Université de Haute Alsace
FST- L2 Math. S4
Année universitaire 2005-2006
TD de Mathématiques N0 5
(séries entières)
Exercice 1 :
Déterminer le rayon de convergence R de chacune des séries entières :
∞
∞
∞
∞
∞
∞
X
n n X n 2n X z n X (2n)! n X (−1)n n X ln n n
z ,
z ,
,
z ,
n
z ,
n z ,
πn
πn
n2n n=1 n!nn
n=0
n=0
n=1
n=0
n=0
Exercice 2 :
Pour chacune des séries entières suivantes, déterminer le rayon de convergence R, ainsi
que le comportement sur le cercle { z; |z| = R} lorsque R est > 0 et fini.
∞
X
n=0
∞
∞
∞
∞
X
X
X
n
zn
3n n X
n
n
2z ,
,
(ln
n)
z
,
(ln
n)z
,
(1 + 5n )z n .
n2 + 1 n=1
n!
n=0
n=1
n=0
Exercice 3 :
1) Montrer que pour tout α ∈ R, la série entière
∞
X
nα z n a un rayon de convergence
n=1
égal à 1.
2) Étudier le comportement de
∞
X
nα z n sur le cercle { z; |z| = R}.
n=1
3) Pour x ∈ ]−1, 1[, on pose fα (x) =
∞
X
n α xn .
n=1
a) Montrer que pour tout α ∈ R, on a ∀x ∈ ]−1, 1[, xfα0 (x) = fα+1 (x).
b) Calculer f0 , f1 ,f2 puis f−1 .
4) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière g(z) =
+∞
X
chn
n=1
g(x) pour x ∈ ]−R, R[.
Exercice 4 :
On considère la série entière réelle
+∞
X
an xn avec an =
n=1
n
z n et calculer
n
. Détérminer son rayon
(2n + 1)!
de convergence et calculer sa somme pour x ∈ R.
Exercice 5 :
Pour n ≥ 1, on pose sn =
n
X
1
p=1
p
et on considère la série entière
+∞
X
sn xn .
n=1
1) Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.
2) Calculer sa somme pour x ∈ ]−1, 1[.
Exercice 6 :
∞
X
xn
1) Montrer que la série entière
a un rayon de convergence égal à +∞.
(2n)!
n=1
1
2) On pose f (x) =
∞
X
xn
. Montrer que f est solution de l’équation différentielle :
(2n)!
n=1
0
4xy 00 + 2y − y = 1.
Exercice 7 :
Développer en série entière les fonctions suivantes :
f1 (x) = ln
Z
x
f4 (x) =
0
f7 (x) =
1+x
;
1−x
et − 1
dx;
t
1
;
(1 + x)3
f2 (x) =
x2 − x + 2
;
x4 − 5x2 + 4
f5 (x) = arctan x;
√
f8 (x) = ln(1 − x 2 + x2 )
f3 (x) =
x2
;
(x − 1)(2 − x)2
f6 (x) =
1−x
;
x−1
.
(Déterminer leur développement, ainsi que le rayon de convergence correspondant).
Exercice 8 :
Soit f la fonction de la variable réelle définie par
f (x) =
∞
X
{n2n xn .
n=0
1) Déterminer l’ensemble de définition de f ; (Utiliser la formule de Stirling n! ≈
√
1
2πnn+ 2 e−n ).
2) Trouver une relation de réccurence vérifiée par les coefficients αn = {n2n .
3) En déduire que f est solution d’une équation différentielle que l’on déterminera.
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