياننامه‬
‫مراجع‬




Cook, S. A., Urquhart, A., Functional
Interpretations of Feasibly Constructive Arithmetic,
Annals of Pure and Applied Logic 63, pp. 103—
2001, 1993
Jones, N. D., Computability and Complexity from a
Programming Perspective, MIT Press, 1997
Immerman, N., Descriptive Complexity, Graduate
Texts in Computer Science, Springer, New York,
1999
Leviant, D., A Foundational Delineation of
Computational Feasibility, 6th Annual IEEE
Symposium on Logic in Computer Science, 1991
)‫مراجع (ادامه‬



Bellantoni, S., Cook, S. A., A New
Recursion-Theoretic Characterization of
Poly-time Functions, 24th Annual ACM
STOC, 1992
Buss, S. R., Bounded Arithmetic, Revision of
Ph.D. thesis, Bibliopolis, Naples, 1986
Constable, R. L., Expressing Computational
Complexity in Constructive Type Theory,
Proceedings of International Workshop on
Logic and Computational Complexity
(LCC'94), pp. 131—144, 1995
‫سوالها و جوابها‬
‫از حضورتان در اين ارائه متشکرم‬